• φροντιστήριο

Ολοι καλή μέρα. Σε αυτό το άρθρο θέλω να δείξω μια από τις γραφικές μεθόδους κατασκευής μαθηματικά μοντέλαγια δυναμικά συστήματα, που ονομάζεται γράφημα ομολόγου(«δεσμός» - συνδέσεις, «γράφημα» - γράφημα). Στη ρωσική βιβλιογραφία, βρήκα περιγραφές αυτής της μεθόδου μόνο στον Οδηγό Σπουδών Tomsky πολυτεχνείο, A.V. Voronin "MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008. Δείξτε επίσης την κλασική μέθοδο μέσω της εξίσωσης Lagrange του 2ου είδους.

Μέθοδος Lagrange

Δεν θα ζωγραφίσω τη θεωρία, θα δείξω τα στάδια των υπολογισμών και με λίγα σχόλια. Προσωπικά, μου φαίνεται πιο εύκολο να μάθω από παραδείγματα παρά να διαβάσω τη θεωρία 10 φορές. Μου φάνηκε ότι στη ρωσική λογοτεχνία, η εξήγηση αυτής της μεθόδου, και μάλιστα των μαθηματικών ή της φυσικής, είναι πολύ πλούσια σύνθετους τύπους, που αναλόγως απαιτεί σοβαρό μαθηματικό υπόβαθρο. Κατά τη μελέτη της μεθόδου Lagrange (σπούδαζα στο Πολυτεχνείο του Τορίνο, Ιταλία), σπούδασα ρωσική λογοτεχνία για να συγκρίνω μεθόδους υπολογισμού και ήταν δύσκολο για μένα να παρακολουθήσω την πρόοδο της επίλυσης αυτής της μεθόδου. Ακόμα και να θυμάμαι μαθήματα μόντελινγκ στο Χάρκοβο ινστιτούτο αεροπορίας», το αποτέλεσμα τέτοιων μεθόδων ήταν πολύ δυσκίνητο και κανείς δεν μπήκε στον κόπο να προσπαθήσει να κατανοήσει αυτό το ζήτημα. Αυτό αποφάσισα να γράψω, ένα εγχειρίδιο για την κατασκευή μοντέλων χαλιών σύμφωνα με τον Lagrange, όπως αποδείχθηκε, δεν είναι καθόλου δύσκολο, αρκεί να γνωρίζουμε πώς να υπολογίζουμε παράγωγα χρόνου και μερικές παραγώγους. Για πιο σύνθετα μοντέλα, προστίθενται πίνακες περιστροφής, αλλά δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτούς.

Χαρακτηριστικά των μεθόδων μοντελοποίησης:

• Νιούτον Όιλερ: διανυσματικές εξισώσεις που βασίζονται στη δυναμική ισορροπία δυνάμεις (δύναμη)και στιγμές
• Lagrange: βαθμωτές εξισώσεις που βασίζονται σε συναρτήσεις κατάστασης που σχετίζονται με την κινητική και το δυναμικό ενέργεια
• γράφημα ομολόγου: μέθοδος με βάση τη ροή δύναμη (δύναμη)μεταξύ των στοιχείων του συστήματος

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα. Βάρος με ελατήριο και αμορτισέρ. Παραμελούμε τη δύναμη της βαρύτητας.

Εικ. 1. Βάρος με ελατήριο και αμορτισέρ

Πρώτα από όλα ορίζουμε:

• αρχικό σύστημασυντεταγμένες(NSK) ή σταθερό σκ R0(i0,j0,k0). Οπου? Μπορείτε να σπρώξετε το δάχτυλό σας στον ουρανό, αλλά τινάζοντας τις άκρες των νευρώνων στον εγκέφαλο, περνάει η ιδέα να βάλετε το NSC στη γραμμή κίνησης του σώματος M1.
• συστήματα συντεταγμένων για κάθε σώμα με μάζα(έχουμε Μ1 R1(i1,j1,k1)), ο προσανατολισμός μπορεί να είναι αυθαίρετος, αλλά γιατί να περιπλέκετε τη ζωή σας, τον ορίζουμε με ελάχιστη διαφορά από το NSC
• γενικευμένες συντεταγμένες q_i (ελάχιστο ποσόμεταβλητές που μπορούν να περιγράψουν την κίνηση), στο αυτό το παράδειγμαμία γενικευμένη συντεταγμένη, κίνηση μόνο κατά μήκος του άξονα j

