Paljude praktiliste probleemide lahendamiseks on vaja teada tingimuste kogumit, mille tõttu suure hulga juhuslike tegurite koosmõju tulemus on juhtumist peaaegu sõltumatu. Neid tingimusi kirjeldatakse mitmes teoreemis, mida ühiselt nimetatakse suurte arvude seaduseks, kus juhuslik suurus k on võrdne 1 või 0-ga, olenevalt sellest, kas k-nda katse tulemuseks on edu või ebaõnnestumine. Seega on Sn n üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja summa, millest igaüks saab väärtused 1 ja 0 tõenäosustega p ja q.

Suurte arvude seaduse lihtsaim vorm on Bernoulli teoreem, mis ütleb, et kui sündmuse toimumise tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu kasvades kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Poissoni teoreem väidab, et sündmuse sagedus sõltumatute katsete seerias kaldub selle tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria piirteoreemid, Moivre-Laplace'i teoreemid selgitavad sündmuse esinemissageduse stabiilsuse olemust. See olemus seisneb selles, et sündmuse esinemiste arvu piirav jaotus koos katsete arvu piiramatu kasvuga (kui sündmuse tõenäosus kõigis katsetes on sama) on normaaljaotus.

Keskpiiri teoreem selgitab normaaljaotuse laialdast levikut. Teoreem väidab, et alati, kui suure hulga sõltumatute lõplike dispersioonidega juhuslike suuruste liitmise tulemusena moodustub juhuslik suurus, osutub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt normaalseaduseks.

Ljapunovi teoreem selgitab normaaljaotuse seaduse laia levikut ja selgitab selle kujunemise mehhanismi. Teoreem võimaldab väita, et kui suure hulga sõltumatute juhuslike suuruste liitmise tulemusena tekib juhuslik suurus, mille dispersioonid on summa dispersiooniga võrreldes väikesed, selgub selle juhusliku suuruse jaotusseadus. olema praktiliselt tavaline seadus. Ja kuna juhuslikke muutujaid genereerib alati lõpmatu arv põhjuseid ja enamasti pole ühelgi neist dispersioon, mis oleks võrreldav juhusliku suuruse enda dispersiooniga, allub enamik praktikas esinevatest juhuslikest muutujatest normaaljaotuse seadusele.

Suurte arvude seaduse kvalitatiivsed ja kvantitatiivsed väited põhinevad Tšebõševi ebavõrdsus. See määrab ülemise piiri tõenäosusele, et juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest on suurem kui mõni antud arv. Tähelepanuväärne on, et Tšebõševi võrratus annab hinnangu sündmuse tõenäosusele juhusliku muutuja puhul, mille jaotus on teadmata, teada on vaid selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Tšebõševi ebavõrdsus. Kui juhuslikul suurusel x on dispersioon, siis iga x > 0 korral kehtib järgmine võrratus, kus M x ja D x - juhusliku suuruse x matemaatiline ootus ja dispersioon.

Bernoulli teoreem. Olgu x n n Bernoulli katse õnnestumiste arv ja p ühe katse õnnestumise tõenäosus. Siis mis tahes s > 0 korral on see tõsi.

Ljapunovi teoreem. Olgu s 1 , s 2 , …, s n , … sõltumatute juhuslike suuruste piiramatu jada matemaatiliste ootustega m 1 , m 2 , …, m n , … ja dispersioonidega s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Tähistame.

Siis = Ф(b) - Ф(a) mis tahes reaalarvude a ja b korral, kus Ф(x) on normaalseaduse jaotusfunktsioon.

Olgu antud diskreetne juhuslik suurus. Vaatleme õnnestumiste arvu Sn sõltuvust katsete arvust n. Iga katsega suureneb Sn 1 või 0 võrra. Selle väite võib kirjutada järgmiselt:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Suurte arvude seadus. Olgu ( k ) identse jaotusega üksteisest sõltumatute juhuslike muutujate jada. Kui matemaatiline ootus = M(k) on olemas, siis mis tahes > 0 korral n korral

Teisisõnu, tõenäosus, et keskmine S n /n erineb matemaatilisest ootusest vähem kui suvaliselt antud, kaldub ühele.

