Kui lihtne on leida kahe arvu ühisosa. Vähima ühiskordaja, nok is leidmise viisid ja kõik selgitused

Mõelge kolmele võimalusele vähima ühiskordse leidmiseks.

Faktooringuga leidmine

Esimene võimalus on leida vähim ühiskordne, arvutades antud arvud algteguriteks.

Oletame, et peame leidma arvude 99, 30 ja 28 LCM-i. Selleks jagame kõik need arvud algteguriteks:

Soovitud arvu jagumiseks 99, 30 ja 28-ga on vajalik ja piisav, et see hõlmaks kõiki nende jagajate algtegureid. Selleks peame võtma kõik nende arvude algtegurid suurima esinemisastmeni ja korrutama need kokku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Seega LCM (99, 30, 28) = 13 860. Ükski teine arv, mis on väiksem kui 13 860, ei jagu ühtlaselt 99, 30 või 28-ga.

Antud arvude vähima ühiskordse leidmiseks peate need jagama algteguriteks, seejärel võtma iga algteguri suurima eksponendiga, millega see esineb, ja korrutama need tegurid omavahel.

Kuna koalgarvudel pole ühist peamised tegurid, siis on nende vähim ühiskordne võrdne nende arvude korrutisega. Näiteks kolm arvu: 20, 49 ja 33 on algarvud. Niisiis

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Sama tuleks teha ka siis, kui otsitakse erinevate vähim ühiskorda algarvud. Näiteks LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Valiku järgi leidmine

Teine võimalus on leida sobitamise teel vähim ühiskordne.

Näide 1. Kui suurim antud arvudest jagub võrdselt teiste antud arvudega, siis nende arvude LCM on võrdne neist suuremaga. Näiteks antud neli arvu: 60, 30, 10 ja 6. Igaüks neist jagub 60-ga, seega:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Muudel juhtudel kasutatakse vähima ühiskordse leidmiseks järgmist protseduuri:

Määrake antud arvude hulgast suurim arv.
Järgmisena leidke arvud, mis on kordsed suurim arv, korrutades selle arvuga täisarvud kasvavas järjekorras ja kontrollides, kas ülejäänud antud arvud jaguvad saadud korrutisega.

Näide 2. Antud kolm arvu 24, 3 ja 18. Määrake neist suurim – see on arv 24. Järgmiseks leidke 24 kordsed, kontrollides, kas igaüks neist jagub 18 ja 3-ga:

24 1 = 24 jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.

24 2 = 48 - jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.

24 3 \u003d 72 - jagub 3 ja 18-ga.

Seega LCM(24, 3, 18) = 72.

Otsimine järjestikuse leidmise LCM abil

Kolmas viis on LCM-i järjestikuse leidmise teel leida vähim ühiskordne.

Kahe antud arvu LCM võrdub nende arvude korrutisega, mis on jagatud nende suurima ühisjagajaga.

Näide 1. Leidke kahe antud arvu LCM: 12 ja 8. Määrake nende suurim ühisjagaja: GCD (12, 8) = 4. Korrutage need arvud:

Jagame toote nende GCD-ks:

Seega LCM(12, 8) = 24.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmiseks kasutatakse järgmist protseduuri.

Esiteks leitakse mis tahes kahe antud numbri LCM.
Seejärel leitud vähima ühiskordaja ja kolmanda LCM antud number.
Seejärel saadud vähima ühiskordse ja neljanda arvu LCM jne.
Seega LCM-i otsing jätkub seni, kuni on numbreid.

Näide 2. Leidke LCM kolm andmeid numbrid: 12, 8 ja 9. Arvude 12 ja 8 LCM, mille leidsime juba eelmises näites (see on number 24). Jääb üle leida arvu 24 vähim ühiskordne ja kolmas antud arv - 9. Määrake nende suurim ühisjagaja: gcd (24, 9) = 3. Korrutage LCM arvuga 9:

Jagame toote nende GCD-ks:

Seega LCM(12, 8, 9) = 72.

Algebraliste murdude liitmisel ja lahutamisel koos erinevad nimetajad kõigepealt viivad murded ühine nimetaja. See tähendab, et nad leiavad sellise ühe nimetaja, mis jagatakse iga selle avaldise osaks oleva algebralise murru algse nimetajaga.

