Ορισμός καμπυλόγραμμης κίνησης και τύποι. Περίληψη μαθήματος «Ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση

Αυτό το θέμα θα επικεντρωθεί σε έναν πιο σύνθετο τύπο κίνησης − ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΟΣ. Πόσο εύκολο είναι να μαντέψεις καμπυλόγραμμη είναι μια κίνηση της οποίας η τροχιά είναι μια καμπύλη γραμμή. Και, καθώς αυτή η κίνηση είναι πιο περίπλοκη από την ευθύγραμμη, τότε για την περιγραφή της δεν υπάρχουν πλέον αρκετά φυσικά μεγέθη που αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο.

Για τη μαθηματική περιγραφή της καμπυλόγραμμης κίνησης, υπάρχουν 2 ομάδες μεγεθών: γραμμική και γωνιακή.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ.

1. κίνηση. Στην Ενότητα 1.1, δεν προσδιορίσαμε τη διαφορά μεταξύ της έννοιας

Εικ. 1.3 μονοπάτια (αποστάσεις) και η έννοια της μετατόπισης,

γιατί σε ευθύγραμμη κίνηση αυτά

οι διαφορές δεν παίζουν θεμελιώδη ρόλο και

Αυτές οι τιμές υποδηλώνονται με το ίδιο γράμμα

ουρλιάζω μικρό. Αλλά όταν έχουμε να κάνουμε με καμπυλόγραμμη κίνηση,

αυτό το θέμα πρέπει να διευκρινιστεί. Ποια είναι λοιπόν η διαδρομή

(ή απόσταση); - Αυτό είναι το μήκος της τροχιάς

κίνηση. Δηλαδή αν ιχνηλατήσεις την τροχιά

κίνηση του σώματος και μετρήστε το (σε μέτρα, χιλιόμετρα κ.λπ.), θα πάρετε μια τιμή που ονομάζεται διαδρομή (ή απόσταση) μικρό(βλ. εικ. 1.3). Έτσι, η διαδρομή είναι μια βαθμωτή τιμή, η οποία χαρακτηρίζεται μόνο από έναν αριθμό.

Εικ.1.4 Και η μετατόπιση είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ

το σημείο έναρξης του μονοπατιού και το σημείο λήξης του μονοπατιού. Και επειδή

η κίνηση έχει από την αρχή αυστηρή κατεύθυνση

Μέχρι το τέλος του, τότε είναι διανυσματική ποσότητα

και χαρακτηρίζεται όχι μόνο από αριθμητική τιμή, αλλά και

κατεύθυνση (εικ.1.3). Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι αν

το σώμα κινείται κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής, μετά προς

τη στιγμή που θα επιστρέψει στην αρχική του θέση, η μετατόπιση θα είναι ίση με το μηδέν (βλ. Εικ. 1.4).

2 . Ταχύτητα γραμμής. Στην ενότητα 1.1, δώσαμε τον ορισμό αυτής της ποσότητας, και παραμένει έγκυρος, αν και εκείνη τη στιγμή δεν διευκρινίσαμε ότι αυτή η ταχύτητα είναι γραμμική. Ποια είναι η κατεύθυνση του διανύσματος γραμμικής ταχύτητας; Ας στραφούμε στο σχήμα 1.5. Εδώ είναι ένα απόσπασμα

καμπυλόγραμμη τροχιά του σώματος. Οποιαδήποτε καμπύλη γραμμή είναι μια σύνδεση μεταξύ των τόξων διαφορετικών κύκλων. Το σχήμα 1.5 δείχνει μόνο δύο από αυτά: έναν κύκλο (O 1, r 1) και έναν κύκλο (O 2, r 2). Τη στιγμή της διέλευσης του σώματος κατά μήκος του τόξου αυτού του κύκλου, το κέντρο του γίνεται προσωρινό κέντρο περιστροφής με ακτίνα ίση με την ακτίνα αυτού του κύκλου.

