Η εξίσωση μιας εφαπτομένης σε ένα επίπεδο είναι ρητή και άρρητη. Επίπεδο εφαπτόμενο στην επιφάνεια

Σε κάποιο σημείο και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους σε αυτό, τουλάχιστον μία από τις οποίες δεν εξαφανίζεται, τότε στη γειτονιά αυτού του σημείου η επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση (1) θα είναι τη σωστή επιφάνεια.

Εκτός από τα παραπάνω σιωπηρός τρόπος προσδιορισμούεπιφάνεια μπορεί να οριστεί προφανώς, εάν μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα z, μπορεί να εκφραστεί ως προς τις άλλες:

Υπάρχει επίσης παραμετρικήτρόπο ανάθεσης. Σε αυτή την περίπτωση, η επιφάνεια καθορίζεται από το σύστημα των εξισώσεων:

Η έννοια της απλής επιφάνειας

Πιο συγκεκριμένα, απλή επιφάνεια ονομάζεται η εικόνα μιας ομοιομορφικής χαρτογράφησης (δηλαδή μια προς ένα και αμοιβαία συνεχής χαρτογράφηση) του εσωτερικού ενός τετραγώνου μονάδας. Αυτός ο ορισμός μπορεί να δοθεί μια αναλυτική έκφραση.

Αφήστε στο αεροπλάνο με ορθογώνιο σύστημαοι συντεταγμένες u και v δίνονται από ένα τετράγωνο, συντεταγμένες εσωτερικά σημείαπου ικανοποιούν τις ανισώσεις 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для διάφορα σημεία(u, v) και (u", v") ήταν διαφορετικά αντίστοιχα σημεία (x, y, z) και (x", y", z").

Παράδειγμα απλή επιφάνειαείναι ένα ημισφαίριο. Ολόκληρη η σφαίρα δεν είναι απλή επιφάνεια. Αυτό απαιτεί περαιτέρω γενίκευση της έννοιας της επιφάνειας.

Ένα υποσύνολο χώρου, κάθε σημείο του οποίου έχει μια γειτονιά δηλαδή απλή επιφάνεια, που ονομάζεται τη σωστή επιφάνεια .

Επιφάνεια σε διαφορική γεωμετρία

Ελικοειδής

Κατενοειδής

Η μέτρηση δεν καθορίζει μοναδικά το σχήμα της επιφάνειας. Για παράδειγμα, η μετρική ενός ελικοειδούς και ενός κατηνοειδούς, παραμετροποιημένη ανάλογα, συμπίπτει, δηλαδή υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ των περιοχών τους που διατηρεί όλα τα μήκη (ισομετρία). Οι ιδιότητες που διατηρούνται κάτω από ισομετρικούς μετασχηματισμούς ονομάζονται εσωτερική γεωμετρίαεπιφάνειες. Η εσωτερική γεωμετρία δεν εξαρτάται από τη θέση της επιφάνειας στο χώρο και δεν αλλάζει όταν κάμπτεται χωρίς τάση ή συμπίεση (για παράδειγμα, όταν ένας κύλινδρος κάμπτεται σε κώνο).

Οι μετρικοί συντελεστές καθορίζουν όχι μόνο τα μήκη όλων των καμπυλών, αλλά και γενικά τα αποτελέσματα όλων των μετρήσεων στο εσωτερικό της επιφάνειας (γωνίες, εμβαδά, καμπυλότητα κ.λπ.). Επομένως, ό,τι εξαρτάται μόνο από τη μέτρηση αναφέρεται στην εσωτερική γεωμετρία.

Κανονικό και κανονικό τμήμα

Κανονικά διανύσματα σε επιφανειακά σημεία

Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά μιας επιφάνειας είναι κανονικός - μονάδα διάνυσμα, κάθετη στο επίπεδο της εφαπτομένης στο δεδομένο σημείο:

.

Το πρόσημο του κανονικού εξαρτάται από την επιλογή των συντεταγμένων.

Ένα τμήμα μιας επιφάνειας από ένα επίπεδο που περιέχει την κανονική (σε ένα δεδομένο σημείο) σχηματίζει μια ορισμένη καμπύλη στην επιφάνεια, η οποία ονομάζεται κανονικό τμήμαεπιφάνειες. Η κύρια κανονική για ένα κανονικό τμήμα συμπίπτει με την κανονική προς την επιφάνεια (μέχρι το σημάδι).

Εάν η καμπύλη στην επιφάνεια δεν είναι κανονική τομή, τότε η κύρια κανονική της σχηματίζει μια ορισμένη γωνία θ με την κανονική της επιφάνειας. Μετά η καμπυλότητα κκαμπύλη που σχετίζεται με την καμπυλότητα κ nκανονική τομή (με την ίδια εφαπτομένη) με τον τύπο του Meunier:

Συντεταγμένες του κανονικού μοναδιαίου διανύσματος για διαφορετικοί τρόποιΟι εκχωρήσεις επιφανειών δίνονται στον πίνακα:

	Κανονικές συντεταγμένες σε ένα σημείο επιφάνειας
σιωπηρή ανάθεση
ρητή ανάθεση
παραμετρική προδιαγραφή

Καμπυλότητα

Για διαφορετικές κατευθύνσεις σε ένα δεδομένο σημείο της επιφάνειας, προκύπτει διαφορετική καμπυλότητα της κανονικής τομής, η οποία ονομάζεται κανονική καμπυλότητα; Του αποδίδεται πρόσημο συν εάν η κύρια κανονική της καμπύλης πηγαίνει στην ίδια κατεύθυνση με την κανονική προς την επιφάνεια ή πρόσημο μείον εάν οι κατευθύνσεις των κανονικών είναι αντίθετες.

Σε γενικές γραμμές, σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας υπάρχουν δύο κάθετες κατευθύνσεις μι 1 και μι 2, στο οποίο η κανονική καμπυλότητα παίρνει ένα ελάχιστο και μέγιστη αξία; αυτές οι κατευθύνσεις ονομάζονται κύριος. Η εξαίρεση είναι η περίπτωση που η κανονική καμπυλότητα προς όλες τις κατευθύνσεις είναι η ίδια (για παράδειγμα, κοντά σε μια σφαίρα ή στο τέλος ενός ελλειψοειδούς περιστροφής), τότε όλες οι κατευθύνσεις σε ένα σημείο είναι κύριες.

Επιφάνειες με αρνητική (αριστερά), μηδενική (κέντρο) και θετική (δεξιά) καμπυλότητα.

Οι κανονικές καμπυλότητες στις κύριες κατευθύνσεις ονομάζονται κύριες καμπυλότητες; ας τα συμβολίσουμε κ 1 και κ 2. Μέγεθος:

κ= κ 1 κ 2

που ονομάζεται Γκαουσιανή καμπυλότητα, πλήρης καμπυλότηταή απλά καμπυλότηταεπιφάνειες. Υπάρχει και ο όρος βαθμωτή καμπυλότητας, που υποδηλώνει το αποτέλεσμα της συνέλιξης του τανυστή καμπυλότητας. Σε αυτή την περίπτωση, η βαθμωτή καμπυλότητας είναι διπλάσια από την καμπυλότητα Gauss.

