Ivanova Anastasia

Matemaatika erialaeksami ülesanne nr 15 on ebavõrdsust esindav kõrgendatud keerukusega ülesanne. Nende võrratuste lahendamisel peavad õpilased demonstreerima teoreemide tundmist teatud tüüpi võrratuste samaväärsuse kohta ning oskust kasutada standardseid ja mittestandardseid lahendusmeetodeid. Kooliõpikute sisuanalüüs näitab, et enamikus neist ei pöörata piisavalt tähelepanu funktsioonide omadusi kasutavatele võrratuste lahendamise meetoditele ning ühtse riigieksami ülesannetes pakutakse peaaegu igal aastal välja ebavõrdsusi, mille lahendamist lihtsustatakse. kui rakendatakse funktsioonide omadusi. Föderaalse pedagoogiliste mõõtmiste instituudi veebisaidil esitatud statistika kohaselt sai 2017. aastal selle ülesande eest nullist erineva punkti umbes 15% eksamil osalejatest; maksimaalne punktisumma on umbes 11%. Kõik märgitu viitab sellele, et õpilastel on ühtse riigieksami ülesande nr 15 lahendamisel suuri raskusi. Sihtmärk: uurige erinevaid võimalusi ebavõrdsuse lahendamiseks.

:

1. Uurige selleteemalist teoreetilist materjali.

2. Mõelge föderaalse pedagoogiliste mõõtmiste instituudi veebisaidil ühtse riigieksami ülesannete pangas pakutavatele näidetele.

3. Uurige funktsionaalseid-graafilisi meetodeid võrratuste lahendamiseks.

4. Võrrelge erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodeid.

5. Kontrollige eksperimentaalselt, milline ebavõrdsuse lahendamise meetod on kõige ratsionaalsem.

Uurimismeetodid: küsitlus, küsitlemine, tulemuste analüüs, võrdlemine ja süntees.

Oma töös uurisime funktsionaalseid-graafilisi meetodeid ebavõrdsuste lahendamiseks. Võrreldi erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodeid. Kontrollisime katseliselt, milline ebavõrdsuse lahendamise meetod on kõige ratsionaalsem. Ja jõuti järeldusele, et õpilane peab teadma mitmeid võimalusi ebavõrdsuse lahendamiseks, et säästa aega ning vähendada loogika- ja arvutusvigade riski.

Lae alla:

Eelvaade:

Erinevate ebavõrdsuse lahendamise meetodite uurimine

Ivanova Anastasia Evgenevna

Valla eelarveline õppeasutus
"Üksikute ainete süvaõppega keskkool nr 30"

11b klass

Teadusartikkel (töökirjeldus)

1. Sissejuhatus

Asjakohasus.

Matemaatika erialaeksami ülesanne nr 15 on kõrgendatud keerukusega ülesanne, mis esindab ebavõrdsust (ratsionaalne, irratsionaalne, eksponentsiaalne, logaritmiline). Nende võrratuste lahendamisel peavad õpilased demonstreerima teoreemide tundmist teatud tüüpi võrratuste samaväärsuse kohta ning oskust kasutada standardseid ja mittestandardseid lahendusmeetodeid.

Selle ülesande täielik õige lahendus on väärt 2 punkti. Ülesande lahendamisel on vastuvõetavad kõik matemaatilised meetodid - algebralised, funktsionaalsed, graafilised, geomeetrilised jne.

Föderaalse pedagoogiliste mõõtmiste instituudi veebisaidil esitatud statistika kohaselt sai 2017. aastal selle ülesande eest nullist erineva punkti umbes 15% eksamil osalejatest; maksimaalne punktisumma on umbes 11%. Tüüpilised vead on seotud võrratuste matemaatilise tähise tähelepanematusega lugemisega, agregaatide ja logaritmiliste võrratuste lahendamise algoritmi valesti mõistmisega. Murdratsionaalvõrratuste lahendamisel tegid eksamil osalejad palju vigu (unustati nimetaja).

Meie kooli õpilaste matemaatika ühtse riigieksami ülesande nr 15 täitmise tulemused on toodud tabelis 1 ja diagrammil (joonis 1).

Tabel 1

Ülesande nr 15 tulemused meie kooli õpilaste poolt

Joonis 1. Ülesande nr 15 tulemused meie kooli õpilaste poolt

11a,b klasside linna proovieksami ülesande nr 15 tulemused 2017-2018 õppeaastal. aasta on esitatud tabelis 2 ja diagrammil (joonis 2).

tabel 2

Ülesande nr 15 tulemused linna proovieksamil

2017-2018 õppeaastal. aastal meie kooli õpilaste poolt

Joonis 2. Proovieksami ülesande nr 15 tulemused 2017-2018 õppeaastal. aastal meie kooli õpilaste poolt

Tegime oma kooli matemaatikaõpetajate seas küsitluse ja selgitasime välja peamised probleemid, mis õpilastel ebavõrdsuse lahendamisel tekivad: ebavõrdsete vastuvõetavate väärtuste vahemiku vale määramine; mitte kõigi logaritmilisest ebavõrdsusest ratsionaalsele ülemineku juhtumite arvestamine; logaritmiliste avaldiste teisendamine; vead intervallmeetodi kasutamisel jne.

Intervallmeetodi kasutamise ja abimuutuja kasutuselevõtuga on seotud mitmed tüüpilised vead. Arvutusvigadena võib tõlgendada näiteks viga intervallide märkide määramisel või arvude vale paigutust koordinaatsirgele vastavalt kriteeriumidele. Muud, mis on seotud algoritmi sammude vahelejätmisega või nende valesti sooritamisega, hinnatakse 0 punkti.

Kõik märgitu viitab sellele, et õpilastel on suuri raskusi matemaatika ühtse riigieksami ülesande nr 15 lahendamisel. Sellega seoses oleme esitanud hüpotees : kui õpilane teab mitut võimalust ebavõrdsuse lahendamiseks, siis saab ta valida kõige ratsionaalsema.

Õppeobjekt: ebavõrdsused.

Õppeaine: erinevad võimalused ebavõrdsuse lahendamiseks.

Sihtmärk : uurige erinevaid võimalusi ebavõrdsuse lahendamiseks.

Selle eesmärgi saavutamiseks lahendati järgmised ülesanded:

1. Uurige sellel teemal teoreetilist materjali.
2. Mõelge föderaalse pedagoogiliste mõõtmiste instituudi veebisaidil ühtse riigieksami ülesannete pangas pakutavatele näidetele.
3. Õppige funktsionaalse-graafilisi meetodeid ebavõrdsuse lahendamiseks.
4. Võrrelge erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodeid.
5. Kontrollige katseliselt, milline ebavõrdsuse lahendamise meetod on kõige ratsionaalsem.