Το διάνυσμα που σχεδιάζεται από το κέντρο περιστροφής μέχρι το σημείο όπου βρίσκεται το σώμα αυτή τη στιγμή ονομάζεται διάνυσμα ακτίνας.Στο Σχήμα 1.5, τα διανύσματα ακτίνας αντιπροσωπεύονται από τα διανύσματα και . Αυτό το σχήμα δείχνει επίσης τα διανύσματα γραμμικής ταχύτητας: το διάνυσμα γραμμικής ταχύτητας κατευθύνεται πάντα εφαπτομενικά στην τροχιά προς την κατεύθυνση της κίνησης. Επομένως, η γωνία μεταξύ του διανύσματος και του διανύσματος ακτίνας που σύρεται σε ένα δεδομένο σημείο της τροχιάς είναι πάντα 90°. Εάν το σώμα κινείται με σταθερή γραμμική ταχύτητα, τότε το δομοστοιχείο του διανύσματος δεν θα αλλάξει, ενώ η κατεύθυνσή του αλλάζει συνεχώς ανάλογα με το σχήμα της τροχιάς. Στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 1.5, η κίνηση πραγματοποιείται με μεταβλητή γραμμική ταχύτητα, οπότε αλλάζει η ενότητα του διανύσματος. Όμως, δεδομένου ότι η κατεύθυνση του διανύσματος αλλάζει πάντα κατά τη διάρκεια της καμπυλόγραμμης κίνησης, ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από αυτό:

Η καμπυλόγραμμη κίνηση έχει πάντα επιτάχυνση! (Ακόμα κι αν η κίνηση εκτελείται με σταθερή γραμμική ταχύτητα.) Επιπλέον, η επίμαχη επιτάχυνση σε αυτή την περίπτωση, στη συνέχεια θα ονομάσουμε γραμμική επιτάχυνση.

3 . Γραμμική επιτάχυνση. Να σας υπενθυμίσω ότι η επιτάχυνση συμβαίνει όταν αλλάζει η ταχύτητα. Αντίστοιχα, γραμμική επιτάχυνση εμφανίζεται στην περίπτωση αλλαγής της γραμμικής ταχύτητας. Και η γραμμική ταχύτητα κατά τη διάρκεια της καμπυλόγραμμης κίνησης μπορεί να αλλάξει τόσο το modulo όσο και την κατεύθυνση. Έτσι, η πλήρης γραμμική επιτάχυνση αποσυντίθεται σε δύο συνιστώσες, εκ των οποίων το ένα επηρεάζει την κατεύθυνση του διανύσματος και το δεύτερο επηρεάζει το μέτρο του. Εξετάστε αυτές τις επιταχύνσεις (Εικ. 1.6). Σε αυτή την εικόνα

ρύζι. 1.6

ένα σώμα φαίνεται να κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής διαδρομής με κέντρο περιστροφής στο σημείο Ο.

Η επιτάχυνση που αλλάζει την κατεύθυνση ενός διανύσματος ονομάζεται κανονικός και συμβολίζεται. Ονομάζεται κανονική γιατί κατευθύνεται κάθετα (κανονικά) στην εφαπτομένη, δηλ. κατά μήκος της ακτίνας μέχρι το κέντρο της στροφής . Ονομάζεται επίσης κεντρομόλος επιτάχυνση.

Η επιτάχυνση που αλλάζει το μέτρο του διανύσματος ονομάζεται εφαπτομένης και συμβολίζεται. Βρίσκεται στην εφαπτομένη και μπορεί να κατευθυνθεί τόσο προς την κατεύθυνση του διανύσματος όσο και αντίθετα από αυτό. :

Αν η ταχύτητα γραμμής αυξάνεται, τότε > 0 και τα διανύσματά τους είναι συμκατευθυντικά.

Αν η ταχύτητα γραμμής μειώνεται, λοιπόν< 0 и их вектора противоположно

σκηνοθετημένος.

