Τι είναι φυσιολογικό; Με απλά λόγια, η κανονική είναι η κάθετη. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία. Είναι προφανές ότι κάθε ευθεία έχει έναν άπειρο αριθμό από αυτά (καθώς και κατευθυντικά διανύσματα), και όλα τα κανονικά διανύσματα της ευθείας θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι - δεν έχει σημασία).

Η αντιμετώπισή τους θα είναι ακόμη πιο εύκολη από ό,τι με τα διανύσματα κατεύθυνσης:

Αν η ευθεία δίνεται από τη γενική εξίσωση στο ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες, τότε το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης γραμμής.

Εάν οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πρέπει να «τραβηχτούν» προσεκτικά από την εξίσωση, τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος απλώς «αφαιρούνται».

Το κανονικό διάνυσμα είναι πάντα ορθογώνιο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Ας βεβαιωθούμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο:

Θα δώσω παραδείγματα με τις ίδιες εξισώσεις όπως για το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Είναι δυνατόν να γράψουμε μια εξίσωση ευθείας, γνωρίζοντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα; Εάν το κανονικό διάνυσμα είναι γνωστό, τότε η κατεύθυνση της ευθύτερης γραμμής καθορίζεται επίσης μοναδικά - αυτή είναι μια "άκαμπτη δομή" με γωνία 90 μοιρών.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Εάν κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Η γενική εξίσωση της ευθείας προκύπτει, ας ελέγξουμε:

1) "Αφαιρέστε" τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος από την εξίσωση: - ναι, πράγματι, το αρχικό διάνυσμα λαμβάνεται από τη συνθήκη (ή το διάνυσμα πρέπει να είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση:

Αληθινή ισότητα.

Αφού πειστούμε ότι η εξίσωση είναι σωστή, θα ολοκληρώσουμε το δεύτερο, πιο εύκολο μέρος της εργασίας. Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:

Απάντηση:

Στην κλήρωση η κατάσταση έχει ως εξής:

Για εκπαιδευτικούς σκοπούς, μια παρόμοια εργασία για ανεξάρτητη απόφαση:

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος θα είναι αφιερωμένη σε λιγότερο κοινά, αλλά και σημαντικά είδηεξισώσεις ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα έχει τη μορφή , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές. Ορισμένοι τύποι εξισώσεων δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτή τη μορφή, για παράδειγμα, η ευθεία αναλογικότητα (καθώς ο ελεύθερος όρος είναι μηδέν και δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί ένας στη δεξιά πλευρά).

Πρόκειται, μεταφορικά μιλώντας, για μια «τεχνική» εξίσωση. Η συνήθης εργασία είναι να αναπαραστήσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής ως εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα. Γιατί είναι βολικό; Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τα σημεία τομής μιας ευθείας γραμμής με άξονες συντεταγμένων, που είναι πολύ σημαντικό σε ορισμένα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα. Επαναφέρουμε το "y" και η εξίσωση παίρνει τη μορφή . Το επιθυμητό σημείο λαμβάνεται αυτόματα: .

Το ίδιο με τον άξονα είναι το σημείο όπου η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

Οι ενέργειες που μόλις εξήγησα λεπτομερώς εκτελούνται προφορικά.

Δίνεται ευθεία γραμμή. Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα και να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας φέρουμε την εξίσωση στη μορφή . Πρώτα μεταφέρουμε τον ελεύθερο όρο στο σωστη πλευρα:

Για να πάρουμε μια μονάδα στα δεξιά, διαιρούμε κάθε όρο της εξίσωσης με -11:

Κάνουμε κλάσματα τριώροφα:

Τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων εμφανίστηκαν:

Απάντηση:

Απομένει να στερεώσετε έναν χάρακα και να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτή η ευθεία γραμμή καθορίζεται μοναδικά από τα κόκκινα και πράσινα τμήματα, εξ ου και το όνομα - "η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα".

Φυσικά, τα σημεία δεν είναι τόσο δύσκολο να βρεθούν από την εξίσωση, αλλά το πρόβλημα εξακολουθεί να είναι χρήσιμο. Ο εξεταζόμενος αλγόριθμος θα χρειαστεί να βρει τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες συντεταγμένων, να φέρει την εξίσωση γραμμής δεύτερης τάξης στην κανονική μορφή και σε ορισμένα άλλα προβλήματα. Επομένως, μερικές ευθείες γραμμές για μια ανεξάρτητη λύση:

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα και να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος. Μην ξεχνάτε ότι αν θέλετε, μπορείτε να σχεδιάσετε τα πάντα.

Πώς να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις για μια ευθεία γραμμή;

Παραμετρικές εξισώσειςΟι γραμμές είναι πιο σχετικές με τις γραμμές στο διάστημα, αλλά χωρίς αυτές, η περίληψη μας θα μείνει ορφανή.

Εάν κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας δίνονται από το σύστημα:

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας κατά σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης

Η λύση τελείωσε πριν ξεκινήσει:

Η παράμετρος "te" μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από "μείον άπειρο" έως "συν άπειρο" και κάθε τιμή παραμέτρου αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου. Για παράδειγμα, αν , τότε παίρνουμε ένα σημείο .

Αντίστροφο πρόβλημα: πώς να ελέγξετε εάν ένα σημείο συνθήκης ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή;

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου στις παραμετρικές εξισώσεις που προέκυψαν:

Και από τις δύο εξισώσεις προκύπτει ότι, δηλαδή, το σύστημα είναι συνεπές και έχει μια μοναδική λύση.

Ας εξετάσουμε πιο ουσιαστικές εργασίες:

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας

Λύση: Κατά συνθήκη, δίνεται η γραμμή γενική εικόνα. Για να συνθέσετε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, πρέπει να γνωρίζετε το κατευθυντικό της διάνυσμα και κάποιο σημείο που ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Ας βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Τώρα πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή (κάποιος θα το κάνει), για το σκοπό αυτό είναι βολικό να ξαναγράψετε τη γενική εξίσωση με τη μορφή μιας εξίσωσης με κλίση:

Προκαλεί, φυσικά, την ουσία

Συνθέτουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

Και τέλος, ένα μικρό δημιουργικό έργογια μια ανεξάρτητη λύση.

