Άθροισμα αντιθέτων. Αντίθετοι αριθμοί

Ας εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα. Πρέπει να μετρήσετε διαδοχικά: .

Μπορείτε να αναδιατάξετε τους αριθμούς που πρέπει να προστεθούν και, στη συνέχεια, να αφαιρέσετε τους υπόλοιπους: .

Αλλά αυτό δεν είναι πάντα βολικό. Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε το υπόλοιπο των πραγμάτων σε κάποια αποθήκη και πρέπει να γνωρίζουμε το ενδιάμεσο αποτέλεσμα.

Μπορείτε να εκτελέσετε ενέργειες στη σειρά: .

Γνωρίζουμε ότι, επομένως, το αποτέλεσμα θα είναι αφαίρεση από τον αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αφαιρέσουμε , αλλά όχι από τίποτα ακόμα. Όταν έχουμε κάτι να αφαιρέσουμε, αφαιρούμε:

Αλλά μπορούμε να «απατήσουμε» και να ορίσουμε . Έτσι θα εισαγάγουμε ένα νέο αντικείμενο - αρνητικούς αριθμούς .

Έχουμε ήδη πραγματοποιήσει μια τέτοια λειτουργία - στη φύση, για παράδειγμα, ο αριθμός "" δεν υπήρχε επίσης, αλλά εισαγάγαμε ένα τέτοιο αντικείμενο για να διευκολύνουμε την καταγραφή ενεργειών.

Φανταστείτε ότι σε μια αθλητική αποθήκη μας είχαν αναλάβει να εκδίδουμε και να λαμβάνουμε μπάλες. Πρέπει να κρατάμε αρχεία. Μπορείτε να γράψετε με λέξεις:

Εκδόθηκε, Αποδεκτό, Εκδόθηκε, Αποδεκτό, … (Βλ. Εικ. 1.)

Ρύζι. 1. Λογιστική

Συμφωνώ, εάν χρειάζεται να εκδίδετε και να λαμβάνετε πολλές φορές την ημέρα, τότε η εγγραφή δεν είναι πολύ βολική.

Μπορείτε να διαιρέσετε το φύλλο σε δύο στήλες, η μία - Αποδεκτή, η άλλη - Εκδόθηκε. (Βλέπε Εικόνα 2.)

Ρύζι. 2. Απλοποιημένη εγγραφή

Η εγγραφή έγινε πιο σύντομη. Αλλά εδώ είναι το πρόβλημα: πώς να καταλάβετε πόσες μπάλες αφαιρέθηκαν (ή χαρίστηκαν) σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή;

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σκεπτικό για την εγγραφή: όταν εκδίδουμε μπάλες από την αποθήκη, η ποσότητα τους στην αποθήκη μειώνεται και όταν τις αποδεχόμαστε αυξάνεται.

Αλλά πώς να γράψετε «έδωσε την μπάλα έξω»; Μπορείτε να εισαγάγετε το ακόλουθο αντικείμενο: .

Αυτό το αντικείμενο μας επιτρέπει να κάνουμε μια μαθηματική καταγραφή της κίνησης των σφαιρών με τη σειρά που έγινε:

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.

Υπάρχουν ρούβλια στον λογαριασμό του τηλεφώνου σας. Μπήκατε στο διαδίκτυο και κόστιζε ρούβλια. Το αποτέλεσμα ήταν ένα χρέος σε ρούβλια. Ο χειριστής θα μπορούσε να είχε σημειώσει: «ο πελάτης χρωστάει ρούβλια». Βάζεις ρούβλια. Ο χειριστής αφαίρεσε το χρέος. Αποδείχθηκε σε λογαριασμό ρούβλια.

Αλλά είναι βολικό να καταγράφετε τόσο τις συναλλαγές όσο και τα χρήματα στον λογαριασμό χρησιμοποιώντας τα σημάδια "" και "". (Βλέπε Εικόνα 3.)

Ρύζι. 3. Βολική εγγραφή

Εισάγουμε έναν αρνητικό αριθμό για να γράψουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης μικρότερο αριθμόπερισσότερο: .

Η πρόσθεση ενός αρνητικού αριθμού ισοδυναμεί με αφαίρεση: .

Προκειμένου να διακρίνουμε τους αρνητικούς αριθμούς από τους θετικούς αριθμούς με τους οποίους ασχοληθήκαμε νωρίτερα, συμφωνήσαμε να βάλουμε ένα σύμβολο μείον μπροστά του: .