Η Gaussian καμπυλότητα μπορεί να υπολογιστεί μέσω μιας μετρικής και επομένως είναι αντικείμενο της εγγενούς γεωμετρίας των επιφανειών (σημειώστε ότι οι κύριες καμπυλότητες δεν ανήκουν στην εγγενή γεωμετρία). Μπορείτε να ταξινομήσετε τα σημεία της επιφάνειας με βάση το πρόσημο της καμπυλότητας (βλ. σχήμα). Η καμπυλότητα του επιπέδου είναι μηδέν. Η καμπυλότητα μιας σφαίρας ακτίνας R είναι παντού ίση. Υπάρχει επίσης μια σταθερή επιφάνεια αρνητική καμπυλότητα- ψευδόσφαιρα.

Γεωδαιτικές γραμμές, γεωδαιτική καμπυλότητα

Η καμπύλη στην επιφάνεια ονομάζεται γεωδαιτική γραμμή, ή απλά γεωδαιτική, εάν σε όλα του τα σημεία το κύριο κάθετο προς την καμπύλη συμπίπτει με το κανονικό προς την επιφάνεια. Παράδειγμα: σε ένα επίπεδο, τα γεωδαισιακά είναι ευθείες γραμμές και τμήματα ευθειών γραμμών, σε μια σφαίρα - μεγάλοι κύκλοι και τα τμήματα τους.

Ισοδύναμος ορισμός: για μια γεωδαισιακή γραμμή, η προβολή της κύριας κανονικής της στο επίπεδο ταλάντωσης είναι το μηδενικό διάνυσμα. Εάν η καμπύλη δεν είναι γεωδαιτική, τότε η καθορισμένη προβολή είναι μη μηδενική. το μήκος του ονομάζεται γεωδαιτική καμπυλότητα κ σολκαμπύλη στην επιφάνεια. Υπάρχει μια σχέση:

,

Οπου κ- καμπυλότητα δεδομένης καμπύλης, κ n- καμπυλότητα της κανονικής τομής του με την ίδια εφαπτομένη.

Οι γεωδαισιακές γραμμές αναφέρονται στην εσωτερική γεωμετρία. Ας αναφέρουμε τις κύριες ιδιότητές τους.

• Διά μέσου αυτό το σημείοεπιφάνειες σε δοθείσα κατεύθυνσηδιέρχεται ένα και μόνο ένα γεωδαιτικό.
• Σε μια αρκετά μικρή περιοχή της επιφάνειας, δύο σημεία μπορούν πάντα να συνδεθούν με ένα γεωδαιτικό και, επιπλέον, μόνο με ένα. Εξήγηση: σε μια σφαίρα, οι αντίθετοι πόλοι συνδέονται με άπειρο αριθμό μεσημβρινών και δύο κοντινά σημεία μπορούν να συνδεθούν όχι μόνο με ένα τμήμα ενός μεγάλου κύκλου, αλλά και με την προσθήκη του σε έναν πλήρη κύκλο, έτσι ώστε η μοναδικότητα να διατηρείται μόνο στο μικρό.
• Το γεωδαισιακό είναι το συντομότερο μονοπάτι. Πιο αυστηρά: σε ένα μικρό κομμάτι επιφάνειας η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δεδομένων σημείων βρίσκεται κατά μήκος ενός γεωδαισίου.

τετράγωνο

Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό της επιφάνειας είναι τετράγωνο, ο οποίος υπολογίζεται από τον τύπο:

Σε συντεταγμένες παίρνουμε:

	ρητή ανάθεση	παραμετρική προδιαγραφή
έκφραση περιοχής

Δηλαδή, για αυτό που βλέπετε στον τίτλο. Ουσιαστικά, αυτό είναι ένα «χωρικό ανάλογο» προβλήματα εύρεσης εφαπτομένηςΚαι κανονικάστο γράφημα μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, και επομένως δεν θα πρέπει να προκύψουν δυσκολίες.

Ας ξεκινήσουμε με τις βασικές ερωτήσεις: ΤΙ ΕΙΝΑΙ εφαπτομενικό επίπεδο και ΤΙ ΕΙΝΑΙ κανονικό; Πολλοί άνθρωποι κατανοούν αυτές τις έννοιες στο επίπεδο της διαίσθησης. Το πιο απλό μοντέλο που έρχεται στο μυαλό είναι μια μπάλα στην οποία βρίσκεται ένα λεπτό επίπεδο χαρτόνι. Το χαρτόνι βρίσκεται όσο το δυνατόν πιο κοντά στη σφαίρα και την αγγίζει σε ένα μόνο σημείο. Επιπλέον, στο σημείο επαφής ασφαλίζεται με μια βελόνα που κολλάει ευθεία προς τα πάνω.

Θεωρητικά, υπάρχει ένας μάλλον ευφυής ορισμός του εφαπτομένου επιπέδου. Φανταστείτε ένα δωρεάν επιφάνειακαι το σημείο που του ανήκει. Προφανώς, πολλά περνούν από το σημείο χωρικές γραμμές, που ανήκουν σε αυτή την επιφάνεια. Ποιος έχει τι ενώσεις; =) ...προσωπικά, φαντάστηκα ένα χταπόδι. Ας υποθέσουμε ότι κάθε τέτοια γραμμή έχει χωρική εφαπτομένηστο σημείο.

Ορισμός 1: εφαπτομενικό επίπεδοστην επιφάνεια σε ένα σημείο - αυτό είναι επίπεδο, που περιέχει εφαπτομένες σε όλες τις καμπύλες που ανήκουν σε μια δεδομένη επιφάνεια και διέρχονται από το σημείο.

Ορισμός 2: κανονικόςστην επιφάνεια σε ένα σημείο - αυτό είναι ευθεία, που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο.

Απλό και κομψό. Παρεμπιπτόντως, για να μην πεθάνετε από την πλήξη από την απλότητα του υλικού, λίγο αργότερα θα μοιραστώ μαζί σας ένα κομψό μυστικό που σας επιτρέπει να ξεχάσετε να στριμώχνετε διάφορους ορισμούς ΜΙΑ ΓΙΑ ΠΑΝΤΑ.

Ας εξοικειωθούμε με τους τύπους εργασίας και τον αλγόριθμο λύσεων χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Στη συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί τόσο η εξίσωση εφαπτομενικού επιπέδου όσο και η κανονική εξίσωση:

Παράδειγμα 1

Λύση:αν η επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση (δηλαδή σιωπηρά), τότε η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου σε μια δεδομένη επιφάνεια σε ένα σημείο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Ιδιαίτερη προσοχήΕφιστώ την προσοχή σε ασυνήθιστα επιμέρους παράγωγα - τους δεν πρέπει να συγχέεταιΜε μερικές παράγωγοι μιας σιωπηρώς καθορισμένης συνάρτησης (αν και η επιφάνεια προσδιορίζεται σιωπηρά). Κατά την εύρεση αυτών των παραγώγων, πρέπει κανείς να καθοδηγείται από κανόνες για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών, δηλαδή, κατά τη διαφοροποίηση σε σχέση με οποιαδήποτε μεταβλητή, τα άλλα δύο γράμματα θεωρούνται σταθερές:

Χωρίς να βγούμε από την ταμειακή μηχανή, βρίσκουμε το μερικό παράγωγο στο σημείο:

Επίσης:

Αυτή ήταν η πιο δυσάρεστη στιγμή της απόφασης, στην οποία ένα λάθος, αν δεν επιτρέπεται, εμφανίζεται συνεχώς. Ωστόσο, υπάρχει αποτελεσματική τεχνικήελέγξτε ότι μίλησα στην τάξη Κατευθυντική παράγωγος και κλίση.