Nagu teate, kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (või jagada) sama arvuga, mis ei ole null, siis murdosa väärtus ei muutu. See on murdosa peamine omadus. Seega, kui murrud viivad ühise nimetajani, korrutatakse tegelikult iga murru algne nimetaja puuduva teguriga ühisnimetajaks. Sel juhul on vaja korrutada selle teguri ja murdosa lugejaga (see on iga murdosa puhul erinev).

Näiteks võttes arvesse järgmist algebraliste murdude summat:

On vaja avaldist lihtsustada, st lisada kaks algebralist murdu. Selleks on ennekõike vaja terminid-murrud taandada ühiseks nimetajaks. Esimene samm on leida monoom, mis jagub nii 3x kui ka 2y-ga. Sel juhul on soovitav, et see oleks väikseim, st leida vähim ühiskordaja (LCM) 3x ja 2y jaoks.

Numbriliste koefitsientide ja muutujate jaoks otsitakse LCM-i eraldi. LCM(3, 2) = 6 ja LCM(x, y) = xy. Lisaks korrutatakse leitud väärtused: 6xy.

Nüüd peame määrama, millise teguriga peame 6xy saamiseks 3x korrutama:
6xy ÷ 3x = 2a

See tähendab, et esimese algebralise murru taandamisel ühiseks nimetajaks tuleb selle lugeja korrutada 2y-ga (ühisnimetajaks taandamisel on nimetaja juba korrutatud). Samamoodi otsitakse teise murru lugeja tegurit. See võrdub 3x.

Seega saame:

Siis saab juba toimida nagu murdudega koos samad nimetajad: lisatakse lugejad ja nimetajasse kirjutatakse üks ühine:

Pärast teisendusi saadakse lihtsustatud avaldis, mis on üks algebraline murd, mis on kahe algse summa summa:

Algse avaldise algebralised murrud võivad sisaldada nimetajaid, mis on pigem polünoomid kui monomiaalid (nagu ülaltoodud näites). Sel juhul tuleb enne ühise nimetaja leidmist nimetajad koefitsiendiks (võimaluse korral). Lisaks kogutakse ühisosa erinevatest teguritest. Kui tegur on mitmes algnimetajas, siis võetakse see üks kord. Kui kordajal on erinevad kraadid algnimetajates, siis võetakse see suuremaga. Näiteks:

Siin saab polünoomi a 2 - b 2 esitada korrutisena (a - b)(a + b). Tegurit 2a – 2b laiendatakse kui 2(a – b). Seega on ühisnimetaja võrdne 2(a - b)(a + b).

Murdudega näidete lahendamiseks tuleb osata leida väikseim ühisosa. Allpool on üksikasjalik juhend.

Kuidas leida väikseim ühisosa – mõiste

Vähim ühine nimetaja (LCD) lihtsas mõttes on väikseim arv, mis jagub kõigi murdude nimetajatega see näide. Teisisõnu nimetatakse seda vähimaks tavaliseks mitmeks (LCM). NOZ-i kasutatakse ainult siis, kui murdude nimetajad on erinevad.

Kuidas leida väikseim ühisosa – näited

Vaatleme näiteid NOZ-i leidmiseks.

Arvuta: 3/5 + 2/15.

Lahendus (toimingute jada):

Vaatame murdude nimetajaid, jälgime, et need oleksid erinevad ja avaldisi vähendataks nii palju kui võimalik.
Leiame väiksem arv, mis jagub nii 5 kui ka 15-ga. See arv on 15. Seega 3/5 + 2/15 = ?/15.
Arvutasime nimetaja välja. Mis tuleb lugejasse? Täiendav kordaja aitab meil selle välja mõelda. Täiendav tegur on arv, mis saadakse NOZ-i jagamisel konkreetse murdosa nimetajaga. 3/5 puhul on lisategur 3, kuna 15/5 = 3. Teise murru puhul on lisategur 1, kuna 15/15 = 1.
Olles välja selgitanud lisateguri, korrutame selle murdude lugejatega ja liidame saadud väärtused. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Vastus: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Kui näites liidetakse või lahutatakse mitte 2, vaid 3 või enam murdu, siis tuleb NOZ-ist otsida nii palju murde, kui on antud.

