Εξετάστε την κίνηση ενός συγκεκριμένου συστήματος όγκων υλικού σε σχέση με ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων Όταν το σύστημα δεν είναι ελεύθερο, τότε μπορεί να θεωρηθεί ελεύθερο, εάν απορρίψουμε τους περιορισμούς που επιβάλλονται στο σύστημα και αντικαταστήσουμε τη δράση τους με τις αντίστοιχες αντιδράσεις.

Ας διαιρέσουμε όλες τις δυνάμεις που εφαρμόζονται στο σύστημα σε εξωτερικές και εσωτερικές. και τα δύο μπορεί να περιλαμβάνουν αντιδράσεις απορριφθέντων

συνδέσεις. Να συμβολίσετε με και το κύριο διάνυσμα και κύριο σημείοεξωτερικές δυνάμεις γύρω από το σημείο Α.

1. Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής.Αν είναι η ορμή του συστήματος, τότε (βλ.

δηλ. ισχύει το θεώρημα: η χρονική παράγωγος της ορμής του συστήματος είναι ίση με το κύριο διάνυσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων.

Αντικαθιστώντας το διάνυσμα μέσω της έκφρασής του όπου είναι η μάζα του συστήματος, είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας, στην εξίσωση (4.1) μπορεί να δοθεί διαφορετική μορφή:

Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται ως ένα υλικό σημείο του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα του συστήματος και στο οποίο εφαρμόζεται μια δύναμη που είναι γεωμετρικά ίση με το κύριο διάνυσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος. Η τελευταία πρόταση ονομάζεται θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας (κέντρο αδράνειας) του συστήματος.

Αν τότε από το (4.1) προκύπτει ότι το διάνυσμα της ορμής είναι σταθερό σε μέγεθος και κατεύθυνση. Προβάλλοντάς το στον άξονα συντεταγμένων, λαμβάνουμε τρία βαθμωτά πρώτα ολοκληρώματα των διαφορικών εξισώσεων της διπλής αλυσίδας του συστήματος:

Αυτά τα ολοκληρώματα ονομάζονται ολοκληρώματα ορμής. Όταν η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι σταθερή, δηλ. κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα.

Εάν η προβολή του κύριου διανύσματος των εξωτερικών δυνάμεων σε οποιονδήποτε άξονα, για παράδειγμα, στον άξονα, είναι ίση με μηδέν, τότε έχουμε ένα πρώτο ολοκλήρωμα ή εάν δύο προβολές του κύριου διανύσματος είναι ίσες με μηδέν, τότε υπάρχουν δύο ολοκληρώματα της ορμής.

2. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής.Ας είναι λίγος ο Α αυθαίρετο σημείοχώρο (κινούμενο ή ακίνητο), που δεν συμπίπτει απαραίτητα με κάποιο συγκεκριμένο υλικό σημείο του συστήματος καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης. Η ταχύτητά του σε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων θα συμβολίζεται με το θεώρημα της μεταβολής της γωνιακής ορμής σύστημα υλικούως προς το σημείο Α έχει τη μορφή

Αν το σημείο Α είναι σταθερό, τότε η ισότητα (4.3) παίρνει απλούστερη μορφή:

Αυτή η ισότητα εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής του συστήματος σε σχέση με ένα σταθερό σημείο: η χρονική παράγωγος της γωνιακής ορμής του συστήματος, υπολογισμένη σε σχέση με κάποιο σταθερό σημείο, είναι ίση με την κύρια ροπή όλων των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση σε αυτό το σημείο.

Αν τότε, σύμφωνα με την (4.4), το διάνυσμα της γωνιακής ορμής είναι σταθερό σε μέγεθος και κατεύθυνση. Προβάλλοντάς το στον άξονα συντεταγμένων, λαμβάνουμε τα βαθμωτά πρώτα ολοκληρώματα των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης του συστήματος:

Τα ολοκληρώματα αυτά ονομάζονται ολοκληρώματα της γωνιακής ορμής ή ολοκληρώματα των περιοχών.

Αν το σημείο Α συμπίπτει με το κέντρο μάζας του συστήματος, τότε ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά της ισότητας (4.3) εξαφανίζεται και το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής έχει την ίδια μορφή (4.4) όπως στην περίπτωση ενός σταθερού σημείο Α. Σημειώστε (βλ. 4 § 3) ότι στην υπό εξέταση περίπτωση η απόλυτη γωνιακή ορμή του συστήματος στην αριστερή πλευρά της ισότητας (4.4) μπορεί να αντικατασταθεί από την ίση γωνιακή ορμή του συστήματος στην κίνησή του ως προς το κέντρο της μάζας.

Έστω κάποιος σταθερός άξονας ή ένας άξονας σταθερής κατεύθυνσης που διέρχεται από το κέντρο μάζας του συστήματος και έστω η γωνιακή ορμή του συστήματος σε σχέση με αυτόν τον άξονα. Από την (4.4) προκύπτει ότι

όπου είναι η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων γύρω από τον άξονα. Αν σε όλο το χρόνο της κίνησης τότε έχουμε το πρώτο ολοκλήρωμα

Στα έργα του S. A. Chaplygin, προέκυψαν αρκετές γενικεύσεις του θεωρήματος σχετικά με την αλλαγή της γωνιακής ορμής, οι οποίες στη συνέχεια εφαρμόστηκαν στην επίλυση ορισμένων προβλημάτων σχετικά με την κύλιση των σφαιρών. Περαιτέρω γενικεύσεις του θεωρήματος για την αλλαγή της κπνητολογικής ροπής και οι εφαρμογές τους σε προβλήματα δυναμικής ενός άκαμπτου σώματος περιέχονται στα έργα. Τα κύρια αποτελέσματα αυτών των εργασιών σχετίζονται με το θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής σε σχέση με την κινούμενη, περνώντας συνεχώς από κάποιο κινούμενο σημείο Α. Έστω - μονάδα διάνυσμακατευθύνεται κατά μήκος αυτού του άξονα. Πολλαπλασιάζοντας κλιμακωτά και με τις δύο πλευρές της ισότητας (4.3) και προσθέτοντας τον όρο και στα δύο μέρη του, παίρνουμε

Όταν πληρούται η κινηματική συνθήκη

Η εξίσωση (4.5) προκύπτει από την (4.7). Και αν η συνθήκη (4.8) ικανοποιείται καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης, τότε υπάρχει το πρώτο ολοκλήρωμα (4.6).

Εάν οι συνδέσεις του συστήματος είναι ιδανικές και επιτρέπουν την περιστροφή του συστήματος ως άκαμπτο σώμα γύρω από τον άξονα και στον αριθμό των εικονικών μετατοπίσεων, τότε η κύρια στιγμή των αντιδράσεων γύρω από τον άξονα είναι ίση με μηδέν, και στη συνέχεια η τιμή στο η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (4.5) είναι η κύρια ροπή όλων των εξωτερικών ενεργές δυνάμειςσχετικά με τον άξονα i. Η ισότητα προς το μηδέν αυτής της στιγμής και η ικανοποίηση της σχέσης (4.8) θα είναι στην υπό εξέταση περίπτωση επαρκείς προϋποθέσειςγια την ύπαρξη του ολοκληρώματος (4.6).

Εάν η κατεύθυνση του άξονα και είναι αμετάβλητη, τότε η συνθήκη (4.8) μπορεί να γραφτεί ως

Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι οι προβολές της ταχύτητας του κέντρου μάζας και της ταχύτητας του σημείου Α στον άξονα και στο επίπεδο που είναι κάθετο σε αυτόν είναι παράλληλες. Στο έργο του S. A. Chaplygin, αντί για (4.9), απαιτείται ότι λιγότερο από γενική κατάστασηόπου το Χ είναι αυθαίρετη σταθερά.

Σημειώστε ότι η συνθήκη (4.8) δεν εξαρτάται από την επιλογή ενός σημείου στο . Πράγματι, έστω P ένα αυθαίρετο σημείο στον άξονα. Επειτα

και ως εκ τούτου

Συμπερασματικά, σημειώνουμε τη γεωμετρική ερμηνεία του Resal των εξισώσεων (4.1) και (4.4): τα διανύσματα απόλυτες ταχύτητεςτα άκρα των διανυσμάτων και είναι ίσα αντίστοιχα με το κύριο διάνυσμα και την κύρια ροπή όλων των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με το σημείο Α.

Η χρήση του OZMS στην επίλυση προβλημάτων συνδέεται με ορισμένες δυσκολίες. Επομένως, συνήθως δημιουργούνται πρόσθετες σχέσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών της κίνησης και των δυνάμεων, για τις οποίες είναι πιο βολικές Πρακτική εφαρμογη. Αυτές οι αναλογίες είναι γενικά θεωρήματα δυναμικής.Αυτές, ως συνέπειες του OZMS, δημιουργούν εξαρτήσεις μεταξύ της ταχύτητας αλλαγής ορισμένων ειδικά εισαγόμενων μέτρων κίνησης και των χαρακτηριστικών των εξωτερικών δυνάμεων.