Keskpiiri teoreem. Olgu ( k ) identse jaotusega üksteisest sõltumatute juhuslike muutujate jada. Oletame, et ja eksisteerime. Olgu Sn = 1 +…+ n , Siis mis tahes fikseeritud jaoks

Ф () - Ф () (1,3)

Siin on Φ(x) normaaljaotuse funktsioon. Selle teoreemi sõnastas ja tõestas Linlberg. Ljapunov ja teised autorid tõestasid seda varem, rangematel tingimustel. Tuleb ette kujutada, et eelpool sõnastatud teoreem on vaid väga erijuhtum palju üldisemast teoreemist, mis omakorda on tihedalt seotud paljude teiste piirteoreemidega. Pange tähele, et (1.3) on palju tugevam kui (1.2), kuna (1.3) annab hinnangu tõenäosusele, et erinevus on suurem kui. Teisalt on suurte arvude seadus (1.2) tõene ka siis, kui juhuslikel suurustel k ei ole lõplikku dispersiooni, seega kehtib see üldisemal juhul kui keskne piirteoreem (1.3). Illustreerime kahte viimast teoreemi näidetega.

Näited. a) Vaatleme sümmeetrilise täringu iseseisvate visete jada. Olgu k k-ndal viskel visatud punktide arv. Siis

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 = 35/12 ja S n /n

on keskmine punktide arv, mis tuleneb n-st viskamisest.

Suurte arvude seadus ütleb, et on usutav, et suurte n-de puhul on see keskmine 3,5 lähedal. Keskpiiri teoreem kehtestab tõenäosuse, et |Sn -- 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Näidis. Oletame, et üldpopulatsioonis

koosnedes N perekonnast, on Nk peredes täpselt k last

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Kui perekond on valitud juhuslikult, siis on laste arv selles juhuslik suurus, mis saab väärtuse tõenäosusega p = N/N. Rekursiivse valiku korral võib n suurust valimit käsitleda n sõltumatu juhusliku muutuja või "vaatluste" 1 , ..., n kogumina, millel kõigil on sama jaotus; S n /n on valimi keskmine. Suurte arvude seadus ütleb, et piisavalt suure juhusliku valimi korral on selle keskmine tõenäoliselt lähedane, st üldkogumi keskmisele. Keskne piirteoreem võimaldab teil hinnata nende keskmiste tõenäolist lahknevust ja määrata usaldusväärseks hinnanguks vajaliku valimi suuruse. Praktikas ja ja on tavaliselt teadmata; enamikul juhtudel on siiski lihtne saada esialgset hinnangut ja seda saab alati usaldusväärsetesse piiridesse asetada. Kui tahame, et valimi keskmine S n /n erineks tundmatu üldkogumi keskmisest vähem kui 1/10 tõenäosusega 0,99 või rohkem, siis tuleks valimi suurus võtta selline, et

Võrrandi Ф(х) - Ф(-- x) = 0,99 juur x võrdub x = 2,57 ... ja seetõttu peab n olema selline, et 2,57 või n > 660. Hoolikas eelhindamine võimaldab leida vajaliku valimi suuruse.

c) Poissoni jaotus.

Oletame, et juhuslikel suurustel k on Poissoni jaotus (p(k;)). Siis on Sn Poissoni jaotus keskmise ja dispersiooniga n.

Kirjutades n asemel, järeldame, et n puhul

Summeerimine tehakse kõigi k-de kohta vahemikus 0 kuni. F-la (1,5) toimub ka siis, kui suvaliselt.

Olgu teada mitmete üksteisest sõltumatute juhuslike suuruste standardhälbed. Kuidas leida nende suuruste summa standardhälve? Sellele küsimusele annab vastuse järgmine teoreem.

Teoreem. Lõpliku arvu vastastikku sõltumatute juhuslike suuruste summa standardhälve on võrdne nende muutujate ruudu standardhälbete summa ruutjuurega.

Tõestus. Tähistage X vaadeldavate üksteisest sõltumatute suuruste summa:

Mitme teineteisest sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne terminite dispersioonide summaga (vt § 5, järeldus 1), seega

või lõpuks

Võrdselt jaotatud üksteisest sõltumatud juhuslikud muutujad

On juba teada, et jaotusseaduse järgi võib leida juhusliku suuruse arvkarakteristikuid. Siit järeldub, et kui mitmel juhuslikul muutujal on sama jaotus, siis on nende arvulised karakteristikud samad.

