Aritmeetilise progressiooni esimese 100 arvu summa. Lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valem

Selles õppetükis tuletame lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemi ja lahendame selle valemi abil mõned ülesanded.

Teema: Progressid

Õppetund: Lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valem

1. Sissejuhatus

Mõelge probleemile: leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 (kaasa arvatud).

Antud: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Leia: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Lahendus: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Vastus: 5050.

Naturaalarvude jada 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 on aritmeetiline progressioon: a1=1, d=1.

Oleme leidnud esimese saja naturaalarvu summa, st esimese n summa aritmeetilise progressiooni liikmed.

Kaalutud lahenduse pakkus välja suur matemaatik Carl Friedrich Gauss, kes elas 19. sajandil. Probleem lahenes tema poolt 5-aastaselt.

Ajaloo viide: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) – saksa matemaatik, mehaanik, füüsik ja astronoom. Peetakse üheks kõigi aegade suurimaks matemaatikuks, "matemaatikute kuningaks". Copley medali laureaat (1838), Inglise Kuningliku Seltsi Rootsi (1821) ja Venemaa (1824) Teaduste Akadeemia välisliige. Legendi järgi soovitas kooli matemaatikaõpetaja, et lapsi pikka aega tegevuses hoida, välja arvutada arvude summa 1-100. Noor Gauss märkas, et vastandite ja vastandite paarissummad on samad: 1+100 =101, 2+99=101 jne ja sai kohe tulemuseks: 101x50=5050.

2. Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi tuletamine

Mõelge sarnasele probleemile suvalise aritmeetilise progressiooni jaoks.

Leia: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa.

Näitame, et kõik sulgudes olevad avaldised on üksteisega võrdsed, nimelt avaldisega . Olgu d aritmeetilise progressiooni erinevus. Seejärel:

Ja nii edasi. Seetõttu võime kirjutada:

Kust saame aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi:

3. Ülesannete lahendamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi rakendamisel

1. Lahendage naturaalarvude summa 1 kuni 100, kasutades aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemit:

Lahendus: a1=1, d=1, n=100.

Üldvalem:

Meie puhul: .

Vastus: 5050.

Üldvalem:

. Leiame aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemiga: .

Meie puhul: .

Leidmiseks peate esmalt leidma.

Seda saab teha üldise valemi abil .Esmalt kasutage seda valemit, et leida aritmeetilise progressiooni erinevus.

st. . Tähendab .

Nüüd leiame.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi kasutamine

, leiame.

4. Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa teise valemi tuletamine

Saame aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa teise valemi, nimelt: tõestame, et .

Tõestus:

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemis asendame väljendiga , nimelt . Saame: , st. . Q.E.D.

Analüüsime saadud valemeid. Arvutamiseks esimese valemi järgi sa pead teadma esimest liiget, viimast liiget ja n teise valemi järgi - peate teadma esimest liiget, erinevust ja n.

Lõpuks pange tähele, et igal juhul on Sn n ruutfunktsioon, sest .

5. Ülesannete lahendamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa teise valemi rakendamisel

Üldvalem:

Meie puhul:.

Vastus: 403.

2. Leidke kõigi kahekohaliste arvude summa, mis on 4-kordsed.

(12; 16; 20; ...; 96) - arvude kogum, mis rahuldab ülesande tingimust.

Seega on meil aritmeetiline progressioon.

n leia valemist:.

st. . Tähendab .

Teise valemi kasutamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa jaoks

, leiame.

Tuleb leida kõigi terminite summa alates 10. kuni 25. kuupäevani (kaasa arvatud).

Üks viis selle lahendamiseks on järgmine:

Seega,.

6. Tunni kokkuvõte

Niisiis, oleme tuletanud lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemid. Neid valemeid on kasutatud mõne probleemi lahendamiseks.

Järgmises tunnis tutvume aritmeetilise progressiooni iseloomuliku omadusega.

1. Makarychev Yu. N. jt Algebra klass 9 (õpik keskkoolile).-M.: Haridus, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra 9. klassi jaoks süvenemisega. Uuring matemaatika.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Täiendavad peatükid algebra klassi õpikule 9.-M .: Haridus, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebra ülesannete kogumik 8.–9. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele). - M .: Haridus, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra klass 9, õpik üldharidusasutustele. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra klass 9, probleemraamat õppeasutustele. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Matemaatika ajalugu koolis. 7.-8.klass (juhend õpetajatele).-M.: Valgustus, 1983.