Θεώρημα για την αλλαγή της ορμής. Ας εισαγάγουμε την έννοια του διανύσματος ορμής (R. Descartes) ενός υλικού σημείου (Εικ. 3.4):

i i = t v σολ (3.9)

Ρύζι. 3.4.

Για το σύστημα, εισάγουμε την έννοια κύριο διάνυσμα ορμής του συστήματοςως γεωμετρικό άθροισμα:

Q \u003d Y, m "V r

Σύμφωνα με το OZMS: Xu, - ^ \u003d i), ή X

R(E) .

Λαμβάνοντας υπόψη ότι /w, = const παίρνουμε: -Ym,!" = ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ),

ή σε τελική μορφή

do / di \u003d A (E (3.11)

εκείνοι. η πρώτη φορά παράγωγος του κύριου διανύσματος ορμής του συστήματος είναι ίση με το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων.

Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας. Κέντρο βάρους του συστήματοςπου ονομάζεται γεωμετρικό σημείο, η θέση του οποίου εξαρτάται από t,και τα λοιπά. στην κατανομή μάζας /r/, στο σύστημα και προσδιορίζεται από την έκφραση του διανύσματος ακτίνας του κέντρου μάζας (Εικ. 3.5):

όπου g s -διάνυσμα ακτίνας του κέντρου μάζας.

Ρύζι. 3.5.

Ας καλέσουμε = t με τη μάζα του συστήματος.Μετά τον πολλαπλασιασμό της έκφρασης

(3.12) στον παρονομαστή και διαφοροποίηση και των δύο μερών του ημι-

πολύτιμη ισότητα θα έχουμε: g s t s = ^ t.U. = 0, ή 0 = t s U s.

Έτσι, το κύριο διάνυσμα ορμής του συστήματος είναι ίσο με το γινόμενοτη μάζα του συστήματος και την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αλλαγής ορμής (3.11), λαμβάνουμε:

t με dU s / dі \u003d A (E),ή

Ο τύπος (3.13) εκφράζει το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας: το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται ως υλικό σημείο με τη μάζα του συστήματος, η οποία επηρεάζεται από το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ροπής της ορμής. Ας εισαγάγουμε την έννοια της ροπής ορμής ενός υλικού σημείου ως διανυσματικό γινόμενο της ακτίνας-διανύσματος και της ορμής του:

κ ο ο = blΧ ότι, (3.14)

όπου στο OI -γωνιακή ορμή ενός υλικού σημείου σε σχέση με ένα σταθερό σημείο Ο(Εικ. 3.6).

Τώρα ορίζουμε τη στιγμή της ορμής μηχανικό σύστημαως γεωμετρικό άθροισμα:

K () \u003d X ko, \u003d ShchU,? Ο-15>

Διαφοροποιώντας (3.15), παίρνουμε:

Ґ σίκ--- Χ t i w. + g yuΧ t i

Δεδομένου ότι = U G U iΧ t i u i= 0, και ο τύπος (3.2), παίρνουμε:

сіК a /с1ї - ї 0 .

Με βάση τη δεύτερη έκφραση στο (3.6), θα έχουμε τελικά ένα θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής του συστήματος:

Η πρώτη χρονική παράγωγος της γωνιακής ορμής του μηχανικού συστήματος σε σχέση με το σταθερό κέντρο Ο είναι ίση με την κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σύστημα σε σχέση με το ίδιο κέντρο.

Κατά την εξαγωγή της σχέσης (3.16), θεωρήθηκε ότι Ο- σταθερό σημείο. Ωστόσο, μπορεί να αποδειχθεί ότι σε ορισμένες άλλες περιπτώσεις η μορφή της σχέσης (3.16) δεν αλλάζει, ιδίως εάν, στην περίπτωση της επίπεδης κίνησης, το σημείο ροπής επιλεγεί στο κέντρο μάζας, το στιγμιαίο κέντρο των ταχυτήτων ή των επιταχύνσεων. Επιπλέον, εάν το σημείο Οσυμπίπτει με ένα κινούμενο υλικό σημείο, η ισότητα (3.16), γραμμένη για αυτό το σημείο, θα μετατραπεί στην ταυτότητα 0 = 0.

Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας. Όταν ένα μηχανικό σύστημα κινείται, τόσο το «εξωτερικό» και εσωτερική ενέργειασυστήματα. Αν τα χαρακτηριστικά εσωτερικές δυνάμεις, το κύριο διάνυσμα και η κύρια ροπή, δεν επηρεάζουν την αλλαγή στο κύριο διάνυσμα και την κύρια στιγμή του αριθμού των επιταχύνσεων, τότε Οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να συμπεριληφθούν στις εκτιμήσεις της διαδικασίας ενεργειακή κατάστασησυστήματα.Επομένως, όταν εξετάζουμε αλλαγές στην ενέργεια του συστήματος, πρέπει να λάβουμε υπόψη τις κινήσεις μεμονωμένων σημείων, στα οποία εφαρμόζονται επίσης εσωτερικές δυνάμεις.

Η κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου ορίζεται ως η ποσότητα

T^myTsg. (3.17)

Η κινητική ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των υλικών σημείων του συστήματος:

σημειώσε ότι Τ > 0.

Ορίζουμε την ισχύ δύναμης ως το κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος δύναμης από το διάνυσμα της ταχύτητας:

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΗΣ ΛΕΥΚΟΡΩΣΙΑΣ

Εκπαιδευτικό Ίδρυμα «ΛΕΥΚΑΡΩΣΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΑΓΡΟ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ"

Τμήμα Θεωρητικής Μηχανικής και Θεωρίας Μηχανισμών και Μηχανών

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

μεθοδολογικό συγκρότημα για μαθητές της ομάδας ειδικοτήτων

74 06 Γεωργική μηχανική

Σε 2 μέρη Μέρος 1

UDC 531.3(07) LBC 22.213ya7 T 33

Συντάχθηκε από:

Υποψήφιος Φυσικομαθηματικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής Yu. Σ. Μπίζα, υποψήφιος τεχνικές επιστήμες, Αναπληρωτής Καθηγητής Ν. L. Rakova, Senior LecturerI. Α. Ταράσεβιτς

Αξιολογητές:

Τμήμα Θεωρητικής Μηχανικής του Εκπαιδευτικού Ιδρύματος «Εθνικό Λευκορωσίας Πολυτεχνείο» (κεφάλι

Τμήμα Θεωρητικής Μηχανικής BNTU Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών, Καθηγητής Α. V. Chigarev);

Κορυφαίος Ερευνητής του Εργαστηρίου «Δονητική προστασία Μηχανικών Συστημάτων» Κρατικό Επιστημονικό Ίδρυμα «Κοινό Ινστιτούτο Μηχανολόγων Μηχανικών

Εθνική Ακαδημία Επιστημών της Λευκορωσίας», Υποψήφιος Τεχνικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής A. M. Goman

Θεωρητική μηχανική. Ενότητα «Δυναμική»: εκπαιδευτική

Μέθοδος T33. συγκρότημα. Σε 2 μέρη. Μέρος 1 / σύντ.: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Μινσκ: BGATU, 2013. - 120 σελ.

ISBN 978-985-519-616-8.

ΣΤΟ εκπαιδευτικό και μεθοδικό συγκρότημαπαρουσιάζει υλικά για τη μελέτη της ενότητας «Δυναμική», μέρος 1, που εντάσσεται στο γνωστικό αντικείμενο «Θεωρητική Μηχανική». Περιλαμβάνει μάθημα διαλέξεων, βασικά υλικά για την υλοποίηση πρακτικές ασκήσεις, εργασίες και δείγματα εργασιών για ανεξάρτητη εργασία και έλεγχο μαθησιακές δραστηριότητεςπλήρους απασχόλησης και έντυπα αλληλογραφίαςμάθηση.