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας αν είναι γνωστά το σημείο που της ανήκει και το κανονικό διάνυσμα

Η εργασία μπορεί να ολοκληρωθεί ο μόνος τρόπος. Μία από τις εκδοχές της λύσης και η απάντηση στο τέλος.

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση: Βρείτε την κλίση:

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και γωνιακός συντελεστής :

Απάντηση:

Παράδειγμα 4: Λύση: Θα συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας σύμφωνα με τον τύπο:

Απάντηση:

Παράδειγμα 6: Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Απάντηση: (άξονας y)

Παράδειγμα 8: Λύση: Ας κάνουμε την εξίσωση μιας ευθείας σε δύο σημεία:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με -4:

Και διαιρέστε με το 5:

Απάντηση:

Παράδειγμα 10: Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Μειώνουμε κατά -2:

Άμεση διάνυσμα κατεύθυνσης:
Απάντηση:

Παράδειγμα 12:
ΕΝΑ) Λύση: Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

Ετσι:

Απάντηση:

σι) Λύση: Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

Ετσι:

Απάντηση:

Παράδειγμα 15: Λύση: Αρχικά, γράφουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα :

Πολλαπλασιασμός επί 12:

Πολλαπλασιάζουμε με 2 ακόμη, ώστε αφού ανοίξουμε τη δεύτερη αγκύλη, να απαλλαγούμε από το κλάσμα:

Άμεση διάνυσμα κατεύθυνσης:
Συνθέτουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας κατά το σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης :
Απάντηση:

Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο.
Αμοιβαία τακτοποίησηαπευθείας. Γωνία μεταξύ των γραμμών

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε αυτές τις άπειρες-άπειρες γραμμές.

Πώς να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία;
Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;
Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές που δίνονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Παρακαλώ θυμηθείτε μαθηματικό σημάδιδιασταύρωση, θα συμβεί πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν εάν και μόνο εάν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός "λάμδα" που ισχύουν οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , Αλλά .

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του "λάμδα" ώστε να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , που σημαίνει ότι το σύστημα είναι ασυνεπές (δεν υπάρχουν λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο διανυσμάτων για συγγραμμικότητα. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Η λύση βασίζεται στη μελέτη των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο συντελεστής αναλογικότητας "λάμδα" μπορεί να βρεθεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, είναι επίσης δυνατό μέσω των ίδιων των συντελεστών των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός την ικανοποιεί γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Να χαρακτηρίσετε την άγνωστη ευθεία με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «de».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά.

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος.

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση του συστήματος γραμμικές εξισώσεις

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική αίσθησησυστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες στο επίπεδο.

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Γραφικός τρόποςείναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, έχουμε εξετάσει μια γραφική μέθοδο για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής αναλυτική μέθοδος. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων.

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι βολικό να χωρίσετε το πρόβλημα σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλούς γεωμετρικά προβλήματα, και θα επικεντρωθώ σε αυτό επανειλημμένα.

Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Η απόσταση στη γεωμετρία παραδοσιακά συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα "p", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "m" έως την ευθεία "d".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να συνδέσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Πώς να κατασκευάσετε ένα σημείο συμμετρικό ως προς μια ευθεία;

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα ορίσω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο "πράσινος" γείτονάς του ή η αντίθετα προσανατολισμένη γωνία "βατόμουρου" θεωρείται ως τέτοια.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αρνητικό αποτέλεσμακαι δεν πρέπει να σας εκπλήσσει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για αρνητική γωνίαφροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Με τη χρήση αντίστροφη συνάρτησηεύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου:

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Υπάρχει και τρίτη λύση. Η ιδέα είναι να υπολογιστεί η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:

Εδώ δεν μιλάμε για μια προσανατολισμένη γωνία, αλλά "απλώς για μια γωνία", δηλαδή, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα θετικό. Το αλίευμα είναι ότι μπορεί να συμβεί αμβλεία γωνία(όχι αυτός που θέλετε). Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να κάνετε κράτηση ότι η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι μικρότερη γωνία και να αφαιρέσετε το συνημίτονο τόξου που προκύπτει από τα ακτίνια "pi" (180 μοίρες).

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Προσπαθήστε να το λύσετε με δύο τρόπους.

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3: Λύση: Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:

Θα συνθέσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας χρησιμοποιώντας το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης

Σημείωση: εδώ η πρώτη εξίσωση του συστήματος πολλαπλασιάζεται επί 5, μετά η 2η αφαιρείται όρο προς όρο από την 1η εξίσωση.
Απάντηση:

Η μέθοδος συντεταγμένων είναι πολύ αποτελεσματική και καθολικό τρόποβρίσκοντας τυχόν γωνίες ή αποστάσεις μεταξύ στερεομετρικών αντικειμένων στο χώρο. Εάν ο καθηγητής μαθηματικών σας έχει υψηλά προσόντατότε θα έπρεπε να ξέρει. Διαφορετικά, θα συμβούλευα για το κομμάτι "Γ" να αλλάξει ο καθηγητής. Η προετοιμασία μου για την εξέταση στα μαθηματικά C1-C6 συνήθως περιλαμβάνει ανάλυση των βασικών αλγορίθμων και τύπων που περιγράφονται παρακάτω.

Γωνία μεταξύ των ευθειών α και β

Η γωνία μεταξύ των γραμμών στο διάστημα είναι η γωνία μεταξύ οποιωνδήποτε τεμνόμενων γραμμών παράλληλων σε αυτές. Αυτή η γωνία ίσο με τη γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών (ή το συμπληρώνει στις 180 μοίρες).

