Εκτίμηση της εξίσωσης παλινδρόμησης. Εκτίμηση της σημασίας μιας εξίσωσης πολλαπλής παλινδρόμησης

Για να εκτιμηθεί η σημασία και η σημασία του συντελεστή συσχέτισης, χρησιμοποιείται το Student's t-test.

Το μέσο σφάλμα του συντελεστή συσχέτισης βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ν
και με βάση το σφάλμα υπολογίζεται το κριτήριο t:

Η υπολογισμένη τιμή t-test συγκρίνεται με την πινακοποιημένη τιμή που βρίσκεται στον πίνακα κατανομής Student σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 ή 0,01 και τον αριθμό βαθμών ελευθερίας n-1. Εάν η υπολογισμένη τιμή του τεστ t είναι μεγαλύτερη από την τιμή του πίνακα, τότε ο συντελεστής συσχέτισης θεωρείται σημαντικός.

Στην περίπτωση μιας καμπυλόγραμμης σχέσης, το F-test χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της σημασίας της σχέσης συσχέτισης και της εξίσωσης παλινδρόμησης. Υπολογίζεται με τον τύπο:

ή

όπου η είναι ο λόγος συσχέτισης. n – αριθμός παρατηρήσεων. m – αριθμός παραμέτρων στην εξίσωση παλινδρόμησης.

Η υπολογιζόμενη τιμή F συγκρίνεται με την πινακοποιημένη για το αποδεκτό επίπεδο σημαντικότητας α (0,05 ή 0,01) και τους αριθμούς βαθμών ελευθερίας k 1 =m-1 και k 2 =n-m. Εάν η υπολογιζόμενη τιμή F υπερβαίνει την πρώτη του πίνακα, η σχέση θεωρείται σημαντική.

Η σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης καθορίζεται χρησιμοποιώντας το Student t-test, το οποίο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

όπου σ 2 και i είναι η διακύμανση του συντελεστή παλινδρόμησης.

Υπολογίζεται με τον τύπο:

όπου k είναι ο αριθμός των χαρακτηριστικών παραγόντων στην εξίσωση παλινδρόμησης.

Ο συντελεστής παλινδρόμησης θεωρείται σημαντικός εάν t a 1 ≥t cr. Το t cr βρίσκεται στον πίνακα των κρίσιμων σημείων της κατανομής Student στο αποδεκτό επίπεδο σημαντικότητας και τον αριθμό βαθμών ελευθερίας k=n-1.

4.3 Ανάλυση συσχέτισης και παλινδρόμησης στο Excel

Ας διεξαγάγουμε μια ανάλυση συσχέτισης-παλινδρόμησης της σχέσης μεταξύ απόδοσης και κόστους εργασίας ανά 1 κουντόνι σιτηρών. Για να το κάνετε αυτό, ανοίξτε ένα φύλλο Excel και εισαγάγετε τις τιμές του χαρακτηριστικού παράγοντα στα κελιά A1:A30 – η απόδοση των καλλιεργειών σιτηρών, στα κελιά Β1:Β30, η αξία του προκύπτοντος χαρακτηριστικού είναι το κόστος εργασίας ανά 1 κουντόνι σιτηρών. Στο μενού Εργαλεία, επιλέξτε την επιλογή Ανάλυση δεδομένων. Κάνοντας αριστερό κλικ σε αυτό το στοιχείο, θα ανοίξουμε το εργαλείο Regression. Κάντε κλικ στο κουμπί OK και το πλαίσιο διαλόγου Regression εμφανίζεται στην οθόνη. Στο πεδίο Input interval Y, πληκτρολογήστε τις τιμές του προκύπτοντος χαρακτηριστικού (επισήμανση κελιών B1:B30), στο πεδίο Input interval X, εισαγάγετε τις τιμές του χαρακτηριστικού παράγοντα (επισήμανση κελιών A1:A30). Σημειώστε το επίπεδο πιθανότητας 95% και επιλέξτε Νέο φύλλο εργασίας. Κάντε κλικ στο κουμπί ΟΚ. Ο πίνακας "ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ" εμφανίζεται στο φύλλο εργασίας, ο οποίος δείχνει τα αποτελέσματα του υπολογισμού των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης, του συντελεστή συσχέτισης και άλλων δεικτών που σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε τη σημασία του συντελεστή συσχέτισης και τις παραμέτρους της εξίσωσης παλινδρόμησης.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ
Στατιστικά παλινδρόμησης
Πληθυντικός R
R-τετράγωνο
Κανονικοποιημένο R-τετράγωνο
Τυπικό σφάλμα
Παρατηρήσεις
Ανάλυση της διακύμανσης
					Σημασία ΣΤ
Οπισθοδρόμηση
	Πιθανότητα	Τυπικό σφάλμα	t-statistic	P-Τιμή	Κάτω 95%	Κορυφαίο 95%	Κάτω 95,0%	Κορυφαίο 95,0%
Υ-τομή
Μεταβλητή X 1

Σε αυτόν τον πίνακα, το "Πολλαπλό R" είναι ο συντελεστής συσχέτισης, το "R-τετράγωνο" είναι ο συντελεστής προσδιορισμού. "Συντελεστές: Y-τομή" - ελεύθερος όρος της εξίσωσης παλινδρόμησης 2,836242; “Μεταβλητή X1” – συντελεστής παλινδρόμησης -0,06654. Υπάρχουν επίσης τιμές του Fisher's F-test 74.9876, Student's t-test 14.18042, " Τυπικό σφάλμα 0,112121”, τα οποία είναι απαραίτητα για την εκτίμηση της σημασίας του συντελεστή συσχέτισης, των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης και ολόκληρης της εξίσωσης.

Με βάση τα δεδομένα του πίνακα, θα κατασκευάσουμε μια εξίσωση παλινδρόμησης: y x ​​= 2,836-0,067x. Ο συντελεστής παλινδρόμησης a 1 = -0,067 σημαίνει ότι με αύξηση της απόδοσης των σιτηρών κατά 1 c/ha, το κόστος εργασίας ανά 1 c σιτηρών μειώνεται κατά 0,067 ανθρωποώρες.

Ο συντελεστής συσχέτισης είναι r=0,85>0,7, επομένως, η σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών που μελετήθηκαν σε αυτόν τον πληθυσμό είναι στενή. Ο συντελεστής προσδιορισμού r 2 =0,73 δείχνει ότι το 73% της διακύμανσης του αποτελεσματικού χαρακτηριστικού (κόστος εργασίας ανά 1 τεντόλι κόκκου) προκαλείται από τη δράση του χαρακτηριστικού παράγοντα (απόδοση κόκκου).

Στο τραπέζι κρίσιμα σημείακατανομή του Fisher - Snedekor βρίσκουμε την κρίσιμη τιμή του F-test σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας σε 1 =m-1=2-1=1 και k 2 =n-m=30-2= 28, ισούται με 4,21. Δεδομένου ότι η υπολογισμένη τιμή του κριτηρίου είναι μεγαλύτερη από την πινακοποιημένη (F=74,9896>4,21), η εξίσωση παλινδρόμησης θεωρείται σημαντική.

Για να εκτιμήσουμε τη σημασία του συντελεστή συσχέτισης, ας υπολογίσουμε το Student’s t-test:

ΣΕ
Στον πίνακα των κρίσιμων σημείων της κατανομής Student, βρίσκουμε την κρίσιμη τιμή του t-test σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας n-1=30-1=29, είναι ίσος με 2,0452. Δεδομένου ότι η υπολογιζόμενη τιμή είναι μεγαλύτερη από την τιμή του πίνακα, ο συντελεστής συσχέτισης είναι σημαντικός.

Αφού βρεθεί η εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης, αξιολογείται η σημασία τόσο της εξίσωσης στο σύνολό της όσο και των επιμέρους παραμέτρων της.

Ελέγξτε τη σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης - σημαίνει να προσδιορίσετε αν αντιστοιχεί μαθηματικό μοντέλο, που εκφράζει τη σχέση μεταξύ μεταβλητών, πειραματικών δεδομένων και αν οι επεξηγηματικές μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην εξίσωση (μία ή περισσότερες) επαρκούν για να περιγράψουν την εξαρτημένη μεταβλητή.

Ο έλεγχος σημασίας πραγματοποιείται με βάση ανάλυση της διακύμανσης.

Σύμφωνα με την ιδέα της ανάλυσης διασποράς, συνολικό ποσόΟι τετραγωνικές αποκλίσεις (SD) y από τη μέση τιμή διασπώνται σε δύο μέρη - επεξηγημένα και ανεξήγητα:

ή αναλόγως:

Υπάρχουν δύο ακραίες περιπτώσεις δυνατές εδώ: όταν η συνολική τυπική απόκλιση είναι ακριβώς ίση με την υπολειπόμενη τυπική απόκλιση και όταν η συνολική τυπική απόκλιση είναι ίση με την τυπική απόκλιση παράγοντα.

