Tõenäosuse jaotuse normaalseadus

Liialdamata võib seda nimetada filosoofiliseks seaduseks. Vaadeldes meid ümbritseva maailma erinevaid objekte ja protsesse, puutume sageli kokku tõsiasjaga, et millestki ei piisa ja on norm:


Siin on põhivaade tihedusfunktsioonid normaalne tõenäosusjaotus ja ma tervitan teid selle kõige huvitavama õppetüki juures.

Milliseid näiteid saab tuua? Nad on lihtsalt pimedus. See on näiteks inimeste (ja mitte ainult) pikkus, kaal, füüsiline tugevus, vaimsed võimed jne. Seal on "mass" (ühel või teisel viisil) ja kõrvalekaldeid on mõlemas suunas.

Need on elutute objektide erinevad omadused (samad mõõtmed, kaal). See on protsesside juhuslik kestus, näiteks sajameetrise võistluse aeg või vaigu muutumine merevaiguks. Füüsikast tulid meelde õhumolekulid: nende hulgas on aeglasi, on kiireid, kuid enamik neist liigub “standardkiirusel”.

Järgmisena kaldume keskpunktist kõrvale veel ühe standardhälbe võrra ja arvutame kõrguse:

Punktide märkimine joonisel (roheline värv) ja me näeme, et sellest piisab.

Viimases etapis joonistame hoolikalt graafiku ja eriti hoolikalt seda peegeldama kumerus / nõgusus! Tõenäoliselt saite juba ammu aru, et abstsisstelg on horisontaalne asümptoot, ja selle nimel on täiesti võimatu “ronida”!

Lahenduse elektroonilise disainiga on graafik lihtne Excelis üles ehitada ja endalegi ootamatult salvestasin sel teemal isegi lühikese video. Kuid kõigepealt räägime sellest, kuidas normaalkõvera kuju muutub sõltuvalt ja väärtustest.

"a" suurendamisel või vähendamisel (muutmata "sigmaga") graafik säilitab oma kuju ja liigub paremale/vasakule vastavalt. Näiteks kui funktsioon võtab vormi ja meie graafik "liigub" 3 ühikut vasakule - täpselt lähtepunkti:


Normaalselt jaotatud suurus nulli matemaatilise ootusega sai täiesti loomuliku nime - tsentreeritud; selle tihedusfunktsioon – isegi, ja graafik on y-telje suhtes sümmeetriline.

"Sigma" muutumise korral (konstandiga "a"), graafik "jääb paigale", kuid muudab kuju. Suurendades muutub see madalamaks ja piklikuks, nagu kaheksajalg, mis sirutab oma kombitsaid. Ja vastupidi, graafiku vähendamisel muutub kitsamaks ja kõrgemaks- selgub "üllatunud kaheksajalg". Jah, kl vähenema"sigma" kaks korda: eelmine diagramm kitseneb ja venib kaks korda üles:

Kõik on täielikus kooskõlas graafikute geomeetrilised teisendused.

Normaaljaotust ühikuväärtusega "sigma" nimetatakse normaliseeritud ja kui on ka tsentreeritud(meie juhtum), siis sellist jaotust nimetatakse standard. Sellel on veelgi lihtsam tihedusfunktsioon, mida on juba kohatud kohalik Laplace'i teoreem: . Tavaline distributsioon on praktikas leidnud laialdast rakendust ja varsti saame lõpuks aru selle eesmärgist.

Nüüd vaatame filmi:

Jah, täiesti õige - kuidagi teenimatult oleme jäänud varju tõenäosusjaotuse funktsioon. Me mäletame teda määratlus:
- tõenäosus, et juhuslik muutuja võtab väärtuse VÄHEM kui muutuja , mis "käitab" kõik tegelikud väärtused "pluss" lõpmatuseni.

Integraali sees kasutatakse tavaliselt erinevat tähte, et tähistusega ei oleks "ülekatteid", sest siin on iga väärtus määratud vale integraal , mis on võrdne mõnega number intervallist.

Peaaegu kõiki väärtusi ei saa täpselt arvutada, kuid nagu me just nägime, pole see kaasaegse arvutusvõimsuse juures keeruline. Niisiis, funktsiooni jaoks standardjaotusest sisaldab vastav Exceli funktsioon tavaliselt ühte argumenti:

=NORMSDIST(z)

Üks, kaks – ja ongi valmis:

Joonis näitab selgelt kõigi rakendamist jaotusfunktsiooni omadused, ja tehnilistest nüanssidest peaksite siin tähelepanu pöörama horisontaalsed asümptoodid ja käändepunkt.