Τι αλγόριθμο χρησιμοποιεί ο καθηγητής μαθηματικών για να βρει τη γωνία;

1) Επιλέξτε οποιαδήποτε διανύσματα και έχουν κατευθύνσεις ευθειών α και β (παράλληλες με αυτές).
2) Καθορίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και με τις αντίστοιχες συντεταγμένες των αρχών και των άκρων τους (οι συντεταγμένες της αρχής πρέπει να αφαιρεθούν από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος).
3) Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες που βρέθηκαν στον τύπο:
. Για να βρείτε την ίδια τη γωνία, πρέπει να βρείτε το συνημίτονο τόξου του αποτελέσματος.

Κανονικό για αεροπλάνο

Κανονικό σε ένα επίπεδο είναι κάθε διάνυσμα που είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο.
Πώς να βρείτε το κανονικό;Για να βρούμε τις συντεταγμένες της κανονικής, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε τριών σημείων M, N και K που βρίσκονται στο δεδομένο επίπεδο. Χρησιμοποιώντας αυτές τις συντεταγμένες, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και απαιτούμε να πληρούνται οι συνθήκες και. Εξισώνοντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων στο μηδέν, συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων με τρεις μεταβλητές, από τις οποίες μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του κανονικού.

Σημείωση καθηγητή μαθηματικών : Δεν είναι απαραίτητο να λυθεί πλήρως το σύστημα, γιατί αρκεί να επιλέξετε τουλάχιστον ένα κανονικό. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να αντικαταστήσετε οποιονδήποτε αριθμό (για παράδειγμα, ένα) αντί για οποιαδήποτε από τις άγνωστες συντεταγμένες του και να λύσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τους υπόλοιπους δύο αγνώστους. Εάν δεν έχει λύσεις, τότε αυτό σημαίνει ότι στην οικογένεια των κανονικών δεν υπάρχει κανένας που να έχει μονάδα για την επιλεγμένη μεταβλητή. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε μια με μια άλλη μεταβλητή (άλλη συντεταγμένη) και λύστε νέο σύστημα. Εάν χάσετε ξανά, τότε το κανονικό σας θα έχει μια μονάδα κατά μήκος της τελευταίας συντεταγμένης και θα αποδειχθεί παράλληλη με κάποιες επίπεδο συντεταγμένων(σε αυτή την περίπτωση, είναι εύκολο να το βρείτε χωρίς σύστημα).

Ας πούμε ότι μας δίνεται μια ευθεία και ένα επίπεδο με τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης και του κανονικού
Η γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Έστω και είναι οποιαδήποτε δύο κανονικά στα δεδομένα επίπεδα. Τότε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επιπέδων ίσο με το moduloσυνημίτονο της γωνίας μεταξύ των κανονικών:

Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα

Τα σημεία που ικανοποιούν την ισότητα σχηματίζουν ένα επίπεδο με το κανονικό . Ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για το ποσό της απόκλισης (παράλληλη μετατόπιση) μεταξύ δύο επιπέδων με την ίδια δεδομένη κανονική. Για να γράψετε την εξίσωση ενός επιπέδου, πρέπει πρώτα να βρείτε την κανονική του (όπως περιγράφεται παραπάνω), και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου, μαζί με τις συντεταγμένες της κανονικής που βρέθηκε, στην εξίσωση και να βρείτε τον συντελεστή .

Το κανονικό διάνυσμα στην επιφάνεια σε ένα σημείο συμπίπτει με το κανονικό προς το εφαπτομενικό επίπεδο σε αυτό το σημείο.

Κανονικό διάνυσμαστην επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που εφαρμόζεται στο δεδομένο σημείο και είναι παράλληλο προς την κατεύθυνση της κανονικής. Για κάθε σημείο σε μια λεία επιφάνεια, μπορείτε να καθορίσετε δύο κανονικά διανύσματα που διαφέρουν ως προς την κατεύθυνση. Εάν ένα συνεχές πεδίο κανονικών διανυσμάτων μπορεί να οριστεί σε μια επιφάνεια, τότε αυτό το πεδίο λέγεται ότι ορίζει προσανατολισμόςεπιφάνεια (δηλαδή επιλέγει μια από τις πλευρές). Εάν αυτό δεν μπορεί να γίνει, καλείται η επιφάνεια μη προσανατολισμένος.

Ομοίως ορίζεται κανονικό διάνυσμαστην καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο. Είναι προφανές ότι άπειροι παράγοντες μπορούν να εφαρμοστούν στην καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο. παράλληλα διανύσματακανονικές (παρόμοια με το πόσο άπειρα μη παράλληλα εφαπτομενικά διανύσματα μπορούν να εφαρμοστούν σε μια επιφάνεια). Μεταξύ αυτών, επιλέγονται δύο που είναι ορθογώνια μεταξύ τους: το κύριο κανονικό διάνυσμα και το δικανονικό διάνυσμα.

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

• Pogorelov A. I. Διαφορική γεωμετρία (6η έκδοση). Μ.: Nauka, 1974 (djvu)

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Συνώνυμα:

• Μάχη της Τρεμπίας (1799)
• Γραμμωνίτης

Δείτε τι είναι το "Normal" σε άλλα λεξικά:

ΚΑΝΟΝΙΚΟΣ- (φρ.). Κάθετα στην εφαπτομένη της καμπύλης στο δεδομένο σημείο του οποίου αναζητείται η κανονική. Λεξικό ξένες λέξειςπεριλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Chudinov A.N., 1910. ΚΑΝΟΝΙΚΗ κάθετη γραμμή στην εφαπτομένη που σχεδιάζεται στο ... ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας

κανονικός- και καλά. normale f. λατ. normalis. 1. χαλάκι. Κάθετο σε μια εφαπτομένη ευθεία ή επίπεδο, που διέρχεται από το σημείο εφαπτομένης. BASS 1. Κανονική γραμμή, ή κανονική. Στην αναλυτική γεωμετρία, αυτό είναι το όνομα μιας ευθείας γραμμής κάθετης στην ... ... Ιστορικό λεξικόγαλλισμός της ρωσικής γλώσσας

κανονικός- κάθετη. Μυρμήγκι. παράλληλο Λεξικό ρωσικών συνωνύμων. κανονικό ουσιαστικό, αριθμός συνωνύμων: 3 δικανονικό (1) … Συνώνυμο λεξικό

ΚΑΝΟΝΙΚΟΣ- (από λατ. normalis ευθεία) σε μια καμπύλη γραμμή (επιφάνεια) στο δεδομένο σημείο της, μια ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και είναι κάθετη στην εφαπτομένη (επίπεδο εφαπτομένης) σε αυτό το σημείο ...

