Keskmised väärtused statistikas. Keskmised väärtused

Keskmised väärtused viitavad üldistavatele statistilistele näitajatele, mis annavad kokkuvõtliku (lõpliku) tunnuse massilistele sotsiaalsetele nähtustele, kuna need on üles ehitatud suure hulga erineva atribuudi individuaalsete väärtuste põhjal. Keskmise väärtuse olemuse selgitamiseks on vaja arvestada nende nähtuste märkide väärtuste kujunemise tunnustega, mille järgi keskmine väärtus arvutatakse.

On teada, et iga massinähtuse ühikutel on arvukalt tunnuseid. Ükskõik, millise neist märkidest me võtame, on selle üksikute ühikute väärtused erinevad, need muutuvad või, nagu statistikas öeldakse, erinevad ühikuti. Nii et näiteks töötaja töötasu määrab tema kvalifikatsioon, töö iseloom, tööstaaži ja mitmed muud tegurid ning varieerub seetõttu väga laias vahemikus. Kõigi tegurite kumulatiivne mõju määrab iga töötaja töötasu suuruse, samas võib rääkida erinevate majandusharude töötajate keskmisest kuupalgast. Siin töötame muutuja atribuudi tüüpilise iseloomuliku väärtusega, mis viitab suure populatsiooni ühikule.

Keskmine peegeldab seda üldine, mis on tüüpiline kõikidele uuritava populatsiooni üksustele. Samal ajal tasakaalustab see kõigi populatsiooni üksikute üksuste atribuudi suurusele mõjuvate tegurite mõju, justkui tühistades need vastastikku. Iga sotsiaalse nähtuse taseme (või suuruse) määrab kahe tegurite rühma toime. Mõned neist on üldised ja peamised, pidevalt toimivad, tihedalt seotud uuritava nähtuse või protsessi olemusega ja moodustavad selle tüüpiline kõigi uuritava üldkogumi üksuste kohta, mis kajastub keskmises väärtuses. Teised on individuaalne, nende tegevus on vähem väljendunud ja episoodiline, juhuslik. Need toimivad vastupidises suunas, põhjustavad erinevusi populatsiooni üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste vahel, püüdes muuta uuritavate tunnuste konstantset väärtust. Üksikute märkide tegevus kustub keskmises väärtuses. Tüüpiliste ja individuaalsete tegurite kumulatiivses mõjus, mis on üldistavates omadustes tasakaalustatud ja vastastikku tühistatud, on põhiline suurte arvude seadus.

Kokkuvõttes sulanduvad märkide üksikud väärtused ühiseks massiks ja justkui lahustuvad. Seega ja keskmine väärtus toimib "umbisikulisena", mis võib erineda tunnuste individuaalsetest väärtustest, mitte ühegi neist kvantitatiivselt kokku langeda. Keskmine väärtus peegeldab kogu populatsiooni üldist, iseloomulikku ja tüüpilist, mis on tingitud juhuslike, ebatüüpiliste erinevuste vastastikusest tühistamisest selle üksikute üksuste märkide vahel, kuna selle väärtuse määrab justkui kõigi kõigi ühine resultant. põhjused.

Kuid selleks, et keskmine väärtus kajastaks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust, ei tohiks seda määrata ühegi populatsiooni, vaid ainult kvalitatiivselt homogeensetest üksustest koosnevate populatsioonide jaoks. See nõue on keskmiste teaduslikult põhjendatud rakendamise põhitingimus ning eeldab sotsiaalmajanduslike nähtuste analüüsimisel keskmiste meetodi ja rühmitamise meetodi tihedat seost. Seetõttu on keskmine väärtus üldnäitaja, mis iseloomustab muutuva tunnuse tüüpilist taset homogeense populatsiooni ühiku kohta kindlates koha- ja ajatingimustes.

Seega keskmiste väärtuste olemuse kindlaksmääramisel tuleb rõhutada, et mis tahes keskmise väärtuse õige arvutamine eeldab järgmiste nõuete täitmist:

populatsiooni kvalitatiivne homogeensus, mille alusel keskmine väärtus arvutatakse. See tähendab, et keskmiste väärtuste arvutamine peaks põhinema rühmitusmeetodil, mis tagab homogeensete, sama tüüpi nähtuste valiku;
juhuslike, puhtalt individuaalsete põhjuste ja tegurite keskmise väärtuse arvutamise mõju välistamine. See saavutatakse juhul, kui keskmise arvutamise aluseks on piisavalt massiivne materjal, milles avaldub suurte arvude seaduse toimimine ja kõik õnnetused tühistavad üksteist;
keskmise väärtuse arvutamisel on oluline paika panna selle arvutamise eesmärk ja nn defineeriv näitaja-tel(omand), millele see peaks olema orienteeritud.

Määrav näitaja võib toimida keskmistatud tunnuse väärtuste summana, selle pöördväärtuste summana, väärtuste korrutisena jne. Määrava näitaja ja keskmise väärtuse suhet väljendatakse järgmiselt: kui kõik väärtused on keskmistatud tunnusest asendatakse keskmise väärtusega, siis nende summa või korrutis sel juhul määravat näitajat ei muuda. Selle määrava näitaja seose alusel keskmise väärtusega koostatakse esialgne kvantitatiivne suhe keskmise väärtuse otseseks arvutamiseks. Keskmiste võimet säilitada statistiliste üldkogumite omadusi nimetatakse vara määratlemine.

Rahvastiku kui terviku kohta arvutatud keskmist väärtust nimetatakse üldine keskmine; iga rühma jaoks arvutatud keskmised väärtused - rühma keskmised.Üldkeskmine peegeldab uuritava nähtuse üldisi tunnuseid, grupi keskmine annab kirjelduse nähtusest, mis areneb selle rühma spetsiifilistes tingimustes.

Arvutusmeetodid võivad olla erinevad, seetõttu eristatakse statistikas mitut tüüpi keskmisi, millest peamised on aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine ja geomeetriline keskmine.

Majandusanalüüsis on keskmiste kasutamine peamiseks vahendiks teaduse ja tehnika progressi tulemuste, sotsiaalsete meetmete hindamisel ning majandusarengu reservide otsimisel. Samas tuleb meeles pidada, et liigne keskendumine keskmistele võib viia majandus- ja statistilise analüüsi tegemisel kallutatud järeldusteni. See on tingitud asjaolust, et keskmised väärtused, olles üldistavad näitajad, tühistavad ja ignoreerivad rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete omaduste erinevusi, mis tõesti eksisteerivad ja võivad pakkuda iseseisvat huvi.

