Matemaatika ootuste dispersioon. Positiivsete tulemuste saavutamiseks on see sama oluline

1. ülesanne. Nisuseemnete idanemise tõenäosus on 0,9. Kui suur on tõenäosus, et neljast külvatud seemnest tärkab vähemalt kolm?

Otsus. Las sündmus AGA- 4 seemnest tärkab vähemalt 3 seemet; sündmus AT- 4 seemnest tärkab 3 seemet; sündmus Koos 4 seemnest tärkab 4 seemet. Tõenäosuse liitmise teoreemi järgi

Tõenäosused
ja
aastal kasutatud Bernoulli valemiga järgmine juhtum. Las seeria jookseb P sõltumatud testid, millest igaühe puhul on sündmuse toimumise tõenäosus konstantne ja võrdne R, ja selle sündmuse mittetoimumise tõenäosus on võrdne
. Siis tõenäosus, et sündmus AGA sisse P testid ilmuvad täpselt korda, arvutatuna Bernoulli valemiga

,

kus
- kombinatsioonide arv P elemendid poolt . Siis

Soovitud tõenäosus

2. ülesanne. Nisuseemnete idanemise tõenäosus on 0,9. Leidke tõenäosus, et 400 külvatud seemnest tärkab 350 seemet.

Otsus. Arvutage soovitud tõenäosus
Bernoulli valemi järgi on arvutuste kohmakuse tõttu keeruline. Seetõttu rakendame kohalikku Laplace'i teoreemi väljendavat ligikaudset valemit:

,

kus
ja
.

Probleemi püstitusest. Siis

.

Taotluste tabelist 1 leiame . Soovitud tõenäosus on võrdne

3. ülesanne. Nisuseemnetest 0,02% umbrohtudest. Kui suur on tõenäosus, et 10 000 seemne juhuslikust valikust selgub 6 umbrohuseemet?

Otsus. Kohaliku Laplace'i teoreemi rakendamine väikese tõenäosuse tõttu
toob kaasa tõenäosuse olulise kõrvalekalde täpsest väärtusest
. Seetõttu väikeste väärtuste jaoks R arvutada
rakendage asümptootilist Poissoni valemit

, kus.

Seda valemit kasutatakse siis, kui
, ja seda vähem R ja veel P, seda täpsem on tulemus.

Vastavalt ülesandele
;
. Siis

4. ülesanne. Nisuseemnete idanemisprotsent on 90%. Leidke tõenäosus, et 500 külvatud seemnest tärkab 400 kuni 440 seemet.

Otsus. Kui sündmuse toimumise tõenäosus AGA igas P testid on konstantsed ja võrdsed R, siis tõenäosus
et sündmus AGA sellistes katsetes on vähemalt üks kord ja mitte rohkem ajad määratakse Laplace'i integraaliteoreemiga järgmise valemiga:

, kus

,
.

Funktsioon
nimetatakse Laplace'i funktsiooniks. Lisades (tabel 2) on toodud selle funktsiooni väärtused
. Kell
funktsiooni
. Kell negatiivsed väärtused X Laplace'i funktsiooni veidruse tõttu
. Laplace'i funktsiooni kasutades on meil:

Vastavalt ülesandele. Kasutades ülaltoodud valemeid, leiame
ja :

5. ülesanne. Diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:

2. Leia: 1) matemaatiline ootus; 2) dispersioon; 3) standardhälve.

Otsus. 1) Kui jaotusseadus on diskreetne juhuslik muutuja antud tabeli järgi

2. Kui esimesel real on antud juhusliku suuruse x väärtused ja teisel real on antud nende väärtuste tõenäosused, siis arvutatakse matemaatiline ootus valemiga

2) Dispersioon
diskreetne juhuslik suurus X nimetatakse matemaatiliseks ootuseks juhusliku suuruse ruudus kõrvalekaldumise kohta temast matemaatiline ootus, st.

See väärtus iseloomustab ruudu hälbe keskmist eeldatavat väärtust X alates
. Viimasest valemist, mis meil on

dispersioon
võib leida ka muul viisil, lähtudes selle järgmisest omadusest: dispersioon
on võrdne juhusliku suuruse ruudu matemaatilise ootuse vahega X ja selle matemaatilise ootuse ruut
, st

Arvutada
koostame järgmise suuruse jaotuse seaduse
:

3) Juhusliku suuruse võimalike väärtuste hajumise iseloomustamiseks selle keskmise väärtuse ümber võetakse kasutusele standardhälve
juhuslik muutuja X, võrdne dispersiooni ruutjuurega
, st

.

Sellest valemist saame:

6. ülesanne. Pidev juhuslik muutuja X antud integraaljaotusfunktsiooniga

Leia: 1) diferentsiaaljaotuse funktsioon
; 2) matemaatiline ootus
; 3) hajutamine
.

Otsus. 1) Diferentsiaaljaotuse funktsioon
pidev juhuslik suurus X nimetatakse integraaljaotusfunktsiooni tuletiseks
, st

.

Soovitaval diferentsiaalfunktsioonil on järgmine vorm:

2) Kui pidev juhuslik suurus X antud funktsiooniga
, siis selle matemaatiline ootus määratakse valemiga

Alates funktsioonist
juures
ja kell
võrdub nulliga, siis viimasest valemist, mis meil on

.

3) Dispersioon
defineerida valemiga

Ülesanne 7. Osa pikkus on normaalse jaotusega juhuslik suurus, mille matemaatiline ootus on 40 mm ja standardhälve 3 mm. Leia: 1) tõenäosus, et suvaliselt võetud osa pikkus on suurem kui 34 mm ja väiksem kui 43 mm; 2) tõenäosus, et detaili pikkus kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootusest mitte rohkem kui 1,5 mm.

Otsus. 1) Lase X- osa pikkus. Kui juhuslik suurus X antud diferentsiaalfunktsioon
, siis tõenäosus, et X võtab segmendile kuuluvad väärtused
, määratakse valemiga

.

Range ebavõrdsuse täitmise tõenäosus
määratakse sama valemiga. Kui juhuslik suurus X jaotatud tavaline seadus, siis

, (1)

kus
on Laplace'i funktsioon,
.

Ülesandes. Siis

2) Probleemi tingimuse järgi, kus
. Asendades (1) , saame

. (2)

Valemist (2) saame.

Matemaatilise ootuse kontseptsiooni saab käsitleda täringuheite näitel. Iga viskega registreeritakse langenud punktid. Nende väljendamiseks kasutatakse looduslikke väärtusi vahemikus 1–6.

Pärast teatud arvu viskeid saate lihtsate arvutuste abil leida keskmise aritmeetiline väärtus langenud punktid.

Lisaks vahemiku väärtuste tühistamisele on see väärtus juhuslik.

Ja kui tõsta visete arvu mitu korda? Kell suured hulgad viskeid, läheneb punktide aritmeetiline keskmine konkreetne number, mida tõenäosusteoorias nimetatakse matemaatiliseks ootuseks.

Seega mõistetakse matemaatilist ootust juhusliku suuruse keskmise väärtusena. Seda näitajat saab esitada ka tõenäoliste väärtuste kaalutud summana.

Sellel kontseptsioonil on mitu sünonüümi:

• keskmine;
• keskmine väärtus;
• keskne trendinäitaja;
• esimene hetk.

Teisisõnu, see pole midagi muud kui arv, mille ümber juhusliku suuruse väärtused jaotuvad.

AT erinevaid valdkondi inimtegevus matemaatilise ootuse mõistmise lähenemisviisid on mõnevõrra erinevad.

Seda saab vaadata järgmiselt:

• otsuse vastuvõtmisest saadud keskmine kasu juhul, kui sellist otsust vaadeldakse suurte arvude teooria seisukohalt;
• võimalik kasumi või kahjumi suurus (teooria hasartmängud), mis arvutatakse iga kursi puhul keskmiselt. Slängis kõlavad need nagu "mängija eelis" (mängija jaoks positiivne) või "kasiino eelis" (mängija jaoks negatiivne);
• võitudest saadud kasumi protsent.