2. Põhiosa

2.1. Teoreetiline osa

1. Lineaarsed ebavõrdsused

Lineaarsed ebavõrdsusedon vormi ebavõrdsused: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, kus a ja b – mis tahes numbrid ja a≠0,x - tundmatu muutuja.

Ebavõrdsuse teisendamise reeglid:

1. Iga ebavõrdsuse liiget saab üle kanda ühest ebavõrdsuse osast teise, muutes märgi vastupidiseks.

2. Ebavõrdsuse mõlemad pooled saab korrutada/jagada sama positiivse arvuga, et saada antud ebavõrdsus.

3. Ebavõrdsuse mõlemad pooled saab korrutada/jagada sama negatiivse arvuga, pöörates ebavõrdsuse märgi ümber.

2. Ruutvõrratused

Vormi ebavõrdsus

kus x on muutuja, a, b, c on arvud, , nimetatakse ruuduks. Ruutvõrratuse lahendamisel on vaja leida vastava juuredruutvõrrand . Selleks peate leidmadiskrimineeriv sellest ruutvõrrandist. Võite saada 3 juhtumit: 1) D = 0 , ruutvõrrandil on üks juur; 2) D>0 ruutvõrrandil on kaks juurt; 3)D ruutvõrrandil pole juuri. Olenevalt saadud juurtest ja koefitsiendi märgist a üks kuuest võimalikust asukohastfunktsioonigraafika (lisa 1).

3. Ratsionaalne ebavõrdsus

Ratsionaalne ebavõrdsusühe muutujaga x nimetatakse võrratuseks kujul f(x) väljendid, st. algebralised avaldised, mis koosnevad arvudest, muutujast x ja kasutades matemaatilisi tehteid, st. liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja loomulike astmeteni tõstmise tehted.Algoritm ratsionaalsete võrratuste lahendamiseks intervallmeetodil(lisa 1).

4. Eksponentsiaalne ebavõrdsus

Eksponentsiaalne ebavõrdsus- see on ebavõrdsus , mille eksponendis on tundmatu. Kõige lihtsameksponentsiaalne ebavõrdsus on kujul: a x ‹ b või a x › b, kus a> 0, a ≠ 1, x on teadmata.

5. Logaritmilised võrratused

Logaritmiline ebavõrdsusnimetatakse ebavõrdseks, milles tundmatu suurus on märgi alllogaritm .

1. Ebavõrdsus, kui taandub samaväärsele ebavõrdsusele. Kui - siis ebavõrdsusele.

Samamoodi ebavõrdsusvõrdub ebavõrdsusega: ; Sest: .

Saadud võrratuste lahendid tuleb ristuda ODZ-ga:

2. Vormi logaritmilise võrratuse lahendaminevõrdub järgmiste süsteemide lahendamisega:

A) b)

Ebavõrdsus mõlemal juhul taandatakse see ühele süsteemist:

A) b)

6. Irratsionaalne ebavõrdsus

Kui ebavõrdsus sisaldab funktsioone juurmärgi all, siis nimetatakse selliseid võrratusi irratsionaalne.

.

2.2. Praktiline osa

Uuring nr 1

Sihtmärk : õppige piiratud funktsiooniga meetodit.

Edusammud:

1. Uurige piiratud funktsioonide meetodit.

2. Lahenda ebavõrdsused selle meetodiga.

Funktsiooni piirituse kasutamiseks peate suutma leida funktsiooni väärtuste komplekti ja teadma standardsete funktsioonide väärtuste vahemiku hinnanguid (näiteks) .

Näide nr 1 . Lahenda ebavõrdsus:

Lahendus:

Domeen:

Saadud hulga kõigi x jaoks on meil:

Seega lahendus ebavõrdsusele

Vastus:

Näide nr 2. Lahenda ebavõrdsus:

Lahendus:

Sest

See ebavõrdsus on samaväärne

Süsteemi esimesel võrrandil on üks juur x = - 0,4, mis rahuldab ka teist võrrandit.

Vastus: - 0,4

Järeldus: See meetod on kõige tõhusam, kui ebavõrdsus sisaldab selliseid funktsioone naguja teised, mille vahemikud on piiratud ülal või alla.

Uuring nr 2

Sihtmärk : uurige võrratuste lahenduse ratsionaliseerimise meetodit.

Edusammud:

1. Uurige ratsionaliseerimismeetodit.

2. Lahenda ebavõrdsused selle meetodiga.

Ratsionaliseerimismeetod seisneb kompleksavaldise F(x) asendamises lihtsama avaldisega G(x), milles võrratus G(x) v 0 on samaväärne ebavõrdsusega F(x) v 0 definitsioonipiirkonnas. avaldis F(x) (sümbol "v" asendab ühte ebavõrdsusmärki: ≤, ≥, >,

Toome välja mõned tüüpilised avaldised F ja vastavad ratsionaliseerivad avaldised G (tabel 1), kus f, g, h, p, q on avaldised muutujaga x (h>0, h≠1,f>0,g>0) , -fikseeritud arv (a>0, a≠1). (Lisa 2).

Näide nr 1. Lahenda ebavõrdsus:

O.D.Z:

Vastus:

Näide nr 2. Lahenda ebavõrdsus:

O.D.Z:

Võttes arvesse määratluspiirkonda, saame

Vastus:

Järeldus : Logaritmidega ebavõrdsused muutuva baasiga on kõige keerulisemad. Ratsionaliseerimismeetod võimaldab liikuda ebavõrdsustest, mis sisaldavad keerulisi eksponentsiaalseid, logaritmilisi jne. väljend, selle ekvivalentne lihtsam ratsionaalne ebavõrdsus. Ratsionaliseerimismeetod mitte ainult ei säästa aega, vaid vähendab ka loogiliste ja arvutusvigade riski.

Uuring nr 3

Sihtmärk : ebavõrdsuse lahendamise protsessis võrrelda erinevaid meetodeid.

Edusammud:

1. Lahenda ebavõrdsuskasutades erinevaid meetodeid.

2. Võrrelge tulemusi ja tehke järeldus.

Näide nr 1. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus:

1 viis. Algebraline meetod

Esimese süsteemi lahendus:

Lahendame teise süsteemi teise ebavõrdsuse:

2. meetod . Funktsiooni ulatuse kasutamine

Domeen:

Nende x väärtuste jaoks saame:

Ebavõrdsuse parem pool on oma määratlusvaldkonnas negatiivne. Seetõttu kehtib ebavõrdsus

Vastus:

3 viis. Graafiline meetod

Järeldus : ebavõrdsust algebralise meetodiga lahendades jõudsin kuuenda astme võrratuseni, kulutasin selle lahendamisele palju aega, kuid ei suutnud seda lahendada. Ratsionaalne meetod on minu arvates funktsiooni domeeni või graafiline kasutamine.