ΚΑΝΟΝΙΚΟΣ- απαρχαιωμένη ονομασία του προτύπου ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

ΚΑΝΟΝΙΚΟΣ- ΚΑΝΟΝΙΚΟ, κανονικό, θηλυκό. 1. Κάθετο σε μια εφαπτομένη γραμμή ή επίπεδο, που διέρχεται από το σημείο επαφής (ματ.). 2. Λεπτομέρεια εργοστασιακά εγκατεστημένου δείγματος (τεχν.). ΛεξικόΟ Ουσάκοφ. D.N. Ο Ουσάκοφ. 1935 1940... Επεξηγηματικό Λεξικό Ushakov

κανονικός- κανονική κάθετη τυπική πραγματική - [L.G.Sumenko. Αγγλικά Ρωσικά Λεξικό Τεχνολογιών Πληροφορικής. Μ.: GP TsNIIS, 2003.] Θέματα ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣγενικά Συνώνυμα normalverticalstandardreal EN κανονικό ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

κανονικός- Και; και. [από λατ. normalis ευθύγραμμο] 1. Ματ. Κάθετο σε μια εφαπτομένη ευθεία ή επίπεδο που διέρχεται από το σημείο εφαπτομένης. 2. Τεχν. Λεπτομέρεια του καθιερωμένου προτύπου. * * * κανονικό I (από λατ. normalis ευθεία) σε καμπύλη γραμμή (επιφάνεια) σε ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΚΑΝΟΝΙΚΟΣ- (Γαλλική κανονική κανονική, νόρμα, από το λατ. normalis ευθεία) 1) Ν. στο τυπικό και για και και παρωχημένο όνομα. πρότυπο. 2) Ν. στα μαθηματικά Ν. σε καμπύλη (επιφάνεια) σε δεδομένο σημείο λέγεται. μια ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και είναι κάθετη στην εφαπτομένη. ... ... Μεγάλο εγκυκλοπαιδικό πολυτεχνικό λεξικό

κανονικός- normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. κανονικό vok. Normale, f rus. κανονικό, φράγκο. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Βιβλία

• Γεωμετρία αλγεβρικών εξισώσεων επιλύσιμων σε ρίζες: με εφαρμογές σε αριθμητικές μεθόδους και υπολογιστική γεωμετρία, G.P. Kutishchev. Σε αυτό το βιβλίο, στο θεωρητικό επίπεδοελαφρώς υψηλότερο από το σχολείο, πολύ λεπτομερές αλγεβρικές εξισώσεις, παραδοχή μιας λύσης σε στοιχειώδεις πράξεις ή μιας λύσης σε ρίζες. Αυτά τα…

Επίπεδη εξίσωση. Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο;
Αμοιβαία διάταξη αεροπλάνων. Καθήκοντα

Η χωρική γεωμετρία δεν είναι πολύ πιο περίπλοκη από την «επίπεδη» γεωμετρία και οι πτήσεις μας στο διάστημα ξεκινούν με αυτό το άρθρο. Για να κατανοήσει κανείς το θέμα, πρέπει να έχει καλή κατανόηση φορείς, επιπλέον, είναι επιθυμητό να εξοικειωθείτε με τη γεωμετρία του αεροπλάνου - θα υπάρχουν πολλές ομοιότητες, πολλές αναλογίες, οπότε οι πληροφορίες θα αφομοιωθούν πολύ καλύτερα. Σε μια σειρά μαθημάτων μου, ο δισδιάστατος κόσμος ανοίγει με ένα άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Αλλά τώρα ο Batman έχει βγει από την τηλεόραση επίπεδης οθόνης και ξεκινά από το κοσμοδρόμιο του Baikonur.

Ας ξεκινήσουμε με σχέδια και σύμβολα. Σχηματικά, το επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί ως παραλληλόγραμμο, το οποίο δίνει την εντύπωση του χώρου:

Το αεροπλάνο είναι άπειρο, αλλά έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα κομμάτι του. Στην πράξη, εκτός από το παραλληλόγραμμο, σχεδιάζεται και ένα οβάλ ή και ένα σύννεφο. Για τεχνικούς λόγους, είναι πιο βολικό για μένα να απεικονίσω το αεροπλάνο με αυτόν τον τρόπο και σε αυτή τη θέση. Πραγματικά αεροπλάνα, τα οποία θα εξετάσουμε πρακτικά παραδείγματα, μπορεί να τακτοποιηθεί όπως θέλετε - πάρτε νοερά το σχέδιο στα χέρια σας και στρίψτε το στο κενό, δίνοντας στο αεροπλάνο οποιαδήποτε κλίση, οποιαδήποτε γωνία.

Σημειογραφία: συνηθίζεται να ορίζονται αεροπλάνα με μικρά ελληνικά γράμματα, προφανώς για να μην τα συγχέουμε με κατευθείαν στο αεροπλάνοή με ευθεία στο διάστημα. Έχω συνηθίσει να χρησιμοποιώ το γράμμα. Στο σχέδιο, είναι το γράμμα «σίγμα», και καθόλου τρύπα. Αν και, ένα αεροπλάνο, είναι σίγουρα πολύ αστείο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τα ίδια ελληνικά γράμματα με δείκτες για να ορίσετε αεροπλάνα, για παράδειγμα, .

