Tõesta, et vektorid on lineaarselt sõltumatud. Vektorite lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus

Vektorid, nende omadused ja tegevused nendega

Vektorid, toimingud vektoritega, lineaarne vektorruum.

Vektorid on piiratud arvu reaalarvude järjestatud kogum.

Toimingud: 1. Vektori korrutamine arvuga: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Vektorite liitmine (kuuluvad samasse vektorruumi) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-mõõtmeline (lineaarruum) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teoreem. Selleks, et n-st vektorist koosnev süsteem, n-mõõtmeline lineaarruum, oleks lineaarselt sõltuv, on vajalik ja piisav, et üks vektoritest oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

Teoreem. Nähtuste n-mõõtmelise lineaarruumi n+ 1. vektorite hulk. lineaarselt sõltuv.

Vektorite liitmine, vektorite korrutamine arvudega. Vektorite lahutamine.

Kahe vektori summa on vektor, mis on suunatud vektori algusest vektori lõpuni, eeldusel, et algus langeb kokku vektori lõpuga. Kui vektorid on antud nende laiendustega baasühikvektorites, siis vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad koordinaadid.

Vaatleme seda Descartes'i koordinaatsüsteemi näitel. Lase

Näitame seda

Jooniselt 3 on selge, et

Summa mis tahes lõplik arv vektoreid saab leida hulknurga reegli abil (joonis 4): lõpliku arvu vektorite summa konstrueerimiseks piisab, kui ühendada iga järgneva vektori algus eelmise lõpuga ja koostada algust ühendav vektor esimesest vektorist koos viimase lõpuga.

Vektorite liitmise operatsiooni omadused:

Nendes avaldistes on m, n arvud.

Vektorite erinevust nimetatakse vektoriks. Teine liige on vektorile vastandsuunaline, kuid pikkuselt võrdne vektor.

Seega asendatakse vektorite lahutamise tehe liitmistehtega

Vektorit, mille algus on alguspunktis ja lõpp punktis A (x1, y1, z1), nimetatakse punkti A raadiusvektoriks ja seda tähistatakse lihtsalt. Kuna selle koordinaadid langevad kokku punkti A koordinaatidega, on selle laiendus ühikvektorites kujul

Vektori, mis algab punktis A(x1, y1, z1) ja lõpeb punktis B(x2, y2, z2), saab kirjutada järgmiselt

kus r 2 on punkti B raadiuse vektor; r 1 - punkti A raadiuse vektor.

Seetõttu on vektori laienemisel ühikvektorites vorm

Selle pikkus võrdub punktide A ja B vahelise kaugusega

KORRUTAMINE

Nii et juhul lennuki probleem vektori korrutis a = (ax; ay) arvuga b leitakse valemiga

a b = (ax b; ay b)

Näide 1. Leia vektori a = (1; 2) korrutis 3-ga.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Nii et juhul ruumiline probleem vektori a = (ax; ay; az) korrutis arvuga b leitakse valemiga

a b = (ax b; ay b; az b)

Näide 1. Leia vektori a = (1; 2; -5) korrutis 2-ga.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektorite punktkorrutis ja kus on nurk vektorite ja ; kui kumbagi, siis

Skalaarkorrutise definitsioonist järeldub, et

kus on näiteks vektori projektsiooni suurus vektori suunas.

Skalaarne ruudu vektor:

Punkttoote omadused:

Punktkorrutis koordinaatides

Kui See

Nurk vektorite vahel

Nurk vektorite vahel – nurk nende vektorite suundade vahel (väikseim nurk).

Ristkorrutis (Kahe vektori ristkorrutis.) - see on pseudovektor, tasapinnaga risti, mis on konstrueeritud kahest tegurist, mis on kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite binaartehte "vektori korrutamine" tulemus. Korrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne (see on antikommutatiivne) ja erineb vektorite punktkorrutisest. Paljude inseneri- ja füüsikaprobleemide puhul peate suutma konstrueerida vektori, mis on risti kahe olemasolevaga – vektorkorrutis annab selle võimaluse. Ristkorrutis on kasulik vektorite perpendikulaarsuse "mõõtmiseks" - kahe vektori ristkorrutise pikkus võrdub nende pikkuste korrutisega, kui need on risti, ja väheneb nullini, kui vektorid on paralleelsed või antiparalleelsed.

Ristkorrutis on määratletud ainult kolmemõõtmelistes ja seitsmemõõtmelistes ruumides. Vektorkorrutise tulemus, nagu ka skalaarkorrutis, sõltub eukleidilise ruumi meetrikast.