Näide nr 2. Lahenda ebavõrdsus:.

Vastus:

Järeldus: Suutsin selle ebavõrdsuse lahendada ainult tänu ratsionaliseerimismeetodile.

Järeldus

Kooliõpikute sisuanalüüs näitab, et enamikus neist ei pöörata piisavalt tähelepanu funktsioonide omadusi kasutavatele võrratuste lahendamise meetoditele ning ühtse riigieksami ülesannetes pakutakse peaaegu igal aastal välja ebavõrdsusi, mille lahendamist lihtsustatakse. kui rakendatakse funktsioonide omadusi.

Enamik õpilasi lahendab ebavõrdsusi standardsete algoritmiliste meetodite abil, mis mõnikord põhjustab tülikaid arvutusi. Sellega seoses on ühtse riigieksami ülesande nr 15 täitmise protsent madal.

Funktsioonide omaduste rakendusala võrratuste lahendamisel on väga lai. Võrratuste hulka kuuluvate funktsioonide omaduste (piiratus, monotoonsus jne) kasutamine võimaldab kasutada mittestandardseid lahendusmeetodeid. Meie hinnangul võib funktsioonide vajalike omaduste kasutamise oskus ebavõrdsuse lahendamisel võimaldada õpilastel valida ratsionaalsema lahenduse.

Oma töös uurisime funktsionaalseid-graafilisi meetodeid ebavõrdsuste lahendamiseks. Võrreldi erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodeid. Kontrollisime katseliselt, milline ebavõrdsuse lahendamise meetod on kõige ratsionaalsem.

Ja jõuti järeldusele, et õpilane peab teadma mitmeid võimalusi ebavõrdsuse lahendamiseks, et säästa aega ning vähendada loogika- ja arvutusvigade riski.

Meie töö eesmärgid on täidetud, eesmärk on saavutatud, hüpotees kinnitust leidnud.

Kirjandus:

1. Alimov Sh. A, Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. jt Algebra ja analüüsi algus: Õpik 10.–11. Üldharidus asutused / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov jt - 15. väljaanne. – M.: Haridus, 2007. – 384 lk.
2. Korjanov A.G., Prokofjev A.A. Kursuse “Tublide ja tublide õpilaste ettevalmistamine ühtseks riigieksamiks” materjalid: loengud 1-4. - M.: Pedagoogikaülikool “Esimene september”, 2012. – 104 lk.
3. Veebisait http://www.fipi.ru/.
4. Veebisait https://ege.sdamgia.ru/.
5. Jaštšenko I. V. Ühtne riigieksam. Matemaatika. Profiili tase: standardsed eksamivalikud: 36 valikut / toim. I. V. Jaštšenko. - M.: Kirjastus "Rahvusharidus", 2018. - 256 lk.

Eelvaade:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Erinevate ebavõrdsuse lahendamise meetodite uurimine Ivanova Anastasia Evgenievna MBOU "Keskkool nr 30 üksikute ainete süvaõppega"

Ülesande nr 15 tulemused meie kooli õpilaste poolt

Proovieksami ülesande nr 15 tulemused 2017-2018 õppeaastal. aastal meie kooli õpilaste poolt

Hüpotees: kui üliõpilane teab mitut võimalust ebavõrdsuse lahendamiseks, siis saab ta valida kõige ratsionaalsema Õppeobjekt: ebavõrdsused Õppeaine: erinevad võimalused ebavõrdsuse lahendamiseks

Eesmärk: uurida erinevaid võimalusi ebavõrdsuse lahendamiseks. Selle eesmärgi saavutamiseks lahendati järgmised ülesanded: Õppeteoreetiline materjal sellel teemal. Mõelge föderaalse pedagoogiliste mõõtmiste instituudi veebisaidil ühtse riigieksami ülesannete pangas pakutavatele näidetele. Õppige funktsionaalse-graafilisi meetodeid ebavõrdsuse lahendamiseks. Võrrelge erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodeid. Kontrollige katseliselt, milline ebavõrdsuse lahendamise meetod on kõige ratsionaalsem.

Uuring nr 1 Eesmärk: uurida piiratud funktsiooni meetodit. Edusammud: 1. Uurige piiratud funktsioonide meetodit. 2. Lahendage selle meetodi abil võrratused. Näide nr 1. Lahendage võrratus: Lahendus: Domeen: Saadud hulga kõigi x jaoks on meil: Seetõttu on võrratuse lahend Vastus:

Näide nr 2. Lahendage ebavõrdsus: Lahendus: Sest See võrratus on ekvivalentne Süsteemi esimesel võrrandil on üks juur x = - 0,4, mis rahuldab ka teist võrrandit. Vastus: - 0,4 Järeldus: see meetod on kõige tõhusam, kui ebavõrdsus sisaldab sarnaselt teistega funktsioone, mille väärtusvahemikud on üle- või allapoole piiratud.

Uuring nr 2 Eesmärk: uurida meetodit võrratuste lahendamise ratsionaliseerimiseks. Edusammud: 1. Uurige ratsionaliseerimismeetodit. 2. Lahendage selle meetodi abil võrratused. Näide nr 1. Lahenda ebavõrdsus: O.D.Z: Võttes arvesse määratluspiirkonda, saame vastuse:

Näide nr 2. Lahenda ebavõrdsus: O.D.Z: Definitsioonipiirkonda arvesse võttes saame Vastus: Järeldus: enim raskusi tekitavad ebavõrdsused muutuva baasi logaritmidega. Ratsionaliseerimismeetod võimaldab liikuda ebavõrdsustest, mis sisaldavad keerulisi eksponentsiaalseid, logaritmilisi jne. väljend, selle ekvivalentne lihtsam ratsionaalne ebavõrdsus. Ratsionaliseerimismeetod mitte ainult ei säästa aega, vaid vähendab ka loogiliste ja arvutusvigade riski.

Uuring nr 3 Eesmärk: ebavõrdsuse lahendamise protsessis võrrelda erinevaid meetodeid. Edenemine: 1. Lahendage ebavõrdsus erinevate meetoditega. 2. Võrrelge tulemusi ja tehke järeldus. Näide nr 1. Lahenda ebavõrdsus 1 viis. Algebraline meetod Esimese süsteemi lahendamine: Teise süsteemi teise võrratuse lahendamine: 2. meetod. Funktsiooni määratluspiirkonna kasutamine Määratluspiirkond: Nende x väärtuste jaoks saame: Ebavõrdsuse parem pool on selle määratluspiirkonnas negatiivne. Seetõttu kehtib ebavõrdsus

3 viis. Graafiline meetod Järeldus: lahendades ebavõrdsust algebralise meetodi abil, jõudsin kuuenda astme võrratuseni, kulutasin selle lahendamisele palju aega, kuid ei suutnud seda lahendada. Ratsionaalne meetod on minu arvates funktsiooni domeeni või graafiline kasutamine.

