Kui olete juba tuttav trigonomeetriline ring , ja soovite lihtsalt üksikuid elemente oma mälus värskendada või olete täiesti kannatamatu, siis siin see on, :

Siin analüüsime kõike üksikasjalikult samm-sammult.

Trigonomeetriline ring ei ole luksus, vaid vajadus

Trigonomeetria paljud on seotud läbimatu tihnikuga. Nii palju tähendusi kuhjub järsku trigonomeetrilised funktsioonid, nii palju valemeid ... Aga see on nagu - see ei õnnestunud alguses ja ... edasi ja edasi ... puhas arusaamatus ...

Väga oluline on mitte käega vehkida trigonomeetriliste funktsioonide väärtused, - öeldakse, väärtuste tabeliga saab alati kannust vaadata.

Kui vaatad pidevalt väärtustega tabelit trigonomeetrilised valemid Loobume sellest harjumusest!

Päästab meid! Töötate sellega mitu korda ja siis hüppab see teie pähe iseenesest. Miks see on parem kui laud? Jah, tabelist leiate piiratud arvu väärtusi, kuid ringilt - KÕIK!

Näiteks, ütleme, vaadates trigonomeetriliste valemite väärtuste standardtabel , mida võrdub siinusega, ütleme 300 kraadi või -45.

Mitte mingil juhul? .. saate muidugi ühendada redutseerimisvalemid... Ja vaadates trigonomeetrilist ringi, saate sellistele küsimustele lihtsalt vastata. Ja varsti saate teada, kuidas!

Ja otsustamisel trigonomeetrilised võrrandid ja ebavõrdsused ilma trigonomeetrilise ringita – üldse mitte kuskil.

Sissejuhatus trigonomeetrilisse ringi

Lähme järjekorras.

Kõigepealt kirjutage üles järgmised numbriseeriad:

Ja nüüd see:

Ja lõpuks see:

Muidugi on selge, et tegelikult on esiteks, teisel kohal on ja viimasel -. See tähendab, et oleme ahela vastu rohkem huvitatud.

Aga kui ilus see välja tuli! Sel juhul taastame selle “imelise redeli”.

Ja miks me seda vajame?

See ahel on siinuse ja koosinuse peamised väärtused esimeses kvartalis.

Joonistame sisse ristkülikukujuline süsteemühiku raadiusega ringi koordinaadid (see tähendab, et võtame suvalise raadiuse piki pikkust ja kuulutame selle pikkuse ühikuks).

"0-Start" tala küljest jätame noole (vt joonis) nurgad kõrvale.

Ringil saame vastavad punktid. Seega, kui projitseerime punktid igale teljele, saame ülaltoodud ahelast täpselt väärtused.

Miks see nii on, küsite?

Ärme võta kõike lahti. Kaaluge põhimõte, mis võimaldab teil toime tulla teiste sarnaste olukordadega.

Kolmnurk AOB on täisnurkne kolmnurk koos . Ja me teame, et nurga vastas asub hüpotenuusist kaks korda väiksem jalg (meie hüpotenuus = ringi raadius, see tähendab 1).

Seega AB= (ja seega OM=). Ja Pythagorase teoreemi järgi

Loodan, et nüüd sai midagi selgeks.

Nii et punkt B vastab väärtusele ja punkt M vastab väärtusele

Samamoodi ka ülejäänud esimese kvartali väärtustega.

Nagu aru saate, on meile tuttav telg (härg). koosinustelg, ja telg (oy) - siinuse telg . Hiljem.

Koosinusteljel nullist vasakul (siinusteljel alla nulli) on loomulikult negatiivsed väärtused.

Niisiis, siin see on, KÕIKVÕIMAS, ilma milleta pole trigonomeetrias kusagil.

Aga kuidas trigonomeetrilist ringi kasutada, sellest räägime.

Mis on ühikring. Ühikringjoon on ring, mille raadius on 1 ja mille keskpunkt on alguspunktis. Tuletame meelde, et ringjoone võrrand näeb välja selline: x 2 + y 2 =1. Sellist ringi saab kasutada mõne "erilise" trigonomeetrilise seose leidmiseks, samuti konstrueerimisel graafilised pildid. Selle ja selles sisalduva rea ​​abil saab hinnata ka trigonomeetriliste funktsioonide arvväärtusi.

Jäta meelde 6 trigonomeetrilist suhet. mäleta seda

• sinθ=vastand/hüpotenuus
• cosθ = külgnev/hüpotenuus
• tgθ = vastasjalg/külgnev jalg
• cosecθ=1/sin
• secθ=1/cos
• ctgθ=1/tg.

Mis on radiaan. Radiaan on üks nurga suuruse määramise mõõdikutest. Üks radiaan on kahe raadiuse vahelise nurga väärtus, mis on tõmmatud nii, et nendevahelise kaare pikkus võrdub raadiuse väärtusega. Pange tähele, et ringi suurus ja asukoht ei mängi mingit rolli. Samuti peaksite teadma, kui suur on täisringi (360 kraadi) radiaanide arv. Tuletame meelde, et ringi ümbermõõt on 2πr, mis on raadiuse pikkus 2π korda suurem. Kuna definitsiooni järgi on 1 radiaan nurk kaare otste vahel, mille pikkus on võrdne raadiusega, siis on täisringis nurk 2π radiaaniga.

Tea, kuidas teisendada radiaane kraadideks. Täisring sisaldab 2π radiaani ehk 360 kraadi. Seega:

• 2π radiaani = 360 kraadi
• 1 radiaan = (360/2π) kraadi
• 1 radiaan=(180/π) kraadi
• 360 kraadi = 2π radiaani
• 1 kraad = (2π/360) radiaan
• 1 kraad = (π/180) radiaan

Õppige "erilisi" nurki. Need nurgad radiaanides on π/6, π/3, π/4, π/2, π ja nende suuruste korrutised (näiteks 5π/6)

Õppige ja jätke meelde trigonomeetriliste funktsioonide tähendused erinurkade jaoks. Nende suuruste määramiseks peate vaatama ühikuringi. Mõelge teadaoleva pikkusega segmendile, mis on suletud üksuse ring. Ringi punkt vastab radiaanide arvule moodustatud nurgas. Näiteks nurk π/2 vastab ringjoone punktile, mille raadius moodustab positiivse horisontaalraadiusega nurga π/2. Mis tahes nurga trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse leidmiseks määratakse sellele nurgale vastava punkti koordinaadid. Hüpotenuus on alati võrdne ühega, kuna see on ringi raadius ja kuna iga arv jagatud 1-ga on võrdne iseendaga ja vastasjalg pikkusega võrdne piki Oy telge, järeldub, et mis tahes nurga siinuse väärtus on ringi vastava punkti y-koordinaat. Koosinusväärtuse saab leida sarnaselt. Koosinus võrdub külgneva jala pikkusega, mis on jagatud hüpotenuusi pikkusega; kuna viimane on võrdne ühega ja külgneva jala pikkus võrdub ringi punkti x-koordinaadiga, järeldub, et koosinus võrdub väärtusega see koordinaat. Puutuja leidmine on veidi keerulisem. Nurga puutuja täisnurkne kolmnurk võrdne vastasjalaga jagatud külgneva jalaga. IN sel juhul, erinevalt eelmistest ei ole jagatis konstant, mistõttu arvutused muutuvad mõnevõrra keerulisemaks. Tuletame meelde, et vastasharu pikkus on võrdne y-koordinaadiga ja külgnev jalg võrdub ühikuringi punkti x-koordinaadiga; asendades need väärtused, saame, et puutuja on võrdne y / x. Jagades 1 ülaltoodud väärtustega, saate hõlpsalt leida vastavad pöördtrigonomeetrilised funktsioonid. Seega on võimalik arvutada kõik peamised trigonomeetrilised funktsioonid:

• sinθ=y
• cosθ=x
• tgθ=y/x
• cosec=1/a
• sec=1/x
• ctg=x/y

Leidke ja jätke meelde kuue trigonomeetrilise funktsiooni väärtused lamavate nurkade jaoks koordinaatteljed , st nurgad, mis on π/2 kordsed, näiteks 0, π/2, π, 3π/2, 2π jne. e. Koordinaatide telgedel asuvate ringipunktide puhul ei tekita see probleeme. Kui punkt asub x-teljel, on siinus null ja koosinus 1 või -1, olenevalt suunast. Kui punkt asub Oy teljel, on siinus 1 või -1 ja koosinus 0.

Leidke ja jätke meelde 6 trigonomeetrilise funktsiooni väärtused erinurga π/6 jaoks. Rakenda ühikuringile nurk π/6. Teate, kuidas leida spetsiaalsete täisnurksete kolmnurkade (nurgad 30-60-90 ja 45-45-90) kõigi külgede pikkused. teadaolev pikkusüks külgedest ja kuna π / 6 \u003d 30 kraadi, on see kolmnurk üks erilistel puhkudel. Nagu mäletate, on tema jaoks lühike jalg võrdne 1/2 hüpotenuusist, see tähendab, et y-koordinaat on 1/2 ja pikk jalg on √3 korda pikem kui lühike, see tähendab, et see on võrdne (√3)/2, seega on x-koordinaat (√3)/2. Seega saame ühikringil punkti järgmiste koordinaatidega: ((√3)/2,1/2). Kasutades ülaltoodud võrrandeid, leiame:

• sinπ/6=1/2
• cosπ/6=(√3)/2
• tanπ/6=1/(√3)
• cosecπ/6=2
• sekπ/6=2/(√3)
• ctgπ/6=√3

Leidke ja jätke meelde 6 trigonomeetrilise funktsiooni väärtused spetsiaalse nurga π/3 jaoks. Nurka π/3 kujutab ringjoonel punkt, mille x-koordinaat on võrdne nurga π/6 y-koordinaatiga ja mille y-koordinaat on sama, mis selle nurga x-koordinaat. Seega on punktil koordinaadid (1/2, √3/2). Selle tulemusena saame:

• sinπ/3=(√3)/2
• cosπ/3=1/2
• tgπ/3=√3
• cosecπ/3=2/(√3)
• secπ/3=2
• ctgπ/3=1/(√3)

Leidke ja jätke meelde 6 trigonomeetrilise funktsiooni väärtused erinurga π/4 jaoks. Nurkadega 45-45-90 täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkus on seotud selle jalgade pikkustega √2 kuni 1, samuti seostatakse ühikuringi punkti koordinaatide väärtused. Selle tulemusena on meil:

• sinπ/4=1/(√2)
• cosπ/4=1/(√2)
• tgπ/4=1
• cosecπ/4=√2
• secπ/4=√2
• ctgπ/4=1

Määrake, kas funktsiooni väärtus on positiivne või negatiivne. Kõik samasse perekonda kuuluvad nurgad annavad sama absoluutväärtused trigonomeetrilised funktsioonid, kuid need väärtused võivad märgi poolest erineda (üks on positiivne, teine ​​negatiivne).

• Kui nurk on esimeses kvadrandis, on kõik trigonomeetrilised funktsioonid positiivsed.
• Teises kvadrandis oleva nurga puhul on kõik funktsioonid peale sin ja cosec negatiivsed.
• Kolmandas kvadrandis on kõigi funktsioonide väärtused, välja arvatud tg ja ctg, väiksemad kui null.
• Neljandas kvadrandis on kõigil funktsioonidel, välja arvatud cos ja sec, negatiivsed väärtused.

Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest tuntuim on apooria "Achilleus ja kilpkonn". See kõlab järgmiselt:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mil Achilleus selle distantsi läbib, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kõik nad pidasid nii või teisiti Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad ka praegu, et jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse kohta teadusringkond pole veel õnnestunud... matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ühestki neist ei saanud probleemile üldtunnustatud lahendus ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.

Matemaatika seisukohalt näitas Zenon oma apoorias selgelt üleminekut väärtuselt väärtusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendamist. Nii palju kui ma aru saan, matemaatiline aparaat muutuvate mõõtühikute kasutamine pole kas veel välja kujunenud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsist vastastikusele konstantsed ajaühikud. Füüsilisest vaatenurgast tundub, et aeg aeglustub punkt hetkel, kui Achilleus kilpkonnale järele jõuab. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus enam kilpkonnast mööduda.

Kui pöörame harjunud loogikat, loksub kõik paika. Achilleus jookseb kaasa püsikiirus. Selle tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus möödub lõpmatult kiiresti kilpkonnast."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? püsi sees konstantsed ühikud aja mõõtmised ja ärge lülituge vastastikustele väärtustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajaintervalli jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Aga ei ole täielik lahendus Probleemid. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna igal ajahetkel on ta puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias loogiline paradoks sellest saab üle väga lihtsalt - piisab selgitusest, et igal ajahetkel puhkab lendav nool erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel tehtud fotot, kuid nende abil ei saa määrata kaugust. Auto kauguse määramiseks vajate kahte fotot, mis on tehtud erinevad punktid ruumi ühel ajahetkel, kuid nende järgi on liikumise fakti võimatu kindlaks teha (loomulikult on arvutuste jaoks siiski vaja lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid). Millele ma tahan keskenduda Erilist tähelepanu, on see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Väga hästi on Vikipeedias kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Me vaatame.

Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista sellist absurdiloogikat kunagi. See on kõnelevate papagoide ja treenitud ahvide tase, kus mõistus puudub sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kunagi olid silla ehitanud insenerid silla katsetuste ajal silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.

Ükskõik kuidas matemaatikud peituvad väljendi "mind mind, ma olen majas" taha või pigem "matemaatikaõpingud" abstraktsed mõisted", on üks nabanöör, mis on reaalsusega lahutamatult seotud. See nabanöör on raha. Kohaldatav matemaatiline teooria seab matemaatikutele endile.

Õppisime matemaatikat väga hästi ja istume nüüd kassas ja maksame palka. Siin tuleb meie juurde matemaatik oma raha pärast. Loeme talle kogu summa kokku ja laotame selle oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitame matemaatikat, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.

Esiteks hakkab toimima saadikute loogika: "teiste puhul võid seda rakendada, minu puhul mitte!" Edasi hakatakse tagama, et sama nimiväärtusega pangatähtedel on erinevad pangatähtede numbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada identseteks elementideks. Noh, me arvestame palka müntides - müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik kramplikult füüsikat meenutama: see on erinevatel müntidel erinev summa muda, kristallstruktuur ja aatomite paigutus igas mündis on ainulaadne...

Ja nüüd on mul kõige rohkem huvi Küsi: kus on piir, millest kaugemal muutuvad multihulka elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus pole siin lähedalgi.

Vaata siia. Valime jalgpallistaadionid koos sama piirkond väljad. Väljade pindala on sama, mis tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui arvestada samade staadionide nimesid, saame palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide kogum korraga nii hulk kui ka multikomplekt. Kui õige? Ja siin võtab matemaatik-šamaan-shuller varrukast välja trumpässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".

Pühapäev, 18. märts 2018

Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga selleks on nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.

Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida lehekülg "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Lõppude lõpuks on numbrid graafilised sümbolid, mille abil kirjutame numbreid ja matemaatika keeles kõlab ülesanne nii: "Leia suvalist arvu esindavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hakkama elementaarselt.

Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, oletame, et meil on number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.

1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.

2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks eraldi numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.

3. Teisendage üksikud graafilised märgid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.

4. Liitke saadud arvud kokku. Nüüd on see matemaatika.

Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on matemaatikute kasutatavad šamaanide "lõike- ja õmbluskursused". Kuid see pole veel kõik.

Matemaatika seisukohalt pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Seega on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. KOOS suur hulk 12345 Ma ei taha oma pead petta, mõelge numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.

Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, nagu ristküliku pindala leidmine meetrites ja sentimeetrites annaks teile täiesti erinevad tulemused.

Null kõigis numbrisüsteemides näeb välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et . Küsimus matemaatikutele: kuidas tähistatakse matemaatikas seda, mis pole arv? Mis, matemaatikute jaoks pole muud kui numbrid olemas? Šamaanidele võin seda lubada, aga teadlastele mitte. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.

Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega annavad pärast nende võrdlemist erinevaid tulemusi, siis pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.

Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise toimingu tulemus ei sõltu arvu väärtusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.

Silt uksel Avab ukse ja ütleb:

Oh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on labor hingede määramatu pühaduse uurimiseks taevasse tõusmisel! Nimbus peal ja nool üles. Mis tualett veel?

Naine... Halo peal ja nool alla on isane.

Kui teie silme ees vilgub mõni selline disainikunstiteos mitu korda päevas,

Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:

Ise pingutan enda kallal, et näha kakaval inimesel miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitme pildi koosseis: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei arva, et see tüdruk on loll, ei kes tunneb füüsikat. Tal on lihtsalt stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.

1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel

Märge. See trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel kasutab tähistamiseks märki √ ruutjuur. Murru tähistamiseks - sümbol "/".

Vaata ka kasulikud materjalid:

Sest trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse määramine, leidke see trigonomeetrilist funktsiooni tähistava joone ristumiskohast. Näiteks siinus 30 kraadi - otsime veergu pealkirjaga sin (siinus) ja leiame tabeli selle veeru ristumiskoha joonega "30 kraadi", nende ristumiskohas loeme tulemust - üks teiseks. Samamoodi leiame koosinus 60 kraadid, siinus 60 kraadi (taas kord, patu (siinuse) veeru ja 60 kraadise rea ristumiskohas leiame patu väärtus 60 = √3/2) jne. Samamoodi leitakse teiste "populaarsete" nurkade siinuste, koosinuste ja puutujate väärtused.

Pi siinus, pi koosinus, pi tangens ja muud nurgad radiaanides

Allolev koosinuste, siinuste ja puutujate tabel sobib ka trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse leidmiseks, mille argument on antud radiaanides. Selleks kasutage nurga väärtuste teist veergu. Tänu sellele saate populaarsete nurkade väärtused kraadidest radiaanidesse teisendada. Näiteks leiame esimesel real 60 kraadise nurga ja loeme selle alt selle väärtuse radiaanides. 60 kraadi on võrdne π/3 radiaaniga.

Arv pi väljendab üheselt ümbermõõdu sõltuvust kraadi mõõt nurk. Seega võrdub pi radiaanid 180 kraadiga.

Iga pi (radiaanis) väljendatud arvu saab hõlpsasti teisendada kraadideks, asendades arvu pi (π) 180-ga.

Näited:
1. siinus pi.
sin π = sin 180 = 0
seega on pi siinus sama mis siinus 180 kraadi ja võrdub nulliga.

2. koosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
seega on pi koosinus sama, mis 180 kraadi koosinus ja on võrdne miinus ühega.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
seega on pi puutuja sama, mis 180 kraadi puutuja ja on võrdne nulliga.

Siinus-, koosinus- ja puutuja väärtuste tabel nurkade jaoks 0 - 360 kraadi (sagedased väärtused)

nurk α (kraadi)	nurk α radiaanides (pi kaudu)	patt (siinus)	cos (koosinus)	tg (puutuja)	ctg (kootangens)	sek (sekant)	põhjus (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Kui trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis märgitakse funktsiooni väärtuse asemel kriips (puutuja (tg) 90 kraadi, kotangens (ctg) 180 kraadi), siis kui antud väärtus funktsioonil ei ole nurga kraadimõõtu teatud väärtus. Kui kriips puudub - lahter on tühi, siis pole me veel sisenenud soovitud väärtus. Oleme huvitatud sellest, milliste taotlustega kasutajad meie poole pöörduvad ja täiendame tabelit uute väärtustega, hoolimata asjaolust, et praegused andmed kõige levinumate nurgaväärtuste koosinuste, siinuste ja puutujate väärtuste kohta on enamiku lahendamiseks piisavad. probleeme.

Trigonomeetriliste funktsioonide sin, cos, tg väärtuste tabel kõige populaarsemate nurkade jaoks
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 kraadi
(arvväärtused "Bradise tabelite järgi")

nurga väärtus α (kraadi)	nurga α väärtus radiaanides	patt (siinus)	cos (koosinus)	tg (puutuja)	ctg (kotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Selles artiklis analüüsime määratlust väga üksikasjalikult. numbriring, selgita välja selle põhiomadus ja järjesta numbrid 1,2,3 jne. Teave selle kohta, kuidas ringile teisi numbreid märkida (näiteks \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) mõistab .

Numbriring kutsume ühiku raadiusega ringi, mille punktid vastavad korraldatakse vastavalt järgmistele reeglitele:

1) alguspunkt on ringjoone äärmises parempoolses punktis;

2) vastupäeva - positiivne suund; päripäeva - negatiivne;

3) Kui joonistame ringile kauguse \(t\) positiivses suunas, siis jõuame punktini väärtusega \(t\);

4) Kui joonistame ringile kauguse \(t\) negatiivses suunas, siis jõuame punktini väärtusega \(–t\).

Miks nimetatakse ringi numbriks?
Sest sellel on numbrid peal. Selles on ring sarnane numbriteljega - nii ringil kui ka teljel on iga numbri jaoks kindel punkt.

Miks teada, mis on arvuring?
Arvringi abil määratakse siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtus. Seetõttu trigonomeetria tundmiseks ja eksami sooritamine 60+ punkti jaoks pead kindlasti aru saama, mis on numbriring ja kuidas seda punktitada.

Mida tähendavad definitsioonis sõnad "... raadiuse ühiku ..."?
See tähendab, et selle ringi raadius on \(1\). Ja kui konstrueerida selline ring, mille keskpunkt on lähtepunktis, siis lõikub see telgedega punktides \(1\) ja \(-1\).

Seda pole vaja väikeseks joonistada, jaotuste “suurust” saab muuta mööda telge, siis on pilt suurem (vt allpool).

Miks on raadius täpselt üks? See on mugavam, kuna sel juhul valemiga \(l=2πR\) ümbermõõdu arvutamisel saame:

Arvringi pikkus on \(2π\) või ligikaudu \(6,28\).

Ja mida tähendab "... mille punktid vastavad reaalarvudele"?
Nagu eespool mainitud, numbriringil mis tahes tegelik arv seal on kindlasti selle "koht" - punkt, mis vastab sellele numbrile.

Miks määrata arvuringi alguspunkt ja suund?
peamine eesmärk numbriring – iga number määrab üheselt oma punkti. Kuid kuidas saate kindlaks teha, kuhu lõpetada, kui te ei tea, kust lugeda ja kuhu liikuda?

Siin on oluline mitte segi ajada koordinaatjoone ja arvuringi alguspunkti - need on kaks erinevad süsteemid tagasiarvestus! Samuti ärge ajage segi \(1\) teljel \(x\) ja \(0\) ringil – need on punktid erinevatel objektidel.

Millised punktid vastavad numbritele \(1\), \(2\) jne?

Pea meeles, et me eeldasime, et arvuringi raadius on \(1\)? See on meie üks segment (analoogiliselt numbriteljega), mille paneme ringile.

Numbrile 1 vastava numbriringi punkti märkimiseks peate 0-st läbima raadiusega võrdse vahemaa positiivses suunas.

Ringjoonel arvule \(2\) vastava punkti märkimiseks peate läbima lähtepunktist kahe raadiusega võrdse vahemaa, nii et \(3\) on vahemaa, mis võrdub kolme raadiusega jne.

Seda pilti vaadates võib teil tekkida 2 küsimust:
1. Mis juhtub, kui ring "lõpeb" (st me teeme täispööre)?
Vastus: lähme teisele ringile! Ja kui teine ​​on läbi, läheme kolmanda juurde ja nii edasi. Seetõttu saab ringile rakendada lõpmatu arvu arve.

2. Kus nad asuvad negatiivsed arvud?
Vastus: just seal! Neid saab järjestada samamoodi, lugedes nullist õige summa raadiuses, kuid nüüd negatiivses suunas.

Kahjuks on arvuringil täisarvude määramine keeruline. Selle põhjuseks on asjaolu, et numbrilise ringi pikkus ei ole täisarv: \ (2π \). Ja kõige rohkem mugavad kohad(telgede lõikepunktides) ei ole ka täisarvud, vaid murded