Έτσι, αυτές οι δύο επιταχύνσεις σχηματίζουν πάντα ορθή γωνία (90º) μεταξύ τους και αποτελούν συστατικά της συνολικής γραμμικής επιτάχυνσης, δηλ. Η συνολική γραμμική επιτάχυνση είναι το διανυσματικό άθροισμα της κανονικής και της εφαπτομενικής επιτάχυνσης:

Σημειώνω ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για το διανυσματικό άθροισμα, αλλά σε καμία περίπτωση για το κλιμακωτό άθροισμα. Για να βρείτε την αριθμητική τιμή, γνωρίζοντας και , είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα (το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός τριγώνου είναι αριθμητικά ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών αυτού του τριγώνου):

(1.8).

Αυτό υπονοεί:

(1.9).

Με ποιους τύπους να υπολογίσετε και να εξετάσετε λίγο αργότερα.

ΓΩΝΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ.

1 . Γωνία περιστροφής φ . Στην καμπυλόγραμμη κίνηση, το σώμα όχι μόνο διανύει κάποια διαδρομή και κάνει κάποια κίνηση, αλλά επίσης περιστρέφεται μέσα από μια συγκεκριμένη γωνία (βλ. Εικ. 1.7 (α)). Επομένως, για να περιγράψουμε μια τέτοια κίνηση, εισάγεται μια ποσότητα, η οποία ονομάζεται γωνία περιστροφής, που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ (διαβάστε "fi"). Στο σύστημα SI, η γωνία περιστροφής μετριέται σε ακτίνια (σημαίνει "rad"). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι μια πλήρης στροφή ισούται με 2π ακτίνια και ο αριθμός π είναι σταθερά: π ≈ 3,14. στο σχ. Το 1.7 (α) δείχνει την τροχιά του σώματος κατά μήκος ενός κύκλου ακτίνας r με κέντρο στο σημείο Ο. Η ίδια η γωνία περιστροφής είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ακτίνας του σώματος σε ορισμένες χρονικές στιγμές.

2 . Γωνιακή ταχύτητα ω – Αυτή είναι μια τιμή που δείχνει πώς αλλάζει η γωνία περιστροφής ανά μονάδα χρόνου. (ω - Ελληνικό γράμμα, διαβάστε «ωμέγα».) Στο σχ. Το 1.7 (β) δείχνει τη θέση ενός υλικού σημείου που κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής διαδρομής με κέντρο στο σημείο Ο, σε χρονικά διαστήματα Δt . Εάν οι γωνίες μέσω των οποίων περιστρέφεται το σώμα κατά τη διάρκεια αυτών των διαστημάτων είναι ίδιες, τότε η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και αυτή η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη. Και αν οι γωνίες περιστροφής είναι διαφορετικές, τότε η κίνηση είναι άνιση. Και, αφού η γωνιακή ταχύτητα δείχνει πόσα ακτίνια

το σώμα γύρισε σε ένα δευτερόλεπτο, τότε η μονάδα μέτρησής του είναι ακτίνια ανά δευτερόλεπτο

(σημειώνεται με " rad/s »).

ρύζι. 1.7

ένα). σι). Δt

Δt

Ο φ Ο Δt

3 . Γωνιώδης επιτάχυνση ε είναι μια τιμή που δείχνει πώς αλλάζει ανά μονάδα χρόνου. Και αφού η γωνιακή επιτάχυνση ε εμφανίζεται όταν αλλάζει η γωνιακή ταχύτητα ω , τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η γωνιακή επιτάχυνση συμβαίνει μόνο στην περίπτωση ανομοιόμορφης καμπυλόγραμμης κίνησης. Η μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης είναι " rad/s 2 ” (ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο).