Θα μπορούσες χωρίς αυτούς; Ναι μπορείς. Σε κάθε δεδομένη περίπτωση, θα χρησιμοποιούσαμε τις λέξεις «πίσω», «δανείζομαι» και ούτω καθεξής. Αλλά αυτά, αυτά τα λόγια, θα ήταν διαφορετικά.

Και έτσι έχουμε ένα καθολικό, βολικό εργαλείο. Ένα για όλες αυτές τις περιπτώσεις.

Μπορούμε να κάνουμε μια αναλογία με ένα αυτοκίνητο. Αποτελείται απο μεγάλη ποσότηταεξαρτήματα, πολλά από τα οποία δεν χρειάζονται μεμονωμένα, αλλά όλα μαζί σας επιτρέπουν να οδηγείτε. Ομοίως, οι αρνητικοί αριθμοί είναι ένα εργαλείο που, μαζί με άλλα μαθηματικά εργαλεία, διευκολύνει τον υπολογισμό και την απλοποίηση της λύσης και της γραφής πολλών προβλημάτων.

Έτσι, έχουμε εισαγάγει ένα νέο αντικείμενο - αρνητικούς αριθμούς. Σε τι χρησιμεύουν στη ζωή;

Αρχικά, ας θυμηθούμε τους ρόλους των θετικών αριθμών:

Ποσότητα: για παράδειγμα ξύλο, λίτρο γάλα. (Βλέπε Εικόνα 4.)

Ρύζι. 4. Ποσότητα

Ταξινόμηση: για παράδειγμα, τα σπίτια είναι αριθμημένα θετικούς αριθμούς. (Βλέπε Εικόνα 5.)

Ρύζι. 5. Οργανώστε

Όνομα: για παράδειγμα, αριθμός ποδοσφαιριστή. (Βλέπε Εικόνα 6.)

Ρύζι. 6. Ο αριθμός ως όνομα

Ας δούμε τώρα τις συναρτήσεις των αρνητικών αριθμών:

Ένδειξη της ποσότητας που λείπει. Η ποσότητα δεν είναι ποτέ αρνητική. Αλλά ένας αρνητικός αριθμός χρησιμοποιείται για να δείξει ότι μια ποσότητα αφαιρείται. Για παράδειγμα, μπορούμε να ρίξουμε από ένα μπουκάλι και να το γράψουμε ως . (Βλέπε Εικόνα 7.)

Ρύζι. 7. Ένδειξη ποσότητας που λείπει

Τακτοποίηση. Μερικές φορές, κατά την αρίθμηση, επιλέγεται το μηδέν και πρέπει να αριθμήσετε αντικείμενα και στις δύο πλευρές του μηδενός. Για παράδειγμα, οι όροφοι που βρίσκονται κάτω από το ου, στο υπόγειο. (Βλ. Εικόνα 8.) Ή θερμοκρασία που είναι κάτω από το επιλεγμένο μηδέν. (Βλέπε Εικόνα 9.)

Ρύζι. 8. Όροφος που βρίσκεται κάτω από τον ου, στο υπόγειο

Ρύζι. 9. Αρνητικοί αριθμοί στην κλίμακα του θερμομέτρου

Ωστόσο, ο κύριος σκοπός των αρνητικών αριθμών είναι ως εργαλείο για την απλοποίηση των μαθηματικών υπολογισμών.

Αλλά για να γίνουν οι αρνητικοί αριθμοί ένα τόσο βολικό εργαλείο, πρέπει:

Μια αρνητική θερμοκρασία είναι αυτή που είναι κάτω από το μηδέν, κάτω από το μηδέν θερμοκρασία. Αλλά τι είναι μηδενική θερμοκρασία? Για να μετρήσετε και να καταγράψετε τη θερμοκρασία, πρέπει να επιλέξετε μια μονάδα μέτρησης και ένα σημείο αναφοράς. Και τα δύο είναι συμφωνίες. Χρησιμοποιούμε την κλίμακα Κελσίου μετά τον επιστήμονα που την πρότεινε. (Βλέπε Εικ. 10.)

Ρύζι. 10. Άντερς Κελσίου

Ως σημείο αναφοράς εδώ επιλέγεται το σημείο πήξης του νερού. Όλα τα παρακάτω υποδεικνύονται αρνητική τιμή. (Βλέπε Εικόνα 11.)

