Tõenäosuse klassikalised ja statistilised definitsioonid. Klassikaline ja statistiline tõenäosus

Sündmuste toimumise juhuslikkus on seotud konkreetse testi tulemust ette ennustada võimatusega. Kui aga võtta arvesse näiteks testi: mündi mitmekordne viskamine, ω 1 , ω 2 , … , ω n , siis selgub, et ligikaudu pooltel tulemustest ( n / 2) leitakse teatud muster, mis vastab tõenäosuse mõistele.

Under tõenäosus sündmused AGA mõistetakse mingi sündmuse toimumise võimalikkuse numbriline tunnus AGA. Tähistame seda arvulist tunnust R(AGA). Tõenäosuse määramiseks on mitu lähenemisviisi. Peamised on statistiline, klassikaline ja geomeetriline.

Lase toota n testid ja samas mingi sündmus AGA tuli n A korda. Number n A kutsutakse absoluutne sagedus(või lihtsalt sündmuse sagedus). AGA, ja seost nimetatakse sündmuse A esinemise suhteline sagedus. Mis tahes sündmuse suhteline sagedus mida iseloomustavad järgmised omadused:

Tõenäosusteooria meetodite rakendamise aluseks reaalsete protsesside uurimisel on juhuslike sündmuste objektiivne olemasolu, millel on sageduse stabiilsuse omadus. Uuritava sündmuse arvukad katsed AGA näita seda suurelt n suhteline sagedus ( AGA) jääb ligikaudu konstantseks.

Tõenäosuse statistiline määratlus seisneb selles, et sündmuse A tõenäosuseks peetakse konstantset väärtust p(A), mille ümber suhteliste sageduste väärtused kõiguvad. (AGA) katsete arvu piiramatu kasvugan.

Märkus 1. Pange tähele, et juhusliku sündmuse tõenäosuse muutumise piirid nullist üheni valib B. Pascal selle arvutamise ja rakendamise mugavuse huvides. Kirjavahetuses P. Fermat'ga tõi Pascal välja, et näidatud intervalliks võib valida mis tahes intervalli, näiteks nullist sajani ja muud intervallid. Selle õpetuse allolevates ülesannetes on tõenäosused mõnikord toodud protsentides, st. nullist sajani. Sel juhul tuleb ülesannetes antud protsendid ümber arvestada aktsiateks, s.o. jaga 100-ga.

Näide 1 Läbi 10 seeriat mündiviskeid, igas 1000 viset. Väärtus ( AGA) igas reas on 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Need sagedused koonduvad ümber R(AGA) = 0,5.

See näide kinnitab, et suhteline sagedus ( AGA) on ligikaudu võrdne R(AGA), st.

Klassikaline tõenäosuse määratlus eeldab, et kõik elementaarsed tulemused võrdselt võimalik. Katse tulemuste samaväärsus järeldatakse sümmeetria kaalutlustel (nagu mündi või täringu puhul). Probleemid, mille puhul saab kasutada sümmeetria kaalutlusi, on praktikas haruldased. Paljudel juhtudel on raske anda alust arvata, et kõik elementaarsed tulemused on võrdselt tõenäolised. Sellega seoses tekkis vajadus võtta kasutusele teine tõenäosuse definitsioon, nn statistiline. Selle määratluse andmiseks tutvustame esmalt sündmuse suhtelise sageduse mõistet.

Suhteline sündmuste sagedus, või sagedus, on selle sündmuse ilmnemise katsete ja kõigi tehtud katsete arvu suhe. Tähistagem sündmuse sagedust , siis definitsiooni järgi

(1.4.1)
kus on katsete arv, milles sündmus ilmnes, ja kõigi tehtud katsete arv.

Sündmuse sagedusel on järgmised omadused.

Vaatlused võimaldasid kindlaks teha, et suhtelisel sagedusel on statistilise stabiilsuse omadused: erinevates polünoomitestide seeriates (milles igaühes see sündmus võib ilmneda või mitte) võtab see väärtusi, mis on piisavalt lähedased mõnele konstandile. Seda konstanti, mis on nähtuse objektiivne arvuline tunnus, peetakse selle sündmuse tõenäosuseks.