1. Kõrgkooli sektsioon. ru matemaatikas.

2. Loodusteaduste portaal.

3. Eksponentsiaalne. ru Hariduslik matemaatiline sait.

1. nr 362, 371, 377, 382 (Makarõtšev Yu. N. et al. Algebra 9. klass).

2. nr 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebra ülesannete kogumik 8.-9. klassile).

Algebra õppimisel keskkoolis (9. klass) on üheks oluliseks teemaks arvjadade õpe, mis hõlmab progresseerumist - geomeetrilist ja aritmeetikat. Selles artiklis käsitleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.

Mis on aritmeetiline progressioon?

Selle mõistmiseks on vaja anda vaadeldava progressi definitsioon, samuti põhivalemid, mida edaspidi probleemide lahendamisel kasutatakse.

Aritmeetiline ehk algebraline progressioon on selline järjestatud ratsionaalarvude kogum, mille iga liige erineb eelmisest mingi konstantse summa võrra. Seda väärtust nimetatakse erinevuseks. See tähendab, et teades järjestatud arvude jada mis tahes liiget ja erinevust, saate taastada kogu aritmeetilise progressiooni.

Võtame näite. Järgmine arvude jada on aritmeetiline progressioon: 4, 8, 12, 16, ..., kuna antud juhul on erinevus 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Kuid arvude komplekti 3, 5, 8, 12, 17 ei saa enam omistada vaadeldavale progressioonitüübile, kuna selle erinevus ei ole konstantne väärtus (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Olulised valemid

Nüüd anname põhivalemid, mida läheb vaja probleemide lahendamiseks aritmeetilise progressiooni abil. Tähistagu a n jada n-ndat liiget, kus n on täisarv. Erinevus on tähistatud ladina tähega d. Siis on tõesed järgmised väljendid:

N-nda liikme väärtuse määramiseks sobib valem: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
Esimese n liikme summa määramiseks: S n = (a n + a 1)*n/2.

9. klassi lahendusega aritmeetilise progressiooni näidete mõistmiseks piisab, kui meeles pidada neid kahte valemit, kuna kõik seda tüüpi ülesanded on üles ehitatud nende kasutamisele. Samuti ärge unustage, et progresseerumise erinevus määratakse valemiga: d = a n - a n-1 .

Näide nr 1: Tundmatu liikme leidmine

Toome lihtsa näite aritmeetilisest progressioonist ja valemitest, mida lahendamiseks tuleb kasutada.

Olgu antud jada 10, 8, 6, 4, ..., sealt on vaja leida viis liiget.

Juba ülesande tingimustest järeldub, et esimesed 4 terminit on teada. Viiendat saab määratleda kahel viisil:

Arvutame kõigepealt erinevuse. Meil on: d = 8 - 10 = -2. Samamoodi võib võtta mis tahes kaks teist terminit, mis seisavad kõrvuti. Näiteks d = 4 - 6 = -2. Kuna on teada, et d \u003d a n - a n-1, siis d \u003d a 5 - a 4, kust saame: a 5 = a 4 + d. Asendame teadaolevad väärtused: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Teine meetod nõuab ka teadmisi kõnealuse progresseerumise erinevusest, seega peate esmalt selle kindlaks määrama, nagu ülal näidatud (d = -2). Teades, et esimene liige a 1 = 10, kasutame jada n arvu valemit. Meil on: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Asendades viimase avaldisega n = 5, saame: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Nagu näete, annavad mõlemad lahendused sama tulemuse. Pange tähele, et selles näites on progressiooni erinevus d negatiivne. Selliseid jadasid nimetatakse kahanevateks, kuna iga järgnev liige on väiksem kui eelmine.

Näide nr 2: progresseerumise erinevus

Nüüd teeme ülesande pisut keerulisemaks, tooge näide, kuidas

On teada, et mõnes võrdub 1. liige 6-ga ja 7. liige 18-ga. Tuleb leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.

Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1 . Asendame sellesse tingimusest teadaolevad andmed, see tähendab numbrid a 1 ja a 7, meil on: 18 \u003d 6 + 6 * d. Selle avaldise järgi saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) / 6 = 2. Seega sai ülesande esimene osa vastatud.

Jada taastamiseks 7. liikmeni peaksite kasutama algebralise progressiooni definitsiooni, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ja 7 = 18.

Näide nr 3: edasiminek

Teeme probleemi olukorra veelgi keerulisemaks. Nüüd peate vastama küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võime tuua järgmise näite: on antud kaks arvu, näiteks 4 ja 5. On vaja teha algebraline progressioon, et nende vahele mahuks veel kolm liiget.

Enne selle probleemi lahendamise alustamist on vaja mõista, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm terminit, siis 1 \u003d -4 ja 5 \u003d 5. Olles selle kindlaks teinud, jätkame ülesandega, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Alates: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Siin ei ole erinevus täisarv, vaid see on ratsionaalne arv, seega jäävad algebralise progressiooni valemid samaks.

Nüüd lisame leitud erinevuse 1-le ja taastame progressiooni puuduvad liikmed. Saame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d mis langes kokku probleemi olukorraga.

Näide nr 4: progressi esimene liige

Jätkame näidete toomist aritmeetilise progressiooni kohta koos lahendusega. Kõigis varasemates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida, millisest arvust see jada algab.

Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Nende numbrite kohta pole probleemi olukorras midagi teada. Sellegipoolest kirjutame välja avaldised iga termini kohta, mille kohta meil on teavet: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saime kaks võrrandit, milles on 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.

Määratud süsteemi on kõige lihtsam lahendada, kui väljendate igas võrrandis 1 ja seejärel võrdlete saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine võrrand: a 1 \u003d a 43–42 * d = 37–42 * d. Võrdsustades need avaldised, saame: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kust erinevus d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).

Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada mis tahes ülaltoodud kahest avaldisest. Näiteks kõigepealt: a 1 \u003d 50–14 * d \u003d 50–14 * (- 0,464) = 56,496.

Kui tulemuses on kahtlusi, saab seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43. liige, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.

Näide nr 5: summa

Vaatame nüüd mõningaid näiteid aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.

Olgu antud arvuline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutada nende arvude 100 summat?

Tänu arvutitehnoloogia arengule saab selle probleemi lahendada, st liita järjestikku kõik numbrid, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab sisestusklahvi. Probleemi saab aga mõtteliselt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle erinevus on 1. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse Gaussiks, kuna 18. sajandi alguses suutis kuulus sakslane, olles veel kõigest 10-aastane, selle oma mõtetes mõne sekundiga lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada servades asuvad arvupaarid, saad alati sama tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna need summad on täpselt 50 (100 / 2), siis õige vastuse saamiseks piisab, kui korrutada 50 101-ga.

Näide #6: terminite summa vahemikus n kuni m

Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, milline on selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14.

Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust kokkuvõtmist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod piisavalt töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek lahendada see probleem teise meetodi abil, mis on universaalsem.

Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n > m on täisarvud. Mõlemal juhul kirjutame summa jaoks kaks avaldist:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Kuna n > m, on ilmne, et 2 summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe, ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), siis saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Selles avaldises on vaja asendada n ja m valemid. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid summa S mn sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.

Nagu ülaltoodud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise alustamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, selgelt mõista, mida soovite leida, ja alles seejärel jätkata lahendusega.

Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate küsimusele vastata ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemis S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja jagage üldülesanne eraldi alamülesanneteks (sel juhul leidke esmalt terminid a n ja a m).

Kui tulemuse suhtes on kahtlusi, on soovitatav seda kontrollida, nagu tehti mõnes toodud näites. Kuidas leida aritmeetilist progressiooni, sai teada. Kui olete sellest aru saanud, pole see nii raske.

Aritmeetilise progressiooni summa.

Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui ka valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Algklassidest päris soliidseks.

Kõigepealt käsitleme summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on sama lihtne kui madaldamine. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle liikmed. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju ... lisamine on tüütu.) Sel juhul valem päästab.

Summa valem on lihtne:

Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab palju.