Ρύζι. έντεκα.

Αλλά είναι σαφές ότι αν πάρουμε ένα άλλο σημείο αναφοράς, ένα άλλο μηδέν, τότε μια αρνητική θερμοκρασία σε Κελσίου μπορεί να είναι θετική σε αυτή την άλλη κλίμακα. Αυτό συμβαίνει. Η κλίμακα Kelvin χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική. Είναι παρόμοια με την κλίμακα Κελσίου, μόνο η τιμή της χαμηλότερης δυνατής θερμοκρασίας επιλέγεται ως μηδέν (δεν μπορεί να είναι χαμηλότερη). Αυτή η τιμή ονομάζεται " απόλυτο μηδενικό" Σε Κελσίου αυτό είναι περίπου . (Βλέπε Εικόνα 12.)

Ρύζι. 12. Δύο ζυγαριές

Δηλαδή, δεν υπάρχουν καθόλου αρνητικές τιμές στην κλίμακα Kelvin.

Το καλοκαίρι μας λοιπόν .

Και τα παγωμένα .

Δηλαδή, η αρνητική θερμοκρασία είναι μια σύμβαση, μια συμφωνία μεταξύ των ανθρώπων για να την ονομάσουμε έτσι.

Ας ξεκινήσουμε από το μηδέν. Το μηδέν παίρνει ειδική θέσηανάμεσα στους αριθμούς.

Όπως έχουμε ήδη συζητήσει, για διευκόλυνσή μας μπορούμε να υποδηλώσουμε την αφαίρεση του επτά ως αρνητικό αριθμό. Εφόσον σημαίνει αφαίρεση, αφήνουμε ως πρόσημο το σύμβολο «». Ας ονομάσουμε έναν νέο αριθμό.

Δηλαδή, το "" είναι ένας αριθμός που αθροίζεται στο μηδέν: . Και με οποιαδήποτε σειρά. Αυτός είναι ο ορισμός ενός αρνητικού (ή αντίθετου) αριθμού.

Για κάθε αριθμό που μελετήσαμε νωρίτερα, θα εισάγουμε έναν νέο αριθμό, αρνητικό, το πρόσημο του οποίου είναι το αρνητικό πρόσημο μπροστά του. Δηλαδή, για κάθε προηγούμενο αριθμό εμφανιζόταν το αρνητικό δίδυμο του. Τέτοια δίδυμα ονομάζουμε αντίθετους αριθμούς. (Βλέπε Εικόνα 13.)

Ρύζι. 13. Αντίθετοι αριθμοί

Άρα, ο ορισμός: οι απέναντι αριθμοί είναι δύο αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με μηδέν.

Εξωτερικά, διαφέρουν μόνο στο σύμβολο "".

Αν για μια μεταβλητή προηγείται το σύμβολο "", για παράδειγμα, τι σημαίνει αυτό; Αυτό δεν σημαίνει αυτό δεδομένη αξίααρνητικός. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι αυτή η τιμή είναι αντίθετη από τον αριθμό: . Δεν γνωρίζουμε ποιος από αυτούς τους αριθμούς είναι θετικός και ποιος αρνητικός.

Αν τότε.

Αν (αρνητικός αριθμός), τότε (θετικός αριθμός).

Ποιος αριθμός είναι αντίθετος με το μηδέν; Το ξέρουμε ήδη αυτό.

Εάν προστεθεί μηδέν σε οποιονδήποτε αριθμό, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, τότε ο αρχικός αριθμός δεν θα αλλάξει. Δηλαδή, το άθροισμα δύο μηδενικών είναι μηδέν: . Αλλά οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι μηδέν είναι αντίθετοι. Έτσι, το μηδέν είναι αντίθετο με τον εαυτό του.

Έτσι, δώσαμε τον ορισμό των αρνητικών αριθμών και ανακαλύψαμε γιατί χρειάζονται.

Τώρα ας αφιερώσουμε λίγο χρόνο στην τεχνολογία. Προς το παρόν, πρέπει να μάθουμε πώς να βρίσκουμε το αντίθετό του για οποιονδήποτε αριθμό:

Στο τελευταίο μέρος του μαθήματος θα μιλήσουμε για νέα ονόματα και σημειώσεις για σύνολα που εμφανίζονται μετά την εισαγωγή αρνητικών αριθμών.