Εικ. 2. Καταχώρηση συστημάτων συντεταγμένων και γενικευμένων συντεταγμένων

Εικ. 3. Θέση και ταχύτητα του σώματος Μ1

Αφού βρούμε την κινητική (C) και τη δυναμική (P) ενέργεια και τη συνάρτηση διάχυσης (D) για τον αποσβεστήρα σύμφωνα με τους τύπους:

Εικ. 4. Πλήρης φόρμουλακινητική ενέργεια

Στο παράδειγμά μας, δεν υπάρχει περιστροφή, το δεύτερο στοιχείο είναι 0.

Εικόνα 5. Υπολογισμός κινητικής, δυναμική ενέργειακαι διασκορπιστική λειτουργία

Η εξίσωση Lagrange έχει την εξής μορφή:

Εικ. 6. Εξίσωση Lagrange και Lagrange

Δέλτα W_iαυτό είναι εικονική εργασίατελειοποιούνται από εφαρμοζόμενες δυνάμεις και ροπές. Ας το βρούμε:

Εικ. 7. Υπολογισμός εικονικής εργασίας

Οπου δέλτα q_1εικονική κίνηση.

Αντικαθιστούμε τα πάντα στην εξίσωση Lagrange:

Εικόνα 8. Το προκύπτον μοντέλο μάζας με ελατήριο και αποσβεστήρα

Εδώ τελείωσε η μέθοδος Lagrange. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν είναι τόσο δύσκολο, αλλά αυτό εξακολουθεί να είναι ένα πολύ απλό παράδειγμα, για το οποίο η μέθοδος Newton-Euler πιθανότατα θα ήταν ακόμη πιο απλή. Για πιο πολύπλοκα συστήματα, όπου θα υπάρχουν πολλά σώματα που θα περιστρέφονται μεταξύ τους σε διαφορετικές γωνίες, η μέθοδος Lagrange θα είναι ευκολότερη.

Μέθοδος γραφήματος ομολόγων

Θα σας δείξω αμέσως πώς φαίνεται το μοντέλο στο γράφημα δεσμών για ένα παράδειγμα με μάζα ελατηρίου και αποσβεστήρα:

Εικ. 9. Μάζα γραφήματος δεσμού με ελατήριο και αποσβεστήρα

Εδώ πρέπει να πούμε μια μικρή θεωρία, η οποία είναι αρκετή για να φτιάξουμε απλά μοντέλα. Αν κάποιος ενδιαφέρεται, μπορεί να διαβάσει το βιβλίο ( Μεθοδολογία γραφήματος ομολόγων) ή ( Voronin A.V. Μοντελοποίηση μηχατρονικών συστημάτων: φροντιστήριο. - Tomsk: Publishing House of Tomsk Polytechnic University, 2008).

Ας το ορίσουμε πρώτα αυτό πολύπλοκα συστήματααποτελείται από πολλούς τομείς. Για παράδειγμα, ένας ηλεκτροκινητήρας αποτελείται από ηλεκτρικά και μηχανικά μέρη ή τομείς.

γράφημα ομολόγουβασίζεται στην ανταλλαγή ισχύος μεταξύ αυτών των τομέων, υποσυστημάτων. Σημειώστε ότι η ανταλλαγή ισχύος, οποιασδήποτε μορφής, καθορίζεται πάντα από δύο μεταβλητές ( μεταβλητές δυνάμεις) με το οποίο μπορούμε να μελετήσουμε την αλληλεπίδραση διάφορα υποσυστήματαως μέρος ενός δυναμικού συστήματος (βλ. πίνακα).

Όπως φαίνεται από τον πίνακα, η έκφραση δύναμης είναι σχεδόν η ίδια παντού. Συνοψίζοντας, Εξουσία- Αυτή η δουλειά " ροή - f" επί " προσπάθειες - e».