Στην πρώτη περίπτωση, ο παράγοντας x δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, ολόκληρη η διακύμανση του y οφείλεται στην επίδραση άλλων παραγόντων, η γραμμή παλινδρόμησης είναι παράλληλη με τον άξονα Ox και η εξίσωση θα πρέπει να μοιάζει με

Στη δεύτερη περίπτωση, άλλοι παράγοντες δεν επηρεάζουν το αποτέλεσμα, το y σχετίζεται με το x λειτουργικά και η υπολειπόμενη τυπική απόκλιση είναι μηδέν.

Ωστόσο, στην πράξη, και οι δύο όροι υπάρχουν στη δεξιά πλευρά. Η καταλληλότητα μιας γραμμής παλινδρόμησης για πρόβλεψη εξαρτάται από ποιο μέρος συνολική παραλλαγή y λαμβάνει υπόψη την επεξηγημένη παραλλαγή. Εάν η επεξηγούμενη τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη από την υπολειπόμενη τυπική απόκλιση, τότε η εξίσωση παλινδρόμησης είναι στατιστικά σημαντική και ο παράγοντας x έχει σημαντικό αντίκτυπο στο αποτέλεσμα y. Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι ο συντελεστής προσδιορισμού θα προσεγγίσει τη μονάδα.

Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας (df-βαθμοί ελευθερίας) είναι ο αριθμός των ανεξάρτητα μεταβαλλόμενων τιμών ενός χαρακτηριστικού.

Για τη γενική τυπική απόκλιση, (n-1) απαιτούνται ανεξάρτητες αποκλίσεις,

Το παραγοντικό MSE έχει έναν βαθμό ελευθερίας και

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε:

Από αυτή την ισορροπία προσδιορίζουμε ότι = n-2.

Διαιρώντας κάθε τυπική απόκλιση με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας της, λαμβάνουμε μεσαίο τετράγωνοαποκλίσεις ή διασπορά ανά βαθμό ελευθερίας: - συνολική διακύμανση, - παραγοντικό, - υπολειπόμενο.

Ανάλυση στατιστική σημασίαγραμμικούς συντελεστές παλινδρόμησης

Αν και οι θεωρητικές τιμές των συντελεστών της εξίσωσης γραμμικής εξάρτησης θεωρούνται σταθερές τιμές, υπολογίζει τα α και β αυτών των συντελεστών που λαμβάνονται κατά την κατασκευή της εξίσωσης με βάση τα δεδομένα τυχαίο δείγμα, είναι τυχαίες μεταβλητές. Εάν τα σφάλματα παλινδρόμησης έχουν κανονική κατανομή, τότε οι εκτιμήσεις των συντελεστών κατανέμονται επίσης κανονικά και μπορούν να χαρακτηριστούν από τις δικές τους μέσες τιμές και διακύμανση. Επομένως, η ανάλυση των συντελεστών ξεκινά με τον υπολογισμό αυτών των χαρακτηριστικών.

Οι διακυμάνσεις των συντελεστών υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Διακύμανση συντελεστή παλινδρόμησης:

Οπου - υπολειπόμενη διακύμανσηκατά ένα βαθμό ελευθερίας.

Διακύμανση παραμέτρων:

Από εδώ, το τυπικό σφάλμα του συντελεστή παλινδρόμησης καθορίζεται από τον τύπο:

Το τυπικό σφάλμα της παραμέτρου καθορίζεται από τον τύπο:

Χρησιμεύουν για τον έλεγχο μηδενικών υποθέσεων ότι η πραγματική τιμή του συντελεστή παλινδρόμησης b ή του όρου τομής a είναι ίση με μηδέν: .

Η εναλλακτική υπόθεση μοιάζει με: .

t - οι στατιστικές έχουν t - Κατανομή μαθητών με βαθμούς ελευθερίας. Χρησιμοποιώντας τους πίνακες κατανομής Student, σε ένα ορισμένο επίπεδο σημαντικότητας b και βαθμούς ελευθερίας, βρίσκεται η κρίσιμη τιμή.

Εάν η μηδενική υπόθεση απορριφθεί, οι συντελεστές θεωρούνται στατιστικά σημαντικοί.

Εάν, τότε η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. (Εάν ο συντελεστής b είναι στατιστικά ασήμαντος, η εξίσωση θα πρέπει να μοιάζει με αυτό, και αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών. Εάν ο συντελεστής α είναι στατιστικά ασήμαντος, συνιστάται η αξιολόγηση της νέας εξίσωσης στη μορφή)

Εκτιμήσεις συντελεστών διαστήματος γραμμική εξίσωσηπαλινδρομήσεις:

Διάστημα εμπιστοσύνης γιαΕΝΑ: .

Διάστημα εμπιστοσύνης γιασι:

Αυτό σημαίνει ότι με μια δεδομένη αξιοπιστία (πού είναι το επίπεδο σημαντικότητας) αληθινές αξίεςα, β βρίσκονται στα υποδεικνυόμενα διαστήματα.

Ο συντελεστής παλινδρόμησης έχει μια σαφή οικονομική ερμηνεία, επομένως τα όρια εμπιστοσύνης του διαστήματος δεν πρέπει να περιέχουν ασυνεπή αποτελέσματα, για παράδειγμα, Δεν πρέπει να περιλαμβάνουν μηδέν.

Ανάλυση της στατιστικής σημασίας της εξίσωσης στο σύνολό της.

Κατανομή Fisher στην ανάλυση παλινδρόμησης

Η σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης στο σύνολό της αξιολογείται χρησιμοποιώντας τη δοκιμή F Fisher. Στην περίπτωση αυτή, τίθεται μια μηδενική υπόθεση ότι όλοι οι συντελεστές παλινδρόμησης, με εξαίρεση τον ελεύθερο όρο a, είναι ίσοι με μηδέν και, επομένως, ο παράγοντας x δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα y (ή).

Η τιμή του κριτηρίου F σχετίζεται με τον συντελεστή προσδιορισμού. Οταν πολλαπλή παλινδρόμηση:

όπου m είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών.

Οταν παλινδρόμηση κατά ζεύγηο τύπος της στατιστικής F έχει τη μορφή:

Κατά την εύρεση της πινακοποιημένης τιμής της δοκιμής F, ορίζεται ένα επίπεδο σημαντικότητας (συνήθως 0,05 ή 0,01) και δύο βαθμοί ελευθερίας: - στην περίπτωση πολλαπλής παλινδρόμησης, - για ζευγαρωμένη παλινδρόμηση.

Αν, τότε απορριφθεί και συνάγεται το συμπέρασμα ότι η στατιστική σχέση μεταξύ y και x είναι σημαντική.

Αν, τότε η πιθανότητα της εξίσωσης παλινδρόμησης θεωρείται στατιστικά ασήμαντη και δεν απορρίπτεται.

Σχόλιο. Σε ζευγαρωτή γραμμική παλινδρόμηση. Επίσης, γι' αυτό. Έτσι, ο έλεγχος υποθέσεων σχετικά με τη σημασία της παλινδρόμησης και των συντελεστών συσχέτισης είναι ισοδύναμος με τον έλεγχο της υπόθεσης σχετικά με τη σημασία μιας εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης.

Η κατανομή Fisher μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για να ελεγχθεί η υπόθεση ότι όλοι οι συντελεστές γραμμικής παλινδρόμησης είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, αλλά και η υπόθεση ότι ορισμένοι από αυτούς τους συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν. Αυτό είναι σημαντικό για την ανάπτυξη της γραμμικής μοντέλο παλινδρόμησης, δεδομένου ότι επιτρέπει σε κάποιον να αξιολογήσει την εγκυρότητα του αποκλεισμού μεμονωμένων μεταβλητών ή των ομάδων τους από τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών ή, αντίθετα, να τις συμπεριλάβει σε αυτόν τον αριθμό.

Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι αρχικά υπολογίστηκε μια πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση για n παρατηρήσεις με m επεξηγηματικές μεταβλητές και ο συντελεστής προσδιορισμού είναι ίσος, τότε οι τελευταίες k μεταβλητές εξαιρούνται από τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών και χρησιμοποιώντας τα ίδια δεδομένα μια εξίσωση υπολογίζεται για τον οποίο ο συντελεστής προσδιορισμού είναι ίσος με (, αφού κάθε πρόσθετη μεταβλητή εξηγεί μέρος, όσο μικρό κι αν είναι, της διακύμανσης στην εξαρτημένη μεταβλητή).

Για να ελεγχθεί η υπόθεση για την ταυτόχρονη ισότητα προς το μηδέν όλων των συντελεστών με εξαιρούμενες μεταβλητές, υπολογίζεται η τιμή

έχοντας κατανομή Fisher με βαθμούς ελευθερίας.