Keskmiste tüübid

Statistikas kasutatakse erinevat tüüpi keskmisi, mis jagunevad kahte suurde klassi:

võimsuse keskmised (harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, aritmeetiline keskmine, keskmine ruut, keskmine kuup);
struktuursed keskmised (mood, mediaan).

Arvutada jõud tähendab tuleb kasutada kõiki olemasolevaid iseloomulikke väärtusi. Mood ja mediaan on määratud ainult jaotusstruktuuriga, seetõttu nimetatakse neid struktuurseteks, positsioonilisteks keskmisteks. Mediaani ja moodust kasutatakse sageli keskmise tunnusena nendes populatsioonides, kus keskmise eksponentsiaali arvutamine on võimatu või ebapraktiline.

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine. Under aritmeetiline keskmine Mõiste all mõistetakse sellist tunnuse väärtust, mis oleks igal üldkogumiüksusel, kui tunnuse kõigi väärtuste summa oleks jaotatud ühtlaselt kõigi üldkogumi üksuste vahel. Selle väärtuse arvutamine taandatakse muutuja atribuudi kõigi väärtuste liitmisele ja saadud summa jagamisele populatsiooniühikute koguarvuga. Näiteks viis töötajat täitsid osade valmistamise tellimuse, samas kui esimene tootis 5 osa, teine - 7, kolmas - 4, neljas - 10, viies - 12. Kuna iga variandi väärtus esines ainult üks kord. algandmetes tuleks ühe töötaja keskmise toodangu määramiseks kasutada lihtsat aritmeetilise keskmise valemit:

st meie näites on ühe töötaja keskmine toodang võrdne

Koos lihtsa aritmeetilise keskmisega õpivad nad kaalutud aritmeetiline keskmine. Näiteks arvutame õpilaste keskmise vanuse 20-liikmelises rühmas, mille vanus jääb vahemikku 18–22 aastat, kus xi- keskmistatud tunnuse variandid, fi- sagedus, mis näitab, mitu korda see esineb i-th väärtus kokkuvõttes (tabel 5.1).

Tabel 5.1

Õpilaste keskmine vanus

Kaalutud aritmeetilise keskmise valemi rakendamisel saame:

Kaalutud aritmeetilise keskmise valimiseks kehtib kindel reegel: kui kahe näitaja kohta on andmeseeria, millest ühe jaoks on vaja arvutada

keskmine väärtus ja samal ajal selle loogilise valemi nimetaja arvväärtused on teada ja lugeja väärtused on teadmata, kuid need on leitavad korrutisena. need näitajad, siis tuleks keskmine väärtus arvutada aritmeetilise kaalutud keskmise valemi abil.

Mõnel juhul on esialgsete statistiliste andmete olemus selline, et aritmeetilise keskmise arvutamine kaotab oma mõtte ja ainsaks üldistavaks näitajaks saab olla ainult teist tüüpi keskmine väärtus - keskmine harmooniline. Praeguseks on aritmeetilise keskmise arvutuslikud omadused üldistavate statistiliste näitajate arvutamisel kaotanud oma tähtsuse seoses elektrooniliste arvutite laialdase kasutuselevõtuga. Keskmine harmooniline väärtus, mis on samuti lihtne ja kaalutud, on omandanud suure praktilise tähtsuse. Kui loogilise valemi lugeja arvväärtused on teada ja nimetaja väärtused on teadmata, kuid neid saab leida ühe indikaatori jagatisena teise näitajaga, siis arvutatakse keskmine väärtus kaalutud harmoonilise järgi. keskmine valem.

Näiteks andke teada, et auto läbis esimesed 210 km kiirusega 70 km/h ja ülejäänud 150 km kiirusega 75 km/h. Auto keskmist kiirust kogu 360 km pikkuse teekonna jooksul on aritmeetilise keskmise valemiga võimatu määrata. Kuna valikud on üksikute lõikude kiirused xj= 70 km/h ja X2= 75 km/h ja raskused (fi) on tee vastavad lõigud, siis ei oma kaalude valikute korrutised ei füüsilist ega majanduslikku tähendust. Sel juhul saavad tähenduse raja lõikude vastavateks kiirusteks jagamise murdosad (valikud xi), st üksikute teelõikude läbimiseks kuluv aeg (fi / xi). Kui tee lõigud on tähistatud tähega fi, siis väljendatakse kogu teekonda Σfi ja kogu teele kulunud aega väljendatakse Σ fi / xi , Siis saab keskmise kiiruse leida kogu vahemaa jagatis kogu kulutatud ajaga:

Meie näites saame:

Kui kõigi valikute (f) keskmine harmooniline kaal on võrdsed, võite kaalutud harmoonilise massi asemel kasutada lihtne (kaaluta) harmooniline keskmine:

kus xi - individuaalsed valikud; n- keskmistatud tunnuse variantide arv. Kiiruse näites saab rakendada lihtsat harmoonilist keskmist, kui erinevatel kiirustel läbitud tee lõigud oleksid võrdsed.

Iga keskmine väärtus tuleks arvutada nii, et kui see asendab iga keskmistatud tunnuse varianti, siis mõne lõpliku üldistava näitaja väärtus, mis on seotud keskmistatud näitajaga, ei muutuks. Seega, kui asendada tegelikud kiirused tee üksikutel lõikudel nende keskmise väärtusega (keskmise kiirusega), ei tohiks kogu vahemaa muutuda.

Keskmise väärtuse vormi (valemi) määrab selle lõppnäitaja ja keskmistatud näitaja suhte olemus (mehhanism), seega lõppnäitaja, mille väärtus ei tohiks muutuda, kui valikud asendatakse nende keskmise väärtusega. , kutsutakse määrav näitaja. Keskmise valemi tuletamiseks peate koostama ja lahendama võrrandi, kasutades keskmistatud indikaatori suhet määrava näitajaga. See võrrand konstrueeritakse, asendades keskmistatud tunnuse (indikaatori) variandid nende keskmise väärtusega.

Lisaks aritmeetilisele keskmisele ja harmoonilisele keskmisele kasutatakse statistikas ka muid keskmise liike (vorme). Kõik need on erijuhtumid. kraadi keskmine. Kui arvutame samade andmete jaoks igat tüüpi võimsusseaduse keskmised, siis väärtused

need on samad, kehtib siin reegel majoraans keskmine. Kui keskmise eksponent suureneb, suureneb ka keskmine ise. Erinevat tüüpi võimsuse keskmiste väärtuste arvutamiseks praktilistes uuringutes kõige sagedamini kasutatavad valemid on toodud tabelis. 5.2.