Tuletame nüüd meelde üht teema võtmeülesannet, nimelt uurime välja, kuidas leida – tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus võtab intervalli väärtuse. Geomeetriliselt on see tõenäosus võrdne ala normaalkõvera ja x-telje vahel vastavas jaotises:

kuid iga kord lihvige välja ligikaudne väärtus on ebamõistlik ja seetõttu on seda ratsionaalsem kasutada "lihtne" valem:
.

! mäletab ka , mida

Siin saate Excelit uuesti kasutada, kuid on paar olulist "aga": esiteks pole see alati käepärast ja teiseks tekitavad "valmis" väärtused tõenäoliselt õpetajal küsimusi. Miks?

Olen sellest varem korduvalt rääkinud: omal ajal (ja mitte väga ammu) oli tavaline kalkulaator luksus ja õppekirjanduses säilib vaadeldava probleemi “käsitsi” lahendamise viis. Selle olemus on standardiseerida väärtused "alfa" ja "beeta", st taandavad lahenduse standardjaotusele:

Märge : funktsiooni on üldjuhtumi põhjal lihtne hankidakasutades lineaarset asendused. Siis ja:

ja alates asendamisest järgib lihtsalt valemit üleminek suvalise jaotuse väärtustelt standardjaotuse vastavatele väärtustele.

Miks seda vaja on? Fakt on see, et meie esivanemad arvutasid väärtused hoolikalt välja ja koondasid need spetsiaalsesse tabelisse, mis on paljudes terveri raamatutes. Kuid veelgi levinum on väärtuste tabel, mida oleme juba käsitlenud Laplace'i integraalteoreem:

Kui meie käsutuses on Laplace'i funktsiooni väärtuste tabel , siis lahendame selle kaudu:

Murdväärtused ümardatakse traditsiooniliselt 4 kümnendkohani, nagu on tehtud standardtabelis. Ja kontrolli jaoks Punkt 5 paigutus.

Tuletan teile seda meelde ja segaduse vältimiseks alati kontrolli all hoida, tabel MIS funktsioonist teie silme ees.

Vastus on vaja esitada protsentides, seega tuleb arvutatud tõenäosus korrutada 100-ga ja lisada tulemus sisulise kommentaariga:

- lennul 5–70 m kukub umbes 15,87% mürskudest

Treenime iseseisvalt:

Näide 3

Tehases toodetud laagrite läbimõõt on normaaljaotusega juhuslik suurus ootusega 1,5 cm ja standardhälbega 0,04 cm Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud laagri suurus jääb vahemikku 1,4-1,6 cm.

Näidislahenduses ja allpool kasutan enamlevinud võimalusena Laplace'i funktsiooni. Muide, pange tähele, et vastavalt sõnastusele saate siin arvestada intervalli lõpud. See pole aga kriitiline.

Ja juba selles näites kohtasime erijuhtumit - kui intervall on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline. Sellises olukorras saab selle kirjutada kujul ja Laplace'i funktsiooni veidrust kasutades töövalemit lihtsustada:

Delta parameetrit nimetatakse hälve matemaatilisest ootusest ja kahekordse ebavõrdsuse saab "pakkida" kasutades moodul:

on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus erineb matemaatilisest ootusest vähem kui .

Noh, lahendus, mis mahub ühte ritta :)
on tõenäosus, et juhuslikult võetud laagri läbimõõt erineb 1,5 cm-st mitte rohkem kui 0,1 cm.

Selle ülesande tulemus osutus ühtsuse lähedaseks, kuid sooviksin veelgi suuremat usaldusväärsust - nimelt saada teada piirid, milles diameeter on peaaegu kõik laagrid. Kas sellel on mingi kriteerium? Olemas! Küsimusele vastab nn

kolme sigma reegel

Selle olemus seisneb selles praktiliselt usaldusväärne on asjaolu, et normaalse jaotusega juhuslik muutuja võtab intervalli väärtuse .

Tõepoolest, ootusest kõrvalekaldumise tõenäosus on väiksem kui:
ehk 99,73%

"Laagrite" osas - need on 9973 tükki läbimõõduga 1,38 kuni 1,62 cm ja ainult 27 "mittestandardset" eksemplari.

Praktilises uurimistöös rakendatakse “kolme sigma” reeglit tavaliselt vastupidises suunas: kui statistiliselt leidis, et peaaegu kõik väärtused uuritav juhuslik suurus mahub 6 standardhälbega intervalli, siis on põhjust arvata, et see väärtus jaotub tavaseaduse järgi. Kontrollimine toimub teooria abil statistilised hüpoteesid.

Jätkame nõukogude karmide ülesannete lahendamist:

Näide 4

Kaaluvea juhuslik väärtus jaotatakse normaalseaduse järgi nulli matemaatilise ootusega ja standardhälbega 3 grammi. Leidke tõenäosus, et järgmine kaalumine viiakse läbi veaga, mis absoluutväärtuses ei ületa 5 grammi.