Χρησιμοποιώντας τους πίνακες κατανομής Fisher, σε δεδομένο επίπεδο σημασίας, βρείτε. Και αν, τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι λάθος να εξαιρεθούν όλες οι k μεταβλητές από την εξίσωση.

Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να διεξαχθεί σχετικά με την εγκυρότητα της συμπερίληψης μιας ή περισσότερων k νέων επεξηγηματικών μεταβλητών στην εξίσωση παλινδρόμησης.

Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζεται η στατιστική F -

έχοντας διανομή. Και αν υπερβαίνει κρίσιμο επίπεδο, τότε η συμπερίληψη νέων μεταβλητών εξηγεί ένα σημαντικό μέρος της προηγουμένως ανεξήγητης διακύμανσης στην εξαρτημένη μεταβλητή (δηλαδή, δικαιολογείται η συμπερίληψη νέων επεξηγηματικών μεταβλητών).

Σημειώσεις. 1. Συνιστάται να συμπεριλάβετε νέες μεταβλητές μία κάθε φορά.

2. Για τον υπολογισμό της στατιστικής F, όταν εξετάζεται η συμπερίληψη επεξηγηματικών μεταβλητών στην εξίσωση, είναι σκόπιμο να λαμβάνεται υπόψη ο συντελεστής προσδιορισμού προσαρμοσμένος για τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας.

F - Η στατιστική Fisher χρησιμοποιείται επίσης για τον έλεγχο της υπόθεσης σχετικά με τη σύμπτωση των εξισώσεων παλινδρόμησης για χωριστές ομάδεςπαρατηρήσεις.

Έστω 2 δείγματα που περιέχουν, αντίστοιχα, παρατηρήσεις. Για καθένα από αυτά τα δείγματα, εκτιμήθηκε μια εξίσωση παλινδρόμησης της μορφής. Αφήστε τις τυπικές αποκλίσεις από τη γραμμή παλινδρόμησης (δηλαδή) να είναι ίσες για αυτές, αντίστοιχα, .

Ελέγχεται η μηδενική υπόθεση: ότι όλοι οι αντίστοιχοι συντελεστές αυτών των εξισώσεων είναι ίσοι μεταξύ τους, δηλ. η εξίσωση παλινδρόμησης για αυτά τα δείγματα είναι η ίδια.

Αφήστε μια εξίσωση παλινδρόμησης του ίδιου τύπου να εκτιμηθεί για όλες τις παρατηρήσεις ταυτόχρονα και η τυπική απόκλιση.

Στη συνέχεια, η στατιστική F υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Έχει κατανομή Fisher με βαθμούς ελευθερίας. F - οι στατιστικές θα είναι κοντά στο μηδέν εάν η εξίσωση και για τα δύο δείγματα είναι η ίδια, επειδή σε αυτήν την περίπτωση. Εκείνοι. αν, τότε η μηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή.

Εάν, τότε η μηδενική υπόθεση απορριφθεί και δεν μπορεί να κατασκευαστεί μία εξίσωση παλινδρόμησης.

Αφού κατασκευαστεί η εξίσωση παλινδρόμησης και εκτιμηθεί η ακρίβειά της χρησιμοποιώντας τον συντελεστή προσδιορισμού, παραμένει ανοιχτή ερώτησηπώς επιτεύχθηκε αυτή η ακρίβεια και, κατά συνέπεια, μπορεί να είναι αξιόπιστη αυτή η εξίσωση. Το γεγονός είναι ότι η εξίσωση παλινδρόμησης δεν χτίστηκε σύμφωνα με πληθυσμός, το οποίο είναι άγνωστο, αλλά με βάση ένα δείγμα από αυτό. Οι βαθμοί από τον γενικό πληθυσμό εμπίπτουν στο δείγμα τυχαία, επομένως, σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων, μεταξύ άλλων περιπτώσεων, είναι πιθανό ένα δείγμα από έναν «ευρύ» γενικό πληθυσμό να αποδειχθεί «στενό» (Εικ. 15). .

Ρύζι. 15. Πιθανή παραλλαγήσημεία που εμπίπτουν σε δείγμα από τον γενικό πληθυσμό.

Σε αυτήν την περίπτωση:

α) η εξίσωση παλινδρόμησης που κατασκευάστηκε για το δείγμα μπορεί να διαφέρει σημαντικά από την εξίσωση παλινδρόμησης για τον γενικό πληθυσμό, γεγονός που θα οδηγήσει σε σφάλματα πρόβλεψης·

β) ο συντελεστής προσδιορισμού και άλλα χαρακτηριστικά ακρίβειας θα είναι αδικαιολόγητα υψηλά και θα παραπλανήσουν τις προγνωστικές ιδιότητες της εξίσωσης.

Στην περιοριστική περίπτωση, η επιλογή δεν μπορεί να αποκλειστεί όταν, από έναν γενικό πληθυσμό που είναι ένα σύννεφο με τον κύριο άξονα παράλληλο με τον οριζόντιο άξονα (δεν υπάρχει σχέση μεταξύ των μεταβλητών), λόγω τυχαίας επιλογής, θα ληφθεί δείγμα, ο κύριος άξονας του οποίου θα είναι κεκλιμένος προς τον άξονα. Έτσι, οι προσπάθειες πρόβλεψης των επόμενων τιμών του γενικού πληθυσμού με βάση δεδομένα από ένα δείγμα από αυτόν είναι γεμάτες όχι μόνο σφάλματα στην εκτίμηση της ισχύος και της κατεύθυνσης της σχέσης μεταξύ των εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών, αλλά και με τον κίνδυνο βρίσκοντας μια σύνδεση μεταξύ μεταβλητών όπου στην πραγματικότητα δεν υπάρχει καμία.

Ελλείψει πληροφοριών για όλα τα σημεία του γενικού πληθυσμού ο μόνος τρόποςΗ μείωση των σφαλμάτων στην πρώτη περίπτωση είναι η χρήση μιας μεθόδου κατά την εκτίμηση των συντελεστών της εξίσωσης παλινδρόμησης που διασφαλίζει την αμερόληπτη και την αποτελεσματικότητά τους. Και η πιθανότητα εμφάνισης της δεύτερης περίπτωσης μπορεί να μειωθεί σημαντικά λόγω του γεγονότος ότι μια ιδιότητα ενός γενικού πληθυσμού με δύο μεταβλητές ανεξάρτητες η μία από την άλλη είναι γνωστή a priori - είναι ακριβώς αυτή η σύνδεση που λείπει σε αυτήν. Αυτή η μείωση επιτυγχάνεται με τον έλεγχο της στατιστικής σημασίας της προκύπτουσας εξίσωσης παλινδρόμησης.

Μία από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες επιλογές επαλήθευσης είναι η εξής. Για την προκύπτουσα εξίσωση παλινδρόμησης, προσδιορίζεται ένα -statistic - ένα χαρακτηριστικό της ακρίβειας της εξίσωσης παλινδρόμησης, που είναι ο λόγος εκείνου του μέρους της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής που εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης προς το ανεξήγητο (υπολειπόμενο) μέρος της διακύμανσης. Η εξίσωση για τον προσδιορισμό της στατιστικής στην περίπτωση της πολυμεταβλητής παλινδρόμησης έχει τη μορφή:

όπου: - επεξηγημένη διακύμανση - μέρος της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής Y που εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης.

Υπολειπόμενη διακύμανση είναι το μέρος της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής Y που δεν εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης, η παρουσία της είναι συνέπεια της δράσης της τυχαίας συνιστώσας.

Αριθμός σημείων στο δείγμα.

Αριθμός μεταβλητών στην εξίσωση παλινδρόμησης.

Όπως φαίνεται από τον παραπάνω τύπο, οι διακυμάνσεις προσδιορίζονται ως το πηλίκο διαίρεσης του αντίστοιχου αθροίσματος τετραγώνων με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας. Ο αριθμός βαθμών ελευθερίας είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής που είναι επαρκείς για να ληφθεί το επιθυμητό χαρακτηριστικό του δείγματος και που μπορεί να ποικίλλει ελεύθερα, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι για αυτό το δείγμα όλες οι άλλες τιμές που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του επιθυμητού χαρακτηριστικού είναι γνωστά.

Για να ληφθεί η υπολειπόμενη διακύμανση, χρειάζονται οι συντελεστές της εξίσωσης παλινδρόμησης. Στην περίπτωση της ζευγαρωμένης γραμμικής παλινδρόμησης, υπάρχουν δύο συντελεστές, επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (λήψη ) ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι ίσος με . Αυτό σημαίνει ότι για τον προσδιορισμό της υπολειπόμενης διακύμανσης, αρκεί να γνωρίζουμε τους συντελεστές της εξίσωσης παλινδρόμησης και μόνο τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής από το δείγμα. Οι υπόλοιπες δύο τιμές μπορούν να υπολογιστούν με βάση αυτά τα δεδομένα και επομένως δεν είναι ελεύθερα μεταβλητές.