Arvuta: 1/2 - 5/12 + 3/6

Lahendus (toimingute jada):

Väikseima ühisnimetaja leidmine. Minimaalne arv, mis jagub 2, 12 ja 6-ga, on 12.
Saame: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
Otsime lisakordajaid. 1/2 - 6 jaoks; 5/12 jaoks - 1; 3/6 - 2 jaoks.
Korrutame lugejatega ja omistame vastavad märgid: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Vastus: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Korrutamine "risti"

Ühine jagamise meetod

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Et mõista, kui suure võidu annab kõige vähem levinud mitmekordne meetod, proovige arvutada samad näited ristimeetodi abil.

Murdude ühisnimetaja

Muidugi ilma kalkulaatorita. Arvan, et pärast seda on kommentaarid üleliigsed.

Vaata ka:

Algselt tahtsin lisada ühise nimetaja meetodid lõiku "Murdude liitmine ja lahutamine". Kuid teavet oli nii palju ja selle tähtsus on nii suur (lõppude lõpuks mitte ainult numbrilised murrud), et parem on seda teemat eraldi uurida.

Oletame, et meil on kaks erineva nimetajaga murru. Ja me tahame tagada, et nimetajad muutuksid samaks. Appi tuleb murdosa põhiomadus, mis, lubage mul teile meelde tuletada, kõlab järgmiselt:

Murd ei muutu, kui selle lugeja ja nimetaja korrutada sama nullist erineva arvuga.

Seega, kui valite tegurid õigesti, on murdude nimetajad võrdsed - seda protsessi nimetatakse. Ja kutsutakse soovitud numbreid, "nivelleerides" nimetajaid.

Miks on vaja tuua murded ühise nimetaja juurde? Siin on vaid mõned põhjused.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine. Selle toimingu tegemiseks pole muud võimalust;
Murdarvude võrdlus. Mõnikord lihtsustab ühisnimetaja taandamine seda ülesannet oluliselt;
Probleemide lahendamine aktsiate ja protsentide osas. Protsendid on tegelikult tavalised avaldised, mis sisaldavad murde.

On mitmeid viise, kuidas leida numbreid, mis muudavad nimetajad korrutatuna võrdseks. Vaatleme neist ainult kolme - keerukuse ja teatud mõttes tõhususe suurenemise järjekorras.

Korrutamine "risti"

Lihtsaim ja usaldusväärseim viis, mis garanteeritult võrdsustab nimetajaid. Me tegutseme "eespool": korrutame esimese murru teise murru nimetajaga ja teise esimese murru nimetajaga. Selle tulemusel saavad mõlema murru nimetajad võrdne tootega algsed nimetajad. Vaata:

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Täiendavate teguritena võta arvesse naabermurdude nimetajaid. Saame:

Jah, see on nii lihtne. Kui alles hakkate murdude õppimist, on parem töötada selle meetodiga – nii kindlustate end paljude vigade vastu ja tulemusele on garanteeritud.

Ainus miinus seda meetodit- peate palju lugema, sest nimetajad korrutatakse "läbi" ja selle tulemusena võite saada väga suured numbrid. See on usaldusväärsuse hind.

Ühine jagamise meetod

See meetod aitab arvutusi oluliselt vähendada, kuid kahjuks kasutatakse seda harva. Meetod on järgmine:

Vaadake nimetajaid enne, kui lähete "läbi" (st "risti"). Võib-olla on üks neist (see, mis on suurem) teisega jagatav.
Sellisest jagamisest tulenev arv on väiksema nimetajaga murdosa puhul lisategur.
Samas pole suure nimetajaga murdosa vaja üldse mitte millegagi korrutada - see on kokkuhoid. Samal ajal väheneb järsult vea tõenäosus.

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kuna mõlemal juhul jagub üks nimetaja teisega ilma jäägita, siis rakendame ühistegurite meetodit. Meil on:

Pange tähele, et teist murru ei korrutatud üldse mitte millegagi. Tegelikult oleme arvutuste summa poole võrra vähendanud!