Tabel 5.2

Geomeetrilist keskmist rakendatakse võimaluse korral. n kasvufaktorid, samas kui tunnuse individuaalsed väärtused on reeglina dünaamika suhtelised väärtused, mis on üles ehitatud ahelväärtuste kujul, suhtena dünaamikaseeria iga taseme eelmise tasemega. Keskmine iseloomustab seega keskmist kasvutempot. geomeetriline keskmine lihtne arvutatakse valemiga

Valem geomeetriline keskmine kaalutud sellel on järgmine vorm:

Ülaltoodud valemid on identsed, kuid ühte rakendatakse praeguste koefitsientide või kasvumäärade korral ja teist - seeria tasemete absoluutväärtuste korral.

ruutkeskmine kasutatakse ruutfunktsioonide väärtustega arvutamisel, kasutatakse tunnuse individuaalsete väärtuste kõikumise astme mõõtmiseks jaotusrea aritmeetilise keskmise ümber ja arvutatakse valemiga

Kaalutud keskmine ruut arvutatakse erineva valemi abil:

Keskmine kuup kasutatakse kuupfunktsioonide väärtustega arvutamisel ja arvutatakse valemiga

kaalutud keskmine kuup:

Kõiki ülaltoodud keskmisi väärtusi saab esitada üldvalemina:

kus on keskmine väärtus; - individuaalne väärtus; n- uuritava üldkogumi ühikute arv; k- eksponent, mis määrab keskmise tüübi.

Kui kasutada samu lähteandmeid, seda rohkem küldises võimsuskeskmise valemis, seda suurem on keskmine väärtus. Sellest järeldub, et võimu väärtuste vahel on korrapärane seos:

Ülalkirjeldatud keskmised väärtused annavad üldise ettekujutuse uuritavast populatsioonist ning sellest vaatenurgast on nende teoreetiline, rakenduslik ja kognitiivne tähtsus vaieldamatu. Kuid juhtub, et keskmise väärtus ei kattu ühegi reaalselt eksisteeriva valikuga, seetõttu on statistilises analüüsis soovitatav lisaks vaadeldavatele keskmistele kasutada ka konkreetsete valikute väärtusi, mis hõivavad kaevu. -määratletud positsioon järjestatud (järjestatud) atribuutide väärtuste seerias. Nendest kogustest on kõige sagedamini kasutatavad struktuurne, või kirjeldav, keskmine- režiim (Mo) ja mediaan (Me).

Mood- selles populatsioonis kõige sagedamini esineva tunnuse väärtus. Variatsiooniridade puhul on režiim järjestatud seeria kõige sagedamini esinev väärtus, st kõrgeima sagedusega variant. Moe järgi saab määrata enimkülastatud kauplusi, mis tahes toote kõige levinumat hinda. See näitab olulisele osale elanikkonnast iseloomuliku tunnuse suurust ja määratakse valemiga

kus x0 on intervalli alumine piir; h- intervalli väärtus; fm- intervallide sagedus; fm_ 1 - eelmise intervalli sagedus; fm+ 1 - järgmise intervalli sagedus.

mediaan nimetatakse rea keskel asuvat varianti. Mediaan jagab rea kaheks võrdseks osaks nii, et selle mõlemal küljel on sama arv rahvastikuühikuid. Samas on ühes pooltes populatsiooniüksustes muutuja atribuudi väärtus mediaanist väiksem, teises pooles sellest suurem. Mediaani kasutatakse, kui uuritakse elementi, mille väärtus on suurem või võrdne või samaaegselt väiksem või võrdne poolte jaotusrea elementidega. Mediaan annab üldise ettekujutuse, kuhu on koondunud tunnuse väärtused ehk teisisõnu, kus on nende keskpunkt.

Mediaani kirjeldav iseloom väljendub selles, et see iseloomustab varieeruva atribuudi väärtuste kvantitatiivset piiri, mis on pooltel rahvastikuüksustest. Diskreetse variatsioonirea mediaani leidmise probleem lahendatakse lihtsalt. Kui seeria kõikidele ühikutele omistatakse seerianumbrid, siis on mediaanvariandi seerianumber (n + 1) / 2 paaritu liikmete arvuga n. Kui seeria liikmete arv on paarisarv, siis on mediaan kahe seerianumbriga variandi keskmine n/ 2 ja n / 2 + 1.

Intervalli variatsioonirea mediaani määramisel määratakse kõigepealt kindlaks intervall, milles see asub (mediaanintervall). Seda intervalli iseloomustab asjaolu, et selle sageduste akumuleeritud summa on võrdne või ületab poole seeria kõigi sageduste summast. Intervallide variatsioonirea mediaani arvutamine toimub valemi järgi

kus X0- intervalli alumine piir; h- intervalli väärtus; fm- intervallide sagedus; f- sarja liikmete arv;

∫m-1 – sellele eelnenud jada akumuleeritud liikmete summa.

Koos mediaaniga kasutatakse uuritava populatsiooni struktuuri täielikumaks iseloomustamiseks ka muid valikute väärtusi, mis on järjestatud seerias üsna kindlal kohal. Need sisaldavad kvartiilid ja detsiilid. Kvartiilid jagavad seeria sageduste summaga 4 võrdseks osaks ja detsiilid - 10 võrdseks osaks. Seal on kolm kvartiili ja üheksa detsiili.

Mediaan ja režiim, erinevalt aritmeetilisest keskmisest, ei tühista individuaalseid erinevusi muutuja atribuudi väärtustes ja on seetõttu statistilise üldkogumi täiendavad ja väga olulised omadused. Praktikas kasutatakse neid sageli keskmise asemel või koos sellega. Mediaani ja mooduse arvutamine on eriti otstarbekas neil juhtudel, kui uuritav üldkogum sisaldab teatud arvu ühikuid, mille muutuja atribuudi väärtus on väga suur või väga väike. Need valikuvõimaluste väärtused, mis ei ole üldsusele väga iseloomulikud, mõjutavad küll aritmeetilise keskmise väärtust, kuid ei mõjuta mediaani ja režiimi väärtusi, mistõttu on viimased majandusliku ja statistilise analüüsi jaoks väga väärtuslikud näitajad. .

Variatsiooninäitajad

Statistilise uuringu eesmärk on selgitada välja uuritava statistilise üldkogumi peamised omadused ja mustrid. Statistiliste vaatlusandmete koondtöötluse käigus ehitame jaotusliinid. Jaotusseeriaid on kahte tüüpi – omistatav ja variatsiooniline, olenevalt sellest, kas rühmitamise aluseks võetud atribuut on kvalitatiivne või kvantitatiivne.

variatsiooniline nimetatakse kvantitatiivsel alusel üles ehitatud jaotussarjadeks. Rahvastiku üksikute üksuste kvantitatiivsete näitajate väärtused ei ole püsivad, erinevad üksteisest enam-vähem. Seda tunnuse väärtuse erinevust nimetatakse variatsioonid. Nimetatakse uuritavas populatsioonis esineva tunnuse eraldi arvväärtusi väärtusvalikud. Variatsiooni olemasolu populatsiooni üksikutes üksustes on tingitud paljude tegurite mõjust tunnuse taseme kujunemisele. Märkide olemuse ja varieerumisastme uurimine populatsiooni üksikutes üksustes on iga statistilise uuringu kõige olulisem küsimus. Variatsiooninäitajaid kasutatakse tunnuste varieeruvuse mõõtmise kirjeldamiseks.

