Kolmandat järku diferentsiaalvõrrandi erilahendus. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

Mõnes füüsikaülesandes ei ole võimalik protsessi kirjeldavate suuruste vahel otsest seost luua. Kuid on võimalik saada võrdsus, mis sisaldab uuritavate funktsioonide tuletisi. Nii tekivad diferentsiaalvõrrandid ja vajadus neid lahendada tundmatu funktsiooni leidmiseks.

See artikkel on mõeldud neile, kes seisavad silmitsi diferentsiaalvõrrandi lahendamise probleemiga, milles tundmatu funktsioon on ühe muutuja funktsioon. Teooria on üles ehitatud nii, et diferentsiaalvõrrandite nullteadmistega saate oma ülesandega hakkama.

Iga tüüp diferentsiaalvõrrandid lahendusmeetod viiakse vastavusse tüüpnäidete ja probleemide üksikasjalike selgituste ja lahendustega. Kõik, mida pead tegema, on määrata oma probleemi diferentsiaalvõrrandi tüüp, leida sarnane analüüsitud näide ja teha sarnaseid toiminguid.

Sest edukas lahendus diferentsiaalvõrrandid, vajate ka võimalust leida antiderivaatide komplekte ( määramatud integraalid) erinevaid funktsioone. Vajadusel soovitame vaadata jaotist.

Esiteks käsitleme esimest järku tavaliste diferentsiaalvõrrandite tüüpe, mida saab tuletise suhtes lahendada, seejärel liigume edasi teist järku ODE-de juurde, seejärel peatume kõrgemat järku võrranditel ja lõpetame süsteemidega diferentsiaalvõrrandid.

Tuletage meelde, et kui y on argumendi x funktsioon.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid.

Vormi kõige lihtsamad esimest järku diferentsiaalvõrrandid.

Paneme kirja paar näidet sellisest puldist .

Diferentsiaalvõrrandid saab tuletise suhtes lahendada, jagades võrdsuse mõlemad pooled f(x)-ga . Sel juhul jõuame võrrandini, mis on samaväärne algse võrrandiga f(x) ≠ 0 korral. Selliste ODE-de näited on .

Kui argumendil x on väärtused, mille juures funktsioonid f(x) ja g(x) kaovad samaaegselt, ilmuvad lisalahendused. Võrrandi lisalahendused antud x on mis tahes funktsioonid, mis on määratud nende argumendi väärtuste jaoks. Selliste diferentsiaalvõrrandite näited on järgmised:

Teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos konstantsed koefitsiendid.

Konstantsete koefitsientidega LDE on väga levinud diferentsiaalvõrrandi tüüp. Nende lahendus pole eriti keeruline. Kõigepealt leitakse juured iseloomulik võrrand . Erinevate p ja q puhul on võimalik kolm juhtumit: karakteristiku võrrandi juured võivad olla reaalsed ja erinevad, reaalsed ja kokku langevad või komplekssed konjugaadid. Sõltuvalt iseloomuliku võrrandi juurte väärtustest on see kirjutatud ühine otsus diferentsiaalvõrrand as , või , või vastavalt.

Näiteks vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset homogeenset teist järku diferentsiaalvõrrandit. Selle iseloomuliku võrrandi juured on k 1 = -3 ja k 2 = 0. Juured on reaalsed ja erinevad, seetõttu on konstantsete koefitsientidega LODE üldlahendusel kuju


Teist järku lineaarsed mittehomogeensed konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandid.

Konstantsete koefitsientidega y teist järku LDDE üldlahendust otsitakse vastava LDDE üldlahenduse summana ja konkreetset lahendust esialgsele ei ole homogeenne võrrand, see on, . Eelmine lõik on pühendatud konstantsete koefitsientidega homogeense diferentsiaalvõrrandi üldise lahenduse leidmisele. Ja konkreetne lahendus määratakse kas määramatute koefitsientide meetodil teatud vorm funktsiooni f(x) algse võrrandi paremal küljel või suvaliste konstantide muutmise meetodil.

