Το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσα. Πώς να βρείτε το άθροισμα των ριζών μιας εξίσωσης

μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα: 5+5+5+5+5+5=5x6. Λένε για μια τέτοια έκφραση ότι το άθροισμα των ίσων όρων έχει διπλωθεί σε ένα γινόμενο. Και αντίστροφα, αν διαβάσουμε αυτή την ισότητα από δεξιά προς τα αριστερά, παίρνουμε ότι έχουμε διευρύνει το άθροισμα των ίσων όρων. Ομοίως, μπορείτε να διπλώσετε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Δηλαδή, αντί να πολλαπλασιάσουμε έξι ίδιοι πολλαπλασιαστές 5x5x5x5x5x5 γράψτε 5 6 και πείτε "πέντε στην έκτη δύναμη".

Η έκφραση 5 6 είναι δύναμη ενός αριθμού, όπου:

5 - βάση πτυχίου?

6 - εκθέτης.

Οι πράξεις με τις οποίες το γινόμενο ίσων παραγόντων αναδιπλώνεται σε δύναμη ονομάζονται εκθέσεως.

ΣΤΟ γενική εικόναβαθμός με βάση «α» και εκθέτη «ν» γράφεται ως

Η αύξηση του αριθμού a στη δύναμη του n σημαίνει εύρεση του γινόμενου n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a

Εάν η βάση του βαθμού "a" είναι 1, τότε η τιμή του βαθμού για οποιοδήποτε φυσικό n θα είναι ίση με 1. Για παράδειγμα, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Εάν σηκώσετε τον αριθμό "a" αυξήστε το σε πρώτου βαθμού, τότε παίρνουμε τον ίδιο τον αριθμό a: α 1 = α

Εάν αυξήσετε οποιοδήποτε αριθμό σε μηδέν βαθμό, τότε ως αποτέλεσμα των υπολογισμών παίρνουμε ένα. a 0 = 1

Η δεύτερη και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού θεωρούνται ειδικές. Τους βρήκαν ονόματα: το δεύτερο πτυχίο λέγεται το τετράγωνο ενός αριθμού, τρίτο - κύβοςαυτός ο αριθμός.

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αυξηθεί σε ισχύ - θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Ωστόσο, δεν χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες:

Κατά την εύρεση του βαθμού ενός θετικού αριθμού, προκύπτει ένας θετικός αριθμός.

Κατά τον υπολογισμό του μηδενός φυσικός βαθμόςπαίρνουμε μηδέν.

x m х n = x m + n

για παράδειγμα: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Προς την διαιρέστε τις δυνάμεις με την ίδια βάσηΔεν αλλάζουμε τη βάση, αλλά αφαιρούμε τους εκθέτες:

x m / x n \u003d x m - n , όπου, m > n

π.χ.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Κατά τον υπολογισμό εκθέσεωςΔεν αλλάζουμε τη βάση, αλλά πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες μεταξύ τους.

(στο μ ) n = y m n

για παράδειγμα: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(Χ · y) n = x n · Μ ,

για παράδειγμα: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Κατά την εκτέλεση υπολογισμών για εκφορά ενός κλάσματοςανεβάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος στη δεδομένη δύναμη

(x/y)n = x n / y n

για παράδειγμα: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Η ακολουθία εκτέλεσης υπολογισμών κατά την εργασία με εκφράσεις που περιέχουν βαθμό.

Κατά την εκτέλεση υπολογισμών παραστάσεων χωρίς αγκύλες, αλλά που περιέχουν δυνάμεις, πρώτα απ 'όλα, εκτελείται η εκθετικότητα, μετά οι πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και μόνο τότε οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης.

Εάν είναι απαραίτητο να αξιολογήσουμε μια έκφραση που περιέχει αγκύλες, τότε πρώτα, με τη σειρά που υποδεικνύεται παραπάνω, κάνουμε τους υπολογισμούς σε αγκύλες και, στη συνέχεια, τις υπόλοιπες ενέργειες με την ίδια σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Πολύ ευρέως στους πρακτικούς υπολογισμούς, για την απλοποίηση των υπολογισμών, χρησιμοποιούνται έτοιμοι πίνακες βαθμών.

Στη συνέχεια της κουβέντας για το βαθμό ενός αριθμού, είναι λογικό να ασχοληθούμε με την εύρεση της τιμής του βαθμού. Αυτή η διαδικασία έχει ονομαστεί εκθέσεως. Σε αυτό το άρθρο, θα μελετήσουμε απλώς τον τρόπο με τον οποίο εκτελείται η εκθετική ικανότητα, ενώ θα θίξουμε όλους τους πιθανούς εκθέτες - φυσικούς, ακέραιους, ορθολογικούς και παράλογους. Και κατά παράδοση, θα εξετάσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε παραδείγματα αύξησης αριθμών σε διάφορους βαθμούς.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει «εκθετικότητα»;

Ας ξεκινήσουμε εξηγώντας αυτό που ονομάζεται εκθετικότητα. Εδώ είναι ο σχετικός ορισμός.