Θέμα

Τύπος μαθήματος

• μελέτη και πρωτογενής αφομοίωση νέου υλικού

Στόχοι μαθήματος

Μάθετε τους ορισμούς των θετικών, αρνητικών και αντίθετων αριθμών.

Να βρείτε αντίθετους αριθμούς όταν λύνετε ασκήσεις, όταν λύνετε εξισώσεις

Αναπτυξιακή - να αναπτύξει την προσοχή, την επιμονή, την επιμονή των μαθητών, λογική σκέψη, μαθηματική ομιλία.

Εκπαιδευτικό - μέσα από το μάθημα, καλλιεργήστε μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλον, ενσταλάξτε την ικανότητα να ακούτε τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια και την ανεξαρτησία.

Στόχοι μαθήματος

Μάθετε ποιοι είναι οι αντίθετοι αριθμοί

Μάθετε να χρησιμοποιείτε αυτήν την έννοια κατά την επίλυση προβλημάτων

Δοκιμάστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων των μαθητών.

Πλάνο μαθήματος

1. Εισαγωγή.

2. Θεωρητικό μέρος

3. Πρακτικό μέρος.

4. Εργασία για το σπίτι.

5. Ενδιαφέροντα γεγονότα

Εισαγωγή

Κοιτάξτε τις εικόνες και περιγράψτε με μία λέξη τι είναι διαφορετικό σε αυτές.

Οι εικόνες δείχνουν αντίθετα.

- αυτοί είναι δύο αριθμοί ίσοι σε απόλυτη τιμή, αλλά έχοντας διαφορετικά σημάδια, π.χ. 5 και -5.

Θεωρητικό μέρος

Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι αρνητικούς αριθμούς. Κοίτα βίντεο:

Τα σημεία με συντεταγμένες 5 και -5 απέχουν εξίσου από το σημείο Ο και βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπο αυτη. Για να φτάσετε από το σημείο Ο σε αυτά τα σημεία πρέπει να διανύσετε τις ίδιες αποστάσεις, αλλά σε αντίθετες κατευθύνσεις. Καλούνται οι αριθμοί 5 και -5 αντίθετους αριθμούς: Το 5 είναι το αντίθετο του -5 και το -5 το αντίθετο του 5.

Καλούνται δύο αριθμοί που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο με πρόσημα αντίθετους αριθμούς.

Για παράδειγμα, οι αντίθετοι αριθμοί θα ήταν 35 και -35, αφού ο αριθμός 35 = +35, που σημαίνει ότι οι αριθμοί 35 και -35 διαφέρουν μόνο σε πρόσημα. Οι αντίθετοι αριθμοί θα είναι επίσης 0,8 και -0,8, ¾ και -¾.

Ιδιότητες αντίθετων αριθμών

1). Για κάθε αριθμό υπάρχει μόνο ένας αντίθετος αριθμός.

2). Ο αριθμός 0 είναι το αντίθετο από τον εαυτό του.

3). Ο αντίθετος αριθμός του α συμβολίζεται με -α. Αν a = -7,8, τότε -a = 7,8; αν a = 8,3, τότε -a = -8,3; αν a = 0, τότε -a = 0.

4). Ο συμβολισμός "-(-15)" σημαίνει τον αντίθετο αριθμό -15. Εφόσον το αντίθετο του -15 είναι 15, τότε -(-15) = 15. Γενικά -(-α) = α.

Οι φυσικοί αριθμοί, τα αντίθετά τους και το μηδέν λέγονται ακέραιοι αριθμοί.

Αντίθετος αριθμός n" σε σχέση με τον αριθμό n είναι ένας αριθμός που όταν προστεθεί στο n δίνει μηδέν.

n + n" = 0

Αυτή η ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

n + n" − n = 0 − nή n" = − n

Ετσι, αντίθετους αριθμούςέχουν τις ίδιες ενότητες, αλλά αντίθετα σημάδια.

Αντίστοιχα, ο αντίθετος αριθμός του n συμβολίζεται με − n. Όταν ένας αριθμός είναι θετικός, ο αντίθετος αριθμός του θα είναι αρνητικός και το αντίστροφο.

1. Δώστε παραδείγματα αντίθετων αριθμών.

2. Σχεδιάστε τα σε μια γραμμή συντεταγμένων.