Kaaluge Püksteisest sõltumatud juhuslikud muutujad X v X v ..., X fi , millel on samad jaotused ja sellest tulenevalt samad omadused (matemaatiline ootus, dispersioon jne). Suurimat huvi pakub nende suuruste aritmeetilise keskmise arvuliste karakteristikute uurimine, mida käsitleme selles osas.

Tähistame vaadeldavate juhuslike suuruste aritmeetilist keskmist kui X:

Järgmised kolm sätet loovad seose aritmeetilise keskmise arvnäitajate vahel X ja iga üksiku suuruse vastavad omadused.

1. Ühesuguse jaotusega üksteisest sõltumatute juhuslike muutujate aritmeetilise keskmise matemaatiline ootus on võrdne iga muutuja matemaatilise ootusega a:

Tõestus. Kasutades matemaatilise ootuse omadusi (konstantse teguri võib matemaatilise ootuse märgist välja võtta; summa matemaatiline ootus võrdub terminite matemaatiliste ootuste summaga), oleme saanud

Võttes arvesse, et iga suuruse matemaatiline ootus tingimuse järgi on võrdne a, saame

2. N identselt jaotatud üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja aritmeetilise keskmise dispersioon on n korda väiksem kui iga muutuja dispersioon D:

Tõestus. Kasutades dispersiooni omadusi (konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel; sõltumatute muutujate summa dispersioon võrdub liikmete dispersioonide summaga), saame

§ 9. Võrdselt jaotatud üksteisest sõltumatud juhuslikud suurused 97

Võttes arvesse, et iga suuruse dispersioon on tinglikult võrdne D-ga, saame

3. n identselt jaotatud üksteisest sõltumatu juhuslikkuse aritmeetilise keskmise standardhälve

väärtused on 4n korda väiksemad kui iga väärtuse standardhälve a:

Tõestus. Sest D(X) = D/n, siis standardhälve X võrdub

Üldine järeldus valemitest (*) ja (**): pidades meeles, et dispersioon ja standardhälve on juhusliku suuruse dispersiooni mõõdikud, järeldame, et piisavalt suure hulga üksteisest sõltumatute juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine on

palju vähem hajumist kui iga üksik väärtus.

Selgitame näite abil selle järelduse tähtsust praktika jaoks.

Näide. Tavaliselt tehakse teatud füüsikalise suuruse mõõtmiseks mitu mõõtmist ning seejärel leitakse saadud arvude aritmeetiline keskmine, mis võetakse mõõdetava suuruse ligikaudseks väärtuseks. Eeldades, et mõõtmised tehakse samadel tingimustel, tõestage:

• a) aritmeetiline keskmine annab usaldusväärsema tulemuse kui üksikmõõtmised;
• b) mõõtmiste arvu suurenemisega suureneb selle tulemuse usaldusväärsus.

Lahendus a) On teada, et üksikud mõõtmised annavad mõõdetud suurusele erinevad väärtused. Iga mõõtmise tulemus sõltub paljudest juhuslikest teguritest (temperatuuri muutused, instrumentide kõikumised jne), mida ei saa eelnevalt täielikult arvesse võtta.

Seetõttu on meil õigus kaaluda võimalikke tulemusi Püksikmõõtmised juhuslike suurustena X v X 2,..., X p(indeks näitab mõõtmisnumbrit). Nendel suurustel on sama tõenäosusjaotus (mõõtmised tehakse sama tehnika ja samade vahenditega) ning sellest tulenevalt samad numbrilised karakteristikud; lisaks on need üksteisest sõltumatud (iga üksiku mõõtmise tulemus ei sõltu teistest mõõtmistest).

