Positiivsed kindlad ruutvormid

Definitsioon. Ruutvorm alates n tundmatu kutsutakse positiivne kindel, kui selle järk on võrdne positiivse inertsiindeksiga ja võrdne tundmatute arvuga.

Teoreem. Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui see võtab positiivseid väärtusi mis tahes nullist erineva muutujate väärtuste kogumi puhul.

Tõestus. Olgu ruutvorm tundmatute mittemandunud lineaarne teisendus

normaliseerunud

.

Iga nullist erineva muutujaväärtuste komplekti puhul vähemalt üks arv nullist erinev, st. . Teoreemi vajalikkus on tõestatud.

Oletame, et ruutvorm omandab positiivsed väärtused mis tahes nullist erineval muutujate hulgal, kuid selle inertsusindeks on positiivne. Tundmatute mittedegenereerunud lineaarse teisendusega

Toome selle tagasi normaalseks. Üldisust kaotamata võime eeldada, et sellel normaalkujul viimase muutuja ruut kas puudub või siseneb sellesse miinusmärgiga, s.t. , kus või . Oletame, et see on muutujate väärtuste nullist erinev kogum, mis saadakse lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise tulemusena

Selles süsteemis võrdub võrrandite arv muutujate arvuga ja süsteemi determinant on nullist erinev. Crameri teoreemi järgi on süsteemil ainulaadne lahendus ja see on nullist erinev. Selle komplekti jaoks. Vastuolu tingimusega. Eeldusega jõuame vastuoluni, mis tõestab teoreemi piisavust.

Seda kriteeriumi kasutades ei ole kordajate põhjal võimalik määrata, kas ruutvorm on positiivne-kindel. Sellele küsimusele annab vastuse teine ​​teoreem, mille sõnastamiseks tutvustame veel üht mõistet. Peamised diagonaalmaatriksi alaealised kas alaealised asuvad selle vasakus ülanurgas:

, , , … , .

Teoreem.Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle põhidiagonaali minoorid on positiivsed.

Tõestus teostame arvu täieliku matemaatilise induktsiooni meetodil n ruutvormimuutujad f.

Induktsiooni hüpotees. Oletame, et vähemate muutujatega ruutvormide puhul n väide on õige.

Vaatleme ruutvormi alates n muutujad. Koguge ühte sulgu kõik terminid, mis sisaldavad . Ülejäänud terminid moodustavad muutujates ruutvormi. Induktsiooni hüpoteesi järgi on väide selle kohta tõene.

Oletame, et ruutvorm on positiivne kindel. Siis on ka ruutvorm positiivne kindel. Kui eeldame, et see nii ei ole, siis on muutujate väärtuste hulk, mis ei ole null , milleks ja vastavalt , mis on vastuolus asjaoluga, et ruutvorm on positiivne kindel. Induktsioonihüpoteesi järgi on ruutvormi kõik diagonaalmollid positiivsed, s.t. kõik ruutvormi esimesed põhimollid f on positiivsed. Ruutvormi viimane põhimoll – on selle maatriksi determinant. See determinant on positiivne, kuna selle märk langeb kokku normaalkuju maatriksi märgiga, s.o. identiteedimaatriksi determinandi märgiga.

Olgu kõik ruutvormi peadiagonaalmollid positiivsed, siis kõik ruutvormi peadiagonaalmollid on võrdsest positiivsed . Induktsioonihüpoteesi kohaselt on ruutvorm positiivne kindel, seega toimub muutujate mitte-mandunud lineaarne teisendus, mis taandab vormi uute muutujate ruutude summaks. Seda lineaarset teisendust saab laiendada kõigi muutujate mittedegenereerunud lineaarseks teisenduseks sätte abil. Ruutvorm väheneb selle teisendusega vormiks

Ruudukujulised kujundid.
Vormide tähendus. Sylvesteri kriteerium

Omadussõna "ruut" viitab kohe sellele, et miski on siin seotud ruuduga (teine ​​aste) ja varsti saame teada selle "miski" ja selle, mis on vorm. Selgus kohe :)

Tere tulemast minu uude õppetundi ja koheseks soojenduseks vaatame triibulist kuju lineaarne. Lineaarne vorm muutujad helistas homogeenne 1. astme polünoom:

- mõned konkreetsed numbrid * (oletame, et vähemalt üks neist erineb nullist), ja on muutujad, mis võivad võtta suvalisi väärtusi.

* Selles teemas käsitleme ainult reaalarvud .