3. Ονομάστε τον αντίθετο αριθμό -3,6. 7; 0; 8/9; -1/2

Πρακτικό μέρος

Παράδειγμα

1) Σημειώστε στη γραμμή συντεταγμένων τα σημεία A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Ανάμεσα σε αυτά τα σημεία να βρείτε και να υποδείξετε εκείνα που είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο(0). Τι μπορεί να ειπωθεί για τις συντεταγμένες των συμμετρικών σημείων;

Σημεία συμμετρικά ως προς το σημείο O(0): A(2) και B(-2), E(- 5.2) και F(5.2)

Συντεταγμένες συμμετρικών σημείωνείναι αριθμοί που διαφέρουν μόνο στο πρόσημο. Τέτοιοι αριθμοί καλούνται απεναντι απο.

Σημειώστε τα σημεία A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) στη γραμμή συντεταγμένων Τι μπορείτε να πείτε για αυτούς τους αριθμούς ??

Από τους αριθμούς 15? 2.5; – 2,5; - 18; 0; 45; – 45 επιλέξτε: α) φυσικούς αριθμούς. β) ακέραιοι αριθμοί. γ) αρνητικοί αριθμοί. δ) θετικοί αριθμοί. δ) αντίθετοι αριθμοί.

1) Γράψτε τον αριθμό που βρίσκεται απέναντι από τον αριθμό α.

2) Να υποδείξετε τον αριθμό απέναντι από τον αριθμό α αν:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Θυμηθείτε τι σημαίνει η καταχώριση: - (- α).

2) Τοποθετήστε έναν αριθμό αντί για * για να λάβετε τη σωστή ισότητα: α) - (- 5) = *; β) 3 = – *.

Εργασία για το σπίτι

1). Συμπληρώστε τον πίνακα:

2). Βρείτε: α) -μ,

αν m = -8,

αν m = -16

αν -k = 27

αν -k = -35

αν c = 41

αν c = -3,6

3). Πόσα ζεύγη αντίθετων αριθμών βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς -7,2 και 3,6. Σημειώστε στη γραμμή συντεταγμένων.

4). Μάθετε το όνομα του εξαιρετικού Γάλλου επιστήμονα:

Ξέρεις πού μέσα Καθημερινή ζωήσυναντάμε θετικούς και αρνητικούς αριθμούς;

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Μαθηματική εγκυκλοπαίδεια (σε 5 τόμους). - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 2002. - Τ. 1.
2." Τελευταίος Κατάλογοςμαθητής» «HOUSE XXI αιώνας» 2008
3. Περίληψη μαθήματος με θέμα «Αντίθετοι αριθμοί» Συγγραφέας: Petrova V.P., δασκάλα μαθηματικών (τάξεις 5-9), Κίεβο
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Μαθηματικά για την τάξη 6, Εγχειρίδιο για σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςμικρό

Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι είναι οι αντίθετοι αριθμοί. Θα εξηγήσουμε τι είναι γενικά, θα δείξουμε ποιοι συγκεκριμένοι χαρακτηρισμοί χρησιμοποιούνται για αυτά και θα δούμε μερικά παραδείγματα. Στο τελευταίο μέρος του υλικού θα παραθέσουμε τις κύριες ιδιότητες των αντίθετων αριθμών.

Για να εξηγήσουμε την ίδια την έννοια των αντιθέτων, πρέπει πρώτα να απεικονίσουμε μια γραμμή συντεταγμένων. Ας πάρουμε το σημείο Μ σε αυτό (αλλά όχι στην αρχή της αντίστροφης μέτρησης). Η απόστασή του στο μηδέν θα είναι ίση με έναν ορισμένο αριθμό μονάδων τμημάτων, τα οποία μπορούν, με τη σειρά τους, να διαιρεθούν σε δέκατα και εκατοστά. Αν μετρήσουμε την ίδια απόσταση από την αρχή προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν στην οποία βρίσκεται το Μ, τότε μπορούμε να φτάσουμε σε άλλο παρόμοιο σημείο. Ας το ονομάσουμε Ν. Για παράδειγμα, από το Μ στο μηδέν είναι μια απόσταση 2,4 μονάδων τμημάτων και από το Ν στο μηδέν είναι η ίδια. Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Ας θυμηθούμε ότι κάθε σημείο στη γραμμή συντεταγμένων μπορεί να συσχετιστεί μόνο με ένα πραγματικός αριθμός. Στην περίπτωση αυτή, τα σημεία μας Μ και Ν αντιστοιχούν σε ορισμένους αριθμούς, οι οποίοι ονομάζονται αντίθετοι. Κάθε αριθμός έχει αντίθετος αριθμός, εκτός από το μηδέν. Εφόσον αυτή είναι η αρχή της αντίστροφης μέτρησης, θεωρείται το αντίθετο του εαυτού του.

