Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

Matemaatiline ootus, definitsioon, diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate matemaatiline ootus, valikuline, tingimuslik ootus, arvutus, omadused, ülesanded, ootuse hindamine, dispersioon, jaotusfunktsioon, valemid, arvutusnäited

Laienda sisu

Ahenda sisu

Matemaatiline ootus on definitsioon

Üks olulisemaid kontseptsioone matemaatilises statistikas ja tõenäosusteoorias, mis iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste või tõenäosuste jaotust. Tavaliselt väljendatakse kui kaalutud keskmine juhusliku suuruse kõik võimalikud parameetrid. Laialdaselt kasutatav tehnilises analüüsis, uurimistöös numbriseeria, pidevate ja pikkade protsesside uurimine. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes, seda kasutatakse teoreetiliselt mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel. hasartmängud.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskväärtust, tõenäosusteoorias vaadeldakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotust.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus on

Matemaatiline ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik suurus võib võtta.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste korrutiste summa nende väärtuste tõenäosuste järgi.

Matemaatiline ootus on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab käsitleda teooria raames suured numbrid ja pikk vahemaa.

Matemaatiline ootus on hasartmänguteoorias võitude summa, mille mängija saab iga panuse korral keskmiselt teenida või kaotada. Mängurite kõnepruugis nimetatakse seda mõnikord "mängija eeliseks" (kui see on mängija jaoks positiivne) või "maja eeliseks" (kui see on mängija jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus on Kasumi protsent võidu kohta korrutatuna keskmise kasumiga miinus kaotuse tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.

Juhusliku muutuja matemaatiline ootus matemaatiline teooria

Juhusliku muutuja üheks oluliseks numbriliseks tunnuseks on matemaatiline ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi mõistet. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku katse tulemused. Kui on üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis rahuldab Kolmogorovi aksioome. Funktsiooni, mis on määratletud juhuslike muutujate mis tahes võimalike väärtuste jaoks, nimetatakse ühisjaotusseaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada mis tahes sündmuste tõenäosused. Eelkõige antakse tõenäosuste abil juhuslike muutujate jaotuse ühisseadus, mis võtavad väärtused hulgast ja.

Mõiste "ootus" võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) ja see pärines mõistest "väljamakse eeldatav väärtus", mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christian Huygensi teostes. . Esimese täieliku teoreetilise arusaama ja hinnangu sellele kontseptsioonile andis aga Pafnuti Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).

Juhuslike arvmuutujate jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme ülesande puhul piisab, kui on teada uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest), et vastata püstitatud küsimusele. Juhuslike muutujate peamised numbrilised karakteristikud on matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne suure arvu katsete jooksul juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsikaline tähendus: kui ühikmass asetatakse sirgele, asetatakse mingi mass teatud punktidesse (näiteks diskreetne jaotus) või “määrides” seda teatud tihedusega (absoluutselt pideva jaotuse korral), siis on matemaatilisele ootusele vastav punkt sirge “raskuskeskme” koordinaadiks.

Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame sellega juhusliku suuruse teatud arvulisele tunnusele, mis kirjeldab selle suurust. asukoht numbriteljel, s.o. positsiooni kirjeldus.

Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias oluline roll mängib juhusliku suuruse matemaatilist ootust, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.

Vaatleme juhuslikku muutujat X, millel on võimalikud väärtused x1, x2, …, xn tõenäosustega p1, p2, …, pn. Peame iseloomustama mõne numbriga juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et need väärtused on erinevaid tõenäosusi. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn "kaalutud keskmist". xi, ja iga väärtust xi tuleks keskmistamise ajal arvesse võtta selle väärtuse tõenäosusega võrdelise "kaaluga". Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise X, mida me tähistame M|X|:

Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime vaatluse alla tõenäosusteooria ühe olulisema mõiste – matemaatilise ootuse. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.

X omapärase sõltuvuse tõttu suure arvu katsetega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilisest keskmisest. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosusega läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel. Tõepoolest, kaaluge juhuslikku muutujat X, mida iseloomustab jaotuste seeria:

Las toodetakse N sõltumatud katsed, millest igaühes on väärtus X võtab vastu teatud väärtus. Oletame, et väärtus x1 ilmunud m1 korda, väärtust x2 ilmunud m2 korda, üldine tähendus xi ilmus mi korda. Arvutame X vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mis erinevalt matemaatilisest ootusest M|X| me tähistame M*|X|:

Eksperimentide arvu suurenemisega N sagedused pi läheneb (tõenäosuses läheneb) vastavatele tõenäosustele. Seetõttu on juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine M|X| katsete arvu suurenemisega läheneb see (tõenäosus läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Eelpool sõnastatud aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vaheline seos moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.

Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et teatud keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin me räägime aritmeetilise keskmise stabiilsuse kohta sama väärtusega vaatluste seeriast. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu juhuslikuks" ja stabiliseerudes lähenemiseks püsiv väärtus- matemaatiline ootus.

Paljude katsete keskmiste stabiilsuse omadust on lihtne katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel suvalist keha kaaludes saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.

Tuleb märkida, et juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike suuruste puhul. Näiteid on võimalik tuua sellistest juhuslikest suurustest, mille puhul matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb. Kuid praktika jaoks ei paku sellised juhtumid märkimisväärset huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud võimalike väärtuste vahemik ja loomulikult on neil ka ootus.

Lisaks kõige olulisematele juhusliku suuruse asukoha tunnustele - matemaatilisele ootusele, kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsioonitunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike koguste kohta; pideva suuruse puhul on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonistel on näidatud vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiim.

Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, siis öeldakse, et jaotus on polümodaalne.

Mõnikord on distributsioone, mille keskel on mitte maksimum, vaid miinimum. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".

AT üldine juhtum juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Sageli kasutatakse teist positsiooni tunnust - juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda ka katkendliku muutuja jaoks. Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala poolitatakse.

Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan kokku keskmise ja moodusega.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmine väärtus – juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse arvtunnus. kõige poolt üldiselt juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal tõenäosusmõõdu suhtes R algses tõenäosusruumis:

Matemaatilise ootuse saab arvutada ka Lebesgue'i integraalina X tõenäosusjaotuse järgi px kogused X:

Loomulikul viisil saab defineerida lõpmatu matemaatilise ootusega juhusliku suuruse mõiste. Tüüpiline näide on mõne juhusliku jalutuskäigu tagastusajad.

Matemaatilise ootuse abil määratakse jaotuse paljud numbrilised ja funktsionaalsed karakteristikud (juhusliku suuruse vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, karakteristikfunktsioon, mis tahes järku momendid, eelkõige dispersioon. , kovariatsioon.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste asukoha tunnus (selle jaotuse keskmine väärtus). Selles funktsioonis toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll on sarnane staatilise momendi - massijaotuse raskuskeskme koordinaadi - rolliga mehaanikas. Asukoha muudest tunnustest, mille abil jaotust üldsõnaliselt kirjeldatakse - mediaanid, moodused, erineb matemaatiline ootus selle poolest, et suur väärtus, mis sellel ja vastaval hajuvuskarakteristikul - dispersioonil - on tõenäosusteooria piirteoreemides. Suurima täielikkusega paljastavad matemaatilise ootuse tähenduse suurte arvude seadus (Tšebõševi ebavõrdsus) ja tugevdatud suurte arvude seadus.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Olgu mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks võib täringuviske punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Sageli tekib praktikas sellise väärtuse puhul küsimus: millist väärtust see "keskmiselt" võtab suure hulga testide korral? Kui suur on meie keskmine tulu (või kahjum) igast riskantsest tehingust?

Oletame, et on mingi loterii. Tahame aru saada, kas selles osalemine (või isegi korduvalt, regulaarselt) on tulus või mitte. Oletame, et iga neljas pilet võidab, auhind on 300 rubla ja iga pileti hind on 100 rubla. Lõpmatu arvu osaluste puhul see juhtubki. Kolmel neljandikul juhtudest me kaotame, iga kolme kaotuse eest tuleb maksta 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osalemise korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku tuleb meie vareme keskmine hind 25 rubla pileti kohta.

Me viskame täringut. Kui see pole petmine (ilma raskuskeset nihutamata jne), siis mitu punkti meil keskmiselt korraga on? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, siis võtame lolli aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, siis ei maksa pahandada, et ükski konkreetne vise 3,5 punkti ei anna - no sellel kuubil pole ju sellise numbriga nägu!

Nüüd võtame oma näited kokku:

Vaatame üleval olevat pilti. Vasakul on juhusliku suuruse jaotuse tabel. X väärtus võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (antud ülemises reas). Muid väärtusi ei saa olla. Iga võimaliku väärtuse all on allpool märgitud selle tõenäosus. Paremal on valem, kus M(X) nimetatakse matemaatiliseks ootuseks. Selle väärtuse tähendus on see, et suure hulga testidega (koos suur proov) keskmine väärtus kaldub sellele väga matemaatilisele ootusele.