Erinevalt punktkorrutisvektorite koordinaatide arvutamise valemist kolmemõõtmelises ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sõltub ristkorrutise valem orientatsioonist ristkülikukujuline süsteem koordinaadid või teisisõnu selle "kiraalsus"

Vektorite kollineaarsus.

Kahte nullist erinevat (mitte 0-ga) vektorit nimetatakse kollineaarseks, kui need asuvad paralleelsel sirgel või samal sirgel. Vastuvõetav, kuid mitte soovitatav sünonüüm on "paralleelvektorid". Kollineaarsed vektorid võivad olla samasuunalised ("kaassuunalised") või vastupidised (sisse viimasel juhul neid nimetatakse mõnikord "antikollineaarseteks" või "antiparalleelseteks").

vektorite segakorrutis( a, b, c)- vektori a skalaarkorrutis ning vektorite b ja c vektorkorrutis:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

mõnikord nimetatakse kolmekordseks skalaarkorrutis vektorid, mis on tõenäoliselt tingitud asjaolust, et tulemuseks on skalaar (täpsemalt pseudoskalaar).

Geomeetriline tähendus: segakorrutise moodul on arvuliselt võrdne vektorite moodustatud rööptahuka ruumalaga (a,b,c) .

Omadused

Segatoode on kaldsümmeetriline kõigi oma argumentide suhtes: st. e. kahe teguri ümberkorraldamine muudab toote märki. Sellest järeldub, et segatoode paremal Descartes'i süsteem koordinaadid (ortonormaalsel alusel) on võrdne maatriksi determinandiga, mis koosneb vektoritest ja:

Segakorrutis vasakpoolses Descartes'i koordinaatsüsteemis (ortonormaalses aluses) on võrdne vektoritest koosneva maatriksi determinandiga ja miinusmärgiga:

Eelkõige

Kui mis tahes kaks vektorit on paralleelsed, moodustavad nad mis tahes kolmanda vektoriga segatud korrutise, mis on võrdne nulliga.

Kui kolm vektorit on lineaarselt sõltuvad (st samatasandilised, asuvad samal tasapinnal), siis on nende segakorrutis võrdne nulliga.

Geomeetriline tunnetus – segatoode poolt absoluutväärtus võrdne vektoritega ja moodustatud rööptahuka ruumalaga (vt joonist); märk sõltub sellest, kas see vektorite kolmik on parem- või vasakukäeline.

Vektorite koplanaarsus.

Kolm vektorit (või suurem arv) nimetatakse koplanaarseteks, kui neid taandatakse üldine algus, lamavad samas tasapinnas

Koplanaarsuse omadused

Kui vähemalt üks kolm vektorit- null, siis loetakse kolm vektorit ka tasapinnalisteks.

Kollineaarsete vektorite paari sisaldav vektorite kolmik on koplanaarne.

Koplanaarsete vektorite segakorrutis. See on kolme vektori samatasandilisuse kriteerium.

Koplanaarsed vektorid on lineaarselt sõltuvad. See on ka koplanaarsuse kriteerium.

3-mõõtmelises ruumis moodustavad 3 mittetasapinnalist vektorit

Lineaarselt sõltuvad ja lineaarselt sõltumatud vektorid.

Lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorsüsteemid.Definitsioon. Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui nende vektorite mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga. Vastasel juhul, st. kui ainult antud vektorite triviaalne lineaarne kombinatsioon võrdub nullvektoriga, kutsutakse vektoreid lineaarselt sõltumatu.

Teoreem (lineaarse sõltuvuse kriteerium). Selleks, et vektorite süsteem lineaarses ruumis oleks lineaarselt sõltuv, on vajalik ja piisav, et vähemalt üks neist vektoritest oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

1) Kui vektorite hulgas on vähemalt üks nullvektor, siis on kogu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Tegelikult, kui näiteks , siis, eeldades , on meil mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon .▲

2) Kui vektorite hulgas moodustuvad mõned lineaarselt sõltuv süsteem, siis on kogu süsteem lineaarselt sõltuv.

Tõepoolest, olgu vektorid , , lineaarselt sõltuvad. See tähendab, et on olemas mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga. Aga siis, eeldades , saame ka mittetriviaalse lineaarse kombinatsiooni, mis on võrdne nullvektoriga.

