Kuidas leida funktsioonide gradientide vahelist nurka. Vektoranalüüs pinna- ja nivoojoonte skalaarväli suundtuletis tuletis skalaarvälja gradient gradiendi põhiomadused invariant gradiendi reeglite definitsioon gradiendi arvutamiseks

Ülesanne 2. Leidke punktides A(1, 2, 2) ja B(-3, 1, 0) olevate väljagradientide vahelise nurga a koosinus. Lahendus.

Ülesanne 3. Leia funktsiooni jaoks tuletis sisenormaali suunas to silindriline pind x 2 + z 2 = a 2 + c 2 punktis M 0(a, b, c). Lahendus. Olgu f(x, y, z) = x 2 + z 2. Tingimuses antud pind on punkti M 0 läbiva f tasapinnaline pind. Meil ​​on funktsioon f punktis M 0 kasvab kõige kiiremini selles suunas grad f, mis tähendab normaalsuunas antud pinnale.

Funktsiooni f kuju põhjal järeldame, et see on välisnormaali suund. Seega ühikvektor sisemine normaal punktis M 0 on võrdne

Ülesanne 5. Arvutage vektorvälja voog a = (z 2 – x, 1, y 5) läbi sisepind S: y 2 = 2 x, tasanditega ära lõigatud: x = 2, z = 0, z = 3. Lahendus.

Lahendus. Meetod I Kontuur L on ring raadiusega R, mis asub tasapinnal z = 3. Valime orientatsiooni nagu näidatud joonisel, st vastupäeva. Parameetrilised võrrandid ringid näevad välja nagu

II meetod. Stokesi teoreemi abil tsirkulatsiooni arvutamiseks valime pinna S, mis on kaetud kontuuriga. Loomulik on võtta S-ks ringjoont, mille piiriks on kontuur L. Pinnavõrrandil S on vorm: Vastavalt kontuuri valitud orientatsioonile tuleb pinna normaal võtta võrdseks

Ülesanne 7. Leidke Stokesi teoreemi abil vektorvälja tsirkulatsioon piki lõiku x 2 + y 2 + z 2 = R 2 tasapinnaga z = 0. Lahendus. Stokesi valemi järgi

Ülesanne 8. Leidke vektorvoog läbi sfääri osa x 2 + y 2 + z 2 = R 2, kui x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, välisnormaali suunas. Lahendus. Pinna läbiva vektorvoo definitsiooni järgi leiame

1 0 Gradient on suunatud tasapinnale (või tasapinnalise põllu korral tasapinna joonele).

2 0 Gradient on suunatud välja funktsiooni suurendamisele.

3 0 Gradiendi moodul võrdub suurima suunatuletisega välja antud punktis:

Need omadused annavad gradiendile muutumatu karakteristiku. Nad ütlevad, et vektor gradU näitab suurima muutuse suunda ja suurust skalaarväli sel hetkel.

Märkus 2.1. Kui funktsioon U(x,y) on kahe muutuja funktsioon, siis vektor

(2.3)

asub hapnikutasandil.

Olgu U=U(x,y,z) ja V=V(x,y,z) diferentseeruvad funktsioonide punktis M 0 (x,y,z). Siis kehtivad järgmised võrdsused:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, kus , U=U() omab tuletist .

Näide 2.1. Funktsioon U=x 2 +y 2 +z 2 on antud. Määrake funktsiooni gradient punktis M(-2;3;4).

Lahendus. Vastavalt valemile (2.2) on meil

.

Selle skalaarvälja tasapinnad on sfääride perekond x 2 +y 2 +z 2, vektor gradU=(-4;6;8) on normaalvektor lennukid.

Näide 2.2. Leidke skalaarvälja U=x-2y+3z gradient.

Lahendus. Vastavalt valemile (2.2) on meil

Antud skalaarvälja tasapinnad on tasapinnad

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) on selle perekonna tasapindade normaalvektor.

Näide 2.3. Leia pinnatõusu suurim järsus U=x y punktis M(2;2;4).

Lahendus. Meil on:

Näide 2.4. Leidke skalaarvälja tasapinna ühiknormaalvektor U=x 2 +y 2 +z 2 .

Lahendus. Antud skalaari Field-sfääri tasapinnad x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradient on suunatud tasapinna suhtes normaalselt, seega

Määratleb tasapinna normaalvektori punktis M(x,y,z). Ühiku normaalvektori jaoks saame avaldise

, Kus

.

Näide 2.5. Leidke välja gradient U= , kus ja on konstantsed vektorid, r on punkti raadiuse vektor.