Είναι προφανές ότι το επίπεδο καθορίζεται μοναδικά από τρία διαφορετικά σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως, οι ονομασίες αεροπλάνων με τρία γράμματα είναι αρκετά δημοφιλείς - σύμφωνα με τα σημεία που τους ανήκουν, για παράδειγμα, κ.λπ. Συχνά τα γράμματα περικλείονται σε παρένθεση: , για να μην συγχέουμε το επίπεδο με ένα άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Για έμπειρους αναγνώστες θα δώσω μενού συντόμευσης:

• Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και δύο διανύσματα;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και δεν θα μαραζώσουμε μεγάλες αναμονές:

Γενική εξίσωση του αεροπλάνου

Η γενική εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή , όπου οι συντελεστές είναι ταυτόχρονα μη μηδενικοί.

Ένας αριθμός θεωρητικών υπολογισμών και πρακτικών προβλημάτων ισχύουν τόσο για τη συνήθη ορθοκανονική βάση όσο και για συγγενική βάση space (αν το λάδι είναι λάδι, επιστρέψτε στο μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση). Για απλότητα, θα υποθέσουμε ότι όλα τα γεγονότα συμβαίνουν σε μια ορθοκανονική βάση και ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Και τώρα ας εξασκηθούμε λίγο χωρική φαντασία. Δεν πειράζει αν το έχεις κακό, τώρα θα το αναπτύξουμε λίγο. Ακόμα και το να παίζεις με νεύρα θέλει εξάσκηση.

Στο πολύ γενική περίπτωση, όταν οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί, το επίπεδο τέμνει και τους τρεις άξονες συντεταγμένων. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Επαναλαμβάνω για άλλη μια φορά ότι το αεροπλάνο συνεχίζει επ 'αόριστον προς όλες τις κατευθύνσεις, και έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα μέρος του.

Εξετάστε τις απλούστερες εξισώσεις των επιπέδων:

Πως να καταλάβω δεδομένη εξίσωση? Σκεφτείτε το: "Z" ΠΑΝΤΑ, γιατί οποιεσδήποτε τιμές των "X" και "Y" είναι ίσες με μηδέν. Αυτή είναι η εξίσωση του "εγγενούς" επιπέδου συντεταγμένων. Πράγματι, τυπικά η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , από όπου φαίνεται ξεκάθαρα ότι δεν μας ενδιαφέρει, ποιες τιμές παίρνουν το "x" και το "y", είναι σημαντικό το "z" να είναι ίσο με μηδέν.

Ομοίως:
είναι η εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων .
είναι η εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.

Ας περιπλέκουμε λίγο το πρόβλημα, θεωρούμε ένα επίπεδο (εδώ και παραπέρα στην παράγραφο υποθέτουμε ότι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν). Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή: . Πώς να το καταλάβετε; Το "X" είναι ΠΑΝΤΑ, γιατί οποιαδήποτε τιμή του "y" και το "z" ισούται με έναν ορισμένο αριθμό. Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο είναι παράλληλο με ένα επίπεδο και διέρχεται από ένα σημείο.

Ομοίως:
- η εξίσωση του επιπέδου, η οποία είναι παράλληλη με το επίπεδο συντεταγμένων.
- η εξίσωση ενός επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Προσθήκη μελών: . Η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , δηλαδή, το "Z" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Τι σημαίνει? Το "X" και το "Y" συνδέονται με μια αναλογία που τραβάει μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή στο επίπεδο (θα αναγνωρίσετε εξίσωση ευθείας σε επίπεδο?). Δεδομένου ότι το Z μπορεί να είναι οτιδήποτε, αυτή η γραμμή "αντιλαμβάνεται" σε οποιοδήποτε ύψος. Έτσι, η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων

Ομοίως:
- η εξίσωση του επιπέδου, η οποία είναι παράλληλη προς τον άξονα συντεταγμένων.
- η εξίσωση του επιπέδου, που είναι παράλληλη προς τον άξονα των συντεταγμένων.

Εάν οι ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, τότε τα επίπεδα θα διέρχονται απευθείας από τους αντίστοιχους άξονες. Για παράδειγμα, η κλασική «άμεση αναλογικότητα»:. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο και πολλαπλασιάστε την νοερά πάνω-κάτω (καθώς το "z" είναι οποιοδήποτε). Συμπέρασμα: αεροπλάνο, δίνεται από την εξίσωση, διέρχεται από τον άξονα συντεταγμένων .

Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση: η εξίσωση του επιπέδου διέρχεται από την καταγωγή. Λοιπόν, εδώ είναι προφανές ότι το σημείο ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση.

Και, τέλος, η περίπτωση που φαίνεται στο σχέδιο: - το αεροπλάνο είναι φιλικό με όλους τους άξονες συντεταγμένων, ενώ πάντα «κόβει» ένα τρίγωνο που μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα οκτώ οκτάντια.

Γραμμικές ανισότητες στο χώρο

Για να κατανοήσετε τις πληροφορίες, είναι απαραίτητο να μελετήσετε καλά γραμμικές ανισώσεις στο επίπεδογιατί πολλά πράγματα θα είναι παρόμοια. Η παράγραφος θα είναι μια σύντομη επισκόπηση με μερικά παραδείγματα, καθώς το υλικό είναι αρκετά σπάνιο στην πράξη.

Αν η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο, τότε οι ανισώσεις
παρακαλώ ημιδιαστήματα. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (οι δύο τελευταίες της λίστας), τότε η λύση της ανισότητας, εκτός από το μισό διάστημα, περιλαμβάνει και το ίδιο το επίπεδο.

Παράδειγμα 5

Βρείτε single κανονικό διάνυσμαεπίπεδο .