Teame juba, et selliste väärtuste aritmeetilisel keskmisel on väiksem dispersioon kui igal üksikul väärtusel. Teisisõnu on aritmeetiline keskmine mõõdetud väärtuse tegelikule väärtusele lähemal kui ühe mõõtmise tulemus. See tähendab, et mitme mõõtmise aritmeetiline keskmine annab rohkem juhtumeid kui üks mõõtmine.

b) Teame juba, et üksikute juhuslike suuruste arvu kasvades aritmeetilise keskmise levik väheneb. See tähendab, et mõõtmiste arvu suurenedes erineb mitme mõõtmise aritmeetiline keskmine mõõdetava suuruse tegelikust väärtusest üha vähem. Seega, suurendades mõõtmiste arvu, saadakse usaldusväärsem tulemus.

Näiteks kui ühe mõõtmise standardhälve on a = 6 m ja summaarne P= 36 mõõtmist, siis on nende mõõtmiste aritmeetilise keskmise standardhälve vaid 1 m. Tõepoolest,

Näeme, et mitme mõõtmise aritmeetiline keskmine osutus ootuspäraselt mõõdetud väärtuse tegelikule väärtusele lähemale kui ühe mõõtmise tulemus.

Kursusetöö

teemal: "Suurte arvude seadused"

Võrdselt jaotatud juhuslikud muutujad

Paljude praktiliste probleemide lahendamiseks on vaja teada tingimuste kogumit, mille tõttu suure hulga juhuslike tegurite koosmõju tulemus on juhtumist peaaegu sõltumatu. Neid tingimusi kirjeldatakse mitmes teoreemis, mida ühiselt nimetatakse suurte arvude seaduseks, kus juhuslik suurus k on võrdne 1 või 0-ga, olenevalt sellest, kas k-nda katse tulemuseks on edu või ebaõnnestumine. Seega on Sn n üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja summa, millest igaüks saab väärtused 1 ja 0 tõenäosustega p ja q.

Suurte arvude seaduse lihtsaim vorm on Bernoulli teoreem, mis ütleb, et kui sündmuse toimumise tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu kasvades kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Poissoni teoreem väidab, et sündmuse sagedus sõltumatute katsete seerias kaldub selle tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria piirteoreemid, Moivre-Laplace'i teoreemid selgitavad sündmuse esinemissageduse stabiilsuse olemust. See olemus seisneb selles, et sündmuse esinemiste arvu piirav jaotus koos katsete arvu piiramatu kasvuga (kui sündmuse tõenäosus kõigis katsetes on sama) on normaaljaotus.

Keskne piirteoreem selgitab normaaljaotuse seaduse laialdast kasutamist. Teoreem väidab, et alati, kui suure hulga sõltumatute lõplike dispersioonidega juhuslike suuruste liitmise tulemusena moodustub juhuslik suurus, osutub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt normaalseaduseks.

Ljapunovi teoreem selgitab normaaljaotuse seaduse laia levikut ja selgitab selle kujunemise mehhanismi. Teoreem võimaldab väita, et kui suure hulga sõltumatute juhuslike suuruste liitmise tulemusena tekib juhuslik suurus, mille dispersioonid on summa dispersiooniga võrreldes väikesed, selgub selle juhusliku suuruse jaotusseadus. olema praktiliselt tavaline seadus. Ja kuna juhuslikke muutujaid genereerib alati lõpmatu arv põhjuseid ja enamasti pole ühelgi neist dispersioon, mis oleks võrreldav juhusliku suuruse enda dispersiooniga, allub enamik praktikas esinevatest juhuslikest muutujatest normaaljaotuse seadusele.

Suurte arvude seaduse kvalitatiivsed ja kvantitatiivsed väited põhinevad Tšebõševi ebavõrdsus. See määrab ülemise piiri tõenäosusele, et juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest on suurem kui mõni antud arv. Tähelepanuväärne on, et Tšebõševi võrratus annab hinnangu sündmuse tõenäosusele juhusliku muutuja puhul, mille jaotus on teadmata, teada on vaid selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Tšebõševi ebavõrdsus. Kui juhuslikul suurusel x on dispersioon, siis iga x > 0 korral on ebavõrdsus tõene, kus M x ja D x - juhusliku suuruse x matemaatiline ootus ja dispersioon.

Bernoulli teoreem. Olgu x n n Bernoulli katse õnnestumiste arv ja p ühe katse õnnestumise tõenäosus. Seejärel iga s > 0 korral .