Ας γράψουμε τον ορισμό του τι είναι οι αντίθετοι αριθμοί:

Ορισμός 1

Απεναντι απολέγονται αριθμοί που αντιστοιχούν σε τέτοια σημεία της γραμμής συντεταγμένων στα οποία θα φτάσουμε αν σημειώσουμε την ίδια απόσταση από την αρχή σε διαφορετικές κατευθύνσεις (θετικές και αρνητικές). Το μηδέν βρίσκεται στην αρχή και είναι αντίθετο με τον εαυτό του.

Πώς υποδεικνύονται οι αντίθετοι αριθμοί;

Σε αυτή την ενότητα θα εισαγάγουμε τη βασική σημείωση για τέτοιους αριθμούς. Εάν έχουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό και πρέπει να γράψουμε το αντίθετο του, τότε χρησιμοποιούμε ένα μείον για αυτό.

Παράδειγμα 1

Ας πούμε ότι ο αριθμός μας είναι α, επομένως το αντίθετό του είναι α (μείον α). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, για 0,26 το αντίθετο είναι - 0,26, και για 145 θα είναι - 145. Εάν ο ίδιος ο αρχικός αριθμός είναι αρνητικός, για παράδειγμα, - 9, τότε γράφουμε το αντίθετο ως – (- 9).

Ποια άλλα παραδείγματα αντίθετων αριθμών μπορείτε να δώσετε; Ας πάρουμε τους ακέραιους: 12 και - 12. Οι αντίθετοι ρητοί αριθμοί είναι 3 2 11 και - 3 2 11, καθώς και 8, 128 και − 8, 128, 0, (18901) και − 0, (18901), κ.λπ. Οι παράλογοι αριθμοί μπορούν επίσης να είναι αντίθετοι, για παράδειγμα, οι αξίες αριθμητικές εκφράσεις 2 + 1 και - 2 + 1.

Απεναντι απο ir ρητοί αριθμοίέτσι θα το e και - e .

Βασικές ιδιότητες των αντίθετων αριθμών

Τέτοιοι αριθμοί έχουν ορισμένες ιδιότητες. Παρακάτω θα δώσουμε μια λίστα με επεξηγήσεις.

Ορισμός 2

1. Εάν ο αρχικός αριθμός είναι θετικός, τότε το αντίθετό του θα είναι αρνητικό.

Αυτή η δήλωση είναι προφανής και προκύπτει από το παραπάνω γράφημα: τέτοιοι αριθμοί βρίσκονται στις απέναντι πλευρές της γραμμής αναφοράς. Εάν έχετε ξεχάσει τις έννοιες των θετικών και αρνητικών αριθμών, δείτε το υλικό που δημοσιεύσαμε νωρίτερα.

Μια άλλη πολύ σημαντική δήλωση μπορεί να συναχθεί από αυτόν τον κανόνα. Σε κυριολεκτική μορφή, η σημειογραφία του μοιάζει με αυτό: για κάθε θετικό a θα είναι αληθές − (− a) = a. Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα γιατί αυτό είναι σημαντικό.

Ας πάρουμε τον αριθμό 5. Χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων, μπορείτε να δείτε ότι ο αντίθετος αριθμός είναι 5 και το αντίστροφο. Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό που υποδείξαμε παραπάνω, γράφουμε τον αντίθετο αριθμό - 5 ως – (- 5) . Αποδεικνύεται ότι – (- 5) = 5. Εξ ου και το συμπέρασμα: οι αντίθετοι αριθμοί διαφέρουν μεταξύ τους μόνο από την παρουσία ενός πρόσημου μείον.

2. Επόμενη ιδιοκτησίαονομάζεται συνήθως ιδιότητα συμμετρίας. Μπορεί επίσης να προκύψει από τον ίδιο τον ορισμό των αντίθετων αριθμών. Ακούγεται κάπως έτσι:

Ορισμός 3

Αν κάποιος αριθμός a είναι το αντίθετο του b, τότε το b είναι το αντίθετο του a.

Προφανώς, αυτή η δήλωση δεν χρειάζεται πρόσθετα στοιχεία.