Otsus väga lihtne. Tingimuse järgi ja märgime selle kohe järgmisel kaalumisel (midagi või keegi) peaaegu 100% saame tulemuse 9 grammi täpsusega. Aga probleemis on kitsam hälve ja valemi järgi :

- tõenäosus, et järgmine kaalumine viiakse läbi veaga, mis ei ületa 5 grammi.

Vastus:

Lahendatud probleem erineb põhimõtteliselt näiliselt sarnasest. Näide 3õppetund umbes ühtlane jaotus. Seal oli viga ümardamine mõõtmistulemustest, siin räägime mõõtmiste endi juhuslikust veast. Sellised vead tulenevad seadme enda tehnilistest omadustest. (lubatud vigade vahemik on reeglina märgitud tema passi), ja ka katsetaja süül - kui näiteks "silma järgi" võtame näidud samade skaalade noolt.

Teiste seas on ka nn süstemaatiline mõõtmisvead. See on juba mittejuhuslik vead, mis tekivad seadme vale seadistamise või kasutamise tõttu. Nii võivad näiteks reguleerimata põrandakaalud järjekindlalt kilogrammi "lisa" ja müüja süstemaatiliselt ostjaid alakaalustada. Või mitte süstemaatiliselt, sest saate lühendada. Kuid igal juhul ei ole selline viga juhuslik ja selle ootus erineb nullist.

...töötan kiiresti müügikoolituse kursust =)

Lahendame probleemi ise:

Näide 5

Rulli läbimõõt on juhuslik normaalselt jaotatud juhuslik suurus, selle standardhälve on mm. Leidke matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline intervalli pikkus, millesse helme läbimõõdu pikkus tõenäosusega langeb.

punkt 5* disaini paigutus aitama. Pange tähele, et matemaatilist ootust siin ei teata, kuid see ei sega ülesande lahendamist vähimalgi määral.

Ja eksamiülesanne, mille materjali kinnistamiseks soovitan soojalt:

Näide 6

Tavalise jaotusega juhuslik suurus määratakse selle parameetrite (matemaatiline ootus) ja (standardhälve) abil. Nõutud:

a) kirjutage üles tõenäosustihedus ja kujutage skemaatiliselt selle graafikut;
b) leidke tõenäosus, et see võtab intervallist väärtuse ;
c) leida tõenäosus, et moodul hälbib mitte rohkem kui ;
d) "kolme sigma" reegli rakendamisel leidke juhusliku suuruse väärtused.

Selliseid probleeme pakutakse igal pool ja aastatepikkuse praktika jooksul olen suutnud neid lahendada sadu ja sadu. Kindlasti harjuta käsitsi joonistamist ja pabertabelite kasutamist ;)

Noh, ma analüüsin näidet suurenenud keerukusest:

Näide 7

Juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tihedusel on vorm . Leia , matemaatiline ootus , dispersioon , jaotusfunktsioon , graafiku tihedus ja jaotusfunktsioonid , leid .

Otsus: esiteks pöörame tähelepanu sellele, et tingimus ei ütle midagi juhusliku suuruse olemuse kohta. Iseenesest ei tähenda eksponendi kohalolek midagi: see võib olla näiteks demonstratiivne või üldiselt meelevaldne pidev levitamine. Ja seetõttu tuleb jaotuse "normaalsust" veel põhjendada:

Alates funktsioonist määratud kl ükskõik milline tegelik väärtus ja seda saab taandada kujule , siis jaotatakse juhuslik suurus normaalseaduse järgi.

Esitleme. Selle jaoks vali täisruut ja korraldada kolmekorruseline murd:


Tehke kindlasti kontroll, tagastades indikaatori algsele kujule:

mida me näha tahtsimegi.

Seega:
- peal võimu reegel"ära näppimine". Ja siin saate kohe kirja panna ilmsed numbrilised omadused:

Nüüd leiame parameetri väärtuse. Kuna normaaljaotuse kordaja on kujul ja , siis:
, millest me väljendame ja asendame oma funktsiooniga:
, misjärel käime plaadi veel kord silmaga üle ja veendume, et tulemuseks oleval funktsioonil on vorm .

Joonistame tiheduse:

ja jaotusfunktsiooni graafik :

Kui Excelit ja isegi tavalist kalkulaatorit käepärast pole, siis on viimane diagramm hõlpsasti käsitsi koostatav! Punktis omandab jaotusfunktsioon väärtuse ja siin on

Definitsioon. normaalne nimetatakse pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotuseks, mida kirjeldab tõenäosustihedus

Normaaljaotust nimetatakse ka Gaussi seadus.