Läheme tagasi sama mängukuubi juurde. Matemaatiline ootus viske punktide arvule on 3,5 (kui ei usu, arvuta ise valemiga). Oletame, et viskasid seda paar korda. Välja kukkusid 4 ja 6. Keskmiselt tuli välja 5 ehk kaugeltki mitte 3,5. Viskasid uuesti, 3 kukkus välja, ehk siis keskmiselt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kuidagi kaugel matemaatilisest ootusest. Tee nüüd hull katse – veereta kuubikut 1000 korda! Ja kui keskmine ei ole täpselt 3,5, siis see on selle lähedal.

Arvutame ülalkirjeldatud loterii matemaatilise ootuse. Tabel näeb välja selline:

Siis on matemaatiline ootus, nagu oleme eespool kindlaks teinud:

Teine asi on see, et see on ka "näppude peal", ilma valemita oleks raske, kui oleks rohkem võimalusi. Noh, oletame, et 75% kaotas pileteid, 20% võitis pileteid ja 5% võitis pileteid.

Nüüd mõned matemaatilise ootuse omadused.

Seda on lihtne tõestada:

Ootusmärgist võib välja võtta konstantse kordaja, see on:

See on matemaatilise ootuse lineaarsusomaduse erijuht.

Teine matemaatilise ootuse lineaarsuse tagajärg:

see tähendab, et juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste summaga.

Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, siis:

Seda on ka lihtne tõestada) XY ise on juhuslik muutuja, samas kui algväärtused võiksid võtta n ja m väärtused, siis XY võib võtta nm väärtusi. Iga väärtuse tõenäosus arvutatakse selle põhjal, et tõenäosused iseseisvad sündmused korrutada. Selle tulemusena saame selle:

Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Pidevatel juhuslikel muutujatel on selline tunnus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). Tegelikult iseloomustab olukorda see, et mõned väärtused komplektist pärinevad reaalarvud juhuslik muutuja võtab sagedamini, mõni - harvem. Näiteks vaadake seda diagrammi:

Siin X- tegelikult juhuslik suurus, f(x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi otsustades katsete ajal väärtus X on sageli nullilähedane arv. võimalusi ületada 3 või olla vähem -3 pigem puhtalt teoreetiline.

Olgu näiteks ühtlane jaotus:

See on üsna kooskõlas intuitiivse arusaamaga. Oletame, et kui saame palju ühtlase jaotusega juhuslikke reaalarve, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.

Diskreetsete juhuslike suuruste puhul rakendatavad matemaatilise ootuse omadused – lineaarsus jne, on rakendatavad ka siin.

Matemaatilise ootuse seos teiste statistiliste näitajatega

Statistilises analüüsis eksisteerib koos matemaatilise ootusega vastastikku sõltuvate näitajate süsteem, mis peegeldab nähtuste homogeensust ja protsesside stabiilsust. Tihti ei ole variatsiooninäitajatel iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on andmete homogeensust iseloomustav variatsioonikordaja, mis on väärtuslik statistiline tunnus.

Protsesside varieeruvuse või stabiilsuse astet statistikateaduses saab mõõta mitme näitaja abil.

Enamik oluline näitaja juhusliku suuruse muutlikkust iseloomustav on Dispersioon, mis on kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud matemaatilise ootusega. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteeside testimine, põhjus-tagajärg seoste analüüs jne). Nagu keskmine lineaarne hälve, peegeldab dispersioon ka andmete levimise ulatust keskmise suurusega.

Kasulik on tõlkida märkide keel sõnade keelde. Selgub, et dispersioon on keskmine ruut kõrvalekalded. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine väärtus, seejärel võetakse iga algse ja keskmise väärtuse vahe, ruudustatakse, liidetakse ja jagatakse seejärel selle populatsiooni väärtuste arvuga. Erinevus vahel eraldi väärtus ja keskmine peegeldab hälbe mõõtu. See on ruudus nii, et kõik kõrvalekalded muutuvad eranditult positiivsed numbrid ja vältida vastastikust hävitamist positiivsed ja negatiivsed kõrvalekalded kui neid kokku võtta. Seejärel arvutame ruudus hälbeid arvestades lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmine – ruut – kõrvalekalded. Kõrvalekalded ruudustatakse ja võetakse arvesse keskmist. vihje maagiline sõna"dispersioon" on vaid kolm sõna.

Siiski sisse puhtal kujul, nagu aritmeetiline keskmine või indeks, dispersiooni ei kasutata. See on pigem abi- ja vahenäitaja, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Tal pole isegi tavalist mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algse andmeühiku ruut.

Mõõdame juhuslikku suurust N korda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmist väärtust. Kuidas on keskmine väärtus seotud jaotusfunktsiooniga?

Või viskame täringuid palju kordi. Punktide arv, mis ilmub igal viskamisel täringule, on juhuslik muutuja ja võib võtta mis tahes naturaalväärtusi vahemikus 1 kuni 6. Kõigi täringuvisetute punktide aritmeetiline keskmine on samuti juhuslik suurus, kuid suurte N see pürgib konkreetne number- matemaatiline ootus Mx. Sel juhul Mx = 3,5.

Kuidas see väärtus tekkis? Laske sisse N katsumused n1 kui 1 punkt langeb, n2 korda - 2 punkti ja nii edasi. Seejärel tulemuste arv, mille puhul üks punkt langes:

Samamoodi ka tulemuste puhul, kui välja langesid 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.

Oletame nüüd, et teame juhusliku suuruse x jaotusseadust, st teame, et juhuslik suurus x võib võtta väärtused x1, x2, ..., xk tõenäosustega p1, p2, ... , pk.

Juhusliku suuruse x matemaatiline ootus Mx on:

Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Niisiis, et hinnata keskmist palgad mõistlikum on kasutada mediaani mõistet ehk sellist väärtust, et mediaanpalgast vähem ja rohkem palka saavate inimeste arv on sama.

Tõenäosus p1, et juhuslik suurus x on väiksem kui x1/2 ja tõenäosus p2, et juhuslik suurus x on suurem kui x1/2, on sama ja võrdne 1/2-ga. Mediaan ei ole kõigi jaotuste jaoks üheselt määratud.

Standard või standardhälve statistikas nimetatakse vaatlusandmete või kogumite kõrvalekalde astet KESKMISEST väärtusest. Tähistatakse s- või s-tähtedega. Väike standardhälve näitab, et andmed on rühmitatud keskmise ümber, ja suur standardhälve näitab, et algandmed on sellest kaugel. Standardhälve võrdub ruutjuur suurus, mida nimetatakse dispersiooniks. See on keskmisest kõrvalekalduvate algandmete ruudu erinevuste summa keskmine. Juhusliku muutuja standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Näide. Katsetingimustes sihtmärki tulistades arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve:

Variatsioon- tunnuse väärtuse kõikumine, varieeruvus üldkogumi ühikutes. Uuritavas populatsioonis esinevaid tunnuse eraldiseisvaid arvväärtusi nimetatakse väärtuste variantideks. Keskmise väärtuse ebapiisav täielikud omadused koondnäitaja paneb meid keskmisi väärtusi täiendama näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Variatsioonikoefitsient arvutatakse järgmise valemiga:

Laiuse variatsioon(R) on erinevus maksimaalse ja minimaalsed väärtused omadus uuringupopulatsioonis. See näitaja annab kõige rohkem üldine idee uuritava tunnuse kõikumise kohta, kuna see näitab erinevust ainult valikute piirväärtuste vahel. Sõltuvus äärmuslikud väärtused märk muudab variatsioonivahemiku ebastabiilseks, juhuslik tegelane.

Keskmine lineaarne hälve on analüüsitud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (moodulite) kõrvalekallete aritmeetiline keskmine nende keskmisest väärtusest:

Matemaatiline ootus hasartmängude teoorias

Matemaatiline ootus on keskmine rahasumma, mille mängur võib antud panusega võita või kaotada. See on mängija jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna see on enamiku mänguolukordade hindamisel põhiline. Matemaatiline ootus on ka parim vahend põhiliste kaartide paigutuste ja mänguolukordade analüüsimiseks.

Oletame, et mängite sõbraga münti, tehes iga kord võrdse 1-dollarilise panuse, olenemata sellest, mis juhtub. Sabad – võidad, pead – kaotad. Tõenäosus, et see langeb, on üks ühele ja panustate $1 kuni $1. Seega on teie matemaatiline ootus null, sest matemaatiliselt öeldes ei saa sa teada, kas juhid või kaotad pärast kahte viset või pärast 200.

Teie tunnikasum on null. Tunni väljamakse on rahasumma, mille loodate ühe tunni jooksul võita. Saate ühe tunni jooksul münti visata 500 korda, kuid te ei võida ega kaota sellepärast teie koefitsiendid ei ole positiivsed ega negatiivsed. Kui vaadata, siis tõsise mängija seisukohalt pole selline panustamissüsteem halb. Aga see on lihtsalt aja raiskamine.

Kuid oletame, et keegi soovib samas mängus panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu. Siis on sul kohe positiivne ootus 50 senti igalt panuselt. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panusta esimesele dollarile ja kaota 1 dollar, panusta teisele ja võida 2 dollarit. Olete panustanud kaks korda 1 dollari ja olete 1 dollariga ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.

Kui münt kukub ühe tunni jooksul 500 korda, on teie tunnikasum juba 250 dollarit, sest. keskmiselt kaotasite 1250 dollarit ja võitsite 2250 korda. $500 miinus $250 võrdub $250, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on summa, mille ühe panusega keskmiselt võidate, on 50 senti. Võitsite 250 dollarit, panustades ühe dollari 500 korda, mis võrdub 50 sendiga teie panusest.

Matemaatilisel ootusel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu 2 dollarit panustada, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid teie 2-1 panustamise eelisega, kui kõik muu on võrdne, teete 50 senti iga 1-dollarise panuse eest mis tahes korral. asjaolud. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, vaid ainult tingimusel, et sul on piisavalt raha kulude hõlpsaks hüvitamiseks. Kui panustate samamoodi, ulatuvad teie võidud pikema aja jooksul üksikute visete puhul eeldatavate väärtuste summani.

Iga kord, kui teete parima panuse (panus, mis võib olla pikas perspektiivis kasumlik), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate sellel kindlasti midagi, olenemata sellest, kas kaotate selle antud jaotuses või mitte. Ja vastupidi, kui tegite halvema panuse (pikemas perspektiivis kahjumlik panus), kui koefitsiendid pole teie kasuks, kaotate midagi, olenemata sellest, kas võidate või kaotate käe.

Panustate parima tulemusega, kui teie ootused on positiivsed, ja see on positiivne, kui koefitsiendid on teie kasuks. Kui panustate halvima tulemusega, on teil negatiivne ootus, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised mängijad panustavad ainult parima tulemusega, halvima tulemusega – nad loobuvad. Mida tähendab koefitsient teie kasuks? Võite lõpuks võita rohkem, kui tegelik koefitsient toob. Tegelik saba tabamise koefitsient on 1:1, kuid panuste suhte tõttu saate 2:1. Sel juhul on tõenäosus teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.

Siin on rohkem keeruline näide matemaatiline ootus. Sõber kirjutab üles numbrid ühest viieni ja panustab 5 dollarit teie 1 dollari vastu, et te ei vali numbrit. Kas olete sellise kihlveoga nõus? Mis on siin ootus?

Keskmiselt eksite neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et te arvu arvate 4:1. Tõenäosus on, et kaotate ühe dollari ühe katsega. Küll aga võidad 5:1, võimalusega kaotada 4:1. Seega on koefitsiendid sinu kasuks, võid võtta panuse ja loota parimale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda 1 dollari ja võidate üks kord 5 dollarit. Selle põhjal teenite kõigi viie katse eest 1 dollari positiivse matemaatilise ootusega 20 senti panuse kohta.

Mängija, kes kavatseb võita rohkem, kui ta panustab, nagu ülaltoodud näites, püüab koefitsiente. Ja vastupidi, ta rikub võimalusi, kui loodab võita vähem, kui ta panustab. Panustajal võivad olla positiivsed või negatiivsed ootused olenevalt sellest, kas ta püüab kinni või rikub koefitsiente.

Kui panustate 50 dollariga, et võita 10 dollarit võiduvõimalusega 4:1, on teil negatiivne ootus 2 dollarit, sest keskmiselt võidate neli korda 10 dollarit ja kaotate ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et kaotus panuse kohta on 10 dollarit. Aga kui panustate 30 dollariga, et võita 10 dollarit sama võidukoefitsiendiga 4:1, siis sel juhul on teil positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollarit ja kaotate üks kord 30 dollarit, saades 10 dollari suuruse kasumi. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine ​​hea.

Matemaatiline ootus on iga mänguolukorra keskpunkt. Kui kihlvedude vahendaja julgustab jalgpallifänne panustama 11 dollarile, et võita 10 dollarit, on neil positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari kohta. Kui kasiino maksab Craps passi realt isegi raha välja, siis on maja positiivne ootus ligikaudu 1,40 $ iga 100 $ kohta; see mäng on üles ehitatud nii, et kõik, kes sellele reale panustavad, kaotavad keskmiselt 50,7% ja võidavad 49,3% ajast. Kahtlemata toob just see pealtnäha minimaalne positiivne ootus tohutut kasumit kasiinoomanikele üle maailma. Nagu Vegas Worldi kasiinoomanik Bob Stupak märkis: "Tuhandik protsendist negatiivsest tõenäosusest piisavalt pika vahemaa jooksul rikub rikkaim mees maailmas".

Matemaatiline ootus pokkerit mängides

Pokkerimäng on kõige paljastavam ja hea näide matemaatilise ootuse teooria ja omaduste kasutamise osas.

Oodatav väärtus pokkeris on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte numbrite ja pika vahemaa teooria raames. Edukas pokker seisneb selles, et võetakse alati positiivse matemaatilise ootusega liigutused vastu.

Matemaatilise ootuse matemaatiline tähendus pokkerit mängides seisneb selles, et otsuse langetamisel puutume sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid on vastase käes, millised kaardid tulevad järgmistel panustamisvoorudel). Peame vaatlema iga lahendust suurte arvude teooria seisukohast, mis ütleb, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku suuruse keskmine väärtus oma matemaatilisele ootusele.

Matemaatilise ootuse arvutamise valemitest on pokkeris kõige enam kasutatav järgmine:

Pokkerit mängides saab matemaatilist ootust arvutada nii panuste kui ka kõnede puhul. Esimesel juhul tuleks arvesse võtta fold equity'i, teisel juhul panga enda koefitsiente. Konkreetse käigu matemaatilist ootust hinnates tuleb meeles pidada, et foldi matemaatiline ootus on alati null. Seega on kaartide äraviskamine alati tulusam otsus kui mis tahes negatiivne samm.

Ootus ütleb teile, mida võite oodata (kasum või kahjum) iga riskitava dollari kohta. Kasiinod teenivad raha, sest matemaatiline ootus kõikidele mängudele, mida neis harrastatakse, on kasiino kasuks. Piisavalt pika mänguseeria puhul võib eeldada, et klient jääb oma rahast ilma, kuna “tõenäosus” on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinomängijad aga piiravad oma mänge lühikeste perioodidega, suurendades seeläbi koefitsiente enda kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, võite teenida rohkem raha teha palju tehinguid lühikese aja jooksul. Ootus on teie protsent võidu kohta korrutatud teie keskmise kasumi miinus teie kaotuse tõenäosus korrutatuna teie keskmine kahjum.

Pokkerit võib käsitleda ka matemaatilise ootuse seisukohalt. Võite eeldada, et teatud käik on tulus, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla parim, sest mõni teine ​​käik on tulusam. Oletame, et tabasite viie kaardi tõmbepokkeris täismaja. Sinu vastane panustab. Teate, et kui olete valmis, siis ta helistab. Seega tundub tõstmine olevat parim taktika. Kui aga tõstad, loobivad ülejäänud kaks mängijat kindlasti. Aga kui maksate panuse, olete täiesti kindel, et teised kaks mängijat pärast teid teevad sama. Panuse tõstmisel saate ühe ühiku ja lihtsalt helistades saate kaks. Seega annab helistamine teile suurema positiivse eeldatava väärtuse ja on parim taktika.

Matemaatiline ootus võib anda aimu ka sellest, millised pokkeritaktikad on vähem tulusad ja millised tulusamad. Näiteks kui mängite kindlat kätt ja arvate, et teie keskmine kaotus on 75 senti koos antega, siis peaksite seda jaotust mängima, sest see on parem kui voltimine, kui ante on $1.

Teine oluline põhjus matemaatilise ootuse olemuse mõistmine seisneb selles, et see annab teile rahuliku tunde, kas võitsite panuse või mitte: kui tegite hea panuse või loobusite õigel ajal, saate teada, et olete teeninud või säästnud teatud rahasumma. nõrgem mängija ei suutnud päästa. Märksa raskem on loobuda, kui oled pettunud, et vastasel on loosimisel parem käsi. See tähendab, et raha, mille säästate, kui panustate, lisatakse teie üleöö- või kuuvõitule.

Pidage meeles, et kui vahetate kätt, helistab vastane teile ja nagu näete pokkeri põhiteoreemi artiklist, on see vaid üks teie eelistest. Peaksite rõõmustama, kui see juhtub. Võite isegi õppida nautima käe kaotamist, sest teate, et teised teie kingades olevad mängijad kaotaksid palju rohkem.

Nagu alguses mündimängu näites mainitud, on tunnitasuvus seotud eeldatava väärtusega ja see kontseptsioon eriti oluline professionaalsete mängijate jaoks. Kui kavatsete pokkerit mängida, peate vaimselt hindama, kui palju võite mängutunni jooksul võita. Enamikul juhtudel peate tuginema oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka matemaatilisi arvutusi. Näiteks kui mängite lowballi loosimist ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja tõmbavad seejärel kaks kaarti, mis on väga halb taktika, saate ise arvutada, et iga kord, kui nad panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad umbes 48 dollarit tunnis. Olete üks ülejäänud neljast mängijast, kes on ligikaudu võrdsed, seega peavad need neli mängijat (ja teie nende hulgas) jagama 48 dollarit ja igaüks teenib 12 dollarit tunnis. Teie tunnitasu on sel juhul lihtsalt teie osa kolme halva mängija tunnis kaotatud rahasummast.

Pika aja jooksul on mängija koguvõidud tema matemaatiliste ootuste summa eraldi jaotustes. Mida rohkem sa mängid positiivsete ootustega, seda rohkem sa võidad ja vastupidi, mida rohkem käsi mängid negatiivse ootusega, seda rohkem sa kaotad. Selle tulemusena peaksite eelistama mängu, mis võib teie positiivseid ootusi maksimeerida või negatiivseid ootusi ümber lükata, et saaksite oma tunnikasumit maksimeerida.

Positiivne matemaatiline ootus mängustrateegias

Kui tead, kuidas kaarte lugeda, võib sul olla kasiino ees eelis, kui nad ei märka ja sind välja ei löö. Kasiinod armastavad purjus mängureid ega kannata kaartide lugemist. Eelis võimaldab teil võita rohkem kordi kui kaotada aja jooksul. hea juhtimine kapital, kasutades ootuste arvutusi, aitab teil oma eelist ära kasutada ja kahjumit vähendada. Ilma eeliseta on parem raha heategevuseks anda. Mängus börsil annab eelise mängu süsteem, mis loob rohkem kasumit kui kahjumit, hinnavahesid ja komisjonitasusid. Ükski rahahaldus ei päästa halba mängusüsteemi.

Positiivne ootus on defineeritud nullist suurema väärtusega. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui null, on ka matemaatiline ootus negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda hullem olukord. Kui tulemus on null, siis on ootus kasumlik. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus, mõistlik mängusüsteem. Intuitsioonile mängimine viib katastroofini.

Matemaatiline ootus ja aktsiakauplemine

Matemaatiline ootus on üsna laialt nõutud ja populaarne. Statistika finantsturgudel börsil kauplemisel. Esiteks kasutatakse seda parameetrit kauplemise edukuse analüüsimiseks. Pole raske arvata, et mida rohkem antud väärtus, seda rohkem on põhjust pidada uuritud kaubandust edukaks. Loomulikult ei saa kaupleja töö analüüsi teha ainult selle parameetri abil. Arvutatud väärtus koos teiste töökvaliteedi hindamismeetoditega võib aga analüüsi täpsust oluliselt tõsta.

Kauplemiskonto monitooringu teenustes arvutatakse sageli matemaatilist ootust, mis võimaldab kiiresti hinnata hoiuse kallal tehtud tööd. Erandina võime nimetada strateegiaid, mis kasutavad kaotavate tehingute "ülejäämist". Kauplejal võib mõnda aega vedada ja seetõttu ei pruugi tema töös kahjusid tekkida. Sel juhul ei saa orienteeruda ainult ootuse järgi, sest töös kasutatavaid riske ei võeta arvesse.

Turul kauplemisel kasutatakse matemaatilist ootust kõige sagedamini kauplemisstrateegia tasuvuse ennustamisel või kaupleja sissetulekute ennustamisel tema varasemate tehingute statistika põhjal.

Raha haldamise osas on väga oluline mõista, et negatiivse ootusega tehingute tegemisel puudub rahahaldusskeem, mis võiks kindlasti tuua kõrget kasumit. Kui jätkate börsi mängimist nendel tingimustel, siis olenemata sellest, kuidas te oma raha haldate, kaotate kogu oma konto, olenemata sellest, kui suur see alguses oli.

See aksioom ei kehti mitte ainult negatiivsete ootustega mängude või tehingute puhul, vaid ka paariskoefitsientidega mängude puhul. Seetõttu on ainus juhtum, kus teil on võimalus pikemas perspektiivis kasu saada, kui sõlmite tehinguid positiivse matemaatilise ootusega.

Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või negatiivne ootus on; oluline on see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu peate enne rahahalduse kaalumist leidma positiivse ootusega mängu.

Kui teil seda mängu pole, ei päästa teid ükski rahahaldus maailmas. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, siis on õige rahahalduse abil võimalik muuta see eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike on positiivne ootus! Ehk siis pole vahet, kui tulus on ühel lepingul põhinev kauplemissüsteem. Kui teil on süsteem, mis võidab ühe tehingu pealt 10 dollarit lepingu kohta (pärast tasusid ja libisemist), saate kasutada rahahaldustehnikaid, et muuta see tulusamaks kui süsteem, mille keskmine kasum on 1000 dollarit tehingu kohta (pärast vahendustasude ja kulude mahaarvamist). libisemine).

Tähtis pole see, kui tulus süsteem oli, vaid see, kui kindlalt saab väita, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kõige olulisem ettevalmistus, mida kaupleja teha saab, veenduda, et süsteem näitaks tulevikus positiivset oodatavat väärtust.

Et omada tulevikus positiivset eeldatavat väärtust, on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite kõrvaldamise või vähendamisega, vaid ka võimalikult suure vähendamisega rohkem süsteemireeglid. Iga lisatav parameeter, iga tehtud reegel, iga väike muudatus süsteemis vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis soovite ehitada üsna primitiivse ja lihtne süsteem, mis toob pidevalt väikest kasumit peaaegu igal turul. Jällegi on oluline mõista, et süsteemi kasumlikkusel pole vahet, kui see on kasumlik. Kauplemisel teenitud raha teenitakse läbi tõhus juhtimine raha.

Kauplemissüsteem on lihtsalt tööriist, mis annab teile positiivse matemaatilise ootuse, et rahahaldust saaks kasutada. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või mõnel turul või millel on erinevate turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta suure tõenäosusega kaua reaalajas. Enamiku tehniliste kauplejate probleem seisneb selles, et nad kulutavad liiga palju aega ja vaeva kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et raisata energiat ja arvuti aeg kauplemissüsteemi kasumi suurendamiseks suunake oma energia minimaalse kasumi saamise usaldusväärsuse taseme tõstmiseks.

Teades, et raha haldamine on õiglane numbrimäng, mis eeldab positiivsete ootuste kasutamist, võib kaupleja lõpetada aktsiakaubanduse "püha graali" otsimise. Selle asemel võib ta hakata oma kauplemismeetodit testima, uurida, kuidas see meetod loogiliselt põhjendatud on, kas see annab positiivseid ootusi. Õiged meetodid rahahaldus, mida rakendatakse mis tahes, isegi väga keskpäraste kauplemismeetodite puhul, teeb ülejäänud töö ära.

Et iga kaupleja oleks oma töös edukas, peab ta kõige rohkem lahendama kolm tähtsaid ülesandeid: . Tagada, et edukate tehingute arv ületaks vältimatuid vigu ja valearvestusi; Seadistage oma kauplemissüsteem nii, et raha teenimise võimalus oleks võimalikult sageli; Saavutage oma operatsioonide stabiilne positiivne tulemus.

Ja siin võib meile, töötavatele kauplejatele, head abi pakkuda matemaatiline ootus. See termin tõenäosusteoorias on üks võtmetähtsusega. Seda saab kasutada mõne keskmise hinnangu andmiseks juhuslik väärtus. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on nagu raskuskese, kui kõike ette kujutada võimalikud tõenäosused erineva massiga punktid.

Seoses kauplemisstrateegiaga kasutatakse selle tõhususe hindamiseks kõige sagedamini kasumi (või kahjumi) matemaatilist ootust. See parameeter on määratletud kui antud kasumi- ja kahjumitasemete produktide ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegias, et 37% kõigist tehingutest toob kasumit ja ülejäänud osa - 63% - on kahjumlik. Samal ajal on eduka tehingu keskmine tulu 7 dollarit ja keskmine kahjum 1,4 dollarit. Arvutame kauplemise matemaatilise ootuse järgmise süsteemi abil:

Mis teeb antud number? Seal on kirjas, et selle süsteemi reegleid järgides saame igalt suletud tehingult keskmiselt 1,708 dollarit. Alates sellest tulenevast efektiivsuse hinnangust Üle nulli, siis saab sellist süsteemi kasutada päris töö. Kui arvutuse tulemusel osutub matemaatiline ootus negatiivseks, siis see viitab juba keskmisele kahjumile ja selline kauplemine toob kaasa hävingu.

Kasumi suurust tehingu kohta saab väljendada ka kujul suhteline väärtus kui %. Näiteks:

– tulu protsent 1 tehingu kohta - 5%;

– edukate kauplemistehingute osakaal - 62%;

– kahjuprotsent 1 tehingu kohta - 3%;

- ebaõnnestunud tehingute osakaal - 38%;

See tähendab, et keskmine tehing toob 1,96%.

Võimalik on välja töötada süsteem, mis hoolimata kaotavate tehingute ülekaalust annab positiivse tulemuse, kuna selle MO>0.

Siiski ei piisa ainult ootamisest. Raha on raske teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on selle kasumlikkus võrreldav pangaintressiga. Oletame, et iga tehing on keskmiselt vaid 0,5 dollarit, aga mis siis, kui süsteem eeldab 1000 tehingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga tõsine summa. Sellest järeldub loogiliselt, et teine tunnusmärk Head kauplemissüsteemi võib pidada lühikeseks hoidmisperioodiks.

Allikad ja lingid

dic.academic.ru - akadeemiline veebisõnastik

mathematics.ru - matemaatikat käsitlev haridussait

nsu.ru on Novosibirski hariduslik veebisait riigiülikool

webmath.ru haridusportaalüliõpilastele, taotlejatele ja koolilastele.

exponenta.ru hariduslik matemaatiline sait

en.tradimo.com – tasuta võrgukool kauplemine

crypto.hut2.ru – multidistsiplinaarne teabeallikas

poker-wiki.ru - tasuta pokkeri entsüklopeedia

sernam.ru Teaduslik raamatukogu valitud loodusteaduslikke väljaandeid

reshim.su – veebisait SOLVE ülesanded, mis kontrollivad kursuste tööd

unfx.ru – Forex UNFX-is: haridus, kauplemissignaalid, usalduse haldamine

slovopedia.com – suur entsüklopeediline sõnaraamat Slovakkia

pokermansion.3dn.ru – teie teejuht pokkerimaailma

statanaliz.info – teabeblogi « Statistiline analüüs andmed"

forex-trader.rf – portaal Forex-Trader

megafx.ru – ajakohane Forexi analüüs

fx-by.com – kõik kaupleja jaoks

Selleks, et statistilised hinnangud annaksid hinnangulistele parameetritele hea ligikaudse hinnangu, peavad need olema erapooletud, tõhusad ja järjepidevad.

erapooletu nimetatakse parameetri statistiliseks hinnanguks , mille matemaatiline ootus on võrdne mis tahes valimi suuruse hinnangulise parameetriga.

Ümberasustatud nimetatakse statistiliseks hindamiseks
parameeter , mille matemaatiline ootus ei ole võrdne hinnangulise parameetriga.

tõhus nimetatakse statistiliseks hindamiseks
parameeter , mis antud valimi suuruse jaoks on väikseima dispersiooniga.

Jõukas nimetatakse statistiliseks hindamiseks
parameeter , mis kl
kaldub tõenäoliselt hinnangulisele parameetrile.

st mis tahes

.

Erineva suurusega valimite puhul saadakse erinevad aritmeetilise keskmise ja statistilise dispersiooni väärtused. Seetõttu on aritmeetiline keskmine ja statistiline dispersioon juhuslikud suurused, mille puhul on olemas matemaatiline ootus ja dispersioon.

Arvutame aritmeetilise keskmise ja dispersiooni matemaatilise ootuse. Tähistage juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Siin loetakse juhuslikeks muutujateks: – S.V., mille väärtused on võrdsed erinevate mahuproovide jaoks saadud esimeste väärtustega üldisest elanikkonnast
–S.V., mille väärtused on võrdsed teiste jaoks saadud väärtustega erinevad näidised maht üldisest elanikkonnast, ...,
- S.V., kelle väärtused on võrdsed - erinevate mahuproovide jaoks saadud väärtused üldisest elanikkonnast. Kõik need juhuslikud muutujad on jaotatud sama seaduse järgi ja neil on samad matemaatilised ootused.

Valemist (1) järeldub, et aritmeetiline keskmine on matemaatilise ootuse erapooletu hinnang, kuna aritmeetilise keskmise matemaatiline ootus on võrdne juhusliku suuruse matemaatilise ootusega. See hinnang on samuti järjekindel. Selle hinnangu efektiivsus sõltub juhusliku suuruse jaotuse tüübist
. Kui näiteks
normaalse jaotusega, on eeldatava väärtuse hindamine aritmeetilise keskmise abil tõhus.

Otsime nüüd üles statistiline hindamine dispersioon.

Statistilise dispersiooni avaldise saab teisendada järgmiselt

(2)

Leiame nüüd statistilise dispersiooni matemaatilise ootuse

. (3)

Arvestades seda
(4)

saame (3) -

Valemist (6) on näha, et statistilise dispersiooni matemaatiline ootus erineb dispersioonist teguri võrra, s.o. on populatsiooni dispersiooni kallutatud hinnang. Seda seetõttu, et selle asemel tõeline väärtus
, mis on teadmata, kasutatakse dispersiooni hindamiseks statistilist keskmist .

Seetõttu tutvustame korrigeeritud statistilist dispersiooni

(7)

Siis korrigeeritud statistilise dispersiooni matemaatiline ootus on

need. korrigeeritud statistiline dispersioon on populatsiooni dispersiooni erapooletu hinnang. Sellest tulenev hinnang on samuti järjepidev.

LOENGU EESMÄRK: tutvustada tundmatu jaotusparameetri hindamise kontseptsiooni ja anda selliste hinnangute klassifikatsioon; saada punkt- ja intervallhinnangud matemaatilise ootuse ja dispersiooni kohta.

Praktikas on enamikul juhtudel juhusliku suuruse jaotuse seadus teadmata ja vastavalt vaatlustulemustele
on vaja hinnata arvulisi karakteristikuid (näiteks matemaatiline ootus, dispersioon või muud momendid) või tundmatut parameetrit , mis määratleb jaotusseaduse (jaotustihedus)
uuritav juhuslik suurus. Nii et eksponentsiaalse või Poissoni jaotuse puhul piisab ühe parameetri hindamisest ja normaaljaotuse puhul tuleb hinnata juba kahte parameetrit - matemaatilist ootust ja dispersiooni.

Hindamiste tüübid

Juhuslik väärtus
on tõenäosustihedus
, kus on tundmatu jaotuse parameeter. Katse tulemusena saadi selle juhusliku suuruse väärtused:
. Hinnangu andmine tähendab sisuliselt seda, et juhusliku suuruse valimi väärtused peavad olema seotud parameetri teatud väärtusega , st luua vaatlustulemustest mingi funktsioon
, mille väärtus on võetud hinnanguliseks parameeter . Indeks näitab tehtud katsete arvu.

Kutsutakse mis tahes funktsiooni, mis sõltub vaatluste tulemustest statistika. Kuna vaatluste tulemused on juhuslikud suurused, siis on ka statistika juhuslik suurus. Seetõttu hinnang
tundmatu parameeter tuleks käsitleda juhusliku muutujana ja selle väärtus arvutatakse eksperimentaalse põhjal antud maht, – selle juhusliku suuruse ühe võimaliku väärtusena.

Jaotusparameetrite (juhusliku suuruse arvkarakteristikute) hinnangud jagunevad punktideks ja intervallideks. Punktide hinnang parameeter määratud ühe numbriga , ja selle täpsust iseloomustab hinnangu dispersioon. intervalli hindamine nimetatakse hinnanguks, mis määratakse kahe arvuga, ja – hinnangulist parameetrit hõlmava intervalli lõppu etteantud usaldustasemega.

Punkthinnangute klassifikatsioon

Tundmatu parameetri punkthinnangu tegemiseks
on täpsuse osas parim, peab see olema järjepidev, erapooletu ja tõhus.

Jõukas nimetatakse skoori
parameeter , kui see läheneb tõenäosuselt hinnangulisele parameetrile, st.

. (8.8)

Tšebõševi ebavõrdsuse põhjal saab seda näidata piisav seisukord seos (8.8) on võrdsus

.

Järjepidevus on hinnangu asümptootiline omadus
.

erapooletu nimetatakse skoori
(hinnang ilma süstemaatilise veata), mille matemaatiline ootus on võrdne hinnangulise parameetriga, s.o.

. (8.9)

Kui võrdsus (8.9) ei ole täidetud, nimetatakse hinnangut kallutatud. Erinevus
nimetatakse hinnangu kallutatuseks või kallutatuseks. Kui võrdsus (8.9) on täidetud ainult
, siis nimetatakse vastavat hinnangut asümptootiliselt erapooletuks.

Tuleb märkida, et kui järjepidevus on peaaegu kohustuslik tingimus kõikide praktikas kasutatavate hinnangute puhul (ebajärjekindlaid hinnanguid kasutatakse üliharva), siis erapooletuse omadus on ainult soovitav. Paljudel tavaliselt kasutatavatel hinnangutel puudub erapooletu omadus.

Üldjuhul teatud parameetri hindamise täpsus saadud katseandmete põhjal
, mida iseloomustab keskmine ruutviga

,

mida saab vormile tuua

,

kus on dispersioon,
on hinnangu kõrvalekalde ruut.

Kui hinnang on erapooletu, siis

Finaalis hinnangud võivad erineda vea keskmise ruudu võrra . Loomulikult, mida väiksem on see viga, seda tihedamalt on hindamisväärtused hinnangulise parameetri ümber rühmitatud. Seetõttu on alati soovitav, et hinnanguviga oleks võimalikult väike, st tingimus

. (8.10)

Hinnang rahuldavat tingimust (8.10) nimetatakse minimaalse ruuduveaga hinnanguks.

tõhus nimetatakse skoori
, mille puhul keskmine ruutviga ei ole suurem kui ühegi teise hinnangu keskmine ruutviga, s.o.

kus – mis tahes muu parameetri hinnang .

On teada, et ühe parameetri mis tahes erapooletu hinnangu dispersioon rahuldab Cramer-Rao ebavõrdsust

,

kus
- juhusliku suuruse saadud väärtuste tingimuslik tõenäosusjaotuse tihedus parameetri tegeliku väärtusega .

Seega erapooletu hindaja
, mille puhul Cramer-Rao ebavõrdsus muutub võrduseks, on efektiivne, st sellisel hinnangul on minimaalne dispersioon.

Matemaatilise ootuse ja dispersiooni punkthinnangud

Kui arvestada juhuslikku suurust
, millel on matemaatiline ootus ja dispersioon , eeldatakse, et mõlemad parameetrid on tundmatud. Seega üle juhusliku muutuja
toodetud sõltumatud katsed, mis annavad tulemusi:
. Tundmatute parameetrite kohta on vaja leida järjepidevad ja erapooletud hinnangud ja .

Nagu hinnanguliselt ja tavaliselt valitakse vastavalt statistiline (valimi) keskmine ja statistiline (valimi) dispersioon:

; (8.11)

. (8.12)

Ootushinnang (8.11) on kooskõlas suurte arvude seadusega (Tšebõševi teoreem):

.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus

.

Seetõttu hinnang on erapooletu.

Matemaatilise ootuse hinnangu hajumine:

Kui juhuslik suurus
tavaseaduse järgi jaotatud, siis hinnang on ka tõhus.

Dispersioonihinnangu matemaatiline ootus

Samal ajal

.

Nagu
, a
, siis saame

. (8.13)

Seega
on kallutatud hinnang, kuigi see on järjepidev ja tõhus.

Valemist (8.13) tuleneb, et erapooletu hinnangu saamiseks
valimi dispersiooni (8.12) tuleks muuta järgmiselt:

mida peetakse hinnangust (8.12) "paremaks", kuigi suureks need hinnangud on peaaegu võrdsed.

Jaotusparameetrite hinnangute saamise meetodid

Sageli praktikas juhusliku muutuja genereeriva füüsilise mehhanismi analüüsi põhjal
, saame järeldada selle juhusliku suuruse jaotusseaduse kohta. Selle jaotuse parameetrid on aga teadmata ja neid tuleb hinnata katse tulemuste põhjal, mis tavaliselt esitatakse lõpliku valimina.
. Sellise probleemi lahendamiseks kasutatakse kõige sagedamini kahte meetodit: hetkede meetodit ja maksimaalse tõenäosuse meetodit.

Hetkede meetod. Meetod seisneb teoreetiliste momentide samastamises vastavate sama järgu empiiriliste momentidega.

Empiirilised algushetked järjekord määratakse valemitega:

,

ja vastavad teoreetilised algmomendid järjekord - valemid:

diskreetsete juhuslike muutujate jaoks,

pidevate juhuslike muutujate puhul,

kus on hinnanguline jaotuse parameeter.

Kahte tundmatut parameetrit sisaldava jaotuse parameetrite hinnangute saamiseks ja , süsteem koosneb kahest võrrandist

kus ja – teoreetiline ja empiiriline kesksed hetked teine ​​järjekord.

Võrrandisüsteemi lahenduseks on hinnangud ja teadmata jaotusparameetrid ja .

Võrdsustades esimest järku teoreetilisi empiirilisi algmomente, saame, et juhusliku suuruse matemaatilist ootust hinnates
, mille jaotus on suvaline, on valimi keskmine, st.
. Seejärel, võrdsustades teist järku teoreetilised ja empiirilised keskmomendid, saame, et juhusliku suuruse dispersiooni hinnang
, millel on suvaline jaotus, määratakse valemiga

.

Samamoodi võib leida hinnanguid mis tahes järku teoreetiliste momentide kohta.

Momentide meetod on lihtne ja ei nõua keerulisi arvutusi, kuid selle meetodiga saadud hinnangud on sageli ebaefektiivsed.

Maksimaalse tõenäosuse meetod. Tundmatute jaotusparameetrite punkthinnangu maksimaalse tõenäosusega meetod taandatakse ühe või mitme hinnangulise parameetri maksimaalse funktsiooni leidmisele.

Las olla
on pidev juhuslik suurus, mis selle tulemusena testid võtsid väärtused
. Tundmatu parameetri hinnangu saamiseks tuleb leida väärtus , mille juures oleks saadud valimi realiseerumise tõenäosus maksimaalne. Nagu
on üksteisest sõltumatud suurused, millel on sama tõenäosustihedus
, siis tõenäosusfunktsioon kutsuge argument funktsiooni :

Parameetri maksimaalne tõenäosuse hinnang seda väärtust nimetatakse , mille juures tõenäosusfunktsioon saavutab maksimumi, st on võrrandi lahendus

,

mis ilmselt sõltub testi tulemustest
.

Kuna funktsioonid
ja
saavutavad samade väärtuste juures maksimumi
, siis sageli kasutavad nad arvutuste lihtsustamiseks logaritmilise tõenäosuse funktsiooni ja otsivad vastava võrrandi juurt

,

mida nimetatakse tõenäosusvõrrand.

Kui teil on vaja hinnata mitut parameetrit
levitamine
, siis sõltub tõenäosusfunktsioon nendest parameetritest. Hinnangute leidmiseks
jaotusparameetrid, on vaja süsteem lahendada tõenäosusvõrrandid

.

Maksimaalse tõenäosuse meetod annab järjekindlad ja asümptootiliselt tõhusad hinnangud. Maksimaalse tõenäosuse meetodil saadud hinnangud on aga kohati kallutatud ning lisaks tuleb hinnangute leidmiseks sageli lahendada üsna keerukaid võrrandisüsteeme.

Intervallparameetrite hinnangud

Punkthinnangute täpsust iseloomustab nende hajuvus. Samal ajal puudub teave selle kohta, kui lähedased on saadud hinnangud parameetrite tegelikele väärtustele. Paljude ülesannete puhul pole vaja ainult parameetri leidmist sobiv arvväärtus, vaid hindab ka selle täpsust ja usaldusväärsust. Tuleb välja selgitada, milliseid vigu võib parameetrite asendamine kaasa tuua. selle punkthinnang ja kui suure kindlusega võime eeldada, et need vead ei ületa teadaolevaid piire.

Sellised probleemid on eriti olulised väikese arvu katsete puhul. kui punkthinnang suures osas juhuslik ja ligikaudne asendus peal võib põhjustada olulisi vigu.

Täielikum ja usaldusväärsem viis jaotuste parameetrite hindamiseks on määrata mitte ühe punkti väärtus, vaid intervall, mis teatud tõenäosusega katab hinnangulise parameetri tegeliku väärtuse.

