Matemaatilise ootuse usaldusvahemiku leidmine. Näide ülesannetest usaldusvahemiku leidmiseks

Ja teised.Kõik need on hinnangud nende teoreetiliste vastete kohta, mida saaks saada, kui poleks valimit, vaid üldkogumit. Kuid kahjuks on üldine elanikkond väga kallis ja sageli kättesaamatu.

Intervallhinnangu mõiste

Igal valimihinnangul on hajumine, sest on juhuslik muutuja, mis sõltub konkreetse valimi väärtustest. Seetõttu tuleks usaldusväärsemate statistiliste järelduste tegemiseks teada mitte ainult punkthinnang, aga ka intervalli, mis suure tõenäosusega γ (gamma) katab hinnangulise näitaja θ (teeta).

Formaalselt on need kaks sellist väärtust (statistika) T1(X) ja T2(X), mida T1< T 2 , mille puhul etteantud tõenäosuse tasemel γ tingimus on täidetud:

Lühidalt, see on tõenäoline γ või rohkem on tegelik väärtus punktide vahel T1(X) ja T2(X), mida nimetatakse alumiseks ja ülemiseks piiriks usaldusvahemik.

Usaldusvahemike konstrueerimise üheks tingimuseks on selle maksimaalne kitsus, s.o. see peaks olema võimalikult lühike. Soov on üsna loomulik, sest. uurija püüab soovitud parameetri leidu täpsemalt lokaliseerida.

Sellest järeldub, et usaldusvahemik peaks katma jaotuse maksimaalsed tõenäosused. ja skoor ise on kesksel kohal.

See tähendab, et (tõelise näitaja hinnangust) kõrvalekaldumise tõenäosus ülespoole on võrdne allapoole kõrvalekaldumise tõenäosusega. Samuti tuleb märkida, et kallutatud jaotuste puhul parempoolne intervall ei ole võrdne intervalliga vasakule.

Ülaltoodud joonis näitab selgelt, et mida suurem on usaldustase, seda laiem on intervall – otsene seos.

See oli väike sissejuhatus teooriasse intervalli hindamine tundmatud parameetrid. Liigume edasi usalduspiiride leidmise juurde matemaatiline ootus.

Matemaatilise ootuse usaldusvahemik

Kui algandmed on jaotatud , on keskmine normaalväärtus. See tuleneb reeglist, et normaalväärtuste lineaarsel kombinatsioonil on ka normaaljaotus. Seetõttu võiksime tõenäosuste arvutamiseks kasutada matemaatiline aparaat tavajaotuse seadus.

See eeldab aga kahe parameetri – eeldatava väärtuse ja dispersiooni – tundmist, mida tavaliselt ei teata. Parameetrite (aritmeetiline keskmine ja ) asemel võib muidugi kasutada hinnanguid, kuid siis ei ole keskmise jaotus päris normaalne, see on veidi tasandatud. Iirimaa kodanik William Gosset märkis seda fakti osavalt, kui avaldas oma avastuse 1908. aasta märtsikuu ajakirjas Biometrica. Saladuslikel eesmärkidel allkirjastas Gosset Studentiga. Nii tekkis Studenti t-jaotus.

Küll aga K. Gaussi poolt vigade analüüsil kasutatud andmete normaaljaotus astronoomilised vaatlused, on maises elus äärmiselt haruldane ja seda on üsna raske kindlaks teha (for kõrge täpsusega vaja on umbes 2000 vaatlust). Seetõttu on kõige parem loobuda normaalsuse eeldusest ja kasutada meetodeid, mis ei sõltu algandmete jaotusest.

Tekib küsimus: milline on aritmeetilise keskmise jaotus, kui see arvutatakse tundmatu jaotuse andmetest? Vastuse annab tõenäosusteoorias tuntud Keskne piiri teoreem (CPT). Matemaatikas on sellest mitu versiooni (formulatsioone on aastate jooksul viimistletud), kuid jämedalt öeldes taanduvad need kõik väitele, et summa suur hulk sõltumatud juhuslikud muutujad järgivad normaaljaotuse seadust.

Aritmeetilise keskmise arvutamisel kasutatakse juhuslike suuruste summat. Sellest selgub, et aritmeetilisel keskmisel on normaaljaotus, milles eeldatav väärtus on algandmete eeldatav väärtus ja dispersioon on .

Targad inimesed teavad, kuidas CLT-d tõestada, kuid me kontrollime seda Excelis tehtud katse abil. Simuleerime 50 ühtlaselt jaotatud juhusliku muutuja valimit (kasutades Exceli funktsioonid JUHUSLIK VAHEL). Seejärel teeme 1000 sellist valimit ja arvutame igaühe aritmeetilise keskmise. Vaatame nende levikut.

On näha, et keskmise jaotus on normaalseadusele lähedane. Kui proovide maht ja nende arv veelgi suuremaks teha, on sarnasus veelgi parem.

Nüüd, kui oleme ise veendunud CLT kehtivuses, saame, kasutades , arvutada aritmeetilise keskmise usaldusvahemikud, mis katavad tegeliku keskmise või matemaatilise ootuse antud tõenäosusega.

Ülemise ja alumise piiri määramiseks peate teadma parameetreid normaaljaotus. Seetõttu ei kasutata neid reeglina hinnanguid: aritmeetiline keskmine ja valimi dispersioon . Jällegi annab see meetod hea ligikaudse hinnangu ainult suurte proovide puhul. Kui valimid on väikesed, on sageli soovitatav kasutada Studenti jaotust. Ära usu! Studenti jaotus keskmise jaoks esineb ainult siis, kui algandmetel on normaaljaotus, st peaaegu mitte kunagi. Seetõttu on parem kohe seada nõutavate andmete hulga miinimumriba ja kasutada asümptootiliselt õigeid meetodeid. Nad ütlevad, et 30 vaatlusest piisab. Võtke 50 – te ei saa eksida.

T 1.2 on usaldusvahemiku alumine ja ülemine piir

– valimi aritmeetiline keskmine

s0– valimi standardhälve (erapooletu)

n - näidissuurus

γ – usaldustase (tavaliselt 0,9, 0,95 või 0,99)

c γ = Φ -1 ((1+γ)/2) – vastupidine tähendus standardsed normaaljaotuse funktsioonid. Lihtsamalt öeldes on see standardvigade arv aritmeetilisest keskmisest alumise või ülemise piirini (näidatud kolm tõenäosust vastavad väärtustele 1,64, 1,96 ja 2,58).

Valemi olemus seisneb selles, et võetakse aritmeetiline keskmine ja siis jäetakse sellest teatud summa kõrvale ( γ-ga) standardvead ( s 0 /√n). Kõik on teada, võta ja loe.

Enne personaalarvutite massilist kasutamist kasutasid nad normaaljaotuse funktsiooni ja selle pöördfunktsiooni väärtuste saamiseks . Neid kasutatakse endiselt, kuid tõhusam on pöörduda valmistoodete poole Exceli valemid. Kõiki ülaltoodud valemi elemente ( , ja ) saab Excelis hõlpsasti arvutada. Kuid usaldusvahemiku arvutamiseks on ka valmis valem - KONFIDENTSIOON NORM. Selle süntaks on järgmine.

CONFIDENCE NORM(alfa, standard_dev, suurus)

alfa– olulisuse tase või usalduse tase, mis ülaltoodud tähistuses võrdub 1- γ, s.o. tõenäosus, et matemaatilineootus jääb väljaspool usaldusvahemikku. Usaldustasemega 0,95 on alfa 0,05 ja nii edasi.

standard_off on näidisandmete standardhälve. Standardviga pole vaja arvutada, Excel jagab n-i juurega.

suurus– valimi suurus (n).

Funktsiooni CONFIDENCE.NORM tulemus on teine ​​liige usaldusvahemiku arvutamise valemist, s.o. poolintervall. Vastavalt sellele on alumine ja ülemine punkt keskmine ± saadud väärtus.

Seega on võimalik aritmeetilise keskmise usaldusvahemike arvutamiseks ehitada universaalne algoritm, mis ei sõltu algandmete jaotusest. Universaalsuse hind on selle asümptootilisus, s.t. vajadus kasutada suhteliselt suuri proove. Siiski, sajandil kaasaegsed tehnoloogiad koguda õige summa andmed ei ole tavaliselt keerulised.

Statistiliste hüpoteeside testimine usaldusvahemiku abil

(moodul 111)

Üks peamisi statistikas lahendatavaid probleeme on. Lühidalt, selle olemus on see. Hüpoteesiks on näiteks, et ootus elanikkonnast on võrdne mingi väärtusega. Seejärel konstrueeritakse valimi keskmiste jaotus, mida saab vaadelda antud ootusega. Järgmisena vaatame, kus selles tingimuslikus jaotuses asub reaalne keskmine. Kui see ületab lubatud piire, on sellise keskmise ilmumine väga ebatõenäoline ja katse ühekordse kordamisega peaaegu võimatu, mis on vastuolus püstitatud hüpoteesiga, mis lükatakse edukalt tagasi. Kui keskmine ei ületa kriitiline tase, siis hüpoteesi tagasi ei lükata (aga mitte tõestatud!).

Nii et usaldusvahemike abil, meie puhul ootuse jaoks, saate ka mõnda hüpoteese testida. Seda on väga lihtne teha. Oletame, et teatud valimi aritmeetiline keskmine on 100. Kontrollitakse hüpoteesi, et ootus on näiteks 90. See tähendab, et kui esitada küsimus primitiivselt, siis kõlab see järgmiselt: tõeline tähendus keskmine võrdus 90, vaadeldud keskmine oli võrdne 100?

Sellele küsimusele vastamiseks lisateavet keskmise kohta standardhälve ja valimi suurus. Ütleme standardhälve on 30 ja vaatluste arv on 64 (juure hõlpsaks eraldamiseks). Siis on keskmise standardviga 30/8 ehk 3,75. 95% usaldusvahemiku arvutamiseks on vaja keskmist mõlemale poolele kahe võrra edasi lükata standardvead(täpsemalt 1,96 võrra). Usaldusvahemik on ligikaudu 100 ± 7,5 või 92,5 kuni 107,5.

Edasine põhjendus on järgmine. Kui testitav väärtus jääb usaldusvahemikku, siis ei ole see hüpoteesiga vastuolus, kuna mahub juhuslike kõikumiste piiridesse (tõenäosusega 95%). Kui testitav punkt on väljaspool usaldusvahemikku, siis on sellise sündmuse tõenäosus väga väike, igal juhul alla vastuvõetava taseme. Seetõttu lükatakse hüpotees tagasi, kuna see on vaadeldud andmetega vastuolus. Meie puhul on ootushüpotees väljaspool usaldusvahemikku (testitud väärtus 90 ei sisaldu intervallis 100±7,5), mistõttu tuleks see tagasi lükata. Ülaltoodud primitiivsele küsimusele vastates tuleks öelda: ei, see ei saa, igal juhul juhtub seda äärmiselt harva. Tihti viitab see hüpoteesi eksliku tagasilükkamise konkreetsele tõenäosusele (p-tase), mitte aga antud tasemele, mille järgi usaldusvahemik üles ehitati, vaid sellest mõni teine ​​kord.

Nagu näete, pole keskmise (või matemaatilise ootuse) usaldusvahemiku koostamine keeruline. Peaasi on olemus tabada ja siis asjad lähevad. Praktikas kasutavad enamik 95% usaldusvahemikku, mis on umbes kahe standardvea laius mõlemal pool keskmist.

Praeguseks kõik. Kõike paremat!

Usaldusvahemik– piirväärtused Statistika, mis antud usalduse tõenäosusega γ on selles intervallis suurema valimi suurusega. Tähistatakse kui P(θ - ε . Praktikas vali usalduse taseγ väärtustest γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99, mis on piisavalt lähedal ühtsusele.

Teenindusülesanne. See teenus määratleb:

• üldkeskmise usaldusvahemik, dispersiooni usaldusvahemik;
• standardhälbe usaldusvahemik, üldmurru usaldusvahemik;

Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili (vt näidet). Allpool on videoõpetus algandmete täitmiseks.

Näide nr 1. Kolhoosis tehti 1000-pealisest lambakarjast valikuline kontrollpügamine 100-le. Selle tulemusena kehtestati lamba keskmine villalõikus 4,2 kg. Määrake tõenäosusega 0,99 valimi standardviga keskmise villanihke määramisel lamba kohta ja nihkeväärtuse piirid, kui dispersioon on 2,5. Näidis ei ole korduv.
Näide nr 2. Moskva Põhjatolli postis asuvast imporditud toodete partiist võeti juhuslikus järjekorras uuesti proovivõtt 20 toote "A" näidist. Kontrolli tulemusena tehti kindlaks toote "A" keskmine niiskusesisaldus proovis, mis osutus keskmisega 6%. standardhälve 1 %.
Määrake tõenäosusega 0,683 toote keskmise niiskusesisalduse piirid kogu imporditud toodete partiis.
Näide nr 3. Küsitlus, milles osales 36 õpilast, näitas, et keskmine õpikute arv, mida nad loevad õppeaasta, osutus võrdseks 6. Eeldusel, et õpilase poolt loetud õpikute arv semestris on tavaline seadus jaotused standardhälbega 6, leia: A) usaldusväärsusega 0,99 intervalli hinnang selle matemaatiliseks ootuseks juhuslik muutuja; B) kui suure tõenäosusega saab väita, et selle valimi jaoks arvutatud keskmine õpikute arv, mida üliõpilase loeb semestris, kaldub matemaatilisest ootusest kõrvale absoluutväärtus mitte rohkem kui 2.

Usaldusvahemike klassifikatsioon

Hinnatava parameetri tüübi järgi:

Proovi tüübi järgi:

1. Usaldusvahemik lõpmatu proovivõtu jaoks;
2. lõpliku proovi usaldusvahemik;

Proovivõttu nimetatakse kordusproovi võtmiseks, kui valitud objekt tagastatakse üldkogumisse enne järgmise valimist. Valimit nimetatakse mittekorduvaks. kui valitud objekti ei tagastata üldkogumisse. Praktikas tegeletakse tavaliselt mittekorduvate proovidega.

Juhusliku valiku keskmise valimivea arvutamine

Valimist saadud näitajate väärtuste ja üldkogumi vastavate parameetrite lahknevust nimetatakse esindusviga.
Üld- ja valimikogumi põhiparameetrite tähistused.

Keskmiste veavalemite näidis
uuesti valimine		mittekorduv valik
keskmise jaoks	jagamiseks	keskmise jaoks	jagamiseks

Suhe diskreetimisvea piiri (Δ) vahel on teatud tõenäosusega garanteeritud P(t), ja keskmine viga näidis on kujul: või Δ = t μ, kus t– usalduskoefitsient, mis määratakse sõltuvalt tõenäosuse tasemest P(t) integraalfunktsiooni Laplace'i tabeli järgi.

Valemid valimi suuruse arvutamiseks õige juhusliku valiku meetodiga

Olgu valim tehtud seadusele alluvast üldkogumist normaalne levitamine XN( m;  ). See matemaatilise statistika põhieeldus põhineb kesksel piirteoreemil. Olgu üldine standardhälve teada  , kuid teoreetilise jaotuse matemaatiline ootus on teadmata m(keskmine).

Sel juhul on valimi keskmine , mis saadakse katse käigus (jaotis 3.4.2), on samuti juhuslik suurus m;
). Siis "normaliseeritud" kõrvalekalle
N(0;1) on standardne tavaline juhuslik suurus.

Probleem on leida intervalli hinnang m. Koostame kahepoolse usaldusvahemiku jaoks m nii et tõeline matemaatiline ootus kuuluks etteantud tõenäosusega (usaldusväärsusega) talle  .

Määra väärtusele selline intervall
tähendab selle suuruse maksimaalse väärtuse leidmist
ja miinimum
, mis on kriitilise piirkonna piirid:
.

Sest see tõenäosus on
, siis selle võrrandi juur
on leitav Laplace'i funktsiooni tabelite abil (tabel 3, lisa 1).

Siis suure tõenäosusega  võib väita, et juhuslik muutuja
, see tähendab, et soovitud üldkeskmine kuulub intervalli
. (3.13)

väärtust
(3.14)

helistas täpsus hinnangud.

Number
– kvantiil normaaljaotus - võib leida Laplace'i funktsiooni argumendina (tabel 3, lisa 1), arvestades suhet 2Ф( u)=, st. F( u)=
.

tagasi, poolt seatud väärtus kõrvalekalded  on võimalik leida, millise tõenäosusega kuulub intervalli tundmatu üldkeskmine
. Selleks peate arvutama

. (3.15)

Võttagu üldkogumist juhuslik valim ümbervaliku meetodil. Võrrandist
võib leida miinimum uuesti proovivõtu maht n vajalik usaldusvahemiku tagamiseks antud usaldusväärsusega ei ületanud eelseadistatud väärtust  . Nõutav valimi suurus arvutatakse järgmise valemi abil:

. (3.16)

Uurides hinnangu täpsus
:

1) Valimi suuruse suurenemisega n suurusjärk  väheneb ja seega ka hinnangu täpsus suureneb.

2) C suurendama hinnangute usaldusväärsus argumendi väärtust suurendatakse u(sest F(u) suureneb monotoonselt) ja seega suureneb  . Sel juhul usaldusväärsuse suurenemine vähendab selle hinnangu täpsust  .

Hinnang
(3.17)

helistas klassikaline(kus t on parameeter, mis sõltub ja n), sest see iseloomustab kõige sagedamini esinevaid jaotusseadusi.

3.5.3 Usaldusvahemikud tundmatu standardhälbega normaaljaotuse ootuse hindamiseks 

Olgu teada, et üldkogumile kehtib normaaljaotuse seadus XN( m; ), kus väärtus ruutkeskmine kõrvalekalded teadmata.

Usaldusvahemiku koostamiseks üldkeskmise hindamiseks kasutatakse sel juhul statistikat
, millel on õpilase jaotus k= n-1 vabadusaste. See tuleneb asjaolust, et N(0;1) (vt punkt 3.5.2) ja
(vt p 3.5.3) ja Studenti jaotuse definitsioonist (osa 1.punkt 2.11.2).

Leiame Studenti jaotuse klassikalise hinnangu täpsuse: s.o. leida t valemist (3.17). Olgu ebavõrdsuse täitumise tõenäosus
annab usaldusväärsus  :

. (3.18)

Niivõrd kui T St( n-1), on see ilmne t sõltub  ja n, nii et me tavaliselt kirjutame
.

(3.19)

kus
on Studenti jaotusfunktsioon koos n-1 vabadusaste.

Selle võrrandi lahendamine jaoks m, saame intervalli
mis usaldusväärsusega  katab tundmatu parameetri m.

Väärtus t  , n-1 , kasutatakse juhusliku suuruse usaldusvahemiku määramiseks T(n-1), levitanud Student with n-1 vabadusastet nimetatakse Üliõpilaste koefitsient. See tuleks leida etteantud väärtuste järgi n ja  tabelitest " Kriitilised punktidÕpilaste jaotused. (Tabel 6, Lisa 1), mis on võrrandi (3.19) lahendid.

Selle tulemusena saame järgmise väljendi täpsust usaldusvahemik matemaatilise ootuse (üldkeskmise) hindamiseks, kui dispersioon on teadmata:

(3.20)

Seega on üldkogumi matemaatilise ootuse usaldusvahemike koostamiseks üldine valem:

kus on usaldusvahemiku täpsus  olenevalt teadaolevast või tundmatust dispersioonist leitakse vastavalt valemite järgi 3.16. ja 3.20.

10. ülesanne. Viidi läbi mõned testid, mille tulemused on loetletud tabelis:

x i

On teada, et nad järgivad normaaljaotuse seadust
. Leidke hinnang m* matemaatilise ootuse jaoks m, koostage sellele 90% usaldusvahemik.

Otsus:

Niisiis, m(2.53;5.47).

Ülesanne 11. Mere sügavust mõõdetakse mõõteriistaga, mille süstemaatiline viga on 0 ja juhuslikud vead jaotatakse tavaseaduse järgi, standardhälbega  = 15 m. Mitu sõltumatut mõõtmist tuleks teha sügavuse määramiseks, mille viga ei ületa 5 m usaldusnivooga 90%?

Otsus:

Probleemi tingimuse järgi on meil XN( m;  ), kus  = 15 m,  = 5 m,  =0,9. Leiame helitugevuse n.

1) Antud usaldusväärsusega = 0,9 leiame tabelist 3 (lisa 1) Laplace'i funktsiooni argumendi u  = 1.65.

2) Teades antud hinnangu täpsust  =u  =5, leia
. Meil on

. Seetõttu katsete arv n25.

Ülesanne 12. Temperatuuri proovide võtmine t jaanuari esimese 6 päeva kohta on esitatud tabelis:

Leidke ootuste usaldusvahemik müldpopulatsioon usalduse tõenäosusega
ja hinnata üldist standardhälve s.

Otsus:

ja
.

2) Erapooletu hinnang leida valemi järgi
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Kuna üldine dispersioon on teadmata, kuid selle hinnang on teada, siis matemaatilise ootuse hindamiseks m kasutame Studenti jaotust (tabel 6, lisa 1) ja valemit (3.20).

Sest n 1 =n 2 = 6, siis ,
, s 1 = 6,85 meil on:
, seega -29,2-4,1<m 1 < -29.2+4.1.

Seega -33,3<m 1 <-25.1.

Samamoodi on meil
, s 2 = 4,8, seega

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25,1) ja m 2 (-34.9;-29.1).

Rakendusteadustes, näiteks ehitusteadustes, kasutatakse objektide täpsuse hindamiseks usaldusvahemike tabeleid, mis on antud vastavas teatmekirjanduses.

Õige ülesande leidmiseks saate kasutada seda otsinguvormi. Sisestage sõna, fraas ülesandest või selle number, kui teate seda.

Otsige ainult selles jaotises

Usaldusintervallid: probleemide lahenduste loend

Usaldusvahemikud: teooria ja probleemid

Usaldusintervallide mõistmine

Tutvustame lühidalt usaldusvahemiku mõistet, mis
1) hindab numbrilise valimi mõnda parameetrit otse valimi enda andmete põhjal,
2) katab selle parameetri väärtuse tõenäosusega γ.

Usaldusvahemik parameetri jaoks X(tõenäosusega γ) nimetatakse intervalliks kujul , nii et ja väärtused arvutatakse mingil viisil valimi põhjal.

Tavaliselt võetakse rakendatud ülesannetes usalduse tõenäosuseks γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Vaatleme mõnda üldkogumikust moodustatud n-suurusega valimit, mis on jaotatud eeldatavasti normaaljaotuse seaduse järgi. Näitame, milliste valemite abil leitakse jaotusparameetrite usaldusvahemikud- matemaatiline ootus ja dispersioon (standardhälve).

Matemaatilise ootuse usaldusvahemik

Juhtum 1 Jaotuse dispersioon on teada ja võrdne . Seejärel parameetri usaldusvahemik a tundub, et:
t määratakse Laplace'i jaotustabelist suhtega

Juhtum 2 Jaotuse dispersioon on teadmata, valimi põhjal arvutati dispersiooni punkthinnang. Seejärel parameetri usaldusvahemik a tundub, et:
, kus on valimi, parameetri põhjal arvutatud valimi keskmine t määratakse Studenti jaotustabelist

Näide. 7 kindla väärtuse mõõtmise andmete põhjal leiti, et mõõtmistulemuste keskmine on võrdne 30-ga ja valimi dispersioon 36. Leia piirid, milles sisaldub mõõdetud väärtuse tegelik väärtus usaldusväärsusega 0,99 .

Otsus. Otsime üles . Seejärel saab mõõdetud väärtuse tegelikku väärtust sisaldava intervalli usalduspiirid leida valemiga:
, kus on valimi keskmine, on valimi dispersioon. Ühendades kõik väärtused, saame:

Dispersiooni usaldusvahemik

Usume, et üldiselt on matemaatiline ootus teadmata ja dispersiooni kohta on teada ainult punkthinnang. Seejärel näeb usaldusvahemik välja järgmine:
, kus - tabelitest määratud jaotuskvantiilid.

Näide. 7 katse andmete põhjal leiti standardhälbe hinnangu väärtus s = 12. Leidke tõenäosusega 0,9 dispersiooni hindamiseks loodud usaldusvahemiku laius.

Otsus. Tundmatu populatsiooni dispersiooni usaldusvahemiku saab leida järgmise valemi abil:

Asendage ja hankige:


Siis on usaldusvahemiku laius 465,589-71,708=393,881.

Tõenäosuse usaldusvahemik (protsent)

Juhtum 1 Olgu ülesandes teada valimi suurus ja valimi osa (suhteline sagedus). Siis on üldmurru (tegeliku tõenäosuse) usaldusvahemik:
, kus parameeter t määratakse Laplace'i jaotustabelist suhtega .

Juhtum 2 Kui probleem teab lisaks üldkogumi suurust, millest valim võeti, saab üldmurru usaldusvahemiku (tõeline tõenäosus) leida kohandatud valemi abil:
.

Näide. On teada, et Leia piirid, milles üldaktsia tõenäosusega sõlmitakse.

Otsus. Kasutame valemit:

Leiame tingimusest parameetri , saame valemis asendaja:

Teisi näiteid matemaatilise statistika probleemidest leiate lehelt

Olgu üldkogumi juhuslik suurus X normaaljaotus, arvestades, et selle jaotuse dispersioon ja standardhälve s on teada. Tundmatut matemaatilist ootust on vaja hinnata valimi keskmise põhjal. Sel juhul taandub probleem usaldusvahemiku leidmisele usaldusväärsusega b matemaatilise ootuse jaoks. Kui seame usaldustõenäosuse (usaldusväärsuse) väärtuse b, siis leiame valemi (6.9a) abil tundmatu matemaatilise ootuse intervalli langemise tõenäosuse:

kus Ф(t) on Laplace'i funktsioon (5.17a).

Selle tulemusena saame koostada algoritmi matemaatilise ootuse usaldusvahemiku piiride leidmiseks, kui dispersioon D = s 2 on teada:

1. Määrake usaldusväärsuse väärtuseks b .
2. Alates (6.14) väljenda Ф(t) = 0,5× b. Valige tabelist Laplace'i funktsiooni väärtus t väärtusega Ф(t) (vt lisa 1).
3. Arvutage valemi (6.10) abil hälve e.
4. Kirjutage usaldusvahemik valemi (6.12) järgi nii, et tõenäosusega b on tõene järgmine võrratus:

.

Näide 5.

Juhuslikul muutujal X on normaaljaotus. Leidke usaldusvahemikud hinnangu jaoks, mille usaldusväärsus on b = 0,96 teadmata keskmisest a, kui see on antud:

1) üldine standardhälve s = 5;

2) valimi keskmine ;

3) valimi suurus n = 49.

Matemaatilise ootuse intervallhinnangu valemis (6.15). a usaldusväärsusega b on teada kõik suurused peale t. t väärtuse saab leida kasutades (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0,48.

Lisa 1 tabeli järgi Laplace'i funktsiooni Ф(t) = 0,48 jaoks leida vastav väärtus t = 2,06. Seega . Asendades e arvutatud väärtuse valemiga (6.12), saame usaldusvahemiku: 30-1.47< a < 30+1,47.

Tundmatu matemaatilise ootuse usaldusväärsusega b = 0,96 hinnangu soovitav usaldusvahemik on: 28,53< a < 31,47.