Normaaljaotuse seadus on tõenäosusteoorias kesksel kohal. See on tingitud asjaolust, et see seadus ilmneb kõigil juhtudel, kui juhuslik suurus on suure hulga erinevate tegurite toime tulemus. Kõik muud jaotusseadused lähenevad tavaseadusele.

Seda saab hõlpsasti näidata, et parameetrid ja , mis sisalduvad jaotustiheduses, on vastavalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve X.

Leiame jaotusfunktsiooni F(x) .

Normaaljaotuse tiheduse graafikut nimetatakse normaalne kõver või Gaussi kõver.

Tavalisel kõveral on järgmised omadused:

1) Funktsioon on määratletud kogu arvteljel.

2) Kõigile X jaotusfunktsioon võtab ainult positiivseid väärtusi.

3) OX-telg on tõenäosustiheduse graafiku horisontaalne asümptoot, kuna argumendi absoluutväärtuse piiramatu suurenemisega X, kipub funktsiooni väärtus olema null.

4) Leidke funktsiooni ekstreemum.

Sest juures y’ > 0 juures x < m ja y’ < 0 juures x > m, siis punktis x = t funktsiooni maksimum on võrdne
.

5) Funktsioon on sirgjoone suhtes sümmeetriline x = a, sest erinevus

(x - a) sisestab jaotustiheduse ruudu funktsiooni.

6) Graafi käändepunktide leidmiseks leiame tihedusfunktsiooni teise tuletise.

Kell x = m+  ja x = m-  teine ​​tuletis on võrdne nulliga ja nende punktide läbimisel muudab ta märki, s.t. nendes punktides on funktsioonil kääne.

Nendes punktides on funktsiooni väärtus
.

Koostame jaotustiheduse funktsiooni graafiku (joonis 5).

Graafikud on loodud t=0 ja standardhälbe kolm võimalikku väärtust  = 1,  = 2 ja  = 7. Nagu näete, muutub standardhälbe väärtuse kasvades graafik lamedamaks ja maksimaalne väärtus väheneb.

Kui a a> 0, siis graafik nihkub positiivses suunas, kui a < 0 – в отрицательном.

Kell a= 0 ja  = 1 kutsutakse kõverat normaliseeritud. Normaliseeritud kõvera võrrand:

Laplace'i funktsioon

Leia tõenäosus, et normaalseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus langeb antud intervalli.

Tähistage

Sest lahutamatu
ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, siis funktsioon

,

mida nimetatakse Laplace'i funktsioon või tõenäosusintegraal.

Selle funktsiooni väärtused erinevate väärtuste jaoks X arvutatakse ja esitatakse spetsiaalsetes tabelites.

Joonisel fig. 6 näitab Laplace'i funktsiooni graafikut.

Laplace'i funktsioonil on järgmised omadused:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplace'i funktsiooni nimetatakse ka veafunktsioon ja tähistage erf x.

Endiselt kasutusel normaliseeritud Laplace'i funktsioon, mis on seotud Laplace'i funktsiooniga seosega:

Joonisel fig. 7 on näidatud normaliseeritud Laplace'i funktsiooni graafik.

P kolme sigma reegel

Normaaljaotuse kaalumisel eristatakse olulist erijuhtumit, mida tuntakse nn kolme sigma reegel.

Paneme kirja tõenäosuse, et normaaljaotusega juhusliku suuruse kõrvalekalle matemaatilisest ootusest on väiksem etteantud väärtusest :

Kui aktsepteerime  = 3, saame Laplace'i funktsiooni väärtustabelite abil:

Need. tõenäosus, et juhuslik suurus kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootusest rohkem kui kolm korda standardhälbest, on praktiliselt null.

Seda reeglit nimetatakse kolme sigma reegel.

Praktikas leitakse, et kui suvalise juhusliku suuruse puhul on täidetud kolme sigma reegel, siis sellel juhuslikul suurusel on normaaljaotus.

Loengu kokkuvõte:

Loengus käsitlesime pidevate suuruste jaotuse seaduspärasusi Järgmiseks loenguks ja praktilisteks harjutusteks valmistudes tuleks iseseisvalt täiendada oma loengukonspekte soovitatava kirjanduse põhjaliku uurimise ja pakutud ülesannete lahendamisega.

Lühike teooria

Normaalne on pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotus, mille tihedus on kujul:

kus on matemaatiline ootus, on standardhälve.

Tõenäosus, et see võtab intervallile kuuluva väärtuse:

kus on Laplace'i funktsioon:

Tõenäosus, et hälbe absoluutväärtus on väiksem kui positiivne arv:

Eelkõige puhul kehtib järgmine võrdsus:

Praktika püstitatud ülesannete lahendamisel tuleb tegeleda pidevate juhuslike muutujate erinevate jaotustega.

Lisaks normaaljaotusele on pidevate juhuslike muutujate peamised jaotusseadused järgmised:

Probleemilahenduse näide

Osa on valmistatud masinal. Selle pikkus on normaalseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus parameetritega , . Leia tõenäosus, et detaili pikkus jääb vahemikku 22–24,2 cm Millise detaili pikkuse hälbe saab garanteerida tõenäosusega 0,92; 0,98? Millistes piirides jäävad praktiliselt kõik osade mõõtmed, sümmeetriliselt suhtes?

liitu VK grupiga.

Otsus:

Tõenäosus, et normaalseaduse kohaselt jaotatud juhuslik suurus on vahemikus:

Saame:

Tõenäosus, et tavaseaduse kohaselt jaotatud juhuslik suurus ei erine keskmisest rohkem kui:

Tingimuste järgi

:

Kui te praegu abi ei vaja, kuid võite seda tulevikus vajada, siis selleks, et mitte kaotada kontakti,

Samuti tulevad iseseisva lahenduse ülesanded, mille vastuseid näete.

Normaaljaotus: teoreetilised alused

Tavaseaduse järgi jaotatud juhuslikud suurused on näiteks inimese pikkus, sama liigi püütud kalade mass. Normaaljaotus tähendab järgmist : on olemas inimpikkuse, sama liigi kalade massi väärtused, mida intuitiivselt tajutakse kui "normaalset" (ja tegelikult ka keskmistatuna), ja need on palju tavalisemad piisavalt suures valimis kui need. mis erinevad üles või alla.

Pideva juhusliku suuruse (mõnikord Gaussi jaotuse) normaalset tõenäosusjaotust võib nimetada kellakujuliseks, kuna selle jaotuse tihedusfunktsioon, mis on sümmeetriline keskmise suhtes, on väga sarnane kella lõikega ( punane kõver ülaloleval joonisel).

Valimis teatud väärtuste täitumise tõenäosus on võrdne kõvera all oleva joonise pindalaga ja normaaljaotuse korral näeme, et "kella" ülaosa all. , mis vastab keskmisele kalduvatele väärtustele, pindala ja seega ka tõenäosus on suurem kui servade all. Seega saame sama, mis juba öeldud: "normaalse" pikkusega inimesega kohtumise ja "normaalse" kaaluga kala püüdmise tõenäosus on suurem kui väärtuste puhul, mis erinevad üles või alla. Väga paljudel praktikajuhtudel jaotuvad mõõtmisvead normilähedase seaduse järgi.

Peatume uuesti tunni alguses oleva joonise juures, mis näitab normaaljaotuse tihedusfunktsiooni. Selle funktsiooni graafik saadi mõne andmenäidise arvutamisel tarkvarapaketis STATISTIKA. Sellel kujutavad histogrammi veerud valimi väärtuste intervalle, mille jaotus on lähedane (või, nagu statistikas öeldakse, ei erine oluliselt) normaaljaotuse tiheduse funktsiooni graafikule endale, mis on punane kõver. Graafik näitab, et see kõver on tõepoolest kellukesekujuline.

Normaaljaotus on mitmel viisil väärtuslik, sest teades ainult pideva juhusliku suuruse keskmist ja standardhälvet, saate arvutada selle muutujaga seotud mis tahes tõenäosuse.

Normaaljaotuse lisaeelis on see, et see on üks lihtsamini kasutatavaid statistiliste hüpoteeside kontrollimiseks kasutatavad statistilised kriteeriumid – Studenti t-test- saab kasutada ainult juhul, kui näidisandmed järgivad normaaljaotuse seadust.

Pideva juhusliku suuruse normaaljaotuse tihedusfunktsioon saab leida järgmise valemi abil:

,

kus x- muutuja väärtus, - keskmine väärtus, - standardhälve, e\u003d 2,71828 ... - naturaallogaritmi alus, \u003d 3,1416 ...

Normaaljaotuse tihedusfunktsiooni omadused

Keskmise muutused liigutavad normaaljaotuse tiheduse funktsiooni kõverat telje suunas Ox. Kui see suureneb, liigub kõver paremale, kui väheneb, siis vasakule.

Kui standardhälve muutub, siis muutub ka kõvera tipu kõrgus. Kui standardhälve suureneb, on kõvera tipp kõrgem, kui see väheneb, siis madalam.

Tõenäosus, et normaalse jaotusega juhusliku suuruse väärtus langeb antud intervalli

Juba selles lõigus hakkame lahendama praktilisi probleeme, mille tähendus on märgitud pealkirjas. Analüüsime, milliseid võimalusi pakub teooria probleemide lahendamiseks. Normaaljaotusega juhusliku suuruse teatud intervalli sattumise tõenäosuse arvutamise lähtekontseptsiooniks on normaaljaotuse integraalfunktsioon.