Μια προσπάθεια(Αγγλικά) προσπάθεια) στον ηλεκτρικό τομέα είναι τάση (e), στον μηχανικό τομέα είναι δύναμη (F) ή ροπή (T), στα υδραυλικά είναι πίεση (p).

Ροή(Αγγλικά) ροή) στον ηλεκτρικό τομέα είναι το ρεύμα (i), στον μηχανικό τομέα είναι η ταχύτητα (v) ή γωνιακή ταχύτητα(ωμέγα), στα υδραυλικά - η ροή ή η ροή του υγρού (Q).

Λαμβάνοντας αυτούς τους συμβολισμούς, λαμβάνουμε μια έκφραση για την ισχύ:

Εικόνα 10. Τύπος ισχύος ως προς τις μεταβλητές ισχύος

Στη γλώσσα bond-graph, μια σύνδεση μεταξύ δύο υποσυστημάτων που ανταλλάσσουν ισχύ αντιπροσωπεύεται από έναν δεσμό. δεσμός). Γι' αυτό λέγεται αυτή τη μέθοδο γράφημα ομολόγουή ζ raf-connections, συνδεδεμένο γράφημα. Σκεφτείτε μπλοκ διάγραμμαδεσμούς στο μοντέλο με έναν ηλεκτρικό κινητήρα (αυτό δεν είναι ακόμη γράφημα δεσμών):

Εικόνα 11. Μπλοκ διάγραμμα ροής ισχύος μεταξύ τομέων

Αν έχουμε μια πηγή τάσης, τότε αυτή δημιουργεί τάση και τη δίνει στον κινητήρα για επανατύλιξη (επομένως, το βέλος κατευθύνεται προς τον κινητήρα), ανάλογα με την αντίσταση της περιέλιξης, εμφανίζεται ένα ρεύμα σύμφωνα με το νόμο του Ohm (κατευθυνόμενο από ο κινητήρας στην πηγή). Αντίστοιχα, μια μεταβλητή είναι είσοδος στο υποσύστημα και η δεύτερη πρέπει να είναι απαραίτητη. διέξοδοςαπό το υποσύστημα. Εδώ η τάση ( προσπάθεια) – είσοδος, ρεύμα ( ροή) - έξοδος.

Εάν χρησιμοποιείτε μια τρέχουσα πηγή, πώς θα αλλάξει το διάγραμμα; Σωστά. Το ρεύμα θα κατευθυνθεί στον κινητήρα και η τάση στην πηγή. Τότε το ρεύμα ( ροή) - τάση εισόδου ( προσπάθεια) - έξοδος.

Εξετάστε ένα παράδειγμα στη μηχανική. Δύναμη που ενεργεί σε μια μάζα.

Εικόνα 12. Δύναμη που εφαρμόζεται στη μάζα

Το μπλοκ διάγραμμα θα είναι το εξής:

Εικ. 13. μπλοκ διάγραμμα

Σε αυτό το παράδειγμα, Strength ( προσπάθεια) είναι η μεταβλητή εισόδου για τη μάζα. (δύναμη που εφαρμόζεται στη μάζα)
Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:

Η μάζα ανταποκρίνεται με ταχύτητα:

Σε αυτό το παράδειγμα, εάν μία μεταβλητή ( δύναμη - προσπάθεια) είναι είσοδοςστον μηχανικό τομέα, μετά σε μια άλλη μεταβλητή ισχύος ( Ταχύτητα - ροή) - γίνεται αυτόματα διέξοδος.

Για να διακρίνουμε πού είναι η είσοδος και πού η έξοδος, χρησιμοποιείται μια κατακόρυφη γραμμή στο τέλος του βέλους (σύνδεση) μεταξύ των στοιχείων, αυτή η γραμμή ονομάζεται σημάδι της αιτιότητας ή αιτιότητα (αιτιότητα). Αποδεικνύεται: η εφαρμοζόμενη δύναμη είναι η αιτία και η ταχύτητα είναι το αποτέλεσμα. Αυτό το σημάδι είναι πολύ σημαντικό για σωστή κατασκευήμοντέλα συστημάτων, αφού η αιτιότητα είναι συνέπεια σωματική συμπεριφοράκαι ανταλλαγή ισχύος δύο υποσυστημάτων, επομένως η επιλογή της θέσης του σημείου της αιτιότητας δεν μπορεί να είναι αυθαίρετη.