Näitena konstantsete koefitsientidega teist järku LDDE-dest anname


Saage teooriast aru ja tutvuge sellega üksikasjalikud lahendused Pakume teile näiteid konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lehel.

Lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid (LODE) ja teist järku lineaarsed mittehomogeensed diferentsiaalvõrrandid (LNDE).

Seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite erijuhtumid on konstantsete koefitsientidega LODE ja LDDE.

LODE üldlahend teatud lõigul on esindatud selle võrrandi kahe lineaarselt sõltumatu osalahenduse y 1 ja y 2 lineaarse kombinatsiooniga, see tähendab, .

Peamine raskus seisneb just seda tüüpi diferentsiaalvõrrandi lineaarselt sõltumatute osalahenduste leidmises. Tavaliselt valitakse konkreetsed lahendused järgmised süsteemid lineaarselt sõltumatud funktsioonid:


Siiski ei esitata alati konkreetseid lahendusi sellisel kujul.

LOD-i näide on .

LDDE üldlahendust otsitakse kujul , kus on vastava LDDE üldlahend ja see on algse diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus. Me just rääkisime selle leidmisest, kuid seda saab määrata suvaliste konstantide muutmise meetodil.

Võib tuua näite LNDU kohta .

Kõrgema järgu diferentsiaalvõrrandid.

Diferentsiaalvõrrandid, mis võimaldavad järjekorras redutseerida.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord , mis ei sisalda soovitud funktsiooni ja selle tuletisi kuni k-1 järku, saab taandada n-k-ks, asendades .

Sel juhul taandatakse algne diferentsiaalvõrrand väärtuseks . Pärast selle lahenduse p(x) leidmist jääb üle naasta asendusse ja määrata tundmatu funktsioon y.

Näiteks diferentsiaalvõrrand pärast asendamist muutub see eraldatavate muutujatega võrrandiks ja selle järjekord väheneb kolmandalt esimesele.

Kujuvõrrand: nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks kõrgem järjekord, kus a 0 , a 1 ,…a n on muutuja x või konstandi funktsioonid ning a 0 , a 1 ,…a n ja f(x) loetakse pidevateks.

Kui 0 = 1 (kui
siis saate selle jagada)
võrrand saab kujul:

Kui
võrrand on ebahomogeenne.

võrrand on homogeenne.

Lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid järku n

Võrrandid kujul: nimetatakse lineaarseteks homogeenseteks diferentsiaalvõrranditeks järku n.

Nende võrrandite jaoks kehtivad järgmised teoreemid:

1. teoreem: Kui
- lahendus , siis summa
- ka lahendus

Tõestus: asendame summa

Kuna summa mis tahes järgu tuletis on võrdne selle tuletiste summaga, saate ümber rühmitada, avades sulud:

sest y 1 ja y 2 on lahendus.

0=0 (õige)
summa on ka otsus.

teoreem on tõestatud.

2. teoreem: Kui y 0 on lahendus , See
- ka lahendus .

Tõestus: asendame
võrrandisse

kuna C on tuletismärgist välja võetud, siis

sest lahendus, 0=0 (õige)
Сy 0 on samuti lahendus.

teoreem on tõestatud.

Järeldus T1-st ja T2-st: Kui
- lahendused (*)
Lineaarne kombinatsioon on samuti lahendus (*).

Lineaarselt sõltumatud ja lineaarselt sõltuvad funktsioonide süsteemid. Wronski determinant ja selle omadused

Definitsioon: Funktsioonisüsteem
- nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui koefitsientide lineaarne kombinatsioon
.

Definitsioon: Funktsioonide süsteem
- nimetatakse koefitsientide olemasolul lineaarseks sõltuvaks
.

Võtame kahe lineaarselt sõltuva funktsiooni süsteemi
sest
või
- seisund lineaarne iseseisvus kaks funktsiooni.

1)
lineaarselt sõltumatu

2)
lineaarselt sõltuv

3) lineaarselt sõltuv

Definitsioon: Antakse funktsioonide süsteem
- muutuja x funktsioonid.