Muide, ma võtsin selle näite murde põhjusega. Kui olete huvitatud, proovige need loendamiseks kasutada ristimeetodit. Pärast vähendamist on vastused samad, kuid tööd on palju rohkem.

See on meetodi tugevus. ühised jagajad, kuid kordan, seda saab kasutada ainult siis, kui üks nimetajatest jagatakse teisega ilma jäägita. Mida juhtub üsna harva.

Kõige vähem levinud mitmekordne meetod

Kui taandame murde ühise nimetajani, püüame sisuliselt leida arvu, mis jagub iga nimetajaga. Seejärel toome selle arvuni mõlema murru nimetajad.

Selliseid arve on palju ja väikseim neist ei pruugi olla võrdne algsete murdude nimetajate otsekorrutisega, nagu eeldatakse "ristiviisilises" meetodis.

Näiteks nimetajate 8 ja 12 jaoks on arv 24 üsna sobiv, kuna 24: 8 = 3; 24:12 = 2. See arv on palju vähem toodet 8 12 = 96.

Väikseimat arvu, mis jagub iga nimetajaga, nimetatakse nende (LCM).

Tähistus: arvude a ja b vähim ühiskordne on tähistatud LCM(a; b). Näiteks LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Kui teil õnnestub selline arv leida, on arvutuste kogusumma minimaalne. Vaadake näiteid:

Kuidas leida väikseim ühisosa

Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 234 = 117 2; 351 = 117 3. Tegurid 2 ja 3 on kaasalgarvud (neil pole ühiseid jagajaid peale 1) ja tegur 117 on ühine. Seetõttu LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Samamoodi 15 = 5 3; 20 = 5 4. Tegurid 3 ja 4 on kaasalgarvud ja tegur 5 on tavaline. Seetõttu LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Toome nüüd murrud ühisnimetajateni:

Pange tähele, kui kasulikuks osutus esialgsete nimetajate faktoriseerimine:

Avastamine samad kordajad, jõudsime kohe vähima ühiskordseni, mis üldiselt on mittetriviaalne probleem;
Saadud laiendusest saate teada, millised tegurid on iga murdosa puhul "puuduvad". Näiteks 234 3 \u003d 702, seetõttu on esimese murru lisategur 3.

Ärge arvake, et need kompleksmurrud tegelikes näidetes mitte. Nad kohtuvad kogu aeg ja ülaltoodud ülesanded pole piiriks!

Ainus probleem on see, kuidas seda NOC-i leida. Mõnikord leitakse kõik mõne sekundiga, sõna otseses mõttes "silma järgi", kuid üldiselt on see keeruline arvutusprobleem, mis nõuab eraldi käsitlemist. Siin me seda ei puuduta.

Vaata ka:

Murdude viimine ühisele nimetajale

Algselt tahtsin lisada ühise nimetaja meetodid lõiku "Murdude liitmine ja lahutamine". Kuid teavet oli nii palju ja selle tähtsus on nii suur (lõppkokkuvõttes pole mitte ainult numbrilistel murdudel ühiseid nimetajaid), et parem on seda teemat eraldi uurida.

Oletame, et meil on kaks erineva nimetajaga murru. Ja me tahame tagada, et nimetajad muutuksid samaks. Appi tuleb murdosa põhiomadus, mis, lubage mul teile meelde tuletada, kõlab järgmiselt:

Murd ei muutu, kui selle lugeja ja nimetaja korrutada sama nullist erineva arvuga.

Seega, kui valite tegurid õigesti, on murdude nimetajad võrdsed - seda protsessi nimetatakse. Ja kutsutakse soovitud numbreid, "nivelleerides" nimetajaid.

Miks on vaja tuua murded ühise nimetaja juurde?

Ühine nimetaja, mõiste ja määratlus.

Siin on vaid mõned põhjused.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine. Selle toimingu tegemiseks pole muud võimalust;
Murdarvude võrdlus. Mõnikord lihtsustab ühisnimetaja taandamine seda ülesannet oluliselt;
Probleemide lahendamine aktsiate ja protsentide osas. Protsendid on tegelikult tavalised avaldised, mis sisaldavad murde.

On mitmeid viise, kuidas leida numbreid, mis muudavad nimetajad korrutatuna võrdseks. Vaatleme neist ainult kolme - keerukuse ja teatud mõttes tõhususe suurenemise järjekorras.