Έτσι, ο πίνακας 1.1 μπορεί να συμπληρωθεί με τρεις ακόμη τιμές:

Πίνακας 1.2

№	φυσική ποσότητα	προσδιορισμός της ποσότητας	προσδιορισμός ποσότητας	μονάδα
1.	τρόπος	είναι η απόσταση που διανύει ένα σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησής του	μικρό	m (μέτρο)
2.	Ταχύτητα	είναι η απόσταση που διανύει ένα σώμα σε μια μονάδα χρόνου (π.χ. 1 δευτερόλεπτο)	υ	m/s (μέτρο ανά δευτερόλεπτο)
3.	επιτάχυνση	είναι το ποσό με το οποίο μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός σώματος ανά μονάδα χρόνου	ένα	m/s 2 (μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο)
4.	χρόνος		t	s (δεύτερο)
5.	γωνία περιστροφής	είναι η γωνία μέσω της οποίας περιστρέφεται το σώμα κατά τη διαδικασία της καμπυλόγραμμης κίνησης	φ	rad (ραδιανό)
6.	γωνιακή ταχύτητα	είναι η γωνία που περιστρέφεται το σώμα ανά μονάδα χρόνου (για παράδειγμα, σε 1 δευτερόλεπτο)	ω	rad/s (ακτίνια ανά δευτερόλεπτο)
7.	γωνιώδης επιτάχυνση	είναι το ποσό κατά το οποίο μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ανά μονάδα χρόνου	ε	rad/s 2 (ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο)

Τώρα μπορείτε να μεταβείτε απευθείας στην εξέταση όλων των τύπων καμπυλόγραμμης κίνησης, και υπάρχουν μόνο τρεις από αυτές.

Με τη βοήθεια αυτού του μαθήματος, θα μπορείτε να μελετήσετε ανεξάρτητα το θέμα «Ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση. Η κίνηση ενός σώματος σε κύκλο με σταθερή συντελεστή ταχύτητας. Πρώτον, χαρακτηρίζουμε την ευθύγραμμη και την καμπυλόγραμμη κίνηση εξετάζοντας πώς το διάνυσμα της ταχύτητας και η δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα σχετίζονται σε αυτούς τους τύπους κίνησης. Στη συνέχεια, εξετάζουμε μια ειδική περίπτωση όταν το σώμα κινείται κατά μήκος ενός κύκλου με σταθερή ταχύτητα modulo.

Στο προηγούμενο μάθημα εξετάσαμε ζητήματα που σχετίζονται με το νόμο της παγκόσμιας έλξης. Το θέμα του σημερινού μαθήματος σχετίζεται στενά με αυτόν τον νόμο, θα στραφούμε στην ομοιόμορφη κίνηση ενός σώματος σε κύκλο.

Το είπαμε και νωρίτερα κίνηση -Αυτή είναι μια αλλαγή στη θέση ενός σώματος στο χώρο σε σχέση με άλλα σώματα με την πάροδο του χρόνου. Η κίνηση και η κατεύθυνση της κίνησης χαρακτηρίζονται, μεταξύ άλλων, από την ταχύτητα. Η αλλαγή στην ταχύτητα και το είδος της ίδιας της κίνησης συνδέονται με τη δράση μιας δύναμης. Αν ασκηθεί δύναμη σε ένα σώμα, τότε το σώμα αλλάζει την ταχύτητά του.

Εάν η δύναμη κατευθύνεται παράλληλα με την κίνηση του σώματος, τότε μια τέτοια κίνηση θα είναι ειλικρινής(Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Ευθύγραμμη κίνηση

καμπυλόγραμμοςθα υπάρχει τέτοια κίνηση όταν η ταχύτητα του σώματος και η δύναμη που ασκείται σε αυτό το σώμα κατευθύνονται μεταξύ τους σε μια ορισμένη γωνία (Εικ. 2). Σε αυτή την περίπτωση, η ταχύτητα θα αλλάξει την κατεύθυνση.