Όλα τα «συστατικά» έχουν βρεθεί και τώρα είναι θέμα προσεκτικής αντικατάστασης με περαιτέρω απλοποιήσεις:

– γενική εξίσωσητο επιθυμητό επίπεδο εφαπτομένης.

Συνιστώ ανεπιφύλακτα να ελέγξετε και αυτό το στάδιο της λύσης. Πρώτα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι οι συντεταγμένες του εφαπτομενικού σημείου ικανοποιούν πραγματικά την εξίσωση που βρέθηκε:

- αληθινή ισότητα.

Τώρα «αφαιρούμε» τους συντελεστές γενική εξίσωσηεπίπεδα και ελέγξτε τα για σύμπτωση ή αναλογικότητα με τις αντίστοιχες τιμές. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηαναλογικά. Όπως θυμάστε από μάθημα αναλυτικής γεωμετρίας, - Αυτό κανονικό διάνυσμαεφαπτομενικό επίπεδο, και είναι επίσης οδηγός διάνυσμακανονική ευθεία. Ας συνθέσουμε κανονικές εξισώσειςκανονικές κατά διάνυσμα σημείου και κατεύθυνσης:

Κατ 'αρχήν, οι παρονομαστές μπορούν να μειωθούν κατά δύο, αλλά δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη για αυτό

Απάντηση:

Δεν απαγορεύεται να ορίσουμε τις εξισώσεις με κάποια γράμματα, αλλά, πάλι, γιατί; Εδώ είναι ήδη εξαιρετικά σαφές τι είναι τι.

Τα ακόλουθα δύο παραδείγματα αφορούν ανεξάρτητη απόφαση. Ένα μικρό "μαθηματικό γλωσσικό στρίψιμο":

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κάθετου στην επιφάνεια στο σημείο.

Και μια εργασία που είναι ενδιαφέρουσα από τεχνική άποψη:

Παράδειγμα 3

Να γράψετε εξισώσεις για το εφαπτομενικό επίπεδο και κάθετο στην επιφάνεια σε ένα σημείο

Στο σημείο.

Υπάρχουν πολλές πιθανότητες όχι μόνο να μπερδευτείτε, αλλά και να αντιμετωπίσετε δυσκολίες κατά την εγγραφή κανονικές εξισώσεις της γραμμής. Και οι κανονικές εξισώσεις, όπως μάλλον καταλαβαίνετε, συνήθως γράφονται με αυτή τη μορφή. Αν και, λόγω λήθης ή άγνοιας ορισμένων αποχρώσεων, η παραμετρική μορφή είναι κάτι παραπάνω από αποδεκτή.

Προσεγγιστικά παραδείγματα τελικής εκτέλεσης λύσεων στο τέλος του μαθήματος.

Υπάρχει εφαπτομενικό επίπεδο σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας; ΣΕ γενική περίπτωση, φυσικά και όχι. Κλασικό παράδειγμα- Αυτό κωνική επιφάνεια και σημείο - οι εφαπτομένες σε αυτό το σημείο σχηματίζουν απευθείας μια κωνική επιφάνεια και, φυσικά, δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι κάτι δεν πάει καλά αναλυτικά: .

Μια άλλη πηγή προβλημάτων είναι το γεγονός ανύπαρκτοοποιαδήποτε μερική παράγωγο σε ένα σημείο. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι σε ένα δεδομένο σημείο δεν υπάρχει ενιαίο επίπεδο εφαπτομένης.

Αλλά ήταν, μάλλον, δημοφιλής επιστήμη και όχι πρακτικά σημαντικές πληροφορίες, και επιστρέφουμε στα επείγοντα ζητήματα:

Πώς να γράψετε εξισώσεις για το εφαπτομενικό επίπεδο και το κανονικό σε ένα σημείο,
εάν η επιφάνεια καθορίζεται από μια ρητή συνάρτηση?

Ας το ξαναγράψουμε σιωπηρά:

Και χρησιμοποιώντας τις ίδιες αρχές βρίσκουμε μερικές παραγώγους:

Έτσι, ο τύπος του εφαπτομένου επιπέδου μετατρέπεται στην ακόλουθη εξίσωση:

Και αντίστοιχα, κανονικές εξισώσειςκανονικά:

Όπως μπορείτε να μαντέψετε, - αυτά είναι ήδη «πραγματικά» μερικές παράγωγοι συνάρτησης δύο μεταβλητώνστο σημείο, που δηλώναμε με το γράμμα “z” και βρέθηκαν 100500 φορές.

Λάβετε υπόψη ότι σε αυτό το άρθρο αρκεί να θυμάστε τον πρώτο τύπο, από τον οποίο, εάν είναι απαραίτητο, είναι εύκολο να εξαχθούν όλα τα άλλα (φυσικά, έχοντας βασικό επίπεδοπαρασκευή). Αυτή είναι η προσέγγιση που πρέπει να χρησιμοποιείται κατά τη μελέτη θετικές επιστήμες, δηλ. από μια ελάχιστη πληροφόρηση πρέπει να προσπαθήσουμε να «βγάλουμε» τα μέγιστα συμπεράσματα και συνέπειες. Η «εξέταση» και η υπάρχουσα γνώση θα βοηθήσουν! Αυτή η αρχή είναι επίσης χρήσιμη γιατί πιθανότατα θα σας σώσει σε μια κρίσιμη κατάσταση όταν γνωρίζετε πολύ λίγα.

Ας επεξεργαστούμε τους «τροποποιημένους» τύπους με μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

Να γράψετε εξισώσεις για το εφαπτομένο επίπεδο και κάθετο στην επιφάνεια στο σημείο.

Υπάρχει μια μικρή επικάλυψη εδώ με τις σημειώσεις - τώρα το γράμμα υποδηλώνει ένα σημείο στο αεροπλάνο, αλλά τι μπορείτε να κάνετε - ένα τόσο δημοφιλές γράμμα...

Λύση: ας συνθέσουμε την εξίσωση του επιθυμητού εφαπτομένου επιπέδου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο:

Ας υπολογίσουμε Μερικά παράγωγα 1ης τάξηςσε αυτό το σημείο:

Ετσι:

προσεκτικά, μην βιαστείτε:

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της κανονικής στο σημείο:

Απάντηση:

Και ένα τελευταίο παράδειγμα για τη δική σας λύση:

Παράδειγμα 5

Να γράψετε εξισώσεις για το εφαπτομενικό επίπεδο και το κάθετο στην επιφάνεια στο σημείο.

Τελικό - γιατί εξήγησα ουσιαστικά όλα τα τεχνικά σημεία και δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να προσθέσω. Ακόμη και οι ίδιες οι συναρτήσεις που προτείνονται σε αυτήν την εργασία είναι θαμπές και μονότονες - στην πράξη είναι σχεδόν εγγυημένο ότι θα συναντήσετε ένα "πολυώνυμο" και από αυτή την άποψη, το Παράδειγμα Νο. 2 με έναν εκθέτη μοιάζει με ένα "μαύρο πρόβατο". Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ πιο πιθανό να συναντήσει μια επιφάνεια δίνεται από την εξίσωσηκαι αυτός είναι ένας άλλος λόγος για τον οποίο η συνάρτηση συμπεριλήφθηκε στο άρθρο ως νούμερο δύο.