Teiseks oluliseks statistilise uurimistöö ülesandeks on välja selgitada üksikute tegurite või nende rühmade roll populatsiooni teatud tunnuste varieerumisel. Sellise probleemi lahendamiseks statistikas kasutatakse variatsiooni uurimiseks spetsiaalseid meetodeid, mis põhinevad variatsiooni mõõtvate näitajate süsteemi kasutamisel. Praktikas seisab teadlane silmitsi piisavalt suure hulga atribuudi väärtuste valikutega, mis ei anna aimu ühikute jaotusest atribuudi väärtuse järgi agregaadis. Selleks on kõik atribuutide väärtuste variandid järjestatud kasvavas või kahanevas järjekorras. Seda protsessi nimetatakse rea paremusjärjestus. Järjestatud seeria annab kohe üldise ettekujutuse väärtustest, mida see funktsioon koondväärtusena võtab.

Keskmise väärtuse ebapiisavus populatsiooni ammendavaks iseloomustamiseks tingib vajaduse täiendada keskmisi väärtusi näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Nende variatsiooninäitajate kasutamine võimaldab muuta statistilise analüüsi terviklikumaks ja sisukamaks ning seeläbi paremini mõista uuritavate sotsiaalsete nähtuste olemust.

Kõige lihtsamad varieerumise märgid on miinimum ja maksimaalne - see on tunnuse väikseim ja suurim väärtus populatsioonis. Nimetatakse tunnusväärtuste üksikute variantide korduste arvu kordussagedus. Tähistagem tunnuse väärtuse kordumise sagedust fi, sageduste summa, mis võrdub uuritava populatsiooni mahuga, on:

kus k- atribuutide väärtuste variantide arv. Sagedusi on mugav asendada sagedustega - w.i. Sagedus- suhtelise sageduse indikaator - saab väljendada ühiku murdosa või protsentides ja võimaldab võrrelda variatsiooniridu erineva arvu vaatlustega. Formaalselt on meil:

Tunnuse varieerumise mõõtmiseks kasutatakse erinevaid absoluutseid ja suhtelisi näitajaid. Variatsiooni absoluutnäitajad hõlmavad keskmist lineaarhälvet, variatsioonivahemikku, dispersiooni, standardhälvet.

Laiuse variatsioon(R) on erinevuse tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritud populatsioonis: R= Xmax – Xmin. See indikaator annab ainult kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse kõikumisest, kuna see näitab erinevust ainult valikute äärmuslike väärtuste vahel. See ei ole täielikult seotud variatsioonirea sagedustega, see tähendab jaotuse olemusega ja selle sõltuvus võib anda sellele ebastabiilse juhusliku iseloomu ainult tunnuse äärmuslikest väärtustest. Variatsioonivahemik ei anna mingit teavet uuritud populatsioonide tunnuste kohta ega võimalda hinnata saadud keskmiste väärtuste tüüpilisuse astet. Selle indikaatori ulatus on piiratud üsna homogeensete populatsioonidega, täpsemalt iseloomustab see tunnuse varieerumist, indikaatorit, mis põhineb tunnuse kõigi väärtuste varieeruvuse arvestamisel.

Tunnuse varieerumise iseloomustamiseks on vaja üldistada kõigi väärtuste kõrvalekalded mis tahes väärtustest, mis on tüüpilised uuritavale populatsioonile. Sellised näitajad

variatsioonid, nagu keskmine lineaarne hälve, dispersioon ja standardhälve, põhinevad populatsiooni üksikute ühikute atribuudi väärtuste kõrvalekallete arvestamisel aritmeetilisest keskmisest.

Keskmine lineaarne hälve on üksikute valikute aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine:

variandi aritmeetilisest keskmisest kõrvalekalde absoluutväärtus (moodul); f- sagedus.

Esimest valemit rakendatakse juhul, kui kõik valikud esinevad kokkuvõttes ainult üks kord ja teist - ebavõrdsete sagedustega järjestikku.

On veel üks võimalus keskmistada valikute kõrvalekaldeid aritmeetilisest keskmisest. See statistikas väga levinud meetod taandub optsioonide keskväärtusest kõrvalekallete ruudu arvutamisele ja nende hilisemale keskmistamisele. Sel juhul saame uue variatsiooninäitaja – dispersiooni.

Dispersioon(σ 2) - tunnuste väärtuste variantide ruutude keskmine nende keskmisest väärtusest:

Teist valemit kasutatakse juhul, kui variantidel on oma kaalud (või variatsioonirea sagedused).

Majanduslikus ja statistilises analüüsis on tavaks hinnata atribuudi varieerumist kõige sagedamini standardhälbe abil. Standardhälve(σ) on dispersiooni ruutjuur:

Keskmine lineaar- ja ruuthälve näitab, kui palju kõigub atribuudi väärtus keskmiselt uuritava üldkogumi ühikute puhul, ja väljendatakse samades ühikutes nagu variandid.

Statistilises praktikas on sageli vaja võrrelda erinevate tunnuste varieerumist. Näiteks pakub suurt huvi võrrelda töötajate vanuse ja kvalifikatsiooni, tööstaaži ja töötasu jm erinevusi. Sellisteks võrdlusteks ei sobi märkide absoluutse varieeruvuse näitajad – keskmine lineaar- ja standardhälve. . Aastates väljendatud töökogemuse kõikumist on tegelikult võimatu võrrelda rublades ja kopikates väljendatud töötasu kõikumisega.

Erinevate tunnuste varieeruvuse võrdlemisel agregaadis on mugav kasutada suhtelisi variatsiooninäitajaid. Need näitajad arvutatakse absoluutnäitajate ja aritmeetilise keskmise (või mediaani) suhtena. Kasutades variatsioonivahemikku, keskmist lineaarhälvet, standardhälvet kui absoluutset variatsiooninäitajat, saadakse kõikumise suhtelised näitajad:

Kõige sagedamini kasutatav suhtelise volatiilsuse näitaja, mis iseloomustab populatsiooni homogeensust. Hulk loetakse homogeenseks, kui variatsioonikoefitsient ei ületa normaallähedaste jaotuste puhul 33%.