Lahendus. Lase

Seejärel:
. Determinandi diferentseerimisreegli järgi saame

Seega

Näide 2.6. Leia kauguse gradient, kus P(x,y,z) on uuritav väljapunkt, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) on mingi fikseeritud punkt.

Lahendus. Meil on ühiku suunavektor .

Näide 2.7. Leia nurk funktsioonide gradientide vahel punktis M 0 (1,1).

Lahendus. Leiame nende funktsioonide gradiendid punktist M 0 (1,1), meil on

; Võrdsuse põhjal määratakse nurk gradU ja gradV vahel punktis M 0

Seega =0.

Näide 2.8. Leidke suunatuletis, mille raadiuse vektor on võrdne

(2.4)

Lahendus. Leidke selle funktsiooni gradient:

Asendades (2.5) väärtusega (2.4), saame

Näide 2.9. Leidke punktis M 0 (1;1;1) skalaarvälja U=xy+yz+xz suurima muutuse suund ja selle suurima muutuse suurus selles punktis.

Lahendus. Välja suurima muutuse suunda näitab vektor grad U(M). Leiame selle:

Ja see tähendab... See vektor määrab suurima kasvu suuna sellest valdkonnast punktis M 0 (1;1;1). Suurima väljamuutuse suurus selles punktis on võrdne

.

Näide 3.1. Leidke vektorvälja vektorjooned kus on konstantne vektor.

Lahendus. Meil on nii

(3.3)

Korrutage esimese murru lugeja ja nimetaja x-ga, teise y-ga, kolmanda z-ga ja liitke liige liikme kaupa. Kasutades proportsioonide omadust, saame

Seega xdx+ydy+zdz=0, mis tähendab

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -konst>0. Nüüd korrutades esimese murru (3.3) lugeja ja nimetaja c 1-ga, teise c 2-ga, kolmanda c 3-ga ja liites liikmed liikme kaupa, saame

Kus alates 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Ja seetõttu 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-kont.

Vektorjoonte nõutavad võrrandid

Need võrrandid näitavad, et vektorjooned saadakse sfääride, mille lähtepunktis on ühine keskpunkt, lõikumisel tasapindadega vektoriga risti . Sellest järeldub, et vektorjooned on ringid, mille keskpunktid on sirgel, mis läbib alguspunkti vektori c suunas. Ringide tasapinnad on määratud sirgega risti.

Näide 3.2. Leidke vektori väljajoon läbides punkti (1,0,0).

Lahendus. Diferentsiaalvõrrandid vektorjooned

seega meil on . Esimese võrrandi lahendamine. Või kui võtame kasutusele parameetri t, siis saame Sel juhul võrrandi võtab vormi või dz=bdt, kust z=bt+c 2.