Και τέλος, το μυστικό της υπόσχεσης: πώς να αποφύγετε τους ορισμούς που στριμώχνονται; (Φυσικά, δεν εννοώ την κατάσταση όταν ένας μαθητής στριμώχνει πυρετωδώς κάτι πριν από μια εξέταση)

Ο ορισμός οποιασδήποτε έννοιας/φαινομένου/αντικειμένου, πρώτα από όλα, δίνει μια απάντηση επόμενη ερώτηση: ΤΙ ΕΙΝΑΙ; (ποιοι/τέτοιοι/τέτοιοι/είναι). Ενσυνείδητααπαντώντας αυτη η ερωτηση, θα πρέπει να προσπαθήσετε να σκεφτείτε σημαντικόςσημάδια, οπωσδηποτεπροσδιορισμός μιας συγκεκριμένης έννοιας/φαινομένου/αντικειμένου. Ναι, στην αρχή αποδεικνύεται ότι είναι κάπως γλωσσοδέτη, ανακριβές και περιττό (ο δάσκαλος θα σας διορθώσει =)), αλλά με την πάροδο του χρόνου αναπτύσσεται αρκετά αξιοπρεπής επιστημονικός λόγος.

Εξασκηθείτε στα πιο αφηρημένα αντικείμενα, για παράδειγμα, απαντήστε στην ερώτηση: ποιος είναι ο Cheburashka; Δεν είναι τόσο απλό ;-) Αυτό είναι " χαρακτήρας παραμυθιούμε μεγάλα αυτιά, μάτια και καφέ γούνα»; Μακριά και πολύ μακριά από τον ορισμό - ποτέ δεν ξέρεις ότι υπάρχουν χαρακτήρες με τέτοια χαρακτηριστικά... Αλλά αυτό είναι πολύ πιο κοντά στον ορισμό: «Ο Cheburashka είναι ένας χαρακτήρας που εφευρέθηκε από τον συγγραφέα Eduard Uspensky το 1966, ο οποίος ... (κατάλογος των κύριων χαρακτηριστικά γνωρίσματα)» . Παρατηρήστε πόσο καλά ξεκίνησε

Τα εφαπτομενικά επίπεδα παίζουν μεγάλο ρόλο στη γεωμετρία. Κατασκευή εφαπτομένων επιπέδων σε σε πρακτικούς όρουςΕχει σπουδαίος, αφού η παρουσία τους μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση του κανονικού προς την επιφάνεια στο σημείο επαφής. Αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική πρακτική. Τα εφαπτομενικά επίπεδα χρησιμοποιούνται επίσης για την κατασκευή σκίτσων. γεωμετρικά σχήματα, που περιορίζεται από κλειστές επιφάνειες. Σε θεωρητικούς όρους, τα επίπεδα που εφάπτονται σε μια επιφάνεια χρησιμοποιούνται στη διαφορική γεωμετρία για τη μελέτη των ιδιοτήτων μιας επιφάνειας στην περιοχή του σημείου επαφής.

Βασικές έννοιες και ορισμοί

Το επίπεδο που εφάπτεται στην επιφάνεια πρέπει να θεωρείται ως η οριακή θέση του επιπέδου τομής (κατ' αναλογία με την ευθεία που εφάπτεται στην καμπύλη, η οποία ορίζεται επίσης ως η οριακή θέση της τομής).

Ένα επίπεδο που εφάπτεται σε μια επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο της επιφάνειας είναι το σύνολο όλων των ευθειών γραμμών - εφαπτομένων που σύρονται στην επιφάνεια μέσω ενός δεδομένου σημείου.

Στη διαφορική γεωμετρία είναι αποδεδειγμένο ότι όλες οι εφαπτομένες σε μια επιφάνεια που σχεδιάζεται σε ένα συνηθισμένο σημείο είναι ομοεπίπεδες (ανήκουν στο ίδιο επίπεδο).

Ας μάθουμε πώς να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή εφαπτομένη στην επιφάνεια. Η εφαπτομένη t στην επιφάνεια β σε ένα σημείο M που καθορίζεται στην επιφάνεια (Εικ. 203) αντιπροσωπεύει την οριακή θέση της τομής l j που τέμνει την επιφάνεια σε δύο σημεία (MM 1, MM 2, ..., MM n) όταν η τα σημεία τομής συμπίπτουν (M ≡ M n , l n ≡ l M). Προφανώς (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, αφού g ⊂ β. Από τα παραπάνω προκύπτει ο ακόλουθος ορισμός: Η εφαπτομένη σε μια επιφάνεια είναι μια ευθεία γραμμή που εφάπτεται σε οποιαδήποτε καμπύλη που ανήκει στην επιφάνεια.

Δεδομένου ότι το επίπεδο ορίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες γραμμές, για να ορίσουμε ένα επίπεδο εφαπτομένο στην επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο, αρκεί να σχεδιάσουμε δύο αυθαίρετες γραμμές που ανήκουν στην επιφάνεια (κατά προτίμηση απλές σε σχήμα) μέσω αυτού του σημείου και να κατασκευάσουμε εφαπτομένες σε καθένα από αυτά στο σημείο τομής αυτών των γραμμών . Οι κατασκευασμένες εφαπτομένες καθορίζουν μοναδικά το επίπεδο εφαπτομένης. Οπτική αναπαράστασηστο σχέδιο ενός επιπέδου α που εφάπτεται στην επιφάνεια β σε ένα δεδομένο σημείο M δίνεται στο Σχ. 204. Αυτό το σχήμα δείχνει επίσης το κανονικό n στην επιφάνεια β.

Η κάθετη προς την επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο είναι μια ευθεία κάθετη στο εφαπτομενικό επίπεδο και που διέρχεται από το σημείο της εφαπτομένης.

Η γραμμή τομής της επιφάνειας με ένα επίπεδο που διέρχεται από την κανονική ονομάζεται κανονική τομή της επιφάνειας. Ανάλογα με τον τύπο της επιφάνειας, το εφαπτομενικό επίπεδο μπορεί να έχει είτε ένα είτε πολλά σημεία (γραμμή) με την επιφάνεια. Η ευθεία εφαπτομένης μπορεί ταυτόχρονα να είναι και η γραμμή τομής της επιφάνειας με το επίπεδο.

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις όπου υπάρχουν σημεία στην επιφάνεια στα οποία είναι αδύνατο να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη στην επιφάνεια. τέτοια σημεία ονομάζονται ενικά. Ως παράδειγμα μοναδικών σημείων, μπορεί κανείς να αναφέρει τα σημεία που ανήκουν στο άκρο επιστροφής της επιφάνειας του κορμού ή το σημείο τομής του μεσημβρινού της επιφάνειας περιστροφής με τον άξονά του, εάν ο μεσημβρινός και ο άξονας δεν τέμνονται δεξιά γωνίες.

Οι τύποι αφής εξαρτώνται από τη φύση της καμπυλότητας της επιφάνειας.

Επιφανειακή καμπυλότητα

Έχουν διερευνηθεί ζητήματα καμπυλότητας επιφάνειας Γάλλος μαθηματικός F. Dupin (1784-1873), ο οποίος πρότεινε έναν οπτικό τρόπο απεικόνισης των αλλαγών στην καμπυλότητα των κανονικών τμημάτων μιας επιφάνειας.