Integraalne normaaljaotuse funktsioon:

.

Siiski on problemaatiline saada tabeleid iga võimaliku keskmise ja standardhälbe kombinatsiooni kohta. Seetõttu on üks lihtsamaid viise normaalse jaotusega juhusliku suuruse teatud intervalli sattumise tõenäosuse arvutamiseks kasutada standardiseeritud normaaljaotuse jaoks tõenäosustabeleid.

Normaaljaotust nimetatakse standardiseeritud või normaliseeritud jaotuseks., mille keskmine väärtus on ja standardhälve on .

Standardiseeritud normaaljaotuse tihedusfunktsioon:

.

Standardiseeritud normaaljaotuse kumulatiivne funktsioon:

.

Alloleval joonisel on kujutatud standardiseeritud normaaljaotuse integraalfunktsioon, mille graafik saadi mõne andmenäidise arvutamisel tarkvarapaketis STATISTIKA. Graafik ise on punane kõver ja näidisväärtused lähenevad sellele.

Pildi suurendamiseks saab seda hiire vasaku nupuga klõpsata.

Juhusliku muutuja standardimine tähendab üleminekut ülesandes kasutatud algühikutelt standardiseeritud ühikutele. Standardimine toimub valemi järgi

Praktikas ei ole juhusliku suuruse kõik võimalikud väärtused sageli teada, mistõttu ei saa keskmist ja standardhälvet täpselt määrata. Need asendatakse vaatluste aritmeetilise keskmise ja standardhälbega s. Väärtus z väljendab standardhälbe mõõtmisel juhusliku suuruse väärtuste kõrvalekaldeid aritmeetilisest keskmisest.

Avatud intervall

Standardiseeritud normaaljaotuse tõenäosustabel, mis on saadaval peaaegu igas statistikaraamatus, sisaldab tõenäosusi, et standardse normaaljaotusega juhuslik muutuja Z võtab teatud arvust väiksema väärtuse z. See tähendab, et see langeb avatud intervalli miinus lõpmatusest kuni z. Näiteks tõenäosus, et väärtus Z vähem kui 1,5 võrdub 0,93319-ga.

Näide 1 Ettevõte toodab osi, mille eluiga on normaalselt jaotatud keskmiselt 1000 ja standardhälbega 200 tundi.

Juhuslikult valitud detaili puhul arvutage välja tõenäosus, et selle kasutusiga on vähemalt 900 tundi.

Otsus. Tutvustame esimest tähistust:

Soovitud tõenäosus.

Juhusliku suuruse väärtused on avatud intervallis. Kuid me saame arvutada tõenäosuse, et juhuslik suurus saab etteantud väärtusest väiksema väärtuse ja vastavalt ülesande tingimusele on vaja leida antud väärtusega võrdne või suurem väärtus. See on teine ​​osa kellakõvera all olevast ruumist. Seetõttu tuleb soovitud tõenäosuse leidmiseks lahutada ühest mainitud tõenäosusest, et juhuslik muutuja saab väärtuse, mis on väiksem kui määratud 900:

Nüüd tuleb juhuslik suurus standardida.

Jätkame märgistuse tutvustamist:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - juhusliku suuruse antud väärtus;

μ = 1000 - keskmine väärtus;

σ = 200 - standardhälve.

Nende andmete põhjal saame probleemi tingimused:

.

Standardiseeritud juhusliku suuruse (intervalli piiri) tabelite järgi z= −0,5 vastab tõenäosusele 0,30854. Lahutage see ühtsusest ja saate probleemi olukorras vajaliku:

Seega on tõenäosus, et osa eluiga on vähemalt 900 tundi, 69%.

Selle tõenäosuse saab saada MS Exceli funktsiooni NORM.DIST abil (integraali väärtuseks on 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

Arvutuste kohta MS Excelis - selle õppetunni ühes järgmistest lõikudest.

Näide 2 Teatud linnas on pere aastane keskmine sissetulek normaalse jaotusega juhuslik suurus, mille keskmine väärtus on 300 000 ja standardhälve 50 000. Teatavasti on 40% perede sissetulek väärtusest väiksem. A. Leia väärtus A.

Otsus. Selles ülesandes pole 40% midagi muud kui tõenäosus, et juhuslik muutuja võtab avatud intervallist väärtuse, mis on väiksem kui teatud väärtus, mida tähistab täht A.

Väärtuse leidmiseks A, koostame esmalt integraalfunktsiooni:

Vastavalt ülesandele

μ = 300000 - keskmine väärtus;

σ = 50000 - standardhälve;

x = A on leitav väärtus.

Võrdsuse loomine

.

Statistiliste tabelite järgi leiame, et tõenäosus 0,40 vastab intervalli piiri väärtusele z = −0,25 .

