Γ 41 ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων. Κύριοι τύποι ανισοτήτων και οι ιδιότητές τους

Βιβλιογραφία.

• Moro M.I.. Μαθηματικά. Σχολικό βιβλίο για 1 τάξη. αρχή σχολείο Σε 2 ώρες Μέρος 1. (Πρώτο εξάμηνο) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006. - 112 σελ.: παθ.+Προσθ. (2 ξεχωριστά λ. άρρωστος.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.

Το πεδίο των πραγματικών αριθμών έχει την ιδιότητα να ταξινομεί (Ενότητα 6, σελ. 35): για οποιουσδήποτε αριθμούς a, b, μία και ισχύει μόνο μία από τις τρεις σχέσεις: ή . Σε αυτήν την περίπτωση, η καταχώριση a > b σημαίνει ότι η διαφορά είναι θετική και η διαφορά εισόδου είναι αρνητική. Σε αντίθεση με το πεδίο των πραγματικών αριθμών, το πεδίο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο: για τους μιγαδικούς αριθμούς οι έννοιες «περισσότεροι» και «λιγότεροι» δεν ορίζονται. Επομένως, αυτό το κεφάλαιο ασχολείται μόνο με πραγματικούς αριθμούς.

Τις σχέσεις τις ονομάζουμε ανισώσεις, οι αριθμοί a και b είναι όροι (ή μέρη) της ανισότητας, τα πρόσημα > (μεγαλύτερο από) και οι ανισώσεις a > b και c > d ονομάζονται ανισώσεις της ίδιας (ή της ίδιας) σημασίας. ανισώσεις α > β και γ Από τον ορισμό της ανισότητας προκύπτει αμέσως ότι

1) οποιονδήποτε θετικό αριθμό Πάνω απο το μηδέν;

2) οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

3) οποιοσδήποτε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό.

4) δύο αρνητικών αριθμών, αυτός του οποίου η απόλυτη τιμή είναι μικρότερη είναι μεγαλύτερος.

Όλες αυτές οι δηλώσεις παραδέχονται μια απλή γεωμετρική ερμηνεία. Αφήστε τη θετική κατεύθυνση του άξονα των αριθμών να πάει δεξιά από το σημείο εκκίνησης. τότε, ανεξάρτητα από τα πρόσημα των αριθμών, το μεγαλύτερο από αυτά παριστάνεται από ένα σημείο που βρίσκεται στα δεξιά του σημείου που αντιπροσωπεύει τον μικρότερο αριθμό.

Οι ανισότητες έχουν τα εξής κύριες ιδιότητες.

1. Ασυμμετρία (μη αναστρεψιμότητα): αν , τότε , και αντίστροφα.

Πράγματι, αν η διαφορά είναι θετική, τότε η διαφορά είναι αρνητική. Λένε ότι κατά την αναδιάταξη των όρων μιας ανισότητας, η έννοια της ανισότητας πρέπει να αλλάξει στο αντίθετο.

2. Μεταβατικότητα: αν , τότε . Πράγματι, από τη θετικότητα των διαφορών προκύπτει ότι

Εκτός από τα σημάδια ανισότητας, χρησιμοποιούνται και τα σύμβολα ανισότητας, τα οποία ορίζονται ως εξής: η καταχώρηση σημαίνει ότι είτε ή Επομένως, για παράδειγμα, μπορείτε να γράψετε, και επίσης. Τυπικά, οι ανισότητες που γράφονται με πρόσημα ονομάζονται αυστηρές ανισότητες και αυτές που γράφονται με πρόσημα ονομάζονται μη αυστηρές ανισότητες. Κατά συνέπεια, τα ίδια τα ζώδια ονομάζονται σημάδια αυστηρής ή μη αυστηρής ανισότητας. Οι ιδιότητες 1 και 2 που συζητήθηκαν παραπάνω ισχύουν επίσης για μη αυστηρές ανισότητες.

Ας εξετάσουμε τώρα τις ενέργειες που μπορούν να γίνουν σε μία ή περισσότερες ανισότητες.

3. Η προσθήκη του ίδιου αριθμού στους όρους μιας ανισότητας δεν αλλάζει την έννοια της ανισότητας.