Για να γίνει αυτό, στο επίπεδο που εφάπτεται στην επιφάνεια που εξετάζουμε στο σημείο Μ (Εικ. 205, 206), τοποθετούνται τμήματα στις εφαπτομένες στα κανονικά τμήματα και στις δύο πλευρές αυτού του σημείου. ίσο με τις ρίζεςτο τετράγωνο των τιμών των αντίστοιχων ακτίνων καμπυλότητας αυτών των τμημάτων. Ένα σύνολο σημείων - τα άκρα των τμημάτων ορίζουν μια καμπύλη που ονομάζεται Ο δείκτης του Dupin. Ο αλγόριθμος για την κατασκευή του δείκτη Dupin (Εικ. 205) μπορεί να γραφτεί:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

όπου R είναι η ακτίνα καμπυλότητας.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) είναι ο δείκτης Dupin.

Εάν ο δείκτης Dupin μιας επιφάνειας είναι έλλειψη, τότε το σημείο M ονομάζεται ελλειπτικό και η επιφάνεια ονομάζεται επιφάνεια με ελλειπτικά σημεία(Εικ. 206). Στην περίπτωση αυτή, το εφαπτομενικό επίπεδο έχει μόνο μία σύνδεση με την επιφάνεια κοινό σημέιο, και όλες οι ευθείες που ανήκουν στην επιφάνεια και τέμνονται στο υπό εξέταση σημείο βρίσκονται στη μία πλευρά του εφαπτομενικού επιπέδου. Παραδείγματα επιφανειών με ελλειπτικά σημεία είναι: ένα παραβολοειδές περιστροφής, ένα ελλειψοειδές περιστροφής, μια σφαίρα (στην περίπτωση αυτή, ο δείκτης Dupin είναι ένας κύκλος, κ.λπ.).

Όταν σχεδιάζετε ένα εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια του κορμού, το επίπεδο θα αγγίξει αυτήν την επιφάνεια κατά μήκος μιας ευθύγραμμης γεννήτριας. Τα σημεία αυτής της γραμμής ονομάζονται παραβολική, και η επιφάνεια είναι μια επιφάνεια με παραβολικά σημεία. Ο δείκτης Dupin σε αυτή την περίπτωση είναι δύο παράλληλες γραμμές (Εικ. 207*).

Στο Σχ. Το 208 δείχνει μια επιφάνεια που αποτελείται από σημεία στα οποία

* Μια καμπύλη δεύτερης τάξης - μια παραβολή - υπό ορισμένες συνθήκες μπορεί να χωριστεί σε δύο πραγματικές παράλληλες ευθείες, δύο νοητές παράλληλες ευθείες, δύο ευθείες που συμπίπτουν. Στο Σχ. 207 έχουμε να κάνουμε με δύο πραγματικές παράλληλες ευθείες.

Οποιοδήποτε εφαπτόμενο επίπεδο τέμνει την επιφάνεια. Μια τέτοια επιφάνεια ονομάζεται υπερβολικός, και τα σημεία που ανήκουν σε αυτό είναι υπερβολικά σημεία. Ο δείκτης Dupin σε αυτή την περίπτωση είναι μια υπερβολή.

Μια επιφάνεια, της οποίας όλα τα σημεία είναι υπερβολικά, έχει σχήμα σέλας (λοξό επίπεδο, μονόφυλλο υπερβολοειδές, κοίλες επιφάνειες περιστροφής κ.λπ.).

Μια επιφάνεια μπορεί να έχει σημεία ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ, για παράδειγμα, κοντά στην επιφάνεια του κορμού (Εικ. 209) το σημείο M είναι ελλειπτικό. Το σημείο N είναι παραβολικό. Το σημείο Κ είναι υπερβολικό.

Κατά τη διάρκεια της διαφορικής γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι οι κανονικές τομές στις οποίες οι τιμές καμπυλότητας K j = 1 / R j (όπου R j είναι η ακτίνα καμπυλότητας του εξεταζόμενου τμήματος) έχουν ακραίες τιμές εντοπίζονται σε δύο αμοιβαία κάθετα επίπεδα.

Τέτοιες καμπυλότητες K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min ονομάζονται οι κύριες τιμές και οι τιμές H = (K 1 + K 2)/2 και K = K 1 K 2 είναι, αντίστοιχα, η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας και το σύνολο ( Gaussian) καμπυλότητα της επιφάνειας στο υπό εξέταση σημείο. Για ελλειπτικά σημεία K > 0, υπερβολικά σημεία K

Καθορισμός ενός εφαπτομένου επιπέδου σε μια επιφάνεια σε διάγραμμα Monge

Παρακάτω επάνω συγκεκριμένα παραδείγματαΘα δείξουμε την κατασκευή ενός επιπέδου που εφάπτεται σε μια επιφάνεια με ελλειπτικά (παράδειγμα 1), παραβολικά (παράδειγμα 2) και υπερβολικά (παράδειγμα 3) σημεία.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Κατασκευάστε ένα επίπεδο α που εφάπτεται στην επιφάνεια της περιστροφής β με ελλειπτικά σημεία. Ας εξετάσουμε δύο επιλογές για την επίλυση αυτού του προβλήματος: α) σημείο Μ ∈ β και β) σημείο Μ ∉ β

Επιλογή α (Εικ. 210).

Το επίπεδο της εφαπτομένης καθορίζεται από δύο εφαπτομένες t 1 και t 2 που σχεδιάζονται στο σημείο M στην παράλληλο και το μεσημβρινό της επιφάνειας β.

Οι προβολές της εφαπτομένης t 1 στην παράλληλη h της επιφάνειας β θα είναι t" 1 ⊥ (S"M") και t" 1 || άξονα x Η οριζόντια προβολή της εφαπτομένης t" 2 στον μεσημβρινό d της επιφάνειας β που διέρχεται από το σημείο Μ θα συμπίπτει με την οριζόντια προβολή του μεσημβρινού. Για να βρεθεί η μετωπική προβολή της εφαπτομένης t" 2, το μεσημβρινό επίπεδο γ(γ ∋ M) μεταφέρεται στη θέση γ περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα της επιφάνειας β 1 , παράλληλα με το επίπεδοπ 2. Σε αυτή την περίπτωση, σημείο M → M 1 (M" 1, M" 1 Η προβολή της εφαπτομένης t" 2 rarr· t" 2 1 προσδιορίζεται από το (M" 1 S"). Αν τώρα επιστρέψουμε το επίπεδο γ 1 στην αρχική του θέση, τότε το σημείο S" θα παραμείνει στη θέση του (ως ανήκει στον άξονα περιστροφής) και το M" 1 → M" και η μετωπική προβολή της εφαπτομένης t" 2 θα να προσδιοριστεί (M" S")

Δύο εφαπτομένες t 1 και t 2 που τέμνονται σε ένα σημείο M ∈ β ορίζουν ένα επίπεδο α που εφάπτεται στην επιφάνεια β.

Επιλογή β (Εικ. 211)

Για να κατασκευάσουμε ένα επίπεδο εφαπτομένο σε μια επιφάνεια που διέρχεται από ένα σημείο που δεν ανήκει στην επιφάνεια, πρέπει να προχωρήσουμε από τις ακόλουθες σκέψεις: μέσω ενός σημείου εκτός της επιφάνειας που αποτελείται από ελλειπτικά σημεία, μπορούν να σχεδιαστούν πολλά επίπεδα εφαπτόμενα στην επιφάνεια. Το περίβλημα αυτών των επιφανειών θα είναι κάποια κωνική επιφάνεια. Επομένως, εάν δεν υπάρχουν πρόσθετες οδηγίες, τότε το πρόβλημα έχει πολλές λύσεις και σε αυτή την περίπτωση καταλήγει στην εκτέλεση κωνική επιφάνειαγ εφαπτομένη σε δεδομένη επιφάνεια β.