Seetõttu teeme võrdsuse

ja leidke lahendus:

A = 287300 .

Vastus: 40% perede sissetulek jääb alla 287300.

Suletud intervall

Paljude ülesannete puhul tuleb leida tõenäosus, et normaalse jaotusega juhuslik muutuja saab väärtuse vahemikus alates z 1 kuni z 2. See tähendab, et see langeb suletud intervalli. Selliste ülesannete lahendamiseks on vaja tabelist leida intervalli piiridele vastavad tõenäosused ja seejärel leida nende tõenäosuste erinevus. See nõuab väiksema väärtuse lahutamist suuremast. Nende levinumate probleemide lahendamise näited on järgmised ning need tehakse ettepanek ise lahendada ning siis on näha õiged lahendused ja vastused.

Näide 3 Ettevõtte teatud perioodi kasum on normaaljaotuse seadusele alluv juhuslik suurus, mille keskmine väärtus on 0,5 miljonit c.u. ja standardhälve 0,354. Määrake kahe kümnendkoha täpsusega tõenäosus, et ettevõtte kasum on 0,4–0,6 c.u.

Näide 4 Valmistatava detaili pikkus on tavaseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus koos parameetritega μ =10 ja σ =0,071. Leidke kahe kümnendkoha täpsusega abiellumise tõenäosus, kui detaili lubatud mõõtmed peaksid olema 10 ± 0,05.

Vihje: selle ülesande puhul on lisaks juhusliku suuruse suletud intervalli sattumise tõenäosuse leidmisele (tõenäosus saada mittedefektne osa) veel üks tegevus.

võimaldab teil määrata tõenäosuse, et standardväärtus Z mitte vähem -z ja mitte rohkem +z, kus z- standardiseeritud juhusliku suuruse suvaliselt valitud väärtus.

Ligikaudne meetod jaotuse normaalsuse kontrollimiseks

Ligikaudne meetod prooviväärtuste jaotuse normaalsuse kontrollimiseks põhineb järgmisel normaaljaotuse omadus: viltu β 1 ja kurtoosi koefitsient β 2 null.

Asümmeetria koefitsient β 1 iseloomustab numbriliselt empiirilise jaotuse sümmeetriat keskmise suhtes. Kui kalduvus on võrdne nulliga, on aritmeetriline keskmine, mediaan ja moodus võrdsed: ja jaotustiheduse kõver on sümmeetriline keskmise suhtes. Kui asümmeetriategur on väiksem kui null (β 1 < 0 ), siis on aritmeetiline keskmine mediaanist väiksem ja mediaan omakorda väiksem kui moodus () ja kõver on nihutatud paremale (võrreldes normaaljaotusega). Kui asümmeetriategur on suurem kui null (β 1 > 0 ), siis on aritmeetiline keskmine suurem kui mediaan ja mediaan on omakorda suurem kui mood () ja kõver on nihutatud vasakule (võrreldes normaaljaotusega).

Kurtoosi koefitsient β 2 iseloomustab empiirilise jaotuse kontsentratsiooni aritmeetilise keskmise ümber telje suunas Oy ja jaotustiheduse kõvera haripunkti aste. Kui kurtoosi koefitsient on suurem kui null, siis on kõver piklikum (võrreldes normaaljaotusega) piki telge Oy(graafik on teravam). Kui kurtoosi koefitsient on väiksem kui null, siis on kõver rohkem lame (võrreldes normaaljaotusega) piki telge Oy(graafik on nürim).

Kalduskoefitsienti saab arvutada MS Exceli funktsiooni SKRS abil. Kui kontrollite ühte andmemassiivi, peate sisestama andmevahemiku ühte kasti "Arv".

Kurtoosi koefitsienti saab arvutada MS Exceli funktsiooni kurtosis abil. Ühe andmemassiivi kontrollimisel piisab ka andmevahemiku sisestamisest ühte "Arv" lahtrisse.

Niisiis, nagu me juba teame, on normaaljaotuse korral kaldsuse ja kurtoosi koefitsiendid võrdsed nulliga. Aga mis siis, kui me saaksime kaldsuse koefitsiendid võrdseks -0,14, 0,22, 0,43 ja kurtoosi koefitsiendid 0,17, -0,31, 0,55? Küsimus on üsna õiglane, kuna praktikas on tegemist ainult ligikaudsete, selektiivsete asümmeetria ja kurtoosi väärtustega, mis on allutatud mingile vältimatule, kontrollimatule hajumisele. Seetõttu on võimatu nõuda nende koefitsientide ranget võrdsustamist nulliga, need peaksid olema ainult piisavalt nullilähedased. Aga mida tähendab piisavalt?