Ορισμός.

Εκθεσιμότηταείναι να βρούμε την τιμή της δύναμης ενός αριθμού.

Έτσι, η εύρεση της τιμής της δύναμης του a με τον εκθέτη r και η αύξηση του αριθμού a στη δύναμη του r είναι το ίδιο πράγμα. Για παράδειγμα, εάν η εργασία είναι "υπολογίστε την τιμή της ισχύος (0,5) 5", τότε μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: "Αυξήστε τον αριθμό 0,5 στη δύναμη του 5".

Τώρα μπορείτε να μεταβείτε απευθείας στους κανόνες με τους οποίους εκτελείται η εκτόξευση.

Αύξηση ενός αριθμού σε φυσική δύναμη

Στην πράξη, η ισότητα με βάση συνήθως εφαρμόζεται στη μορφή . Δηλαδή, κατά την αύξηση του αριθμού a σε μια κλασματική ισχύ m / n, εξάγεται πρώτα η ρίζα του nου βαθμού από τον αριθμό a, μετά την οποία το αποτέλεσμα αυξάνεται σε μια ακέραια ισχύ m.

Εξετάστε λύσεις σε παραδείγματα αύξησης σε κλασματική δύναμη.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε την τιμή του πτυχίου.

Λύση.

Δείχνουμε δύο λύσεις.

Πρώτος τρόπος. Εξ ορισμού του βαθμού με κλασματικό εκθέτη. Υπολογίζουμε την τιμή του βαθμού κάτω από το πρόσημο της ρίζας, μετά την οποία εξάγουμε κυβική ρίζα: .

Ο δεύτερος τρόπος. Εξ ορισμού ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη και με βάση τις ιδιότητες των ριζών, οι ισότητες είναι αληθείς . Τώρα εξαγάγετε τη ρίζα Τέλος, ανεβάζουμε σε μια ακέραια δύναμη .

Προφανώς, τα ληφθέντα αποτελέσματα της αύξησης σε κλασματική ισχύ συμπίπτουν.

Απάντηση:

Σημειώστε ότι ο κλασματικός εκθέτης μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό κλάσμαή μικτός αριθμός, σε αυτές τις περιπτώσεις θα πρέπει να αντικατασταθεί από το αντίστοιχο συνηθισμένο κλάσμα, μετά από το οποίο θα πρέπει να εκτελεστεί η εκτίμηση.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε (44,89) 2,5 .

Λύση.

Γράφουμε τον εκθέτη στη φόρμα κοινό κλάσμα(αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο): . Τώρα εκτελούμε αύξηση σε κλασματική ισχύ:

Απάντηση:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Θα πρέπει επίσης να ειπωθεί ότι η αύξηση των αριθμών σε λογικές δυνάμεις είναι μια αρκετά επίπονη διαδικασία (ειδικά όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής κλασματικός δείκτηςοι βαθμοί είναι αρκετοί μεγάλα νούμερα), το οποίο συνήθως πραγματοποιείται με χρήση τεχνολογίας υπολογιστών.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, θα σταθούμε στην κατασκευή του αριθμού μηδέν σε κλασματική δύναμη. κλασματικός βαθμόςμηδέν της μορφής, δώσαμε την εξής σημασία: για έχουμε , ενώ το μηδέν στην ισχύ m/n δεν ορίζεται. Άρα μηδέν σε κλασματικό θετικό βαθμόισούται με μηδέν, για παράδειγμα, . Και το μηδέν σε μια κλασματική αρνητική ισχύ δεν έχει νόημα, για παράδειγμα, οι εκφράσεις και το 0 -4,3 δεν έχουν νόημα.

Ανέβασμα σε μια παράλογη δύναμη

Μερικές φορές καθίσταται απαραίτητο να μάθουμε την τιμή του βαθμού ενός αριθμού με έναν παράλογο εκθέτη. Ταυτόχρονα, στο πρακτικούς σκοπούςσυνήθως αρκεί να φτάσει η τιμή του βαθμού μέχρι κάποιο σημάδι. Σημειώνουμε αμέσως ότι αυτή η τιμή υπολογίζεται στην πράξη με χρήση τεχνολογίας ηλεκτρονικών υπολογιστών, από την αύξηση σε ir ορθολογικός βαθμόςαπαιτεί χειροκίνητα ένας μεγάλος αριθμόςδυσκίνητους υπολογισμούς. Ωστόσο, θα περιγράψουμε σε γενικούς όρουςουσία της δράσης.