Στο Σχ. Το 211 δείχνει την κατασκευή μιας κωνικής επιφάνειας γ εφαπτομένης στη σφαίρα β. Οποιοδήποτε επίπεδο α εφάπτεται στην κωνική επιφάνεια γ θα εφάπτεται στην επιφάνεια β.

Για να κατασκευάσουμε προβολές της επιφάνειας γ από τα σημεία Μ" και Μ" σχεδιάζουμε εφαπτόμενες στους κύκλους h" και f" - τις προβολές της σφαίρας. Σημειώστε τα σημεία επαφής 1 (1" και 1"), 2 (2" και 2"), 3 (3" και 3") και 4 (4" και 4"). Οριζόντια προβολή κύκλου - η ευθεία εφαπτομένης της κωνικής επιφάνειας και της σφαίρας προβάλλεται σε [ 1"2"] Για να βρούμε τα σημεία της έλλειψης στα οποία θα προβληθεί αυτός ο κύκλος στο μετωπικό επίπεδο των προβολών, θα χρησιμοποιήσουμε οι παράλληλοι της σφαίρας.

Στο Σχ. 211 ορίζονται με αυτόν τον τρόπο μετωπικές προβολέςσημεία Ε και ΣΤ (Ε" και ΣΤ"). Έχοντας κωνική επιφάνεια γ, κατασκευάζουμε ένα εφαπτόμενο επίπεδο α σε αυτήν. Η φύση και η ακολουθία του γραφικού

Οι κατασκευές που πρέπει να γίνουν για αυτό δίνονται στο παρακάτω παράδειγμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Κατασκευάστε ένα επίπεδο α που εφάπτεται στην επιφάνεια β με παραβολικά σημεία

Όπως στο Παράδειγμα 1, θεωρούμε δύο λύσεις: α) σημείο N ∈ β; β) σημείο N ∉ β

Επιλογή α (Εικ. 212).

Μια κωνική επιφάνεια αναφέρεται σε επιφάνειες με παραβολικά σημεία (βλ. Εικ. 207.) Ένα επίπεδο που εφάπτεται σε μια κωνική επιφάνεια την αγγίζει κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής Για την κατασκευή της, είναι απαραίτητο:

1) μέσα από ένα δεδομένο σημείο N σχεδιάστε μια γεννήτρια SN (S"N" και S"N").

2) σημειώστε το σημείο τομής της γεννήτριας (SN) με τον οδηγό d: (SN) ∩ d = A;

3) θα φυσήξει επίσης στην εφαπτομένη t στο d στο σημείο Α.

Η γεννήτρια (SA) και η εφαπτομένη t που την τέμνει ορίζουν το επίπεδο α που εφάπτεται στην κωνική επιφάνεια β σε ένα δεδομένο σημείο N*.

Για να σχεδιάσετε ένα επίπεδο α, που εφάπτεται στην κωνική επιφάνεια β και διέρχεται από το σημείο Ν, δεν ανήκει

* Εφόσον η επιφάνεια β αποτελείται από παραβολικά σημεία (εκτός από την κορυφή S), το εφαπτόμενο επίπεδο α σε αυτήν θα έχει κοινό όχι ένα σημείο N, αλλά μια ευθεία γραμμή (SN).

θερισμός δεδομένη επιφάνεια, απαραίτητη:

1) μέσα από ένα δεδομένο σημείο N και την κορυφή S της κωνικής επιφάνειας β σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή a (a" και a") .

2) προσδιορίστε το οριζόντιο ίχνος αυτής της ευθείας γραμμής H a.

3) μέσω H a σχεδιάστε τις εφαπτομένες t" 1 και t" 2 της καμπύλης h 0β - το οριζόντιο ίχνος της κωνικής επιφάνειας.

4) Συνδέστε τα εφαπτομενικά σημεία Α (Α" και Α") και Β (Β" και Β") στην κορυφή της κωνικής επιφάνειας S (S" και S").

Οι τεμνόμενες ευθείες t 1, (AS) και t 2, (BS) καθορίζουν τα επιθυμητά εφαπτόμενα επίπεδα α 1 και α 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Κατασκευάστε ένα επίπεδο α που εφάπτεται στην επιφάνεια β με υπερβολικά σημεία.

Το σημείο Κ (Εικ. 214) βρίσκεται στην επιφάνεια του σφαιροειδούς ( εσωτερική επιφάνειαδαχτυλίδια).

Για τον προσδιορισμό της θέσης του εφαπτομένου επιπέδου α είναι απαραίτητο:

1) σχεδιάστε μια παράλληλη με την επιφάνεια β h(h", h") μέσω του σημείου Κ.

2) μέσω του σημείου K" σχεδιάστε μια εφαπτομένη t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) για να προσδιορίσετε τις κατευθύνσεις των προεξοχών της εφαπτομένης στο μεσημβρινό τμήμα, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε το επίπεδο γ μέσω του σημείου K και του άξονα της επιφάνειας, η οριζόντια προβολή t" 2 θα συμπίπτει με το h 0γ, για να κατασκευάσετε την μετωπική προβολή της εφαπτομένης t" 2, μεταφράζουμε πρώτα το επίπεδο γ περιστρέφοντάς το γύρω από τον άξονα της επιφάνειας περιστροφής στη θέση γ 1 || π 2. Στην περίπτωση αυτή, το μεσημβρινό τμήμα κατά επίπεδο γ θα ευθυγραμμιστεί με το αριστερό τόξο περιγράμματος της μετωπικής προβολής - ημικύκλιο g».

Το σημείο Κ (Κ", Κ"), που ανήκει στην καμπύλη μεσημβρινής τομής, θα μετακινηθεί στη θέση Κ 1 (Κ" 1, Κ" 1). Μέσω Κ" 1 σχεδιάζουμε μετωπική προβολή της εφαπτομένης t" 2 1, σε συνδυασμό με το επίπεδο γ 1 || Τοποθετούμε το π 2 και σημειώνουμε το σημείο τομής του με την μετωπική προβολή του άξονα περιστροφής S" 1. Επαναφέρουμε το επίπεδο γ 1 στην αρχική του θέση, σημείο K" 1 → K" (σημείο S" 1 ≡ S") Η μετωπική προβολή της εφαπτομένης t" 2 προσδιορίζεται από τα σημεία K" και S".

Οι εφαπτομένες t 1 και t 2 ορίζουν το επιθυμητό επίπεδο εφαπτομένης α, που τέμνει την επιφάνεια β κατά μήκος της καμπύλης l.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Κατασκευάστε ένα επίπεδο α που εφάπτεται στην επιφάνεια β στο σημείο Κ. Το σημείο Κ βρίσκεται στην επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς περιστροφής ενός φύλλου (Εικ. 215).

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί ακολουθώντας τον αλγόριθμο που χρησιμοποιήθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα, αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι η επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς περιστροφής ενός φύλλου είναι μια επιφανειακή επιφάνεια που έχει δύο οικογένειες ευθύγραμμων γεννητριών και καθεμία από τις γεννήτριες ενός οικογένεια τέμνει όλες τις γεννήτριες της άλλης οικογένειας (βλ. § 32, εικ. . 138). Μέσα από κάθε σημείο αυτής της επιφάνειας, μπορούν να σχεδιαστούν δύο τεμνόμενες ευθείες γραμμές - γεννήτριες, οι οποίες θα εφάπτονται ταυτόχρονα στην επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς περιστροφής ενός φύλλου.