S n on aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks peal viimane. See on tähtis. Lisage täpselt kõik liikmed reas, ilma vahede ja hüpeteta. Ja täpselt, alates esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viie kuni kahekümnenda liikmete summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)

a 1 - esiteks progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.

a n- viimane progressi liige. Rea viimane number. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.

n on viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv ühtib lisatud terminite arvuga.

Määratleme mõiste viimane liige a n. Täiteküsimus: milline liige saab viimane, kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?

Kindla vastuse saamiseks peate mõistma aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja ... lugema ülesannet hoolikalt läbi!)

Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, milline progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see on antud: arvude jada või n-nda liikme valemiga.

Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüptitud, jah ... Kuid mitte midagi, allolevates näidetes avaldame need saladused.)

Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa jaoks.

Esiteks kasulik teave:

Aritmeetilise progressiooni summa ülesannete peamine raskus on valemi elementide õige määramine.

Ülesannete autorid krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende dešifreerimisest. Vaatame üksikasjalikult mõnda näidet. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.

1. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a n = 2n-3,5. Leidke esimese 10 liikme summa.

Tubli töö. Lihtne.) Mida me peame teadma, et määrata summa valemi järgi? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase termini number n.

Kust saada viimane liikmenumber n? Jah, samas kohas, seisukorras! See ütleb, et leia summa esimesed 10 liiget. No mis number see saab olema viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n asendame valemiga a 10, aga selle asemel n- kümme. Jällegi on viimase liikme arv sama, mis liikmete arv.

See jääb veel kindlaks teha a 1 ja a 10. Seda on lihtne arvutada n-nda liikme valemiga, mis on antud ülesandepüstituses. Ei tea, kuidas seda teha? Külastage eelmist õppetundi, ilma selleta - mitte midagi.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10–3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saime teada aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb need asendada ja lugeda:

See on kõik. Vastus: 75.

Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:

2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 \u003d 2,3. Leidke esimese 15 liikme summa.

Kirjutame kohe summa valemi:

See valem võimaldab meil leida mis tahes liikme väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Jääb vaid asendada kõik valemis olevad elemendid aritmeetilise progressiooni summaga ja arvutada vastus:

Vastus: 423.

Muide, kui summa valemis asemel a n lihtsalt asendades n-nda liikme valemi, saame:

Anname sarnased, saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:

Nagu näete, pole siin n-ndat liiget vaja. a n. Mõnes ülesandes aitab see valem palju, jah ... Selle valemi võite meeles pidada. Ja saate selle lihtsalt õigel ajal tagasi võtta, nagu siin. Summa valem ja n-nda liikme valem tuleb ju igati meeles pidada.)

Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):

3. Leidke kõigi positiivsete kahekohaliste arvude summa, mis on kolmekordsed.

Kuidas! Pole esimest liiget, pole viimast, pole üldse progressi... Kuidas elada!?

Peate mõtlema oma peaga ja võtma tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Mis on kahekohalised numbrid - me teame. Need koosnevad kahest numbrist.) Milline kahekohaline arv esiteks? 10, arvatavasti.) viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised järgivad teda ...

Kolmekordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad võrdselt kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba kirjutada seeria vastavalt probleemi seisukorrale:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Kindlasti! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui terminile lisada 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uut arvu enam 3-ga ei jagata. Saate kohe määrata kuhja aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. Kasulik!)

Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:

Mis saab numbriks n viimane liige? Kõik, kes arvavad, et 99, eksivad saatuslikult ... Numbrid - need lähevad alati järjest ja meie liikmed hüppavad üle esikolmiku. Need ei sobi kokku.

Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate maalida progressi, terve arvude jada ja lugeda näpuga liikmete arvu.) Teine võimalus on mõeldud mõtlikule. Peate meeles pidama n-nda liikme valemit. Kui valemit meie probleemile rakendada, saame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.

Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:

Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemi seisukorrast välja kõik summa arvutamiseks vajaliku:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Alles jääb elementaarne aritmeetika. Asendage valemis olevad numbrid ja arvutage:

Vastus: 1665

Teist tüüpi populaarsed mõistatused:

4. Antakse aritmeetiline progressioon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljandani.

Vaatame summa valemit ja ... oleme ärritunud.) Lubage mul teile meelde tuletada, et valem arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.