Keskmine väärtus on analüütilisest seisukohast kõige väärtuslikum ja statistiliste näitajate universaalne väljendusvorm. Kõige tavalisemal keskmisel – aritmeetilisel keskmisel – on mitmeid matemaatilisi omadusi, mida saab selle arvutamisel kasutada. Samas on konkreetse keskmise arvutamisel soovitatav alati tugineda selle loogilisele valemile, milleks on tunnuse mahu ja üldkogumi mahu suhe. Iga keskmise jaoks on ainult üks tõeline võrdlussuhe, mis võib olenevalt olemasolevatest andmetest vajada erinevaid vahendeid. Kõigil juhtudel, kui keskmise väärtuse olemus eeldab kaalude olemasolu, ei saa kaalutud keskmise valemi asemel kasutada nende kaalumata valemeid.

Keskmine väärtus on üldkogumile tunnuse kõige iseloomulikum väärtus ja üldkogumi tunnuse suurus, mis on jagatud võrdsetes osades üldkogumi üksuste vahel.

Nimetatakse tunnust, mille jaoks keskmine väärtus arvutatakse keskmistatud .

Keskmine väärtus on näitaja, mis arvutatakse absoluutsete või suhteliste väärtuste võrdlemisel. Keskmine väärtus on

Keskmine väärtus peegeldab kõigi uuritavat nähtust mõjutavate tegurite mõju ja on nende jaoks resultant. Teisisõnu, individuaalsete kõrvalekallete hüvitamisel ja juhtumite mõju kõrvaldamisel toimib keskmine väärtus, mis peegeldab selle toimingu tulemuste üldist mõõdet, uuritava nähtuse üldise mustrina.

Keskmiste väärtuste kasutamise tingimused:

Ø uuritava populatsiooni homogeensus. Kui mõnel juhusliku teguri mõju all oleva populatsiooni elemendil on uuritava tunnuse väärtused teistest oluliselt erinevad, mõjutavad need elemendid selle populatsiooni keskmise suurust. Sel juhul ei väljenda keskmine üldkogumi jaoks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust. Kui uuritav nähtus on heterogeenne, tuleb see jagada homogeenseid elemente sisaldavateks rühmadeks. Sel juhul arvutatakse rühmade keskmised - rühmade keskmised, mis väljendavad nähtuse kõige iseloomulikumat väärtust igas rühmas ja seejärel arvutatakse kõigi elementide üldine keskmine väärtus, mis iseloomustab nähtust tervikuna. See arvutatakse rühma keskmiste keskmisena, mis on kaalutud igasse rühma kuuluvate populatsioonielementide arvuga;

Ø piisav arv ühikuid agregaadis;

Ø tunnuse maksimaalne ja minimaalne väärtus uuritavas populatsioonis.

Keskmine väärtus (näitaja)- see on tunnuse üldine kvantitatiivne tunnus süstemaatilises populatsioonis konkreetsetes kohas ja ajal.

Statistikas kasutatakse järgmisi keskmiste vorme (tüüpe), mida nimetatakse võimsuseks ja struktuuriks:

Ø aritmeetiline keskmine(lihtne ja kaalutud);

lihtne

Statistiliste näitajate levinuim vorm on keskmine väärtus, mis on statistilises üldkogumis oleva tunnuse üldistatud kvantitatiivne tunnus konkreetsetel koha- ja ajatingimustel. Keskmise väärtuse kujul olev indikaator väljendab tüüpilisi tunnuseid ja annab sama tüüpi nähtuste üldistatud kirjelduse vastavalt ühele muutuvatest tunnustest. Keskmiste laialdast kasutamist seletatakse sellega, et neil on mitmeid positiivseid omadusi, mis muudavad need asendamatuks vahendiks majanduses toimuvate nähtuste ja protsesside analüüsimisel.

Keskmise väärtuse kõige olulisem omadus on see, et see peegeldab ühist, mis on omane kõigile uuritava populatsiooni üksustele. Rahvastiku üksikute üksuste atribuudi väärtused kõiguvad ühes või teises suunas paljude tegurite mõjul, mille hulgas võib olla nii põhilisi kui ka juhuslikke. Näiteks ettevõtte aktsiahinna määravad peamiselt tema tegevuse majandustulemused. Samas võib teatud päevadel ja teatud börsidel, tulenevalt valitsevatest oludest, neid aktsiaid müüa kõrgema või madalama kursiga. Keskmise olemus seisneb selles, et see tühistab populatsiooni üksikute ühikute atribuudi väärtuste kõrvalekalded juhuslike tegurite mõjul ja võtab arvesse muutusi, mis on põhjustatud elanikkonna tegevusest. peamised tegurid. See võimaldab keskmisel kajastada atribuudi tüüpilist taset ja võtta abstraktse üksikute üksuste individuaalsetest omadustest.

Keskmise tüüpilisus on otseselt seotud populatsiooni homogeensusega. Keskmine väärtus peegeldab atribuudi tüüpilist taset ainult siis, kui see arvutatakse kvalitatiivselt homogeense populatsiooni põhjal. Seega, kui arvutada kõigi ettevõtete teatud päeval antud börsil müüdud aktsiate keskmine kurss, saame fiktiivse keskmise. Seda seletatakse asjaoluga, et arvutamisel kasutatud üldkogum on äärmiselt heterogeenne. Sel ja sarnastel juhtudel kasutatakse keskmise meetodit kombineerituna rühmitamismeetodiga: kui üldkogum on heterogeenne, tuleb üldkeskmised asendada või täiendada grupi keskmiste, s.o. kvalitatiivselt homogeensete rühmade jaoks arvutatud keskmised.

Keskmiste teoorias kasutatakse järgmisi kokkuleppeid.

1. Nimetatakse märki, mille järgi keskmine määratakse keskmistatud funktsioon ja on tähistatud.

2. Üldkogumi iga ühiku keskmistatud atribuudi väärtust nimetatakse selle väärtuseks individuaalne väärtus ja on tähistatud.

3. Üksikute väärtuste korratavust nimetatakse sageduseks ja tähistatakse f .

4. Märgitakse tunnuse koguväärtus W .

Statistilise üldkogumi mis tahes kvantitatiivsel atribuudil on üks keskmine väärtus. Seda saab arvutada mitmel viisil, olenevalt keskmistatud tunnuse väljendusvormist (absoluutne, suhteline ja keskmine) ja olemasolevast teabest. Olenevalt kraadist k saadakse erinevat tüüpi keskmisi.