Για τον υπολογισμό της επεξηγημένης διακύμανσης των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής, δεν απαιτείται καθόλου, αφού μπορεί να υπολογιστεί γνωρίζοντας τους συντελεστές παλινδρόμησης για τις ανεξάρτητες μεταβλητές και τη διακύμανση της ανεξάρτητης μεταβλητής. Για να το επαληθεύσουμε αυτό, αρκεί να ανακαλέσουμε την έκφραση που δόθηκε προηγουμένως . Επομένως, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας για την υπολειπόμενη διακύμανση είναι ίσος με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών στην εξίσωση παλινδρόμησης (για ζευγαρωμένη γραμμική παλινδρόμηση).

Ως αποτέλεσμα, το κριτήριο για την εξίσωση ζευγαρωμένης γραμμικής παλινδρόμησης καθορίζεται από τον τύπο:

.

Στη θεωρία πιθανοτήτων, έχει αποδειχθεί ότι το κριτήριο μιας εξίσωσης παλινδρόμησης που λαμβάνεται για ένα δείγμα από έναν γενικό πληθυσμό στο οποίο δεν υπάρχει σχέση μεταξύ της εξαρτημένης και της ανεξάρτητης μεταβλητής έχει κατανομή Fisher, η οποία έχει μελετηθεί αρκετά καλά. Χάρη σε αυτό, για οποιαδήποτε τιμή του -κριτηρίου, είναι δυνατός ο υπολογισμός της πιθανότητας εμφάνισής του και, αντιστρόφως, ο προσδιορισμός της τιμής του -κριτηρίου που δεν μπορεί να υπερβεί με μια δεδομένη πιθανότητα.

Να εφαρμόσει στατιστική δοκιμήτη σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης, διατυπώνεται μηδενική υπόθεση για την απουσία σχέσης μεταξύ των μεταβλητών (όλοι οι συντελεστές για τις μεταβλητές είναι ίσοι με μηδέν) και επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας.

Το επίπεδο σημαντικότητας είναι η επιτρεπτή πιθανότητα να γίνει ένα σφάλμα τύπου Ι - απόρριψη ενός σωστού ως αποτέλεσμα της δοκιμής. μηδενική υπόθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, το να κάνετε ένα σφάλμα τύπου Ι σημαίνει ότι αναγνωρίζετε σε ένα δείγμα ότι υπάρχει σχέση μεταξύ μεταβλητών στον πληθυσμό, ενώ στην πραγματικότητα δεν υπάρχει καμία.

Τυπικά το επίπεδο σημαντικότητας θεωρείται ότι είναι 5% ή 1%. Όσο υψηλότερο είναι το επίπεδο σημαντικότητας (τόσο μικρότερο), τόσο υψηλότερο είναι το επίπεδο αξιοπιστίας της δοκιμής, ίσο με , δηλ. τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να αποφευχθεί το σφάλμα αναγνώρισης στο δείγμα της παρουσίας σύνδεσης στον γενικό πληθυσμό των πραγματικά άσχετων μεταβλητών. Αλλά καθώς αυξάνεται το επίπεδο σημαντικότητας, αυξάνεται ο κίνδυνος διάπραξης σφάλματος δεύτερου τύπου - απορρίπτοντας τη σωστή μηδενική υπόθεση, δηλ. να μην παρατηρήσετε στο δείγμα την πραγματική σύνδεση μεταξύ μεταβλητών στο γενικό πληθυσμό. Επομένως, ανάλογα με το ποιο σφάλμα έχει μεγάλο Αρνητικές επιπτώσεις, επιλέξτε ένα ή άλλο επίπεδο σημασίας.

Για το επιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας, η κατανομή Fisher καθορίζει την τιμή του πίνακα της πιθανότητας υπέρβασης της οποίας, σε ένα δείγμα ισχύος που λαμβάνεται από τον γενικό πληθυσμό χωρίς σχέση μεταξύ των μεταβλητών, δεν υπερβαίνει το επίπεδο σημαντικότητας. συγκρίνεται με την πραγματική τιμή κριτηρίου για την εξίσωση παλινδρόμησης.

Εάν πληρούται η συνθήκη, τότε η λανθασμένη ανίχνευση μιας σύνδεσης με τιμή κριτηρίου ίση ή μεγαλύτερη σε ένα δείγμα από έναν γενικό πληθυσμό με άσχετες μεταβλητές θα συμβεί με πιθανότητα μικρότερη από το επίπεδο σημαντικότητας. Σύμφωνα με τον κανόνα «πολύ σπάνια γεγονόταδεν συμβαίνει», καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η σχέση μεταξύ των μεταβλητών που καθορίστηκαν στο δείγμα υπάρχει και στον γενικό πληθυσμό από τον οποίο προήλθε.

Εάν αποδειχθεί ότι είναι , τότε η εξίσωση παλινδρόμησης δεν είναι στατιστικά σημαντική. Με άλλα λόγια, υπάρχει πραγματική πιθανότητα το δείγμα να έχει δημιουργήσει μια σχέση μεταξύ μεταβλητών που δεν υπάρχει στην πραγματικότητα. Μια εξίσωση που αποτυγχάνει στο τεστ στατιστικής σημασίας αντιμετωπίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ένα φάρμακο που έχει λήξει.

Ti - τέτοια φάρμακα δεν είναι απαραίτητα αλλοιωμένα, αλλά επειδή δεν υπάρχει εμπιστοσύνη στην ποιότητά τους, προτιμούν να μην τα χρησιμοποιούν. Αυτός ο κανόνας δεν προστατεύει από όλα τα λάθη, αλλά σας επιτρέπει να αποφύγετε τα πιο σοβαρά, κάτι που είναι επίσης αρκετά σημαντικό.

Η δεύτερη επιλογή επαλήθευσης, πιο βολική κατά τη χρήση υπολογιστικών φύλλων, είναι η σύγκριση της πιθανότητας εμφάνισης της προκύπτουσας τιμής κριτηρίου με το επίπεδο σημαντικότητας. Εάν αυτή η πιθανότητα είναι κάτω από το επίπεδο σημαντικότητας, τότε η εξίσωση είναι στατιστικά σημαντική, διαφορετικά δεν είναι.

Μετά τον έλεγχο της στατιστικής σημασίας της εξίσωσης παλινδρόμησης στο σύνολό της, είναι γενικά χρήσιμο, ειδικά για πολυμεταβλητές εξαρτήσεις, να ελεγχθεί για τη στατιστική σημασία των λαμβανόμενων συντελεστών παλινδρόμησης. Η ιδεολογία της επαλήθευσης είναι η ίδια όπως κατά τον έλεγχο της εξίσωσης στο σύνολό της, αλλά το Student's t-test χρησιμοποιείται ως κριτήριο, το οποίο καθορίζεται από τους τύπους:

Και

όπου: , - τιμές του κριτηρίου του Μαθητή για τους συντελεστές και, αντίστοιχα.

- υπολειπόμενη διακύμανση της εξίσωσης παλινδρόμησης.

Αριθμός σημείων στο δείγμα.

Αριθμός μεταβλητών στο δείγμα, για γραμμική παλινδρόμηση κατά ζεύγη.

Οι λαμβανόμενες πραγματικές τιμές του κριτηρίου του Μαθητή συγκρίνονται με τιμές πίνακα , που προέκυψε από τη διανομή Student. Αν αποδειχθεί ότι , τότε ο αντίστοιχος συντελεστής είναι στατιστικά σημαντικός, διαφορετικά όχι. Η δεύτερη επιλογή για τον έλεγχο της στατιστικής σημαντικότητας των συντελεστών είναι ο προσδιορισμός της πιθανότητας εμφάνισης της δοκιμασίας του Student και η σύγκριση της με το επίπεδο σημαντικότητας.

Για μεταβλητές των οποίων οι συντελεστές αποδείχθηκαν στατιστικά ασήμαντοι, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα η επιρροή τους στην εξαρτημένη μεταβλητή στον πληθυσμό να απουσιάζει εντελώς. Επομένως, είναι απαραίτητο είτε να αυξηθεί ο αριθμός των σημείων στο δείγμα, τότε ίσως ο συντελεστής να γίνει στατιστικά σημαντικός και ταυτόχρονα να αποσαφηνιστεί η τιμή του, είτε να βρεθούν άλλες ως ανεξάρτητες μεταβλητές που σχετίζονται πιο στενά με την εξαρτημένη μεταβλητός. Σε αυτήν την περίπτωση, η ακρίβεια της πρόβλεψης θα αυξηθεί και στις δύο περιπτώσεις.