3. Η τρίτη ιδιότητα των αντίθετων αριθμών λέει:

Ορισμός 4

Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μόνο έναν αντίθετο αριθμό.

Αυτή η δήλωση προκύπτει από το γεγονός ότι τα σημεία σε μια γραμμή συντεταγμένων δεν μπορούν να αντιστοιχούν σε πολλούς αριθμούς ταυτόχρονα.

Ορισμός 5

4. Οι ενότητες των αντίθετων αριθμών είναι ίσες.

Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της ενότητας. Είναι λογικό τα σημεία μιας ευθείας που αντιστοιχούν σε οποιουσδήποτε αντίθετους αριθμούς να βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το σημείο αναφοράς.

Ορισμός 6

5. Αν προσθέσουμε αντίθετους αριθμούς, παίρνουμε 0.

Κυριολεκτικά, αυτή η πρόταση μοιάζει με + (− a) = 0.

Παράδειγμα 2

Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων υπολογισμών:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κανόνας λειτουργεί για όλους τους αριθμούς - ακέραιους, ορθολογικούς, παράλογους κ.λπ.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

§ 1 Η έννοια του θετικού αριθμού

Σε αυτό το μάθημα θα μάθετε ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, πώς να βρείτε τον αντίθετο αριθμό, καθώς και τι είναι οι ακέραιοι και οι ορθολογικοί αριθμοί.

Ας ξεκινήσουμε με πρακτική δουλειά. Στη γραμμή συντεταγμένων σημειώστε τα σημεία A(2) και B(-2). Είναι συμμετρικά και το κέντρο συμμετρίας αυτών των σημείων είναι η αρχή των συντεταγμένων Ο(0), αφού η απόσταση ΟΑ=ΟΒ.

Βλέπουμε ότι οι συντεταγμένες των συμμετρικών ως προς την αρχή σημείων είναι αριθμοί που διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι.

Υπάρχει ένας άλλος ορισμός των αντίθετων αριθμών. Ποιες είναι οι απόλυτες τιμές των αριθμών 2 και -2; Ίσο με 2. Επομένως, οι αντίθετοι αριθμοί είναι αριθμοί που έχουν τις ίδιες μονάδες, αλλά διαφέρουν ως προς το πρόσημο.

Για να υποδείξετε τον αντίθετο αριθμό δεδομένου αριθμού, χρησιμοποιήστε ένα σύμβολο μείον, το οποίο είναι γραμμένο μπροστά από αυτόν τον αριθμό. Δηλαδή, ο αντίθετος αριθμός του a γράφεται ως −a. Για παράδειγμα, ο αριθμός 0,24 είναι απέναντι από τον αριθμό −0,24, ο αριθμός -25 είναι ο αντίθετος αριθμός −(−25), αλλά ο αριθμός -25 στη γραμμή συντεταγμένων είναι απέναντι από το 25, που σημαίνει -(-25) = 25. Από αυτό προκύπτει ότι -( -a) = a και a = -(-a).

§ 2 Ιδιότητες αντίθετων αριθμών

Ας επισημάνουμε ορισμένες ιδιότητες των αντίθετων αριθμών.

Το αντίθετο ενός θετικού αριθμού είναι αρνητικό και το αντίθετο ενός αρνητικού αριθμού είναι θετικό. Αυτό είναι κατανοητό, αφού τα σημεία της γραμμής συντεταγμένων που αντιστοιχούν σε αντίθετους αριθμούς βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της αρχής.

Εάν ο αριθμός a είναι αντίθετος με τον αριθμό b, τότε το b είναι αντίθετο με το a - αυτό προκύπτει από την ιδιότητα της συμμετρίας των σημείων στη γραμμή συντεταγμένων.

Ας στραφούμε στη γραμμή συντεταγμένων. Πόσα σημεία μπορούν να σημειωθούν σε μια γραμμή συντεταγμένων που είναι συμμετρικά με τη δεδομένη σε σχέση με την αρχή; Μόνο ένα. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε αριθμό υπάρχει μόνο ένας αντίθετος αριθμός.

Μόνο ένας αριθμός είναι αντίθετος με τον εαυτό του - αυτός είναι ο αριθμός 0, αφού 0 = -0 (επομένως, δεν συνηθίζεται να γράφουμε -0).

Αριθμοί με κοινό χαρακτηριστικόσχηματίζουν ένα σύνολο (ή ομάδα), κάθε σύνολο έχει το δικό του όνομα.