UDC 531.3(07) LBC 22.213ya7

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ..................................................... ..........................................
1. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ
ΤΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑΤΟΣ .............................................. ..
1.1. Γλωσσάριο................................................. ................................
1.2. Θέματα διαλέξεων και το περιεχόμενό τους .............................................. ...
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στη δυναμική. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
κλασική μηχανική ..................................................... .................................................
Θέμα 1. Δυναμική υλικού σημείου.......................................... ....
1.1. Νόμοι της δυναμικής του υλικού σημείου
(νόμοι Γαλιλαίου - Νεύτωνα) .......................................... .............
1.2. Διαφορικές εξισώσεις κίνησης
1.3. Δύο βασικά καθήκοντα της δυναμικής .............................................. .............
Θέμα 2. Δυναμική σχετικής κίνησης
υλικό σημείο ................................................ .....................................................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Θέμα 3. Δυναμική ενός μηχανικού συστήματος .......................................... ....
3.1. Γεωμετρία μάζας. Κέντρο μάζας ενός μηχανικού συστήματος......
3.2. Εσωτερικές Δυνάμεις ................................................ .................................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Θέμα 4. Ροπές αδράνειας άκαμπτου σώματος ..........................................
4.1. Ροπές αδράνειας άκαμπτου σώματος
σε σχέση με τον άξονα και τον πόλο ................................................... ......................................
4.2. Θεώρημα για τις ροπές αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος
για παράλληλους άξονες
(Θεώρημα Huygens-Steiner) .............................................. .. ....
4.3. Φυγόκεντρες ροπές αδράνειας .......................................... .
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ .................................
Κεφάλαιο 2 Γενικά θεωρήματαδυναμική υλικού σημείου

Θέμα 5. Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος ...............................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Εργασίες για αυτοδιδασκαλία ................................................... .......
Θέμα 6. Το μέγεθος της κίνησης ενός υλικού σημείου
και μηχανικό σύστημα ..................................................... ................................................
6.1. Ποσότητα κίνησης υλικού σημείου 43
6.2. Παρόρμηση δύναμης ..................................................... ...................................
6.3. Θεώρημα για την αλλαγή της ορμής
υλικό σημείο ................................................ ................................................
6.4. Θεώρημα αλλαγής του κύριου διανύσματος
ορμή ενός μηχανικού συστήματος ..........................................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Εργασίες για αυτοδιδασκαλία ................................................... .......
Θέμα 7. Ροπή ορμής υλικού σημείου
και μηχανικό σύστημα σε σχέση με το κέντρο και τον άξονα ................................
7.1. Ροπή ορμής υλικού σημείου
σε σχέση με το κέντρο και τον άξονα .............................................. ......................................
7.2. Θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής
υλικό σημείο σε σχέση με το κέντρο και τον άξονα .....................
7.3. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής
μηχανικό σύστημα σε σχέση με το κέντρο και τον άξονα ...................................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Εργασίες για αυτοδιδασκαλία ................................................... .......
Θέμα 8. Έργο και ισχύς δυνάμεων ...................................... ... .........
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Εργασίες για αυτοδιδασκαλία ................................................... .......
Θέμα 9. Κινητική ενέργεια υλικού σημείου
και μηχανικό σύστημα ..................................................... ................................................
9.1. Κινητική ενέργεια υλικού σημείου
και μηχανικό σύστημα. Θεώρημα Koenig ................................
9.2. Κινητική ενέργεια άκαμπτου σώματος
με διαφορετικές κινήσεις ..................................................... ......................................
9.3. Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας
υλικό σημείο ................................................ ................................................

9.4. Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας
μηχανικό σύστημα ...................................................... .................................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Εργασίες για αυτοδιδασκαλία ................................................... .......
Θέμα 10. Δυνητικό πεδίο δύναμης
και δυναμική ενέργεια ..................................................... ................ ................................
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
Θέμα 11. Δυναμική άκαμπτου σώματος.......................................... .............
Επιθεώρηση των ερωτήσεων ................................................ ......................................
2. ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΛΕΓΧΟ
ΚΑΤΑ ΜΟΝΑΔΑ................................................ ......................................
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ..............................
4. ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΛΗΡΗΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΠΟΛΟΓΙΑΣ
ΜΟΡΦΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ..................................................... ......................................................
5. ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ
ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΜΕΛΕΤΗ) ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΛΗΡΗΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΠΟΚΡΙΣΗΣ................................................. ......
6. ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΝΑΦΟΡΩΝ ................................................... ..................

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θεωρητική μηχανική - η επιστήμη των γενικών νόμων μηχανική κίνηση, ισορροπία και αλληλεπίδραση υλικών σωμάτων.

Αυτός είναι ένας από τους θεμελιώδεις γενικούς επιστημονικούς φυσικούς και μαθηματικούς κλάδους. Είναι η θεωρητική βάση της σύγχρονης τεχνολογίας.

Η μελέτη της θεωρητικής μηχανικής, μαζί με άλλους φυσικούς και μαθηματικούς κλάδους, συμβάλλει στη διεύρυνση των επιστημονικών οριζόντων, διαμορφώνει την ικανότητα να συγκεκριμενοποιεί και αφηρημένη σκέψηκαι συμβάλλει στη βελτίωση της γενικής τεχνικής κουλτούρας του μελλοντικού ειδικού.

Η θεωρητική μηχανική, που αποτελεί την επιστημονική βάση όλων τεχνικούς κλάδους, συμβάλλει στην ανάπτυξη δεξιοτήτων ορθολογικές αποφάσεις εργασίες μηχανικήςπου σχετίζονται με τη λειτουργία, την επισκευή και τον σχεδιασμό γεωργικών μηχανημάτων και εξοπλισμού αποκατάστασης.

Ανάλογα με τη φύση των εργασιών που εξετάζουμε, η μηχανική χωρίζεται σε στατική, κινηματική και δυναμική. Η δυναμική είναι ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων υπό τη δράση εφαρμοζόμενων δυνάμεων.

ΣΤΟ εκπαιδευτικό και μεθοδικόσύνθετο (UMK) παρουσιάζει υλικό για τη μελέτη της ενότητας "Δυναμική", η οποία περιλαμβάνει ένα μάθημα διαλέξεων, βασικά υλικά για τη διεξαγωγή πρακτική δουλειά, εργασίες και δείγματα εκτέλεσης για ανεξάρτητη εργασίακαι έλεγχος των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων των μερικών φοιτητών πλήρους φοίτησης.

ΣΤΟ ως αποτέλεσμα της μελέτης της ενότητας «Δυναμική», ο μαθητής πρέπει να μάθει θεωρητική βάσηδυναμική και κυριαρχεί τις βασικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής:

Να γνωρίζει μεθόδους επίλυσης προβλημάτων δυναμικής, γενικά θεωρήματα δυναμικής, αρχές μηχανικής.

Να μπορεί να προσδιορίζει τους νόμους της κίνησης ενός σώματος ανάλογα με τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό. εφαρμόζει τους νόμους και τα θεωρήματα της μηχανικής για την επίλυση προβλημάτων. προσδιορίζουν τις στατικές και δυναμικές αντιδράσεις των δεσμών που περιορίζουν την κίνηση των σωμάτων.

Το πρόγραμμα σπουδών του κλάδου «Θεωρητική Μηχανική» προβλέπει σύνολοώρες τάξης - 136, συμπεριλαμβανομένων 36 ωρών για τη μελέτη της ενότητας «Δυναμική».

1. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑΤΟΣ

1.1. Γλωσσάριο

Η στατική είναι ένα τμήμα της μηχανικής που σκιαγραφεί το γενικό δόγμα των δυνάμεων, μελετάται η αναγωγή πολύπλοκα συστήματακαθορίζονται δυνάμεις στην απλούστερη μορφή και συνθήκες ισορροπίας διάφορα συστήματαδυνάμεις.

Η κινηματική είναι ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής στο οποίο μελετάται η κίνηση των υλικών αντικειμένων, ανεξάρτητα από τα αίτια που προκαλούν αυτή την κίνηση, δηλαδή ανεξάρτητα από τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτά τα αντικείμενα.

Η δυναμική είναι ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων (σημείων) υπό τη δράση εφαρμοζόμενων δυνάμεων.

Υλικό σημείο- ένα υλικό σώμα, η διαφορά στην κίνηση των σημείων του οποίου είναι ασήμαντη.

Η μάζα ενός σώματος είναι μια κλιμακωτή θετική τιμή που εξαρτάται από την ποσότητα της ύλης που περιέχεται σε ένα δεδομένο σώμα και καθορίζει το μέτρο της αδράνειας του κατά τη μεταφορική κίνηση.

Σύστημα αναφοράς - ένα σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με το σώμα, σε σχέση με το οποίο μελετάται η κίνηση ενός άλλου σώματος.

αδρανειακό σύστημα- ένα σύστημα στο οποίο πληρούνται ο πρώτος και ο δεύτερος νόμος της δυναμικής.

Η ορμή μιας δύναμης είναι ένα διανυσματικό μέτρο της δράσης μιας δύναμης για κάποιο χρονικό διάστημα.

Ποσότητα κίνησης υλικού σημείου είναι το διανυσματικό μέτρο της κίνησής του, ίσο με το γινόμενοτη μάζα ενός σημείου από το διάνυσμα της ταχύτητάς του.

Κινητική ενέργειαείναι ένα βαθμωτό μέτρο της μηχανικής κίνησης.

Στοιχειώδες έργο δύναμηςείναι απειροελάχιστο βαθμωτό μέγεθοςίσο με προϊόν με κουκκίδεςδιάνυσμα δύναμης στο διάνυσμα απειροελάχιστης μετατόπισης του σημείου εφαρμογής της δύναμης.

Κινητική ενέργειαείναι ένα βαθμωτό μέτρο της μηχανικής κίνησης.

Η κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου είναι βαθμωτή

θετική τιμή ίση με το μισό γινόμενο της μάζας ενός σημείου και του τετραγώνου της ταχύτητάς του.

Η κινητική ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος είναι μια αριθμητική

το κινητικό άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των υλικών σημείων αυτού του συστήματος.

Η δύναμη είναι ένα μέτρο της μηχανικής αλληλεπίδρασης των σωμάτων, που χαρακτηρίζει την ένταση και την κατεύθυνσή της.