Ως ρητή μέθοδος για την αξιολόγηση της σημασίας των συντελεστών εξίσωσης παλινδρόμησης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος κανόνας: εάν το Student's t-test είναι μεγαλύτερο από 3, τότε ένας τέτοιος συντελεστής, κατά κανόνα, αποδεικνύεται στατιστικά σημαντικός. Σε γενικές γραμμές, πιστεύεται ότι για να ληφθεί στατιστικά σημαντικές εξισώσειςΗ παλινδρόμηση απαιτεί την ικανοποίηση της συνθήκης.

Τυπικό σφάλμα πρόβλεψης από την προκύπτουσα εξίσωση παλινδρόμησης άγνωστη τιμήόταν είναι γνωστό, υπολογίστε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Έτσι, μια πρόβλεψη με πιθανότητα εμπιστοσύνης 68% μπορεί να παρουσιαστεί ως:

Εάν απαιτείται άλλο πιθανότητα εμπιστοσύνης, τότε για το επίπεδο σημαντικότητας είναι απαραίτητο να βρεθεί το τεστ του Student και διάστημα εμπιστοσύνηςγια μια πρόβλεψη με επίπεδο αξιοπιστίας θα ισούται με .

Πρόβλεψη πολυδιάστατων και μη γραμμικών εξαρτήσεων

Εάν η προβλεπόμενη τιμή εξαρτάται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, τότε σε αυτήν την περίπτωση υπάρχει μια πολυμεταβλητή παλινδρόμηση της φόρμας:

όπου: - συντελεστές παλινδρόμησης που περιγράφουν την επίδραση των μεταβλητών στην προβλεπόμενη τιμή.

Η μέθοδος για τον προσδιορισμό των συντελεστών παλινδρόμησης δεν διαφέρει από τη ζευγαρωμένη γραμμική παλινδρόμηση, ειδικά όταν χρησιμοποιείται υπολογιστικό φύλλο, δεδομένου ότι η ίδια συνάρτηση χρησιμοποιείται εκεί για γραμμική παλινδρόμηση κατά ζεύγη και για πολυμεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση, είναι επιθυμητό να μην υπάρχουν σχέσεις μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών, δηλ. Η αλλαγή μιας μεταβλητής δεν επηρέασε τις τιμές άλλων μεταβλητών. Αλλά αυτή η απαίτηση δεν είναι υποχρεωτική· είναι σημαντικό να μην υπάρχουν λειτουργικές συναρτήσεις μεταξύ των μεταβλητών γραμμικές εξαρτήσεις. Με τις διαδικασίες που περιγράφονται παραπάνω για τον έλεγχο της στατιστικής σημασίας της προκύπτουσας εξίσωσης παλινδρόμησης και των επιμέρους συντελεστών της, η εκτίμηση της ακρίβειας πρόβλεψης παραμένει η ίδια όπως και στην περίπτωση της ζευγαρωμένης γραμμικής παλινδρόμησης. Ταυτόχρονα, η χρήση πολυμεταβλητών παλινδρόμησης αντί για ανά ζεύγη επιτρέπει συνήθως, με την κατάλληλη επιλογή μεταβλητών, να αυξηθεί σημαντικά η ακρίβεια περιγραφής της συμπεριφοράς της εξαρτημένης μεταβλητής και επομένως η ακρίβεια της πρόβλεψης.

Επιπλέον, οι πολυμεταβλητές γραμμικές εξισώσεις παλινδρόμησης καθιστούν δυνατή την περιγραφή της μη γραμμικής εξάρτησης της προβλεπόμενης τιμής από ανεξάρτητες μεταβλητές. Διαδικασία χύτευσης μη γραμμική εξίσωσηΠρος την γραμμική μορφήονομάζεται γραμμικοποίηση. Συγκεκριμένα, εάν αυτή η εξάρτηση περιγράφεται από ένα πολυώνυμο βαθμού διαφορετικό από το 1, τότε αντικαθιστώντας μεταβλητές με βαθμούς διαφορετικούς από τη μονάδα με νέες μεταβλητές πρώτου βαθμού, λαμβάνουμε ένα πολυμεταβλητό πρόβλημα γραμμικής παλινδρόμησης αντί για ένα μη γραμμικό. Έτσι, για παράδειγμα, εάν η επίδραση της ανεξάρτητης μεταβλητής περιγράφεται από μια παραβολή της μορφής

τότε η αντικατάσταση μας επιτρέπει να μετατρέψουμε το μη γραμμικό πρόβλημα σε ένα πολυδιάστατο γραμμικό της μορφής

Μπορεί να μετατραπεί το ίδιο εύκολα μη γραμμικά προβλήματαστην οποία προκύπτει μη γραμμικότητα λόγω του γεγονότος ότι η προβλεπόμενη τιμή εξαρτάται από το γινόμενο ανεξάρτητων μεταβλητών. Για να ληφθεί υπόψη μια τέτοια επιρροή, είναι απαραίτητο να εισαχθεί μια νέα μεταβλητή ίση με αυτό το γινόμενο.

Σε περιπτώσεις όπου η μη γραμμικότητα περιγράφεται περισσότερο σύνθετες εξαρτήσεις, η γραμμικοποίηση είναι δυνατή λόγω του μετασχηματισμού συντεταγμένων. Για το σκοπό αυτό υπολογίζονται οι τιμές και κατασκευάζονται γραφήματα της εξάρτησης των αρχικών σημείων σε διάφορους συνδυασμούς μετασχηματισμένων μεταβλητών. Αυτός ο συνδυασμός μετασχηματισμένων συντεταγμένων ή μετασχηματισμένων και μη μετασχηματισμένων συντεταγμένων στις οποίες η εξάρτηση είναι πιο κοντά σε μια ευθεία γραμμή προκαλεί μια αλλαγή μεταβλητών που θα οδηγήσει στον μετασχηματισμό μιας μη γραμμικής εξάρτησης σε μια γραμμική μορφή. Για παράδειγμα, μια μη γραμμική εξάρτηση της φόρμας

μετατρέπεται σε γραμμική μορφή

Οι προκύπτοντες συντελεστές παλινδρόμησης για τη μετασχηματισμένη εξίσωση παραμένουν αμερόληπτοι και αποτελεσματικοί, αλλά ο έλεγχος της στατιστικής σημασίας της εξίσωσης και των συντελεστών δεν είναι δυνατός

Έλεγχος της εγκυρότητας της μεθόδου ελάχιστα τετράγωνα

Η χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων διασφαλίζει την αποτελεσματικότητα και τις αμερόληπτες εκτιμήσεις των συντελεστών εξίσωσης παλινδρόμησης, με την επιφύλαξη παρακάτω συνθήκες(Συνθήκες Gauss-Markov):

3. Οι τιμές δεν εξαρτώνται η μία από την άλλη

4. Οι τιμές δεν εξαρτώνται από ανεξάρτητες μεταβλητές

Ο ευκολότερος τρόπος για να ελέγξετε εάν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις είναι να σχεδιάσετε τα υπολείμματα ως συνάρτηση του και στη συνέχεια ως συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής. Εάν τα σημεία σε αυτά τα γραφήματα βρίσκονται σε ένα διάδρομο που βρίσκεται συμμετρικά προς τον άξονα x και δεν είναι ορατά σχέδια στη θέση των σημείων, τότε οι συνθήκες Gauss-Markov πληρούνται και δεν υπάρχει ευκαιρία να βελτιωθεί η ακρίβεια της παλινδρόμησης εξίσωση. Εάν αυτό δεν συμβαίνει, τότε είναι δυνατό να βελτιωθεί σημαντικά η ακρίβεια της εξίσωσης και για αυτό είναι απαραίτητο να στραφεί σε εξειδικευμένη βιβλιογραφία.

Τελικές δοκιμές στην οικονομετρία

1. Η σημασία των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης εκτιμάται με βάση:

Α) t - Τεστ του μαθητή.

β) Fisher-Snedecor F-test.

γ) μέσο τετραγωνικό σφάλμα.

δ) μέσο σφάλμα προσέγγισης.

2. Ο συντελεστής παλινδρόμησης στην εξίσωση που χαρακτηρίζει τη σχέση μεταξύ του όγκου των πωληθέντων προϊόντων (εκατομμύρια ρούβλια) και του κέρδους των επιχειρήσεων της αυτοκινητοβιομηχανίας για το έτος (εκατομμύρια ρούβλια) σημαίνει ότι με αύξηση του όγκου των προϊόντων που πωλήθηκαν κατά 1 εκατομμύρια ρούβλια το κέρδος αυξάνεται κατά:

δ) 0,5 εκατ. τρίψιμο.;

γ) 500 χιλιάδες. τρίψιμο.;

Δ) 1,5 εκατομμύρια ρούβλια.