Εικόνα 14. Σημειώσεις αιτιότητας

Αυτή η κάθετη γραμμή δείχνει ποιο υποσύστημα δέχεται τη δύναμη ( προσπάθεια) και, κατά συνέπεια, παράγουν μια ροή ( ροή). Στο μαζικό παράδειγμα, θα μοιάζει με αυτό:

Εικόνα 14. Αιτιότητα για τη δύναμη που ασκεί η μάζα

Με το βέλος είναι σαφές ότι η είσοδος για τη μάζα - δύναμη, και η έξοδος είναι Ταχύτητα. Αυτό γίνεται για να μην γεμίσει το σχήμα και τη συστηματοποίηση του κτιρίου μοντέλων με βέλη.

Επόμενο σημαντικό σημείο. Γενικευμένη ορμή(ποσότητα κίνησης) και κίνηση(μεταβλητές ενέργειας).

Πίνακας μεταβλητών ισχύος και ενέργειας σε διαφορετικούς τομείς

Ο παραπάνω πίνακας παρουσιάζει δύο επιπλέον φυσικές ποσότητες που χρησιμοποιούνται στη μέθοδο bond-graph. Καλούνται γενικευμένη ορμή (R) και γενικευμένη μετατόπιση (q) ή μεταβλητές ενέργειας και μπορούν να ληφθούν με την ολοκλήρωση μεταβλητών ισχύος με την πάροδο του χρόνου:

Εικόνα 15. Σχέση μεταβλητών ισχύος και ενέργειας

Στον ηλεκτρικό τομέα :

Σύμφωνα με το νόμο του Faraday, Τάσηστα άκρα του αγωγού ισούται με την παράγωγο του μαγνητική ροήμέσω αυτού του αγωγού.

ΚΑΙ Τρέχουσα δύναμη - φυσική ποσότητα, ίση με την αναλογία της ποσότητας φορτίου Q που έχει περάσει για κάποιο χρονικό διάστημα t μέσα διατομήαγωγός, στην τιμή αυτού του χρονικού διαστήματος.

Μηχανικός τομέας:

Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα, Δύναμηείναι η χρονική παράγωγος της ορμής

Και αντίστοιχα, Ταχύτητα- χρονική παράγωγος μετατόπισης:

Ας γενικεύσουμε:

Βασικά στοιχεία

Όλα τα στοιχεία σε δυναμικά συστήματα, μπορεί να χωριστεί σε διπολικά και τετραπολικά εξαρτήματα.
Σκεφτείτε διπολικά εξαρτήματα:

Πηγές
Οι πηγές είναι και προσπάθεια και ροή. Αναλογία στον ηλεκτρικό τομέα: πηγή προσπάθειας – πηγή τάσης, πηγή ροής – τρέχουσα πηγή. Τα αιτιώδη σημάδια για τις πηγές θα πρέπει να είναι μόνο τέτοια.

Εικόνα 16. Αιτιώδεις σύνδεσμοι και προσδιορισμός πηγών

συστατικό R – διαλυτικό στοιχείο

Συστατικό Ι – αδρανειακό στοιχείο

Συστατικό Γ – χωρητικό στοιχείο

Όπως φαίνεται από τα σχήματα, διαφορετικά στοιχεία του ίδιου τύπου R,C,Iπεριγράφεται από τις ίδιες εξισώσεις. ΜΟΝΟ υπάρχει διαφορά για την ηλεκτρική χωρητικότητα, απλά πρέπει να το θυμάστε!

Τετραπολικά εξαρτήματα:

Εξετάστε δύο εξαρτήματα μετασχηματιστή και γυριστή.

αργότερο σημαντικά συστατικάΟι συνδέσεις γίνονται με τη μέθοδο bond-graph. Υπάρχουν δύο τύποι κόμβων:

Αυτό είναι το τέλος των εξαρτημάτων.