Ρύζι. 2. Καμπυλόγραμμη κίνηση

Έτσι, στο ευθύγραμμη κίνησητο διάνυσμα της ταχύτητας κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη που ασκείται στο σώμα. ΑΛΛΑ καμπυλόγραμμη κίνησηείναι μια τέτοια κίνηση όταν το διάνυσμα της ταχύτητας και η δύναμη που ασκείται στο σώμα βρίσκονται σε κάποια γωνία μεταξύ τους.

Εξετάστε μια ειδική περίπτωση καμπυλόγραμμης κίνησης, όταν το σώμα κινείται σε κύκλο με σταθερή ταχύτητα σε απόλυτη τιμή. Όταν ένα σώμα κινείται σε κύκλο με σταθερή ταχύτητα, αλλάζει μόνο η κατεύθυνση της ταχύτητας. Modulo παραμένει σταθερό, αλλά η κατεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει. Μια τέτοια αλλαγή στην ταχύτητα οδηγεί στην παρουσία μιας επιτάχυνσης στο σώμα, η οποία ονομάζεται κεντρομόλος.

Ρύζι. 6. Κίνηση κατά μήκος καμπύλης διαδρομής

Εάν η τροχιά της κίνησης του σώματος είναι καμπύλη, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο κινήσεων κατά μήκος τόξων κύκλων, όπως φαίνεται στο Σχ. 6.

Στο σχ. Το 7 δείχνει πώς αλλάζει η κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας. Η ταχύτητα κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης κατευθύνεται εφαπτομενικά στον κύκλο κατά μήκος του τόξου του οποίου κινείται το σώμα. Έτσι, η κατεύθυνση του αλλάζει συνεχώς. Ακόμα κι αν η ταχύτητα του modulo παραμένει σταθερή, μια αλλαγή στην ταχύτητα οδηγεί σε επιτάχυνση:

Σε αυτήν την περίπτωση επιτάχυνσηθα κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου. Γι' αυτό λέγεται κεντρομόλος.

Γιατί η κεντρομόλος επιτάχυνση κατευθύνεται προς το κέντρο;

Θυμηθείτε ότι εάν ένα σώμα κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής, τότε η ταχύτητά του είναι εφαπτομενική. Η ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Ένα διάνυσμα έχει αριθμητική τιμή και κατεύθυνση. Η ταχύτητα καθώς το σώμα κινείται αλλάζει συνεχώς την κατεύθυνσή του. Δηλαδή, η διαφορά στις ταχύτητες σε διαφορετικά χρονικά σημεία δεν θα είναι ίση με μηδέν (), σε αντίθεση με μια ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση.

Έτσι, έχουμε μια αλλαγή στην ταχύτητα σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Η σχέση με είναι η επιτάχυνση. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, ακόμα κι αν η ταχύτητα δεν μεταβάλλεται σε απόλυτη τιμή, ένα σώμα που εκτελεί ομοιόμορφη κίνηση σε κύκλο έχει επιτάχυνση.

Πού κατευθύνεται αυτή η επιτάχυνση; Σκεφτείτε το Σχ. 3. Κάποιο σώμα κινείται καμπυλόγραμμα (σε τόξο). Η ταχύτητα του σώματος στα σημεία 1 και 2 είναι εφαπτομενική. Το σώμα κινείται ομοιόμορφα, δηλαδή οι μονάδες των ταχυτήτων είναι ίσες: , αλλά οι κατευθύνσεις των ταχυτήτων δεν συμπίπτουν.