Determinant
-Wronski determinant funktsioonide süsteemi jaoks
.

Kahe funktsiooniga süsteemi puhul näeb Wronski determinant välja järgmine:

Wronsky determinandi omadused:

Teoreem: Lineaarse homogeense 2. järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendusest.

Kui y 1 ja y 2 on teist järku lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lineaarselt sõltumatud lahendid, siis

üldine lahendus on:

Tõestus:
- otsus, mis põhineb T1 ja T2 tagajärjel.

Kui lähtetingimused on antud siis Ja tuleb leida üheselt.

- esialgsed tingimused.

Loome leidmiseks süsteemi Ja . Selleks asendame algtingimused üldlahendusega.

selle süsteemi määraja:
- Punktis x 0 arvutatud Wronski determinant

sest Ja lineaarselt sõltumatu
(igaüks 20)

kuna süsteemi determinant ei võrdu 0-ga, siis on süsteemil unikaalne lahend ja Ja on süsteemist ainulaadselt leitud.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi järgu n üldlahend

Võib näidata, et võrrandil on n lineaarselt sõltumatut lahendit

Definitsioon: n lineaarselt sõltumatut lahendit
nimetatakse lineaarset homogeenset diferentsiaalvõrrandit järku n põhimõtteline lahendussüsteem.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi suurusjärku n, st (*) üldlahend on põhilahenduste süsteemi lineaarne kombinatsioon:

Kus
- põhimõtteline lahendussüsteem.

Lineaarsed homogeensed konstantsete koefitsientidega 2. järku diferentsiaalvõrrandid

Need on võrrandid järgmisel kujul:
, kus p ja g on numbrid (*)

Definitsioon: Võrrand
- helistas iseloomulik võrrand diferentsiaalvõrrand (*) – tavaline ruutvõrrand, mille lahendus sõltub D-st, võimalikud on järgmised juhud:

1)D>0
- kaks kehtivat erinevat lahendust.

2) D = 0
- üks tegelik paljususe juur 2.

3)D<0
- kaks keerulist konjugeeritud juurt.

Kõigi nende juhtumite puhul osutame põhilahenduste süsteemile, mis koosneb kahest funktsioonist Ja .

Näitame seda:

1) Ja - LNZ

2) Ja - lahendus (*)

Vaatleme 1 juhtumit D>0
- 2 päris erinevat juurt.

X
iseloomulik võrrand:

Võtame kui FSR:

a) näita LNZ-d

b) näitame seda - lahendus (*), asendus

+lk
+g
=0

tõeline võrdsus

lahendus (*)

näidatud sarnaselt y 2 jaoks.

Järeldus:
- FSR (*)
ühine otsus

Vaatleme juhtumit 2: D = 0
- 1 reaalne kordsusjuur 2.

Võtame kui FSR:

LNZ:
Seal on LNZ.

-võrrandi lahendus (vt juhtum 1). Näitame seda
- lahendus.

pane see kaugjuhtimispulti

- lahendus.

Järeldus: FSR

Näide:

Juhtum 3: D<0
- 2 kompleksset konjugeeritud juurt.

asendame
iseloomult võrrand

Kompleksarv on 0, kui tegelik ja imaginaarne osa on 0.

- me kasutame seda.

Näitame seda
- moodustavad FSR-i.

A) LNZ:

B)
- kaugjuhtimispuldi lahendus

tõeline võrdsus
- kontrollsüsteemi otsus.

Samamoodi on näidatud, et ka lahendus.

Järeldus: FSR:

Ühine otsus:

Kui on määratud nr.

- seejärel leidke esmalt üldine lahendus
, selle tuletis:
, ja siis nad asendavad sellesse süsteemi n.u ja leiavad Ja .

Noh:

Sageli lihtsalt mainimine diferentsiaalvõrrandid tekitab õpilastes ebamugavust. Miks see juhtub? Kõige sagedamini seetõttu, et materjali põhitõdede õppimisel tekib teadmistes lünk, mille tõttu muutub difuuride edasine uurimine lihtsalt piinamiseks. Pole selge, mida teha, kuidas otsustada, kust alustada?