Näide nr 2. Lahenda ebavõrdsus: Vastus: Järeldus: Sain selle ebavõrdsuse lahendada ainult tänu ratsionaliseerimismeetodile.

Funktsioonide omaduste rakendusala võrratuste lahendamisel on väga lai. Võrratuste hulka kuuluvate funktsioonide omaduste (piiratus, monotoonsus jne) kasutamine võimaldab kasutada mittestandardseid lahendusmeetodeid. Meie hinnangul võib funktsioonide vajalike omaduste kasutamise oskus ebavõrdsuse lahendamisel võimaldada õpilastel valida ratsionaalsema lahenduse. Oma töös uurisime funktsionaalseid-graafilisi meetodeid ebavõrdsuste lahendamiseks. Võrreldi erinevaid ebavõrdsuse lahendamise meetodeid. Kontrollisime katseliselt, milline ebavõrdsuse lahendamise meetod on kõige ratsionaalsem. Ja jõuti järeldusele, et õpilane peab teadma mitmeid võimalusi ebavõrdsuse lahendamiseks, et säästa aega ning vähendada loogika- ja arvutusvigade riski. Meie töö eesmärgid on täidetud, eesmärk on täidetud, hüpotees kinnitust leidnud.

Täname tähelepanu eest!

Munitsipaalharidusasutus

Jurjevskaja põhikool

Ostrovski rajoon

Piirkondliku metoodikavõistluse vallaetapp

Kandideerimine

Tööriistakomplekt

Teema

Funktsionaal-graafiline meetod võrrandite ja võrratuste lahendamiseks gümnaasiumi algebra kursusel.

Töö valmistasid ette:

matemaatika õpetaja

Sissejuhatus

Kooliõpikute analüüs

Ühtse riigieksami analüüs

1. Üldteoreetiline osa

1.1. Graafiline meetod

1.2. Funktsionaalne meetod

2. Võrratuste ja võrratuste lahendamine sisendi omaduste abil

funktsioonid neis

2.1. DZ kasutamine

2.2. Funktsioonipiirangute kasutamine

2.3. Funktsiooni monotoonsuse kasutamine

2.4. Funktsioonigraafikute kasutamine

2.5. Funktsioonide paaris- või paarituomaduste ja perioodilisuse kasutamine .

3. Võrratuste ja võrratuste lahendamine

3.1. Võrrandite lahendamine

3.2. Ebavõrdsuse lahendamine

Töötuba

Bibliograafia

Rakendus

Sissejuhatus

Minu töö teemaks on “Funktsionaal-graafiline meetod võrrandite ja võrratuste lahendamiseks gümnaasiumi algebra kursusel”. Gümnaasiumi algebra kursuse üks põhiteemasid. Gümnaasiumi matemaatikakursustes on oluline roll võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Õpilased hakkavad ebavõrdsust ja võrrandeid tundma õppima põhikoolis.

Järk-järgult süvendatakse ja laiendatakse teemade “Võrrandid” ja “Ebavõrdsused” sisu. Nii näiteks on ebavõrdsuse protsent 7. klassis õpitud materjalist 20%, 8. klassis - 25%, 9. klassis - 30%, 10-11 klassis - 35%.

Võrratuste ja võrrandite lõpuõpe toimub 10.-11. klassi algebras ja analüüsi algkursustel. Mõned ülikoolid lisavad eksamitöödesse võrrandeid ja ebavõrdsusi, mis on sageli väga keerulised ja nõuavad erinevat lahendusviisi. Koolis läbitakse koolimatemaatika kursuse üks raskemaid lõike vaid mõnes valikainetunnis.

Selle töö keskmes on anda täielikum avastus funktsionaalse graafilise meetodi rakendamisest võrrandite ja võrratuste lahendamisel keskkooli algebra kursusel.

Selle töö asjakohasus seisneb selles, et see teema on lisatud ühtsesse riigieksamisse.

Selle töö koostamisel seadsin eesmärgiks võtta arvesse võimalikult paljusid võrrandite ja võrratuste liike, mis on lahendatud funktsionaal-graafilise meetodiga. Uurige seda teemat ka sügavamalt, leides kõige ratsionaalsema lahenduse, mis viib kiiresti vastuseni.

Õppeobjektiks on algebra 10-11 klassile, toimetatud ja ühtse riigieksami variandid.

Selles töös käsitletakse sageli esinevaid võrranditüüpe ja ebavõrdsust, loodan, et töö käigus saadud teadmised on abiks koolieksamite sooritamisel ja ülikooli astumisel. Seda saab kasutada ka õppevahendina kooliõpilaste ettevalmistamisel ühtse riigieksami sooritamiseks.

Kooliõpikute analüüs

Metoodilises kirjanduses on tavaks jaotada kõik meetodid, mille järgi kooli võrrandite ja võrratuste rida 7. kuni 11. klassini on jagatud kolme rühma:

faktoriseerimise meetod;

uute muutujate sisseviimise meetod;

Funktsionaalne graafiline meetod.

Vaatleme kolmandat meetodit, nimelt funktsioonigraafikute ja funktsioonide erinevate omaduste kasutamist.

Funktsionaalgraafilise meetodi kasutamist tuleb kooliõpilastele õpetada juba teema “Võrrandid” õppimise algusest peale.

Mõne ülesande lahendus võib põhineda neis sisalduvate funktsioonide monotoonsuse, perioodilisuse, ühtluse või veidruse jms omadustel.

Õpikuid analüüsides võib järeldada, et seda teemat käsitletakse vaid uue põlvkonna matemaatikaõpikutes, mille kursuse ülesehitus lähtub funktsionaalse-graafilise joone prioriteedist. Teistes õpikutes ei ole võrrandite ja võrratuste lahendamise funktsionaal-graafilist meetodit eraldi teemana esile toodud. Funktsiooni omaduste kasutamist probleemide lahendamisel mainitakse möödaminnes ka teiste teemade uurimisel. Uutes õpikutes on ka piisaval hulgal seda tüüpi ülesandeid. Õpik sisaldab kõrgtaseme ülesandeid. Esitatakse kõige täielikum ülesannete süsteem, mis on süstematiseeritud funktsiooni iga omaduse jaoks.