Ljapunovi teoreem. Olgu s 1 , s 2 , …, s n , … sõltumatute juhuslike suuruste piiramatu jada matemaatiliste ootustega m 1 , m 2 , …, m n , … ja dispersioonidega s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Tähistage , , , .

Siis = Ф(b) - Ф(a) mis tahes reaalarvude a ja b korral, kus Ф(x) on normaalseaduse jaotusfunktsioon.

Olgu antud diskreetne juhuslik suurus. Vaatleme õnnestumiste arvu Sn sõltuvust katsete arvust n. Iga katsega suureneb Sn 1 või 0 võrra. Selle väite võib kirjutada järgmiselt:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Suurte arvude seadus. Olgu ( k ) identse jaotusega üksteisest sõltumatute juhuslike muutujate jada. Kui matemaatiline ootus = M(k) on olemas, siis mis tahes > 0 korral n korral

Teisisõnu, tõenäosus, et keskmine S n /n erineb matemaatilisest ootusest vähem kui suvaliselt antud, kaldub ühele.

Keskpiiri teoreem. Olgu ( k ) identse jaotusega üksteisest sõltumatute juhuslike muutujate jada. Oletame, et ja eksisteerime. Olgu Sn = 1 +…+ n , Siis mis tahes fikseeritud jaoks

F () - F () (1,3)

Siin on Φ(x) normaaljaotuse funktsioon. Selle teoreemi sõnastas ja tõestas Linlberg. Ljapunov ja teised autorid tõestasid seda varem, rangematel tingimustel. Tuleb ette kujutada, et ülaltoodud teoreem on vaid väga erijuhtum palju üldisemast teoreemist, mis omakorda on tihedalt seotud paljude teiste piirteoreemidega. Pange tähele, et (1.3) on palju tugevam kui (1.2), kuna (1.3) annab hinnangu tõenäosusele, et erinevus on suurem kui . Teisalt on suurte arvude seadus (1.2) tõene ka siis, kui juhuslikel suurustel k ei ole lõplikku dispersiooni, seega kehtib see üldisemal juhul kui keskne piirteoreem (1.3). Illustreerime kahte viimast teoreemi näidetega.

Näited. a) Vaatleme sümmeetrilise täringu iseseisvate visete jada. Olgu k k-ndal viskel saadud punktide arv. Siis

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 ja S n /n

on keskmine punktide arv, mis tuleneb n-st viskamisest.

Suurte arvude seadus ütleb, et on usutav, et suurte n-de puhul on see keskmine 3,5 lähedal. Keskpiiri teoreem kehtestab tõenäosuse, et |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Näidis. Oletame, et üldpopulatsioonis

koosnedes N perekonnast, on Nk peredes täpselt k last

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Kui perekond on valitud juhuslikult, siis on laste arv selles juhuslik suurus, mis saab väärtuse tõenäosusega p = N /N. Rekursiivse valiku korral võib n suurust valimit käsitleda n sõltumatu juhusliku muutuja või "vaatluste" 1 , ..., n kogumina, millel kõigil on sama jaotus; S n /n on valimi keskmine. Suurte arvude seadus ütleb, et piisavalt suure juhusliku valimi korral on selle keskmine tõenäoliselt lähedane , st üldkogumi keskmisele. Keskne piirteoreem võimaldab teil hinnata nende keskmiste tõenäolist lahknevust ja määrata usaldusväärseks hinnanguks vajaliku valimi suuruse. Praktikas ja ja on tavaliselt teadmata; enamikul juhtudel on siiski lihtne saada esialgset hinnangut ja seda saab alati usaldusväärsetes piirides asetada. Kui tahame, et valimi keskmine S n /n erineks tundmatu üldkogumi keskmisest vähem kui 1/10 tõenäosusega 0,99 või rohkem, siis tuleks valimi suurus võtta selline, et

Võrrandi Ф(х) - Ф(- x) = 0,99 juur x võrdub x = 2,57 ... ja seetõttu peab n olema selline, et 2,57 või n > 660. Hoolikas eelhindamine võimaldab leida vajaliku valimi suuruse.

c) Poissoni jaotus.

Oletame, et juhuslikel suurustel k on Poissoni jaotus (p(k; )). Siis on Sn Poissoni jaotus keskmise ja dispersiooniga n.