2. Alus ja mõõde. Definitsioon. Lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem vektorruum helistas alusel sellest ruumist, kui suvalist vektorit saab esitada selle süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina, st. iga vektori jaoks on olemas reaalarvud selline, et võrdsus kehtib vektori lagunemine vastavalt alusele ja numbritele kutsutakse vektori koordinaadid aluse suhtes(või alusel) .

Teoreem (laienduse unikaalsuse kohta aluse suhtes). Iga ruumi vektorit saab laiendada baasiks ainsal viisil, st. iga baasi vektori koordinaadid määratakse üheselt.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Lahendus. otsib üldine lahendus võrrandisüsteemid

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussi meetod. Selleks kirjutame selle homogeense süsteemi koordinaatidesse:

Süsteemi maatriks

Lubatud süsteemil on vorm: (r A = 2, n= 3). Süsteem on koostööaldis ja ebakindel. Selle üldine lahendus ( x 2 – vaba muutuja): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Näiteks nullist erineva konkreetse lahenduse olemasolu näitab, et vektorid a 1 , a 2 , a 3 lineaarselt sõltuv.

Näide 2.

Uurige, kas see süsteem lineaarselt sõltuvad või lineaarselt sõltumatud vektorid:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Lahendus. Vaatleme homogeenset võrrandisüsteemi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

või laiendatud kujul (koordinaatide järgi)

Süsteem on homogeenne. Kui see pole degenereerunud, on sellel ainulaadne lahendus. Juhul homogeenne süsteem– null (triviaalne) lahendus. See tähendab, et antud juhul on vektorite süsteem sõltumatu. Kui süsteem on degenereerunud, siis on sellel nullist erinevad lahendused ja seetõttu on see sõltuv.

Kontrollime süsteemi degeneratsiooni suhtes:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Süsteem on mittedegenereerunud ja seega ka vektorid a 1 , a 2 , a 3 lineaarselt sõltumatu.

Ülesanded. Uurige, kas antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv või lineaarselt sõltumatu:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Tõesta, et vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see sisaldab:

a) kaks võrdne vektor;

b) kaks võrdelist vektorit.

Et kontrollida, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, tuleb koostada nendest vektoritest lineaarne kombinatsioon ja kontrollida, kas see võib olla null, kui vähemalt üks koefitsient on võrdne nulliga.

Juhtum 1. Vektorite süsteem on antud vektoritega

Lineaarse kombinatsiooni tegemine

Oleme saanud homogeense võrrandisüsteemi. Kui sellel on nullist erinev lahendus, peab determinant olema võrdne nulliga. Koostame determinandi ja leiame selle väärtuse.

Determinant on null, seetõttu on vektorid lineaarselt sõltuvad.

Juhtum 2. Vektorite süsteemi määratlevad analüütilised funktsioonid:

a)
, kui identiteet on tõene, siis on süsteem lineaarselt sõltuv.

Teeme lineaarse kombinatsiooni.

Tuleb kontrollida, kas on olemas a, b, c (millest vähemalt üks ei ole võrdne nulliga), mille puhul see avaldis on võrdne nulliga.

Kirjutame hüperboolsed funktsioonid

,
, Siis

siis on vektorite lineaarne kombinatsioon järgmine:

Kus
, võtame näiteks, siis lineaarne kombinatsioon on null, seega on süsteem lineaarselt sõltuv.

Vastus: süsteem on lineaarselt sõltuv.

b)
, teeme lineaarse kombinatsiooni

Lineaarne vektorite kombinatsioon peab x mis tahes väärtuste korral olema võrdne nulliga.

Kontrollime erijuhtumeid.

Lineaarne vektorite kombinatsioon on võrdne nulliga ainult siis, kui kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga.

Seetõttu on süsteem lineaarselt sõltumatu.

Vastus: süsteem on lineaarselt sõltumatu.

5.3. Leidke mingi alus ja määrake lineaarse lahendusruumi mõõde.

Moodustame laiendatud maatriksi ja taandame selle Gaussi meetodil trapetsi kujule.

Aluse saamiseks asendame suvalised väärtused:

Võtame ülejäänud koordinaadid

Vastus:

5.4. Leia vektori X koordinaadid baasis, kui see on baasis antud.

Vektori koordinaatide leidmine uues baasis taandub võrrandisüsteemi lahendamisele

1. meetod. Otsimine üleminekumaatriksi abil

Loome üleminekumaatriksi

Leiame valemi abil uues baasis vektori

Leiame pöördmaatriksi ja sooritame korrutamise

2. meetod. Leidmine võrrandisüsteemi koostamise teel.