Ας θυμηθούμε ότι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε ονομάζονται φυσικοί αριθμοί· αποτελούν το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Για κάθε φυσικό αριθμό μπορείτε να βρείτε τον αντίθετο αριθμό του. Οι φυσικοί αριθμοί, τα αντίθετά τους και ο αριθμός 0 λέγονται ακέραιοι.

Μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό κλασματικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί και όλα τα κλάσματα λέγονται ρητικοί αριθμοί. Λένε επίσης ότι μαζί σχηματίζουν το σύνολο των ρητών αριθμών.

Ας επισημάνουμε δύο ακόμη ομάδες αριθμών. Ας πάρουμε μια γραμμή συντεταγμένων. Αν αφαιρέσουμε το τμήμα της γραμμής στο οποίο βρίσκονται οι αρνητικοί αριθμοί, αυτό που μένει είναι μια ακτίνα με θετικούς αριθμούς και σημείο αναφοράς 0. Οι υπόλοιποι αριθμοί ονομάζονται μη αρνητικοί, δηλαδή αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι με 0. Επομένως, μη θετικοί αριθμοί είναι όλοι αρνητικοί αριθμοί και ο αριθμός 0, δηλαδή αριθμοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 0.

Σήμερα μάθαμε τι είναι οι αντίθετοι, ακέραιοι, ορθολογικοί, μη αρνητικοί, μη θετικοί αριθμοί και μάθαμε να βρίσκουμε τον αντίθετο αριθμό ενός δεδομένου.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. Μαθηματικά Στ΄ τάξη: σχέδια μαθήματοςστο σχολικό βιβλίο Ι.Ι. Zubareva, A.G. Mordkovich //συγγραφέας-μεταγλωττιστής L.A. Τοπιλίνα. Μνημοσύνη 2009
2. Μαθηματικά. Στ΄ τάξη: εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Ι.Ι. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Μαθηματικά. ΣΤ τάξη: εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. /Ν.Ναι. Vilenkin, V.I. Ζόχοφ, Α.Σ. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – Μ.: Μνημοσύνη, 2013.
4. Εγχειρίδιο μαθηματικών - http://lyudmilanik.com.ua
5. Οδηγός μαθητή για Λύκειο http://shkolo.ru

Ορισμός αντίθετων αριθμών

Ορισμός αντίθετων αριθμών:

Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι αν διαφέρουν μόνο σε πρόσημα.

Παραδείγματα αντίθετων αριθμών

Παραδείγματα αντίθετων αριθμών.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Από εδώ είναι σαφές πώς να βρείτε το αντίθετο ενός δεδομένου αριθμού: απλώς αλλάξτε το πρόσημο του αριθμού.

Ο αντίθετος αριθμός με το 3 είναι ο αριθμός μείον τρία.

Παράδειγμα. Οι αριθμοί είναι αντίθετοι με τα δεδομένα.

Δίνονται: αριθμοί 1; 5; 8; 9.

Βρείτε τους αντίθετους αριθμούς των δεδομένων.

Για να λύσετε αυτήν την εργασία, απλώς αλλάξτε τα πρόσημα των δεδομένων αριθμών:

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με αντίθετους αριθμούς:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Το αντίθετο του μηδενός

Το αντίθετο του μηδενός είναι ο ίδιος ο αριθμός μηδέν.

Άρα ο αντίθετος αριθμός στο 0 είναι 0.

Αντίθετοι Ακέραιοι

Οι αντίθετοι ακέραιοι διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο.

Παραδείγματα αντίθετων ακεραίων.

10 -10
20 -20
125 -125

Ζεύγος αντίθετων αριθμών

Όταν μιλάνε για αντίθετους αριθμούς, εννοούν πάντα ένα ζευγάρι αντίθετων αριθμών.

Ένας αριθμός είναι το αντίθετο ενός άλλου αριθμού. Και κάθε αριθμός έχει μόνο έναν αντίθετο αριθμό.

Αριθμοί αντίθετοι με τους φυσικούς αριθμούς

Το αντίθετο των φυσικών αριθμών είναι οι αρνητικοί ακέραιοι.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με αντίθετους αριθμούς για τους πέντε πρώτους φυσικούς αριθμούς:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Άθροισμα αντίθετων αριθμών

Το άθροισμα των αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. Εξάλλου, οι αντίθετοι αριθμοί διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο.