Võrrandite tüübid ja nende lahendamise meetodid. Lineaarvõrrandid
Üldministeerium ja kutseharidus RF
Munitsipaalharidusasutus
Gümnaasium nr 12
kirjutamine
teemal: Võrrandid ja nende lahendamise viisid
Lõpetanud: õpilane 10 "A" klass
Krutko Jevgeni
Kontrollis: matemaatikaõpetaja Iskhakova Gulsum Akramovna
Tjumen 2001
Plaan.................................................. ................................................... ........................... üks
Sissejuhatus ................................................... . ................................................ .. ...................... 2
Põhiosa................................................ ................................................... .............. 3
Järeldus.................................................. ................................................... ................ 25
Lisa................................................................ ................................................... ............... 26
Viidete loetelu .................................................. ................................................................ ... 29
Plaan.
Sissejuhatus.
Ajaloo viide.
Võrrandid. Algebralised võrrandid.
a) Põhimõisted.
b) Lineaarvõrrand ja selle lahendamine.
c) Ruutvõrrandid ja meetodid selle lahendamiseks.
d) Kaheliikmelised võrrandid, nende lahendamise viis.
e) Kuupvõrrandid ja selle lahendamise meetodid.
e) Bikvadraatne võrrand ja kuidas seda lahendada.
g) Neljanda astme võrrandid ja nende lahendamise meetodid.
g) Kõrge astme võrrandid ja meetodid lahendusest.
h) Ratsionaalne algebraline võrrand ja selle meetod
ja) Irratsionaalsed võrrandid ja viise selle lahendamiseks.
j) võrrandid, mis sisaldavad märgi all tundmatut.
absoluutväärtus ja kuidas seda lahendada.
Transtsendentaalsed võrrandid.
a) eksponentsiaalvõrrandid ja kuidas neid lahendada.
b) Logaritmvõrrandid ja kuidas neid lahendada.
Sissejuhatus
aastal omandatud matemaatikaharidus üldhariduskool, on an oluline komponent Üldharidus ja ühine kultuur kaasaegne inimene. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik ühel või teisel viisil seotud matemaatikaga. AGA hiljutised saavutused füüsikas, tehnoloogias ja infotehnoloogiaärge jätke kahtlust, et asjad jäävad samaks ka tulevikus. Seetõttu taandub paljude praktiliste probleemide lahendamine lahendamisele mitmesugused võrrandid, et õppida, kuidas neid lahendada.
Käesolev töö on katse üldistada ja süstematiseerida uuritud materjali ülaltoodud teemal. Materjali olen järjestanud selle keerukuse astme järgi, alustades kõige lihtsamast. See hõlmab nii meile algebra koolikursusest tuntud võrranditüüpe kui ka lisamaterjal. Samal ajal püüdsin näidata võrranditüüpe, milles ei uurita koolikursus, kuid mille tundmist võib vaja minna kõrgemale sisseastumisel haridusasutus. Oma töös ei piirdunud ma võrrandite lahendamisel ainult reaalse lahendiga, vaid osutasin ka keerulisele, kuna usun, et muidu võrrandit lihtsalt ei lahendata. Lõppude lõpuks, kui võrrandis pole reaalseid juuri, siis see ei tähenda, et sellel pole lahendeid. Kahjuks ei jõudnud ma ajapuudusel kogu olemasolevat materjali esitada, kuid isegi siin toodud materjali puhul võib tekkida palju küsimusi. Loodan, et minu teadmistest piisab enamikule küsimustele vastamiseks. Niisiis, ma esitan materjali.
Matemaatika... paljastab korra
sümmeetria ja kindlus,
ja see on tähtsamad liigid ilus.
Aristoteles.
Ajaloo viide
Tol kaugetel aegadel, kui targad hakkasid esimest korda mõtlema tundmatuid koguseid sisaldavatele võrdsustele, polnud ilmselt veel münte ega rahakotte. Kuid teisalt oli hunnikuid, aga ka potte, korve, mis sobisid suurepäraselt tundmatut hulka kaupu sisaldavate vahemälude-poodide rolli. "Otsime hunnikut, mis koos kahe kolmandiku, poole ja ühe seitsmendikuga on 37 ...", - õpetas ta II aastatuhandel eKr. uus ajastu Egiptuse kirjatundja Ahmes. Vanasti matemaatilisi probleeme Mesopotaamia, India, Hiina, Kreeka, teadmata kogused väljendasid paabulindude arvu aias, pullide arvu karjas, vara jagamisel arvesse võetud asjade kogumit. Salateadmistega initsieeritud kirjatundjad, ametnikud ja preestrid, kes on hästi koolitatud loendamise alal, tulid selliste ülesannetega üsna edukalt toime.
Meieni jõudnud allikad näitavad, et iidsetel teadlastel oli teada üldisi meetodeid tundmatute kogustega probleemide lahendamiseks. Kuid mitte ükski papüürus ega ükski savitahvel ei anna nende võtete kirjeldust. Autorid esitasid oma arvulisi arvutusi vaid aeg-ajalt alatute kommentaaridega, nagu: "Vaata!", "Tee seda!", "Leidsite selle õigesti." Selles mõttes on erandiks kreeka matemaatiku Diophantuse Aleksandria (III sajand) "aritmeetika" - ülesannete kogum võrrandite koostamiseks koos nende lahenduste süstemaatilise esitusega.
Esimene probleemide lahendamise käsiraamat, mis sai laiemalt tuntuks, oli aga 9. sajandi Bagdadi õpetlase töö. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sõna "al-jabr" selle traktaadi araabiakeelsest pealkirjast - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Restaureerimise ja vastandamise raamat") muutus aja jooksul sõnaks "algebra", mis on kõigile hästi teada, ja al-Khwarizmi töö ise oli lähtepunktiks võrrandite lahendamise teaduse arengus.
võrrandid. Algebralised võrrandid
Põhimääratlused
Algebras vaadeldakse kahte tüüpi võrdusi – identiteete ja võrrandeid.
Identiteet on võrdsus, mis kehtib kõigi tähtede (lubatavate) väärtuste kohta). Identiteedi kirjutamiseks koos märgiga
märki kasutatakse ka.Võrrand- see on võrdsus, mis on täidetud ainult selles sisalduvate tähtede mõne väärtuse puhul. Võrrandis olevad tähed võivad vastavalt ülesande tingimusele olla ebavõrdsed: mõned võivad võtta kogu oma lubatud väärtused(neid nimetatakse parameetrid või koefitsiendid võrrandid ja neid tähistatakse tavaliselt esimeste tähtedega Ladina tähestik:
, , ... – või samad tähed, varustatud indeksitega: , , ... või , , ...); kutsutakse teisi, kelle väärtusi tuleb leida teadmata(neid tähistatakse tavaliselt ladina tähestiku viimaste tähtedega: , , , ... - või samade tähtedega, mis on varustatud indeksitega: , , ... või , , ...).AT üldine vaade võrrandi saab kirjutada järgmiselt:
(, , ..., ).Olenevalt arvust tundmatu võrrand nimetatakse võrrandiks ühe, kahe jne tundmatuga.
Võrrand on matemaatiline avaldis, mis on võrrand, mis sisaldab tundmatut. Kui võrdsus kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes lubatud väärtuste puhul, nimetatakse seda identiteediks; Näiteks: seos nagu (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) kehtib kõigi x väärtuste puhul.
Kui võrrand, mis sisaldab tundmatut x-i, kehtib ainult teatud x-i väärtuste puhul, mitte kõigi x-i väärtuste puhul, nagu identiteedi puhul, siis võib olla kasulik määrata need x-i väärtused, mille jaoks võrrand kehtib. Selliseid x väärtusi nimetatakse võrrandi juurteks või lahenditeks. Näiteks arv 5 on võrrandi 2x + 7= 17 juur.
Matemaatika harus, mida nimetatakse võrranditeooriaks, on põhiliseks õppeaineks võrrandite lahendamise meetodid. Kooli algebra kursusel pööratakse palju tähelepanu võrranditele.
Võrrandite uurimise ajalugu ulatub paljude sajandite taha. Kõige kuulsamad matemaatikud, kes aitasid kaasa võrranditeooria väljatöötamisele, olid:
Archimedes (umbes 287-212 eKr) – Vana-Kreeka teadlane, matemaatik ja mehaanik. Ühe kuupvõrrandiks taandatud probleemi uurimisel selgitas Archimedes välja tunnuse rolli, mida hiljem hakati nimetama diskriminandiks.
François Viet elas 16. sajandil. Ta andis uuringusse suure panuse erinevaid probleeme matemaatika. Eelkõige tutvustas ta võrrandi koefitsientide sõnasõnalist tähistust ja lõi ühenduse ruutvõrrandi juurte vahel.
Leonhard Euler (1707 - 1783) - matemaatik, mehaanik, füüsik ja astronoom. Autor St. 800 artiklit matemaatilise analüüsi kohta, diferentsiaalvõrrandid, geomeetria, arvuteooria, ligikaudsed arvutused, taevamehaanika, matemaatika, optika, ballistika, laevaehitus, muusikateooria jne. Ta avaldas märkimisväärset mõju teaduse arengule. Ta tuletas valemid (Euleri valemid), mis väljendavad trigonomeetrilised funktsioonid muutuja x läbi eksponentsiaalfunktsiooni.
Lagrange Joseph Louis (1736-1813), prantsuse matemaatik ja mehaanik. Ta omab silmapaistvaid teadusuuringuid, sealhulgas uurimusi algebra kohta (võrrandi juurte sümmeetriline funktsioon, diferentsiaalvõrrandid (ainsuse lahendite teooria, konstantide muutmise meetod).
J. Lagrange ja A. Vandermonde – prantsuse matemaatikud. 1771. aastal kasutati esimest korda võrrandisüsteemide lahendamise meetodit (asendusmeetodit).
Gauss Karl Friedrich (1777-1855) – saksa matemaatik. Kirjutas raamatu, mis kirjeldab ringjaotusvõrrandite teooriat (st võrrandid xn - 1 = 0), mis oli paljuski Galois' teooria prototüüp. Välja arvatud levinud meetodid neid võrrandeid lahendades lõi seose nende ja korrapäraste hulknurkade ehitamise vahel. Ta tegi esimest korda pärast Vana-Kreeka teadlasi selles küsimuses olulise sammu edasi, nimelt: ta leidis kõik need n väärtused, mille jaoks tavaline n-nurk saab ehitada kompassi ja joonlauaga. Õppis lisama. Ta järeldas, et võrrandisüsteeme saab omavahel liita, jagada ja korrutada.
O. I. Somov - rikastas matemaatika erinevaid osi oluliste ja arvukate töödega, sealhulgas teatud algebraliste võrrandite teooriaga kõrgemad kraadid.
Galois Evariste (1811-1832), prantsuse matemaatik. Tema põhiteene on ideekogumi sõnastamine, milleni ta jõudis seoses J. Lagrange'i, N. Abeli jt alustatud algebraliste võrrandite lahendatavuse uurimise jätkamisega, mis lõi kõrgemate algebraliste võrrandite teooria. kraadi ühe tundmatuga.
A. V. Pogorelov (1919 - 1981) – tema töös seostatakse geomeetrilisi meetodeid analüüsimeetodid osatuletistega diferentsiaalvõrrandite teooria. Tema töödel oli oluline mõju ka mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite teooriale.
P. Ruffini – itaalia matemaatik. Ta pühendas hulga töid 5. astme võrrandi lahendamatuse tõestamisele, kasutab süstemaatiliselt asenduskogumi suletust.
Hoolimata asjaolust, et teadlased on võrrandeid uurinud pikka aega, ei tea teadus, kuidas ja millal tekkis inimestel vajadus võrrandeid kasutada. Teada on vaid see, et kõige lihtsamate võrrandite lahendamiseni viivad probleemid on inimesed lahendanud inimesteks saamisest saadik. Veel 3-4 tuhat aastat eKr. e. egiptlased ja babüloonlased oskasid võrrandeid lahendada. Nende võrrandite lahendamise reegel ühtib tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas nad selleni jõudsid.
AT Iidne Egiptus ja Babüloni, kasutati valeasendi meetodit. Esimese astme võrrandi ühe tundmatuga saab alati taandada kujule ax + b = c, milles a, b, c on täisarvud. Vastavalt reeglitele aritmeetilised tehted kirves \u003d c - b,
Kui b > c, siis c b on negatiivne arv. Negatiivsed arvud olid egiptlastele ja paljudele teistele hilisematele rahvastele tundmatud (võrdväärsetel alustel positiivsed numbrid matemaatikas hakati neid kasutama alles XVII sajandil). Nende probleemide lahendamiseks, mida me nüüd lahendame esimese astme võrranditega, leiutati valepositsiooni meetod. Ahmesi papüüruses on selle meetodiga lahendatud 15 ülesannet. Egiptlastel oli tundmatu numbri jaoks spetsiaalne märk, mida kuni viimase ajani loeti "kuidas" ja tõlgiti sõnaga "hunnik" ("hunnik" või "tundmatu arv"). Nüüd loevad nad natuke vähem ebatäpselt: "ahaa." Ahmesi kasutatud lahendusmeetodit nimetatakse ühe valepositsiooni meetodiks. Seda meetodit kasutades lahendatakse võrrandid kujul ax = b. See meetod seisneb võrrandi mõlema külje jagamises a-ga. Seda kasutasid nii egiptlased kui babüloonlased. Kell erinevad rahvad kasutati kahe valepositsiooni meetodit. Araablased mehhaniseerisid selle meetodi ja saavutasid vormi, milles see läks Euroopa rahvaste õpikutesse, sealhulgas Magnitski aritmeetikasse. Magnitski nimetab lahendusmeetodit "valereegliks" ja kirjutab oma raamatu seda meetodit selgitavas osas:
Zelo bo kavalus on see osa, Nagu saate sellega kõike panna. Mitte ainult see, mis on kodakondsuses, vaid ka kõrgemad teadused kosmoses, isegi on loetletud taevasfääris, Nagu targad, on vaja.
Magnitski luuletuste sisu võib kokku võtta järgmiselt: see aritmeetika osa on väga keeruline. Selle abil saate arvutada mitte ainult seda, mida igapäevases praktikas vaja läheb, vaid see lahendab ka "kõrgemad" küsimused, mis "tarkadele" silmitsi seisavad. Magnitski kasutab "valereeglit" araablaste antud kujul, nimetades seda "kahe vea aritmeetikaks" või "kaalumeetodiks". India matemaatikud esitasid sageli ülesandeid salmis. Lotuse väljakutse:
Vaikse järve kohal, pool mõõtu vee kohal, paistis Lootose värv. Ta kasvas üles üksi ja laineline tuul painutas teda külili ja mitte enam
Lilled vee kohal. Leidis oma kalamehesilma Kaks mõõtu sealt, kust ta üles kasvas. Kui paljude järvede sügavus on siin? Ma esitan teile küsimuse.
Võrrandite tüübid
Lineaarvõrrandid on võrrandid kujul: ax + b = 0, kus a ja b on mingid konstandid. Kui a ei ole võrdne nulliga, on võrrandil üks juur: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).
Näiteks: lahendage lineaarvõrrand: 4x + 12 = 0.
Lahendus: T. kuni a \u003d 4 ja b = 12, seejärel x \u003d - 12: 4; x = -3.
Kontrollige: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Kuna k 0 = 0, siis -3 on algvõrrandi juur.
Vastus. x = -3
Kui a on null ja b on null, siis on võrrandi ax + b = 0 juur suvaline arv.
Näiteks:
0 = 0. Kuna 0 on 0, siis võrrandi 0x + 0 = 0 juur on suvaline arv.
Kui a on null ja b ei ole null, siis võrrandil ax + b = 0 pole juuri.
Näiteks:
0 \u003d 6. Kuna 0 ei võrdu 6-ga, siis 0x - 6 \u003d 0-l pole juuri.
Lineaarvõrrandisüsteemid.
Lineaarvõrrandisüsteem on süsteem, milles kõik võrrandid on lineaarsed.
Süsteemi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist.
Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahendamist saate määrata selle lahenduste arvu.
Olgu võrrandisüsteem antud: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.
Kui a1 jagatud a2-ga ei võrdu b1 jagatud b2-ga, siis on süsteemil üks kordumatu lahendus.
Kui a1 jagatud a2-ga on võrdne b1 jagatud b2-ga, kuid võrdne c1 jagatud c2-ga, siis pole süsteemil lahendusi.
Kui a1 jagatud a2-ga on võrdne b1 jagatud b2-ga ja võrdne c1 jagatud c2-ga, siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.
Võrrandisüsteemi, millel on vähemalt üks lahend, nimetatakse järjepidevaks.
Liigessüsteemi nimetatakse kindlaks, kui see on olemas lõplik arv lahendused ja määramata, kui selle lahendite hulk on lõpmatu.
Süsteemi, millel pole ühte lahendust, nimetatakse ebajärjekindlaks või ebajärjekindlaks.
Lineaarvõrrandite lahendamise viisid
Lineaarvõrrandite lahendamiseks on mitu võimalust:
1) Valikumeetod. See on kõige rohkem lihtsaim viis. See seisneb selles, et kõik tundmatu kehtivad väärtused valitakse loendamise teel.
Näiteks:
Lahenda võrrand.
Olgu x = 1. Siis
4 = 6. Kuna 4 ei ole võrdne 6-ga, siis meie eeldus, et x = 1, oli vale.
Olgu x = 2.
6 = 6. Kuna 6 võrdub 6, siis meie eeldus, et x = 2, oli õige.
Vastus: x = 2.
2) Lihtsustamise viis
See meetod seisneb selles, et kõik tundmatut sisaldavad liikmed kantakse vasakule poole ja tuntud paremale poole vastupidine märk, andke sarnased ja jagage võrrandi mõlemad pooled tundmatu koefitsiendiga.
Näiteks:
Lahenda võrrand.
5x - 4 \u003d 11 + 2x;
5x - 2x \u003d 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Vastus. x = 5.
3) Graafiline viis.
See seisneb selles, et koostatakse funktsioonide graafik antud võrrand. Kuna lineaarvõrrandis y \u003d 0, on graafik paralleelne y-teljega. Selle võrrandi lahenduseks on graafiku lõikepunkt x-teljega.
Näiteks:
Lahenda võrrand.
Olgu y = 7. Siis y = 2x + 3.
Koostame mõlema võrrandi funktsioonide graafiku:
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise viisid
Seitsmendas klassis õpitakse kolme võrrandisüsteemide lahendamise viisi:
1) Asendusmeetod.
See meetod seisneb selles, et ühes võrrandis väljendatakse üht tundmatut teisega. Saadud avaldis asendatakse teise võrrandiga, mis seejärel muutub võrrandiks ühe tundmatuga, seejärel see lahendatakse. Selle tundmatu saadud väärtus asendatakse algse süsteemi mis tahes võrrandiga ja leitakse teise tundmatu väärtus.
Näiteks.
Lahenda võrrandisüsteem.
5x - 2a - 2 = 1.
3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.
Asendage saadud avaldis teise võrrandiga:
5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;
5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Asendage saadud väärtus võrrandiga 3x + y \u003d 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.
Uurimine.
/3 1 + 1 = 4,
\5 1 - 2 1 - 2 = 1;
Vastus: x = 1; y = 1.
2) Lisamise viis.
See meetod on see, et kui see süsteem koosneb võrranditest, mis termini haaval liitmisel moodustavad võrrandi ühe tundmatuga, siis selle võrrandi lahendamisel saame ühe tundmatu väärtuse. Selle tundmatu saadud väärtus asendatakse algse süsteemi mis tahes võrrandiga ja leitakse teise tundmatu väärtus.
Näiteks:
Lahenda võrrandisüsteem.
/ 3 a - 2x \u003d 5,
\5x - 3 a \u003d 4.
Lahendame saadud võrrandi.
3x = 9; : (3) x = 3.
Asendame saadud väärtuse võrrandiga 3y - 2x = 5.
3y - 23 = 5;
3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Seega x = 3; y = 3 2/3.
Uurimine.
/3 11/3 - 2 3 = 5,
\5 3 - 3 11/ 3 = 4;
Vastus. x = 3; y = 3 2/3
3) Graafiline viis.
See meetod põhineb asjaolul, et võrrandite graafikud on kujutatud ühes koordinaatsüsteemis. Kui võrrandi graafikud lõikuvad, siis on selle süsteemi lahenduseks lõikepunkti koordinaadid. Kui võrrandi graafikud on paralleelsed sirged, siis antud süsteemil pole lahendeid. Kui võrrandite graafikud ühinevad üheks sirgeks, siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.
Näiteks.
Lahenda võrrandisüsteem.
18x + 3a - 1 = 8.
2x - y \u003d 5; 18x + 3a - 1 = 8;
Y \u003d 5 - 2x; 3 a \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Koostame samas koordinaatsüsteemis funktsioonide y \u003d 2x - 5 ja y \u003d 3 - 6x graafikud.
Funktsioonide y \u003d 2x - 5 ja y \u003d 3 - 6x graafikud ristuvad punktis A (1; -3).
Seetõttu on selle võrrandisüsteemi lahenduseks x = 1 ja y = -3.
Uurimine.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Vastus. x = 1; y = -3.
Järeldus
Kõigele eelnevale tuginedes võime järeldada, et võrrandid on vajalikud kaasaegne maailm mitte ainult praktiliste probleemide lahendamiseks, vaid ka teadusliku vahendina. Seetõttu on nii paljud teadlased seda küsimust uurinud ja jätkavad uurimist.
Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".
SISSEJUHATUS
"Võrrand on kuldne võti, mis avab kogu matemaatilise seesami"
S. Koval
Koolis saadud matemaatikaharidus on väga põhiosa kaasaegse inimese elu. Peaaegu kõik, mis meid ümbritseb, on ühel või teisel viisil seotud matemaatikaga. Paljude praktiliste ülesannete lahendamine taandub erinevat tüüpi võrrandite lahendamisele.
Võrrandid on kogu algebra kursuse kõige mahukam teema. Minevikus õppeaasta algebra tundides tutvusime ruutvõrranditega. Ruutvõrrandid on laialdaselt kasutusel erinevate ülesannete lahendamisel nii matemaatika kui ka füüsika ja keemia valdkonnas.
Matemaatika koolikursusel põhi lahendusi ruutvõrrandid. Ruutvõrrandite lahendamiseks on aga ka teisi meetodeid, millest mõned võimaldavad neid kiiresti ja ratsionaalselt lahendada.
Viisime läbi küsitluse 84 õpilase seas 8.-9. klassis kahel küsimusel:
Milliseid ruutvõrrandite lahendamise meetodeid te teate?
Milliseid sa kõige rohkem kasutad?
Küsitluse tulemuste põhjal saadi järgmised tulemused:
Pärast tulemuste analüüsi jõudsime järeldusele, et enamik õpilasi kasutab ruutvõrrandite lahendamisel diskriminandi abil juurvalemeid ega ole piisavalt teadlik ruutvõrrandite lahendamisest.
Seega on meie valitud teema asjakohane.
Seadsime enda ette eesmärk: uurige ebatavalised viisid ruutvõrrandite lahendamine, tutvustada 8. ja 9. klassi õpilastele erinevaid viise lahendusi, arendada oskust valida ruutvõrrandi lahendamiseks ratsionaalne viis.
Selle eesmärgi saavutamiseks peate lahendama järgmise ülesanded:
koguda teavet ruutvõrrandite lahendamise erinevate viiside kohta,
valdama leitud lahendusi,
kirjutada programm ruutvõrrandi lahendamiseks, kasutades Excelis ruutvõrrandi juurte valemeid,
areneda didaktiline materjalõppetunni või klassivälise tegevuse jaoks mittestandardsed meetodid ruutvõrrandite lahendamine,
klassi õpilastega viia läbi õppetund "Ebatavalised ruutvõrrandite lahendamise viisid".
Uurimisobjekt: ruutvõrrandid.
Uurimisaine: ruutvõrrandite erinevad lahendamise viisid.
Me usume seda praktiline tähtsus töö seisneb võimaluses kasutada tehnikate ja meetodite panka ruutvõrrandite lahendamiseks matemaatikas ja õppekavavälised tegevused, samuti 8.-9. klassi õpilaste tutvustamisel selle materjaliga.
PEATÜKK 1. EBAharvalikud RUUTVÕRDENDITE LAHENDAMISE MEETODID
- KOEFITSIENTIDE OMADUSED (a,b,c)
Meetod põhineb koefitsientide omadustel a,b,c:
Kui a a+b+c=0, siis = 1, =
Näide:
-6x 2 + 2x +4 = 0, siis = 1, = = .
Kui a a-b+c=0, siis = -1, = -
Näide:
2017x 2 + 2001x +16 = 0, siis = -1, -.
- KOEFITSIENTIDE SÕLTUVUSED (a,b,c)
Kehtivad järgmised koefitsientide sõltuvused a,b,c:
Kui b=a 2 +1, c=a, siis x 1 =-a; x 2 \u003d -.
Kui b=-(a 2 +1), a=c, siis x 1 =a; x 2 =.
Kui b=a 2-1, c=-a, siis x 1 =-a; x 2 = .
Kui b=-(a 2-1), -a=c, siis x 1 =a; x 2 \u003d -.
Lahendame järgmised võrrandid:
5x 2 + 26x + 5 = 0
x 1 = -5
x 2 = - 0,2.
13x 2 - 167x + 13 = 0
x 1 = 13 x 2 =
14x 2 + 195x - 14 = 0
x 1 = - 14 x 2 =
10x 2 - 99x - 10 = 0
x 1 =10 x 2 =-0,1.
- PÕHIKOEFITSIENDI "REVERSIOON".
Koefitsient a korrutatakse vabaliikmega, justkui "ülekantud" sellele, seetõttu nimetatakse seda "ülekande" meetodiks. Lisaks leitakse juured Vieta teoreemi abil. Leitud juured jagatakse eelnevalt ülekantud koefitsiendiga, tänu millele leiame võrrandi juured.
Näide:
2x 2 - 3x + 1 = 0.
"Viime" koefitsiendi 2 vabasse liikmesse, selle tulemusena saame võrrandi
juures 2 - 3a + 2 = 0.
Vastavalt Vieta teoreemile
juures 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,
juures 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.
Vastus: 0,5; üks.
- GRAAFILINE LAHENDUSE MEETOD
Kui võrrandis a x 2 + bx + c= 0 teisaldada teise ja kolmanda liikme kohta parem pool, siis saame a x 2 = -bx-c .
Koostame sõltuvusgraafikud juures= kirves 2 ja juures= -bx-cühes koordinaatsüsteemis.
Esimese sõltuvuse graafik on alguspunkti läbiv parabool. Teise sõltuvuse graafik on sirgjoon.
Võimalikud on järgmised juhtumid:
sirge ja parabool võivad ristuda kahes punktis, lõikepunktide abstsissid on ruutvõrrandi juured;
sirge ja parabool võivad kokku puutuda (ainult üks ühine punkt), s.t. võrrandil on üks lahend;
sirget ja parabooli ei ole ühised punktid, st. ruutvõrrandil pole juuri.
Lahendame järgmised võrrandid:
1) x 2 + 2x - 3 = 0
x 2 \u003d - 2x + 3
Ühes koordinaatsüsteemis koostame funktsiooni y \u003d x 2 graafiku ja funktsiooni y \u003d - 2x + 3 graafiku. Tähistades ristumispunktide abstsissid, saame vastuse.
Vastus: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.
2) x 2 + 6x +9 = 0
x 2 \u003d - 6x - 9
Ühes koordinaatsüsteemis konstrueerime funktsiooni y \u003d x 2 graafiku ja funktsiooni y \u003d -6x - 9 graafiku. Puutepunkti abstsissi tähistades saame vastuse.
Vastus: x = - 3.
3) 2x 2 + 4x +7=0
2x 2 = - 4x - 7
Ühes koordinaatsüsteemis koostame funktsiooni y \u003d 2x 2 graafiku ja funktsiooni graafiku
Paraboolil y \u003d 2x 2 ja sirgel y \u003d - 4x - 7 pole ühiseid punkte, seetõttu pole võrrandil juuri.
Vastus: pole juuri.
- RUUTVÕRDENDITE LAHENDAMINE KOMPASSI JA JOONLOONI ABIGA
Lahendame võrrandi ax 2 + bx + c \u003d 0:
Konstrueerime punktid S(-b:2a,(a+c):2a) - ringi keskpunkt ja punkt A(0,1).
Joonistage ring raadiusega SA.
Ox-teljega lõikepunktide abstsissid on algse võrrandi juured.
Sel juhul on võimalikud kolm juhtumit:
1) Ringjoone raadius on suurem kui keskpunkti ordinaat ( AS>SK, või R>), ring lõikub teljega Oh kahes punktis..B( X 1 ; 0) ja D(x 2 ;0), kus X 1 ja X 2 - ruutvõrrandi juured Oh 2 + bx + c = 0.
2) Ringjoone raadius on võrdne keskpunkti ordinaadiga ( AS = SВ, või R=), puudutab ring telge Oh punktis B( X 1 ; 0), kus X 1 on ruutvõrrandi juur.
3) Ringjoone raadius on väiksem kui keskpunkti ordinaat ( AS< SВ , või R< ), ringil ei ole x-teljega ühiseid punkte, sel juhul pole võrrandil lahendust.
a) AS > SВ või R >, b) AS = SВ või R= sisse) AS< SВ, või R< .
Kaks Lahendust X 1 ja X 2 . Üks Lahendus X 1.. Lahendus puudub.
Näide 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.
Otsus:
Joonistame raadiusega ringi SA, kus AGA (0;1).
Vastus: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.
Näide 2: x 2 - 6x + 9 = 0.
Otsus: Leidke koordinaadid S: x=3, y=5.
Vastus: x=3.
Näide 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.
Otsus: Ringjoone keskpunkti koordinaadid: x= - 2 ja y = 3.
Vastus: pole juuri
- NOMOGRAMMI LAHENDUS
Nomogramm (kreeka keelest "nomos" - seadus ja gramm), graafiline esitus mitme muutuja funktsioonid, mis võimaldab kasutada lihtsat geomeetrilised operatsioonid(nt joonlaua rakendamine) uurige funktsionaalseid sõltuvusi ilma arvutusteta. Näiteks lahendage ruutvõrrand ilma valemeid kasutamata.
See on vana ja praegu unustatud viis ruutvõrrandite lahendus, paigutatud kogumiku leheküljele 83: Bradis V.M. "Neljamõõtmelised matemaatilised tabelid". - M., "DROFA", 2000. Tabel XXII. Nomogramm võrrandite lahendamiseks z 2 + pz + q = 0(vt lisa 1).
See nomogramm võimaldab ilma ruutvõrrandit lahendamata määrata võrrandi juured koefitsientide järgi.
Nomogrammi kõverjooneline skaala on üles ehitatud valemite järgi: OV= , AB =
Eeldusel OS = p, ED = q, OE = a(kõik cm), sarnastest kolmnurkadest SAN ja CDF saame proportsiooni, kust pärast asendusi ja lihtsustusi järgneb võrrand z 2 + pz + q = 0 ja täht z tähendab kõverjoonelise skaala mis tahes punkti märgist.
Näide 1: z 2 - 9z + 8 = 0.
Skaalal p leiame märgi -9 ja skaalal q märgi 8. Läbi nende märkide tõmbame sirge, mis lõikub nomogrammi skaala kõveraga märkides 1 ja 8. Seega võrrandi 1 juured ja 8.
Vastus: 1; kaheksa.
Just see võrrand on lahendatud Bradyse tabelis lk 83 (vt lisa 1).
Näide 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.
Jagame selle võrrandi koefitsiendid 2-ga, saame võrrandi:
z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogramm annab juured z 1 = 4 ja z 2 = 0,5.
Vastus: 4; 0.5.
Näide 3:x 2 - 25x + 66 = 0
Koefitsiendid p ja q on skaalast väljas. Teeme asendustööd x = 5z, saame võrrandi:
z 2 - 5z + 2,64 = 0,
mis lahendatakse nomogrammi abil.
Hankige z 1 = 0,6 ja z 2 = 4,4,
kus x 1 = 5z 1 = 3,0 ja x 2 = 5z 2 = 22,0.
Vastus: 3; 22.
Näide 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , a negatiivne juur leida lahutamise teel positiivne juur välja -lk , need. z 2 = - p -1 = - 5 - 1 = -6.
Vastus: 1; -6.
Näide 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogramm annab z positiivse juure 1 =4, ja negatiivne on z 2 =-p-4=
= 2 - 4= -2.
Vastus: 4; -2.
2. PEATÜKK
Otsustasime kirjutada programmi ruutvõrrandi lahendamiseks kasutades Excelit- see on laialt levinud arvutiprogramm. Seda on vaja arvutuste tegemiseks, tabelite ja diagrammide koostamiseks, lihtsate arvutamiseks ja keerukad funktsioonid. See on osa Microsoft Office'i paketist.
Leht Exceli programmid, kus kuvatakse valemid:
Exceli leht näitab konkreetne näide ruutvõrrandi lahendamine x 2 - 14x - 15 = 0:
3. PEATÜKK
|
Ruutvõrrandi juurte valem, kasutades diskriminant D ja D1 |
Mitmekülgsus, sest saab kasutada absoluutselt kõigi ruutvõrrandite lahendamiseks |
Tülikas diskrimineerija, mis ei sisaldu ruutude tabelis |
|
Vieta teoreem |
Teatud juhtudel kiire lahendus ja aja kokkuhoid |
Kui diskriminant ei ole täisarvu täiuslik ruut. Mittetäisarvulised koefitsiendid b ja c. |
|
Valik täisruut |
Õige teisendusega binoomi ruuduks saame mittetäieliku ruutvõrrandi ja seetõttu leitakse juured kiiremini |
Täisruudu valimise raskus, kui murdosa koefitsiendid võrrandid |
|
Rühmitamise meetod |
Saab lahendada valemeid teadmata |
Keskmist terminit ei ole alati võimalik rühmitamiseks sobivateks terminiteks lagundada |
|
Graafiline viis |
Valemeid pole vaja. Saate kiiresti teada saada võrrandi juurte arvu |
Lahenduse lähendamine |
|
Omadused koefitsiendid a,b,c |
Otsuse tegemise kiirus. Suurte koefitsientidega võrrandite jaoks |
Sobib ainult mõne võrrandi jaoks |
|
Põhikoefitsiendi "uuesti kerimine". |
Lahenduse kiirus, kui juured on täisarvud |
Sama, mis Vieta teoreemi kasutamine |
|
Nomogramm |
nähtavus Lahendamiseks on vaja ainult nomogrammi |
Alati pole nomogrammi kaasas. Lahenduse ebatäpsus |
|
Sirkli ja sirkliga juurte leidmine |
nähtavus |
Kui keskpunkti koordinaadid on mittetäisarvud. Suurte kordajatega võrrandite juurte leidmine |
«Algebraõpilasel on sageli kasulikum lahendada sama ülesanne kolmel erineval viisil, kui lahendada kolm-neli erinevat ülesannet. Ühe probleemi lahendamine erinevaid meetodeid, saate võrrelda, milline neist on lühem ja tõhusam. Nii saadakse kogemusi."
Walter Warwick Sawyer
Töö käigus kogusime materjali ja uurisime ruutvõrrandite lahendamise (juurte leidmise) meetodeid. Võrrandite lahendamine erineval viisil on toodud lisas 2.
õppimine erinevaid viise ruutvõrrandi lahendamisel jõudsime järeldusele, et iga võrrandi jaoks saate valida kõige tõhusama ja ratsionaalsema viisi juurte leidmiseks. Iga lahendus on unikaalne ja teatud juhtudel mugav. Mõned lahendusmeetodid säästavad aega, mis on oluline OGE ülesannete lahendamisel, teised aitavad võrrandit lahendada väga suurte koefitsientidega. Püüdsime võrrelda erinevaid lahendusi, koostades tabeli, mis kajastab iga meetodi plusse ja miinuseid.
Oleme arenenud Jaotusmaterjal. Teemakohaste ülesannete pangaga saate tutvuda lisas 3.
Kasutades Microsoft Excel, oleme koostanud arvutustabel, mis võimaldab ruutvõrrandi juured automaatselt arvutada juurvalemite abil.
Meil oli õppetund ebatavalised viisid ruutvõrrandite lahendamine, 9. klassi õpilastele. Õpilastele meetodid väga meeldisid, nad märkisid, et saadud teadmised tulevad neile kasuks edasine haridus. Tunni tulemuseks olid õpilaste tööd, milles nad esinesid erinevaid valikuid ruutvõrrandite lahendamine (vt lisa 4).
Töö materjali saavad kasutada matemaatika armastajad ja need, kes soovivad matemaatikast rohkem teada.
KIRJANDUS
Bradis V. M. “Neljakohalised matemaatilised tabelid Keskkool”, M.: Bustard, 2000.
Vilenkin N.Ya. "Algebra 8. klassile", M .: Haridus, 2000.
Galitsky M.L. "Algebra ülesannete kogumine", M .: Haridus 2002.
Glazer G. I. "Matemaatika ajalugu koolis", M .: Haridus, 1982.
Zvavich L.I. "Algebra 8. klass", Moskva: Mnemosyne, 2002.
Makarychev Yu.N. “Algebra 8. klass”, Moskva: Haridus, 2015.
Plužnikov I. "10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks" // Matemaatika koolis. - 2000.- nr 40.
Presman A.A. "Ruutvõrrandi lahendamine kompassi ja joonlaua abil"//M., Kvant, nr 4/72, lk.34.
Savin A.P. " entsüklopeediline sõnaraamat noor matemaatik,
Moskva: Pedagoogika, 1989.
Interneti-ressursid:
http://revolution.allbest.ru/
LISA 1
"BRADIS V.M. KOGU."
LISA 2
"VÕRRANDI LAHENDAMINE IGAL VIISIL"
Algvõrrand:4x 2 +3x -1 = 0.
1. Ruutvõrrandi juurte valem, kasutades diskriminant D
4x 2 +3x -1 = 0
D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => võrrandil on kaks juurt
x 1,2 =
x 1 ==
x 2 ==-1
2. Vieta teoreem
4x 2 +3x -1 = 0, jagage võrrand 4-ga, et see väheneks
X 2 +x -=0
X 1 = -1
X 2 =
3. Täisruudu valiku meetod
4x 2 +3x -1 = 0
(4x 2 +2*2x *+)-1=0
(2x+) 2 -=0
(2x + -) (2x + +) = 0,
(2x -)=0 (2x +2)=0
X 1 = x 2 = -1
4. Rühmitamise meetod
4x 2 +3x -1 = 0
4x 2 +4x-1x-1=0
4x(x+1)-1(x+1)=0
(4x-1) (x+1)=0, toode = 0, kui üks teguritest = 0
(4x-1)=0 (x+1)=0
X 1 = x 2 = -1
5. Koefitsientide omadused
4x 2 +3x -1 = 0
Kui a - b+c=0, siis = -1, = -
4-3-1=0, => = -1, =
6. Põhikoefitsiendi "ülekandmise" meetod
4x 2 +3x -1 = 0
y 2 +3 a - 4 = 0
Vieta teoreem:
y 1 = -4
y 2 = 1
Jagame leitud juured põhikoefitsiendiga ja saame võrrandi juured:
X 1 = -1
X 2 =
7. Meetod ruutvõrrandite lahendamiseks sirkli ja joonlaua abil
4x 2 +3x -1 = 0
Määrake ringi keskpunkti koordinaadid valemite abil:
X 1 = -1
X 2 =
8. Graafiline lahendus
4x 2 +3x -1 = 0
4x 2 = - 3x + 1
Ühes koordinaatsüsteemis koostame funktsiooni graafiku y = 4x 2 ja funktsiooni graafik
y \u003d - 3x + 1. Tähistades ristumispunktide abstsissid, saame vastuse:
X 1 = -1
9. Nomogrammi kasutamine
4x 2 +3x -1 = 0, jagame võrrandi 1/koefitsiendid 4-ga, saame võrrandi
X 2 +x -= 0.
Nomogramm annab positiivse juure = ,
ja negatiivne juur leitakse positiivse juure lahutamisel - p , need.
x 2 = - p -=- -= -1.
10. Selle võrrandi lahendus EXCELis
LISA 3
"TEEMA DIDAKTILINE MATERJAL
“KVADRATIIVVÕRDENDITE LAHENDUS” »
10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7
-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3
354x 2 -52x -302 = 0 1 -
100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01
5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8
2017x 2 + x -2016 = 0 -1
22x 2 +10x-12 = 0 -1
5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -
4x 2 + 2x -6 s \u003d 0 1 -1,5
55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2
6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5
4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5
4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,
3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2
5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0,2
2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3
4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5
5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1
2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5
3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2
LISA 4
ÕPILASTE TÖÖD
Ma tean koolimatemaatika, kuuleb laps mõistet "võrrand" esimest korda. Mis see on, proovime selle koos välja mõelda. Selles artiklis käsitleme lahendamise tüüpe ja meetodeid.
Matemaatika. Võrrandid
Alustuseks teeme ettepaneku käsitleda kontseptsiooni ennast, mis see on? Nagu paljud matemaatikaõpikud ütlevad, on võrrand mõned avaldised, mille vahel on alati võrdusmärk. Need avaldised sisaldavad tähti, nn muutujaid, mille väärtus tuleb leida.
See on süsteemiatribuut, mis muudab selle väärtust. hea näide muutujad on:
- õhutemperatuur;
- lapse pikkus;
- kaal ja nii edasi.
Matemaatikas tähistatakse neid tähtedega, näiteks x, a, b, c ... Tavaliselt on matemaatikas ülesanne järgmine: leida võrrandi väärtus. See tähendab, et peate leidma nende muutujate väärtuse.
Sordid
Võrrand (mis see on, arutasime eelmises lõigus) võib olla järgmisel kujul:
- lineaarne;
- ruut;
- kuupmeetrit;
- algebraline;
- transtsendentne.
Kõigi tüüpidega üksikasjalikumaks tutvumiseks käsitleme igaüks eraldi.
Lineaarne võrrand
See on esimene tüüp, millega õpilased tutvuvad. Need lahendatakse üsna kiiresti ja lihtsalt. Niisiis, mis on lineaarvõrrand? See on avaldis kujul: ax=s. See pole väga selge, seega toome mõned näited: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Vaatame võrrandite näiteid. Selleks peame koguma ühelt poolt kõik teadaolevad andmed ja teiselt poolt tundmatud andmed: x=26/2; x = 40/5; x = 6/1,2. Siin kasutatud elementaarsed reeglid matemaatika: a*c=e, sellest c=e/a; a=e/s. Võrrandi lahendamise lõpuleviimiseks sooritame ühe toimingu (meie puhul jagamise) x=13; x=8; x=5. Need olid korrutamise näited, nüüd vaatame lahutamist ja liitmist: x + 3 = 9; 10x-5=15. Edastame teadaolevad andmed ühes suunas: x=9-3; x = 20/10. Teostame viimase toimingu: x=6; x=2.
Võimalikud on ka lineaarvõrrandite variandid, kus kasutatakse rohkem kui ühte muutujat: 2x-2y=4. Lahendamiseks on vaja igale osale lisada 2y, saame 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, nagu märkasime, võrdusmärgi vasakul küljel vähendatakse -2y ja +2y, samas kui meie on: 2x \u003d 4 -2u. Viimane samm on jagada iga osa kahega, saame vastuse: x on võrdne kahega miinus y.
Probleeme võrranditega leidub isegi Ahmesi papüürustel. Siin on üks ülesannetest: arv ja selle neljas osa annavad kokku 15. Selle lahendamiseks kirjutame järgmise võrrandi: x pluss üks neljandik x-st võrdub viisteist. Lahenduse tulemusena näeme veel üht näidet, saame vastuseks: x=12. Kuid seda probleemi saab lahendada ka muul viisil, nimelt egiptuse või, nagu seda teisiti nimetatakse, oletusmeetodil. Kasutatakse papüüruses järgmine lahendus: võtke neli ja selle neljas osa, see tähendab üks. Kokku annavad nad viis, nüüd tuleb viisteist jagada summaga, saame kolm, viimase toiminguga korrutame kolm neljaga. Saame vastuse: 12. Miks me jagame lahenduses viisteist viiega? Nii saame teada, mitu korda viisteist, see tähendab, et tulemus, mille peame saama, on väiksem kui viis. Keskajal lahendati probleeme nii, seda hakati kutsuma valepositsioonimeetodiks.
Ruutvõrrandid
Lisaks varem käsitletud näidetele on ka teisi. Mida täpsemalt? Mis on ruutvõrrand? Need näevad välja nagu ax 2 +bx+c=0. Nende lahendamiseks peate tutvuma mõne mõiste ja reegliga.
Esiteks peate leidma diskriminandi, kasutades valemit: b 2 -4ac. Võimalikke lahendusi on kolm:
- diskrimineeriv Üle nulli;
- vähem kui null;
- võrdub nulliga.
Esimeses variandis saame vastuse kahest juurest, mis leitakse valemiga: -b + - diskriminandi juur jagatud kahekordse esimese koefitsiendiga, see tähendab 2a.
Teisel juhul pole võrrandil juuri. Kolmandal juhul leitakse juur valemiga: -b / 2a.
Vaatleme üksikasjalikuma tutvuse ruutvõrrandi näidet: kolm x ruudus miinus neliteist x miinus viis võrdub nulliga. Alustuseks, nagu varem kirjutatud, otsime diskriminanti, meie puhul on selleks 256. Pange tähele, et saadud arv on suurem kui null, seega peaksime saama vastuse, mis koosneb kahest juurtest. Asendame saadud diskriminandi juurte leidmise valemis. Selle tulemusena saame: x on viis ja miinus üks kolmandik.
Erijuhud ruutvõrrandites
Need on näited, kus mõned väärtused on null (a, b või c) ja võib-olla rohkem kui üks.
Näiteks võtame järgmise võrrandi, mis on ruut: kaks x ruudus võrdub nulliga, siin näeme, et b ja c on null. Proovime seda lahendada, selleks jagame võrrandi mõlemad osad kahega, meil on: x 2 \u003d 0. Selle tulemusena saame x=0.
Teine juhtum on 16x 2 -9=0. Siin ainult b=0. Lahendame võrrandi, kanname vaba koefitsiendi paremale poole: 16x 2 \u003d 9, nüüd jagame iga osa kuueteistkümnega: x 2 \u003d üheksa kuueteistkümnendikku. Kuna meil on x ruudus, võib 9/16 juur olla kas negatiivne või positiivne. Kirjutame vastuse järgmiselt: x on võrdne pluss / miinus kolm neljandikku.
Ka selline vastus on võimalik, kuna võrrandil pole üldse juuri. Vaatame seda näidet: 5x 2 +80=0, siin b=0. Vabaliikme lahendamiseks visake see paremale küljele, pärast neid toiminguid saame: 5x 2 \u003d -80, nüüd jagame iga osa viiega: x 2 \u003d miinus kuusteist. Kui suvaline arv on ruudus, siis negatiivne tähendus me ei saa. Seetõttu kõlab meie vastus järgmiselt: võrrandil pole juuri.
Trinoomi laienemine
Ruutvõrrandite määramine võib kõlada teistmoodi: laguneda ruudukujuline kolmik kordajate jaoks. Seda saab teha järgmise valemi abil: a (x-x 1) (x-x 2). Selleks, nagu ka ülesande teises versioonis, on vaja leida diskriminant.
Vaatleme järgmist näidet: 3x 2 -14x-5, faktoriseerige kolmik. Leiame diskriminandi, kasutades meile juba tuntud valemit, selgub, et see on 256. Märgime kohe, et 256 on suurem kui null, seega on võrrandil kaks juurt. Leiame need, nagu eelmises lõigus, on meil: x \u003d viis ja miinus üks kolmandik. Kasutame trinoomi teguriteks lagundamise valemit: 3(x-5)(x+1/3). Teises sulus saime võrdusmärgi, kuna valem sisaldab miinusmärki ja ka juur on negatiivne, kasutades elementaarseid matemaatikateadmisi, on summas plussmärk. Lihtsustamiseks korrutame võrrandi esimese ja kolmanda liikme, et vabaneda murdosast: (x-5) (x + 1).
Ruutvõrrandid
AT see lõikõppida rohkem lahendama keerulised võrrandid. Alustame kohe näitega:
(x 2 - 2x) 2 - 2 (x 2 - 2x) - 3 = 0. Märkame korduvaid elemente: (x 2 - 2x), meil on mugav asendada see lahenduse jaoks mõne muu muutujaga ja siis lahendage tavaline ruutvõrrand, kohe märgime, et sellises ülesandes saame neli juurt, see ei tohiks teid hirmutada. Tähistame muutuja a kordumist. Saame: a 2 -2a-3=0. Meie järgmine samm on leida uue võrrandi diskriminant. Saame 16, leiame kaks juurt: miinus üks ja kolm. Peame meeles, et tegime asendamise, asendame need väärtused, mille tulemusena saame võrrandid: x 2 - 2x \u003d -1; x 2 - 2x = 3. Lahendame need esimeses vastuses: x võrdne ühega, teises: x võrdub miinus üks ja kolm. Kirjutame vastuse järgmiselt: pluss / miinus üks ja kolm. Reeglina kirjutatakse vastus kasvavas järjekorras.
Kuupvõrrandid
Vaatleme teist võimalik variant. Saab olema umbes kuupvõrrandid. Need näevad välja sellised: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Vaatleme allpool võrrandite näiteid, kuid kõigepealt natuke teooriat. Neil võib olla kolm juurt, samuti on olemas valem kuupvõrrandi diskriminandi leidmiseks.
Vaatleme näidet: 3x3 +4x2 +2x=0. Kuidas seda lahendada? Selleks võtame lihtsalt sulgudest välja x: x(3x 2 +4x+2)=0. Meil jääb üle vaid arvutada sulgudes oleva võrrandi juured. Ruutvõrrandi diskriminant sulgudes on väiksem kui null, seega on avaldisel juur: x=0.
Algebra. Võrrandid
Liigume edasi järgmine liik. Teeme nüüd lühidalt ülevaate algebralised võrrandid. Üks ülesannetest on järgmine: faktoriseeri 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Kõige mugavam oleks rühmitada järgmiselt: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Pange tähele, et me esindasime 8x2 esimesest avaldisest 3x2 ja 5x2 summana. Nüüd võtame igast suust välja ühisteguri 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Näeme, et meil on ühine tegur: x ruudus pluss üks, võtame selle sulgudest välja: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Edasine laiendamine on võimatu, kuna mõlemal võrrandil on negatiivne diskriminant.
Transtsendentaalsed võrrandid
Teeme ettepaneku käsitleda järgmist tüüpi. Need on võrrandid, mis sisaldavad transtsendentaalseid funktsioone, nimelt logaritmilisi, trigonomeetrilisi või eksponentsiaalseid funktsioone. Näited: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 ja nii edasi. Kuidas neid lahendatakse, õpid trigonomeetria kursusest.
Funktsioon
Viimane samm on funktsiooni võrrandi kontseptsiooni käsitlemine. Erinevalt eelmistest valikutest, antud tüüp ei ole lahendatud, vaid sellele ehitatakse graafik. Selleks tuleks võrrand hästi läbi analüüsida, leida kõik ehitamiseks vajalikud punktid, arvutada miinimum- ja maksimumpunktid.
Võrrandit, mis on ruuttrinoom, nimetatakse tavaliselt ruutvõrrandiks. Algebra seisukohalt kirjeldatakse seda valemiga a*x^2+b*x+c=0. Selles valemis on x leitav tundmatu (seda nimetatakse vabaks muutujaks); a, b ja c on arvulised koefitsiendid. Selle komponentide osas on mitmeid piiranguid: näiteks koefitsient a ei tohiks olla võrdne 0-ga.
Võrrandi lahendamine: diskriminandi mõiste
Tundmatu x väärtust, mille juures ruutvõrrand muutub tõeliseks võrrandiks, nimetatakse sellise võrrandi juureks. Ruutvõrrandi lahendamiseks peate esmalt leidma spetsiaalse koefitsiendi väärtuse - diskriminandi, mis näitab vaadeldava võrdsuse juurte arvu. Diskriminant arvutatakse valemiga D=b^2-4ac. Sel juhul võib arvutuse tulemus olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.Sel juhul tuleb meeles pidada, et kontseptsioon nõuab, et ainult koefitsient a erineks 0-st rangelt. Seetõttu võib koefitsient b olla võrdne 0-ga ja võrrand ise on sel juhul a*x^2+ c=0. Sellises olukorras tuleks diskriminandi ja juurte arvutamise valemites kasutada koefitsiendi väärtust, mis võrdub 0. Seega arvutatakse sel juhul diskriminant kui D=-4ac.
Infomaterjal "noore lugejanurk"
Arst, kes on hävitamisest kaugel
Kust osta väävelhapet?