Õpik	“Algebra ja analüüsi alged 10-11”, õpik õppeasutustele,	, “Algebra ja analüüsi alged 11”, õpik üldharidusasutustele (profiilitasand)		jt “Algebra ja analüüsi alged 11”, õpik õppeasutustele	jt “Algebra ja analüüsi alged 10-11”, õpik õppeasutustele
Koht teada	8. peatükk “Võrrandid ja võrratused. Võrrandisüsteemid ja võrratus" (kursuse viimane teema)	6. peatükk “Võrrandid ja võrratused. Võrrandisüsteemid ja võrratus" (kursuse viimane teema)	II peatükk “Võrrandid, võrratused, süsteemid”	Eraldi teemat pole. Aga teemas “Trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamine” sõnastatakse juurteoreem, mida kasutatakse edasises uurimistöös.	Eraldi teemat pole
	§ §56 Üldised meetodid võrrandite ja võrratuste lahendamiseks (funktsionaalgraafiline meetod: juurteoreem, funktsiooni piiritus)	§ §27 Üldised meetodid võrrandite ja võrratuste lahendamiseks (funktsionaalgraafiline meetod: juurteoreem, funktsiooni piiritus)	§ Vormi võrrandid (võrratused) ; § §12*Ebastandardsed meetodid võrrandite ja võrratuste lahendamiseks (funktsioonide olemasolu domeenide kasutamine, funktsioonide mittenegatiivsus, piiritus, sin ja cos omaduste kasutamine, tuletise kasutamine)	Funktsiooni monotoonsuse omadus, paaris-paaritu (trigonomeetriliste võrrandite juurte valemite tuletamisel)	Monotoonsuse omadust mainitakse näite analüüsimisel teemas “Eksponentfunktsioon”
Näited vaadeldavatest võrranditest ja võrratustest	(;		Lahenda võrrand. Mitu juurt on võrrandil selles intervallis?	Lahenda võrrand

Ühtse riigieksami analüüs (tekstid ja tulemused)

Ühtne riigieksam kui tunnistuse vorm, mis võeti Venemaa hariduse praktikasse 2002. aastal, on alates 2009. aastast liikunud eksperimentaalselt režiimilt tavalisele.

Ühtse riigieksami tekstide analüüs näitas, et ülesandeid, milles kasutatakse funktsioonide omadusi, tuleb ette igal aastal.

2003. aastal saab ülesannetes A9 ja C2 lahendamisel rakendada funktsioonide omadusi:

· A9. Märkige intervall, kuhu võrrandi juured kuuluvad .

· C2. Otsige üles kõik väärtused lk, mille jaoks võrrand pole juuri.

· Aastal 2004 – ülesanne B2. Mitu juurt on võrrandil? .

· 2005. aastal ülesanne C2 (lahenda võrrand ) lõpetas 37% õpilastest.

2007. aastal B-osa ülesande “Lahenda võrrand” täitmisel arvestasid lõpetajad võrrandi lahendamisel kahte juhtumit, harjumuspäraselt ilmneb mooduli märk..gif" width="81" height="24"> võtab ainult positiivseid väärtusi.

Isegi hästi ettevalmistatud õpilased täidavad sageli ülesandeid "malli" lahendusmeetodite abil, mis viivad tülikate teisenduste ja arvutusteni.

Ilmselgelt pidi hea ettevalmistusega lõpetaja ülaltoodud ülesannete täitmisel näitama mitte ainult teadmisi võrrandite lahendamise või avaldiste teisendamise tuntud meetoditest, vaid ka oskust analüüsida tingimust, seostada ülesande andmeid ja nõudeid, tuletada erinevaid tagajärgi. tingimusest jne, st näidata teatud matemaatilise mõtlemise arengutaset.

Seega tuleb hästi sooritatavate õpilaste õpetamisel hoolitseda mitte ainult algebrakursuse põhikomponendi ja analüüsi alguse valdamise eest (õpitud reeglite, valemite, meetodite valdamine), vaid ka ühe peamise eesmärgi saavutamise eest. matemaatika õpetamine – õpilaste mõtlemise, eelkõige matemaatilise mõtlemise arendamine. Selle eesmärgi saavutamiseks võivad olla valikkursused.

Tõepoolest, matemaatikat õppides tutvustatakse üldharidusasutuste õpilastele traditsiooniliselt võrrandite, võrratuste ja nende süsteemide graafilist lahendamise meetodit. Küll aga on viimastel aastatel matemaatikaõpetuse sisusse ilmunud uued võrrandiklassid (võrratused) ja uued funktsionaalsed meetodid nende lahendamiseks. Õpilastele valmistavad aga raskusi ühtse riigieksami (USE) testimaterjalides sisalduvad ülesanded (nn kombineeritud võrrandid), mille lahendamiseks on vaja kasutada ainult funktsionaal-graafilist meetodit.

1. Üldteoreetiline osa

Olgu X ja Y kaks suvalist arvulist hulka. Nende hulkade elemente tähistatakse vastavalt x ja y-ga ning neid nimetatakse muutujateks.

Definitsioon. Numbrifunktsiooni, mis on defineeritud hulgal X ja võttes väärtusi hulka Y, nimetatakse vastavuseks (reegliks, seaduseks), mis seob iga x hulgast X ühe ja ainult ühe väärtuse y hulgast Y.

Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks või argument, ja muutuja y on sõltuv muutuja. Samuti öeldakse, et muutuja y on funktsiooni muutujast x. Sõltuva muutuja väärtusi nimetatakse funktsiooni väärtusteks.

Kasutusele võetud arvfunktsiooni mõiste on funktsiooni üldkontseptsiooni erijuhtum kui vastavus kahe või enama suvalise hulga elementide vahel.

Olgu X ja Y kaks suvalist hulka.

Definitsioon. Funktsioon, mis on määratletud hulgal X ja võttes väärtusi hulka Y, on vastavus, mis seostab hulga X iga elemendiga ühe ja ainult ühe elemendi hulgast Y.

Definitsioon. Funktsiooni määratlemine tähendab selle määratluse ulatuse ja vastavuse (reegli) näitamist, mille abil sõltumatu muutuja väärtust arvestades leitakse vastavad funktsiooni väärtused.

Funktsiooni mõistega seotud võrrandite lahendamiseks on kaks võimalust: graafiline Ja funktsionaalne. Funktsionaalse meetodi erijuhtum on meetod funktsionaalne või universaalne asendused.

Definitsioon. Antud võrrandi lahendamine tähendab kõigi selle juurte (lahenduste) hulga leidmist. Juurte (lahenduste) hulk võib olla tühi, lõplik või lõpmatu. Teoreetilise osa järgmistes peatükkides analüüsime ülalkirjeldatud võrrandite lahendamise meetodeid ning rubriigis “Praktika” näitame nende rakendamist erinevates olukordades.