Λύση: Μοναδικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ένα. Δείχνω δεδομένο διάνυσμαμέσω . Είναι ξεκάθαρο ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά:

Αρχικά, αφαιρούμε το κανονικό διάνυσμα από την εξίσωση του επιπέδου: .

Πως να βρεις μονάδα διάνυσμα? Για να βρείτε το διάνυσμα μονάδας, χρειάζεστε κάθεδιανυσματική συντεταγμένη διαιρούμενη με το μήκος του διανύσματος.

Ας ξαναγράψουμε το κανονικό διάνυσμα στη φόρμα και ας βρούμε το μήκος του:

Συμφωνα με τα ΠΑΡΑΠΑΝΩ:

Απάντηση:

Έλεγχος: , που απαιτήθηκε για έλεγχο.

Οι αναγνώστες που έχουν μελετήσει προσεκτικά την τελευταία παράγραφο του μαθήματος, μάλλον το παρατήρησαν οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος είναι ακριβώς τα συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος:

Ας ξεφύγουμε από το πρόβλημα αποσυναρμολόγησης: όταν σας δίνεται ένα αυθαίρετο μη μηδενικό διάνυσμα, και από τη συνθήκη απαιτείται να βρεθούν τα συνημίτονα κατεύθυνσής του (δείτε τις τελευταίες εργασίες του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων), τότε στην πραγματικότητα βρίσκετε επίσης ένα μοναδιαίο διάνυσμα συγγραμμικό με το δεδομένο. Στην πραγματικότητα, δύο εργασίες σε ένα μπουκάλι.

Η ανάγκη εύρεσης ενός μοναδιαίου κανονικού διανύσματος προκύπτει σε ορισμένα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης.

Καταλάβαμε το ψάρεμα του κανονικού διανύσματος, τώρα θα απαντήσουμε στην αντίθετη ερώτηση:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Αυτή η άκαμπτη κατασκευή ενός κανονικού διανύσματος και ενός σημείου είναι καλά γνωστή από έναν στόχο βελών. Τεντώστε το χέρι σας προς τα εμπρός και διαλέξτε νοερά αυθαίρετο σημείοχώρο, για παράδειγμα, μια μικρή γάτα σε ένα μπουφέ. Προφανώς, μέσα από αυτό το σημείο, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο χέρι σας.

Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο διάνυσμα εκφράζεται με τον τύπο:

Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο συντεταγμένων, πρέπει να γνωρίζετε καλά τους τύπους. Υπάρχουν τρία από αυτά:

Με την πρώτη ματιά, φαίνεται απειλητικό, αλλά μόνο λίγη εξάσκηση - και όλα θα λειτουργήσουν υπέροχα.

Εργο. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων a = (4; 3; 0) και b = (0; 12; 5).

Λύση. Εφόσον μας δίνονται οι συντεταγμένες των διανυσμάτων, τις αντικαθιστούμε στον πρώτο τύπο:

Εργο. Γράψτε μια εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) και K = (2; 1; 0), αν είναι γνωστό ότι δεν διέρχεται η προέλευση.

Λύση. Η γενική εξίσωση του επιπέδου: Ax + By + Cz + D = 0, αλλά επειδή το επιθυμητό επίπεδο δεν διέρχεται από την αρχή - το σημείο (0; 0; 0) - τότε ορίζουμε D = 1. Αφού αυτό το επίπεδο περνά μέσω των σημείων Μ, Ν και Κ, τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων θα πρέπει να μετατρέψουν την εξίσωση σε αληθινή αριθμητική ισότητα.

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M = (2; 0; 1) αντί των x, y και z. Εχουμε:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Ομοίως, για τα σημεία N = (0; 1; 1) και K = (2; 1; 0) λαμβάνουμε τις εξισώσεις:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Άρα έχουμε τρεις εξισώσεις και τρεις άγνωστους. Συνθέτουμε και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Καταλάβαμε ότι η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Εργο. Το επίπεδο δίνεται από την εξίσωση 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος κάθετες στο δεδομένο επίπεδο.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τρίτο τύπο, παίρνουμε n = (7; − 2; 4) - αυτό είναι όλο!

Υπολογισμός συντεταγμένων διανυσμάτων

Αλλά τι γίνεται αν δεν υπάρχουν διανύσματα στο πρόβλημα - υπάρχουν μόνο σημεία που βρίσκονται σε ευθείες γραμμές και απαιτείται να υπολογιστεί η γωνία μεταξύ αυτών των ευθειών; Είναι απλό: γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων - την αρχή και το τέλος του διανύσματος - μπορείτε να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του ίδιου του διανύσματος.

Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις συντεταγμένες της αρχής από τις συντεταγμένες του τέλους του.

Αυτό το θεώρημα λειτουργεί εξίσου στο επίπεδο και στο διάστημα. Η έκφραση «αφαίρεση συντεταγμένων» σημαίνει ότι η συντεταγμένη x ενός άλλου σημείου αφαιρείται από τη συντεταγμένη x ενός σημείου, τότε το ίδιο πρέπει να γίνει με τις συντεταγμένες y και z. Να μερικά παραδείγματα:

Εργο. Υπάρχουν τρία σημεία στο διάστημα, που δίνονται από τις συντεταγμένες τους: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) και C = (− 4; 3; − 2). Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB, AC και BC.

Θεωρήστε το διάνυσμα ΑΒ: η αρχή του είναι στο σημείο Α και το τέλος του στο σημείο Β. Επομένως, για να βρείτε τις συντεταγμένες του, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τις συντεταγμένες του σημείου Α από τις συντεταγμένες του σημείου Β:
ΑΒ = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Ομοίως, η αρχή του διανύσματος AC εξακολουθεί να είναι το ίδιο σημείο Α, αλλά το τέλος είναι το σημείο Γ. Επομένως, έχουμε:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Τέλος, για να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος BC, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Β από τις συντεταγμένες του σημείου Γ:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Απάντηση: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); π.Χ. = (−7; 4; − 9)

Δώστε προσοχή στον υπολογισμό των συντεταγμένων του τελευταίου διανύσματος BC: πολλοί άνθρωποι κάνουν λάθη όταν εργάζονται με αρνητικούς αριθμούς. Αυτό ισχύει για τη μεταβλητή y: το σημείο Β έχει τη συντεταγμένη y = − 1, και το σημείο Γ έχει y = 3. Παίρνουμε ακριβώς 3 − (− 1) = 4, και όχι 3 − 1, όπως πολλοί πιστεύουν. Μην κάνετε τέτοια ανόητα λάθη!