Αυτές οι εφαπτομένες ορίζουν το εφαπτομενικό επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο που εφάπτεται στην επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς περιστροφής ενός φύλλου τέμνει αυτήν την επιφάνεια κατά μήκος δύο ευθειών g 1 και g 2. Για την κατασκευή προβολών αυτών των γραμμών, αρκεί οριζόντια προβολήσημεία Κ, σχεδιάστε τις εφαπτομένες t" 1 και t" 2 στην οριζόντια

προεξοχή του κύκλου d" 2 - ο λαιμός της επιφάνειας ενός μονόφυλλου υπερβολοειδούς περιστροφής· προσδιορίστε τα σημεία 1" και 2 στα οποία τα t" 1 και t" 2 τέμνουν το ένα και οι κατευθυντήριες επιφάνειες d 1. Από 1" και 2" βρίσκουμε 1" και 2", που μαζί με το Κ" καθορίζουν τις μετωπικές προεξοχές των απαιτούμενων γραμμών.

Ως επιφάνεια ορίζεται ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν ένα συγκεκριμένο είδοςεξισώσεις:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Εάν η συνάρτηση F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))είναι συνεχής σε κάποιο σημείο και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους σε αυτό, τουλάχιστον μία από τις οποίες δεν εξαφανίζεται, τότε στη γειτονιά αυτού του σημείου η επιφάνεια που δίνεται από την εξίσωση (1) θα είναι τη σωστή επιφάνεια.

Εκτός από τα παραπάνω σιωπηρός τρόπος προσδιορισμού, η επιφάνεια μπορεί να οριστεί προφανώς, εάν μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, z, μπορεί να εκφραστεί ως προς τις άλλες:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Πιο αυστηρά απλή επιφάνεια ονομάζεται η εικόνα μιας ομοιομορφικής χαρτογράφησης (δηλαδή μια προς ένα και αμοιβαία συνεχής χαρτογράφηση) του εσωτερικού ενός τετραγώνου μονάδας. Αυτός ο ορισμός μπορεί να δοθεί μια αναλυτική έκφραση.

Έστω ένα τετράγωνο που δίνεται σε ένα επίπεδο με ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων u και v, οι συντεταγμένες των εσωτερικών σημείων του οποίου ικανοποιούν τις ανισώσεις 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Παράδειγμα απλή επιφάνειαείναι ένα ημισφαίριο. Ολόκληρη η σφαίρα δεν είναι απλή επιφάνεια. Αυτό απαιτεί περαιτέρω γενίκευση της έννοιας της επιφάνειας.

Ένα υποσύνολο χώρου, κάθε σημείο του οποίου έχει μια γειτονιά δηλαδή απλή επιφάνεια, που ονομάζεται τη σωστή επιφάνεια .

Επιφάνεια σε διαφορική γεωμετρία

Ελικοειδής

Κατενοειδής

Η μέτρηση δεν καθορίζει μοναδικά το σχήμα της επιφάνειας. Για παράδειγμα, οι μετρήσεις ενός ελικοειδούς και ενός κατηνοειδούς, παραμετροποιημένες ανάλογα, συμπίπτουν, δηλαδή, μεταξύ των περιοχών τους υπάρχει μια αντιστοιχία που διατηρεί όλα τα μήκη (ισομετρία). Οι ιδιότητες που διατηρούνται κάτω από ισομετρικούς μετασχηματισμούς ονομάζονται εσωτερική γεωμετρίαεπιφάνειες. Η εσωτερική γεωμετρία δεν εξαρτάται από τη θέση της επιφάνειας στο χώρο και δεν αλλάζει όταν κάμπτεται χωρίς τάση ή συμπίεση (για παράδειγμα, όταν ένας κύλινδρος κάμπτεται σε κώνο).

Μετρικοί συντελεστές E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)καθορίζουν όχι μόνο τα μήκη όλων των καμπυλών, αλλά και γενικά τα αποτελέσματα όλων των μετρήσεων στο εσωτερικό της επιφάνειας (γωνίες, εμβαδά, καμπυλότητα κ.λπ.). Επομένως, ό,τι εξαρτάται μόνο από τη μέτρηση αναφέρεται στην εσωτερική γεωμετρία.

Κανονικό και κανονικό τμήμα

Κανονικά διανύσματα σε επιφανειακά σημεία

Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά μιας επιφάνειας είναι κανονικός- μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο εφαπτομενικό επίπεδο σε ένα δεδομένο σημείο:

m = [ r u ′ , r v ] | [ r u ′ , r v ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Το πρόσημο του κανονικού εξαρτάται από την επιλογή των συντεταγμένων.

Ένα τμήμα μιας επιφάνειας από ένα επίπεδο που περιέχει την επιφάνεια κάθετη σε ένα δεδομένο σημείο σχηματίζει μια ορισμένη καμπύλη που ονομάζεται κανονικό τμήμαεπιφάνειες. Η κύρια κανονική για ένα κανονικό τμήμα συμπίπτει με την κανονική προς την επιφάνεια (μέχρι το σημάδι).

Εάν η καμπύλη στην επιφάνεια δεν είναι κανονική τομή, τότε η κύρια κανονική της σχηματίζει μια ορισμένη γωνία με την κανονική της επιφάνειας θ (\displaystyle \theta ). Μετά η καμπυλότητα k (\displaystyle k)καμπύλη που σχετίζεται με την καμπυλότητα k n (\displaystyle k_(n))κανονική τομή (με την ίδια εφαπτομένη) με τον τύπο του Meunier:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Οι συντεταγμένες του κανονικού μοναδιαίου διανύσματος για διαφορετικές μεθόδους καθορισμού μιας επιφάνειας δίνονται στον πίνακα:

	Κανονικές συντεταγμένες σε ένα σημείο επιφάνειας
σιωπηρή ανάθεση	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\αριστερά(( \frac (\μερικό F)(\μερικό x));\,(\frac (\μερικό F)(\μερικό y));\,(\frac (\μερικό F)(\μερικό z))\δεξιά) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\μερικό F)(\μερικό z))\δεξιά)^(2)))))
ρητή ανάθεση	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ μερικό x))\δεξιά)^(2)+\αριστερά((\frac (\μερικό f)(\μερικό y))\δεξιά)^(2)+1))))
παραμετρική προδιαγραφή	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\αριστερά((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\δεξιά)^(2)))))

Εδώ D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ start(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Όλα τα παράγωγα λαμβάνονται στο σημείο (x 0 , y 0 , z 0) (\style display (x_(0),y_(0),z_(0))).

Καμπυλότητα

Για διαφορετικές κατευθύνσεις σε ένα δεδομένο σημείο της επιφάνειας, προκύπτει διαφορετική καμπυλότητα της κανονικής τομής, η οποία ονομάζεται κανονική καμπυλότητα; Του αποδίδεται πρόσημο συν εάν η κύρια κανονική της καμπύλης πηγαίνει στην ίδια κατεύθυνση με την κανονική προς την επιφάνεια ή πρόσημο μείον εάν οι κατευθύνσεις των κανονικών είναι αντίθετες.

Σε γενικές γραμμές, σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας υπάρχουν δύο κάθετες κατευθύνσεις e 1 (\displaystyle e_(1))Και e 2 (\displaystyle e_(2)), στην οποία η κανονική καμπυλότητα λαμβάνει ελάχιστες και μέγιστες τιμές. αυτές οι κατευθύνσεις ονομάζονται κύριος. Η εξαίρεση είναι η περίπτωση που η κανονική καμπυλότητα προς όλες τις κατευθύνσεις είναι η ίδια (για παράδειγμα, κοντά σε μια σφαίρα ή στο τέλος ενός ελλειψοειδούς περιστροφής), τότε όλες οι κατευθύνσεις σε ένα σημείο είναι κύριες.

Επιφάνειες με αρνητική (αριστερά), μηδενική (κέντρο) και θετική (δεξιά) καμπυλότητα.

Οι κανονικές καμπυλότητες στις κύριες κατευθύνσεις ονομάζονται κύριες καμπυλότητες; ας τους ορίσουμε κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))Και κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Μέγεθος:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

ονομάζεται καμπυλότητα Gauss, ολική καμπυλότητα ή απλά καμπυλότητα επιφάνειας. Υπάρχει και ο όρος βαθμωτή καμπυλότητας, που υποδηλώνει το αποτέλεσμα της συνέλιξης του τανυστή καμπυλότητας. Σε αυτή την περίπτωση, η βαθμωτή καμπυλότητας είναι διπλάσια από την καμπυλότητα Gauss.

Η Gaussian καμπυλότητα μπορεί να υπολογιστεί μέσω μιας μετρικής και επομένως είναι αντικείμενο της εγγενούς γεωμετρίας των επιφανειών (σημειώστε ότι οι κύριες καμπυλότητες δεν ανήκουν στην εγγενή γεωμετρία). Μπορείτε να ταξινομήσετε τα σημεία της επιφάνειας με βάση το πρόσημο της καμπυλότητας (βλ. σχήμα). Η καμπυλότητα του επιπέδου είναι μηδέν. Η καμπυλότητα μιας σφαίρας ακτίνας R είναι παντού ίση 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Υπάρχει επίσης μια επιφάνεια σταθερής αρνητικής καμπυλότητας -

Ας έχουμε μια επιφάνεια που ορίζεται από μια εξίσωση της μορφής

Ας εισαγάγουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 1. Μια ευθεία λέγεται εφαπτομένη στην επιφάνεια σε κάποιο σημείο αν είναι

εφαπτομένη σε οποιαδήποτε καμπύλη που βρίσκεται στην επιφάνεια και διέρχεται από το σημείο.

Δεδομένου ότι ένας άπειρος αριθμός διαφορετικών καμπυλών που βρίσκονται στην επιφάνεια διέρχονται από το σημείο P, τότε, σε γενικές γραμμές, θα υπάρχει άπειρος αριθμός εφαπτομένων στην επιφάνεια που διέρχεται από αυτό το σημείο.

Ας εισαγάγουμε την έννοια των μοναδικών και συνηθισμένων σημείων μιας επιφάνειας

Αν σε ένα σημείο και οι τρεις παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν ή τουλάχιστον μία από αυτές δεν υπάρχει, τότε το σημείο Μ ονομάζεται ενικό σημείο της επιφάνειας. Αν σε ένα σημείο υπάρχουν και οι τρεις παράγωγοι και είναι συνεχείς, και τουλάχιστον μία από αυτές είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σημείο Μ ονομάζεται συνηθισμένο σημείο της επιφάνειας.

Τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. Όλες οι εφαπτόμενες σε μια δεδομένη επιφάνεια (1) στο συνηθισμένο της σημείο P βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Απόδειξη. Ας θεωρήσουμε μια συγκεκριμένη ευθεία L στην επιφάνεια (Εικ. 206) που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο P της επιφάνειας. Ας δοθεί η υπό εξέταση καμπύλη με παραμετρικές εξισώσεις

Η εφαπτομένη στην καμπύλη θα είναι η εφαπτομένη στην επιφάνεια. Οι εξισώσεις αυτής της εφαπτομένης έχουν τη μορφή

Εάν οι εκφράσεις (2) αντικατασταθούν στην εξίσωση (1), τότε αυτή η εξίσωση θα μετατραπεί σε ταυτότητα ως προς το t, αφού η καμπύλη (2) βρίσκεται στην επιφάνεια (1). Διαφοροποιώντας το παίρνουμε

Οι προβολές αυτού του διανύσματος εξαρτώνται από - τις συντεταγμένες του σημείου P; Σημειώστε ότι εφόσον το σημείο P είναι συνηθισμένο, αυτές οι προβολές στο σημείο P δεν εξαφανίζονται ταυτόχρονα και επομένως

εφαπτομένη σε μια καμπύλη που διέρχεται από το σημείο P και βρίσκεται στην επιφάνεια. Οι προβολές αυτού του διανύσματος υπολογίζονται με βάση τις εξισώσεις (2) στην τιμή της παραμέτρου t που αντιστοιχεί στο σημείο P.

Ας υπολογίσουμε κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα N και που ισούται με το άθροισμα των γινομένων των προβολών με το ίδιο όνομα:

Με βάση την ισότητα (3), η έκφραση στη δεξιά πλευρά είναι ίση με μηδέν, επομένως,

Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι το διάνυσμα LG και το εφαπτομενικό διάνυσμα στην καμπύλη (2) στο σημείο P είναι κάθετα. Ο παραπάνω συλλογισμός ισχύει για κάθε καμπύλη (2) που διέρχεται από το σημείο P και βρίσκεται στην επιφάνεια. Κατά συνέπεια, κάθε εφαπτομένη στην επιφάνεια στο σημείο P είναι κάθετη στο ίδιο διάνυσμα N και επομένως όλες αυτές οι εφαπτομένες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα LG. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός 2. Το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται όλες οι ευθείες που εφάπτονται στις ευθείες της επιφάνειας που διέρχονται από το δεδομένο της σημείο P ονομάζεται επίπεδο εφαπτομένης στην επιφάνεια στο σημείο P (Εικ. 207).

Σημειώστε ότι σε ειδικά σημείαΜπορεί να μην υπάρχει εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια. Σε τέτοια σημεία, οι εφαπτόμενες στην επιφάνεια γραμμές μπορεί να μην βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Για παράδειγμα, η κορυφή μιας κωνικής επιφάνειας είναι ένα μοναδικό σημείο.

Οι εφαπτομένες στην κωνική επιφάνεια σε αυτό το σημείο δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (οι ίδιες σχηματίζουν μια κωνική επιφάνεια).

Ας γράψουμε την εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου στην επιφάνεια (1) σε ένα συνηθισμένο σημείο. Εφόσον αυτό το επίπεδο είναι κάθετο στο διάνυσμα (4), επομένως, η εξίσωσή του έχει τη μορφή

Εάν η εξίσωση της επιφάνειας δίνεται με τη μορφή ή η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου σε αυτή την περίπτωση παίρνει τη μορφή

Σχόλιο. Αν βάλουμε τον τύπο (6), τότε αυτός ο τύπος θα πάρει τη μορφή

αυτήν δεξί μέροςαντιπροσωπεύει πλήρες διαφορικόλειτουργίες Ως εκ τούτου, . Έτσι, η συνολική διαφορά μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε ένα σημείο που αντιστοιχεί στις προσαυξήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών x και y ισούται με την αντίστοιχη αύξηση της εφαρμογής του εφαπτομένου επιπέδου στην επιφάνεια, που είναι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης.

Ορισμός 3. Μια ευθεία γραμμή που διασχίζεται από ένα σημείο της επιφάνειας (1) κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο ονομάζεται κάθετη στην επιφάνεια (Εικ. 207).