1.1. Graafiline meetod.

Praktikas koostavad nad mõne funktsiooni graafiku koostamiseks mõne argumendi väärtuste funktsiooni väärtuste tabeli, seejärel joonistavad vastavad punktid koordinaattasandile ja ühendavad need järjestikku joonega. Eeldatakse, et punktid näitavad piisavalt täpselt funktsiooni muutumise kulgu.

Definitsioon. Funktsiooni y = f(x) graafik on kõigi punktide hulk

(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">

Graafikute lõikepunktil on koordinaadid (0,5; 0). Seega x = 0,5

Vastus: x = 0,5

Näide 2.

10| sinx|=10|cosx|-1

Seda võrrandit saab ratsionaalselt lahendada graafilis-analüütilise meetodi abil.

Kuna 10>1, on see võrrand võrdne järgmisega:

Graafikute lõikepunktidel on koordinaadid ();. Seega x=.

Vastus: x=

1.2. Funktsionaalne meetod

Mitte iga võrrandit kujul f(x)=g(x) teisenduste tulemusena ei saa taandada ühe või teise standardkuju võrrandiks, mille jaoks sobivad tavapärased lahendusmeetodid. Sellistel juhtudel on mõttekas kasutada funktsioonide f(x) ja g(x) selliseid omadusi nagu monotoonsus, piiritus, paarsus, perioodilisus jne. Seega, kui teatud intervalli jooksul üks funktsioonidest suureneb ja teine ​​väheneb , siis võrrandil f(x) = g(x) ei saa olla rohkem kui üks juur, mis on põhimõtteliselt leitav valiku teel. Veelgi enam, kui funktsioon f(x) on ülalpool ja funktsioon g(x) allpool nii, et f(x) kiik=A g(x) msisse=A, siis on võrrand f(x)=g(x) võrdne võrrandisüsteemiga

Samuti on funktsionaalse meetodi kasutamisel ratsionaalne kasutada mõnda allpool toodud teoreemi. Nende tõestamiseks ja kasutamiseks on vaja järgmisi üldvõrrandeid:

(2)

1. teoreem. Võrrandi (1) juured on võrrandi (2) juured.

2. teoreem. Kui f(x) on kasvav funktsioon intervallil a

Viimane teoreem annab järelduse, mida kasutatakse ka lahendustes:

Järeldus 1. Kui f(x) suureneb kogu oma definitsioonipiirkonna ulatuses, siis on antud intervallil võrrandid (1) ja (2) samaväärsed. Kui f(x) väheneb kogu oma definitsioonipiirkonna ulatuses, n on paaritu, siis on antud intervallil võrrandid (1) ja (2) samaväärsed.

3. teoreem. Kui võrrandis f(x)=g(x) mis tahes lubatava x korral on täidetud tingimused f(x)≥a, g(x)≤a, kus a on mingi reaalarv, siis on antud võrrand võrdne süsteem

Järeldus 2. Kui võrrandis f(x)+g(x)=a+b mis tahes lubatud x f(x)≤a, g(x)≤b korral, siis on see võrrand süsteemiga samaväärne

Funktsionaalmeetodit võrrandite lahendamiseks kasutatakse sageli koos graafilisega, kuna mõlemad meetodid põhinevad funktsioonide samadel omadustel. Mõnikord nimetatakse nende meetodite kombinatsiooni graafiline-analüütiline meetod.

Näide 1.

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, kui k=0

Vastus: x=π

1.3. Funktsionaalne asendusmeetod

Funktsionaalse meetodi erijuhtum on funktsionaalse asendamise meetod - võib-olla kõige levinum meetod keerukate matemaatikaülesannete lahendamiseks. Meetodi olemus seisneb uue muutuja y=ƒ(x) sisseviimises, mille kasutamine toob kaasa lihtsama avaldise. Funktsionaalse asendamise eraldi juhtum on trigonomeetriline asendus.

Vormi trigonomeetriline võrrand

R (sin kx, cos nx, tg mx,ctg lx) = 0 (3)

kus R on ratsionaalne funktsioon, k,n,m,lОZ, kasutades kahe- ja kolmekordsete argumentide jaoks trigonomeetrilisi valemeid, samuti liitmisvalemeid, saab taandada argumentide sin ratsionaalseks võrrandiks x, cos x, tg x,ctg x, mille järel saab võrrandi (3) taandada ratsionaalseks võrrandiks t=tg( x/2) kasutades universaalse trigonomeetrilise asendusvalemeid

2tg (x/2) 1-tg² (x/2)

Patt x=cos x=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg (x/2) 1-tg² (x/2)

Tg x=ctg x=

1-tg² (x/2) 2tg (x/2)

Tuleb märkida, et valemite (4) kasutamine võib viia esialgse võrrandi OD kitsenemiseni, kuna tan(x/2) ei ole punktides x=π+2πk, kÎZ defineeritud, seega sellistel juhtudel tuleb kontrollida, kas nurgad x=π+ 2πk, kÎZ on algvõrrandi juured.

Näide 1.

patt x+√2-sin² x+ patt x√2-sin² x = 3

Olgu nüüd r = u+v ja s=uv, siis võrrandisüsteemist järeldub

Kuna u = patt x ja u = 1, siis sin x= 1 ja x = π/2+2πk, kО Z

Vastus: x = π/2+2πk, kОZ

Näide 2.

5 patt x-5 tg x

+4(1- cos x)=0

patt x+ tg x

Seda võrrandit saab ratsionaalselt lahendada funktsionaalse asendusmeetodi abil.

Kuna tg x ei ole määratletud x = π/2+πk, kО Z, ja patt x+tg x=0 juures x = πk, kО Z, siis nurgad x = πk/2, kО Z ei sisaldu ODZ võrrandites.

Kasutame poolnurga puutuja valemeid ja tähistame t=tg( x/2), ja vastavalt ülesande tingimustele t≠0;±1, siis saame

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Kuna t≠0;±1, on see võrrand samaväärne võrrandiga

5t² + = 0 -5-5t² + 8 = 0

kust t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z

Näide 3.

tg x+ ctg x+ tg²x+ ctg²x+ tg³x+ ctg³x=6

Seda võrrandit saab ratsionaalselt lahendada funktsionaalse asendusmeetodi abil.

Olgu y=tg x+ctg x, siis tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3 a

Kuna tg x+ctg x=2, siis tg x+1/tg x=2. Sellest järeldub, et tg x=1 ja x = π/4+πk, kО Z

Vastus: x = π/2+2πk, kО Z

2. Võrratuste ja võrratuste lahendamine nendes sisalduvate funktsioonide omaduste abil

2. 1. ODZ kasutamine.

Mõnikord võimaldab ODZ tundmine tõestada, et võrrandil (või ebavõrdsusel) pole lahendusi, ja mõnikord võimaldab see võrrandile (või ebavõrdsusele) lahendusi leida, asendades ODZ-st numbreid otse.