Siiski püüame teile näidata, et difuurid pole nii keerulised, kui tundub.

Diferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted

Kooliajast teame lihtsamaid võrrandeid, milles peame leidma tundmatu x. Tegelikult diferentsiaalvõrrandid neist vaid veidi erinev – muutuja asemel X peate leidma neis funktsiooni y(x) , mis muudab võrrandi identiteediks.

D diferentsiaalvõrrandid omavad suurt praktilist tähtsust. See ei ole abstraktne matemaatika, millel pole mingit seost meid ümbritseva maailmaga. Paljusid reaalseid looduslikke protsesse kirjeldatakse diferentsiaalvõrrandite abil. Näiteks stringi võnked, harmoonilise ostsillaatori liikumine, kasutades diferentsiaalvõrrandeid mehaanika ülesannetes, leiavad keha kiiruse ja kiirenduse. Samuti DU kasutatakse laialdaselt bioloogias, keemias, majanduses ja paljudes teistes teadustes.

Diferentsiaalvõrrand (DU) on võrrand, mis sisaldab funktsiooni y(x), funktsiooni enda, sõltumatute muutujate ja muude parameetrite tuletisi erinevates kombinatsioonides.

Diferentsiaalvõrrandid on mitut tüüpi: tavalised diferentsiaalvõrrandid, lineaarsed ja mittelineaarsed, homogeensed ja mittehomogeensed, esimest ja kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid, osadiferentsiaalvõrrandid jne.

Diferentsiaalvõrrandi lahendus on funktsioon, mis muudab selle identiteediks. Kaugjuhtimispuldil on üldised ja erilahendused.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahendus on lahenduste üldkogum, mis muudab võrrandi identiteediks. Diferentsiaalvõrrandi osalahend on lahendus, mis vastab algselt määratud lisatingimustele.

Diferentsiaalvõrrandi järjekorra määrab selle tuletisi kõrgeim järk.

Tavalised diferentsiaalvõrrandid

Tavalised diferentsiaalvõrrandid on võrrandid, mis sisaldavad ühte sõltumatut muutujat.

Vaatleme lihtsaimat esimest järku tavalist diferentsiaalvõrrandit. See näeb välja nagu:

Sellise võrrandi saab lahendada lihtsalt selle parema külje integreerimisega.

Selliste võrrandite näited:

Eraldatavad võrrandid

Üldiselt näeb seda tüüpi võrrand välja järgmine:

Siin on näide:

Sellise võrrandi lahendamisel peate muutujad eraldama, viies selle vormile:

Pärast seda jääb alles mõlemad osad integreerida ja lahendus leida.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Sellised võrrandid näevad välja järgmised:

Siin on p(x) ja q(x) mõned sõltumatu muutuja funktsioonid ning y=y(x) on soovitud funktsioon. Siin on näide sellisest võrrandist:

Sellise võrrandi lahendamisel kasutavad nad enamasti suvalise konstandi muutmise meetodit või esitavad soovitud funktsiooni kahe teise funktsiooni y(x)=u(x)v(x) korrutisena.

Selliste võrrandite lahendamiseks on vaja teatud ettevalmistusi ja neid on üsna keeruline "ühe pilguga" võtta.

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamise näide

Niisiis vaatasime lihtsamaid kaugjuhtimispuldi tüüpe. Vaatame nüüd ühe neist lahendust. Olgu selleks eraldatavate muutujatega võrrand.

Esmalt kirjutame tuletise tuttavamal kujul ümber:

Seejärel jagame muutujad, see tähendab, et võrrandi ühes osas kogume kõik "mina" ja teises - "X":

Nüüd jääb üle mõlemad osad integreerida:

Integreerime ja saame selle võrrandi üldise lahenduse:

Diferentsiaalvõrrandite lahendamine on muidugi omamoodi kunst. Peate suutma aru saada, mis tüüpi võrrandiga on tegemist, ja õppima ka nägema, milliseid teisendusi tuleb sellega teha, et viia ühe või teise vormini, rääkimata lihtsalt eristamis- ja integreerimisvõimest. Ja DE lahendamise õnnestumiseks on vaja harjutamist (nagu kõiges). Ja kui teil pole praegu aega aru saada, kuidas diferentsiaalvõrrandeid lahendatakse või kui Cauchy probleem on luuna kurku kinni jäänud või te ei tea, võtke ühendust meie autoritega. Lühikese ajaga pakume Sulle valmis ja detailse lahenduse, mille detailidest saad aru igal Sulle sobival ajal. Seni soovitame vaadata videot teemal "Kuidas lahendada diferentsiaalvõrrandeid":

Otsese integreerimisega lahendatavad võrrandid

Mõelge järgmisele diferentsiaalvõrrandile:
.
Integreerime n korda.
;
;
ja nii edasi. Võite kasutada ka valemit:
.
Vaadake diferentsiaalvõrrandeid, mida saab otse lahendada integratsioon >>>

Võrrandid, mis ei sisalda otseselt sõltuvat muutujat y

Asendamine toob kaasa võrrandi järjekorra vähenemise ühe võrra. Siin on funktsioon .
Vaadake jaotist Kõrgemate järkude diferentsiaalvõrrandid, mis ei sisalda selgesõnaliselt funktsiooni > > >

Võrrandid, mis ei sisalda otseselt sõltumatut muutujat x

.
Leiame, et see on funktsioon. Siis
.
Samamoodi ka teiste tuletisinstrumentide puhul. Selle tulemusena väheneb võrrandi järjekord ühe võrra.
Vaadake jaotist Kõrgemate astmete diferentsiaalvõrrandid, mis ei sisalda selgesõnalist muutujat > > >

Võrrandid, mis on homogeensed y, y′, y′′, ...

Selle võrrandi lahendamiseks teeme asendused
,
kus on funktsioon . Siis
.
Samamoodi teisendame tuletisi jne. Selle tulemusena väheneb võrrandi järjekord ühe võrra.
Vt kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandeid, mis on funktsiooni ja selle tuletiste suhtes homogeensed >>>

Kõrgema järgu lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Mõelgem n-ndat järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand:
(1) ,
kus on sõltumatu muutuja funktsioonid. Olgu sellel võrrandil n lineaarselt sõltumatut lahendit. Siis on võrrandi (1) üldlahend järgmisel kujul:
(2) ,
kus on suvalised konstandid. Funktsioonid ise moodustuvad põhisüsteem otsuseid.
Fundamentaalne lahendussüsteem n-ndat järku lineaarse homogeense võrrandi puhul on selle võrrandi n lineaarselt sõltumatut lahendit.

Mõelgem n-ndat järku lineaarne mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand:
.
Olgu sellel võrrandil konkreetne (ükskõik milline) lahendus. Siis on üldlahendusel järgmine vorm:
,
kus on homogeense võrrandi (1) üldlahend.

Konstantsete koefitsientidega ja neile taandatavad lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Konstantsete koefitsientidega lineaarsed homogeensed võrrandid

Need on võrrandid järgmisel kujul:
(3) .
Siin - reaalarvud. Selle võrrandi üldlahenduse leidmiseks peame leidma n lineaarselt sõltumatut lahendit, mis moodustavad fundamentaalse lahenduste süsteemi. Seejärel määratakse üldlahend valemiga (2):
(2) .

Otsime lahendust vormis . Saame iseloomulik võrrand:
(4) .

Kui sellel võrrandil on mitmesugused juured , siis on põhilahenduste süsteem järgmine:
.

Kui see on olemas keeruline juur
,
siis on olemas ka kompleksne konjugaatjuur. Need kaks juurt vastavad lahendustele ja , mille lisame hoopis põhisüsteemi integreeritud lahendused Ja .

Mitmed juured kordsused vastavad lineaarselt sõltumatutele lahenditele: .

Mitmed keerulised juured kordused ja nende komplekssed konjugeeritud väärtused vastavad lineaarselt sõltumatutele lahendustele:
.

Lineaarsed ebahomogeensed võrrandid spetsiaalse ebahomogeense osaga

Mõelgem vormi võrrand
,
kus on s-kraadide polünoomid 1 ja s 2 ; - püsiv.

Kõigepealt otsime homogeensele võrrandile (3) üldlahendust. Kui tunnusvõrrand (4) ei sisalda juurt, siis otsime konkreetset lahendust kujul:
,
Kus
;
;
s – suurim s 1 ja s 2 .

Kui tunnusvõrrand (4) on juur paljusus, siis otsime konkreetset lahendust kujul:
.

Pärast seda saame üldise lahenduse:
.

Konstantsete koefitsientidega lineaarsed mittehomogeensed võrrandid

Siin on kolm võimalikku lahendust.

1) Bernoulli meetod.
Esiteks leiame homogeensele võrrandile mis tahes nullist erineva lahendi
.
Seejärel teeme asendused
,
kus on muutuja x funktsioon. Saame u jaoks diferentsiaalvõrrandi, mis sisaldab ainult u tuletisi x suhtes. Asendust teostades saame võrrandi n - 1 - järjekorras.

2) meetod lineaarne asendus .
Teeme asendus
,
kus on üks tunnusvõrrandi (4) juurtest. Selle tulemusena saame lineaarse ebahomogeenne võrrand konstantsete järjekorrakoefitsientidega . Seda asendust järjekindlalt rakendades taandame algse võrrandi esimest järku võrrandiks.

3) Lagrange'i konstantide muutmise meetod.
Selle meetodi puhul lahendame esmalt homogeense võrrandi (3). Tema lahendus näeb välja selline:
(2) .
Lisaks eeldame, et konstandid on muutuja x funktsioonid. Siis on algse võrrandi lahendus järgmine:
,
kus on tundmatud funktsioonid. Asendades algse võrrandi ja kehtestades mõned piirangud, saame võrrandid, millest leiame funktsioonide tüübi.

Euleri võrrand

See taandub sellele lineaarvõrrand konstantsete asenduskoefitsientidega:
.
Euleri võrrandi lahendamiseks pole aga sellist asendust vaja teha. Homogeensele võrrandile saab kohe vormilt lahendust otsida
.
Selle tulemusena saame samad reeglid nagu konstantsete koefitsientidega võrrandi puhul, milles muutuja asemel tuleb asendada .

Viited:
V.V. Stepanov, Diferentsiaalvõrrandite kursus, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, probleemide kogu kõrgem matemaatika, "Lan", 2003.

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandite (DEHE) põhiterminoloogia.

Võrrand vormist , kus n >1 (2)

nimetatakse kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandiks, st. n- järjekorras.

DU määratluspiirkond, n järjekorras on piirkond .

Sellel kursusel käsitletakse järgmist tüüpi juhtimissüsteeme:

Cauchy probleem DE VP:

Las kaugjuhtimispult antakse,
ja algtingimused n/a: numbrid .

Peate leidma pideva ja n korda diferentseeruva funktsiooni
:

1)
on lahendus antud DE-le kohta , st.
;

2) vastab etteantud algtingimustele: .

Teist järku DE puhul on ülesande lahenduse geomeetriline tõlgendus järgmine: otsitakse punkti läbivat integraalkõverat (x 0 , y 0 ) ja joone puutuja kalle k = y 0 ́ .

Olemasolu ja kordumatuse teoreem(lahendused Cauchy probleemile DE jaoks (2)):

Kui 1)
pidev (kokku (n+1) argumendid) valdkonnas
; 2)
pidev (üle argumentide kogu
) aastal, siis ! Cauchy ülesande lahendus diferentsiaalvõrrandile, mis vastab antud algtingimustele n/a: .

Piirkonda nimetatakse DE unikaalsuse piirkonnaks.