Korrutamine "risti"

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Täiendavate teguritena võta arvesse naabermurdude nimetajaid. Saame:

Jah, see on nii lihtne. Kui alles hakkate murdude õppimist, on parem töötada selle meetodiga – nii kindlustate end paljude vigade vastu ja tulemusele on garanteeritud.

Selle meetodi ainsaks puuduseks on see, et peate palju lugema, kuna nimetajad korrutatakse "ette" ja selle tulemusena on võimalik saada väga suuri numbreid. See on usaldusväärsuse hind.

Ühine jagamise meetod

See meetod aitab arvutusi oluliselt vähendada, kuid kahjuks kasutatakse seda harva. Meetod on järgmine:

Vaadake nimetajaid enne, kui lähete "läbi" (st "risti"). Võib-olla on üks neist (see, mis on suurem) teisega jagatav.
Sellisest jagamisest tulenev arv on väiksema nimetajaga murdosa puhul lisategur.
Samas pole suure nimetajaga murdosa vaja üldse mitte millegagi korrutada - see on kokkuhoid. Samal ajal väheneb järsult vea tõenäosus.

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kuna mõlemal juhul jagub üks nimetaja teisega ilma jäägita, siis rakendame ühistegurite meetodit. Meil on:

Pange tähele, et teist murru ei korrutatud üldse mitte millegagi. Tegelikult oleme arvutuste summa poole võrra vähendanud!

Muide, ma võtsin selle näite murde põhjusega. Kui olete huvitatud, proovige need loendamiseks kasutada ristimeetodit. Pärast vähendamist on vastused samad, kuid tööd on palju rohkem.

See on ühisjagajate meetodi tugevus, kuid jällegi saab seda rakendada ainult siis, kui üks nimetajatest jagatakse teisega ilma jäägita. Mida juhtub üsna harva.

Kõige vähem levinud mitmekordne meetod

Kui taandame murde ühise nimetajani, püüame sisuliselt leida arvu, mis jagub iga nimetajaga. Seejärel toome selle arvuni mõlema murru nimetajad.

Selliseid arve on palju ja väikseim neist ei pruugi olla võrdne algsete murdude nimetajate otsekorrutisega, nagu eeldatakse "ristiviisilises" meetodis.

Näiteks nimetajate 8 ja 12 jaoks on arv 24 üsna sobiv, kuna 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. See arv on palju väiksem kui korrutis 8 12 = 96.

Väikseimat arvu, mis jagub iga nimetajaga, nimetatakse nende (LCM).

Tähistus: arvude a ja b vähim ühiskordne on tähistatud LCM(a; b). Näiteks LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Kui teil õnnestub selline arv leida, on arvutuste kogusumma minimaalne. Vaadake näiteid:

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 234 = 117 2; 351 = 117 3. Tegurid 2 ja 3 on kaasalgarvud (neil pole ühiseid jagajaid peale 1) ja tegur 117 on ühine. Seetõttu LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Samamoodi 15 = 5 3; 20 = 5 4. Tegurid 3 ja 4 on kaasalgarvud ja tegur 5 on tavaline. Seetõttu LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Toome nüüd murrud ühisnimetajateni:

Pange tähele, kui kasulikuks osutus esialgsete nimetajate faktoriseerimine:

Olles leidnud samad tegurid, jõudsime kohe vähima ühiskordajani, mis üldiselt on mittetriviaalne probleem;
Saadud laiendusest saate teada, millised tegurid on iga murdosa puhul "puuduvad". Näiteks 234 3 \u003d 702, seetõttu on esimese murru lisategur 3.

Et mõista, kui suure võidu annab kõige vähem levinud mitmekordne meetod, proovige arvutada samad näited ristimeetodi abil. Muidugi ilma kalkulaatorita. Arvan, et pärast seda on kommentaarid üleliigsed.

Ärge arvake, et selliseid keerulisi murde reaalsetes näidetes pole. Nad kohtuvad kogu aeg ja ülaltoodud ülesanded pole piiriks!