Matemaatiline ootus ei ole absoluutselt kõigi juhuslike suuruste puhul kohustuslik. See puudub neil, kellel on lahknevus vastavas summas või integraalis.

Ootuste omadused

Nagu igal statistilisel parameetril, on ka matemaatilisel ootusel järgmised omadused:

Matemaatilise ootuse põhivalemid

Matemaatilise ootuse saab arvutada nii juhuslike suuruste puhul, mida iseloomustab nii pidevus (valem A) kui ka diskreetsus (valem B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kus xi on juhusliku suuruse väärtused, pi on tõenäosused:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kus f(x) on etteantud tõenäosustihedus.

Näited matemaatilise ootuse arvutamiseks

Näide A.

Kas Lumivalgekese muinasjutus on võimalik teada saada päkapikkude keskmist kõrgust. Teadaolevalt oli igal 7 päkapikul teatud kõrgus: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ja 0,81 m.

Arvutusalgoritm on üsna lihtne:

• leidke kasvuindikaatori (juhusliku muutuja) kõigi väärtuste summa:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Saadud summa jagatakse päkapikkude arvuga:
  6,31:7=0,90.

Seega on päkapikkude keskmine kõrgus muinasjutus 90 cm. Ehk siis see on päkapikkude kasvu matemaatiline ootus.

Töövalem - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Matemaatilise ootuse praktiline rakendamine

Matemaatilise ootuse statistilise näitaja arvutamist kasutatakse erinevates valdkondades praktiline tegevus. Eelkõige me räägimeäripinna kohta. Lõppude lõpuks on selle näitaja kasutuselevõtt Huygensi poolt seotud võimaluste kindlaksmääramisega, mis võivad mõne sündmuse jaoks olla soodsad või, vastupidi, ebasoodsad.

Seda parameetrit kasutatakse laialdaselt riskide hindamiseks, eriti kui tegemist on finantsinvesteeringutega.
Seega toimib äris matemaatilise ootuse arvutamine hindade arvutamisel riski hindamise meetodina.

Seda indikaatorit saab kasutada ka teatud meetmete, näiteks töökaitse meetmete tõhususe arvutamisel. Tänu sellele saate arvutada sündmuse toimumise tõenäosuse.

Selle parameetri teine ​​rakendusvaldkond on juhtimine. Seda saab arvutada ka toote kvaliteedikontrolli käigus. Näiteks matti kasutades. ootusi saab arvutada võimalik number defektsete osade tootmine.

Ka matemaatiline ootus osutub dirigeerimisel asendamatuks statistiline töötlemine ajal saadud teaduslikud uuringud tulemused. Samuti võimaldab see sõltuvalt eesmärgi saavutamise tasemest arvutada katse või uuringu soovitud või soovimatu tulemuse tõenäosust. Lõppude lõpuks võib selle saavutamist seostada kasumi ja kasumiga ning selle mittesaavutamist - kahju või kahjuna.

Matemaatilise ootuse kasutamine Forexis

Selle statistilise parameetri praktiline rakendamine on võimalik valuutaturul tehingute tegemisel. Seda saab kasutada kaubandustehingute edukuse analüüsimiseks. Veelgi enam, ootuste väärtuse kasv näitab nende edu suurenemist.

Samuti on oluline meeles pidada, et matemaatilist ootust ei tohiks pidada ainsaks statistiliseks parameetriks, mida kasutatakse kaupleja tegevuse analüüsimisel. Mitme statistilise parameetri kasutamine koos keskmise väärtusega suurendab kohati analüüsi täpsust.

See parameeter on end kauplemiskontode vaatluste jälgimisel hästi tõestanud. Tänu temale toimub deposiitkontol tehtud tööde kiire hindamine. Juhtudel, kui kaupleja tegevus on edukas ja ta väldib kahjumit, ei ole soovitatav kasutada ainult matemaatilise ootuse arvutamist. Nendel juhtudel ei võeta riske arvesse, mis vähendab analüüsi efektiivsust.

Kauplejate taktikate läbiviidud uuringud näitavad, et:

• kõige tõhusamad on juhuslikul sisendil põhinevad taktikad;
• kõige vähem tõhusad on struktureeritud sisenditel põhinevad taktikad.