1.2. Τα θέματα των διαλέξεων και το περιεχόμενό τους

Ενότητα 1. Εισαγωγή στη δυναμική. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

κλασική μηχανική

Θέμα 1. Δυναμική υλικού σημείου

Οι νόμοι της δυναμικής ενός υλικού σημείου (οι νόμοι του Γαλιλαίου - Νεύτωνα). Διαφορικές εξισώσεις κίνησης υλικού σημείου. Δύο βασικά καθήκοντα δυναμικής για ένα υλικό σημείο. Λύση του δεύτερου προβλήματος της δυναμικής. σταθερές ολοκλήρωσης και ο προσδιορισμός τους από τις αρχικές συνθήκες.

Παραπομπές:, σσ. 180-196, , σσ. 12-26.

Θέμα 2. Δυναμική της σχετικής κίνησης του υλικού

Σχετική κίνηση υλικού σημείου. Διαφορικές εξισώσεις σχετικής κίνησης σημείου. φορητές και δυνάμεις αδράνειας Coriolis. Η αρχή της σχετικότητας στην κλασική μηχανική. Περίπτωση σχετικής ανάπαυσης.

Παραπομπές: , σσ. 180-196, , σσ. 127-155.

Θέμα 3. Γεωμετρία μαζών. Κέντρο μάζας ενός μηχανικού συστήματος

Μάζα του συστήματος. Το κέντρο μάζας του συστήματος και οι συντεταγμένες του.

Λογοτεχνία:, σσ. 86-93, σσ. 264-265

Θέμα 4. Ροπές αδράνειας άκαμπτου σώματος

Ροπές αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος ως προς τον άξονα και τον πόλο. Ακτίνα αδράνειας. Θεώρημα για ροπές αδράνειας για παράλληλους άξονες. Αξονικές ροπές αδράνειας ορισμένων σωμάτων.

Οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας ως χαρακτηριστικό της ασυμμετρίας του σώματος.

Παραπομπές: , σ. 265-271, , σ. 155-173.

Ενότητα 2. Γενικά θεωρήματα της δυναμικής ενός υλικού σημείου

και μηχανικό σύστημα

Θέμα 5. Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος

Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος. Συνέπειες από το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος.

Παραπομπές: , σ. 274-277, , σ. 175-192.

Θέμα 6. Το μέγεθος της κίνησης ενός υλικού σημείου

και μηχανικό σύστημα

Ποσότητα κίνησης ενός υλικού σημείου και ενός μηχανικού συστήματος. Στοιχειώδης ώθηση και ορμή δύναμης για διάστημα λήξηςχρόνος. Το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου και ενός συστήματος σε διαφορικές και ολοκληρωτικές μορφές. Νόμος διατήρησης της ορμής.

Λογοτεχνία: , σσ. 280-284, , σσ. 192-207.

Θέμα 7. Ροπή ορμής υλικού σημείου

και μηχανικό σύστημα σε σχέση με το κέντρο και τον άξονα

Η ροπή ορμής ενός σημείου γύρω από το κέντρο και τον άξονα. Το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής ενός σημείου. Κινητική ροπή ενός μηχανικού συστήματος γύρω από το κέντρο και τον άξονα.

Η γωνιακή ορμή ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής του συστήματος. Νόμος διατήρησης της ορμής.

Παραπομπές: , σ. 292-298, , σ. 207-258.

Θέμα 8. Έργο και δύναμη δυνάμεων

Στοιχειώδες έργο δύναμης, η αναλυτική του έκφραση. Το έργο της δύναμης για τελικό μονοπάτι. Το έργο της βαρύτητας, ελαστική δύναμη. Ισότητα στο μηδέν του αθροίσματος του έργου των εσωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα στερεό. Το έργο των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Εξουσία. Αποδοτικότητα.

Παραπομπές: , σ. 208-213, , σ. 280-290.

Θέμα 9. Κινητική ενέργεια υλικού σημείου

και μηχανικό σύστημα

Κινητική ενέργεια υλικού σημείου και μηχανικού συστήματος. Υπολογισμός της κινητικής ενέργειας ενός άκαμπτου σώματος σε διάφορες περιπτώσεις της κίνησής του. Θεώρημα Koenig. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου σε διαφορικές και ολοκληρωτικές μορφές. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός μηχανικού συστήματος σε διαφορικές και ολοκληρωτικές μορφές.

Παραπομπές: , σσ. 301-310, , σσ. 290-344.

Θέμα 10. Δυναμικό πεδίο και δυναμικό

Η έννοια του πεδίου δύναμης. Πεδίο δυνητικής δύναμης και συνάρτηση δύναμης. Το έργο μιας δύναμης στην τελική μετατόπιση ενός σημείου σε ένα δυναμικό πεδίο. Δυναμική ενέργεια.

Παραπομπές: , σσ. 317-320, , σσ. 344-347.

Θέμα 11. Δυναμική άκαμπτου σώματος

Διαφορικές εξισώσεις μεταφορικής κίνησης άκαμπτου σώματος. Διαφορική εξίσωση περιστροφική κίνησηάκαμπτο σώμα γύρω από σταθερό άξονα. φυσικό εκκρεμές. Διαφορικές εξισώσεις επίπεδης κίνησης άκαμπτου σώματος.

Παραπομπές: , σσ. 323-334, , σσ. 157-173.

Ενότητα 1. Εισαγωγή στη δυναμική. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

κλασική μηχανική

Η δυναμική είναι ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων (σημείων) υπό τη δράση εφαρμοζόμενων δυνάμεων.

υλικό σώμα- ένα σώμα που έχει μάζα.

Υλικό σημείο- ένα υλικό σώμα, η διαφορά στην κίνηση των σημείων του οποίου είναι ασήμαντη. Αυτό μπορεί να είναι είτε ένα σώμα, οι διαστάσεις του οποίου μπορούν να παραμεληθούν κατά την κίνησή του, είτε ένα σώμα πεπερασμένων διαστάσεων, εάν κινείται προς τα εμπρός.

Τα σωματίδια ονομάζονται επίσης υλικά σημεία, στα οποία διαιρείται διανοητικά ένα στερεό σώμα κατά τον προσδιορισμό ορισμένων από τα δυναμικά χαρακτηριστικά του. Παραδείγματα υλικών σημείων (Εικ. 1): α - η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο. Η γη είναι ένα υλικό σημείο, β - κίνηση προς τα εμπρόςσυμπαγές σώμα. Το στερεό σώμα είναι η μητέρα-

al σημείο, αφού V B \u003d V A; a B = a A ; γ - περιστροφή του σώματος γύρω από τον άξονα.

Ένα σωματίδιο σώματος είναι ένα υλικό σημείο.

Η αδράνεια είναι η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να αλλάζουν την ταχύτητα της κίνησής τους πιο γρήγορα ή πιο αργά υπό τη δράση ασκούμενων δυνάμεων.

Η μάζα ενός σώματος είναι μια κλιμακωτή θετική τιμή που εξαρτάται από την ποσότητα της ύλης που περιέχεται σε ένα δεδομένο σώμα και καθορίζει το μέτρο της αδράνειας του κατά τη μεταφορική κίνηση. Στην κλασική μηχανική, η μάζα είναι μια σταθερά.

Δύναμη - ποσοτικό μέτρομηχανική αλληλεπίδραση μεταξύ σωμάτων ή μεταξύ σώματος (σημείου) και πεδίου (ηλεκτρικό, μαγνητικό κ.λπ.).

Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που χαρακτηρίζεται από το μέγεθος, το σημείο εφαρμογής και την κατεύθυνση (γραμμή δράσης) (Εικ. 2: Α - σημείο εφαρμογής, ΑΒ - γραμμή δράσης της δύναμης).

Ρύζι. 2

Στη δυναμική, μαζί με σταθερές δυνάμεις, υπάρχουν επίσης μεταβλητές δυνάμεις που μπορούν να εξαρτώνται από το χρόνο t, την ταχύτητα ϑ, την απόσταση r ή από έναν συνδυασμό αυτών των μεγεθών, δηλ.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ ) .

	Παραδείγματα τέτοιων δυνάμεων φαίνονται στα Σχ. 3: α										- σωματικό βάρος;
			(ϑ) – δύναμη αντίστασης αέρα;b −		Τ =						- ελκτική δύναμη

ηλεκτρική ατμομηχανή? c − F = F (r) είναι η δύναμη απώθησης από το κέντρο O ή έλξης προς αυτό.

Σύστημα αναφοράς - ένα σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με το σώμα, σε σχέση με το οποίο μελετάται η κίνηση ενός άλλου σώματος.

Ένα αδρανειακό σύστημα είναι ένα σύστημα στο οποίο πληρούνται ο πρώτος και ο δεύτερος νόμος της δυναμικής. Αυτό είναι ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων ή ένα σύστημα που κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα.

Η κίνηση στη μηχανική είναι μια αλλαγή στη θέση ενός σώματος στο χώρο και στο χρόνο σε σχέση με άλλα σώματα.

Ο χώρος στην κλασική μηχανική είναι τρισδιάστατος, υπακούοντας στην ευκλείδεια γεωμετρία.