3. Ο λόγος συσχέτισης (δείκτης συσχέτισης) μετρά τον βαθμό εγγύτητας της σύνδεσης μεταξύ Χ καιΥ:

α) μόνο με μη γραμμική μορφή εξάρτησης.

Β) για οποιαδήποτε μορφή εθισμού.

γ) μόνο για γραμμική εξάρτηση.

4. Σύμφωνα με την κατεύθυνση επικοινωνίας υπάρχουν:

α) μέτρια·

Β) ευθεία?

γ) ευθεία.

5. Με βάση 17 παρατηρήσεις, κατασκευάστηκε μια εξίσωση παλινδρόμησης:
. Για να ελέγξουμε τη σημασία της εξίσωσης, υπολογίσαμεπαρατηρούμενη τιμήt- στατιστικά: 3.9. Συμπέρασμα:

Α) Η εξίσωση είναι σημαντική στο α = 0,05;

β) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a = 0,01.

γ) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a = 0,05.

6. Ποιες είναι οι συνέπειες της παραβίασης της υπόθεσης OLS «μαθηματικής προσδοκίας» υπολείμματα παλινδρόμησηςίσο με μηδέν";

Α) Μεροληπτικές εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

β) Αποτελεσματικές αλλά ασυνεπείς εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

γ) Αναποτελεσματικές εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

δ) Ασυνεπείς εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

7. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής αν τα υπολείμματα είναι ετεροσκεδαστικά;

Α) Τα συμπεράσματα που βασίζονται σε στατιστικές t και F είναι αναξιόπιστα.

δ) Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης είναι μεροληπτικές.

8. Σε τι βασίζεται το τεστ; συσχέτιση κατάταξηςΑκοντιστής?

Α) Χρήση t – στατιστικών.

γ) Σε χρήση ;

9. Σε τι βασίζεται το White test;

β) Χρήση στατιστικών F.

Β) Σε χρήση ;

δ) Περί γραφικής ανάλυσης υπολειμμάτων.

10. Ποια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξάλειψη της αυτοσυσχέτισης;

11. Πώς ονομάζεται η παραβίαση της υπόθεσης σταθερής διακύμανσης υπολειμμάτων;

α) Πολυσυγγραμμικότητα.

β) Αυτοσυσχέτιση.

Β) Ετεροσκεδαστικότητα.

δ) Ομοσκεδαστικότητα.

12. Οι εικονικές μεταβλητές εισάγονται σε:

α) μόνο σε γραμμικά μοντέλα.

β) μόνο σε πολλαπλή μη γραμμική παλινδρόμηση.

γ) μόνο σε μη γραμμικά μοντέλα;

Δ) τόσο γραμμικά όσο και μη γραμμικά μοντέλα ανάγονται σε γραμμική μορφή.

13. Αν στον πίνακα των ζευγών συντελεστές συσχέτισης υπάρχουν
, τότε αυτό δείχνει:

Α) Σχετικά με την παρουσία πολυσυγγραμμικότητας.

β) Σχετικά με την απουσία πολυσυγγραμμικότητας.

γ) Σχετικά με την παρουσία αυτοσυσχέτισης.

δ) Περί απουσίας ετεροσκεδαστικότητας.

14. Ποιο μέτρο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απαλλαγούμε από την πολυσυγγραμμικότητα;

α) Αύξηση του μεγέθους του δείγματος.

Δ) Μετασχηματισμός της τυχαίας συνιστώσας.

15. Αν
και η κατάταξη του πίνακα Α είναι μικρότερη από (K-1) τότε η εξίσωση είναι:

α) υπεραναγνωρισμένος·

Β) αγνώστων στοιχείων.

γ) προσδιορίζονται με ακρίβεια.

16. Η εξίσωση παλινδρόμησης έχει τη μορφή:

ΕΝΑ)
;

σι)
;

V)
.

17.Ποιο είναι το πρόβλημα της αναγνώρισης μοντέλου;

Α) λήψη μοναδικά καθορισμένων παραμέτρων του μοντέλου που καθορίζονται από ένα σύστημα ταυτόχρονων εξισώσεων.

β) επιλογή και εφαρμογή μεθόδων για στατιστική εκτίμηση άγνωστων παραμέτρων του μοντέλου με τη χρήση αρχικών στατιστικών δεδομένων.

γ) έλεγχος της καταλληλότητας του μοντέλου.

18. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων μιας εξίσωσης που υπεραναγνωρίζεται;

Β) DMNK, CMNK;

19. Αν μια ποιοτική μεταβλητή έχεικεναλλακτικές τιμές, στη συνέχεια χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα στη μοντελοποίηση:

Α) (k-1) εικονική μεταβλητή.

β) μεταβλητές kdummy.

γ) (k+1) εικονική μεταβλητή.

20. Η ανάλυση της εγγύτητας και της κατεύθυνσης των συνδέσεων μεταξύ δύο χαρακτηριστικών πραγματοποιείται με βάση:

Α) συντελεστής συσχέτισης ζεύγους.

β) συντελεστής προσδιορισμού.

γ) πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης.

21. Σε γραμμική εξίσωση Χ = ΕΝΑ 0 +α 1 Ο συντελεστής παλινδρόμησης x δείχνει:

α) εγγύτητα επικοινωνίας·

β) το ποσοστό διακύμανσης "Y" που εξαρτάται από το "X".

Γ) πόσο κατά μέσο όρο θα αλλάξει το "Y" όταν το "Χ" αλλάξει κατά μία μονάδα;

δ) σφάλμα του συντελεστή συσχέτισης.

22. Ποιος δείκτης χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του μέρους της μεταβολής που οφείλεται σε αλλαγές στην τιμή του παράγοντα που μελετάται;

α) συντελεστής διακύμανσης·

β) συντελεστής συσχέτισης.

Β) συντελεστής προσδιορισμού.

δ) συντελεστής ελαστικότητας.

23. Ο συντελεστής ελαστικότητας δείχνει:

Α) κατά πόσο% θα αλλάξει η τιμή του y όταν το x αλλάξει κατά 1%;

β) κατά πόσες μονάδες της μέτρησής του θα αλλάξει η τιμή του y όταν το x μεταβάλλεται κατά 1%.

γ) κατά πόσο % θα αλλάξει η τιμή του y όταν το x αλλάζει κατά μονάδα. η διάστασή του.

24. Ποιες μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας?

Α) Δοκιμή Golfeld-Quandt.

Β) Τεστ συσχέτισης βαθμού Spearman.

γ) Δοκιμή Durbin-Watson.

25. Σε τι βασίζεται το τεστ Holfeld-Quandt;

α) Χρήση t-statistics.

Β) Χρήση F – στατιστικών.

γ) Σε χρήση ;

δ) Περί γραφικής ανάλυσης υπολειμμάτων.

26. Ποιες μέθοδοι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξάλειψη της αυτοσυσχέτισης των υπολειμμάτων;

α) Γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

Β) Μέθοδος σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων.

Γ) Μέθοδος μέγιστης πιθανότητας.

Δ) Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δύο βημάτων.

27. Πώς ονομάζεται η παραβίαση της παραδοχής της ανεξαρτησίας των υπολειμμάτων;

α) Πολυσυγγραμμικότητα.

Β) Αυτοσυσχέτιση;

γ) Ετεροσκεδαστικότητα.

δ) Ομοσκεδαστικότητα.

28. Ποια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξάλειψη της ετεροσκεδαστικότητας;

Α) Γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

β) Μέθοδος σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων.

γ) Μέθοδος μέγιστης πιθανότητας.

δ) Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δύο βημάτων.

30. Αν σύμφωνα μεt-κριτήριο, οι περισσότεροι συντελεστές παλινδρόμησης είναι στατιστικά σημαντικοί και το μοντέλο στο σύνολό τουφά- το κριτήριο είναι ασήμαντο, αυτό μπορεί να υποδεικνύει:

α) Πολυσυγγραμμικότητα.

Β) Σχετικά με την αυτοσυσχέτιση των υπολειμμάτων.

γ) Σχετικά με την ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων.

δ) Αυτή η επιλογή είναι αδύνατη.

31. Είναι δυνατόν να απαλλαγούμε από την πολυσυγγραμμικότητα χρησιμοποιώντας μετασχηματισμό μεταβλητής;

α) Αυτό το μέτρο είναι αποτελεσματικό μόνο εάν αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος.

32. Χρησιμοποιώντας ποια μέθοδο μπορεί κανείς να βρει εκτιμήσεις της παραμέτρου μιας εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης:

Α) μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου.

β) ανάλυση συσχέτισης και παλινδρόμησης.

γ) ανάλυση διασποράς.

33. Κατασκευάστηκε μια εξίσωση πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης με εικονικές μεταβλητές. Για να ελέγξετε τη σημασία των επιμέρους συντελεστών, χρησιμοποιήστε διανομή:

α) Κανονικό.