Positiivsete tulemuste saavutamiseks on sama oluline:

• raha haldamise taktika;
• väljumisstrateegiad.

Kasutades sellist näitajat nagu matemaatilist ootust, saame eeldada, milline on kasum või kahjum 1 dollari investeerimisel. Teatavasti on see näitaja, mis on arvutatud kõigi kasiinos harrastatavate mängude kohta, asutuse kasuks. See võimaldab teil raha teenida. Pika mänguseeria puhul suureneb oluliselt tõenäosus, et klient kaotab raha.

Professionaalsete mängijate mängud on piiratud väikeste ajavahemikega, mis suurendab võiduvõimalust ja vähendab kaotuse ohtu. Sama muster on täheldatav ka investeerimistoimingute tegemisel.

Positiivse ootuse ja tegemisega võib investor teenida märkimisväärse summa suur hulk tehinguid lühikese aja jooksul.

Ootust võib pidada kasumi protsendi (PW) ja keskmise kasumi (AW) ja kahju tõenäosuse (PL) ja keskmise kahjumi (AL) vahe.

Näiteks kaaluge järgmist: positsioon - 12,5 tuhat dollarit, portfell - 100 tuhat dollarit, risk hoiuse kohta - 1%. Tehingute tasuvus on 40% juhtudest keskmise kasumiga 20%. Kahju korral on keskmine kahjum 5%. Tehingu matemaatilise ootuse arvutamine annab väärtuseks 625 dollarit.

Lisaks jaotusseadustele saab kirjeldada ka juhuslikke muutujaid numbrilised omadused .

matemaatiline ootus Juhusliku suuruse M (x) nimetatakse selle keskmiseks väärtuseks.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus arvutatakse valemiga

kus – juhusliku suuruse väärtused, lk mina- nende tõenäosused.

Mõelge matemaatilise ootuse omadustele:

1. Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga

2. Kui juhuslik suurus korrutatakse teatud arvuga k, korrutatakse matemaatiline ootus sama arvuga

M (kx) = kM (x)

3. Juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Sõltumatute juhuslike suuruste x 1 , x 2 , … x n korral võrdub korrutise matemaatiline ootus nende matemaatiliste ootuste korrutisega

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Arvutame näite 11 juhusliku suuruse matemaatilise ootuse.

M(x) == .

Näide 12. Olgu juhuslikud suurused x 1 , x 2 antud vastavalt jaotusseadustega:

x 1 Tabel 2

x 2 Tabel 3

Arvutage M (x 1) ja M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on samad – need on võrdsed nulliga. Nende jaotus on aga erinev. Kui x 1 väärtused erinevad nende matemaatilisest ootusest vähe, siis x 2 väärtused erinevad suurel määral nende matemaatilisest ootusest ja selliste kõrvalekallete tõenäosus ei ole väike. Need näited näitavad, et keskmise väärtuse järgi on võimatu kindlaks teha, millised kõrvalekalded sellest toimuvad nii üles kui alla. Nii et samaga keskmine Kahe paikkonna aasta sademete hulk ei saa öelda, et see oleks põllumajandustöödeks võrdselt soodne. Samamoodi keskmise poolest palgad ei ole võimalik hinnata erikaal kõrge ja madalapalgalised töötajad. Seetõttu võetakse see kasutusele numbriline tunnus – dispersioon D(x) , mis iseloomustab juhusliku suuruse kõrvalekalde astet selle keskmisest väärtusest:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersioon on juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiline ootus matemaatilisest ootusest. Diskreetse juhusliku suuruse korral arvutatakse dispersioon järgmise valemiga:

D(x)= = (3)

Dispersiooni definitsioonist järeldub, et D (x) 0.

Dispersiooni omadused:

1. Konstandi dispersioon on null

2. Kui juhuslik suurus on korrutatud mingi arvuga k, siis dispersioon korrutatakse selle arvu ruuduga

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Paaripõhiselt sõltumatute juhuslike suuruste x 1 , x 2 , … x n korral on summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Arvutame näite 11 juhusliku suuruse dispersiooni.