Koostame baaskoefitsientidest baasvektorid

,
,

Vektori leidmisel uues baasis on vorm

, Kus d See antud vektor x.

Saadud võrrandit saab lahendada mis tahes viisil, vastus on sarnane.

Vastus: vektor uues baasis
.

5.5. Olgu x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . Kas järgmised teisendused on lineaarsed?

Koostame etteantud vektorite kordajatest lineaaroperaatorite maatriksid.

Kontrollime iga lineaarse operaatori maatriksi lineaartehte omadust.

Vasaku poole leiame maatriksi korrutamisega A vektorile

Õige külje leiame, korrutades antud vektori skalaariga
.

Me näeme seda
See tähendab, et teisendus ei ole lineaarne.

Kontrollime teisi vektoreid.

, teisendus ei ole lineaarne.

, teisendus on lineaarne.

Vastus: Oh- Mitte lineaarne teisendus, sisse- mitte lineaarne, Cx- lineaarne.

Märkus. Antud vektoreid hoolikalt vaadates saate seda ülesannet palju lihtsamalt täita. IN Oh näeme, et on termineid, mis ei sisalda elemente X, mida ei saanud lineaarse operatsiooni tulemusena saada. IN sisse element on olemas X kolmandale astmele, mida samuti ei saanud vektoriga korrutades saada X.

5.6. Antud x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Ax = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Tehke määratud toiming: ( A ( B – A )) x .

Kirjutame üles lineaaroperaatorite maatriksid.

Teeme maatriksitega tehte

Korrutades saadud maatriksi X-ga, saame

Vastus:

Ülesanne 1. Uurige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu. Vektorite süsteemi täpsustab süsteemi maatriks, mille veerud koosnevad vektorite koordinaatidest.

Lahendus. Laske lineaarne kombinatsioon võrdne nulliga. Kirjutades selle võrdsuse koordinaatidesse, saame järgmine süsteem võrrandid:

Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse kolmnurkseks. Tal on ainult üks lahendus . Seetõttu vektorid lineaarselt sõltumatu.

2. ülesanne. Uurige, kas see on lineaarne sõltumatu süsteem vektorid.

Lahendus. Vektorid lineaarselt sõltumatu (vt ülesanne 1). Tõestame, et vektor on vektorite lineaarne kombinatsioon . Vektori laienduskoefitsiendid määratakse võrrandisüsteemist

Sellel süsteemil, nagu ka kolmnurksel, on ainulaadne lahendus.

Seetõttu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Kommenteeri. Nimetatakse sama tüüpi maatrikseid nagu ülesandes 1 kolmnurkne ja ülesandes 2 – astmeline kolmnurkne . Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse küsimus on kergesti lahendatav, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev maatriks on astmeline kolmnurkne. Kui maatriksil pole eritüüp, seejärel kasutades elementaarsed stringide teisendused , säilitades veergudevahelised lineaarsed suhted, saab selle taandada astmelise kolmnurkse vormini.

Elementaarsed teisendused read maatriksites (EPS) nimetatakse maatriksiga järgmisi tehteid:

1) liinide ümberpaigutamine;

2) stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

3) stringile teise stringi lisamine, mis on korrutatud suvalise arvuga.

3. ülesanne. Leidke maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem ja arvutage vektorite süsteemi järk

Lahendus. Taandagem EPS-i kasutava süsteemi maatriks astmelisele kolmnurksele kujule. Protseduuri selgitamiseks tähistame joont teisendatava maatriksi numbriga sümboliga . Noole järel olev veerg tähistab teisendatava maatriksi ridadega seotud toiminguid, mis tuleb teha uue maatriksi ridade saamiseks.

Ilmselt on saadud maatriksi kaks esimest veergu lineaarselt sõltumatud, kolmas veerg on nende lineaarne kombinatsioon ja neljas ei sõltu kahest esimesest. Vektorid nimetatakse põhilisteks. Need moodustavad süsteemi maksimaalse lineaarselt sõltumatu alamsüsteemi , ja süsteemi auaste on kolm.

Alus, koordinaadid

4. ülesanne. Leia hulgal selle aluse vektorite alus ja koordinaadid geomeetrilised vektorid, mille koordinaadid vastavad tingimusele .

Lahendus. Hulk on alguspunkti läbiv tasapind. Tasapinnal olev suvaline alus koosneb kahest mittekollineaarsest vektorist. Vektorite koordinaadid valitud baasis määratakse vastava süsteemi lahendusega lineaarvõrrandid.