Τα κύρια βήματα για την κατάργηση των αιτιακών σχέσεων μετά τη δημιουργία ενός γραφήματος δεσμού:

1. Βάλτε αιτιότητα σε όλα πηγές
2. Περάστε από όλους τους κόμβους και καταγράψτε τις αιτιώδεις σχέσεις μετά το σημείο 1
3. Για συστατικά Ιαντιστοιχίστε μια αιτιότητα εισόδου (η προσπάθεια περιλαμβάνεται σε αυτό το στοιχείο), για εξαρτήματα Γαντιστοιχίστε μια αιτιότητα εξόδου (η προσπάθεια προκύπτει από αυτό το στοιχείο)
4. Επαναλάβετε το σημείο 2
5. Σχεδιάστε αιτιακούς συνδέσμους για εξαρτήματα R

Αυτό ολοκληρώνει το μίνι μάθημα για τη θεωρία. Τώρα έχουμε όλα όσα χρειαζόμαστε για την κατασκευή μοντέλων.
Ας λύσουμε μερικά παραδείγματα. Ας ξεκινήσουμε με ηλεκτρικό κύκλωμα, είναι καλύτερα να κατανοήσουμε την αναλογία κατασκευής ενός γραφήματος ομολόγου.

Παράδειγμα 1

Ας αρχίσουμε να κατασκευάζουμε ένα γράφημα δεσμού από μια πηγή τάσης. Απλά γράψτε Se και βάλτε ένα βέλος.

Βλέπεις όλα είναι απλά! Κοιτάμε περαιτέρω, τα R και L συνδέονται σε σειρά, πράγμα που σημαίνει ότι το ίδιο ρεύμα ρέει σε αυτά, αν μιλάμε με όρους μεταβλητών ισχύος - την ίδια ροή. Ποιος κόμβος έχει την ίδια ροή; Η σωστή απάντηση είναι 1-κόμβος. Συνδέουμε μια πηγή, αντίσταση (συστατικό - R) και επαγωγή (συστατικό - I) στον 1-κόμβο.

Στη συνέχεια, έχουμε χωρητικότητα και αντίσταση παράλληλα, που σημαίνει ότι έχουν την ίδια τάση ή δύναμη. Ο κόμβος 0 θα ταιριάζει όσο κανένας άλλος. Συνδέουμε την χωρητικότητα (συστατικό C) και την αντίσταση (συστατικό R) στον κόμβο 0.

Οι κόμβοι 1 και 0 είναι επίσης διασυνδεδεμένοι. Η κατεύθυνση των βελών επιλέγεται αυθαίρετα, η κατεύθυνση της σύνδεσης επηρεάζει μόνο το πρόσημο στις εξισώσεις.

Λάβετε το παρακάτω γράφημα συνδέσμου:

Τώρα πρέπει να καταργήσουμε τις αιτιώδεις σχέσεις. Ακολουθώντας τις οδηγίες για τη σειρά της τοποθέτησής τους, ας ξεκινήσουμε από την πηγή.

1. Έχουμε μια πηγή άγχους (προσπάθειας), μια τέτοια πηγή έχει μόνο μια επιλογή αιτιότητας - έξοδο. Βάζουμε.
2. Έπειτα υπάρχει το συστατικό Ι, εξετάζουμε τι συνιστάται. Βάζουμε
3. Βάζουμε κάτω για 1-κόμβο. Υπάρχει
4. Ένας κόμβος 0 πρέπει να έχει μία είσοδο και όλες τις αιτιακές συνδέσεις εξόδου. Έχουμε μια μέρα άδεια. Αναζητούμε στοιχεία Γ ή Ι. Βρέθηκαν. Βάζουμε
5. Εμφάνιση τι έχει απομείνει

Αυτό είναι όλο. Κατασκευασμένο γράφημα ομολόγων. Ούρα, σύντροφοι!

Το μόνο που μένει να κάνουμε είναι να γράψουμε τις εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημά μας. Για να γίνει αυτό, θα δημιουργήσουμε έναν πίνακα με 3 στήλες. Το πρώτο θα περιέχει όλα τα στοιχεία του συστήματος, το δεύτερο θα περιέχει τη μεταβλητή εισόδου για κάθε στοιχείο και το τρίτο θα περιέχει τη μεταβλητή εξόδου για το ίδιο στοιχείο. Έχουμε ήδη καθορίσει την είσοδο και την έξοδο με αιτιότητα. Άρα δεν πρέπει να υπάρχουν προβλήματα.