Kirjutades n asemel, järeldame, et n puhul

Summeerimine tehakse kõigi k-de kohta vahemikus 0 kuni . F-la (1,5) toimub ka siis, kui suvaliselt.

Eespool käsitlesime statistiliselt sõltumatute juhuslike muutujate summa PDF-i leidmise küsimust. Selles osas käsitleme taas statistiliselt sõltumatute muutujate summat, kuid meie lähenemine on erinev ega sõltu summas olevate juhuslike muutujate osalistest PDF-idest. Eelkõige oletame, et summa liikmed on statistiliselt sõltumatud ja identselt jaotatud juhuslikud muutujad, millest igaühel on piiratud keskmine ja piiratud dispersioon.

Olgu määratletud kui normaliseeritud summa, mida nimetatakse valimi keskmiseks

Esiteks määrame sabade tõenäosuse ülemised piirid ja seejärel tõestame väga olulise teoreemi, mis määrab PDF-i piiris, kui see kipub lõpmatuseni.

Juhuslik suurus , defineeritud (2.1.187), esineb sageli juhusliku suuruse keskmise hindamisel vaatluste jada , . Teisisõnu võib seda pidada jaotusest sõltumatuks valimi realiseerimiseks ja see on keskmise hinnang.

Matemaatiline ootus on

.

Dispersioon on

Kui seda vaadelda kui keskmise hinnangut, siis näeme, et selle matemaatiline ootus on võrdne ja selle dispersioon väheneb valimi suuruse suurenedes. Kui see suureneb lõputult, kaldub dispersioon nullini. Konsistentseks hinnanguks nimetatakse parameetri hinnangut (antud juhul ), mis vastab tingimustele, et selle matemaatiline ootus kaldub parameetri tegelikule väärtusele ja dispersioon on rangelt null.

Juhusliku suuruse sabatõenäosust saab ülalt hinnata, kasutades Sec toodud piire. 2.1.5. Tšebõševi ebavõrdsusel on vorm

,

. (2.1.188)

Piirväärtuses mil , alates (2.1.188) järgneb

. (2.1.189)

Seetõttu kipub tõenäosus, et keskmine hinnang erineb tõelisest väärtusest rohkem kui , nulli, kui see kasvab lõputult. See säte on suurte arvude seaduse vorm. Kuna ülemine piir koondub nullile suhteliselt aeglaselt, s.o. pöördvõrdeliselt. avaldis (2.1.188) kutsutakse suurte arvude nõrk seadus.

Kui rakendame juhuslikule suurusele eksponentsiaalset sõltuvust sisaldavat Chernoffi piiri, saame ühe saba tõenäosusele tiheda ülemise piiri. Järgides punktis. 2.1.5, leiame, et saba tõenäosus on antud

kus ja. Kuid , on statistiliselt sõltumatud ja jaotunud võrdselt. Järelikult

kus on üks kogustest. Parameeter , mis annab kõige täpsema ülemise piiri, saadakse diferentseerimisel (2.1.191) ja tuletise nullimisel. See viib võrrandini

(2.1.192)

Tähistame lahendust (2.1.192) tähega. Siis ülemise saba tõenäosuse piir

, . (2.1.193)

Samamoodi leiame, et madalamal saba tõenäosusel on piir

, . (2.1.194)

Näide 2.1.7. Olgu , statistiliselt sõltumatute juhuslike muutujate jada, mis on määratletud järgmiselt:

Tahame määratleda tiheda ülemise piiri tõenäosusele, et summa on suurem kui null. Kuna , siis on summal negatiivne väärtus matemaatilise ootuse jaoks (keskmine), seetõttu otsime ülemise saba tõenäosust. Sest (2.1.193) meil on

, (2.1.195)

kus on võrrandi lahend

Järelikult

. (2.1.197)

Seetõttu saame (2.1.195) piiri jaoks

Näeme, et ülemine piir väheneb eksponentsiaalselt alates , nagu oodatud. Seevastu Tšebõševi piiri järgi väheneb saba tõenäosus pöördvõrdeliselt .