Ο χρόνος είναι ένα βαθμωτό μέγεθος που ρέει με τον ίδιο τρόπο σε οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς.

Ένα σύστημα μονάδων είναι ένα σύνολο μονάδων μέτρησης φυσικές ποσότητες. Για να μετρηθούν όλα τα μηχανικά μεγέθη, αρκούν τρεις βασικές μονάδες: μονάδες μήκους, χρόνου, μάζας ή δύναμης.

Μηχανικός	Διάσταση		Σημειογραφία	Διάσταση	Σημειογραφία
μέγεθος
				εκατοστόμετρο
	χιλιόγραμμο-

Όλες οι άλλες μονάδες μέτρησης των μηχανικών μεγεθών είναι παράγωγα αυτών. Χρησιμοποιούνται δύο τύποι συστημάτων μονάδων: διεθνές σύστημαΜονάδες SI (ή μικρότερες - CGS) και το τεχνικό σύστημα μονάδων - MKGSS.

Θέμα 1. Δυναμική υλικών σημείων

1.1. Οι νόμοι της δυναμικής ενός υλικού σημείου (οι νόμοι του Γαλιλαίου - Νεύτωνα)

Ο πρώτος νόμος (της αδράνειας).

απομονωμένη από εξωτερικές επιρροέςένα υλικό σημείο διατηρεί την κατάσταση ηρεμίας ή κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα έως ότου οι ασκούμενες δυνάμεις το αναγκάσουν να αλλάξει αυτή την κατάσταση.

Η κίνηση που γίνεται από ένα σημείο απουσία δυνάμεων ή υπό τη δράση ενός ισορροπημένου συστήματος δυνάμεων ονομάζεται κίνηση αδράνειας.

Για παράδειγμα, η κίνηση ενός σώματος κατά μήκος μιας ομαλής (η δύναμη τριβής είναι μηδέν) προ

οριζόντια επιφάνεια (Εικ. 4: G - σωματικό βάρος, N - φυσιολογική αντίδρασηαεροπλάνα).

Αφού G = − N , τότε G + N = 0.

Όταν ϑ 0 ≠ 0 το σώμα κινείται με την ίδια ταχύτητα. σε ϑ 0 = 0 το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία (ϑ 0 είναι η αρχική ταχύτητα).

Ο δεύτερος νόμος (βασικός νόμος της δυναμικής).

Το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσης που δέχεται υπό την επίδραση μιας δεδομένης δύναμης είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με αυτή τη δύναμη και η διεύθυνση του συμπίπτει με την κατεύθυνση της επιτάχυνσης.

α β

Μαθηματικά, αυτός ο νόμος εκφράζεται με τη διανυσματική ισότητα

Για F = const,

a = const - η κίνηση του σημείου είναι ομοιόμορφη. ΕΕ-

αν a ≠ const, α

- αργή κίνηση (Εικ. 5, αλλά).

α ≠ κονστ,

ένα -

– επιταχυνόμενη κίνηση (Εικ. 5, β), m – σημειακή μάζα.

διάνυσμα επιτάχυνσης;

– διανυσματική δύναμη; ϑ 0 είναι το διάνυσμα της ταχύτητας).

Στο F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - το σημείο κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα, ή στο ϑ 0 = 0 - βρίσκεται σε ηρεμία (ο νόμος της αδράνειας). Δεύτερος

ο νόμος σας επιτρέπει να δημιουργήσετε μια σχέση μεταξύ της μάζας m ενός σώματος που βρίσκεται κοντά η επιφάνεια της γης, και το βάρος του G .G = mg , όπου g είναι

επιτάχυνση βαρύτητος.

Ο τρίτος νόμος (ο νόμος της ισότητας δράσης και αντίδρασης). Δύο υλικά σημεία δρουν μεταξύ τους με δυνάμεις ίσες σε μέγεθος και κατευθυνόμενες κατά μήκος της ευθείας γραμμής που συνδέει

αυτά τα σημεία, σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Εφόσον εφαρμόζονται οι δυνάμεις F 1 = − F 2 διαφορετικά σημεία, τότε το σύστημα δυνάμεων (F 1 , F 2 ) δεν είναι ισορροπημένο, δηλ. (F 1 , F 2 )≈ 0 (Εικ. 6).

Με τη σειρά του

m a = m a

- στάση

οι μάζες των σημείων που αλληλεπιδρούν είναι αντιστρόφως ανάλογες με τις επιταχύνσεις τους.

Ο τέταρτος νόμος (ο νόμος της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων). Η επιτάχυνση που λαμβάνεται από ένα σημείο υπό τη δράση ενός ταυτόχρονου

αλλά αρκετές δυνάμεις γεωμετρικό άθροισμαεκείνες τις επιταχύνσεις που θα λάμβανε ένα σημείο υπό την δράση κάθε δύναμης ξεχωριστά πάνω του.

Επεξήγηση (Εικ. 7).

t a n

a 1 a kF n

Οι δυνάμεις R που προκύπτουν (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Αφού ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , τότε

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , δηλαδή ο τέταρτος νόμος είναι ισοδύναμος με

k = 1

ο κανόνας της πρόσθεσης δυνάμεων.

1.2. Διαφορικές εξισώσεις κίνησης υλικού σημείου

Αφήστε πολλές δυνάμεις να δρουν ταυτόχρονα σε ένα υλικό σημείο, μεταξύ των οποίων υπάρχουν και σταθερές και μεταβλητές.

Γράφουμε τον δεύτερο νόμο της δυναμικής στη μορφή

= ∑

(t ,

k = 1

, ϑ=

r είναι το διάνυσμα ακτίνας της κίνησης

σημεία, τότε το (1.2) περιέχει παραγώγους του r και είναι μια διαφορική εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου σε διανυσματική μορφή ή η βασική εξίσωση της δυναμικής ενός υλικού σημείου.

Προβολές ισότητας διανυσμάτων (1.2): - στον άξονα των καρτεσιανών συντεταγμένων (Εικ. 8, αλλά)

μέγ.=μδ
					= ∑Fkx;
					k = 1
μπορεί=μδ
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
μαζ=μ					= ∑Fkz;
					k = 1

Στον φυσικό άξονα (Εικ. 8, β)

χαλάκι				= ∑ Fk τ ,
				k = 1
				= ∑ F k n ;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk β

k = 1

M t oM oa

β στο ο

Οι εξισώσεις (1.3) και (1.4) είναι διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός υλικού σημείου στους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων και στους φυσικούς άξονες, αντίστοιχα, δηλαδή, φυσικές διαφορικές εξισώσεις που συνήθως χρησιμοποιούνται για την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σημείου εάν η τροχιά του σημείου και η ακτίνα καμπυλότητάς του είναι γνωστή.

1.3. Δύο βασικά προβλήματα δυναμικής για ένα υλικό σημείο και η επίλυσή τους

Η πρώτη (άμεση) εργασία.

Γνωρίζοντας το νόμο της κίνησης και τη μάζα του σημείου, προσδιορίστε τη δύναμη που ασκεί στο σημείο.

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να γνωρίζετε την επιτάχυνση του σημείου. Σε προβλήματα αυτού του τύπου, μπορεί να δοθεί απευθείας ή να δοθεί ο νόμος κίνησης ενός σημείου, σύμφωνα με τον οποίο μπορεί να προσδιοριστεί.

1. Έτσι, αν η κίνηση ενός σημείου δίνεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες

x \u003d f 1 (t) , y \u003d f 2 (t) και z \u003d f 3 (t) τότε προσδιορίζονται οι προβολές της επιτάχυνσης