Mõistet "homogeenne" oleme juba kohanud õppetunnis teemal homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, ja sel juhul tähendab see, et polünoomile ei ole lisatud konstanti.

Näiteks: – kahe muutuja lineaarne vorm

Nüüd on kuju ruudukujuline. ruutvorm muutujad helistas homogeenne 2. astme polünoom, mille iga termin sisaldab kas muutuja ruutu või kahekordne muutujate korrutis. Näiteks on kahe muutuja ruutkujul järgmine vorm:

Tähelepanu! See on standardkirje ja te ei pea selles midagi muutma! Vaatamata “kohutavale” välimusele on siin kõik lihtne – konstantide topeltallindeksid annavad märku, millised muutujad ühes või teises terminis sisalduvad:
– see termin sisaldab korrutist ja (ruut);
- siin on töö;
- ja siin on töö.

- Ma näen kohe ette jämedat viga, kui nad kaotavad koefitsiendi "miinuse", mõistmata, et see viitab terminile:

Mõnikord on kujundusest vaimus "kooli" versioon, kuid siis ainult mõnikord. Muide, pange tähele, et siin olevad konstandid ei ütle meile üldse midagi ja seetõttu on "lihtsat tähistust" raskem meeles pidada. Eriti kui muutujaid on rohkem.

Ja kolme muutuja ruutvorm sisaldab juba kuut terminit:

... miks on "sega" terminitesse pandud "kaks" kordajat? See on mugav ja peagi selgub, miks.

Kuid paneme kirja üldise valemi, seda on mugav korraldada "lehega":

- uurige hoolikalt iga rida - selles pole midagi halba!

Ruutvorm sisaldab ruudukujuliste muutujatega termineid ja termineid nende paariskorrutistega (cm. kombinatsioonide kombinatoorne valem) . Ei midagi muud - ei "üksik x" ega lisatud konstant (siis ei saa ruutvormi, vaid heterogeenne 2. astme polünoom).

Ruutvormi maatrikstähistus

Olenevalt väärtustest võib vaadeldav vorm võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi ning sama kehtib ka iga lineaarse vormi kohta - kui vähemalt üks selle koefitsient on nullist erinev, siis võib see osutuda kas positiivseks või negatiivseks (olenevalt väärtuste kohta).

Seda vormi nimetatakse vahelduv. Ja kui lineaarvormiga on kõik läbipaistev, siis ruutvormiga on asjad palju huvitavamad:

On üsna selge, et see vorm võib omandada mis tahes märgi väärtused, seega ruutvorm võib olla ka vahelduv.

See ei pruugi olla:

– alati, välja arvatud juhul, kui mõlemad on võrdsed nulliga.

- kellelegi vektor välja arvatud null.

Ja üldiselt, kui mõne jaoks nullist erinev vektor , , siis nimetatakse ruutkuju positiivne kindel; kui siis negatiivne kindel.

Ja kõik oleks hästi, kuid ruutvormi määratlus on nähtav ainult lihtsates näidetes ja see nähtavus kaob juba väikese komplikatsiooniga:
– ?

Võib eeldada, et vorm on positiivselt määratletud, kuid kas see on tõesti nii? Järsku on väärtused, mille juures see on väiksem kui null?

Sellel kontol, seal teoreem: ma kukun omaväärtused ruutkujulised maatriksid on positiivsed * , siis on see positiivselt määratletud. Kui kõik on negatiivsed, siis on see negatiivne.

* Teoreetiliselt on tõestatud, et reaalse sümmeetrilise maatriksi kõik omaväärtused kehtiv

Kirjutame ülaltoodud vormi maatriksi:
ja võrrandist leiame ta üles omaväärtused:

Lahendame vana hea ruutvõrrand:

, seega vorm on positiivselt määratletud, s.t. mis tahes nullist erineva väärtuse korral on see suurem kui null.

Kaalutud meetod näib töötavat, kuid on üks suur AGA. Juba maatriksi "kolm korda kolm" jaoks on omaväärtuste otsimine pikk ja ebameeldiv ülesanne; suure tõenäosusega saad irratsionaalsete juurtega 3. astme polünoomi.

Kuidas olla? On lihtsam viis!

Sylvesteri kriteerium

Ei, mitte Sylvester Stallone :) Kõigepealt tuletan meelde, mida nurgelised alaealised maatriksid. See on määrajad mis "kasvavad" selle vasakust ülanurgast:

ja viimane on täpselt võrdne maatriksi determinandiga.