Vaata ka:

Murdude viimine ühisele nimetajale

Oletame, et meil on kaks erineva nimetajaga murru. Ja me tahame tagada, et nimetajad muutuksid samaks. Appi tuleb murdosa põhiomadus, mis, lubage mul teile meelde tuletada, kõlab järgmiselt:

Murd ei muutu, kui selle lugeja ja nimetaja korrutada sama nullist erineva arvuga.

Seega, kui valite tegurid õigesti, on murdude nimetajad võrdsed - seda protsessi nimetatakse. Ja kutsutakse soovitud numbreid, "nivelleerides" nimetajaid.

Miks on vaja tuua murded ühise nimetaja juurde? Siin on vaid mõned põhjused.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine. Selle toimingu tegemiseks pole muud võimalust;
Murdarvude võrdlus. Mõnikord lihtsustab ühisnimetaja taandamine seda ülesannet oluliselt;
Probleemide lahendamine aktsiate ja protsentide osas. Protsendid on tegelikult tavalised avaldised, mis sisaldavad murde.

On mitmeid viise, kuidas leida numbreid, mis muudavad nimetajad korrutatuna võrdseks. Vaatleme neist ainult kolme - keerukuse ja teatud mõttes tõhususe suurenemise järjekorras.

Korrutamine "risti"

Vaata:

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Täiendavate teguritena võta arvesse naabermurdude nimetajaid. Saame:

Jah, see on nii lihtne. Kui alles hakkate murdude õppimist, on parem töötada selle meetodiga – nii kindlustate end paljude vigade vastu ja tulemusele on garanteeritud.

Selle meetodi ainsaks puuduseks on see, et peate palju lugema, kuna nimetajad korrutatakse "ette" ja selle tulemusena on võimalik saada väga suuri numbreid. See on usaldusväärsuse hind.

Ühine jagamise meetod

See meetod aitab arvutusi oluliselt vähendada, kuid kahjuks kasutatakse seda harva. Meetod on järgmine:

Vaadake nimetajaid enne, kui lähete "läbi" (st "risti"). Võib-olla on üks neist (see, mis on suurem) teisega jagatav.
Sellisest jagamisest tulenev arv on väiksema nimetajaga murdosa puhul lisategur.
Samas pole suure nimetajaga murdosa vaja üldse mitte millegagi korrutada - see on kokkuhoid. Samal ajal väheneb järsult vea tõenäosus.

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kuna mõlemal juhul jagub üks nimetaja teisega ilma jäägita, siis rakendame ühistegurite meetodit. Meil on:

Pange tähele, et teist murru ei korrutatud üldse mitte millegagi. Tegelikult oleme arvutuste summa poole võrra vähendanud!

Muide, ma võtsin selle näite murde põhjusega. Kui olete huvitatud, proovige need loendamiseks kasutada ristimeetodit. Pärast vähendamist on vastused samad, kuid tööd on palju rohkem.

See on ühisjagajate meetodi tugevus, kuid jällegi saab seda rakendada ainult siis, kui üks nimetajatest jagatakse teisega ilma jäägita. Mida juhtub üsna harva.

Kõige vähem levinud mitmekordne meetod

Kui taandame murde ühise nimetajani, püüame sisuliselt leida arvu, mis jagub iga nimetajaga. Seejärel toome selle arvuni mõlema murru nimetajad.

Selliseid arve on palju ja väikseim neist ei pruugi olla võrdne algsete murdude nimetajate otsekorrutisega, nagu eeldatakse "ristiviisilises" meetodis.

Näiteks nimetajate 8 ja 12 jaoks on arv 24 üsna sobiv, kuna 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. See arv on palju väiksem kui korrutis 8 12 = 96.

Väikseimat arvu, mis jagub iga nimetajaga, nimetatakse nende (LCM).

