Mis on sarnased terminid? Sarnaste terminite vähendamine (Wolfson G.I.)

Mitmekordne on arv, mis jagub arvuga antud number jäljetult. Arvude rühma vähim ühiskordne (LCM) on väikseim arv, mis jagub rühma iga arvuga jääki jätmata. Vähima ühiskordse leidmiseks peate leidma antud arvude algtegurid. LCM-i saab arvutada ka mitmete muude meetodite abil, mis kehtivad kahe või enama numbriga rühmade puhul.

Sammud

Mitmekordsete seeria

Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada, kui on antud kaks arvu, millest igaüks on väiksem kui 10. Kui see on antud suured numbrid, kasutage teist meetodit.

• Näiteks leidke 5 ja 8 vähim ühiskordne. Need on väikesed arvud, nii et saate seda meetodit kasutada.

1. Mitmekordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Korrutised leiate korrutustabelist.

   • Näiteks arvud, mis on 5-kordsed, on: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Kirjutage üles arvude jada, mis on esimese arvu kordsed. Tehke seda esimese arvu kordsete all, et võrrelda kahte arvude komplekti.

   • Näiteks arvud, mis on 8-kordsed, on: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ja 64.

3. Leidke väikseim arv, mis esineb mõlemas korrutises. Võib-olla peate leidmiseks kirjutama pikki kordiseid koguarv. Väikseim arv, mis esineb mõlemas kordajate hulgas, on väikseim ühiskordne.

   • Näiteks, väikseim number, mis esineb 5 ja 8 kordajate jadas, on arv 40. Seetõttu on 40 arvude 5 ja 8 vähim ühiskordne.

   Peamine faktoriseerimine

   1. Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada, kui on antud kaks arvu, millest igaüks on suurem kui 10. Kui see on antud väiksemaid numbreid, kasutage teist meetodit.

      • Näiteks leidke arvude 20 ja 84 vähim ühiskordne. Iga arv on suurem kui 10, nii et saate seda meetodit kasutada.

   2. Korrutage esimene arv algteguriteks. See tähendab, et peate leidma sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse antud arv. Kui olete algtegurid leidnud, kirjutage need võrdseteks.

      • Näiteks, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ja 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Seega on arvu 20 algteguriteks arvud 2, 2 ja 5. Kirjutage need avaldisena: .

   3. Teisendage teine ​​arv algteguriteks. Tehke seda samamoodi, nagu arvutasite esimese arvu, st leidke sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse antud arv.

      • Näiteks, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ja 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Seega on arvu 84 algteguriteks arvud 2, 7, 3 ja 2. Kirjuta need avaldisena: .

   4. Kirjutage üles mõlema arvu ühised tegurid. Kirjutage sellised tegurid korrutustehtena. Iga teguri kirjutamisel kriipsutage see mõlemas avaldises läbi (avaldised, mis kirjeldavad arvude faktoriseerimist algteguriteks).

      • Näiteks mõlemal arvul on ühine tegur 2, seega kirjuta 2 × (\displaystyle 2\times) ja kriipsutage mõlemas väljendis läbi 2.
      • Mõlemal arvul on ühine tegur 2, nii et kirjutage 2 × 2 (\displaystyle 2\ korda 2) ja kriipsutage mõlemas avaldises teine ​​2 läbi.

   5. Lisa ülejäänud tegurid korrutustehtele. Need on tegurid, mis pole mõlemas avaldises läbi kriipsutatud, st tegurid, mis ei ole mõlema arvu jaoks ühised.

      • Näiteks väljendis 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ korda 2\ korda 5) Mõlemad kaks (2) on läbi kriipsutatud, kuna need on ühised tegurid. Koefitsient 5 ei ole läbi kriipsutatud, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5)
      • Väljenduses 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84 = 2 korda 7 korda 3 korda 2) mõlemad kahed (2) on samuti läbi kriipsutatud. Tegureid 7 ja 3 läbi ei kriipsutata, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3).