Keskpiiri teoreem. Selles jaotises käsitleme äärmiselt kasulikku teoreemi, mis käsitleb juhuslike muutujate summa IGF-i piiris, kus summas olevate liikmete arv suureneb piiramatult. Sellel teoreemil on mitu versiooni. Tõestame teoreemi juhuks, kui juhuslikud liidetavad muutujad , , on statistiliselt sõltumatud ja jaotatud identselt, igaühel neist on piiratud keskmine ja piiratud dispersioon .

Mugavuse huvides määratleme normaliseeritud juhusliku muutuja

Seega on sellel null keskmine ja ühikuline dispersioon.

Nüüd las

Kuna summa igal liikmel on null keskmine ja ühikuline dispersioon, on normaliseeritud (teguriga ) väärtusel null keskmine ja ühikuline dispersioon. Soovime määratleda IDF-i limiidis, kui .

Iseloomulik funktsioon on

, (2.1.200).

,

või samaväärselt

. (2.1.206)

Kuid see on lihtsalt nullkeskmise ja ühikulise dispersiooniga Gaussi juhusliku muutuja iseloomulik funktsioon. Seega on meil oluline tulemus; Statistiliselt sõltumatute ja identse jaotusega piiratud keskmise ja dispersiooniga juhuslike muutujate summa PDF läheneb Gaussi väärtusele . See tulemus on tuntud kui keskpiiri teoreem.

Kuigi eeldasime, et summas olevad juhuslikud suurused on jaotunud võrdselt, saab seda eeldust nõrgendada eeldusel, et juhuslike liidetavate muutujate omadustele on siiski kehtestatud teatud lisapiirangud. Teoreemil on üks versioon, näiteks kui juhuslike suuruste sama jaotuse eeldusest loobutakse summa juhuslike suuruste kolmandale absoluutmomendile seatud tingimuse kasuks. Selle ja teiste keskse piiriteoreemi versioonide arutamiseks viitab lugeja Cramerile (1946).

Keskne piirteoreem on teoreemide rühm, mis on pühendatud normaaljaotuse seaduse tekkimise tingimuste kindlaksmääramisele, mille rikkumine toob kaasa normaalsest erineva jaotuse. Keskse piiriteoreemi erinevad vormid erinevad üksteisest summa moodustavate juhuslike liikmete jaotustele seatud tingimuste poolest. Tõestame selle teoreemi üht lihtsaimat vormi, nimelt sõltumatute identselt jaotatud terminite keskset piirteoreemi.

Vaatleme sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate jada matemaatilise ootusega. Oletame ka, et esineb dispersioon. Tutvustame tähistust. Selle jada suurte arvude seadust saab esitada järgmisel kujul:

kus konvergentsi saab mõista nii tõenäosuse lähenemise (suurte arvude nõrk seadus) kui ka ühega võrdse tõenäosusega lähenemise (suurte arvude tugev seadus) tähenduses.

Teoreem (keskpiiri teoreem sõltumatute identselt jaotatud juhuslike suuruste jaoks). Laskma olema sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate jada, . Siis on ühtlane () konvergentsi suhtes

kus on standardne normaaljaotuse funktsioon (koos parameetritega):

Kui sellise konvergentsi tingimus on täidetud, nimetatakse jada asümptootiliselt normaalseks.

Ljapunovi ja Lindebergi teoreemid

Vaatleme juhust, kui juhuslikud muutujad on erineva jaotusega – erinevate jaotustega sõltumatud.

Teoreem (Lindeberg). Olgu sõltumatute juhuslike muutujate jada lõplike dispersioonidega. Kui see jada vastab Lindebergi tingimusele:

kus, siis selle kohta kehtib keskpiirteoreem.

Kuna Lindebergi tingimust on raske otseselt kontrollida, vaatleme mõnda muud tingimust, mille korral keskne piirteoreem kehtib, nimelt Ljapunovi teoreemi tingimust.

Teoreem (Ljapunov). Kui Ljapunovi tingimus on juhuslike muutujate jada puhul täidetud:

siis on järjestus asümptootiliselt normaalne, st. kehtib keskpiiri teoreem.

Ljapunovi tingimuse täitumine eeldab Lindebergi tingimuse täitumist ja sellest tuleneb keskne piirteoreem.