β) Τεστ μαθητή.

γ) Pearson;

δ) Fischer-Snedecor.

34. Αν
και η κατάταξη του πίνακα Α είναι μεγαλύτερη από (K-1) τότε η εξίσωση είναι:

Α) υπεραναγνωρισμένος·

β) αγνώστων στοιχείων·

γ) προσδιορίζονται με ακρίβεια.

35. Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός επακριβώς προσδιορισμένου συστήματος εξισώσεων, χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα:

α) DMNK, CMNK;

β) DMNK, MNK, CMNK;

36. Το κριτήριο Chow βασίζεται στην εφαρμογή:

Α) F - στατιστικές.

β) t - στατιστικές.

γ) Κριτήρια Durbin-Watson.

37. Οι εικονικές μεταβλητές μπορούν να λάβουν τις ακόλουθες τιμές:

δ) τυχόν τιμές.

39. Με βάση 20 παρατηρήσεις, κατασκευάστηκε μια εξίσωση παλινδρόμησης:
. Για να ελεγχθεί η σημασία της εξίσωσης, υπολογίστηκε η τιμή της στατιστικής:4.2. Συμπεράσματα:

α) Η εξίσωση είναι σημαντική στο a=0,05.

β) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a=0,05.

γ) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a=0,01.

40. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι αληθής όταν τα υπολείμματα είναι ετεροσκεδαστικά;

α) Τα συμπεράσματα που βασίζονται σε στατιστικές t και F είναι αναξιόπιστα.

β) Η ετεροσκεδαστικότητα εκδηλώνεται μέσω μιας χαμηλής τιμής της στατιστικής Durbin-Watson.

γ) Με την ετεροσκεδαστικότητα, οι εκτιμήσεις παραμένουν αποτελεσματικές.

δ) Οι εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές.

41. Το τεστ Chow βασίζεται στη σύγκριση:

Α) διακυμάνσεις.

β) συντελεστές προσδιορισμού.

γ) μαθηματικές προσδοκίες.

δ) μέσος όρος.

42. Αν στο τεστ Chow
τότε θεωρείται:

Α) ότι η κατάτμηση σε υποδιαστήματα είναι σκόπιμη από την άποψη της βελτίωσης της ποιότητας του μοντέλου.

β) το μοντέλο είναι στατιστικά ασήμαντο.

γ) το μοντέλο είναι στατιστικά σημαντικό.

δ) ότι δεν έχει νόημα να χωριστεί το δείγμα σε μέρη.

43. Οι εικονικές μεταβλητές είναι μεταβλητές:

α) υψηλής ποιότητας·

β) τυχαία?

Β) ποσοτική?

δ) λογικό.

44. Ποια από τις παρακάτω μεθόδους δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό αυτοσυσχέτισης;

α) Μέθοδος σειράς.

β) Δοκιμή Durbin-Watson.

γ) Τεστ συσχέτισης βαθμού Spearman.

Δ) Τεστ του White.

45. Η απλούστερη δομική μορφή του μοντέλου είναι:

ΕΝΑ)

σι)

V)

ΣΟΛ)
.

46. ​​Ποια μέτρα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να απαλλαγούμε από την πολυσυγγραμμικότητα;

α) Αύξηση του μεγέθους του δείγματος.

β) Εξαίρεση μεταβλητών που έχουν υψηλή συσχέτιση με άλλες.

γ) Αλλαγή προδιαγραφών μοντέλου.

δ) Μετασχηματισμός της τυχαίας συνιστώσας.

47. Αν
και η κατάταξη του πίνακα Α είναι (K-1) τότε η εξίσωση είναι:

α) υπεραναγνωρισμένος·

β) αγνώστων στοιχείων·

Β) προσδιορίζονται με ακρίβεια.

48. Το μοντέλο θεωρείται αναγνωρισμένο εάν:

α) μεταξύ των εξισώσεων του μοντέλου υπάρχει τουλάχιστον μία κανονική.

Β) κάθε εξίσωση του συστήματος είναι αναγνωρίσιμη.

γ) μεταξύ των εξισώσεων του μοντέλου υπάρχει τουλάχιστον μία άγνωστη.

δ) μεταξύ των εξισώσεων του μοντέλου υπάρχει τουλάχιστον μία υπερταυτοποιημένη.

49. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων μιας μη αναγνωρισμένης εξίσωσης;

α) DMNK, CMNK;

β) DMNK, MNK;

Γ) οι παράμετροι μιας τέτοιας εξίσωσης δεν μπορούν να εκτιμηθούν.

50. Στη διασταύρωση ποιων τομέων γνώσης προέκυψε η οικονομετρία:

Α) οικονομική θεωρία. οικονομική και μαθηματικά στατιστικά;

β) οικονομική θεωρία, μαθηματικές στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.

γ) οικονομική και μαθηματική στατιστική, θεωρία πιθανοτήτων.

51. Σε μια εξίσωση πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές παλινδρόμησης κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας την κατανομή:

α) Κανονικό.

Β) Φοιτητής;

γ) Pearson;

δ) Fischer-Snedecor.

52. Με βάση 16 παρατηρήσεις, κατασκευάστηκε μια ζευγαρωμένη γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης. Γιαδοκιμάζοντας τη σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης που υπολογίστηκεt για 6l =2.5.

α) Ο συντελεστής είναι ασήμαντος στο a=0,05.

β) Ο συντελεστής είναι σημαντικός στο a=0,05.

γ) Ο συντελεστής είναι σημαντικός στο a=0,01.

53. Είναι γνωστό ότι μεταξύ ποσοτήτωνΧΚαιΥυπάρχειθετική σύνδεση. Σε ποια έκτασηβρέθηκε ο συντελεστής συσχέτισης ζεύγους;

α) από -1 έως 0.

β) από 0 έως 1.

Β) από –1 έως 1.

54. Ο πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης είναι 0,9. Τι ποσοστόη διακύμανση του προκύπτοντος χαρακτηριστικού εξηγείται από την επιρροή όλωνσημάδια παράγοντα;

55. Ποια από τις παρακάτω μεθόδους δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας?

Α) Δοκιμή Golfeld-Quandt.

β) Τεστ συσχέτισης βαθμού Spearman.

γ) μέθοδος σειράς.

56. Η μειωμένη μορφή του υποδείγματος είναι:

α) ένα σύστημα μη γραμμικών συναρτήσεων εξωγενών μεταβλητών από ενδογενείς.

Β) σύστημα γραμμικές συναρτήσειςενδογενείς μεταβλητές από εξωγενείς.

γ) ένα σύστημα γραμμικών συναρτήσεων εξωγενών μεταβλητών από ενδογενείς.

δ) ένα σύστημα κανονικών εξισώσεων.

57. Μέσα σε ποια όρια αλλάζει ο συντελεστής μερικής συσχέτισης που υπολογίζεται με χρήση αναδρομικών τύπων;

α) από - σε + ;

β) από 0 έως 1.

γ) από 0 έως + ;

Δ) από –1 έως +1.

58. Μέσα σε ποια όρια μεταβάλλεται ο συντελεστής μερικής συσχέτισης που υπολογίζεται μέσω του συντελεστή προσδιορισμού;

α) από - σε + ;

Β) από 0 έως 1.

γ) από 0 έως + ;

δ) από –1 έως +1.

59. Εξωγενείς μεταβλητές:

α) εξαρτημένες μεταβλητές.

Β) ανεξάρτητες μεταβλητές.

61. Όταν προστίθεται ένας άλλος επεξηγηματικός παράγοντας στην εξίσωση παλινδρόμησης, ο πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης είναι:

α) θα μειωθεί·

β) θα αυξηθεί?

γ) θα διατηρήσει το νόημά του.

62. Κατασκευάστηκε μια υπερβολική εξίσωση παλινδρόμησης:Υ= ένα+ σι/ Χ. ΓιαΓια να ελέγξουμε τη σημασία της εξίσωσης, χρησιμοποιείται η κατανομή:

α) Κανονικό.

Β) Φοιτητής;

γ) Pearson;

δ) Fischer-Snedecor.

63. Για ποιους τύπους συστημάτων μπορούν να βρεθούν οι παράμετροι των επιμέρους οικονομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την παραδοσιακή μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων;

α) ένα σύστημα κανονικών εξισώσεων.

Β) ένα σύστημα ανεξάρτητων εξισώσεων.

Γ) ένα σύστημα αναδρομικών εξισώσεων.

Δ) ένα σύστημα αλληλοεξαρτώμενων εξισώσεων.

64. Ενδογενείς μεταβλητές:

Α) εξαρτημένες μεταβλητές.

β) ανεξάρτητες μεταβλητές.

γ) χρονολογείται σε προηγούμενα χρονικά σημεία.