   6. Arvutage vähim ühiskordne. Selleks korrutage kirjutatud korrutustehtega arvud.

      • Näiteks, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3 = 420). Seega on 20 ja 84 vähim ühiskordne 420.

   Ühiste tegurite leidmine

   1. Joonistage ruudustik nagu tic-tac-toe mängu jaoks. Selline ruudustik koosneb kahest paralleelsest sirgest, mis ristuvad (täisnurga all) teise kahe paralleelse sirgega. See annab teile kolm rida ja kolm veergu (ruudustik sarnaneb ikooniga #). Kirjutage esimene number esimesse rida ja teise veergu. Kirjutage teine ​​number esimesse rida ja kolmandasse veergu.

      • Näiteks leidke arvude 18 ja 30 vähim ühiskordne. Esimesse ritta ja teise veergu kirjutage arv 18 ning esimesse ritta ja kolmandasse veergu arv 30.

   2. Leidke mõlema arvu ühine jagaja. Kirjutage see esimesse rida ja esimesse veergu. Parem on otsida esmaseid tegureid, kuid see pole nõue.

      • Näiteks 18 ja 30 on paarisarvud, nii et nad on ühine jagaja arv on 2. Kirjutage esimesse ritta ja esimesse veergu 2.

   3. Jagage iga arv esimese jagajaga. Kirjutage iga jagatis vastava numbri alla. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus.

      • Näiteks, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), seega kirjutage 9 alla 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), seega kirjutage 15 alla 30.

   4. Leidke mõlema jagatise ühine jagaja. Kui sellist jagajat pole, jätke järgmised kaks sammu vahele. Vastasel juhul kirjutage jagaja teise rida ja esimesse veergu.

      • Näiteks 9 ja 15 jaguvad 3-ga, seega kirjutage teise rida ja esimesse veergu 3.

   5. Jagage iga jagatis selle teise jagajaga. Kirjutage iga jagamise tulemus vastava jagatise alla.

      • Näiteks, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), seega kirjutage 3 alla 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), seega kirjutage 5 alla 15.

   6. Vajadusel lisage ruudustikule täiendavaid lahtreid. Korrake kirjeldatud samme, kuni jagatistel on ühine jagaja.

   7. Tõmmake ruudustiku esimeses veerus ja viimases reas olevatele numbritele ring ümber. Seejärel kirjutage valitud arvud korrutustehtena.

      • Näiteks numbrid 2 ja 3 on esimeses veerus ning numbrid 3 ja 5 on viimases reas, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5).

   8. Leidke arvude korrutamise tulemus. See arvutab kahe antud arvu väikseima ühiskordse.

      • Näiteks, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\kuvastiil 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5 = 90). Seega on 18 ja 30 vähim ühiskordne 90.

   Eukleidese algoritm

   1. Pidage meeles jagamise operatsiooniga seotud terminoloogiat. Dividend on arv, mida jagatakse. Jagaja on arv, millega jagatakse. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus. Jääk on arv, mis jääb kahe arvu jagamisel.

      • Näiteks väljendis 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 on dividend
        6 on jagaja
        2 on jagatis
        3 on ülejäänud osa.

Jätkame vestlust vähim ühiskordsest, mida alustasime jaotises “LCM – vähim ühiskordaja, määratlus, näited”. Selles teemas vaatleme viise, kuidas leida kolme või enama arvu LCM-i, ja käsitleme küsimust, kuidas leida negatiivse arvu LCM-i.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Least Common Multiple (LCM) arvutamine GCD kaudu

Oleme juba loonud seose vähima ühiskordaja ja suurima ühisjagaja vahel. Nüüd õpime, kuidas GCD abil LCM-i määrata. Esiteks mõtleme välja, kuidas seda teha positiivsed numbrid.

Definitsioon 1

Väikseima ühiskordaja leiate suurima ühisjagaja kaudu valemiga LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Näide 1

Peate leidma numbrite 126 ja 70 LCM-i.

Lahendus

Võtame a = 126, b = 70. Asendame väärtused vähima ühiskordse arvutamise valemis suurima ühisjagaja kaudu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Leiab arvude 70 ja 126 gcd. Selleks vajame eukleidilist algoritmi: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, seega GCD (126 , 70) = 14 .