Võite muidugi maalida kogu käigu järjest ja panna liikmed 20-lt 34-le. Aga ... see tuleb kuidagi rumalalt ja pikaks ajaks, eks?)

On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kakskümmend kuni kolmkümmend neli. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa liikmete summale S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

See näitab, et leida summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. standardsumma valem on neile üsna rakendatav. Kas alustame?

Eraldame ülesande tingimusest edenemise parameetrid:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Loendame need n-nda liikme valemi järgi, nagu ülesandes 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ei jää midagi järele. Lahutage 34 termini summast 19 termini summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastus: 262,5

Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik funktsioon. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime mida, tundub, pole vaja - S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade pettus" päästab sageli kurjade mõistatuste puhul.)

Selles õppetükis uurisime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)

Praktilised nõuanded:

Mis tahes ülesande lahendamisel aritmeetilise progressiooni summa eest, soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.

N-nda liikme valem:

Need valemid ütlevad kohe, mida otsida, millises suunas mõelda, et probleem lahendada. Aitab.

Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.

5. Leia kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.

Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.

6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke esimese 24 liikme summa.

Ebatavaline?) See on korduv valem. Selle kohta saate lugeda eelmises õppetükis. Ärge ignoreerige linki, selliseid mõistatusi leidub sageli GIA-s.

7. Vasya kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida kõige armastatumale inimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel! Kuni raha otsa saab. Mitu päeva oli Vasjal õnnelik?

Kas see on raske?) Abiks on ülesande 2 lisavalem.

Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Tunni eesmärgid:

õpilaste arusaamade laiendamine ja süvendamine aritmeetilise progressiooni abil lahendatavate ülesannete kohta; õpilaste otsingutegevuse korraldamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi tuletamisel;
oskuste arendamine iseseisvaks uute teadmiste omandamiseks, juba omandatud teadmiste kasutamiseks ülesande saavutamiseks;
saadud faktide üldistamise soovi ja vajaduse kujunemine, iseseisvuse kujunemine.

Ülesanded:

üldistada ja süstematiseerida olemasolevaid teadmisi teemal “Aritmeetiline progressioon”;
tuletada valemid aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutamiseks;
õpetada saadud valemeid rakendama erinevate ülesannete lahendamisel;
juhtida õpilaste tähelepanu arvavaldise väärtuse leidmise protseduurile.

Varustus:

kaardid ülesannetega rühmades ja paarides töötamiseks;
hindamispaber;
esitlus"Aritmeetiline progressioon".

I. Põhiteadmiste aktualiseerimine.

1. Iseseisev töö paaristööna.

1. variant:

Määratlege aritmeetiline progressioon. Kirjutage üles rekursiivne valem, mis määratleb aritmeetilise progressiooni. Tooge aritmeetilise progressiooni näide ja märkige selle erinevus.

2. variant:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem. Leidke aritmeetilise progressiooni 100. liige ( a n}: 2, 5, 8 …
Sel ajal valmistavad kaks õpilast tahvli tagaküljel samadele küsimustele vastuseid.
Õpilased hindavad partneri tööd, võrreldes seda tahvliga. (Antakse üle vastustega infolehed).

2. Mänguhetk.

1. harjutus.

Õpetaja. Ma mõtlesin välja aritmeetilise progressiooni. Esitage mulle ainult kaks küsimust, et pärast vastuseid saaksite kiiresti nimetada selle käigu 7. liikme. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Küsimused õpilastelt.

Mis on progresseerumise kuues liige ja mis vahe on?
Mis on progressi kaheksas liige ja mis vahe on?

Kui küsimusi rohkem pole, saab õpetaja neid stimuleerida - d-le (erinevus) "keeld", see tähendab, et ei tohi küsida, mis vahe on. Saate esitada küsimusi: mis on progressiooni 6. ja mis 8. liige?

2. ülesanne.

Tahvlile on kirjutatud 20 numbrit: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Õpetaja seisab seljaga tahvli poole. Õpilased ütlevad numbri numbri ja õpetaja helistab kohe ise numbrile. Selgitage, kuidas ma saan seda teha?