Las tulemused katsete põhjal saadakse erapooletu hinnang
parameeter . On vaja hinnata võimalikku viga. Valitakse mingi piisavalt suur tõenäosus
(näiteks), et selle tõenäosusega sündmust saab pidada praktiliselt kindlaks sündmuseks ja selline väärtus leitakse , milleks

. (8.15)

Sel juhul asendamisel ilmneva vea praktiliselt võimalike väärtuste vahemik peal , tahe
, ja suur absoluutväärtus vead ilmnevad väikese tõenäosusega .

Avaldis (8.15) tähendab, et tõenäosusega
tundmatu parameetri väärtus langeb intervalli

. (8.16)

Tõenäosus
helistas usalduse tase, ja intervall katmine tõenäosusega kutsutakse parameetri tegelik väärtus usaldusvahemik. Pange tähele, et on vale väita, et parameetri väärtus jääb tõenäosusega usaldusvahemikku . Kasutatud sõnastus (kaaned) tähendab, et kuigi hinnanguline parameeter on teadmata, on sellel konstantne väärtus ja seetõttu ei ole sellel hajumist, kuna tegemist ei ole juhusliku muutujaga.

Punkthinnangute põhiomadused

Selleks, et hinnangul oleks praktiline väärtus, peavad sellel olema järgmised omadused.

1. Parameetri hinnangut nimetatakse erapooletuks, kui selle matemaatiline ootus on võrdne hinnangulise parameetriga, s.o.

Kui võrdsus (22.1) ei ole täidetud, võib hinnang väärtust kas ülehinnata (M>) või alahinnata (M<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Parameetri hinnangut nimetatakse järjepidevaks, kui see järgib suurte arvude seadust, s.t. läheneb tõenäosuselt hinnangulisele parameetrile eksperimentide (vaatluste) arvu piiramatult suurenemisega ja seetõttu on täidetud järgmine võrdsus:

kus > 0 on suvaliselt väike arv.

(22.2) kehtimiseks piisab, kui hinnangu dispersioon kipub olema null, st.

ja pealegi, et hindaja oleks erapooletu. Valemist (22.3) on lihtne üle minna (22.2), kui kasutada Tšebõševi võrratust.

Seega tähendab hinnangu järjepidevus seda, et piisavalt suure arvu katsete ja meelevaldselt suure kindlusega on hinnangu hälve parameetri tegelikust väärtusest väiksem kui eelnev. seatud väärtus. See õigustab valimi suuruse suurendamist.

Kuna tegemist on juhusliku muutujaga, mille väärtus on valimiti erinev, siis iseloomustatakse selle dispersiooni mõõtu ümber matemaatilise ootuse dispersiooniga D. Olgu ja parameetri kaks erapooletut hinnangut, s.o. M = ja M = vastavalt D ja D ning kui D< D , то в качестве оценки принимают.

3. Erapooletut hinnangut, millel on sama suurusega valimitest arvutatud kõigi võimalike erapooletute parameetrite hinnangute vahel väikseim dispersioon, nimetatakse efektiivseks hinnanguks.

Praktikas ei ole parameetrite hindamisel alati võimalik üheaegselt täita nõudeid 1, 2, 3. Siiski peaks hinnangu valikule alati eelnema selle kriitiline läbivaatamine kõigist aspektidest. Proovide võtmisel praktilisi meetodeid katseandmete töötlemisel on vaja juhinduda hinnangute sõnastatud omadustest.

Valimi matemaatilise ootuse ja dispersiooni hindamine

Juhusliku muutuja kõige olulisemad tunnused on matemaatiline ootus ja dispersioon. Mõelge küsimusele, millised valimi karakteristikud hindavad kõige paremini matemaatilist ootust ja dispersiooni erapooletuse, tõhususe ja järjepidevuse osas.

Teoreem 23.1. Aritmeetiline keskmine, mis on arvutatud n sõltumatust vaatlusest juhusliku suuruse kohta, mille matemaatiline ootus on M = , on selle parameetri erapooletu hinnang.

Tõestus.

Olgu - n sõltumatut vaatlust juhusliku suuruse üle. Tingimuse järgi M = , ja kuna on juhuslikud muutujad ja neil on sama jaotusseadus. Definitsiooni järgi aritmeetiline keskmine

Vaatleme aritmeetilise keskmise matemaatilist ootust. Kasutades matemaatilise ootuse omadust, saame:

need. . (22.1) on erapooletu hinnang. ?

Teoreem 23.2 . Aritmeetiline keskmine, mis on arvutatud juhusliku suuruse M = u n sõltumatu vaatluse põhjal, on selle parameetri järjepidev hinnang.

Tõestus.

Olgu - n sõltumatut vaatlust juhusliku suuruse üle. Siis on meil teoreemi 23.1 alusel M = .

Aritmeetilise keskmise jaoks kirjutame Tšebõševi ebavõrdsuse:

Kasutades dispersiooniomadusi 4.5 ja (23.1), saame:

sest teoreemi järgi.

Seega

Seega on aritmeetilise keskmise dispersioon n korda väiksem kui juhusliku suuruse dispersioon. Siis

mis tähendab, et see on järjepidev hinnang.

kommenteerida : 1 . Me aktsepteerime ilma tõenditeta tulemust, mis on praktika jaoks väga oluline. Kui N (a,), siis matemaatilise ootuse erapooletu hinnang a mille minimaalne dispersioon on võrdne seega parameetri a efektiivse hinnanguga. ?

Liigume edasi dispersiooni hinnangu juurde ja kontrollime selle järjepidevust ja erapooletust.

Teoreem 23.3 . Kui a suvaline näidis koosneb n sõltumatust vaatlusest juhusliku suuruse kohta koos

M = ja D = , siis valimi dispersioon

ei ole D - üldise dispersiooni erapooletu hinnang.

Tõestus.

Olgu - n sõltumatut vaatlust juhusliku suuruse üle. Tinglikult ja kõigile. Teisendame valimi dispersiooni valemi (23.3):

Lihtsustame väljendit

Võttes arvesse (23.1), kust

Laske tundmatu matemaatilise ootuse ja dispersiooniga juhusliku muutujaga läbi viia sõltumatud katsed, mis andsid tulemusi - . Arvutame parameetrite ja parameetrite jaoks järjepidevad ja erapooletud hinnangud.

Matemaatilise ootuse hinnanguks võtame katseväärtuste aritmeetilise keskmise

. (2.9.1)

Suurte arvude seaduse järgi on see hinnang jõukas , tõenäosusega. Sama hinnang on erapooletu , niivõrd kui

. (2.9.2)

Selle hinnangu dispersioon on

. (2.9.3)

Võib näidata, et normaaljaotuse korral on see hinnang tõhus . Teiste seaduste puhul ei pruugi see nii olla.

Hindame nüüd dispersiooni. Esmalt valime hindamiseks valemi statistiline dispersioon

. (2.9.4)

Kontrollime dispersioonihinnangu järjepidevust. Avame sulud valemis (2.9.4)

.

Sest , esimene liige läheneb tõenäosuselt kogusele , teises - kuni . Seega läheneb meie hinnang tõenäosuselt dispersioonile

,

järelikult ta on jõukas .

Kontrollime erapooletus hinnangud koguse kohta. Selleks asendame avaldise (2.9.1) valemiga (2.9.4) ja arvestame, et juhuslikud muutujad sõltumatu

,

. (2.9.5)

Liigume valemis (2.9.5) juhuslike suuruste kõikumiste juurde

Laiendades sulgusid, saame

,

. (2.9.6)

Arvutame välja väärtuse (2.9.6) matemaatilise ootuse, arvestades seda

. (2.9.7)

Seos (2.9.7) näitab, et valemiga (2.9.4) arvutatud väärtus ei ole erapooletu hindaja hajutamiseks. Selle matemaatiline ootus ei ole võrdne, kuid mõnevõrra väiksem. See hinnang viib süstemaatiline viga vähenemise suunas. Sellise nihke kõrvaldamiseks on vaja sisse viia parandus, korrutades mitte väärtuse . Sel juhul võib selline korrigeeritud statistiline dispersioon olla dispersiooni erapooletu hinnang

. (2.9.8)

See hinnang on sama järjepidev kui hinnang, sest .

Praktikas on hinnangu (2.9.8) asemel mõnikord mugavam kasutada teise algstatistilise hetkega seotud samaväärset hinnangut

. (2.9.9)

Hinnangud (2.9.8), (2.9.9) ei ole tõhusad. Saab näidata, et normaaljaotuse korral need nii on asümptootiliselt tõhus (kui kaldub minimaalsele võimalikule väärtusele).

Seega saame piiratud mahu töötlemiseks sõnastada järgmised reeglid statistiline materjal. Kui sõltumatutes katsetes võtab juhuslik suurus väärtused tundmatu matemaatilise ootuse ja dispersiooniga , siis tuleks nende parameetrite määramiseks kasutada ligikaudseid hinnanguid

(2.9.10)

Töö lõpp -

See teema kuulub:

Loengukonspekt matemaatikast tõenäosusteooria matemaatiline statistika

osakond kõrgem matemaatika ja informaatika.. loengukonspektid.. matemaatikas..