Υπολογιστικά διανύσματα κατεύθυνσης για ευθείες γραμμές

Εάν διαβάσετε προσεκτικά το πρόβλημα C2, θα εκπλαγείτε όταν διαπιστώσετε ότι δεν υπάρχουν διανύσματα εκεί. Υπάρχουν μόνο ευθείες γραμμές και επίπεδα.

Ας ξεκινήσουμε με ευθείες γραμμές. Όλα είναι απλά εδώ: σε οποιαδήποτε γραμμή υπάρχουν τουλάχιστον δύο διάφορα σημείακαι αντιστρόφως, οποιαδήποτε δύο διακριτά σημεία ορίζουν μια ενιαία ευθεία...

Καταλαβαίνει κανείς τι γράφεται στην προηγούμενη παράγραφο; Δεν το κατάλαβα ο ίδιος, οπότε θα το εξηγήσω πιο απλά: στο πρόβλημα Γ2, οι γραμμές δίνονται πάντα από ένα ζευγάρι σημείων. Εάν εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων και θεωρήσουμε ένα διάνυσμα με αρχή και τέλος σε αυτά τα σημεία, παίρνουμε το λεγόμενο κατευθυντικό διάνυσμα για μια ευθεία γραμμή:

Γιατί χρειάζεται αυτός ο φορέας; Το θέμα είναι ότι η γωνία μεταξύ δύο ευθειών είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους. Έτσι, περνάμε από ακατανόητες ευθείες σε συγκεκριμένα διανύσματα, οι συντεταγμένες των οποίων υπολογίζονται εύκολα. Πόσο εύκολο; Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Εργο. Οι γραμμές AC και BD 1 σχεδιάζονται στον κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των ευθειών.

Εφόσον το μήκος των άκρων του κύβου δεν καθορίζεται στη συνθήκη, ορίσαμε AB = 1. Ας εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων με την αρχή στο σημείο Α και τους άξονες x, y, z κατευθυνόμενους κατά μήκος των ευθειών AB, AD και AA 1, αντίστοιχα. Το τμήμα μονάδας είναι ίσο με AB = 1.

Ας βρούμε τώρα τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης για την ευθεία AC. Χρειαζόμαστε δύο βαθμούς: A = (0; 0; 0) και C = (1; 1; 0). Από εδώ παίρνουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - αυτό είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης.

Τώρα ας ασχοληθούμε με την ευθεία BD 1 . Έχει επίσης δύο σημεία: B = (1; 0; 0) και D 1 = (0; 1; 1). Παίρνουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Απάντηση: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Εργο. Στα δεξιά τριγωνικό πρίσμα ABCA 1 B 1 C 1 , του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες με 1, σχεδιάζονται οι γραμμές AB 1 και AC 1. Βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των ευθειών.

Ας εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων: η αρχή είναι στο σημείο Α, ο άξονας x συμπίπτει με το AB, ο άξονας z συμπίπτει με το AA 1, ο άξονας y σχηματίζει το επίπεδο OXY με τον άξονα x, που συμπίπτει με τον άξονα ABC επίπεδο.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την ευθεία ΑΒ 1 . Όλα είναι απλά εδώ: έχουμε σημεία A = (0; 0; 0) και B 1 = (1; 0; 1). Παίρνουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Τώρα ας βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης για το AC 1 . Όλα είναι ίδια - η μόνη διαφορά είναι ότι το σημείο C 1 έχει παράλογες συντεταγμένες. Άρα, A = (0; 0; 0), άρα έχουμε:

Απάντηση: AB 1 = (1; 0; 1);

Μικρό αλλά πολύ σημαντική σημείωσησχετικά με τελευταίο παράδειγμα. Εάν η αρχή του διανύσματος συμπίπτει με την αρχή, οι υπολογισμοί απλοποιούνται πολύ: οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι απλώς ίσες με τις συντεταγμένες του τέλους. Δυστυχώς, αυτό ισχύει μόνο για διανύσματα. Για παράδειγμα, όταν εργάζεστε με αεροπλάνα, η παρουσία της προέλευσης των συντεταγμένων σε αυτά περιπλέκει μόνο τους υπολογισμούς.

Υπολογισμός κανονικών διανυσμάτων για επίπεδα

Τα κανονικά διανύσματα δεν είναι διανύσματα που πάνε καλά ή που αισθάνονται καλά. Εξ ορισμού, ένα κανονικό διάνυσμα (κανονικό) σε ένα επίπεδο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο δεδομένο επίπεδο.

Με άλλα λόγια, ένα κανονικό είναι ένα διάνυσμα κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα σε ένα δεδομένο επίπεδο. Σίγουρα έχετε συναντήσει έναν τέτοιο ορισμό - ωστόσο, αντί για διανύσματα, επρόκειτο για ευθείες γραμμές. Ωστόσο, ακριβώς από πάνω αποδείχθηκε ότι στο πρόβλημα C2 μπορεί κανείς να λειτουργήσει με οποιοδήποτε βολικό αντικείμενο - ακόμη και μια ευθεία γραμμή, ακόμα και ένα διάνυσμα.

Σας υπενθυμίζω για άλλη μια φορά ότι οποιοδήποτε επίπεδο ορίζεται στον χώρο με την εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0, όπου τα A, B, C και D είναι κάποιοι συντελεστές. Χωρίς να μειώσουμε τη γενικότητα της λύσης, μπορούμε να υποθέσουμε D = 1 εάν το επίπεδο δεν διέρχεται από την αρχή, ή D = 0 εάν περνάει. Σε κάθε περίπτωση, οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος σε αυτό το επίπεδο είναι n = (A; B; C).