Arvutame LCM-i: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Vastus: LCM(126; 70) = 630.

Näide 2

Leidke numbrid 68 ja 34.

Lahendus

GCD sisse sel juhul See pole keeruline, kuna 68 jagub 34-ga. Arvutame väikseima ühiskordse valemi abil: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Vastus: LCM(68; 34) = 68.

Selles näites kasutasime positiivsete täisarvude a ja b vähima ühiskordse leidmiseks reeglit: kui esimene arv jagub teisega, on nende arvude LCM võrdne esimese arvuga.

LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel

Vaatame nüüd LCM-i leidmise meetodit, mis põhineb arvude algteguriteks arvutamisel.

2. definitsioon

Vähima ühiskordaja leidmiseks peame tegema mitmeid lihtsaid samme:

• me koostame toote kõigist peamised tegurid numbrid, mille jaoks peame leidma LCM-i;
• me jätame nende tulemuseks olevatest toodetest välja kõik peamised tegurid;
• pärast ühiste algtegurite kõrvaldamist saadud korrutis on võrdne antud arvude LCM-iga.

See vähima ühiskordaja leidmise meetod põhineb võrdusel LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Kui vaadata valemit, siis selgub: arvude a ja b korrutis võrdub kõigi nende kahe arvu lagunemisel osalevate tegurite korrutisega. Sel juhul kahe numbri gcd võrdne tootega kõik algtegurid, mis esinevad üheaegselt antud kahe arvu faktorites.

Näide 3

Meil on kaks numbrit 75 ja 210. Saame neid arvutada järgmiselt: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Kui moodustate kahe algarvu kõigi tegurite korrutise, saate: 2 3 3 5 5 5 7.

Kui välistada mõlema arvu ühised tegurid 3 ja 5, saame korrutise järgmist tüüpi: 2 3 5 5 7 = 1050. Sellest tootest saab meie LCM numbrite 75 ja 210 jaoks.

Näide 4

Leidke numbrite LCM 441 Ja 700 , arvestades mõlemad arvud algteguriteks.

Lahendus

Leiame kõik tingimuses antud arvude algtegurid:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Saame kaks arvuahelat: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7.

Kõigi nende arvude lagunemisel osalenud tegurite korrutis on järgmine: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Leiame ühised tegurid. See on number 7. Jätame ta välja kogu toode: 2 2 3 3 5 5 7 7. Selgub, et NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus: LOC(441; 700) = 44 100.

Esitame veel ühe meetodi sõnastus LCM-i leidmiseks, jagades arvud algteguriteks.

3. määratlus

Varem jätsime mõlemale arvule ühiste tegurite koguarvust välja. Nüüd teeme seda teisiti:

• Kombineerime mõlemad arvud algteguriteks:
• liita esimese arvu algtegurite korrutisele teise arvu puuduvad tegurid;
• saame toote, mis on soovitud kahe numbri LCM.

Näide 5

Pöördume tagasi numbrite 75 ja 210 juurde, mille jaoks me juba ühes eelmises näites LCM-i otsisime. Jaotame need lihtsateks teguriteks: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Koefitsientide 3, 5 ja korrutisesse 5 numbrid 75 lisavad puuduvad tegurid 2 Ja 7 numbrid 210. Saame: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . See on numbrite 75 ja 210 LCM.

Näide 6

On vaja arvutada numbrite 84 ja 648 LCM.

Lahendus

Jaotame tingimuse arvud lihtsateks teguriteks: 84 = 2 2 3 7 Ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisame korrutisele tegurid 2, 2, 3 ja 7 numbrid 84 puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja
3 numbrid 648. Saame toote kätte 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. See on 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Vastus: LCM(84648) = 4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Sõltumata sellest, kui paljude arvudega me tegeleme, on meie toimingute algoritm alati sama: leiame järjestikku kahe arvu LCM-i. Selle juhtumi jaoks on olemas teoreem.