Για να ληφθεί μια κατά προσέγγιση τιμή της ισχύος του a με έναν παράλογο εκθέτη, λαμβάνεται κάποια δεκαδική προσέγγιση του εκθέτη και υπολογίζεται η τιμή του εκθέτη. Αυτή η τιμή είναι η κατά προσέγγιση τιμή του βαθμού του αριθμού α με έναν παράλογο εκθέτη. Όσο πιο ακριβής είναι η δεκαδική προσέγγιση του αριθμού αρχικά, τόσο πιο ακριβής θα είναι η τιμή του βαθμού στο τέλος.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την κατά προσέγγιση τιμή της ισχύος του 2 1,174367... . Πάρτε την παρακάτω δεκαδική προσέγγιση παράλογος δείκτης: . Τώρα ανεβάζουμε το 2 σε μια λογική δύναμη 1,17 (περιγράψαμε την ουσία αυτής της διαδικασίας στην προηγούμενη παράγραφο), παίρνουμε 2 1,17 ≈ 2,250116. Με αυτόν τον τρόπο, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Αν πάρουμε μια πιο ακριβή δεκαδική προσέγγιση ενός παράλογου εκθέτη, για παράδειγμα, τότε παίρνουμε μια πιο ακριβή τιμή του αρχικού βαθμού: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά Zh εγχειρίδιο για 5 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για 7 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για 8 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για 9 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Πτυχίο με αρνητικό δείκτη. Ορισμός και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την τάξη 8
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Muravina G.K. Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Alimova Sh.A.

Προσδιορισμός του βαθμού με αρνητικό εκθέτη

Παιδιά, είμαστε καλοί στο να ανεβάζουμε τους αριθμούς σε δύναμη.
Για παράδειγμα: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Γνωρίζουμε καλά ότι οποιοσδήποτε αριθμός με μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. $a^0=1$, $a≠0$.
Γεννιέται το ερώτημα, τι θα συμβεί αν αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη; Για παράδειγμα, με τι θα ήταν ίσος ο αριθμός $2^(-2)$;
Οι πρώτοι μαθηματικοί που έθεσαν αυτή την ερώτηση αποφάσισαν ότι δεν άξιζε την επανεφεύρεση του τροχού και ήταν καλό που όλες οι ιδιότητες των μοιρών παραμένουν ίδιες. Δηλαδή κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες αθροίζονται.
Ας εξετάσουμε αυτήν την περίπτωση: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Καταλάβαμε ότι το γινόμενο τέτοιων αριθμών πρέπει να δίνει ενότητα. Η μονάδα στο γινόμενο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τα αντίστροφα, δηλαδή $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Αυτός ο συλλογισμός οδήγησε στον ακόλουθο ορισμό.
Ορισμός. Αν $n$ φυσικός αριθμόςκαι $α≠0$, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Μια σημαντική ταυτότητα που χρησιμοποιείται συχνά: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Συγκεκριμένα, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1
Υπολογίστε: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Λύση.
Ας εξετάσουμε κάθε όρο ξεχωριστά.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Απομένει να εκτελέσουμε τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Απάντηση: $6\frac(1)(4)$.

Παράδειγμα 2
Εκφράστε έναν δεδομένο αριθμό ως δύναμη πρώτος αριθμός$\frac(1)(729)$.

Λύση.
Προφανώς $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Αλλά το 729 δεν είναι ένας πρώτος αριθμός που τελειώνει σε 9. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι δύναμη του τρία. Ας διαιρέσουμε διαδοχικά το 729 με το 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Έξι λειτουργίες έχουν ολοκληρωθεί, που σημαίνει: $729=3^6$.
Για το έργο μας:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Απάντηση: $3^(-6)$.

Παράδειγμα 3. Εκφράστε την παράσταση ως δύναμη: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)(a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Λύση. Η πρώτη πράξη γίνεται πάντα μέσα στις αγκύλες και μετά ο πολλαπλασιασμός $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Απάντηση: $a$.

Παράδειγμα 4. Αποδείξτε την ταυτότητα:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Λύση.
Στην αριστερή πλευρά, εξετάστε κάθε παράγοντα σε παρένθεση ξεχωριστά.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Ας προχωρήσουμε στο κλάσμα με το οποίο διαιρούμε.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Ας κάνουμε τη διαίρεση.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Αποκτήσαμε τη σωστή ταυτότητα, η οποία έπρεπε να αποδειχθεί.

Στο τέλος του μαθήματος, θα ξαναγράψουμε τους κανόνες για ενέργειες με μοίρες, εδώ ο εκθέτης είναι ακέραιος.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1. Υπολογίστε: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Αντιπροσωπεύστε τον δεδομένο αριθμό ως δύναμη ενός πρώτου αριθμού $\frac(1)(16384)$.
3. Εκφράστε την έκφραση ως βαθμό:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Αποδείξτε την ταυτότητα:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.