στον άξονα συντεταγμένων x =		d2x			d2y			d2z		Και μετά - έργο-
Δυνάμεις F x , F y και F z σε αυτούς τους άξονες:
				,k ) = F F z . (1.6) 2. Εάν το σημείο δεσμεύει καμπυλόγραμμη κίνησηκαι ο νόμος της κίνησης είναι γνωστός s = f (t), η τροχιά του σημείου και η ακτίνα καμπυλότητάς του ρ, τότε είναι βολικό να χρησιμοποιείτε φυσικούς άξονες και οι προβολές επιτάχυνσης σε αυτούς τους άξονες καθορίζονται από τους γνωστούς τύπους: Εφαπτομενικός άξονας a τ = d ϑ = d 2 2 s – εφαπτομενική επιτάχυνση;dt dt Αρχική Κανονική ds 2 a n = ϑ 2 = dt είναι κανονική επιτάχυνση. Η προβολή της επιτάχυνσης στο δικανονικό είναι μηδέν. Στη συνέχεια οι προβολές της δύναμης στους φυσικούς άξονες F=m F=m Το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης καθορίζονται από τους τύπους: F \u003d F τ 2 + F n 2; cos( ; cos( Η δεύτερη (αντίστροφη) εργασία. Γνωρίζοντας τις δυνάμεις που δρουν στο σημείο, τη μάζα του και αρχικές συνθήκεςκίνηση, προσδιορίστε το νόμο της κίνησης ενός σημείου ή οποιοδήποτε άλλο κινηματικό του χαρακτηριστικό. Οι αρχικές συνθήκες για την κίνηση ενός σημείου στους καρτεσιανούς άξονες είναι οι συντεταγμένες του σημείου x 0, y 0, z 0 και η προβολή της αρχικής ταχύτητας ϑ 0 σε αυτούς άξονες ϑ 0 x \u003d x 0, ϑ 0 y \u003d y 0 και ϑ 0 z \u003d z 0 τη στιγμή που αντιστοιχεί σε δίνοντας την αρχή της σημειακής κίνησης και λαμβάνεται ίση με το μηδέν. Η επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου περιορίζεται στη σύνταξη ενός διαφορικού διαφορικές εξισώσεις (ή μία εξίσωση) κίνησης ενός υλικού σημείου και η επακόλουθη επίλυσή τους κατά άμεση ενσωμάτωσηή χρησιμοποιώντας τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Επιθεώρηση των ερωτήσεων 1. Τι μελετά η δυναμική; 2. Τι είδους κίνηση ονομάζεται αδρανειακή κίνηση; 3. Κάτω από ποιες συνθήκες ένα υλικό σημείο θα βρίσκεται σε ηρεμία ή θα κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα; 4. Ποια είναι η ουσία του πρώτου κύριου προβλήματος της δυναμικής ενός υλικού σημείου; Δεύτερη εργασία; 5. Γράψτε φυσικά διαφορικές εξισώσειςκίνηση ενός υλικού σημείου. Εργασίες για αυτοδιδασκαλία 1. Σημείο μάζας m = 4 kg κινείται κατά μήκος μιας οριζόντιας ευθείας με επιτάχυνση a = 0,3 t. Προσδιορίστε το δομοστοιχείο της δύναμης που ασκεί το σημείο προς την κατεύθυνση της κίνησής του τη χρονική στιγμή t = 3 s. 2. Ένα μέρος μάζας m = 0,5 kg γλιστράει στο δίσκο. Σε ποια γωνία να οριζόντιο επίπεδοένας δίσκος πρέπει να βρίσκεται έτσι ώστε το τμήμα να κινείται με επιτάχυνση a = 2 m / s 2; Angle express σε βαθμούς. 3. Σημείο με μάζα m = 14 kg κινείται κατά μήκος του άξονα Ox με επιτάχυνση a x = 2 t . Προσδιορίστε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σημείο προς την κατεύθυνση της κίνησης τη χρονική στιγμή t = 5 s.

Γενικά θεωρήματα της δυναμικής ενός συστήματος σωμάτων. Θεωρήματα για την κίνηση του κέντρου μάζας, για τη μεταβολή της ορμής, για τη μεταβολή της κύριας ροπής της ορμής, για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας. Αρχές του d'Alembert και πιθανές μετατοπίσεις. Γενική εξίσωση δυναμικής. Οι εξισώσεις του Lagrange.

Γενικά θεωρήματα δυναμικής άκαμπτων σωμάτων και συστήματα σωμάτων

Γενικά θεωρήματα δυναμικής- αυτό είναι ένα θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος, ένα θεώρημα για μια αλλαγή της ορμής, ένα θεώρημα για μια αλλαγή στην κύρια ροπή της ορμής (κινητική ροπή) και ένα θεώρημα για μια αλλαγή στην την κινητική ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος.

Θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος

Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας.
Το γινόμενο της μάζας του συστήματος και της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του είναι ίσο με το διανυσματικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα:
.

Εδώ το M είναι η μάζα του συστήματος:
;
a C - επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος:
;
v C - ταχύτητα του κέντρου μάζας του συστήματος:
;
r C - διάνυσμα ακτίνας (συντεταγμένες) του κέντρου μάζας του συστήματος:
;
- συντεταγμένες (σε σχέση με το σταθερό κέντρο) και μάζες σημείων που απαρτίζουν το σύστημα.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής (ορμή)

Το μέγεθος της κίνησης (ορμή) του συστήματοςείναι ίσο με το γινόμενο της μάζας ολόκληρου του συστήματος και την ταχύτητα του κέντρου μάζας του ή το άθροισμα της ορμής (άθροισμα παλμών) μεμονωμένων σημείων ή τμημάτων που απαρτίζουν το σύστημα:
.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής σε διαφορική μορφή.
Η χρονική παράγωγος της ποσότητας κίνησης (ορμής) του συστήματος είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα:
.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής σε ολοκληρωμένη μορφή.
Η αλλαγή στην ποσότητα κίνησης (ορμή) του συστήματος για μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των παλμών των εξωτερικών δυνάμεων για την ίδια χρονική περίοδο:
.

Ο νόμος της διατήρησης της ορμής (ορμή).
Εάν το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα είναι μηδέν, τότε το διάνυσμα ορμής του συστήματος θα είναι σταθερό. Δηλαδή, όλες οι προβολές του στους άξονες συντεταγμένων θα διατηρούν σταθερές τιμές.

Αν το άθροισμα των προβολών των εξωτερικών δυνάμεων σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίσο με μηδέν, τότε η προβολή της ορμής του συστήματος σε αυτόν τον άξονα θα είναι σταθερή.

Θεώρημα για τη μεταβολή της κύριας ροπής της ορμής (θεώρημα ροπών)

Η κύρια ροπή της ποσότητας κίνησης του συστήματος σε σχέση με ένα δεδομένο κέντρο O είναι η τιμή ίση με το διανυσματικό άθροισμα των ροπών των ποσοτήτων κίνησης όλων των σημείων του συστήματος σε σχέση με αυτό το κέντρο:
.
Εδώ αγκύλεςδηλώνουν το διανυσματικό γινόμενο.

Σταθερά συστήματα

Το παρακάτω θεώρημα αναφέρεται στην περίπτωση που το μηχανικό σύστημα έχει σταθερό σημείοή έναν άξονα που είναι σταθερός σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Για παράδειγμα, ένα σώμα στερεωμένο με ένα σφαιρικό ρουλεμάν. Ή ένα σύστημα σωμάτων που κινούνται γύρω από ένα σταθερό κέντρο. Μπορεί επίσης να είναι ένας σταθερός άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται ένα σώμα ή σύστημα σωμάτων. Στην περίπτωση αυτή, οι ροπές θα πρέπει να νοούνται ως στιγμές ορμής και δυνάμεων σε σχέση με σταθερός άξονας.

Θεώρημα για τη μεταβολή της κύριας ροπής της ορμής (θεώρημα ροπών)
Η χρονική παράγωγος της κύριας ροπής της ορμής του συστήματος ως προς κάποιο σταθερό κέντρο Ο είναι ίση με το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος ως προς το ίδιο κέντρο.

Ο νόμος διατήρησης της κύριας ροπής ορμής ( momentum of momentum ).
Εάν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα σε σχέση με ένα δεδομένο σταθερό κέντρο Ο είναι ίσο με μηδέν, τότε η κύρια ροπή της ορμής του συστήματος σε σχέση με αυτό το κέντρο θα είναι σταθερή. Δηλαδή, όλες οι προβολές του στους άξονες συντεταγμένων θα διατηρούν σταθερές τιμές.

Αν το άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων γύρω από κάποιο σταθερό άξονα είναι ίσο με μηδέν, τότε η ροπή ορμής του συστήματος γύρω από αυτόν τον άξονα θα είναι σταθερή.

Αυθαίρετα συστήματα

Το παρακάτω θεώρημα έχει καθολικό χαρακτήρα. Ισχύει τόσο για σταθερά όσο και για ελεύθερα κινούμενα συστήματα. Στην περίπτωση των σταθερών συστημάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι αντιδράσεις των δεσμών στα σταθερά σημεία. Διαφέρει από το προηγούμενο θεώρημα στο ότι πρέπει να ληφθεί το κέντρο μάζας C του συστήματος αντί του σταθερού σημείου O.

Θεώρημα ροπών για το κέντρο μάζας
Η χρονική παράγωγος της κύριας γωνιακής ορμής του συστήματος ως προς το κέντρο μάζας C είναι ίση με το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος περίπου στο ίδιο κέντρο.

Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής.
Εάν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα σε σχέση με το κέντρο μάζας C είναι ίσο με μηδέν, τότε η κύρια ροπή της ορμής του συστήματος σε σχέση με αυτό το κέντρο θα είναι σταθερή. Δηλαδή, όλες οι προβολές του στους άξονες συντεταγμένων θα διατηρούν σταθερές τιμές.

στιγμή αδράνειας του σώματος

Αν το σώμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα zΜε γωνιακή ταχύτηταω z , τότε η γωνιακή του ορμή (κινητική ροπή) σε σχέση με τον άξονα z προσδιορίζεται από τον τύπο:
L z = J z ω z,
όπου J z είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα z.

Ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα zκαθορίζεται από τον τύπο:
,
όπου h k είναι η απόσταση από ένα σημείο μάζας m k στον άξονα z.
Για ένα λεπτό δακτύλιο μάζας M και ακτίνας R ή έναν κύλινδρο του οποίου η μάζα κατανέμεται κατά μήκος του χείλους του,
J z = M R 2 .
Για συμπαγή ομοιογενή δακτύλιο ή κύλινδρο,
.