Tähistus: arvude a ja b vähim ühiskordne on tähistatud LCM(a; b). Näiteks LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Kui teil õnnestub selline arv leida, on arvutuste kogusumma minimaalne. Vaadake näiteid:

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 234 = 117 2; 351 = 117 3. Tegurid 2 ja 3 on kaasalgarvud (neil pole ühiseid jagajaid peale 1) ja tegur 117 on ühine. Seetõttu LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Samamoodi 15 = 5 3; 20 = 5 4. Tegurid 3 ja 4 on kaasalgarvud ja tegur 5 on tavaline. Seetõttu LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Toome nüüd murrud ühisnimetajateni:

Pange tähele, kui kasulikuks osutus esialgsete nimetajate faktoriseerimine:

Olles leidnud samad tegurid, jõudsime kohe vähima ühiskordajani, mis üldiselt on mittetriviaalne probleem;
Saadud laiendusest saate teada, millised tegurid on iga murdosa puhul "puuduvad". Näiteks 234 3 \u003d 702, seetõttu on esimese murru lisategur 3.

Ärge arvake, et selliseid keerulisi murde reaalsetes näidetes pole. Nad kohtuvad kogu aeg ja ülaltoodud ülesanded pole piiriks!

Vaata ka:

Murdude viimine ühisele nimetajale

Oletame, et meil on kaks erineva nimetajaga murru. Ja me tahame tagada, et nimetajad muutuksid samaks. Appi tuleb murdosa põhiomadus, mis, lubage mul teile meelde tuletada, kõlab järgmiselt:

Murd ei muutu, kui selle lugeja ja nimetaja korrutada sama nullist erineva arvuga.

Seega, kui valite tegurid õigesti, on murdude nimetajad võrdsed - seda protsessi nimetatakse. Ja kutsutakse soovitud numbreid, "nivelleerides" nimetajaid.

Miks on vaja tuua murded ühise nimetaja juurde? Siin on vaid mõned põhjused.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine. Selle toimingu tegemiseks pole muud võimalust;
Murdarvude võrdlus. Mõnikord lihtsustab ühisnimetaja taandamine seda ülesannet oluliselt;
Probleemide lahendamine aktsiate ja protsentide osas. Protsendid on tegelikult tavalised avaldised, mis sisaldavad murde.

On mitmeid viise, kuidas leida numbreid, mis muudavad nimetajad korrutatuna võrdseks. Vaatleme neist ainult kolme - keerukuse ja teatud mõttes tõhususe suurenemise järjekorras.

Korrutamine "risti"

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Täiendavate teguritena võta arvesse naabermurdude nimetajaid. Saame:

Jah, see on nii lihtne. Kui alles hakkate murdude õppimist, on parem töötada selle meetodiga – nii kindlustate end paljude vigade vastu ja tulemusele on garanteeritud.

Selle meetodi ainsaks puuduseks on see, et peate palju lugema, kuna nimetajad korrutatakse "ette" ja selle tulemusena on võimalik saada väga suuri numbreid.

Murdude viimine ühisele nimetajale

See on usaldusväärsuse hind.

Ühine jagamise meetod

See meetod aitab arvutusi oluliselt vähendada, kuid kahjuks kasutatakse seda harva. Meetod on järgmine:

Vaadake nimetajaid enne, kui lähete "läbi" (st "risti"). Võib-olla on üks neist (see, mis on suurem) teisega jagatav.
Sellisest jagamisest tulenev arv on väiksema nimetajaga murdosa puhul lisategur.
Samas pole suure nimetajaga murdosa vaja üldse mitte millegagi korrutada - see on kokkuhoid. Samal ajal väheneb järsult vea tõenäosus.

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kuna mõlemal juhul jagub üks nimetaja teisega ilma jäägita, siis rakendame ühistegurite meetodit. Meil on:

Pange tähele, et teist murru ei korrutatud üldse mitte millegagi. Tegelikult oleme arvutuste summa poole võrra vähendanud!

Muide, ma võtsin selle näite murde põhjusega. Kui olete huvitatud, proovige need loendamiseks kasutada ristimeetodit. Pärast vähendamist on vastused samad, kuid tööd on palju rohkem.

See on ühisjagajate meetodi tugevus, kuid jällegi saab seda rakendada ainult siis, kui üks nimetajatest jagatakse teisega ilma jäägita. Mida juhtub üsna harva.

Kõige vähem levinud mitmekordne meetod

Kui taandame murde ühise nimetajani, püüame sisuliselt leida arvu, mis jagub iga nimetajaga. Seejärel toome selle arvuni mõlema murru nimetajad.