Ας αριθμήσουμε κάθε σύνδεση για ευκολία γραφής των εξισώσεων. Παίρνουμε τις εξισώσεις για κάθε στοιχείο από τη λίστα των συστατικών C, R, I.

Έχοντας καταρτίσει τον πίνακα, ορίζουμε τις μεταβλητές κατάστασης, σε αυτό το παράδειγμα υπάρχουν 2, p3 και q5. Στη συνέχεια, πρέπει να γράψετε τις εξισώσεις κατάστασης:

Αυτό είναι όλο το μοντέλο είναι έτοιμο.

Παράδειγμα 2. Θέλω απλώς να ζητήσω συγγνώμη για την ποιότητα της φωτογραφίας, το κύριο πράγμα είναι ότι μπορείτε να διαβάσετε

Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα για μηχανικό σύστημα, το ίδιο που λύσαμε με τη μέθοδο Lagrange. Θα δείξω τη λύση χωρίς σχόλια. Ας ελέγξουμε ποια από αυτές τις μεθόδους είναι απλούστερη, ευκολότερη.

Στο matball, και τα δύο μοντέλα ματ συντάχθηκαν με τις ίδιες παραμέτρους, που ελήφθησαν με τη μέθοδο Lagrange και το bond-graph. Αποτέλεσμα παρακάτω: Προσθήκη ετικετών

ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE

Μέθοδος χύτευσης τετραγωνική μορφήστο άθροισμα των τετραγώνων, που υποδείχθηκε το 1759 από τον J. Lagrange. Ας δοθεί

από μεταβλητές x 0 , Χ 1 ,..., x n. με συντελεστές από το γήπεδο κχαρακτηριστικά Απαιτείται να γίνει αυτό το έντυπο σε κανονικό. μυαλό

με τη βοήθεια του μη εκφυλισμένου γραμμικός μετασχηματισμόςμεταβλητές. Το L. m αποτελείται από τα ακόλουθα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές της μορφής (1) ίσοι με μηδέν. Επομένως, δύο περιπτώσεις είναι πιθανές.

1) Για κάποιους σολ,διαγώνιος Τότε

όπου η μορφή f 1 (x) δεν περιέχει μεταβλητή x g . 2) Αν όλα αλλά τότε

όπου η μορφή f 2 (x) δεν περιέχει δύο μεταβλητές x gκαι x h .Οι μορφές κάτω από τα τετράγωνα σημάδια στο (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Εφαρμόζοντας μετασχηματισμούς της μορφής (3) και (4) της μορφής (1) μετά πεπερασμένος αριθμόςβήματα ανάγεται στο άθροισμα των τετραγώνων των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμικών μορφών. Χρησιμοποιώντας μερικές παραγώγους, οι τύποι (3) και (4) μπορούν να γραφτούν ως

Αναμμένο.: G a n t m a h e r F. R., Theory of Matrices, 2nd ed., Moscow, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; Alexandrov P.S., Lectures on Analytic Geometry..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Μαθηματική εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Δείτε τι είναι η "ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE" σε άλλα λεξικά:

Μέθοδος Lagrange- Μέθοδος Lagrange - μια μέθοδος για την επίλυση ορισμένων κατηγοριών προβλημάτων μαθηματικός προγραμματισμόςβρίσκοντας το σημείο σέλας (x*, λ*) της συνάρτησης Lagrange., το οποίο επιτυγχάνεται εξισώνοντας με μηδέν τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης ως προς ... ... Οικονομικό και Μαθηματικό Λεξικό

Μέθοδος Lagrange- Μια μέθοδος για την επίλυση ενός αριθμού τάξεων μαθηματικών προβλημάτων προγραμματισμού με την εύρεση του σημείου σέλας (x*,?*) της συνάρτησης Lagrange, η οποία επιτυγχάνεται εξισώνοντας με το μηδέν τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης ως προς τα xi και?i . Βλέπε Lagrangian. )