Nüüd, tegelikult kriteerium:

1) Määratletud ruutvorm positiivselt siis ja ainult siis, kui KÕIK selle nurk-mollid on suuremad kui null: .

2) Määratletud ruutvorm negatiivne siis ja ainult siis, kui selle nurgelised mollid vahelduvad märgis, samas kui 1. moll on nullist väiksem: , , kui on paaris või , kui on paaritu.

Kui vähemalt üks nurgeline moll on vastupidise märgiga, siis vorm märk-vahelduv. Kui nurgelised alaealised on “selle” märgiga, kuid nende hulgas on nullid, siis on tegemist erijuhtumiga, mida analüüsin veidi hiljem, kui klõpsame tavalisematel näidetel.

Analüüsime maatriksi nurkmoore :

Ja see ütleb meile kohe, et vorm ei ole negatiivselt määratud.

Järeldus: kõik nurga minoorid on suuremad kui null, seega kujund positiivselt määratletud.

Kas omaväärtuse meetodil on erinevusi? ;)

Kirjutame kujundimaatriksi alates Näide 1:

selle esimene nurgeline moll ja teine , millest järeldub, et vorm on märgivahelduv, s.o. sõltuvalt väärtustest võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. See on aga nii ilmne.

Võtke vorm ja selle maatriks alates Näide 2:

siin üldse ilma taipamata mitte aru saada. Kuid Sylvesteri kriteeriumi puhul me ei hooli:
, seega ei ole vorm kindlasti negatiivne.

, ja kindlasti mitte positiivne. (sest kõik nurga alaealised peavad olema positiivsed).

Järeldus: kuju on vahelduv.

Soojendusnäited ise lahendamiseks:

Näide 4

Uurige ruutvorme märgimääratluse jaoks

a)

Nendes näidetes on kõik sujuv (vt õppetunni lõppu), kuid tegelikult sellise ülesande täitmiseks Sylvesteri kriteeriumist ei pruugi piisata.

Asi on selles, et on "piirjuhtumeid", nimelt: kui üldse nullist erinev vektor , siis on kujund defineeritud mittenegatiivne, kui siis mittepositiivne. Nendel vormidel on nullist erinev vektorid, mille jaoks .

Siin saate tuua sellise "nööbiga akordioni":

Esiletõstmine täisruut, näeme kohe mittenegatiivsus vorm: , pealegi on see võrdne nulliga mis tahes võrdsete koordinaatidega vektori puhul, näiteks: .

"Peegel" näide mittepositiivne teatud vorm:

ja veel triviaalsem näide:
– siin on vorm mis tahes vektori korral võrdne nulliga, kus on suvaline arv.

Kuidas paljastada vormi mittenegatiivsust või mittepositiivsust?

Selleks vajame kontseptsiooni suuremad alaealised maatriksid. Peamine moll on moll, mis koosneb elementidest, mis asuvad samade numbritega ridade ja veergude ristumiskohas. Seega on maatriksil kaks põhilist 1. järku molli:
(element on 1. rea ja 1. veeru ristumiskohas);
(element on 2. rea ja 2. veeru ristumiskohas),

ja üks suur 2. järku moll:
- koosneb 1., 2. rea ja 1., 2. veeru elementidest.

Maatriks "kolm korda kolm" Alaealisi on seitse ja siin tuleb juba biitsepsiga vehkida:
- kolm alaealist 1. järku,
kolm alaealist II järgu:
- koosneb 1., 2. rea ja 1., 2. veeru elementidest;
- koosneb 1., 3. rea ja 1., 3. veeru elementidest;
- koosneb 2., 3. rea ja 2., 3. veeru elementidest,
ja üks 3. järku alaealine:
- koosneb 1., 2., 3. rea ning 1., 2. ja 3. veeru elementidest.
Harjutus mõistmiseks: kirjutage üles kõik maatriksi peamised mollid .
Kontrollime tunni lõpus ja jätkame.

Schwarzeneggeri kriteerium:

1) Määratletud nullist erinev* ruutvorm mittenegatiivne siis ja ainult siis, kui KÕIK selle peamised alaealised mittenegatiivne(suurem kui null või sellega võrdne).

* Null (degenereerunud) ruutvormi kõik koefitsiendid on nulliga võrdsed.

2) Maatriksiga nullist erinev ruutvorm mittepositiivne siis ja ainult siis, kui see:
– I järgu põhialaealised mittepositiivne(vähem kui null või sellega võrdne);
on II järgu peamised alaealised mittenegatiivne;
– III järgu põhialaealised mittepositiivne(vaheldumine on alanud);
…
– järgu duur-moll mittepositiivne, kui on paaritu või mittenegatiivne, kui on ühtlane.

Kui vähemalt üks moll on vastandmärgiga, siis on vorm märk-vahelduv.

Vaatame, kuidas kriteerium ülaltoodud näidetes töötab:

Teeme kujundimaatriksi ja eelkõige arvutame nurgelised alaealised – mis siis, kui see on positiivselt või negatiivselt defineeritud?

Saadud väärtused ei vasta Sylvesteri kriteeriumile, kuid teine ​​moll mitte negatiivne, ja see muudab vajalikuks 2. kriteeriumi kontrollimise (2. kriteeriumi puhul see automaatselt ei täitu, st tehakse kohe järeldus vormi märgivahelduse kohta).

I järgu suuremad alaealised:
- on positiivsed
2. järgu suur-moll:
- mitte negatiivne.

Seega on KÕIK suuremad mollid mittenegatiivsed, seega vorm mittenegatiivne.

Kirjutame vormimaatriksi , mille puhul Sylvesteri kriteerium ilmselgelt ei ole täidetud. Aga me ei saanud ka vastupidiseid märke (sest mõlemad nurgelised alaealised on nulliga võrdsed). Seetõttu kontrollime mittenegatiivsuse/mittepositiivsuse kriteeriumi täitmist. I järgu suuremad alaealised:
- mitte positiivne
2. järgu suur-moll:
- mitte negatiivne.

Seega määratakse Schwarzeneggeri kriteeriumi (punkt 2) järgi vorm mittepositiivselt.

Nüüd, täielikult relvastatud, analüüsime lõbusamat probleemi:

Näide 5

Uurige ruutvormi märgimääratlust

Seda vormi kaunistab järjestus "alfa", mis võib olla võrdne mis tahes reaalarvuga. Aga see saab olema ainult lõbusam otsustama.

Kõigepealt paneme kirja vormimaatriksi, ilmselt on paljud juba kohanenud seda suuliselt tegema: edasi põhidiagonaal paneme koefitsiendid ruutudesse ja sümmeetrilistesse kohtadesse - vastavate "segatud" toodete poolkoefitsiendid:

Arvutame nurgelised alaealised:

Laiendan kolmandat determinanti piki 3. rida:

Ruutvorm on mitme muutujaga 2. astme homogeenne polünoom.

Muutujate ruutvorm koosneb kahte tüüpi terminitest: muutujate ruudud ja nende paariskorrutised mõne koefitsiendiga. Tavapärane on ruutvorm kirjutada järgmise ruuduskeemi kujul:

Sarnaste terminite paarid kirjutatakse samade koefitsientidega, nii et igaüks neist on pool muutujate vastava korrutise koefitsiendist. Seega on iga ruutvorm loomulikult seotud selle koefitsiendimaatriksiga, mis on sümmeetriline.

Ruutvormi on mugav esitada ka järgmises maatriksmärgistuses. Tähistage muutujate veergu X-ga - rida, st maatriksit, mis on transponeeritud X-ga.

Ruutvorme leidub paljudes matemaatika harudes ja selle rakendustes.

Arvuteoorias ja kristallograafias vaadeldakse ruutvorme eeldusel, et muutujatel on ainult täisarvud. Analüütilises geomeetrias on ruutvorm osa kõvera (või pinna) võrrandist. Mehaanikas ja füüsikas näib ruutvorm väljendavat süsteemi kineetilist energiat üldistatud kiiruste komponentidena jne. Kuid lisaks on ruutvormide uurimine vajalik ka analüüsimisel, kui uuritakse paljude muutujate funktsioone. küsimustes, mille lahendamiseks on oluline välja selgitada, kuidas antud funktsioon antud punkti läheduses kaldub kõrvale seda lähendavast lineaarfunktsioonist. Seda tüüpi probleemi näide on funktsiooni maksimumi ja miinimumi uurimine.

Vaatleme näiteks probleemi maksimumi ja miinimumi uurimiseks kahe muutuja funktsiooni jaoks, millel on pidevad osatuletised kuni järjekorras. Vajalik tingimus, et punkt saaks anda funktsiooni maksimumi või miinimumi, on järjekorra osatuletiste võrdsus punktis nulliga Oletame, et see tingimus on täidetud. Anname muutujatele x ja y väikesed sammud ja k ning arvestame funktsiooni vastavat juurdekasvu. Taylori valemi järgi on see juurdekasv kuni väikeste kõrgemate astmeteni võrdne ruutkujuga, kus on teise väärtused punktis arvutatud tuletised Kui see ruutvorm on positiivne kõigi ja k väärtuste puhul (välja arvatud ), siis on funktsioonil punktis miinimum, kui negatiivne, siis maksimum. Lõpuks, kui kuju võtab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, siis ei ole maksimumi ega miinimumi. Sarnaselt uuritakse ka suurema hulga muutujate funktsioone.

Ruutvormide uurimine seisneb peamiselt vormide samaväärsuse probleemi uurimises ühe või teise muutujate lineaarsete teisenduste kogumi suhtes. Kaht ruutvormi nimetatakse samaväärseks, kui ühte neist saab antud hulga ühe teisenduse abil teisendada. Samaväärsuse probleemiga on tihedalt seotud vormi taandamise probleem, s.o. teisendades selle mõnele võimalikult lihtsale kujule.

Erinevates ruutvormidega seotud küsimustes käsitletakse ka erinevaid muutujate lubatud teisenduste komplekte.

Analüüsi küsimustes rakendatakse muutujate mis tahes mitteainsuse teisendusi; Analüütilise geomeetria jaoks pakuvad suurimat huvi ortogonaalsed teisendused, st need, mis vastavad üleminekule ühest muutuvate Descartes'i koordinaatide süsteemist teise. Lõpuks võetakse arvuteoorias ja kristallograafias arvesse täisarvuliste koefitsientide ja ühega võrdse determinandiga lineaarseid teisendusi.

Vaatleme kahte neist probleemidest: küsimust ruutvormi taandamisest selle lihtsaimale kujule mis tahes mitteainsuse teisenduse abil ja sama küsimust ortogonaalsete teisenduste kohta. Kõigepealt selgitame välja, kuidas ruutkujuga maatriks teiseneb muutujate lineaarsel teisendusel.

Olgu , kus A on vormikoefitsientide sümmeetriline maatriks, X on muutujate veerg.

Teeme muutujatest lineaarse teisenduse, kirjutades selle lühendatud kujul . Siin tähistab C selle teisenduse koefitsientide maatriksit, X on uute muutujate veerg. Siis ja siit, nii et teisendatud ruutvormi maatriks on

Maatriks osutub automaatselt sümmeetriliseks, mida on lihtne kontrollida. Seega on ruutvormi taandamise probleem selle lihtsaimaks vormiks samaväärne sümmeetrilise maatriksi taandamise probleemiga lihtsaimale kujule, korrutades selle vasakult ja paremalt vastastikku transponeeritud maatriksitega.

Ruutvormid

ruutvorm n muutuja f(x 1, x 2,..., x n) nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Nendest kordajatest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse ruutvormi maatriksiks. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutkujul kuju f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame ruutkuju maatrikskujul.

Selleks leiame ruutkuju maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed muutujate ruutude koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed poolega ruutvormi vastavatest kordajatest. Niisiis

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegenereerunud lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on mittedegenereerunud maatriks järku n. Siis ruutvorm
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Seega, mittemandunud lineaarteisendusel C saab ruutkuju maatriks järgmise kuju: A * = C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2) ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarteisendusega.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(Sellel on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij = 0 i ≠ j korral, s.o.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei esitata). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks taandame ruutvormi kanooniliseks vormiks
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt muutuja x 1 täisruut:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2-5x2 2-x2x3.

Nüüd valime muutuja x 2 jaoks täisruudu:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) – (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Seejärel toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 selle ruutvormi kanoonilisele vormile f (y 1 , y 2, y 3) = 2 a 1 2 - 5 a 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm on defineeritud mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erineval viisil). Erinevate meetoditega saadud kanoonilistel vormidel on aga mitmeid ühiseid omadusi. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv sellest, kuidas vorm sellele vormile taandatakse (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse ruutvormide inertsi seadus.

Kontrollime seda, taandades sama ruutvormi erineval viisil kanooniliseks vormiks. Alustame teisendust muutujaga x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3 a 1 2 -
-3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 ja y 3 = x 1 . Siin on positiivne koefitsient 2 y 3 juures ja kaks negatiivset koefitsienti (-3) y 1 ja y 2 juures (ja teist meetodit kasutades saime positiivse koefitsiendi 2 y 1 juures ja kaks negatiivset koefitsienti - (-5) y 2 juures ja (-1 /20) aasta 3 jaoks).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist erinevate koefitsientide arvuga ega muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt (negatiivne) teatud, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st. f(X) > 0 (negatiivne, st.
f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kui f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi märgimääratluse tuvastamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutatakse selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõenditeta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle maatriksi omaväärtused on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem (Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi peamollid on positiivsed.

Major (nurga)moll N-ndat järku maatriksi A k-ndat järku nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et eitus-määratud ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema eitav.

Näiteks uurime ruutkuju f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgimääratlust.

= (2–l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Seega Sylvesteri kriteeriumi järgi ruutvorm on positiivne kindel.

Märgimääratluse jaoks uurime teist ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.

Selles jaotises keskendume positiivsete ruutvormide erilisele, kuid olulisele klassile.

Definitsioon 3. Reaalset ruutvormi nimetatakse mittenegatiivseks (mittepositiivseks), kui muutujate mis tahes reaalväärtuste korral

. (35)

Sel juhul nimetatakse koefitsientide sümmeetrilist maatriksit positiivseks pooldefiniitseks (negatiivseks poolmääratlikuks).

Definitsioon 4. Reaalset ruutvormi nimetatakse positiivseks-kindlaks (negatiivne-määratliks), kui muutujate mis tahes reaalväärtuste korral, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga

. (36)

Sel juhul nimetatakse maatriksit ka positiivseks kindlaks (negatiivseks kindlaks).

Positiivsete-kindlate (negatiivsete-kindlate) vormide klass on osa mittenegatiivsete (vastavalt mittepositiivsete) vormide klassist.

Olgu antud mittenegatiivne vorm. Esitame selle sõltumatute ruutude summana:

. (37)

Selles esituses peavad kõik ruudud olema positiivsed:

. (38)

Tõepoolest, kui neid oleks, siis oleks võimalik valida sellised väärtused, mille jaoks

Kuid siis oleks nende muutujate väärtuste puhul vormil negatiivne väärtus, mis on tingimuse tõttu võimatu. Ilmselt, vastupidi, (37) ja (38) järeldub, et vorm on positiivne.

Seega iseloomustavad mittenegatiivset ruutvormi võrdsused .

Olgu nüüd positiivne kindel vorm. Siis ka mittenegatiivne vorm. Seetõttu saab seda esitada kujul (37), kus kõik on positiivsed. Vormi positiivsest määratlusest järeldub, et . Tõepoolest, kui on võimalik valida sellised väärtused, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, mille puhul kõik kaoksid. Kuid siis, tulenevalt (37), juures , mis on vastuolus tingimusega (36).

On lihtne näha, et vastupidi, kui (37) ja on kõik positiivsed, siis on positiivne kindel vorm.

Teisisõnu, mittenegatiivne vorm on positiivne siis ja ainult siis, kui see ei ole ainsuses.

Järgnev teoreem annab vormi positiivse määratluse kriteeriumi võrratuste kujul, mis peavad olema täidetud vormi kordajatega. Sel juhul kasutatakse maatriksi järjestikuste peamiste alaealiste kohta eelmistes osades juba esinenud tähistusi:

.

Teoreem 3. Et ruutvorm oleks positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et võrratused

Tõestus. Tingimuste piisavus (39) tuleneb otseselt Jacobi valemist (28). Tingimuste (39) vajalikkus tuvastatakse järgmiselt. Vormi positiivsest määratlusest järgneb "kärbitud" vormide positiivne määratlus

.

Aga siis peavad kõik need vormid olema mitteainsused, s.t.

Nüüd on meil võimalus kasutada Jacobi valemit (28) (for ). Kuna selle valemi paremal küljel peavad kõik ruudud olema positiivsed, siis

See tähendab ebavõrdsust (39). Teoreem on tõestatud.

Kuna ülemisse vasakusse nurka saab paigutada iga maatriksi peamoori koos muutujate õige ümbernumereerimisega, on meil

Tagajärg. Positiivses kindlas ruutvormis on kõik koefitsiendimaatriksi peamised minoorid positiivsed:

kommenteerida. Järjestikuste põhialaealiste mittenegatiivsusest

ei järgi vormi mittenegatiivsust . Tõepoolest, vorm

,

kus , vastab tingimustele , kuid ei ole mittenegatiivne.

Siiski on järgmine

Teoreem 4. Selleks, et ruutvorm oleks mittenegatiivne, on vajalik ja piisav, et selle koefitsiendimaatriksi kõik peamiinorid oleksid mittenegatiivsed:

Tõestus. Võtame kasutusele abivormi, mis on mittepositiivne, on vajalik ja piisav, et ebavõrdsused