Ρύζι. 3. Κίνηση του σώματος σε κύκλο

Αφαιρέστε την ταχύτητα από και λάβετε το διάνυσμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να συνδέσετε τις αρχές και των δύο διανυσμάτων. Παράλληλα, μετακινούμε το διάνυσμα στην αρχή του διανύσματος . Δημιουργούμε ένα τρίγωνο. Η τρίτη πλευρά του τριγώνου θα είναι το διάνυσμα διαφοράς ταχύτητας (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Διάνυσμα διαφοράς ταχύτητας

Το διάνυσμα κατευθύνεται προς τον κύκλο.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τα διανύσματα ταχύτητας και το διάνυσμα διαφοράς (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Τρίγωνο που σχηματίζεται από διανύσματα ταχύτητας

Αυτό το τρίγωνο είναι ισοσκελές (οι μονάδες ταχύτητας είναι ίσες). Άρα οι γωνίες στη βάση είναι ίσες. Ας γράψουμε την εξίσωση για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου:

Μάθετε πού κατευθύνεται η επιτάχυνση σε ένα δεδομένο σημείο της τροχιάς. Για να γίνει αυτό, αρχίζουμε να φέρνουμε το σημείο 2 πιο κοντά στο σημείο 1. Με μια τέτοια απεριόριστη επιμέλεια, η γωνία θα τείνει στο 0 και η γωνία - στο. Η γωνία μεταξύ του διανύσματος αλλαγής ταχύτητας και του ίδιου του διανύσματος ταχύτητας είναι . Η ταχύτητα κατευθύνεται εφαπτομενικά και το διάνυσμα αλλαγής ταχύτητας κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου. Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση κατευθύνεται επίσης προς το κέντρο του κύκλου. Γι' αυτό ονομάζεται αυτή η επιτάχυνση κεντρομόλος.

Πώς να βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση;

Εξετάστε την τροχιά κατά την οποία κινείται το σώμα. Στην περίπτωση αυτή, πρόκειται για τόξο κύκλου (Εικ. 8).

Ρύζι. 8. Κίνηση του σώματος σε κύκλο

Το σχήμα δείχνει δύο τρίγωνα: ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τις ταχύτητες και ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τις ακτίνες και το διάνυσμα μετατόπισης. Εάν τα σημεία 1 και 2 είναι πολύ κοντά, τότε το διάνυσμα μετατόπισης θα είναι το ίδιο με το διάνυσμα διαδρομής. Και τα δύο τρίγωνα είναι ισοσκελές με τις ίδιες γωνίες κορυφής. Άρα τα τρίγωνα είναι παρόμοια. Αυτό σημαίνει ότι οι αντίστοιχες πλευρές των τριγώνων είναι στην ίδια αναλογία:

Η μετατόπιση είναι ίση με το γινόμενο της ταχύτητας και του χρόνου: . Αντικαθιστώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να πάρετε την ακόλουθη έκφραση για την κεντρομόλο επιτάχυνση:

Γωνιακή ταχύτηταπου συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα ωμέγα (ω), δείχνει σε ποια γωνία περιστρέφεται το σώμα ανά μονάδα χρόνου (Εικ. 9). Αυτό είναι το μέγεθος του τόξου, σε μοίρες, που διασχίζει το σώμα σε κάποιο χρόνο.

Ρύζι. 9. Γωνιακή ταχύτητα

Σημειώστε ότι εάν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται, τότε η γωνιακή ταχύτητα για οποιαδήποτε σημεία αυτού του σώματος θα είναι σταθερή τιμή. Το σημείο είναι πιο κοντά στο κέντρο περιστροφής ή πιο μακριά - δεν έχει σημασία, δηλαδή, δεν εξαρτάται από την ακτίνα.

Η μονάδα μέτρησης σε αυτήν την περίπτωση θα είναι είτε μοίρες ανά δευτερόλεπτο (), είτε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (). Συχνά η λέξη "radian" δεν γράφεται, αλλά απλά γράφεται. Για παράδειγμα, ας βρούμε ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα της Γης. Η γη κάνει μια πλήρη περιστροφή σε μία ώρα και σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι ίση με:

Προσέξτε επίσης τη σχέση μεταξύ γωνιακών και γραμμικών ταχυτήτων:

Η γραμμική ταχύτητα είναι ευθέως ανάλογη της ακτίνας. Όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα, τόσο μεγαλύτερη είναι η γραμμική ταχύτητα. Έτσι, απομακρυνόμενοι από το κέντρο περιστροφής, αυξάνουμε τη γραμμική μας ταχύτητα.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η κίνηση σε κύκλο με σταθερή ταχύτητα είναι μια ειδική περίπτωση κίνησης. Ωστόσο, η κυκλική κίνηση μπορεί επίσης να είναι άνιση. Η ταχύτητα μπορεί να αλλάξει όχι μόνο ως προς την κατεύθυνση και να παραμείνει ίδια σε απόλυτη τιμή, αλλά και να αλλάξει στην τιμή της, δηλαδή, εκτός από την αλλαγή κατεύθυνσης, υπάρχει και αλλαγή στη μονάδα ταχύτητας. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για τη λεγόμενη επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση.

Τι είναι το ακτίνι;

Υπάρχουν δύο μονάδες για τη μέτρηση των γωνιών: μοίρες και ακτίνια. Στη φυσική, κατά κανόνα, το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας είναι το κύριο.

Ας κατασκευάσουμε μια κεντρική γωνία , η οποία βασίζεται σε ένα τόξο μήκους .

Οι έννοιες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης γενικεύονται φυσικά στην περίπτωση της κίνησης ενός υλικού σημείου κατά μήκος καμπυλόγραμμη τροχιά. Η θέση του κινούμενου σημείου στην τροχιά δίνεται από το διάνυσμα ακτίνας r έλκονται σε αυτό το σημείο από κάποιο σταθερό σημείο Ο, για παράδειγμα, η προέλευση (Εικ. 1.2). Αφήστε τη στιγμή tΤο υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση του Μμε διάνυσμα ακτίνας r = r (t). Μετά από λίγο καιρό ο Δ t, θα μετακινηθεί στη θέση Μ 1με ακτίνα - διάνυσμα r 1 = r (t+ ρε t). Ακτίνα - το διάνυσμα ενός υλικού σημείου θα λάβει μια αύξηση που καθορίζεται από τη γεωμετρική διαφορά D r = r 1 - r . Μέση ταχύτητα με την πάροδο του χρόνουρε tονομάζεται ποσότητα

Μέση κατεύθυνση ταχύτητας V Νυμφεύω σπίρταμε την κατεύθυνση του διανύσματος Δ r .

Μέσο όριο ταχύτητας στο Δ t® 0, δηλαδή η παράγωγος της ακτίνας - διανύσματος r με το καιρο

(1.9)

που ονομάζεται αληθήςή στιγμήταχύτητα σημείου υλικού. Διάνυσμα V σκηνοθετημένος εφαπτομενικάστην τροχιά του κινούμενου σημείου.

επιτάχυνση ένα ονομάζεται διάνυσμα ίσο με την πρώτη παράγωγο του διανύσματος ταχύτητας V ή η δεύτερη παράγωγος της ακτίνας - διάνυσμα r με το καιρο:

(1.10)

(1.11)

Σημειώστε την ακόλουθη επίσημη αναλογία μεταξύ ταχύτητας και επιτάχυνσης. Από ένα αυθαίρετο σταθερό σημείο Ο 1 θα σχεδιάσουμε το διάνυσμα της ταχύτητας V κινούμενο σημείο σε όλες τις πιθανές στιγμές (Εικ. 1.3).

Τέλος του διανύσματος V που ονομάζεται σημείο ταχύτητας. Ο τόπος των σημείων ταχύτητας είναι μια καμπύλη που ονομάζεται Οδογράφος ταχύτητας.Όταν ένα υλικό σημείο περιγράφει μια τροχιά, το σημείο ταχύτητας που αντιστοιχεί σε αυτό κινείται κατά μήκος του οδογράφου.