1. teoreem

Oletame, et meil on täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k need arvud leitakse, arvutades järjestikku m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Nüüd vaatame, kuidas saab teoreemi konkreetsete probleemide lahendamiseks rakendada.

Näide 7

Peate arvutama nelja arvu 140, 9, 54 ja vähima ühiskordse 250 .

Lahendus

Tutvustame tähistust: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Alustuseks arvutame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Arvude 140 ja 9 GCD arvutamiseks rakendame eukleidilist algoritmi: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Saame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Seetõttu m 2 = 1260.

Nüüd arvutame sama algoritmi abil m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Arvutuste käigus saame m 3 = 3 780.

Peame lihtsalt arvutama m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Me järgime sama algoritmi. Saame m 4 = 94 500.

Näidistingimuse nelja numbri LCM on 94500.

Vastus: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Nagu näete, on arvutused lihtsad, kuid üsna töömahukad. Aja säästmiseks võite minna muul viisil.

4. määratlus

Pakume teile järgmist toimingute algoritmi:

• lagundame kõik arvud algteguriteks;
• esimese arvu tegurite korrutisele liidame puuduvad tegurid teise arvu korrutisest;
• eelmises etapis saadud korrutisele lisame kolmanda arvu puuduvad tegurid jne;
• saadud korrutis on tingimuse kõigi arvude vähim ühiskordne.

Näide 8

Peate leidma viie numbri 84, 6, 48, 7, 143 LCM-i.

Lahendus

Korrigeerime kõik viis arvu algteguriteks: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Algarve, mis on arv 7, ei saa algtegurite hulka arvestada. Sellised arvud langevad kokku nende lagunemisega algteguriteks.

Nüüd võtame arvu 84 algtegurite 2, 2, 3 ja 7 korrutise ja liidame neile teise arvu puuduvad tegurid. Jagasime arvu 6 kaheks ja 3-ks. Need tegurid on juba esimese numbri korrutises. Seetõttu jätame need välja.

Jätkame puuduvate kordajate lisamist. Liigume edasi arvu 48 juurde, mille algtegurite korrutisest võtame 2 ja 2. Seejärel liidame neljanda arvu algteguri 7 ning viienda arvu tegurid 11 ja 13. Saame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. See on algse viie arvu väikseim ühiskordne.

Vastus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmine

Vähima ühiskordse leidmiseks negatiivsed arvud, tuleb need numbrid esmalt asendada numbritega vastupidine märk ja seejärel tehke arvutused ülaltoodud algoritmide abil.

Näide 9

LCM (54, -34) = LCM (54, 34) ja LCM (-622, -46, -54, -888) = LCM (622, -46,54,888).

Sellised toimingud on lubatavad, kuna me sellega nõustume a Ja − a- vastandarvud,
siis arvu kordsete hulk aühtib arvu kordsete hulgaga − a.

Näide 10

On vaja arvutada negatiivsete arvude LCM − 145 Ja − 45 .

Lahendus

Asendame numbrid − 145 Ja − 45 nende vastandarvudele 145 Ja 45 . Nüüd, kasutades algoritmi, arvutame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, olles eelnevalt määranud GCD eukleidilise algoritmi abil.

Saame, et arvude LCM on − 145 ja − 45 võrdub 1 305 .

Vastus: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Definitsioon. Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jagatakse ilma jäägita suurim ühisjagaja (GCD) need numbrid.

Leiame arvude 24 ja 35 suurima ühisjagaja.
24 jagajad on arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja 35 jagajad on arvud 1, 5, 7, 35.
Näeme, et arvudel 24 ja 35 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse vastastikku prime.

Definitsioon. Naturaalarvudeks nimetatakse vastastikku prime, kui nende suurim ühisjagaja (GCD) on 1.

Suurim ühine jagaja (GCD) võib leida ilma kõiki antud arvude jagajaid välja kirjutamata.

Arvestades arvud 48 ja 36, ​​saame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nendest arvudest esimese laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kriipsutame välja need, mida teise arvu laiendamine ei hõlma (st kaks kahelist).
Ülejäänud tegurid on 2 * 2 * 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja. Leitakse ka kolme või enama arvu suurim ühisjagaja.