Το θεώρημα Steiner-Huygens.
Έστω Cz ο άξονας που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, Oz είναι ο άξονας παράλληλος προς αυτό. Τότε οι ροπές αδράνειας του σώματος ως προς αυτούς τους άξονες σχετίζονται με τη σχέση:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
όπου M είναι το σωματικό βάρος. α - απόσταση μεταξύ των αξόνων.

Σε περισσότερα γενική περίπτωση :
,
πού είναι ο τανυστής αδράνειας του σώματος.
Εδώ είναι ένα διάνυσμα σχεδιασμένο από το κέντρο μάζας του σώματος σε ένα σημείο με μάζα m k .

Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας

Έστω ένα σώμα μάζας M να εκτελεί μεταφορική και περιστροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κάποιον άξονα z. Επειτα κινητική ενέργειαΤο σώμα καθορίζεται από τον τύπο:
,
όπου v C είναι η ταχύτητα κίνησης του κέντρου μάζας του σώματος.
J Cz - ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος παράλληλα με τον άξονα περιστροφής. Η φορά του άξονα περιστροφής μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου. Καθορισμένος τύποςδίνει τη στιγμιαία τιμή της κινητικής ενέργειας.

Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος σε διαφορική μορφή.
Η διαφορική (αύξηση) της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια ορισμένης μετατόπισής του είναι ίση με το άθροισμα των διαφορών εργασίας σε αυτή τη μετατόπιση όλων των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα:
.

Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος σε ολοκληρωμένη μορφή.
Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια κάποιας μετατόπισής του είναι ίση με το άθροισμα του έργου σε αυτή τη μετατόπιση όλων των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα:
.

Το έργο που έκανε η δύναμη, ισούται με το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων δύναμης και την απειροελάχιστη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής του :
,
δηλαδή το γινόμενο των μονάδων των διανυσμάτων F και ds και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Το έργο που γίνεται από τη στιγμή της δύναμης, ισούται με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων της στιγμής και την απειροελάχιστη γωνία περιστροφής :
.

Αρχή d'Alembert

Η ουσία της αρχής του d'Alembert είναι να ανάγει τα προβλήματα της δυναμικής στα προβλήματα της στατικής. Για να γίνει αυτό, υποτίθεται (ή είναι γνωστό εκ των προτέρων) ότι τα σώματα του συστήματος έχουν ορισμένες (γωνιακές) επιταχύνσεις. Στη συνέχεια, εισάγονται οι δυνάμεις αδράνειας και (ή) ροπές δυνάμεων αδράνειας, οι οποίες είναι ίσες σε μέγεθος και αντίστροφες ως προς τις δυνάμεις και τις ροπές των δυνάμεων, οι οποίες, σύμφωνα με τους νόμους της μηχανικής, θα δημιουργούσαν δεδομένες επιταχύνσεις ή γωνιακές επιταχύνσεις

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Το σώμα κάνει μεταφορική κίνηση και πάνω του δρουν εξωτερικές δυνάμεις. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι αυτές οι δυνάμεις δημιουργούν μια επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος. Σύμφωνα με το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας, το κέντρο μάζας ενός σώματος θα είχε την ίδια επιτάχυνση αν ασκούσε δύναμη στο σώμα. Στη συνέχεια, εισάγουμε τη δύναμη της αδράνειας:
.
Μετά από αυτό, το καθήκον της δυναμικής είναι:
.
;
.

Για περιστροφική κίνηση προχωρήστε με παρόμοιο τρόπο. Αφήστε το σώμα να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z και να δράσουν πάνω του εξωτερικές ροπές δυνάμεων M e zk. Υποθέτουμε ότι δημιουργούνται αυτές οι στιγμές γωνιώδης επιτάχυνσηεz . Στη συνέχεια, εισάγουμε τη ροπή των δυνάμεων αδράνειας M И = - J z ε z . Μετά από αυτό, το καθήκον της δυναμικής είναι:
.
Μετατρέπεται σε στατική εργασία:
;
.

Η αρχή των πιθανών κινήσεων

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων στατικής. Σε ορισμένα προβλήματα, δίνει μια πιο σύντομη λύση από τη σύνταξη εξισώσεων ισορροπίας. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για συστήματα με συνδέσεις (για παράδειγμα, συστήματα σωμάτων που συνδέονται με νήματα και μπλοκ), που αποτελούνται από πολλά σώματα

Η αρχή των πιθανών κινήσεων.
Για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με ιδανικούς περιορισμούς, είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε αυτό για οποιαδήποτε πιθανή μετεγκατάστασητο σύστημα ήταν μηδέν.

Πιθανή μετατόπιση συστήματος- πρόκειται για μια μικρή μετατόπιση, στην οποία οι συνδέσεις που επιβάλλονται στο σύστημα δεν σπάνε.

Τέλειες Συνδέσεις- πρόκειται για δεσμούς που δεν λειτουργούν όταν το σύστημα μετακινείται. Πιο συγκεκριμένα, το άθροισμα της εργασίας που εκτελείται από τους ίδιους τους συνδέσμους κατά τη μετακίνηση του συστήματος είναι μηδέν.

Γενική εξίσωση δυναμικής (αρχή d'Alembert - Lagrange)

Η αρχή d'Alembert-Lagrange είναι ένας συνδυασμός της αρχής d'Alembert με την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων. Δηλαδή, όταν λύνουμε το πρόβλημα της δυναμικής, εισάγουμε τις δυνάμεις της αδράνειας και ανάγουμε το πρόβλημα στο πρόβλημα της στατικής, το οποίο λύνουμε χρησιμοποιώντας την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων.

Αρχή d'Alembert-Lagrange.
Όταν ένα μηχανικό σύστημα κινείται με ιδανικούς περιορισμούς σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των δυνάμεων αδράνειας σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση του συστήματος είναι ίσο με μηδέν:
.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται γενική εξίσωσηΗχεία.

Εξισώσεις Lagrange

Γενικευμένες συντεταγμένες q 1 , q 2 , ..., q n είναι ένα σύνολο n τιμών που καθορίζουν μοναδικά τη θέση του συστήματος.

Ο αριθμός των γενικευμένων συντεταγμένων n συμπίπτει με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του συστήματος.

Γενικευμένες ταχύτητεςείναι οι παράγωγοι των γενικευμένων συντεταγμένων ως προς το χρόνο t.

Γενικευμένες δυνάμεις Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Θεωρήστε μια πιθανή μετατόπιση του συστήματος, στο οποίο η συντεταγμένη q k θα λάβει μετατόπιση δq k . Οι υπόλοιπες συντεταγμένες παραμένουν αμετάβλητες. Έστω δA k το έργο που κάνουν οι εξωτερικές δυνάμεις κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας μετατόπισης. Επειτα
δA k = Q k δq k , ή
.

Εάν, με μια πιθανή μετατόπιση του συστήματος, αλλάξουν όλες οι συντεταγμένες, τότε το έργο που γίνεται από εξωτερικές δυνάμεις κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας μετατόπισης έχει τη μορφή:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Τότε οι γενικευμένες δυνάμεις είναι μερικές παράγωγοι του έργου μετατόπισης:
.

Για πιθανές δυνάμεις με δυναμικό Π,
.

Εξισώσεις Lagrangeείναι οι εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες:

Εδώ Τ είναι η κινητική ενέργεια. Είναι συνάρτηση γενικευμένων συντεταγμένων, ταχυτήτων και πιθανώς χρόνου. Επομένως, η μερική της παράγωγος είναι επίσης συνάρτηση γενικευμένων συντεταγμένων, ταχυτήτων και χρόνου. Στη συνέχεια, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι οι συντεταγμένες και οι ταχύτητες είναι συναρτήσεις του χρόνου. Επομένως, για να βρούμε τη συνολική παράγωγο χρόνου, πρέπει να εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία:
.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
S. M. Targ, Σύντομο μάθημαθεωρητική μηχανική, μεταπτυχιακό σχολείο", 2010.

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

"Κρατικό Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο του Κουμπάν"

Θεωρητική μηχανική

Μέρος 2 δυναμική

Εγκρίθηκε από την Εκδοτική και Εκδοτική

πανεπιστημιακό συμβούλιο ως

οδηγός μελέτης

Κρασνοντάρ

UDC 531.1/3 (075)

Θεωρητική μηχανική. Μέρος 2. Dynamics: Textbook / L.I.Draiko; Κουμπάν. κατάσταση technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 σελ.

ISBN 5-230-06865-5

Το θεωρητικό υλικό παρουσιάζεται σε σύντομη μορφή, δίνονται παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων, τα περισσότερα από τα οποία αντικατοπτρίζουν πραγματικά τεχνικά ζητήματα, δίνεται προσοχή στην επιλογή μιας μεθόδου ορθολογικής λύσης.

Σχεδιασμένο για πτυχιούχους αλληλογραφίας και εξ αποστάσεως εκπαίδευσης στους τομείς των κατασκευών, των μεταφορών και της μηχανικής.