Ρύζι. Το 1.2 διαφέρει από το σχ. 1.3 μόνο με ονομασίες. Ακτίνα - Διάνυσμα r αντικαθίσταται από το διάνυσμα ταχύτητας V , το υλικό σημείο - προς το σημείο ταχύτητας, η τροχιά - προς τον οδόγραφο. Μαθηματικές πράξεις σε διάνυσμα r κατά την εύρεση της ταχύτητας και πάνω από το διάνυσμα V κατά την εύρεση της επιτάχυνσης είναι εντελώς πανομοιότυπες.

Ταχύτητα V κατευθύνεται κατά μήκος μιας εφαπτομένης διαδρομής. Έτσι επιτάχυνσηένα θα κατευθύνεται εφαπτομενικά στον οδόγραφο ταχύτητας.Μπορεί να ειπωθεί ότι Η επιτάχυνση είναι η ταχύτητα κίνησης του σημείου υψηλής ταχύτητας κατά μήκος του οδογράφου. Ως εκ τούτου,

Ανάλογα με το σχήμα της τροχιάς, η κίνηση χωρίζεται σε ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη. Στον πραγματικό κόσμο, τις περισσότερες φορές έχουμε να κάνουμε με καμπυλόγραμμη κίνηση, όταν η τροχιά είναι μια καμπύλη γραμμή. Παραδείγματα τέτοιων κινήσεων είναι η τροχιά ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο, η κίνηση των πλανητών, το τέλος του δείκτη του ρολογιού στο καντράν κ.λπ.

Εικόνα 1. Τροχιά και μετατόπιση σε καμπυλόγραμμη κίνηση

Ορισμός

Η καμπυλόγραμμη κίνηση είναι μια κίνηση της οποίας η τροχιά είναι μια καμπύλη γραμμή (για παράδειγμα, ένας κύκλος, μια έλλειψη, μια υπερβολή, μια παραβολή). Όταν κινείστε κατά μήκος μιας καμπυλόγραμμης τροχιάς, το διάνυσμα μετατόπισης $\overrightarrow(s)$ κατευθύνεται κατά μήκος της χορδής (Εικ. 1) και l είναι το μήκος της τροχιάς. Η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος (δηλαδή η ταχύτητα του σώματος σε ένα δεδομένο σημείο της τροχιάς) κατευθύνεται εφαπτομενικά σε εκείνο το σημείο της τροχιάς όπου βρίσκεται αυτή τη στιγμή το κινούμενο σώμα (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Στιγμιαία ταχύτητα κατά την καμπυλόγραμμη κίνηση

Ωστόσο, η ακόλουθη προσέγγιση είναι πιο βολική. Μπορείτε να φανταστείτε αυτή την κίνηση ως συνδυασμό πολλών κινήσεων κατά μήκος των τόξων των κύκλων (βλ. Εικ. 4.). Θα υπάρχουν λιγότερα τέτοια χωρίσματα από ό,τι στην προηγούμενη περίπτωση, επιπλέον, η κίνηση κατά μήκος του κύκλου είναι η ίδια καμπυλόγραμμη.

Εικόνα 4. Διαχωρισμός μιας καμπυλόγραμμης κίνησης σε κινήσεις κατά μήκος τόξων κύκλων

συμπέρασμα

Για να περιγράψει κανείς την καμπυλόγραμμη κίνηση, πρέπει να μάθει να περιγράφει την κίνηση κατά μήκος ενός κύκλου και στη συνέχεια να αναπαραστήσει μια αυθαίρετη κίνηση ως ένα σύνολο κινήσεων κατά μήκος τόξων κύκλων.

Ο στόχος της μελέτης της καμπυλόγραμμης κίνησης ενός υλικού σημείου είναι η σύνταξη μιας κινηματικής εξίσωσης που περιγράφει αυτή την κίνηση και επιτρέπει, σύμφωνα με δεδομένες αρχικές συνθήκες, να προσδιορίσει όλα τα χαρακτηριστικά αυτής της κίνησης.