Απόδειξη. Έστω μια ανισότητα και ένας αυθαίρετος αριθμός. Εξ ορισμού, η διαφορά είναι θετική. Ας προσθέσουμε δύο αντίθετους αριθμούς σε αυτόν τον αριθμό, που δεν θα τον αλλάξουν, δηλ.

Αυτή η ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Από αυτό προκύπτει ότι η διαφορά είναι θετική, δηλαδή ότι

και αυτό ήταν που έπρεπε να αποδειχτεί.

Αυτή είναι η βάση για την πιθανότητα λοξής στροφής οποιουδήποτε μέλους της ανισότητας από το ένα μέρος στο άλλο με το αντίθετο πρόσημο. Για παράδειγμα, από την ανισότητα

ακολουθεί ότι

4. Όταν πολλαπλασιάζονται οι όροι μιας ανίσωσης με τον ίδιο θετικό αριθμό, η έννοια της ανισότητας δεν αλλάζει. Όταν οι όροι μιας ανισότητας πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, η έννοια της ανισότητας αλλάζει στο αντίθετο.

Απόδειξη. Έστω τότε Αν τότε αφού το γινόμενο των θετικών αριθμών είναι θετικό. Ανοίγοντας τις παρενθέσεις στην αριστερή πλευρά της τελευταίας ανισότητας, παίρνουμε , δηλ. Η υπόθεση εξετάζεται με παρόμοιο τρόπο.

Ακριβώς το ίδιο συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί σχετικά με τη διαίρεση μερών της ανίσωσης με οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν, αφού η διαίρεση με έναν αριθμό ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό με έναν αριθμό και οι αριθμοί έχουν τα ίδια πρόσημα.

5. Οι όροι της ανισότητας ας είναι θετικοί. Τότε, όταν οι όροι του ανεβαίνουν στην ίδια θετική δύναμη, η έννοια της ανισότητας δεν αλλάζει.

Απόδειξη. Αφήστε σε αυτή την περίπτωση, από την ιδιότητα μεταβατικότητα, και . Τότε, λόγω της μονοτονικής αύξησης της συνάρτησης ισχύος για και θετική, θα έχουμε

Συγκεκριμένα, αν όπου είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε παίρνουμε

δηλ. κατά την εξαγωγή της ρίζας και των δύο πλευρών της ανισότητας με θετικά μέληη έννοια της ανισότητας δεν αλλάζει.

Οι όροι της ανισότητας ας είναι αρνητικοί. Τότε δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί ότι όταν οι όροι του ανεβαίνουν σε περιττούς φυσικός βαθμόςη έννοια της ανισότητας δεν θα αλλάξει, αλλά όταν ανυψωθεί σε μια ομοιόμορφη φυσική δύναμη, θα αλλάξει στο αντίθετο. Από ανισώσεις με αρνητικούς όρους μπορεί κανείς να εξαγάγει και τη ρίζα του περιττού βαθμού.

Ας, επιπλέον, οι όροι της ανισότητας έχουν διαφορετικά πρόσημα. Στη συνέχεια, όταν την ανεβάζουμε σε περιττή ισχύ, η έννοια της ανισότητας δεν αλλάζει, αλλά όταν την ανεβάζουμε σε άρτια ισχύ, στη γενική περίπτωση, δεν μπορεί να ειπωθεί τίποτα συγκεκριμένο για την έννοια της προκύπτουσας ανισότητας. Στην πραγματικότητα, όταν ένας αριθμός αυξάνεται σε περιττή δύναμη, το πρόσημο του αριθμού διατηρείται και επομένως η έννοια της ανισότητας δεν αλλάζει. Όταν μια ανισότητα αυξάνεται σε άρτια ισχύ, σχηματίζεται μια ανισότητα με θετικούς όρους και η σημασία της θα εξαρτηθεί από τις απόλυτες τιμές των όρων της αρχικής ανισότητας· μια ανισότητα με την ίδια σημασία με την αρχική, μια ανισότητα αντίθετης σημασίας, και μπορεί να επιτευχθεί ακόμη και ισότητα!

Είναι χρήσιμο να ελέγξετε όλα όσα έχουν ειπωθεί σχετικά με την αύξηση των ανισοτήτων σε δυνάμεις χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 1. Αυξήστε τις παρακάτω ανισώσεις στην υποδεικνυόμενη ισχύ, αλλάζοντας το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο ή ίσο, εάν χρειάζεται.