Έτσι, το επίπεδο μπορεί επίσης να αντικατασταθεί με επιτυχία από ένα διάνυσμα - το ίδιο κανονικό. Οποιοδήποτε επίπεδο ορίζεται στο διάστημα από τρία σημεία. Πώς να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου (και επομένως το κανονικό), έχουμε ήδη συζητήσει στην αρχή του άρθρου. Ωστόσο, αυτή η διαδικασία προκαλεί προβλήματα σε πολλούς, οπότε θα δώσω μερικά ακόμη παραδείγματα:

Εργο. Η τομή A 1 BC 1 σχεδιάζεται στον κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Βρείτε το κανονικό διάνυσμα για το επίπεδο αυτής της ενότητας εάν η αρχή είναι στο σημείο Α και οι άξονες x, y και z συμπίπτουν με τις ακμές AB, AD και AA 1, αντίστοιχα.

Εφόσον το επίπεδο δεν διέρχεται από την αρχή, η εξίσωσή του μοιάζει με αυτό: Ax + By + Cz + 1 = 0, δηλ. συντελεστής D \u003d 1. Δεδομένου ότι αυτό το επίπεδο διέρχεται από τα σημεία A 1, B και C 1, οι συντεταγμένες αυτών των σημείων μετατρέπουν την εξίσωση του επιπέδου στη σωστή αριθμητική ισότητα.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Ομοίως, για τα σημεία B = (1; 0; 0) και C 1 = (1; 1; 1) λαμβάνουμε τις εξισώσεις:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Αλλά οι συντελεστές A = − 1 και C = − 1 είναι ήδη γνωστοί σε εμάς, επομένως μένει να βρούμε τον συντελεστή Β:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου: - A + B - C + 1 = 0, Επομένως, οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι n = (- 1; 1; - 1).

Εργο. Μια τομή AA 1 C 1 C σχεδιάζεται στον κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Βρείτε το κανονικό διάνυσμα για το επίπεδο αυτής της ενότητας αν η αρχή είναι στο σημείο Α και οι άξονες x, y και z συμπίπτουν με το άκρες AB, AD και AA 1 αντίστοιχα.

ΣΕ αυτή η υπόθεσητο επίπεδο διέρχεται από την αρχή, επομένως ο συντελεστής D \u003d 0, και η εξίσωση του επιπέδου μοιάζει με αυτό: Ax + By + Cz \u003d 0. Δεδομένου ότι το επίπεδο διέρχεται από τα σημεία A 1 και C, οι συντεταγμένες αυτών των σημείων μετατρέψτε την εξίσωση του επιπέδου στη σωστή αριθμητική ισότητα.

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου A 1 = (0; 0; 1) αντί των x, y και z. Εχουμε:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Ομοίως, για το σημείο C = (1; 1; 0) παίρνουμε την εξίσωση:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Έστω B = 1. Τότε A = − B = − 1, και η εξίσωση ολόκληρου του επιπέδου είναι: − A + B = 0. Επομένως, οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι n = (− 1; 1; 0).

Σε γενικές γραμμές, στα παραπάνω προβλήματα είναι απαραίτητο να συνθέσουμε ένα σύστημα εξισώσεων και να το λύσουμε. Θα υπάρχουν τρεις εξισώσεις και τρεις μεταβλητές, αλλά στη δεύτερη περίπτωση μία από αυτές θα είναι ελεύθερη, δηλ. παίρνουν αυθαίρετες τιμές. Γι' αυτό έχουμε το δικαίωμα να βάλουμε Β = 1 - με την επιφύλαξη της γενικότητας της λύσης και της ορθότητας της απάντησης.

Πολύ συχνά στο πρόβλημα Γ2 απαιτείται η εργασία με σημεία που διαιρούν το τμήμα στο μισό. Οι συντεταγμένες τέτοιων σημείων υπολογίζονται εύκολα εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των άκρων του τμήματος.

Έτσι, ας δοθεί το τμήμα από τα άκρα του - σημεία A \u003d (x a; y a; z a) και B \u003d (x b; y b; z b). Στη συνέχεια, οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος - το συμβολίζουμε με το σημείο H - μπορούν να βρεθούν με τον τύπο:

Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των συντεταγμένων των άκρων του.

Εργο. Ο μοναδιαίος κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 τοποθετείται στο σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι άξονες x, y και z να κατευθύνονται κατά μήκος των άκρων AB, AD και AA 1, αντίστοιχα, και η αρχή να συμπίπτει με το σημείο A. Σημείο K είναι το μέσο της ακμής A 1 B 1 . Βρείτε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου.

Δεδομένου ότι το σημείο K είναι το μέσο του τμήματος A 1 B 1 , οι συντεταγμένες του είναι ίσες με τον αριθμητικό μέσο όρο των συντεταγμένων των άκρων. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των άκρων: A 1 = (0; 0; 1) και B 1 = (1; 0; 1). Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ:

Εργο. Ο μοναδιαίος κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 τοποθετείται στο σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι άξονες x, y και z να κατευθύνονται κατά μήκος των άκρων AB, AD και AA 1 αντίστοιχα, και η αρχή να συμπίπτει με το σημείο Α. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου L όπου τέμνουν διαγώνιους του τετραγώνου A 1 B 1 C 1 D 1 .

Από την πορεία της επιπεδομετρίας είναι γνωστό ότι το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τετραγώνου ισαπέχει από όλες τις κορυφές του. Συγκεκριμένα, A 1 L = C 1 L, δηλ. Το σημείο L είναι το μέσο του τμήματος A 1 C 1 . Αλλά A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), οπότε έχουμε:

Απάντηση: L = (0,5; 0,5; 1)