Selliseid arve on palju ja väikseim neist ei pruugi olla võrdne algsete murdude nimetajate otsekorrutisega, nagu eeldatakse "ristiviisilises" meetodis.

Näiteks nimetajate 8 ja 12 jaoks on arv 24 üsna sobiv, kuna 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. See arv on palju väiksem kui korrutis 8 12 = 96.

Väikseimat arvu, mis jagub iga nimetajaga, nimetatakse nende (LCM).

Tähistus: arvude a ja b vähim ühiskordne on tähistatud LCM(a; b). Näiteks LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Kui teil õnnestub selline arv leida, on arvutuste kogusumma minimaalne. Vaadake näiteid:

Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:

Pange tähele, et 234 = 117 2; 351 = 117 3. Tegurid 2 ja 3 on kaasalgarvud (neil pole ühiseid jagajaid peale 1) ja tegur 117 on ühine. Seetõttu LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Samamoodi 15 = 5 3; 20 = 5 4. Tegurid 3 ja 4 on kaasalgarvud ja tegur 5 on tavaline. Seetõttu LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Toome nüüd murrud ühisnimetajateni:

Pange tähele, kui kasulikuks osutus esialgsete nimetajate faktoriseerimine:

Olles leidnud samad tegurid, jõudsime kohe vähima ühiskordajani, mis üldiselt on mittetriviaalne probleem;
Saadud laiendusest saate teada, millised tegurid on iga murdosa puhul "puuduvad". Näiteks 234 3 \u003d 702, seetõttu on esimese murru lisategur 3.

Ärge arvake, et selliseid keerulisi murde reaalsetes näidetes pole. Nad kohtuvad kogu aeg ja ülaltoodud ülesanded pole piiriks!

Murdude viimiseks väikseima ühisnimetajani peate: 1) leidma nende murdude nimetajate väikseima ühiskordse, see on väikseim ühisnimetaja. 2) leida igale murrule lisategur, mille puhul jagame uue nimetaja iga murru nimetajaga. 3) korrutada iga murru lugeja ja nimetaja selle lisateguriga.

Näited. Vähendage järgmised murrud väikseima ühisnimetajani.

Leiame nimetajate väikseima ühiskordse: LCM(5; 4) = 20, kuna 20 on väikseim arv, mis jagub nii 5 kui ka 4-ga. Leiame 1. murru jaoks lisateguri 4 (20) : 5=4). Teise murru puhul on lisakordaja 5 (20 : 4=5). Korrutame 1. murru lugeja ja nimetaja 4-ga ning 2. murru lugeja ja nimetaja 5-ga. Vähendasime need murrud väikseima ühisnimetajani ( 20 ).

Nende murdude väikseim ühisnimetaja on 8, kuna 8 jagub 4-ga ja iseendaga. Esimesele murdosale (või võite öelda, et see on) täiendavat kordajat ei lisandu võrdne ühega), on 2. murru lisategur 2 (8 : 4=2). Korrutame 2. murru lugeja ja nimetaja 2-ga. Vähendasime need murrud väikseima ühisnimetajani ( 8 ).

Need fraktsioonid ei ole taandamatud.

Vähendame esimest murru 4 võrra ja teist murru 2 võrra. ( vaata näiteid lühendite kohta harilikud murrud: Saidiplaan → 5.4.2. Näited harilike murdude redutseerimisest). Leidke LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. 1. murru lisakordaja on 5 (80 : 16=5). 2. murru lisakordaja on 4 (80 : 20=4). Korrutame 1. murru lugeja ja nimetaja 5-ga ning 2. murru lugeja ja nimetaja 4-ga. Vähendasime need murrud väikseima ühisnimetajani ( 80 ).

Leidke NOC(5 ; 6 ja 15) = LCM(5 ; 6 ja 15) = 30. 1. murru täiendav kordaja on 6 (30 : 5=6), on 2. murru täiendav kordaja 5 (30 : 6=5), on 3. murru lisakordistaja 2 (30 : 15=2). Korrutame 1. murru lugeja ja nimetaja 6-ga, 2. murru lugeja ja nimetaja 5-ga, 3. murru lugeja ja nimetaja 2-ga. Vähendasime need murrud väikseima ühisnimetajani ( 30 ).

Lehekülg 1/1 1