Selle probleemi lahendamiseks on veel üks viis, kui leiate aluse koordinaatide abil.

Koordinaadid ruumid ei ole tasapinna koordinaadid, kuna need on seotud suhtega st nad ei ole iseseisvad. Sõltumatud muutujad ja (neid nimetatakse vabadeks) määravad üheselt tasapinnal vektori ja seetõttu saab neid valida koordinaatideks . Siis alus koosneb vektoritest, mis asuvad vabade muutujate hulgal ja vastavad neile Ja , see tähendab.

5. ülesanne. Leidke selle aluse vektorite alus ja koordinaadid kõigi ruumivektorite hulgast, mille paaritu koordinaadid on üksteisega võrdsed.

Lahendus. Valime, nagu eelmises ülesandes, koordinaadid ruumis.

Sest , siis vabad muutujad määravad vektori üheselt ja on seetõttu koordinaadid. Vastav alus koosneb vektoritest.

6. ülesanne. Leidke selle aluse vektorite alus ja koordinaadid vormi kõigi maatriksite hulgast , Kus - suvalised arvud.

Lahendus. Iga maatriks alates on unikaalselt esitatav kujul:

See seos on vektori laienemine aluse suhtes
koordinaatidega .

Ülesanne 7. Leidke vektorite süsteemi lineaarse kere mõõde ja alus

Lahendus. EPS-i abil teisendame maatriksi süsteemivektorite koordinaatidest samm-kolmnurkseks vormiks.

Veerud viimased maatriksid on lineaarselt sõltumatud ja veerud lineaarselt väljendatud nende kaudu. Seetõttu vektorid moodustavad aluse , Ja .

Kommenteeri. Alus sisse valitakse kahemõtteliselt. Näiteks vektorid moodustavad ka aluse .

Definitsioon. Lineaarne vektorite kombinatsioon a 1 , ..., a n koefitsientidega x 1 , ..., x n nimetatakse vektoriks

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviaalne, kui kõik koefitsiendid x 1 , ..., x n on võrdsed nulliga.

Definitsioon. Nimetatakse lineaarkombinatsioon x 1 a 1 + ... + x n a n mittetriviaalne, kui vähemalt üks koefitsientidest x 1, ..., x n ei ole võrdne nulliga.

lineaarselt sõltumatu, kui nende vektorite mittetriviaalne kombinatsioon ei ole võrdne nullvektoriga.

See tähendab, et vektorid a 1, ..., a n on lineaarselt sõltumatud, kui x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 siis ja ainult siis, kui x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definitsioon. Nimetatakse vektoreid a 1, ..., a n lineaarselt sõltuv, kui nende vektorite mittetriviaalne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga.

Lineaarselt sõltuvate vektorite omadused:

Kahe- ja kolmemõõtmeliste vektorite jaoks.

Kaks lineaarset sõltuvad vektorid- kollineaarne. ( Kollineaarsed vektorid- lineaarselt sõltuv.) .

3-mõõtmeliste vektorite jaoks.

Kolm lineaarselt sõltuvat vektorit on tasapinnalised. (Kolm samatasandilist vektorit on lineaarselt sõltuvad.)

N-mõõtmeliste vektorite jaoks.
n + 1 vektorid on alati lineaarselt sõltuvad.

Vektorite lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse probleemide näited:

Näide 1. Kontrollige, kas vektorid a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) on lineaarselt sõltumatud .

Lahendus:

Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorite mõõde on väiksem kui vektorite arv.

Näide 2. Kontrollige, kas vektorid a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) on lineaarselt sõltumatud.

Lahendus:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

lahutage esimesest reast teine; lisage kolmandale reale teine rida:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

See lahendus näitab, et süsteemil on palju lahendusi, st arvude x 1, x 2, x 3 väärtuste nullist erinev kombinatsioon on selline, et vektorite a, b, c lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektor, näiteks:

A + b + c = 0

ja see tähendab, et vektorid a, b, c on lineaarselt sõltuvad.

Vastus: vektorid a, b, c on lineaarselt sõltuvad.

Näide 3. Kontrollige, kas vektorid a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) on lineaarselt sõltumatud.

Lahendus: Leiame koefitsientide väärtused, mille korral nende vektorite lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Selle vektorvõrrandi saab kirjutada lineaarsete võrrandite süsteemina

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

lahutage esimene teisest reast; lahutage esimene kolmandast reast:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

lahutage esimesest reast teine; lisage kolmandale reale sekund.