Kui igas ruumipunktis või ruumiosas määratakse teatud suuruse väärtus, siis öeldakse, et selle suuruse väli on täpsustatud. Välja nimetatakse skalaarseks, kui vaadeldav suurus on skalaarne, s.t. täielikult oma arvväärtus. Näiteks temperatuuriväli. Skalaarvälja annab skalaarpunktifunktsioon u = /(M). Kui ruumis kasutusele võtta Descartes'i koordinaatsüsteem, siis on olemas kolme muutuja funktsioon x, yt z - punkti M koordinaadid: Definitsioon. Skalaarvälja tasapind on punktide kogum, kus funktsioon f(M) saab sama väärtuse. Tasapinna võrrand Näide 1. Leida skalaarvälja tasapinnad VEKTORANALÜÜS Skalaarväli Pinnad ja nivoojooned Suunatuletis Tuletis Skalaarvälja gradient Gradiendi põhiomadused Gradiendi muutumatu definitsioon Gradiendi arvutamise reeglid -4 Vastavalt definitsioonile , on tasase pinna võrrand. See on sfääri võrrand (mille Ф 0), mille keskpunkt on algpunktis. Skalaarvälja nimetatakse tasaseks, kui väli on kõigil teatud tasapinnaga paralleelsetel tasanditel ühesugune. Kui näidatud tasapind on xOy tasapind, siis välja funktsioon ei sõltu z-koordinaadist, st see on ainult argumentide x ja y funktsioon. Tasapinda saab iseloomustada tasemejoonte abil Tasapinna punktide hulk, kus funktsioonil /(x, y) on üks ja ka tähendus. Tasajoone võrrand - Näide 2. Leidke skalaarvälja tasapinnad Tasajooned on antud võrranditega Kui c = 0 saame sirgepaari, saame hüperboolide perekonna (joonis 1). 1.1. Suundtuletis Olgu skalaarfunktsiooniga u = /(Af) defineeritud skalaarväli. Võtame punkti Afo ja valime vektori I poolt määratud suuna. Võtame teise punkti M, et vektor M0M oleks paralleelne vektoriga 1 (joonis 2). Tähistame MoM vektori pikkust A/ ja funktsiooni /(Af) - /(Afo) juurdekasvu, mis vastab D1 liikumisele, Di-ga. Suhtumine määrab keskmine kiirus muutused skalaarväljas pikkuseühiku kohta antud suunas. Laske nüüd nullida nii, et vektor M0M jääb kogu aeg paralleelseks vektoriga I. Kui punktis D/O on seose (5) lõplik piir, siis nimetatakse seda funktsiooni tuletiseks antud punktis Afo antud suunale I ja tähistatakse sümboliga 3!^. Seega definitsiooni järgi ei ole see definitsioon seotud koordinaatsüsteemi valikuga, st see on **variandi iseloomuga. Leiame tuletisele avaldise suuna suhtes Descartes'i süsteem koordinaadid Olgu funktsioon / punktis diferentseeruv. Vaatleme /(Af) väärtust punktis. Siis saab funktsiooni summaarse juurdekasvu kirjutada järgmisel kujul: kus ja sümbolid tähendavad, et osatuletised arvutatakse punktis Afo. Seega Siin on suurused jfi, ^ vektori suunakoosinused. Kuna vektorid MoM ja I on ühiselt suunatud, on nende suunakoosinused samad: Kuna M Afo on alati sirgel, paralleelselt vektoriga 1, siis on nurgad konstantsed, sest Lõpuks saame võrranditest (7) ja (8) Eamuan on 1. Osatuletised on funktsiooni tuletised ja piki koordinaattelgede suundi - Näide 3. Leia tuletis funktsioonist punkti suunas Vektoril on pikkus. Selle suuna koosinused: Valemi (9) kohaselt saame Asjaolu, et tähendab, et skalaarväli punktis antud vanusesuunas - Tasase välja korral on tuletis punkti suuna I suhtes arvutatakse valemiga kus a on vektori I poolt moodustatud nurk teljega Oh. Зммчмм 2. Valem (9) tuletise arvutamiseks suunas I antud punktis Afo jääb kehtima, kui punkt M kaldub punkti Mo piki kõverat, mille vektor I puutub punktis PrIShr 4. Arvuta skalaari tuletis väli punktis Afo(l, 1). kuuludes selle kõvera suunas (abstsissi suurenemise suunas) parabooli. Parabooli suund ] punktis loetakse parabooli puutuja suunaks selles punktis (joonis 3). Olgu parabooli puutuja punktis Afo Hrja teljega nurga o. Kust tulevad siis puutuja suunakoosinused. Arvutame punkti ja väärtused? Nüüd saame valemi (10) abil. Leidke skalaarvälja tuletis punktis piki ringi suunda Ringi vektorvõrrandil on kuju. Leiame ringjoone puutuja ühikvektori m Punkt vastab parameetri väärtusele punkt Arvutame punktis antud skalaarvälja osatuletisi väärtused. Skalaarvälja gradient Olgu skalaarväli defineeritud skalaarfunktsiooniga, mida eeldatakse diferentseeruvana. Definitsioon. Skalaarvälja gradient "antud punktis M on vektor, mida tähistab sümbol grad ja mis on määratletud võrdsusega. On selge, et see vektor sõltub nii funktsioonist / kui ka punktist M, kus selle tuletis arvutatakse. Olgu 1 suuna ühikvektor Siis saab suunatuletise valemi kirjutada järgmisel kujul: . Seega on funktsiooni ja suuna tuletis 1 võrdne skalaarkorrutis funktsiooni u(M) gradient I suuna 1° ühikuvektorile. 