α) 3 > 2 στη δύναμη του 4. β) στον βαθμό 3.

γ) στον βαθμό 3. δ) στον βαθμό 2.

ε) στη δύναμη του 5. ε) στον βαθμό 4.

ζ) 2 > -3 στη δύναμη του 2; η) στη δύναμη του 2,

6. Από μια ανισότητα μπορούμε να προχωρήσουμε σε μια ανισότητα μεταξύ αν οι όροι της ανισότητας είναι και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί, τότε μεταξύ των αντίστροφών τους υπάρχει μια ανισότητα αντίθετης σημασίας:

Απόδειξη. Αν τα α και β έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε το γινόμενο τους είναι θετικό. Διαιρέστε με την ανισότητα

δηλ. ό,τι έπρεπε να ληφθεί.

Αν οι όροι μιας ανισότητας έχουν αντίθετα πρόσημα, τότε η ανισότητα μεταξύ των αντίστροφών τους έχει την ίδια σημασία, αφού τα πρόσημα των αντίστροφων είναι τα ίδια με τα πρόσημα των ίδιων των ποσοτήτων.

Παράδειγμα 2. Ελέγξτε την τελευταία ιδιότητα 6 χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες ανισότητες:

7. Λογάριθμος ανισώσεων μπορεί να γίνει μόνο στην περίπτωση που οι όροι των ανισώσεων είναι θετικοί (οι αρνητικοί αριθμοί και οι μηδενικοί λογάριθμοι δεν έχουν).

Αφήστε . Μετά θα υπάρξει

και πότε θα υπάρξει

Η ορθότητα αυτών των δηλώσεων βασίζεται στη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης, η οποία αυξάνεται εάν η βάση και μειώνεται με

Έτσι, όταν παίρνουμε τον λογάριθμο μιας ανισότητας που αποτελείται από θετικούς όρους σε μια βάση μεγαλύτερη του ενός, σχηματίζεται μια ανισότητα της ίδιας σημασίας με τη δεδομένη, και όταν ο λογάριθμος παίρνει μια θετική βάση μικρότερη από μια, μια ανισότητα του σχηματίζεται αντίθετη σημασία.

8. Αν, τότε αν, αλλά, τότε.

Αυτό προκύπτει αμέσως από τις ιδιότητες μονοτονίας της εκθετικής συνάρτησης (Ενότητα 42), η οποία αυξάνεται στην περίπτωση και μειώνεται εάν

Όταν προσθέτουμε ορολογικές ανισότητες της ίδιας σημασίας, σχηματίζεται μια ανισότητα της ίδιας σημασίας με τα δεδομένα.

Απόδειξη. Ας αποδείξουμε αυτή τη δήλωση για δύο ανισώσεις, αν και ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό προστιθέμενων ανισώσεων. Ας δοθούν οι ανισότητες

Εξ ορισμού, οι αριθμοί θα είναι θετικοί. τότε και το άθροισμά τους αποδεικνύεται θετικό, δηλ.

Ομαδοποιώντας τους όρους διαφορετικά, παίρνουμε

και ως εκ τούτου

και αυτό ήταν που έπρεπε να αποδειχτεί.

Είναι αδύνατο να πούμε κάτι συγκεκριμένο στη γενική περίπτωση για την έννοια μιας ανισότητας που προκύπτει με την προσθήκη δύο ή περισσότερων ανισοτήτων διαφορετικών σημασιών.

10. Αν από μια ανισότητα αφαιρέσουμε, όρο προς όρο, μια άλλη ανισότητα αντίθετης σημασίας, τότε σχηματίζεται ανισότητα ίδιας σημασίας με την πρώτη.

Απόδειξη. Ας δοθούν δύο ανισότητες με διαφορετική σημασία. Το δεύτερο από αυτά, σύμφωνα με την ιδιότητα της μη αναστρεψιμότητας, μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: δ > γ. Ας προσθέσουμε τώρα δύο ανισώσεις της ίδιας σημασίας και πάρουμε την ανισότητα

η ίδια σημασία. Από το τελευταίο βρίσκουμε

και αυτό ήταν που έπρεπε να αποδειχτεί.

Είναι αδύνατο να πούμε κάτι συγκεκριμένο στη γενική περίπτωση για την έννοια μιας ανισότητας που προκύπτει αφαιρώντας από μια ανισότητα μια άλλη ανισότητα της ίδιας σημασίας.

Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ένωση τριών συνόλων: το σύνολο των θετικών αριθμών, το σύνολο των αρνητικών αριθμών και το σύνολο που αποτελείται από έναν αριθμό - τον αριθμό μηδέν. Για να υποδείξετε ότι ο αριθμός ΕΝΑθετικό, χρησιμοποιήστε την εγγραφή α > 0, για να υποδείξετε έναν αρνητικό αριθμό χρησιμοποιήστε άλλη σημείωση ένα< 0 .

Το άθροισμα και το γινόμενο θετικών αριθμών είναι επίσης θετικοί αριθμοί. Εάν ο αριθμός ΕΝΑαρνητικό, μετά τον αριθμό -ΕΝΑθετικό (και το αντίστροφο). Για κάθε θετικό αριθμό a υπάρχει θετικός ρητός αριθμός r, Τι r< а . Αυτά τα γεγονότα αποτελούν τη βάση της θεωρίας των ανισοτήτων.

Εξ ορισμού, η ανίσωση a > b (ή, τι είναι το ίδιο, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, δηλαδή αν ο αριθμός a - b είναι θετικός.

Εξετάστε, ειδικότερα, την ανισότητα ΕΝΑ< 0 . Τι σημαίνει αυτή η ανισότητα; Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό σημαίνει ότι 0 - α > 0, δηλ. -a > 0ή, με άλλα λόγια, ποιος είναι ο αριθμός -ΕΝΑθετικώς. Αλλά αυτό λαμβάνει χώρα εάν και μόνο εάν ο αριθμός ΕΝΑαρνητικός. Ανισότητα λοιπόν ΕΝΑ< 0 σημαίνει ότι ο αριθμός αλλά αρνητικό.

Ο συμβολισμός χρησιμοποιείται επίσης συχνά αβ(ή, τι είναι το ίδιο, βα).
Ρεκόρ αβ, εξ ορισμού, σημαίνει ότι είτε α > β, ή α = β. Αν αναλογιστούμε το ρεκόρ αβως αόριστη πρόταση, τότε στη σημειογραφία της μαθηματικής λογικής μπορούμε να γράψουμε

(α β) [(α > β) V (α = β)]

Παράδειγμα 1.Είναι αληθείς οι ανισώσεις 5 0, 0 0;

Η ανισότητα 5 0 είναι μια σύνθετη πρόταση που αποτελείται από δύο απλές προτάσεις που συνδέονται με το λογικό συνδετικό «ή» (διάσπαση). Είτε 5 > 0 είτε 5 = 0. Η πρώτη πρόταση 5 > 0 είναι σωστή, η δεύτερη πρόταση 5 = 0 είναι ψευδής. Με τον ορισμό του διαχωρισμού, μια τέτοια σύνθετη δήλωση είναι αληθής.

Το λήμμα 00 συζητείται με παρόμοιο τρόπο.

Ανισότητες της μορφής α > β, α< b θα τα πούμε αυστηρά, και ανισότητες της μορφής αβ, αβ- όχι αυστηρή.

Ανισότητες α > βΚαι γ > δ(ή ΕΝΑ< b Και Με< d ) θα ονομαστούν ανισότητες της ίδιας σημασίας, και ανισότητες α > βΚαι ντο< d - ανισότητες αντίθετης σημασίας. Σημειώστε ότι αυτοί οι δύο όροι (ανισότητες ίδιας και αντίθετης σημασίας) αναφέρονται μόνο στη μορφή γραφής των ανισοτήτων και όχι στα ίδια τα γεγονότα που εκφράζονται από αυτές τις ανισότητες. Άρα, σε σχέση με την ανισότητα ΕΝΑ< b ανισότητα Με< d είναι μια ανισότητα της ίδιας σημασίας, και στη σημειογραφία δ>γ(εννοεί το ίδιο πράγμα) - μια ανισότητα της αντίθετης σημασίας.

Μαζί με ανισότητες της μορφής α>β, αβχρησιμοποιούνται οι λεγόμενες διπλές ανισότητες, δηλαδή ανισότητες της μορφής ΕΝΑ< с < b , μετα Χριστον< b , ένα< cb ,
έναγβ. Εξ ορισμού, ρεκόρ

ΕΝΑ< с < b (1)
σημαίνει ότι και οι δύο ανισότητες ισχύουν:

ΕΝΑ< с Και Με< b.