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida me teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal osutus teile kasulikuks, saate selle sotsiaalvõrgustikes oma lehele salvestada:

säutsuma

Kõik selle jaotise teemad:

Tõenäosusteooria
Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib juhuslike massinähtuste mustreid. Juhuslik on nähtus, mis

Tõenäosuse statistiline määratlus
Sündmus on juhuslik nähtus, mis kogemuse tulemusena võib ilmneda või mitte ilmneda (kaheväärtuslik nähtus). Märkige sündmused suurte ladina tähtedega

Elementaarsete sündmuste ruum
Olgu sündmuste kogum seotud mõne kogemusega ja: 1) kogemuse tulemusena üks ja ainus

Toimingud sündmustel
Kahe sündmuse summa ja

Permutatsioonid
Tähistatakse elementide erinevate permutatsioonide arvu

Majutuskohad
Elementide paigutus by

Kombinatsioonid
Elementide kombinatsioon

Ühildumatute sündmuste tõenäosuste lisamise valem
Teoreem. Kahe summa tõenäosus kokkusobimatud sündmused on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga. (üks

Tõenäosuse lisamise valem suvaliste sündmuste jaoks
Teoreem. Kahe sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende korrutise tõenäosuseta.

Tõenäosuse korrutamise valem
Olgu ette antud kaks sündmust. Mõelge sündmusele

Kogutõenäosuse valem
Olgu täielik kokkusobimatute sündmuste rühm, neid nimetatakse hüpoteesideks. Mõelge mõnele sündmusele

Hüpoteeside tõenäosuste valem (Bayes)
Mõelge uuesti – kokkusobimatute hüpoteeside ja sündmuse täielik rühm

Asümptootiline Poissoni valem
Juhtudel, kui katsete arv on suur ja sündmuse toimumise tõenäosus

Juhuslikud diskreetsed muutujad
Juhuslik väärtus on suurus, mis katse kordamisel võib omandada ebavõrdseid arvväärtusi. Juhuslikku muutujat nimetatakse diskreetseks,

Juhuslikud pidevad muutujad
Kui juhuslik suurus võib eksperimendi tulemusel omandada mis tahes väärtuse teatud lõigust või kogu reaalteljelt, siis nimetatakse seda pidevaks. seadus

Juhusliku pideva muutuja tõenäosustiheduse funktsioon
Las olla. Mõelge punktile ja suurendage seda

Juhuslike suuruste arvulised karakteristikud
Juhuslikud diskreetsed või pidevad muutujad loetakse täielikult määratletuks, kui nende jaotusseadused on teada. Tõepoolest, teades jaotusseadusi, saab alati välja arvutada tabamise tõenäosuse

Juhuslike muutujate kvantilid
Juhusliku pideva muutuja järgu kvantiil

Juhuslike muutujate matemaatiline ootus
Juhusliku suuruse matemaatiline ootus iseloomustab selle keskmist väärtust. Kõik juhusliku suuruse väärtused on rühmitatud selle väärtuse ümber. Kaaluge esmalt juhuslikku diskreetset muutujat

Juhuslike suuruste standardhälve ja dispersioon
Kaaluge esmalt juhuslikku diskreetset muutujat. Režiimi, mediaani, kvantiili ja matemaatilise ootuse arvulised karakteristikud

Juhuslike muutujate hetked
Tõenäosusteoorias kasutatakse lisaks matemaatilisele ootusele ja dispersioonile kõrgema järgu arvulisi karakteristikuid, mida nimetatakse juhuslike suuruste momentideks.

Teoreemid juhuslike suuruste arvkarakteristikute kohta
Teoreem 1. Mittejuhusliku muutuja matemaatiline ootus on võrdne selle väärtuse endaga. Tõestus: lase

Binoomjaotuse seadus

Poissoni jaotamise seadus
Olgu väärtused võtnud juhuslik diskreetne muutuja

Ühtne jaotusseadus
Juhusliku pideva muutuja ühtne jaotuse seadus on tõenäosustihedusfunktsiooni seadus, mis

Normaaljaotuse seadus
Juhusliku pideva muutuja normaaljaotuse seadus on tihedusfunktsiooni seadus

Eksponentjaotuse seadus
Juhusliku suuruse eksponentsiaalset või eksponentsiaalset jaotust kasutatakse tõenäosusteooria sellistes rakendustes nagu teooria järjekorda seadmine, usaldusväärsuse teooria

Juhuslike suuruste süsteemid
Praktikas tuleb tõenäosusteooria rakendustes sageli tegeleda probleemidega, mille puhul katse tulemusi kirjeldatakse mitte ühe juhusliku suuruse, vaid mitme juhusliku muutujaga korraga.

Kahe juhusliku diskreetse muutuja süsteem
Olgu kaks juhuslikku diskreetsed kogused moodustavad süsteemi. Juhuslik väärtus

Kahe juhusliku pideva muutuja süsteem
Nüüd moodustame süsteemi kahe juhusliku pideva muutujaga. Selle süsteemi jaotusseadust nimetatakse tõenäoliselt

Jaotuse tingimuslikud seadused
Olgu ja sõltuvad juhuslikud pidevad muutujad

Kahest juhuslikust suurusest koosneva süsteemi arvkarakteristikud
Juhuslike suuruste süsteemi järjekorra algmoment

Mitme juhusliku suuruse süsteem
Kahe juhusliku suuruse süsteemi kohta saadud tulemusi saab üldistada suvalisest arvust juhuslikest suurustest koosnevate süsteemide puhul. Moodustagu süsteem hulgaga

Kahe juhusliku suuruse süsteemi normaaljaotus
Vaatleme kahe juhusliku süsteemi pidevad kogused. Selle süsteemi jaotusseadus on tavaline seadus rasp

Tõenäosusteooria piirteoreemid
Tõenäosusteooria distsipliini põhieesmärk on uurida juhuslike massinähtuste mustreid. Praktika näitab, et homogeensete juhuslike nähtuste massi jälgimine paljastab

Tšebõševi ebavõrdsus
Vaatleme matemaatilise ootusega juhuslikku muutujat

Tšebõševi teoreem
Kui juhuslikud suurused on paaride kaupa sõltumatud ja neil on populatsioonis piiratud dispersioon

Bernoulli teoreem
Katsete arvu piiramatu suurenemise korral läheneb sündmuse esinemise sagedus tõenäosuselt sündmuse tõenäosusele

Keskpiiri teoreem
Juhuslike muutujate lisamisel mis tahes jaotusseadustega, kuid agregaadis piiratud dispersioonidega, kehtib jaotusseadus

Matemaatilise statistika põhiülesanded
Eespool käsitletud tõenäosusteooria seadused on reaalsete mustrite matemaatiline väljendus, mis tegelikult eksisteerivad erinevates juhuslikes massinähtustes. õppimine

Lihtne statistika. Statistiline jaotusfunktsioon
Vaatleme mõnda juhuslikku muutujat, mille jaotusseadust pole teada. Nõutav kogemuste põhjal

Statistiline rida. tulpdiagramm
Suure hulga vaatlustega (sadu suurusjärgus) elanikkonnast muutub statistilise materjali salvestamisel ebamugavaks ja tülikaks. Selguse ja kompaktsuse huvides statistiline materjal

Statistilise jaotuse arvulised karakteristikud
Tõenäosusteoorias võeti arvesse juhuslike suuruste erinevaid arvulisi karakteristikuid: matemaatilist ootust, dispersiooni, erinevat järku alg- ja keskmomente. Sarnased numbrid

Teoreetilise jaotuse valik momentide meetodil
Igas statistilises jaotuses on paratamatult piiratud vaatluste arvuga seotud juhuslikkuse elemente. Suure hulga vaatluste korral on need juhuslikkuse elemendid tasandatud,

Jaotusseaduse vormi puudutava hüpoteesi usutavuse testimine
Olgu antud statistiline jaotus lähendatud mõne teoreetilise kõvera või

Nõusoleku kriteeriumid
Mõelge ühele kõige sagedamini kasutatavale sobivuse testile, nn Pearsoni testile. Oletame

Tundmatute jaotusparameetrite punktihinnangud
In p.p. 2.1. – 2.7 oleme üksikasjalikult kaalunud esimese ja teise põhiülesande lahendamise viise matemaatiline statistika. Need on juhuslike suuruste jaotusseaduste määramise ülesanded vastavalt katseandmetele

Usaldusvahemik. Usalduse tõenäosus
Praktikas on juhusliku suuruse väikese arvu katsetega tundmatu parameetri ligikaudne asendamine