65. Μέσα σε ποια όρια αλλάζει ο συντελεστής προσδιορισμού;

α) από 0 έως + ;

β) από - σε + ;

Β) από 0 έως +1.

δ) από -l έως +1.

66. Έχει κατασκευαστεί μια εξίσωση πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης. Για να ελέγξετε τη σημασία των επιμέρους συντελεστών, χρησιμοποιήστε διανομή:

α) Κανονικό.

β) Τεστ μαθητή.

γ) Pearson;

Δ) Fischer-Snedecor.

67. Όταν προστίθεται ένας άλλος επεξηγηματικός παράγοντας στην εξίσωση παλινδρόμησης, ο συντελεστής προσδιορισμού:

α) θα μειωθεί·

Β) θα αυξηθεί?

γ) θα διατηρήσει το νόημά του.

δ) δεν θα μειωθεί.

68. Η ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι ότι:

Α) η εκτίμηση προσδιορίζεται από την προϋπόθεση της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων των δεδομένων του δείγματος από την καθορισμένη εκτίμηση.

β) η εκτίμηση προσδιορίζεται από την προϋπόθεση της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των αποκλίσεων των δεδομένων του δείγματος από την καθορισμένη εκτίμηση.

γ) η εκτίμηση προσδιορίζεται από την προϋπόθεση της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων του μέσου όρου του δείγματος από τη διακύμανση του δείγματος.

69. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει η παραβολή:

73. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει η εκθετική καμπύλη:

74. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει μια συνάρτηση της μορφής ŷ;
:

Α) παλινδρομήσεις που είναι μη γραμμικές ως προς τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην ανάλυση, αλλά γραμμικές ως προς τις εκτιμώμενες παραμέτρους.

β) μη γραμμικές παλινδρομήσεις στις εκτιμώμενες παραμέτρους.

78. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει μια συνάρτηση της μορφής ŷ;
:

α) παλινδρομήσεις που είναι μη γραμμικές ως προς τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην ανάλυση, αλλά γραμμικές ως προς τις εκτιμώμενες παραμέτρους·

Β) μη γραμμικές παλινδρομήσεις στις εκτιμώμενες παραμέτρους.

79. Στην εξίσωση παλινδρόμησης με τη μορφή υπερβολής ŷ
αν η τιμήσι >0 , Οτι:

Α) με αύξηση του χαρακτηριστικού παράγοντα Χπροκύπτουσες τιμές χαρακτηριστικών στομειώνονται αργά και με x→∞μέση αξία στοθα είναι ίσοι ΕΝΑ;

β) τότε η τιμή του προκύπτοντος πρόσημου στοαυξάνεται με αργή ανάπτυξη καθώς αυξάνεται το χαρακτηριστικό του παράγοντα Χ, και στο x→∞

81. Ο συντελεστής ελαστικότητας προσδιορίζεται από τον τύπο

Α) Γραμμική συνάρτηση.

β) Παραβολές.

γ) Υπερβολές.

δ) Εκθετική καμπύλη.

ε) Ισχύς.

82. Ο συντελεστής ελαστικότητας προσδιορίζεται από τον τύπο
για ένα μοντέλο παλινδρόμησης με τη μορφή:

α) Γραμμική συνάρτηση.

Β) Παραβολές.

γ) Υπερβολές.

δ) Εκθετική καμπύλη.

ε) Ισχύς.

86. Εξίσωση
που ονομάζεται:

Α) γραμμική τάση.

β) παραβολική τάση.

γ) υπερβολική τάση.

δ) εκθετική τάση.

89. Εξίσωση
που ονομάζεται:

α) γραμμική τάση.

β) παραβολική τάση.

γ) υπερβολική τάση.

Δ) εκθετική τάση.

90. Τύποι συστημάτων που ονομάζεται:

Α) ένα σύστημα ανεξάρτητων εξισώσεων.

β) ένα σύστημα αναδρομικών εξισώσεων.

γ) ένα σύστημα αλληλοεξαρτώμενων (κοινών, ταυτόχρονων) εξισώσεων.

93. Η οικονομετρία μπορεί να οριστεί ως:

Α) είναι ένας ανεξάρτητος επιστημονικός κλάδος που συνδυάζει ένα σύνολο θεωρητικών αποτελεσμάτων, τεχνικών, μεθόδων και μοντέλων σχεδιασμένων ώστε, βάσει οικονομικής θεωρίας, οικονομικών στατιστικών και μαθηματικών και στατιστικών εργαλείων, να δίνουν μια συγκεκριμένη ποσοτική έκφραση σε γενικά (ποιοτικά) πρότυπα καθορίζεται από την οικονομική θεωρία?

Β) την επιστήμη των οικονομικών μετρήσεων.

Β) στατιστική ανάλυση οικονομικών δεδομένων.

94. Τα καθήκοντα της οικονομετρίας περιλαμβάνουν:

Α) πρόβλεψη οικονομικών και κοινωνικοοικονομικών δεικτών που χαρακτηρίζουν την κατάσταση και την ανάπτυξη του αναλυόμενου συστήματος·

Β) προσομοίωση πιθανών σεναρίων για την κοινωνικοοικονομική ανάπτυξη του συστήματος για τον προσδιορισμό του τρόπου με τον οποίο οι προγραμματισμένες αλλαγές σε ορισμένες ελεγχόμενες παραμέτρους θα επηρεάσουν τα χαρακτηριστικά παραγωγής.

γ) έλεγχος υποθέσεων με χρήση στατιστικών δεδομένων.

95. Οι σχέσεις διακρίνονται από τη φύση τους:

Α) λειτουργική και συσχετιστική.

β) λειτουργική, καμπυλόγραμμη και ευθύγραμμη.

γ) συσχέτιση και αντίστροφη.

δ) στατιστική και άμεση.

96. Σε άμεση σχέση με την αύξηση ενός χαρακτηριστικού παράγοντα:

α) το αποτελεσματικό πρόσημο μειώνεται.

β) το σήμα που προκύπτει δεν αλλάζει.

Γ) το αποτελεσματικό πρόσημο αυξάνεται.

97. Ποιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της παρουσίας, της φύσης και της κατεύθυνσης των σχέσεων στις στατιστικές;

α) μέσες τιμές·

Β) Σύγκριση παράλληλων σειρών.

Γ) αναλυτική μέθοδος ομαδοποίησης.

δ) σχετικές τιμές.

Δ) γραφική μέθοδος.

98. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της μορφής επιρροής ενός παράγοντα σε έναν άλλο;

α) ανάλυση συσχέτισης.

Β) ανάλυση παλινδρόμησης.

γ) ανάλυση ευρετηρίου.

δ) ανάλυση διασποράς.

99. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την ποσοτικοποίηση της ισχύος της επίδρασης ενός παράγοντα σε έναν άλλο:

Α) ανάλυση συσχέτισης.

β) ανάλυση παλινδρόμησης.

γ) μέθοδος των μέσων όρων.

δ) ανάλυση διασποράς.

100. Ποιοι δείκτες υπάρχουν ως προς την τιμή τους που κυμαίνεται από μείον έως συν ένα:

α) συντελεστής προσδιορισμού·

β) σχέση συσχέτισης.

Β) συντελεστής γραμμικής συσχέτισης.

101. Ο συντελεστής παλινδρόμησης για ένα μοντέλο ενός παράγοντα δείχνει:

Α) κατά πόσες μονάδες αλλάζει η συνάρτηση όταν το όρισμα αλλάζει κατά μία μονάδα.

β) κατά πόσο αλλάζει η συνάρτηση ανά μονάδα σε όρισμα.

102. Ο συντελεστής ελαστικότητας δείχνει:

α) κατά πόσο αλλάζει η συνάρτηση με μια αλλαγή στο όρισμα κατά μία μονάδα της μέτρησής της;

Β) κατά πόσο αλλάζει η συνάρτηση με μια αλλαγή στο όρισμα κατά 1%;

γ) κατά πόσες μονάδες της μέτρησής της αλλάζει η συνάρτηση με μεταβολή του ορίσματος κατά 1%.

105. Η τιμή του δείκτη συσχέτισης ίση με 0,087 δείχνει:

Α) για την ασθενή εξάρτησή τους.

β) για μια ισχυρή σχέση.

γ) για λάθη στους υπολογισμούς.

107. Η τιμή του συντελεστή συσχέτισης ζεύγους ίση με 1,12 δείχνει:

α) για την αδύναμη εξάρτησή τους·

β) για μια ισχυρή σχέση.

Γ) για λάθη στους υπολογισμούς.

109. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς μπορούν να είναι οι τιμές του συντελεστή συσχέτισης ζεύγους:

111. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς μπορούν να είναι οι τιμές του πολλαπλού συντελεστή συσχέτισης:

115. Να χαρακτηρίσετε τη σωστή μορφή της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης:

α) ŷ
;

με
;

γ) ŷ
;

Δ) ŷ
.