Matemaatiline ootus M (x) = 1. Seega on meil valemi (3) järgi:

D (x) = (0–1) 2 1/4 + (1–1) 2 1/2 + (2–1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2

Pange tähele, et dispersiooni on lihtsam arvutada, kui kasutame omadust 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Arvutame näite 12 juhuslike suuruste x 1 , x 2 dispersioonid selle valemi abil. Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on võrdsed nulliga.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,003d 0,4 0,003

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Mida lähemal on dispersiooni väärtus nullile, seda väiksem on juhusliku suuruse levik keskmise väärtuse suhtes.

Väärtust nimetatakse standardhälve. Juhuslik mood x diskreetne tüüp Md on juhusliku suuruse väärtus, mis vastab suurimale tõenäosusele.

Juhuslik mood x pidev tüüp Md, kutsutakse tegelik arv, defineeritud kui tõenäosusjaotuse tiheduse f(x) maksimaalne punkt.

Juhusliku muutuja mediaan x pidev tüüp Mn on reaalarv, mis rahuldab võrrandit

Tõenäosusteooria - eriosa matemaatika, mida õpivad ainult kõrgkoolide üliõpilased. Kas teile meeldivad arvutused ja valemid? Kas te ei karda normaaljaotuse, ansambli entroopia, matemaatilise ootuse ja diskreetse juhusliku suuruse dispersiooniga tutvumise väljavaateid? Siis pakub see teema teile suurt huvi. Vaatame mõnda kõige olulisemat põhimõisted see teadusharu.

Meenutagem põhitõdesid

Isegi kui mäletate kõige rohkem lihtsad mõisted tõenäosusteooria, ärge jätke tähelepanuta artikli esimesi lõike. Fakt on see, et ilma põhitõdedest selge arusaamiseta ei saa te allpool käsitletud valemitega töötada.

Nii et mõned on juhuslik sündmus, mingi katse. Teostatud toimingute tulemusena võime saada mitu tulemust – ühed neist on levinumad, teised vähem levinud. Sündmuse tõenäosus on ühte tüüpi tegelikult saadud tulemuste arvu suhe koguarv võimalik. Ainult teadmine klassikaline määratlus Selle kontseptsiooni põhjal võite hakata uurima pidevate juhuslike muutujate matemaatilisi ootusi ja dispersiooni.

Keskmine

Kooliajal, matemaatikatundides, hakkasite töötama aritmeetilise keskmisega. Seda mõistet kasutatakse tõenäosusteoorias laialdaselt ja seetõttu ei saa seda ignoreerida. Meie jaoks peamine Sel hetkel on see, et me kohtame seda juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemites.

Meil on arvude jada ja me tahame leida aritmeetilise keskmise. Meilt on vaja vaid kõik saadaolev summeerida ja jagada jada elementide arvuga. Olgu meil arvud 1 kuni 9. Elementide summaks saab 45 ja me jagame selle väärtuse 9-ga. Vastus: - 5.

Dispersioon

räägivad teaduskeel, dispersioon on keskmine ruut saadud iseloomulike väärtuste kõrvalekalded aritmeetilisest keskmisest. Üks on tähistatud suure ladina tähega D. Mida on selle arvutamiseks vaja? Jada iga elemendi jaoks arvutame olemasoleva arvu ja aritmeetilise keskmise erinevuse ning ruudume selle. Väärtusi on täpselt nii palju, kui võib olla selle sündmuse tulemusi, mida kaalume. Järgmisena võtame kokku kõik saadud ja jagame jada elementide arvuga. Kui meil on viis võimalikku tulemust, jagage viiega.

Dispersioonil on ka omadusi, mida peate meeles pidama, et seda probleemide lahendamisel rakendada. Näiteks kui juhuslikku suurust suurendatakse X korda, suureneb dispersioon X korda ruudu võrra (st X*X). See ei ole kunagi väiksem kui null ega sõltu väärtuste nihkest võrdne väärtusüles või alla. Samuti on sõltumatute katsete korral summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.