Näide 1. Lahenda võrrand

Lahendus. Selle võrrandi ODZ koosneb kõigist x-dest, mis vastavad samaaegselt tingimustele 3-x0 ja x-3>0, see tähendab, et ODZ on tühi hulk. See lõpetab võrrandi lahendamise, kuna on kindlaks tehtud, et ükski arv ei saa olla lahend, see tähendab, et võrrandil pole juuri.

Vastus: lahendusi pole.

Näide 2. Lahenda võrrand

(1)

Lahendus. Selle võrrandi ODZ koosneb kõigist x-idest, mis vastavad samaaegselt tingimustele, see tähendab, et ODZ asendab need x väärtused võrrandis (1), leiame, et selle vasak ja parem külg on võrdsed 0-ga, mis tähendab, et kõik https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Näide 3. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus. Ebavõrdsuse (2) ODZ koosneb kõigist x-idest, mis üheaegselt vastavad tingimustele see tähendab, et ODZ koosneb kahest numbrist ja . Asendades ebavõrdsuse (2), leiame, et selle vasak külg on 0, parem külg on võrdne https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height ="23">. gif" width="117 height=41" height="41">.

Vastus: x=1.

Näide 4. Lahendage ebavõrdsus

(3)

Lahendus. Ebavõrdsuse (3) ODZ on kõik x, mis vastavad tingimusele 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Vastus: 0

Näide 5. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus..gif" width="73" height="19"> ja .

X jaoks vahemikust https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> sellel intervallil ja seetõttu pole võrratusel (4) sellel intervallil lahendeid.

Laske x kuuluda intervalli, siis https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> sellise x jaoks ja seetõttu on Selles intervallis ei ole ka võrratusel (4) lahendeid.

Seega, ebavõrdsusel (4) pole lahendusi.

Vastus: lahendusi pole.

Märkmed.

Võrrandite lahendamisel ei ole vaja ODZ-d leida. Mõnikord on lihtsam uurimise juurde minna ja leitud juuri kontrollida. Ebavõrdsuste lahendamisel on mõnikord võimalik ODZ-d mitte leida, vaid ebavõrdsus lahendada, liikudes samaväärsele võrratussüsteemile, milles kas ühel võrratusel pole lahendusi või aitab selle lahenduse teadmine lahendada võrratuste süsteemi. .

Näide 6. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus. Ebavõrdsuse ODZ leidmine ei ole lihtne ülesanne, seega teeme seda teisiti. Ebavõrdsus (5) on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga

(6)

Selle süsteemi kolmas ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsusega, millel pole lahendusi. Järelikult ei ole võrratuste süsteemil (6) lahendeid, mis tähendab, et ebavõrdsusel (5) pole lahendeid.

Vastus: lahendusi pole.

Näide 7. Lahendage ebavõrdsus

. (7)

Lahendus. Ebavõrdsuse (7) ODZ leidmine on keeruline ülesanne. Seetõttu tehkem asju teisiti. Ebavõrdsus (7) on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga

(8)

Selle süsteemi kolmandal võrratusel on lahendused kõikidele x-idele vahemikust -1

2.2. Piiratud funktsionaalsuse kasutamine.

Võrratuste ja võrratuste lahendamisel mängib sageli määravat rolli funktsiooni omadus, mis on teatud hulgal alla või üle piiratud.

Näiteks kui mõne hulga M kõigi x jaoks on tõesed järgmised võrratused: f(x)>A ja g(x)

Pange tähele, et arvu A rolli mängib sageli null; sel juhul öeldakse, et funktsioonide f(x) ja g(x) märk hulgal M säilib.

Näide 1. Lahenda võrrand

Lahendus..gif" width="191" height="24 src="> Kuna ühegi x väärtuse korral ei ületa võrrandi vasak pool ühte ja parem pool ei ole alati väiksem kui kaks, siis on sellel võrrandil lahendusi pole.

Vastus: lahendusi pole.

Näide 2. Lahenda võrrand

(9)

Lahendus. On ilmne, et x=0, x=1, x=-1 on võrrandi (9) lahendid..gif" width="36" height="19">, kuna kui on selle lahend, siis (-) on ka tema otsus.

Jagame hulga x>0, , kaheks intervalliks (0;1) ja (1;+∞).

Kirjutame võrrandi (9) ümber kujul https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= "25 src=">ainult positiivsed. Järelikult ei ole võrrandil (9) sellel intervallil lahendusi.

Kuulugu x intervalli (1;+∞). Iga selle väärtuse korral x funktsioon võtab positiivseid väärtusi, funktsioon https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> on mittepositiivne. Seetõttu on sellel intervallil võrrandil (9) pole lahendeid.

Kui x>2, siis , ja see tähendab, et intervallil (2;+∞) pole ka võrrandil (9) lahendeid.

Niisiis, x=0, x=1 ja x=-1 ning ainult need on algse võrrandi lahendused.

Vastus:

Näide 3. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus. Ebavõrdsuse (10) ODZ on kõik reaalne x, välja arvatud x=-1. Jagame ODZ kolme hulka: -∞<х<-1, -1

Olgu -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Järelikult on kõik need x-id ebavõrdsuse (10) lahendid.

Laske -1 , A. Järelikult ei ole ükski neist x-idest ebavõrdsuse (10) lahendus.

Olgu 0 , A. Järelikult on kõik need x-id ebavõrdsuse (10) lahendid.

Vastus: -∞<х<-1; 0

Näide 4. Lahenda võrrand

(11)

Lahendus. Tähistame f(x) kaudu. Absoluutväärtuse definitsioonist järeldub, et f(x)= at , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">. gif" width="43" height="41 src=">. Seega, kui , siis võrrandi (11) saab ümber kirjutada kujul , st kujul ..gif" width="53" height="41"> rahuldab ainult . Kui , siis võrrandi (11) saab ümber kirjutada kujul https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Sellel võrrandil on lahendused . Nendest x väärtustest ainult .

Vaatleme x intervallist . Sellel intervallil saab võrrandi (11) ümber kirjutada kujul , see tähendab kujul

On selge, et x = 0 on võrrandi (12) lahend ja seetõttu on algvõrrand..gif" width="39" height="19"> võrrand (12) samaväärne võrrandiga

Iga väärtuse eest , võtab funktsioon ainult positiivseid väärtusi, seetõttu pole võrrandil (12) hulgal lahendusi .

Vastus: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Lahendus. Olgu võrrandi (13) lahend, siis kehtib järgmine võrdsus: (14)

ja ebavõrdsused https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. Võrratuste kehtivuse põhjal saame, et võrdsuse vasak pool (14) on sama märk mis , st sama märk mis , ja parem pool on sama märk mis , kuid kuna ja rahuldavad võrdsust (14), on neil samad märgid.