Saadud empiirilisi väärtusi tuleb võrrelda lubatavate väärtustega. Selleks peate kontrollima järgmisi ebavõrdsusi (võrrelge koefitsientide mooduli väärtusi kriitiliste väärtustega - hüpoteesi testimise ala piiridega).

Asümmeetriakordaja jaoks β 1 .

Definitsioon. normaalne nimetatakse pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotuseks, mida kirjeldab tõenäosustihedus

Normaaljaotust nimetatakse ka Gaussi seadus.

Normaaljaotuse seadus on tõenäosusteoorias kesksel kohal. See on tingitud asjaolust, et see seadus ilmneb kõigil juhtudel, kui juhuslik suurus on suure hulga erinevate tegurite toime tulemus. Kõik muud jaotusseadused lähenevad tavaseadusele.

Seda saab hõlpsasti näidata, et parameetrid ja , mis sisalduvad jaotustiheduses, on vastavalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve X.

Leiame jaotusfunktsiooni F(x) .

Normaaljaotuse tiheduse graafikut nimetatakse normaalne kõver või Gaussi kõver.

Tavalisel kõveral on järgmised omadused:

1) Funktsioon on määratletud kogu arvteljel.

2) Kõigile X jaotusfunktsioon võtab ainult positiivseid väärtusi.

3) OX-telg on tõenäosustiheduse graafiku horisontaalne asümptoot, kuna argumendi absoluutväärtuse piiramatu suurenemisega X, kipub funktsiooni väärtus olema null.

4) Leidke funktsiooni ekstreemum.

Sest juures y’ > 0 juures x < m ja y’ < 0 juures x > m, siis punktis x = t funktsiooni maksimum on võrdne
.

5) Funktsioon on sirgjoone suhtes sümmeetriline x = a, sest erinevus

(x - a) sisestab jaotustiheduse ruudu funktsiooni.

6) Graafi käändepunktide leidmiseks leiame tihedusfunktsiooni teise tuletise.

Kell x = m+  ja x = m-  teine ​​tuletis on võrdne nulliga ja nende punktide läbimisel muudab ta märki, s.t. nendes punktides on funktsioonil kääne.

Nendes punktides on funktsiooni väärtus
.

Koostame jaotustiheduse funktsiooni graafiku (joonis 5).

Graafikud on loodud t=0 ja standardhälbe kolm võimalikku väärtust  = 1,  = 2 ja  = 7. Nagu näete, muutub standardhälbe väärtuse kasvades graafik lamedamaks ja maksimaalne väärtus väheneb.

Kui a a> 0, siis graafik nihkub positiivses suunas, kui a < 0 – в отрицательном.

Kell a= 0 ja  = 1 kutsutakse kõverat normaliseeritud. Normaliseeritud kõvera võrrand:

Laplace'i funktsioon

Leia tõenäosus, et normaalseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus langeb antud intervalli.

Tähistage

Sest lahutamatu
ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, siis funktsioon

,

mida nimetatakse Laplace'i funktsioon või tõenäosusintegraal.

Selle funktsiooni väärtused erinevate väärtuste jaoks X arvutatakse ja esitatakse spetsiaalsetes tabelites.

Joonisel fig. 6 näitab Laplace'i funktsiooni graafikut.

Laplace'i funktsioonil on järgmised omadused:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplace'i funktsiooni nimetatakse ka veafunktsioon ja tähistage erf x.

Endiselt kasutusel normaliseeritud Laplace'i funktsioon, mis on seotud Laplace'i funktsiooniga seosega:

Joonisel fig. 7 on näidatud normaliseeritud Laplace'i funktsiooni graafik.

P kolme sigma reegel

Normaaljaotuse kaalumisel eristatakse olulist erijuhtumit, mida tuntakse nn kolme sigma reegel.

Paneme kirja tõenäosuse, et normaaljaotusega juhusliku suuruse kõrvalekalle matemaatilisest ootusest on väiksem etteantud väärtusest :

Kui aktsepteerime  = 3, saame Laplace'i funktsiooni väärtustabelite abil:

Need. tõenäosus, et juhuslik suurus kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootusest rohkem kui kolm korda standardhälbest, on praktiliselt null.

Seda reeglit nimetatakse kolme sigma reegel.

Praktikas leitakse, et kui suvalise juhusliku suuruse puhul on täidetud kolme sigma reegel, siis sellel juhuslikul suurusel on normaaljaotus.

Loengu kokkuvõte:

Loengus käsitlesime pidevate suuruste jaotuse seaduspärasusi Järgmiseks loenguks ja praktilisteks harjutusteks valmistudes tuleks iseseisvalt täiendada oma loengukonspekte soovitatava kirjanduse põhjaliku uurimise ja pakutud ülesannete lahendamisega.