1.lihtne aritmeetiline keskmine - levinuim kandja tüüp

k =1

2.Aritmeetiline kaalutud keskmine – kasutatakse juhul, kui tunnuse individuaalsed väärtused ja nende esinemissagedused on teada f . Iga variant on "kaalustatud" selle sagedusega, st. korrutage sellega. Sagedused f nimetatakse statistilisteks kaaludeks või lihtsalt keskmise kaalud .

Näide. Olemasolevate andmete põhjal arvutame välja töötajate keskmise töökogemuse

3.Keskmine harmooniline lihtne kasutatakse juhul, kui on vaja, et atribuudi üksikute väärtuste pöördväärtuste summa jääks keskmistamise ajal muutumatuks.

kus on tunnuse vastastikuste väärtuste summa.

Näide. Auto koos koormaga ettevõttest lattu sõitis kiirusega 40 km/h ja tühjana tagasi kiirusega 60 km/h. Kui suur on auto keskmine kiirus mõlemal sõidul?

Olgu transpordikauguseks S km. S ei mängi keskmise kiiruse arvutamisel mingit rolli. Üksikute kiiruse väärtuste muutmisel keskmise väärtuseni on vajalik, et mõlemale reisile kulutatud aeg jääks muutumatuks, vastasel juhul võib keskmine kiirus olla ükskõik milline - kilpkonna kiirusest valguse kiiruseni. Reisi ajad on samad. Niisiis,

Vähendades kõik võrdsuse liikmed S võrra, saame st. harmoonilise keskmise tingimus on täidetud. Asendades ja, saame

Aritmeetiline keskmine 50 km/h ei ole õige, sest tulemuseks on tegelikust erinev liikumisaeg. Kui vahemaa on 96 km, siis reaalne reisiaeg on

Statistilises praktikas kasutatakse sagedamini harmoonilist kaalutud keskmist.

4.Keskmine harmooniline kaalutud kasutatakse juhul, kui tunnuse üksikväärtused ja tunnuse koguväärtused on teada.

Näide

5.Keskmine agregaat kasutatakse juhul, kui tunnuse koguväärtused ja nende sagedused on teada.

Näide. Määrake keskmine tootmiskulu, kui see on teada

6.ruutkeskmine kasutatakse standardhälbe arvutamiseks, mis on variatsiooninäitaja, samuti inseneritöös

k =2

Kaalutud keskmine ruut

7.Geomeetriline keskmine kasutatakse keskmise kasvukiiruse arvutamiseks vastavalt ahelskeemile k= 0

Kell k= 1 saame aritmeetilise keskmise, k= 2 - ruudukujuline, koos k= 3 - kuupmeetrine, koos k= 0 - geomeetriline, k= -1 on harmooniline keskmine. Mida kõrgem on eksponent k , seda suurem on keskmine väärtus. Kui tunnuse kõik algväärtused on võrdsed, on kõik keskmised võrdsed konst. Seega on meil järgmine seos, mida nimetatakse vahendite ülekaalu reegel :

Seda reeglit kasutades võib statistika olenevalt oma “eksperdi” tujust ja soovist kas “uppuda” või “päästa” õpilase, kes sai sessioonil hinded 2 ja 5. Mis on tema keskmine punktisumma?

Aritmeetilise keskmise järgi otsustades on keskmine punktisumma 3,5. Aga kui dekaan tahab õnnetut “uppuda” ja arvutab harmoonilise keskmise, siis jääb tudeng keskmiseks kaotajaks, kes esikolmikusse ei jõudnud.

Üliõpilasesindus võib aga dekaanile vastuväiteid esitada ja esitada keskmise kuupväärtuse . Üliõpilane näeb juba "hea" välja ja taotleb isegi stipendiumi.

Struktuursed keskmised – mood ja mediaan – erinevalt võimsuse keskmistest, mis on suures osas populatsiooni abstraktsed tunnused, toimivad spetsiifiliste suurustena, mis langevad kokku üldkogumi täpselt määratletud variantidega. See muudab need praktiliste probleemide lahendamisel asendamatuks.

Mood- see on atribuudi kõige levinum väärtus selle üldkogumi ühikutes. Diskreetse jaotusseeria puhul määratakse režiim ilma arvutusteta, vaadates läbi sageduse veeru, ja see vastab kõrgeima sagedusega tunnuse väärtusele. Näitest nr 1, kõrgeim sagedus f = 20, mis vastab 4. tariifikategooriale, seega M o =4.

Intervalljaotuse seeria jaoks määratakse režiim valemiga

kus on modaalintervalli alumine piir;

– modaalintervalli väärtus;

– modaalile eelneva, modaali ja modaalile järgneva intervalli sagedused.

Modal vastab kõrgeima sagedusega intervallile.

Arvutame režiimi näiteks nr 2. Modaal vastab intervallile 130-140. Tema jaoks , = 140-130=10, =20,

Kõige sagedamini on tööliste toodangu määr 134%, kõige sagedamini on plaan üle 34% täidetud.

Mediaan- selle tunnuse väärtus, mis asub järjestatud seeria keskel ja jagab selle pooleks. Järjestatud seeria – objektide kasvavas või kahanevas järjekorras järjestatud seeria. Diskreetsete variatsiooniridade puhul mediaani ei arvutata, vaid see määratakse seeriat vaadates. Näiteks viiele töötajale on osade tootmise päevamäär vastavalt 10, 12, 15, 16 ja 18 tükki. M e on kolmanda töötaja toodang ja võrdub 15 osaga. Paarisarvu atribuudiväärtuste korral võetakse mediaan mediaanväärtust hõivavate atribuutide väärtuste poolsummana. Näiteks 10 väärtuse korral atribuudi 5. ja 6. väärtuse poolsumma.

Intervallseeria korral määratakse mediaan valemiga

kus – mediaanintervalli alumine piir;

– mediaanintervalli väärtus;

– variatsioonirea mahu poolsumma;

– mediaanile eelneva intervalli akumuleeritud sagedus;

– mediaanintervalli sagedus.

Mediaan on intervall, mis vastab poolele seeria mahust. Mediaanintervalli leidmiseks on vaja akumuleerida sagedusi, kuni leitakse intervall, mis sisaldab poolt seeria mahust.

Arvutame mediaani näiteks nr 2. Mediaanintervall on 120-130, sest sellele vastav kumulatiivne sagedus sisaldab poolt seeria mahust. Tema jaoks

– Pooled töötajad vastavad väljundmäärale alla 129% ja teisel poolel töötajatest üle 129%.

Keskmine väärtus peegeldab üldist, mis on iseloomulik kõigile uuritava üldkogumi üksustele. Samal ajal tasakaalustab see kõigi populatsiooni üksikute üksuste atribuudi suurusele mõjuvate tegurite mõju, justkui tühistades need vastastikku.