Kirjutame võrdsuse (14) ümber kujul

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Kirjutame võrdsuse (15) ümber kujul

Kuna neil on samad märgid, siis ..gif" width="95" height="24">. (17)

On ilmne, et iga võrrandi (17) lahend on võrrandi (13) lahend. Seetõttu on võrrand (13) samaväärne võrrandiga (17). Võrrandi (17) lahendid on , need ja ainult nemad on võrrandi (13) lahendid.

Vastus:

Kommenteeri. Nii nagu näites 5, saab tõestada, et Eq.

kus n, m on mis tahes naturaalarvud, võrdub võrrandiga ja seejärel lahendage see lihtsam võrrand.

2. 3. Funktsiooni monotoonsuse kasutamine.

Võrratuste ja võrratuste lahendamine monotoonsuse omaduse abil põhineb järgmistel väidetel.

Olgu f(x) pidev ja rangelt monotoonne funktsioon intervallil L, siis võrrandil f(x)=C, kus C on antud konstant, võib intervallil L olla maksimaalselt üks lahend. Olgu f(x) ja g(x) on pidevad funktsioonid intervallil L, f(x) kasvab rangelt ja g(x) rangelt väheneb sellel intervallil, siis võib võrrandil f(x)=g(x) olla maksimaalselt üks lahend intervall L.

Pange tähele, et intervall L võib olla lõpmatu intervall (-∞; +∞), poollõpmatu intervall (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], lõigud, intervallid ja poolintervallid.

Näide 1. Lahenda võrrand

(18)

Lahendus. Ilmselgelt ei saa x0 olla võrrandi (18) lahendus . Funktsiooni x>0 jaoks pidev ja rangelt kasvav kahe pideva positiivse rangelt suureneva funktsiooni f=x ja https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > korrutis. võtab kõik selle väärtused täpselt ühes punktis. On lihtne näha, et x=1 on võrrandi (18) lahend, seega on see selle ainus lahendus.

Vastus: x=1.

Näide 2. Lahendage ebavõrdsus

. (19)

Lahendus. Kõik funktsioonid , on pidevad ja kogu teljel rangelt suurenevad. See tähendab, et algne funktsioon on sama . On lihtne näha, et funktsioon x=0 korral võtab väärtuse 3. Selle funktsiooni pidevuse ja range monotoonsuse tõttu x>0 korral on meil , kell x<0 имеем . Järelikult on ebavõrdsuse (19) lahendid kõik x<0.

Vastus: -∞

Näide 3. Lahenda võrrand

(20)

Lahendus. Võrrandi (20) lubatud väärtuste vahemik on intervall . Funktsiooni kehtivate väärtuste vahemikus Ja on pidevad ja rangelt kahanevad, seetõttu on funktsioon pidev ja kahanev. Seetõttu võtab funktsioon h(x) iga väärtuse ainult ühes punktis. Kuna h(2)=2, siis x=2 on algvõrrandi ainus juur.

Vastus: x=2.

Näide 4. Lahendage ebavõrdsus

Lahendus... gif" width="95" height="25 src="> on toodud joonisel 7. Jooniselt järeldub, et ODZ võrratus (26) kehtib kõigi x kohta.

Tõestame seda. Iga meil ja iga sellise x jaoks on meil https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> on . Järelikult on võrratuse (26) lahendid kõik x vahemikust [-1;1].

Näide 2. Lahenda võrrand

. (27)

Lahendus..gif" width="123" height="24"> ja on toodud joonisel 8. Joonistame sirge y=2. Jooniselt järeldub, et funktsiooni f(x) graafik ei asu sellest sirgest madalamal ja funktsiooni g(x) graafik ei ole kõrgem. Veelgi enam, need graafikud puudutavad sirget y=2 erinevates punktides. Seetõttu pole võrrandil lahendusi. Tõestame seda. Iga meil on . Sel juhul f(x)=2 ainult x=-1 ja g(x)=2 ainult x=0 korral. See tähendab, et võrrandil (27) pole lahendeid.

Vastus: lahendusi pole.

Näide 3. Lahenda võrrand

. (28)

Lahendus..gif" width="95" height="25 src="> on toodud joonisel 9. On lihtne kontrollida, et punkt (-1; -2) on funktsioonide f() graafikute lõikepunkt x) ja g(x) ehk x=-1 on võrrandi (28) lahend.Joonistame sirge y=x-1 Jooniselt järeldub, et see asub funktsioonide graafikute vahel y=f(x) ja y=g(x) See tähelepanek aitab tõestada, et võrrandil (28) pole muid lahendeid.

Selleks tõestame, et x intervallist (-1; +∞) võrratused ja , ning x jaoks intervallist (-∞; -1) võrratused https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. Ilmselgelt kehtib ebavõrdsus x>-1 ja ebavõrdsus https://pandia.ru/text/78/500/ images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Selle ebavõrdsuse lahendused on kõik x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Järelikult on nõutav väide tõestatud ja võrrandil (28) on üks juur x=-1.

Vastus: x=-1.

Näide 4. Lahendage ebavõrdsus

. (29)

Lahendus..gif" width="39" height="19 src=">, see tähendab, et ODZ koosneb kolmest tühikust, , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, võrdub ebavõrdsusega

, (30)

ja piirkonnas x>0 võrdub see ebavõrdsusega

. (31)

Funktsioonigraafiku visandid ja on näidatud joonisel 10..gif" width="56" height="45"> ja .

Seetõttu ei ole võrratusel (31) lahendeid ja võrratusel (30) on kõigi intervalli x-ide lahendid.

Tõestame seda.

A) Laske. Ebavõrdsus (29) on võrdne ebavõrdsusega (30) sellel intervallil. On lihtne näha, et iga selle intervalli x korral kehtivad võrratused

,

.

Järelikult ei ole võrratusel (30) ja koos sellega algsel võrratusel (29) intervallil lahendeid.

B) Laske . Siis võrdub ebavõrdsus (29) ka ebavõrdsusega (30). Iga selle intervalli x jaoks

,

Järelikult on iga selline x lahendus ebavõrdsusele (30) ja seega ka algsele ebavõrdsusele (29).

C) Olgu x>0. Sellel hulgal on algne ebavõrdsus samaväärne ebavõrdsusega (31). Ilmselgelt kehtivad selle hulga mis tahes x-i korral järgmised ebavõrdsused:

,

See tähendab:

1) ebavõrdsusel (31) ei ole hulgal kus lahendeid , see tähendab, et ebavõrdsusel (31) pole hulgal lahendeid;

2) Ebavõrdsusel (31) pole lahendusi komplektis, kus https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Ebavõrdsusele tuleb lahendused leida (31 ), mis kuulub intervalli 1