Õpetaja mäletab n-nda termini valem a n \u003d 3n - 2 ja asendades antud n väärtused, leiab vastavad väärtused a n .

II. Õppeülesande avaldus.

Teen ettepaneku lahendada vana probleem, mis pärineb 2. aastatuhandest eKr ja mis leiti Egiptuse papüürustest.

Ülesanne:"Olgu teile öeldud: jagage 10 mõõtu otra 10 inimese vahel, vahe iga inimese ja tema naabri vahel on 1/8 mõõdust."

Kuidas on see probleem seotud aritmeetilise progressiooni teemaga? (Iga järgmine inimene saab 1/8 mõõtu rohkem, nii et vahe on d=1/8, 10 inimest, seega n=10.)
Mida number 10 teie arvates tähendab? (Kõigi progressi liikmete summa.)
Mida on veel vaja teada, et odra jaotamine vastavalt probleemi olukorrale oleks lihtne ja lihtne? (Progressiooni esimene tähtaeg.)

Tunni eesmärk- progressiooniliikmete summa sõltuvuse saamine nende arvust, esimesest liikmest ja erinevusest ning kontrollimine, kas probleem lahendati muinasajal õigesti.

Enne valemi tuletamist vaatame, kuidas muistsed egiptlased probleemi lahendasid.

Ja nad lahendasid selle järgmiselt:

1) 10 mõõdikut: 10 = 1 meede – keskmine osakaal;
2) 1 mõõt ∙ = 2 takti – kahekordistatud keskmine jagada.
kahekordistunud keskmine osa on 5. ja 6. isiku osade summa.
3) 2 mõõtu - 1/8 mõõt = 1 7/8 mõõtu - kahekordne viienda isiku osakaal.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - viienda osa; ja nii edasi, leiate iga eelmise ja järgmise inimese osakaalu.

Saame järjestuse:

III. Ülesande lahendus.

1. Töötage rühmades

1. rühm: Leidke 20 järjestikuse naturaalarvu summa: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Üldiselt

II rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Järeldus:

III rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 21.

Lahendus: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Järeldus:

IV grupp: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 101.

Järeldus:

Seda vaadeldavate probleemide lahendamise meetodit nimetatakse Gaussi meetodiks.

2. Iga rühm esitab ülesande lahenduse tahvlil.

3. Suvalise aritmeetilise progressiooni pakutud lahenduste üldistamine:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Leiame selle summa, väites sarnaselt:

4. Kas oleme ülesande lahendanud?(Jah.)

IV. Saadud valemite esmane mõistmine ja rakendamine ülesannete lahendamisel.

1. Vana ülesande lahenduse kontrollimine valemiga.

2. Valemi rakendamine erinevate ülesannete lahendamisel.

3. Harjutused valemi rakendamise oskuse kujundamiseks ülesannete lahendamisel.

A) nr 613

Antud :( ja n) - aritmeetiline progressioon;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Leidma: S 1500

Otsus: , ja 1 = 1 ja 1500 = 1500,

B) Arvestades: ( ja n) - aritmeetiline progressioon;
(ja n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Leidma: n
Otsus:

V. Iseseisev töö vastastikuse kontrolliga.

Denis läks kullerina tööle. Esimesel kuul oli tema palk 200 rubla, igal järgneval kuul tõusis see 30 rubla võrra. Kui palju ta aastaga teenis?

Antud :( ja n) - aritmeetiline progressioon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Leidma: S 12
Otsus:

Vastus: Denis sai aasta eest 4380 rubla.

VI. Kodutöö juhendamine.

lk 4.3 - õppige valemi tuletamist.
№№ 585, 623 .
Koostage ülesanne, mille lahendamiseks kasutatakse aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemit.

VII. Õppetunni kokkuvõte.

1. Tulemuste tabel

2. Jätkake lauseid

Täna tunnis õppisin...
Õpitud valemid...
Ma arvan, et …

3. Kas leiate arvude summa 1 kuni 500? Millist meetodit kasutate selle probleemi lahendamiseks?

Bibliograafia.