Kuid selleks, et keskmine väärtus peegeldaks tunnuse kõige tüüpilisemat väärtust, ei tohiks seda määrata ühegi populatsiooni, vaid ainult kvalitatiivselt homogeensetest üksustest koosnevate populatsioonide kohta. See nõue on suuruste keskmiste väärtuste teaduslikult põhjendatud kohaldamise põhitingimus ning eeldab tihedat seost keskmiste meetodi ja rühmitamismeetodi vahel sotsiaal-majanduslike nähtuste analüüsimisel.

Keskmine väärtus on üldnäitaja, mis iseloomustab muutuva tunnuse tüüpilist taset homogeense populatsiooni ühiku kohta kindlates koha- ja ajatingimustes.

Rahvastiku kui terviku kohta arvutatud keskmist nimetatakse üldkeskmiseks, iga rühma kohta arvutatud keskmisi nimetatakse rühma keskmisteks. Üldkeskmine peegeldab uuritava nähtuse üldisi tunnuseid, grupi keskmine annab tunnuse selle rühma spetsiifilistes tingimustes areneva nähtuse suuruse kohta.

Statistikas kasutatakse erinevat tüüpi keskmisi, mis jagunevad kahte suurde klassi:

1) võimsuse keskmised (harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, aritmeetiline keskmine, keskmine ruut, keskmine kuup);

2) struktuursed keskmised (mood, mediaan).

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine. Lihtne aritmeetiline keskmine valem:

Aritmeetiline kaalutud keskmine:

kus x i– keskmistatud tunnuse variandid; f - sagedus, mis näitab, mitu korda esineb populatsioonis i-s väärtus.

Lihtne harmoonilise keskmise valem:

kus x i- eraldi valikud; n on keskmistatud tunnuse variantide arv. Geomeetriline lihtkeskmine arvutatakse järgmise valemiga:

Geomeetrilise kaalutud keskmise valem on järgmine:

Ruutkeskmise valem:

Kaalutud keskmise ruudu valem:

Keskmine kuupmeetri valem:

Keskmine kaalutud kuup:

3. Struktuuri keskmised: mood ja mediaan

Režiim on antud populatsioonis kõige sagedamini esineva tunnuse väärtus. Variatsiooniridade suhtes on režiim järjestatud seeria kõige sagedamini esinev väärtus. See näitab olulisele osale elanikkonnast iseloomuliku tunnuse suurust ja määratakse järgmise valemiga:

h on intervalli väärtus;

f m– intervallide sagedus;

f m-1– eelmise intervalli sagedus;

f m+1– järgmise intervalli sagedus.

Mediaan on reastatud seeria keskel asuv variant. Mediaan jagab rea kaheks võrdseks osaks nii, et selle mõlemal küljel on sama arv rahvastikuühikuid. Samas on ühes pooltes populatsiooniüksustes muutuva tunnuse väärtus mediaanist väiksem, teises pooles aga suurem.

Mediaani kirjeldav iseloom väljendub selles, et see iseloomustab varieeruva atribuudi väärtuste kvantitatiivset piiri, mis on pooltel rahvastikuüksustest.

Intervalli variatsioonirea mediaani määramisel määratakse kõigepealt kindlaks intervall, milles see asub (mediaanintervall). Seda intervalli iseloomustab asjaolu, et selle sageduste akumuleeritud summa on võrdne või ületab poole seeria kõigi sageduste summast. Intervalli variatsioonirea mediaani arvutamine toimub järgmise valemi järgi:

kus x0 on intervalli alumine piir;

h on intervalli väärtus;

f m– intervallide sagedus;

f on seeria liikmete arv;

sm- 1 – sellele eelnenud seeria akumuleeritud liikmete summa.

Koos mediaaniga kasutatakse uuritava populatsiooni struktuuri täielikumaks iseloomustamiseks ka muid valikute väärtusi, mis on järjestatud seerias üsna kindlal kohal. Nende hulka kuuluvad kvartiilid ja detsiilid. Kvartiilid jagavad rea sageduste summaga neljaks võrdseks osaks ja detsiilid kümneks võrdseks osaks. Seal on kolm kvartiili ja üheksa detsiili.

Mediaan ja režiim, erinevalt aritmeetilisest keskmisest, ei kustuta individuaalseid erinevusi muutuja atribuudi väärtustes ja on seetõttu statistilise üldkogumi täiendavad ja väga olulised omadused. Praktikas kasutatakse neid sageli keskmise asemel või koos sellega. Mediaani ja mooduse arvutamine on eriti otstarbekas neil juhtudel, kui uuritav üldkogum sisaldab teatud arvu ühikuid, mille muutuja atribuudi väärtus on väga suur või väga väike.

Konstruktsiooni suhtelised mõõtmed on osa ja terviku mõõtmete suhe. Need iseloomustavad rahvastiku koosseisu, struktuuri. Esitusviis on erikaal või protsent. Struktuuri suhteliste väärtuste summa on 1 või 100%. Kahe üldkogumi vastavate osakaalude erinevust nimetatakse protsendipunktiks.

Statistikas on absoluutväärtused ühikute arv ja summad rühmade ja kogu populatsiooni kohta, mis on andmete summeerimise ja rühmitamise otsene tulemus.

Absoluutväärtusi nimetatakse numbriteks, see tähendab, et neil on oma mõõtühikud (näiteks tükid, tonnid, grivnad). Absoluutnäitajate osana eristatakse rahvaarvu (ettevõtete arv) ja tunnuste mahu (tooted, kasum) näitajaid. Funktsioonimõõtureid on kolm rühma - looduslik, töö ja väärtus.

looduslikud arvestid peegeldavad nähtustele omaseid füüsikalisi omadusi (kaalu, pikkuse, aja mõõtmed). Mõnikord kasutatakse kombineeritud mõõtühikuid, mis on erinevate mõõtmetega väärtuste korrutis (elektritoodang kWh).

Absoluutväärtusi ei ole alati võimalik saada otse üksikute ühikute atribuudi väärtuste summeerimisel. Sel juhul annavad absoluutväärtuses sisalduvad üksikud terminid võrreldava avaldise. Selleks kasutavad nad sageli tinglikult looduslikud arvestid. Nii et näiteks tarbitud kütusekoguse arvutamisel väljendatakse selle eri tüüpe vastavalt nende kütteväärtusele standardkütuse ühikutes, mille kütteväärtus on 7000 cal / kg.

Tööjõumõõtjad (töötund, inimvahetus) kasutatakse tööjõukulude mõõtmisel toodete valmistamiseks või üksikute tööde tegemiseks, tööviljakuse määramiseks ja ka tööjõuressursside mõõtmiseks.