Kaugjuhtimispuldi VP üldlahendus (2) – n -parameetriline funktsioon,
, Kus
– suvalised konstandid, mis vastavad järgmistele nõuetele:

1)

– DE (2) lahendus ;

2) n/a unikaalsuse piirkonnast!
:
vastab etteantud algtingimustele.

Kommenteeri.

Vaata suhet
, mis määrab kaudselt DE (2) üldlahenduse, nimetatakse üldine integraal DU.

Privaatne lahendus DE (2) saadakse selle konkreetse väärtuse üldlahendusest .

VP kaugjuhtimispuldi integreerimine.

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandeid reeglina täpsete analüütiliste meetoditega lahendada ei saa.

Teeme kindlaks teatud tüüpi DUVP, mis võimaldab vähendada järjekorras ja mida saab taandada kvadratuurideks. Toome tabelina seda tüüpi võrrandid ja meetodid nende järjestuse vähendamiseks.

VP DE-d, mis võimaldavad vähendada järjekorras

		Tellimuste vähendamise meetod
	Juhtimissüsteem on puudulik, see ei sisalda . Näiteks,	Jne. Pärast n Mitmekordne integreerimine annab DE-le üldise lahenduse.
	Võrrand on mittetäielik; see ei sisalda selgelt nõutavat funktsiooni ja tema esimesed tuletised. Näiteks,	Asendamine võrra alandab võrrandi järjekorda kühikut.
	Mittetäielik võrrand; see ei sisalda selgelt argumente soovitud funktsiooni. Näiteks,	Asendamine võrrandi järjekorda vähendatakse ühe võrra.
	Võrrand on täpsetes tuletistes, see võib olla täielik või mittetäielik. Sellise võrrandi saab teisendada kujule (*) ́= (*)́, kus võrrandi parem ja vasak pool on mõne funktsiooni täpsed tuletised.	Võrrandi parema ja vasaku külje integreerimine argumendiga vähendab võrrandi järjekorda ühe võrra.
		Asendamine alandab võrrandi järjekorda ühe võrra.

Homogeense funktsiooni määratlus:

Funktsioon
nimetatakse muutujates homogeenseks
, Kui


mis tahes punktis funktsiooni määratluspiirkonnas
;

– homogeensuse järjekord.

Näiteks on homogeenne funktsioon 2. järku suhtes
, st. .

Näide 1:

Leidke kaugjuhtimispuldi üldine lahendus
.

DE 3. järku, mittetäielik, ei sisalda selgesõnaliselt
. Integreerime võrrandi järjestikku kolm korda.

,

– puldi üldlahendus.

Näide 2:

Lahendage kaugjuhtimispuldi Cauchy probleem
juures

.

Teist järku DE, mittetäielik, ei sisalda selgesõnaliselt .

Asendamine
ja selle tuletis
vähendab kaugjuhtimispuldi järjestust ühe võrra.

. Saime esimest järku DE – Bernoulli võrrandi. Selle võrrandi lahendamiseks kasutame Bernoulli asendust:

,

ja ühendage see võrrandisse.

Selles etapis lahendame võrrandi jaoks Cauchy ülesande
:
.

– eraldatavate muutujatega esimest järku võrrand.

Asendame algtingimused viimase võrdsusega:

Vastus:
on Cauchy probleemi lahendus, mis rahuldab algtingimusi.

Näide 3:

Lahendage DE.

– DE 2. järku, mittetäielik, ei sisalda sõnaselgelt muutujat ja võimaldab seetõttu järjekorda ühe võrra vähendada, kasutades asendust või
.

Saame võrrandi
(las
).

– 1. järku DE eraldusmuutujatega. Eraldame need.

– DE üldine integraal.

Näide 4:

Lahendage DE.

Võrrand
täpsetes tuletistes on võrrand. Tõesti,
.

Integreerime vasaku ja parema külje suhtes , st.
või . Saime eraldatavate muutujatega 1. järku DE, st.
– DE üldine integraal.

Näide5:

Lahendage Cauchy probleem
aadressil .