1. Algebra, 9. klass. Õpik haridusasutustele. Ed. G.V. Dorofejeva. Moskva: Valgustus, 2009.

ARVJANDUSED VI

§ 144. Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Nad ütlevad, et kunagi andis algkooliõpetaja, kes soovis klassis pikka aega iseseisva tööga hõivata, lastele "raske" ülesande - arvutada kõigi naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Üks õpilastest pakkus kohe välja lahenduse. Siin see on.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 korda

See oli Carl Gauss, kellest sai hiljem üks kuulsamaid matemaatikuid maailmas*.

*Sarnane juhtum Gaussiga toimus tegelikult. Siin on see aga oluliselt lihtsustatud. Õpetaja pakutud numbrid olid viiekohalised ja moodustasid aritmeetilise progressiooni kolmekohalise vahega.

Sellise lahenduse ideed saab kasutada mis tahes aritmeetilise progressiooni liikmete summa leidmiseks.

Lemma. Lõpliku aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa, mis asuvad otstest võrdsel kaugusel, on võrdne äärmuslike liikmete summaga.

Näiteks lõplikus aritmeetilises progressioonis

1, 2, 3.....98, 99, 100

terminid 2 ja 99, 3 ja 98, 4 ja 97 jne on selle progressiooni otstest võrdsel kaugusel. Seetõttu on nende summad 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 võrdsed äärmuslike liikmete 1 + 100 summaga.

Lemma tõestus. Sisestage lõplik aritmeetiline progressioon

a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n

mis tahes kaks liiget on otstest võrdsel kaugusel. Oletame, et üks neist on k -th termin vasakult, see tähendab a k , ja see teine - k th termin paremalt, s.o. a n -k+ üks . Siis

a k + a n -k+ 1 =[a 1 + (k - 1)d ] + [a 1 + (n - k )d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Selle progresseerumise äärmuslike liikmete summa on võrdne

a 1 + a n = a 1 + [a 1 + (n - 1)d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Seega

a k + a n -k+ 1 = a 1 + a n

Q.E.D.

Äsja tõestatud lemmat kasutades on lihtne saada summa üldvalem P mis tahes aritmeetilise progressiooni liikmed.

S n = a 1 +a 2 + ...+ a n - 1 + a n

S n = a n + a n - 1 + ... + a 2 + a 1 .

Lisades need kaks võrdsust termini haaval, saame:

2S n = (a 1 +a n ) + (a 2 +a n - 1)+...+(a n - 1 +a 2) + (a n +a 1)

a 1 +a n = a 2 +a n - 1 = a 3 +a n - 2 =... .

2S n = n (a 1 +a n ),

Lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa võrdub poole äärmiste liikmete summa ja kõigi liikmete arvu korrutisega.

Eriti,

Harjutused

971. Leia kõigi paaritute kolmekohaliste arvude summa.

972. Mitu lööki teeb kell ööpäeva jooksul, kui see lööb ainult terveid tunde?

973. Mis on esimese summa P naturaalarvud?

974. Tuletage keha ühtlaselt kiirendatud liikumisel läbitud tee pikkuse valem:

kus v 0 - algkiirus sisse m/sek , a - kiirendus sisse m/sek 2 , t - reisi aeg sek.

975. Leidke positiivsete täisarvude vahel kõigi taandamatute murdude summa, mille nimetaja on 3 t ja P (t< п ).

976. Tööline hooldab 16 automaatselt töötavat kangasteljet. Jõudlus masina kohta a m/h. Töötaja lülitas esimese masina sisse kell 7 h ja iga järgmine 5 min hilisem kui eelmine. Uurige esimese 2 väljundit meetrites h tööd.

977. Lahenda võrrandid:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. 1. juulist 12. juulini (kaasa arvatud) tõusis õhutemperatuur ööpäevas keskmiselt 1/2 kraadi võrra. Teades, et selle aja keskmiseks temperatuuriks osutus 18 3/4 kraadi, tehke kindlaks, milline oli õhutemperatuur 1. juulil.

979. Leia aritmeetiline progressioon, mille aritmeetiline keskmine P mis tahes esimesed tingimused P võrdne nende arvuga.

980. Leidke aritmeetilise progressiooni kahekümne esimese liikme summa, milles

a 6 + a 9 + a 12 + a 15 = 20.