2.1. Gradiendi põhiomadused Teoreem 1. Skalaarvälja gradient on tasapinnaga (või tasase välja korral nivoojoonega) risti. (2) Lähme läbi suvaline punkt M tasapinnaline pind u = const ja vali sellel pinnal ühtlane kõver L, mis läbib punkti M (joonis 4). Olgu I kõvera L vektori puutuja punktis M. Kuna tasapinnal u(M) = u(M|) mis tahes punkti Mj e L korral, siis seevastu = (gradu, 1°). Sellepärast. See tähendab, et vektorid grad ja ja 1° on ortogonaalsed. Seega on vektor grad ja ortogonaalne tasapinna mis tahes puutuja suhtes punktis M. Seega on see ortogonaalne tasapinna enda suhtes punktis M. Teoreem 2. gradient on suunatud välja funktsiooni suurendamisele. Eelnevalt tõestasime, et skalaarvälja gradient on suunatud piki normaalset tasapinnale, mis võib olla orienteeritud kas funktsiooni u(M) suurenemise või selle kahanemise suunas. Tähistame n-ga tasapinna normaalset, mis on orienteeritud funktsiooni ti(M) suurenemise suunas, ja leiame funktsiooni u tuletise selle normaalse suunas (joonis 5). Meil on Kuna vastavalt joonise 5 tingimusele ja seetõttu VEKTORANALÜÜS Skalaarväli Pinnad ja nivoojooned Tuletis suunas Tuletis Skalaarvälja gradient Gradiendi põhiomadused Gradiendi muutumatu definitsioon Gradiendi arvutamise reeglid Sellest järeldub, et grad on suunatud samasse suunda, mille valisime normaalse n, st funktsiooni u(M) suurenemise suunas. Teoreem 3. Gradiendi pikkus on võrdne suurima tuletisega suuna suhtes antud välja punktis (siin kontrollitakse kõiki võimalikke suundi antud punktis M). Meil on kus on vektorite 1 ja grad n vaheline nurk Kuna suurim väärtus on näide 1. Leia punktis skalaarvälja suurima muutuse suund ja ka selle suurima muutuse suurus määratud punktis. Skalaarvälja suurima muutuse suund on näidatud vektoriga. Meil on nii, et See vektor määrab välja suurima kasvu suuna punktis. Suurima väljamuutuse suurusjärk selles punktis on 2,2. Invariantne gradiendi definitsioon Koguseid, mis iseloomustavad uuritava objekti omadusi ja ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust, nimetatakse invariantideks sellest objektist. Näiteks kõvera pikkus on selle kõvera invariant, kuid kõvera puutuja nurk Ox-teljega ei ole invariant. Eespool tõestatud skalaarvälja gradiendi kolme omaduse põhjal saame anda gradiendile järgmise muutumatu definitsiooni. Definitsioon. Skalaarvälja gradient on vektor, mis on suunatud tasapinna suhtes normaalselt välja funktsiooni suurendamise suunas ja mille pikkus on võrdne suurima tuletisega antud punktis. Olgu ühik normaalvektor, mis on suunatud suureneva välja suunas. Seejärel Näide 2. Leia kauguse gradient – ​​mingi fikseeritud punkt ja M(x,y,z) – praegune. 4 Meil ​​on kus on ühiku suunavektor. Gradiendi arvutamise reeglid, kus c on konstantne arv. Antud valemid saadakse otse gradiendi definitsioonist ja derivaatide omadustest. Korrutise diferentseerimise reegli järgi on tõestus sarnane omaduse tõestusega Olgu F(u) diferentseeruv skalaarfunktsioon. Seejärel 4 Fadiendi definitsiooni järgi on meil rakendatud diferentseerimisreeglit kõigile paremal pool olevatele terminitele keeruline funktsioon. Täpsemalt, valem (6) tuleneb valemist Näide 3. Leia tuletis raadiusvektori r suuna suhtes funktsioonist Kasutades valemit (3) ja kasutades valemit Selle tulemusena saame, et näide 4 Olgu antud tasapinnaline skalaarväli – kaugused mõnest punkttasandist selle tasandi kahe fikseeritud punktini. Vaatleme suvalist ellipsi fookustega Fj ja F] ja tõestame, et iga ellipsi ühest fookusest väljuv valguskiir jõuab pärast ellipsist peegeldumist selle teise fookusesse. Funktsiooni (7) tasemejooned on VEKTORANALÜÜS Skalaarväli Pinnad ja nivoojooned Suunatuletis Tuletis Skalaarvälja gradient Gradiendi põhiomadused Gradiendi muutumatu definitsioon Gradiendi arvutamise reeglid Võrrandid (8) kirjeldavad ellipside perekonda, mille fookused on punktid F) ja Fj. Vastavalt näite 2 tulemusele on meil Seega gradient antud väli võrdne vektoriga R ühikvektoritele konstrueeritud rombi diagonaali PQ? ja raadiusvektorid. tõmmatud punkti P(x, y) fookusest F| ja Fj ning seepärast asub nende raadiusvektorite vahelise nurga poolitaja (joonis 6). Tooromo 1 järgi on gradient PQ punktis ellipsiga (8) risti. Seetõttu joonis 6. ellipsi (8) normaal mis tahes punktis poolitab sellesse punkti tõmmatud raadiusvektorite vahelise nurga. Sellest ja sellest, et langemisnurk on võrdne peegeldusnurgaga, saame: ellipsi ühest fookusest väljuv valguskiir, mis sealt peegeldub, langeb kindlasti selle ellipsi teise fookusesse.