Nüüd peame kindlasti kaaluma näiteid diskreetse juhusliku suuruse dispersioonist ja matemaatilisest ootusest.

Oletame, et teeme 21 katset ja saame 7 erinevat tulemust. Vaatlesime igaüht neist vastavalt 1,2,2,3,4,4 ja 5 korda. Mis dispersioon saab olema?

Kõigepealt arvutame välja aritmeetilise keskmise: elementide summa on loomulikult 21. Jagame selle 7-ga, saades 3. Nüüd lahutame igast algses järjestuses olevast arvust 3, paneme iga väärtuse ruutu ja liidame tulemused kokku. . Selgub, et 12. Nüüd jääb meil arv jagada elementide arvuga ja tundub, et see on kõik. Aga siin on konks! Arutame seda.

Sõltuvus katsete arvust

Selgub, et dispersiooni arvutamisel võib nimetaja olla üks kahest arvust: kas N või N-1. Siin on N sooritatud katsete arv või jada elementide arv (mis on sisuliselt sama asi). Millest see oleneb?

Kui testide arvu mõõdetakse sadades, siis nimetajasse tuleb panna N. Kui ühikutes, siis N-1. Teadlased otsustasid piiri tõmmata üsna sümboolselt: täna jookseb see mööda numbrit 30. Kui tegime vähem kui 30 katset, siis jagame summa N-1-ga ja kui rohkem, siis N-ga.

Ülesanne

Pöördume tagasi meie dispersiooni- ja ootusprobleemi lahendamise näite juurde. Saime vahearvuks 12, mis tuli jagada N või N-1-ga. Kuna tegime 21 katset, mis on vähem kui 30, siis valime teise variandi. Seega on vastus: dispersioon on 12/2 = 2.

Oodatud väärtus

Liigume edasi teise kontseptsiooni juurde, mida peame selles artiklis käsitlema. Matemaatiline ootus on kõigi võimalike tulemuste liitmise tulemus, mis on korrutatud vastavate tõenäosustega. Oluline on mõista, et saadud väärtus ja ka dispersiooni arvutamise tulemus saadakse ainult üks kord kogu ülesanne, olenemata sellest, kui palju tulemusi see arvesse võtab.

Matemaatilise ootuse valem on üsna lihtne: me võtame tulemuse, korrutame selle tõenäosusega, liidame sama teise, kolmanda tulemuse jne jaoks. Kõike selle mõistega seonduvat on lihtne arvutada. Näiteks matemaatiliste ootuste summa on võrdne summa matemaatilise ootusega. Sama kehtib ka töö kohta. Sellised lihtsad toimingud kaugeltki mitte iga tõenäosusteooria suurus ei võimalda meil sellega täita. Võtame ülesande ja arvutame kahe uuritud mõiste väärtuse korraga. Lisaks segas meid teooria – aeg on harjutada.

Üks näide veel

Tegime 50 katset ja saime 10 erinevat tulemust – numbrid 0-st 9-ni, mis ilmnesid erinevates protsentides. Need on vastavalt: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Tuletage meelde, et tõenäosuste saamiseks peate protsendiväärtused jagama 100-ga. Seega saame 0,02; 0,1 jne. Toome näite juhusliku suuruse dispersiooni ja matemaatilise ootuse ülesande lahendamisest.

Arvutame aritmeetilise keskmise valemi abil, millega me mäletame algkool: 50/10 = 5.

Tõlgime nüüd tõenäosused tulemuste arvuks "tükkidena", et oleks mugavam loendada. Saame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Lahutage igast saadud väärtusest aritmeetiline keskmine, misjärel ruudustame kõik saadud tulemused. Vaadake, kuidas seda teha näitena esimese elemendiga: 1 - 5 = (-4). Edasi: (-4) * (-4) = 16. Muude väärtuste puhul tehke need toimingud ise. Kui tegite kõik õigesti, saate pärast kõike lisamist 90.

Jätkame dispersiooni ja keskmise arvutamist, jagades 90 N-ga. Miks valime N, mitte N-1? See on õige, sest tehtud katsete arv ületab 30. Seega: 90/10 = 9. Saime dispersiooni. Kui saate teistsuguse numbri, ärge heitke meelt. Tõenäoliselt tegite arvutustes banaalse vea. Kontrollige veel kord üle, mida kirjutasite, ja kindlasti läheb kõik oma kohale.