Leidma suurim ühine jagaja

2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;
3) leida ülejäänud tegurite korrutis.

Kui kõik antud arvud jaguvad ühega neist, siis see arv on suurim ühine jagaja antud numbrid.
Näiteks arvude 15, 45, 75 ja 180 suurim ühisjagaja on arv 15, kuna kõik teised arvud jaguvad sellega: 45, 75 ja 180.

Vähim levinud kordne (LCM)

Definitsioon. Vähim levinud kordne (LCM) naturaalarvud a ja b on väikseim naturaalarv, mis on arvu a ja b kordne. Arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne (LCM) on leitav ilma nende arvude kordajaid järjest üles kirjutamata. Selleks arvutame 75 ja 60 algteguriteks: 75 = 3 * 5 * 5 ja 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Paneme kirja neist arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ning lisame neile teise arvu laiendist puuduvad tegurid 2 ja 2 (s.t. tegurid ühendame).
Saame viis tegurit 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mille korrutis on 300. See arv on arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne.

Samuti leiavad nad kolme või enama arvu vähima ühiskordse.

To leida vähim ühiskordne mitu naturaalarvu, vajate:
1) arvutada need algteguriteks;
2) pane kirja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid;
3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;
4) leida saadud tegurite korrutis.

Pange tähele, et kui üks neist arvudest jagub kõigi teiste arvudega, on see arv nende arvude vähim ühiskordne.
Näiteks arvude 12, 15, 20 ja 60 vähim ühiskordne on 60, kuna see jagub kõigi nende arvudega.

Pythagoras (VI sajand eKr) uuris koos õpilastega arvude jaguvuse küsimust. number, võrdne summaga Nad nimetasid kõiki selle jagajaid (ilma numbri endata) täiuslikuks arvuks. Näiteks numbrid 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) on täiuslikud. Järgmised täiuslikud arvud on 496, 8128, 33 550 336. Pythagoreanid teadsid ainult kolme esimest täiuslikku numbrit. Neljas – 8128 – sai tuntuks 1. sajandil. n. e. Viies – 33 550 336 – leiti 15. sajandil. 1983. aastaks oli teada juba 27 täiuslikku numbrit. Kuid teadlased ei tea ikka veel, kas on paarituid täiuslikke numbreid või kas on olemas suurim täiuslik arv.
Muistsete matemaatikute huvi algarvude vastu tuleneb asjaolust, et iga arv on kas algarv või seda saab esitada korrutisena algarvud, st algarvud on nagu tellised, millest on ehitatud ülejäänud naturaalarvud.
Tõenäoliselt märkasite, et naturaalarvude reas esinevad algarvud ebaühtlaselt - mõnes seeria osas on neid rohkem, teistes - vähem. Aga mida edasi me liigume numbriseeria, on vähem levinud algarvud. Tekib küsimus: kas on olemas viimane (suurim) algarv? Vana-Kreeka matemaatik Euclid (3. sajand eKr) tõestas oma raamatus “Elements”, mis oli matemaatika põhiõpik kaks tuhat aastat, et algarve on lõpmatult palju, s.t iga algarvu taga on veel suurem algarv. number.
Algarvude leidmiseks tuli selle meetodi välja teine ​​samaaegne Kreeka matemaatik Eratosthenes. Ta kirjutas üles kõik arvud 1-st mõne arvuni ja seejärel kriipsutas läbi ühe, mis ei ole alg- ega liitarv, ja seejärel kriipsutas läbi ühe kõik arvud, mis tulevad pärast 2 (arvud, mis on 2 kordsed, st 4, 6, 8 jne). Esimene järelejäänud arv pärast 2 oli 3. Seejärel tõmmati pärast kahte maha kõik numbrid, mis tulevad pärast 3 (arvud, mis olid 3-kordsed, st 6, 9, 12 jne). lõpuks jäid ristimata vaid algarvud.