Αυτί. 1 Εικ. 68 Βιβλιογραφία. 20 τίτλοι

Επιστημονικός συντάκτης Υποψήφιος Τεχνικών Επιστημών, Αναπλ. V.F. Melnikov

Κριτές: Επικεφαλής του Τμήματος Θεωρητικής Μηχανικής και Θεωρίας Μηχανισμών και Μηχανών του Αγροτικού Πανεπιστημίου Kuban καθ. F.M. Kanarev; Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Θεωρητικής Μηχανικής του Κρατικού Τεχνολογικού Πανεπιστημίου Kuban M.E. Multykh

Δημοσιεύθηκε με απόφαση του Συντακτικού και Εκδοτικού Συμβουλίου του Κρατικού Τεχνολογικού Πανεπιστημίου Kuban.

Νέα έκδοση

ISBN 5-230-06865-5 KubGTU 1998

Πρόλογος

Αυτό το εγχειρίδιο προορίζεται για φοιτητές μερικής φοίτησης ειδικοτήτων κατασκευών, μεταφορών και μηχανικών, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τη μελέτη της ενότητας «Δυναμική» του μαθήματος της θεωρητικής μηχανικής από φοιτητές μερικής φοίτησης άλλων ειδικοτήτων, καθώς και φοιτητές καθημερινή μορφήμαθαίνοντας ενώ εργάζεσαι ανεξάρτητα.

Το εγχειρίδιο συντάσσεται σύμφωνα με το τρέχον πρόγραμμα του μαθήματος της θεωρητικής μηχανικής, καλύπτει όλα τα θέματα του κύριου μέρους του μαθήματος. Κάθε ενότητα περιέχει ένα σύντομο θεωρητικό υλικό, που παρέχεται με απεικονίσεις και οδηγίες για τη χρήση του στην επίλυση προβλημάτων. Το εγχειρίδιο αναλύει τη λύση 30 εργασιών που αντικατοπτρίζουν τα πραγματικά ζητήματα της τεχνολογίας και τις αντίστοιχες εργασίες ελέγχου για ανεξάρτητη λύση. Για κάθε εργασία, παρουσιάζεται ένα σχήμα υπολογισμού που επεξηγεί ξεκάθαρα τη λύση. Ο σχεδιασμός της λύσης συμμορφώνεται με τις απαιτήσεις για το σχεδιασμό των εξετάσεων των φοιτητών μερικής φοίτησης.

Ο συγγραφέας εκφράζει τη βαθιά του ευγνωμοσύνη στους καθηγητές του Τμήματος Θεωρητικής Μηχανικής και Θεωρίας Μηχανισμών και Μηχανών του Αγροτικού Πανεπιστημίου Kuban για καταπληκτική δουλειάγια την αναθεώρηση του σχολικού βιβλίου, καθώς και καθηγητές του Τμήματος Θεωρητικής Μηχανικής του Κρατικού Τεχνολογικού Πανεπιστημίου Kuban για πολύτιμα σχόλια και συμβουλές σχετικά με την προετοιμασία του σχολικού βιβλίου για δημοσίευση.

Όλα τα επικριτικά σχόλια και ευχές θα γίνουν δεκτά από τον συγγραφέα με ευγνωμοσύνη στο μέλλον.

Εισαγωγή

Η δυναμική είναι ο σημαντικότερος κλάδος της θεωρητικής μηχανικής. Τα περισσότερα από τα συγκεκριμένα καθήκοντα που εμφανίζονται στην πρακτική της μηχανικής σχετίζονται με τη δυναμική. Χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα της στατικής και της κινηματικής, η δυναμική καθορίζει τους γενικούς νόμους κίνησης των υλικών σωμάτων υπό τη δράση εφαρμοζόμενων δυνάμεων.

Το απλούστερο υλικό αντικείμενο είναι ένα υλικό σημείο. Για ένα υλικό σημείο, μπορεί κανείς να πάρει ένα υλικό σώμα οποιουδήποτε σχήματος, οι διαστάσεις του οποίου στο υπό εξέταση πρόβλημα μπορούν να αγνοηθούν. Ένα σώμα πεπερασμένων διαστάσεων μπορεί να ληφθεί ως υλικό σημείο εάν η διαφορά στην κίνηση των σημείων του δεν είναι σημαντική για ένα δεδομένο πρόβλημα. Αυτό συμβαίνει όταν οι διαστάσεις του σώματος είναι μικρές σε σύγκριση με τις αποστάσεις που περνούν τα σημεία του σώματος. Κάθε σωματίδιο ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο.

Οι δυνάμεις που εφαρμόζονται σε ένα σημείο ή ένα υλικό σώμα αξιολογούνται στη δυναμική από τη δυναμική τους επίδραση, δηλαδή από το πώς αλλάζουν τα χαρακτηριστικά της κίνησης των υλικών αντικειμένων.

Η κίνηση των υλικών αντικειμένων με την πάροδο του χρόνου λαμβάνει χώρα στο χώρο σε σχέση με ένα συγκεκριμένο πλαίσιο αναφοράς. Στην κλασική μηχανική, με βάση τα αξιώματα του Νεύτωνα, ο χώρος θεωρείται τρισδιάστατος, οι ιδιότητές του δεν εξαρτώνται από υλικά αντικείμενα που κινούνται σε αυτόν. Η θέση ενός σημείου σε τέτοιο χώρο καθορίζεται από τρεις συντεταγμένες. Ο χρόνος δεν συνδέεται με τον χώρο και την κίνηση των υλικών αντικειμένων. Θεωρείται το ίδιο για όλα τα συστήματα αναφοράς.

Οι νόμοι της δυναμικής περιγράφουν την κίνηση των υλικών αντικειμένων σε σχέση με τους απόλυτους άξονες συντεταγμένων, που συμβατικά θεωρούνται ακίνητοι. Η αρχή του απόλυτου συστήματος συντεταγμένων λαμβάνεται στο κέντρο του Ήλιου και οι άξονες κατευθύνονται σε μακρινά, υπό όρους ακίνητα αστέρια. Κατά την επίλυση πολλών τεχνικών προβλημάτων, οι συντεταγμένοι άξονες που σχετίζονται με τη Γη μπορούν να θεωρηθούν υπό όρους ακίνητοι.

Οι παράμετροι της μηχανικής κίνησης των υλικών αντικειμένων στη δυναμική καθορίζονται με μαθηματικές συναγωγές από τους βασικούς νόμους της κλασικής μηχανικής.

Πρώτος νόμος (νόμος αδράνειας):

Το υλικό σημείο διατηρεί μια κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη και ευθύγραμμη κίνησημέχρι που η δράση οποιωνδήποτε δυνάμεων θα την βγάλει από αυτή την κατάσταση.

Η ομοιόμορφη και ευθύγραμμη κίνηση ενός σημείου ονομάζεται κίνηση αδράνειας. Η ηρεμία είναι μια ειδική περίπτωση κίνησης με αδράνεια, όταν η ταχύτητα ενός σημείου είναι μηδέν.

Οποιοδήποτε υλικό σημείο έχει αδράνεια, δηλαδή τείνει να διατηρεί μια κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση. Το πλαίσιο αναφοράς, σε σχέση με το οποίο πληρούται ο νόμος της αδράνειας, ονομάζεται αδρανειακό και η κίνηση που παρατηρείται σε σχέση με αυτό το πλαίσιο ονομάζεται απόλυτη. Κάθε πλαίσιο αναφοράς που εκτελεί μεταφορική ευθύγραμμη και ομοιόμορφη κίνηση σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο θα είναι επίσης αδρανειακό πλαίσιο.

Ο δεύτερος νόμος (βασικός νόμος της δυναμικής):

Η επιτάχυνση ενός υλικού σημείου σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ανάλογη της δύναμης που εφαρμόζεται στο σημείο και συμπίπτει με τη δύναμη στην κατεύθυνση:
.

Από τον βασικό νόμο της δυναμικής προκύπτει ότι με μια δύναμη
επιτάχυνση
. Η μάζα ενός σημείου χαρακτηρίζει τον βαθμό αντίστασης ενός σημείου σε μεταβολή της ταχύτητάς του, δηλαδή είναι μέτρο της αδράνειας ενός υλικού σημείου.

Τρίτος νόμος (νόμος δράσης και αντίδρασης):

Οι δυνάμεις με τις οποίες δρουν δύο σώματα μεταξύ τους είναι ίσες σε μέγεθος και κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας προς αντίθετες κατευθύνσεις.

Εφαρμόζονται δυνάμεις που ονομάζονται δράση και αντίδραση διαφορετικά σώματακαι επομένως δεν σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα.

Ο τέταρτος νόμος (ο νόμος της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων):

Με την ταυτόχρονη δράση πολλών δυνάμεων, η επιτάχυνση ενός υλικού σημείου ισούται με το γεωμετρικό άθροισμα των επιταχύνσεων που θα είχε το σημείο υπό την δράση κάθε δύναμης χωριστά:

, όπου
,
,…,
.