Οι ανισότητες έχουν παρόμοια σημασία acb, ac< b, а < сb.

Η διπλή ανισότητα (1) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(ένα< c < b) [(a < c) & (c < b)]

και διπλή ανισότητα α ≤ γ ≤ βμπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

(α γ β) [(α< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Ας προχωρήσουμε τώρα στην παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων και κανόνων δράσης στις ανισότητες, έχοντας συμφωνήσει ότι σε αυτό το άρθρο τα γράμματα α, β, γσημαίνει πραγματικούς αριθμούς και nσημαίνει φυσικός αριθμός.

1) Αν a > b και b > c, τότε a > c (μεταβατικότητα).

Απόδειξη.

Αφού κατά συνθήκη α > βΚαι β > γ, μετά οι αριθμοί α - βΚαι προ ΧΡΙΣΤΟΥείναι θετικά, άρα και ο αριθμός α - γ = (α - β) + (β - γ), ως το άθροισμα των θετικών αριθμών, είναι επίσης θετικό. Αυτό σημαίνει εξ ορισμού ότι α > γ.

2) Αν a > b, τότε για κάθε c ισχύει η ανισότητα a + c > b + c.

Απόδειξη.

Επειδή α > β, μετά τον αριθμό α - βθετικώς. Επομένως, ο αριθμός (α + γ) - (β + γ) = α + γ - β - γ = α - βείναι επίσης θετικό, δηλ.
α + γ > β + γ.

3) Αν a + b > c, τότε a > b - c,Δηλαδή, οποιοσδήποτε όρος μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος της ανισότητας στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο αυτού του όρου στο αντίθετο.

Η απόδειξη προκύπτει από την ιδιότητα 2) αρκεί και για τις δύο πλευρές της ανισότητας α + β > γπρόσθεσε αριθμό - β.

4) Αν a > b και c > d, τότε a + c > b + d,δηλαδή όταν προσθέτουμε δύο ανισότητες ίδιας σημασίας προκύπτει ανισότητα ίδιας σημασίας.

Απόδειξη.

Δυνάμει του ορισμού της ανισότητας, αρκεί να δείξουμε ότι η διαφορά
(α + γ) - (β + γ)θετικός. Αυτή η διαφορά μπορεί να γραφτεί ως εξής:
(α + γ) - (β + δ) = (α - β) + (γ - δ).
Αφού σύμφωνα με την προϋπόθεση του αριθμού α - βΚαι γ - δείναι θετικά, λοιπόν (α + γ) - (β + δ)υπάρχει και θετικός αριθμός.

Συνέπεια. Από τους κανόνες 2) και 4) ακολουθεί ο ακόλουθος Κανόνας για την αφαίρεση των ανισώσεων: αν α > β, γ > δ, Οτι α - δ > β - γ(για απόδειξη αρκεί να εφαρμόσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας α + γ > β + δπρόσθεσε αριθμό - γ - δ).

5) Αν a > b, τότε για c > 0 έχουμε ac > bc, και για c< 0 имеем ас < bc.

Με άλλα λόγια, όταν πολλαπλασιάζονται και οι δύο πλευρές μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό, διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας (δηλαδή προκύπτει μια ανισότητα της ίδιας σημασίας), αλλά όταν πολλαπλασιάζεται με έναν αρνητικό αριθμό, το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει στο αντίθετο (δηλαδή, προκύπτει μια ανισότητα αντίθετης σημασίας.

Απόδειξη.

Αν α > β, Οτι α - βείναι θετικός αριθμός. Επομένως, το σημάδι της διαφοράς ac-bc = ταξί)ταιριάζει με το πρόσημο του αριθμού Με: Αν Μεείναι ένας θετικός αριθμός, τότε η διαφορά ακ - π.Χείναι θετικό και ως εκ τούτου ac > bс, κι αν Με< 0 , τότε αυτή η διαφορά είναι αρνητική και επομένως π.Χ. - ακθετικό, δηλ. bc > ac.

6) Αν a > b > 0 και c > d > 0, τότε ac > bd,Δηλαδή, εάν όλοι οι όροι δύο ανισώσεων της ίδιας σημασίας είναι θετικοί, τότε κατά τον πολλαπλασιασμό αυτών των ανισώσεων όρο προς όρο, προκύπτει μια ανισότητα της ίδιας σημασίας.