Lõpetuseks tuletame meelde matemaatilise ootuse valemit. Me ei anna kõiki arvutusi, kirjutame ainult vastuse, mida saate kontrollida pärast kõigi vajalike protseduuride sooritamist. Eeldatav väärtus on 5,48. Tuletame meelde ainult, kuidas toiminguid teha, kasutades esimeste elementide näidet: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ja nii edasi. Nagu näete, korrutame tulemuse väärtuse lihtsalt selle tõenäosusega.

Hälve

Teine dispersiooni ja matemaatilise ootusega tihedalt seotud mõiste on standardhälve. See on märgitud kas ladina tähtedega sd ehk kreeka väiketäht "sigma". See kontseptsioon näitab, kuidas väärtused keskmiselt kesksest tunnusest kõrvale kalduvad. Selle väärtuse leidmiseks peate arvutama Ruutjuur dispersioonist.

Kui teete graafiku normaaljaotus ja tahad seda otse näha standardhälve, saab seda teha mitme sammuna. Võtke pool pildist režiimist vasakule või paremale (keskväärtus), tõmmake horisontaalteljega risti nii, et saadud kujundite pindalad oleksid võrdsed. Jaotuse keskkoha ja sellest tuleneva horisontaaltelje projektsiooni vahelise lõigu väärtus on standardhälve.

Tarkvara

Nagu valemite kirjeldustest ja toodud näidetest näha, ei ole dispersiooni ja matemaatilise ootuse arvutamine aritmeetilisest seisukohast kõige lihtsam protseduur. Et mitte aega raisata, on mõttekas kasutada kõrgemates versioonides kasutatavat programmi õppeasutused- seda nimetatakse "R". Sellel on funktsioonid, mis võimaldavad arvutada paljude mõistete väärtusi statistikast ja tõenäosusteooriast.

Näiteks määrate väärtuste vektori. Seda tehakse järgmiselt: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Lõpuks

Dispersioon ja matemaatiline ootus on ilma milleta on raske tulevikus midagi välja arvutada. Ülikoolide loengute põhikursusel arvestatakse nendega juba aine õppimise esimestel kuudel. Just nende lihtsate mõistete mittemõistmise ja arvutamisoskuse tõttu hakkavad paljud tudengid kohe programmis maha jääma ja saavad hiljem sessioonil kehva hinde, mis jätab nad ilma stipendiumidest.

Harjutage vähemalt üks nädal pool tundi päevas, lahendades ülesandeid, mis on sarnased käesolevas artiklis esitatud ülesannetega. Seejärel saate mis tahes tõenäosusteooria testis näidetega hakkama ilma kõrvaliste näpunäidete ja petulehtedeta.

Matemaatiline ootus on definitsioon

Mat ootab matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria üks olulisemaid mõisteid, mis iseloomustavad väärtuste jaotust või tõenäosused juhuslik muutuja. Tavaliselt väljendatakse juhusliku suuruse kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Seda kasutatakse laialdaselt tehnilises analüüsis, numbriridade uurimisel, pidevate ja pikaajaliste protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes ning seda kasutatakse mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel. hasartmängude teooria.

Matt ootab- See juhusliku suuruse keskmine väärtus, jaotus tõenäosused tõenäosusteoorias käsitletakse juhuslikku muutujat.

Mat ootab juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mat ootab

Mat ootab tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik suurus võib võtta.

Mat ootab juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste korrutiste summa nende väärtuste tõenäosuste järgi.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mat ootab keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab käsitleda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.

Mat ootab hasartmängude teoorias võitude summa, mille spekulant võib iga panuse puhul keskmiselt teenida või kaotada. Hasartmängude keeles spekulandid seda nimetatakse mõnikord "eeliseks". spekulant” (kui see on spekulandi jaoks positiivne) või „maja eelis” (kui see on spekulandi jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Veebileht weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Okei