DE 4. järku, mittetäielik, ei sisalda selgesõnaliselt
. Märgates, et see võrrand on täpsetes tuletistes, saame
või
,
. Asendame selle võrrandi algtingimused:
. Võtame kaugjuhtimispuldi
Esimese tüübi 3. järjekord (vt tabel). Integreerime selle kolm korda ja pärast iga integreerimist asendame võrrandi algtingimused:

Vastus:
- algse DE Cauchy probleemi lahendus.

Näide 6:

Lahenda võrrand.

– DE 2. järku, täielik, sisaldab homogeensust
. Asendamine
alandab võrrandi järjekorda. Selleks taandame võrrandi vormile
, jagades algse võrrandi mõlemad pooled arvuga . Ja eristage funktsiooni lk:

.

Asendame
Ja
kaugjuhtimispuldis:
. See on eraldatavate muutujatega esimest järku võrrand.

Võttes arvesse, et
, saame kaugjuhtimispuldi või
– algse DE üldlahendus.

Kõrgemat järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite teooria.

Põhiterminoloogia.

– NLDU - järjekorras, kus - pidevad funktsioonid mingi intervalliga.

Seda nimetatakse kaugjuhtimispuldi järjepidevuse intervalliks (3).

Tutvustame järgu (tingimuslikku) diferentsiaaloperaatorit

Kui see toimib funktsioonile, saame

See tähendab, et järgu lineaarse diferentsiaalvõrrandi vasak pool.

Selle tulemusena saab LDE kirjutada

Operaatori lineaarsed omadused
:

1) – liiteomadus

2)
– arv – homogeensuse omadus

Omadusi on lihtne kontrollida, kuna nende funktsioonide tuletistel on sarnased omadused ( lõplik summa tuletis on võrdne summaga lõplik arv derivaadid; konstantse teguri saab tuletise märgist välja võtta).

See.
– lineaaroperaator.

Vaatleme küsimust LDE Cauchy probleemi lahenduse olemasolust ja ainulaadsusest
.

Lahendame LDE suhtes
: ,
, – järjepidevuse intervall.

Funktsioon pidev domeenis, tuletised
piirkonnas pidev

Järelikult unikaalsuspiirkond, milles Cauchy LDE probleemil (3) on ainulaadne lahendus ja see sõltub ainult punkti valikust.
, kõik muud argumendi väärtused
funktsioonid
võib võtta meelevaldselt.

OLDE üldteooria.

- järjepidevuse intervall.

OLDE lahenduste peamised omadused:

1. Aditiivsuse omadus

(
– OLDE (4) lahendus peal )
(
– lahendus OLDE (4) kohta ).

Tõestus:

– lahendus OLDE (4) sisse

– lahendus OLDE (4) sisse

Siis

2. Homogeensuse omadus

( – lahendus OLDE (4) kohta ) (
(- numbriväli))

– OLDE (4) lahendus .

Tõestus on sarnane.

Aditiivsuse ja homogeensuse omadusi nimetatakse lineaarsed omadused OLDU (4).

Tagajärg:

(
– OLDE (4) lahendus )(

– lahendus OLDE (4) kohta ).

3. ( – OLDE (4) kompleksväärtuslik lahendus )(
on OLDE (4) reaalväärtuslikud lahendused ).

Tõestus:

Kui on OLDE (4) lahend sisse , siis võrrandisse asendamisel muudab see selle identiteediks, s.t.
.

Operaatori lineaarsuse tõttu saab viimase võrrandi vasaku poole kirjutada järgmiselt:
.

See tähendab, et , st on OLDE (4) reaalväärtuslikud lahendused .

OLDE-de lahenduste hilisemad omadused on seotud kontseptsiooniga " lineaarne sõltuvus”.

Definitsioon lineaarne sõltuvus piiratud funktsioonide süsteem

Funktsioonide süsteem on lineaarselt sõltuv sellest, kas see on olemas mittetriviaalne numbrite komplekt
nii et lineaarne kombinatsioon
funktsioonid
nende numbritega on identselt võrdne nulliga, st.
.n mis on vale. Teoreem on tõestatud võrrandidkõrgemalesuurusjärke(4 tundi...