Απόδειξη.

Εχουμε ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Επειδή c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, μετά ac - bd > 0, δηλ. ac > bd.

Σχόλιο.Από την απόδειξη είναι σαφές ότι η συνθήκη d > 0στη διατύπωση της ιδιότητας 6) δεν έχει σημασία: για να είναι έγκυρη αυτή η ιδιότητα, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις a > b > 0, c > d, c > 0. Αν (αν πληρούνται οι ανισότητες α > β, γ > δ) αριθμοί α, β, γδεν θα είναι όλα θετικά, τότε η ανισότητα ac > bdμπορεί να μην εκπληρωθεί. Για παράδειγμα, όταν ΕΝΑ = 2, σι =1, ντο= -2, ρε= -3 έχουμε α > β, γ > ρε, αλλά ανισότητα ac > bd(δηλαδή -4 > -3) απέτυχε. Έτσι, η απαίτηση οι αριθμοί a, b, c να είναι θετικοί στη διατύπωση της ιδιότητας 6) είναι ουσιαστική.

7) Αν a ≥ b > 0 και c > d > 0, τότε (διαίρεση ανισώσεων).

Απόδειξη.

Εχουμε Ο αριθμητής του κλάσματος στη δεξιά πλευρά είναι θετικός (βλ. ιδιότητες 5), 6)), ο παρονομαστής είναι επίσης θετικός. Ως εκ τούτου,. Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα 7).

Σχόλιο.Ας σημειώσουμε ένα σημαντικό ειδική περίπτωσηκανόνας 7), που προκύπτει όταν a = b = 1: αν c > d > 0, τότε. Έτσι, εάν οι όροι της ανισότητας είναι θετικοί, τότε περνώντας στα αντίστροφα παίρνουμε μια ανισότητα αντίθετης σημασίας. Καλούμε τους αναγνώστες να ελέγξουν ότι αυτός ο κανόνας ισχύει και στο 7) Αν ab > 0 και c > d > 0, τότε (διαίρεση ανισώσεων).

Απόδειξη. Οτι.

Έχουμε αποδείξει παραπάνω αρκετές ιδιότητες ανισώσεων που γράφτηκαν χρησιμοποιώντας το πρόσημο > (περισσότερο). Ωστόσο, όλες αυτές οι ιδιότητες θα μπορούσαν να διατυπωθούν χρησιμοποιώντας το σύμβολο < (λιγότερο), αφού η ανισότητα σι< а σημαίνει, εξ ορισμού, το ίδιο με την ανισότητα α > β. Επιπλέον, όπως είναι εύκολο να επαληθευτεί, οι ιδιότητες που αποδείχθηκαν παραπάνω διατηρούνται επίσης για μη αυστηρές ανισότητες. Για παράδειγμα, η ιδιότητα 1) για μη αυστηρές ανισότητες θα έχει επόμενη προβολή: Αν αβ και π.γ, Οτι μετα Χριστον.

Φυσικά, τα παραπάνω δεν περιορίζουν τις γενικές ιδιότητες των ανισοτήτων. Υπάρχει επίσης ολόκληρη γραμμήγενικές ανισότητες που σχετίζονται με τη θεώρηση ισχύος, εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Γενική προσέγγισηγια τη σύνταξη αυτού του είδους ανισοτήτων είναι η εξής. Αν κάποια λειτουργία y = f(x)αυξάνεται μονότονα στο τμήμα [α, β], τότε για x 1 > x 2 (όπου x 1 και x 2 ανήκουν σε αυτό το τμήμα) έχουμε f (x 1) > f(x 2). Ομοίως, εάν η συνάρτηση y = f(x)μειώνεται μονοτονικά στο διάστημα [α, β], τότε πότε x 1 > x 2 (όπου x 1Και Χ 2 ανήκουν σε αυτό το τμήμα) έχουμε f(x 1)< f(x 2 ). Φυσικά, αυτό που ειπώθηκε δεν διαφέρει από τον ορισμό της μονοτονίας, αλλά αυτή η τεχνική είναι πολύ βολική για την απομνημόνευση και τη συγγραφή ανισοτήτων.

Έτσι, για παράδειγμα, για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n η συνάρτηση y = xnαυξάνεται μονότονα κατά μήκος της ακτίνας }