Kulumeetrid võimaldab üldistada ja võrrelda erinevaid nähtusi. Neid kasutatakse selliste oluliste näitajate määramisel nagu käive, kasum, kapitaliinvesteeringud.

Sageli arvutatakse indikaatori absoluutväärtus teatud reegli järgi teiste näitajate põhjal. Näiteks brutokasum arvutatakse brutotulu ja brutokulude vahena.

Paljud absoluutväärtused esitatakse bilansi kujul, mis näeb ette näitaja arvutamise kahes osas: tekkeallikate (bilansi tuluosa) ja kasutussuundade (kuluosa) järgi. Absoluutnäitajaid on võimalik esitada ka dünaamilise tasakaalu kujul. Näiteks võib seadmete arvu kasvu ettevõttes aasta jooksul esitada seadmete arvu erinevusena aasta lõpus ja alguses või erinevusena äsja kasutusele võetud ja kasutuselt kõrvaldatud seadmete ühikute arv.

Peatükk 4.3. Suhtelised väärtused.

Suhtelised väärtused peegeldavad sotsiaal-majanduslike nähtuste kvantitatiivseid seoseid. Nende algebraline vorm on kahe sarnase või erineva suuruse jagamise jagatis. Suhtarvu nimetajat peetakse võrdlusaluseks või suhtelise väärtuse aluseks.

Võrdlusbaas võib olla 100, 1000, 10 000 või 100 000 ühikut. Seejärel väljendatakse suhtelist väärtust vastavalt protsentides (%), ppm-des (% o), prodetsimillites (% oo), prosantimillites (% ooo).

Kasutatakse erineva sisu ja olemusega suhtelisi väärtusi.

Suhe erinevad nimed absoluutväärtused annavad intensiivsuse suhteline suurus . See on nimeline väärtus, mis ühendab lugeja ja nimetaja ühikud. Näiteks toodang elaniku kohta. Suhtelise intensiivsuse väärtused iseloomustavad nähtuse leviku või arengu astet konkreetses keskkonnas. Nende hulka kuuluvad ka demograafilised koefitsiendid (indivus, suremus, rändevoogude intensiivsus), mis arvutatakse teatud perioodi sündmuste (surm, sünd) ja sama perioodi keskmise rahvaarvu suhte järgi.

Võrdlus nimekaim väärtused võimaldavad eristada järgmisi suhteliste väärtuste tüüpe: struktuur, koordineerimine, dünaamika, plaaniülesanne, plaani rakendamine, objekti omaduste võrdlus.

Koordinatsiooni suhtelised väärtused - need on võrdlemise aluseks võetud seosed terviku üksikute osade vahel või rahvastiku üksikute osade suhe ühega neist. Näiteks linnaelanike arv 100 maaelaniku kohta; naiste arv 100 mehe kohta. Need väärtused on väljendatud protsentides, ppm või kordades (näiteks 100 mehe kohta on 114 naist).

Arengu intensiivsuse hindamiseks kasutage dünaamika suhteline suurus, mis arvutatakse uuritava nähtuse kahe perioodi tasemete suhtena.

Suhtelised võrdlusväärtused arvutatakse sarnaste erinevate objekte või territooriume iseloomustavate ja sama ajalise kindlusega näitajate suhtarvudena.

Mõned protsessid on planeeritud ja neid kajastavate näitajate jaoks seatakse plaani eesmärgid. Näitajate kavandatud ja tegelike väärtuste võrdlemisel arvutatakse suhtelised väärtused: plaani eesmärk ja plaani täitmine.

Kui me määrame jooksva perioodi tegeliku taseme y1, alus y0 ja planeeritud tase ypl, siis suhteline väärtus:

Kd = y1 / y0,

2) kavandatav ülesanne

Kpz \u003d ypl / y0,

3) plaani täitmine

Kvp \u003d y1 / ypl .

Peatükk 4.4. Keskmiste väärtuste liigid ja vormid.

Keskmine väärtus nimetatakse statistiliseks näitajaks, mis annab üldistavalt kirjelduse populatsiooni homogeensete üksuste varieeruvuse kohta kindlates kohas ja ajatingimustes. Keskmise väärtus iseloomustab kogu populatsiooni ja iseloomustab seda ühe antud atribuudi suhtes.

keskmine väärtus peegeldab ühist, mis on omane kõikidele uuritava populatsiooni üksustele.

Nii näiteks annab keskmine palk vaadeldava töötajate hulga palgaseisu üldistava kvantitatiivse tunnuse.

Keskmise olemus seisneb selles, et see tühistab iseloomulike väärtuste juhuslikud kõrvalekalded ja võtab arvesse põhiteguri põhjustatud muutusi.

Statistiline töötlemine keskmiste meetodil seisneb muutuva atribuudi individuaalsete väärtuste asendamises mõne tasakaalustatud keskmise X-ga.

Näiteks kommertspanga 5 operaatori individuaalne väljund päevas oli 136, 140, 154 ja 162 operatsiooni. Ühe telleri poolt päevas tehtud tehingute keskmise arvu saamiseks peate liitma need üksikud näitajad ja jagama saadud summa tellerite arvuga:

Nagu ülaltoodud näitest näha, ei ühti keskmine tehingute arv ühegi üksikuga, kuna ükski operaator pole sooritanud 150 tehingut. Kuid kui kujutame ette, et iga operaator tegi 150 toimingut, siis nende kogusumma ei muutu, vaid võrdub ka 750-ga. Seega oleme jõudnud keskmiste väärtuste peamise omaduseni: operaatori üksikute väärtuste summani. atribuut on võrdne keskmiste väärtuste summaga.

See omadus rõhutab veel kord, et keskmine väärtus on kogu statistilise üldkogumi üldistav tunnus.

Keskmised väärtused jagunevad kahte suurde klassi:

Võimsuse keskmised:

Aritmeetika

harmooniline

Geomeetriline

ruutkeskne

Struktuursed keskmised:

Mood

Mediaan

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine:

lihtne aritmeetiline keskmine

Aritmeetiline kaalutud keskmine

Intervallide jada aritmeetiline keskmine.

Lihtne aritmeetiline keskmine tähistab keskmist terminit, mille määramisel on antud atribuudi kogumaht andmekogumis võrdselt jaotatud kõigi selles sisalduvate üksuste vahel.

Seega on keskmine aastane toodang töötaja kohta selline toodangumahu väärtus, mis langeks igale töötajale, kui kogu toodangumaht jaguneks võrdselt kõigi organisatsiooni töötajate vahel. Aritmeetiline keskmine lihtväärtus arvutatakse valemiga.