Tõenäosus sündmust nimetatakse numbriks, mille ümber väärtused on rühmitatud, selle sündmuse sageduseks paljudes paljudes testides.

Seda tõenäosuse määratlust nimetatakse statistiline.

Statistilise definitsiooni korral on tõenäosusel järgmised omadused:
1) teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega;
2) võimatu sündmuse tõenäosus on null;
3) juhusliku sündmuse tõenäosus on nulli ja ühe vahel;
4) kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Näide 1 500 juhuslikult võetud osast 8 olid defektsed. Leidke defektsete osade esinemissagedus.

Otsus. Kuna antud juhul = 8, = 500, siis leiame valemi (1.4.1) järgi

Näide 2. Täringut veeretatakse 60 korda kuus ilmunud 10 korda. Mis on esinemissagedus kuued?

Otsus.Ülesande tingimustest järeldub, et = 60, = 10, seega

Näide 3 1000 vastsündinu hulgas oli poisse 515. Milline on poiste sündimuskordaja?
Otsus. Kuna antud juhul , , siis .

Näide 4 20 märki sooritatud lasu tulemusena saadi 15 tabamust. Mis on tabamussagedus?

Otsus. Kuna = 20, = 15, siis

Näide 5 Sihtmärki tulistades tabamuse sagedus = 0,75. Leia tabamuste arv 40 lasuga.

Otsus. Valemist (1.4.1) järeldub, et . Alates \u003d 0,75, \u003d 40, siis . Seega laekus 30 tabamust.

Näide 6 www.. Külvatud seemnetest tärkas 970. Mitu seemet külvati?

Otsus. Valemist (1.4.1) järeldub, et . Sellest ajast . Seega külvati 1000 seemet.

Näide 7 Leidke naturaalrea segmendis 1 kuni 20 algarvude sagedus.

Otsus. Naturaalarvude jada näidatud segmendil on järgmised algarvud: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; kokku on 8. Kuna = 20, = 8, siis soovitud sagedus

Näide 8 Viidi läbi kolm sümmeetrilise mündi korduvat viskamise seeriat, arvutati vapi esinemiste arv: 1) = 4040, =2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Leidke igas katseseerias vapi ilmumise sagedus.

Otsus. Vastavalt valemile (1.4.1) leiame:

kommenteerida. Need näited näitavad, et korduvates katsetes erineb sündmuse sagedus selle tõenäosusest vähe. Mündi viskamisel vapi ilmumise tõenäosus on p \u003d 1/2 \u003d 0,5, kuna antud juhul n \u003d 2, m \u003d 1.

Näide 9 Automaatmasinal valmistatud 300 detaili hulgas oli 15, mis ei vastanud standardile. Leidke mittestandardsete osade esinemissagedus.

Otsus. Sel juhul n = 300, m = 15, seega

Näide 10 Kontroller, kontrollides 400 toote kvaliteeti, leidis, et 20 neist kuuluvad teise klassi ja ülejäänud - esimesse klassi. Leia esimese klassi toodete sagedus, teise klassi toodete sagedus.

Otsus. Kõigepealt leiame esimese klassi toodete arvu: 400 - 20 = 380. Kuna n = 400, = 380, siis esimese klassi toodete sagedus

Samamoodi leiame teise klassi toodete sageduse:

Ülesanded

Tehnilise kontrolli osakond leidis 1000 ühikulisest partiist 10 mittestandardset eset. Leidke defektsete toodete valmistamise sagedus.
Seemnete kvaliteedi määramiseks valiti välja 100 seemet, mis külvati laboritingimustes. 95 seemet andsid normaalse võrse. Milline on seemnete normaalse idanemise sagedus?
Leidke algarvude esinemissagedus naturaalrea järgmistes segmentides: a) 21-st 40-ni; b) 41 kuni 50; c) 51 kuni 70.
Leia arvu esinemissagedus sümmeetrilise mündi 100 viskamisel. (Katsetage omal käel).
Leia kuue esinemise sagedus 90 täringuviskel.
Küsitledes kõiki oma kursuse õpilasi, määrake sünnipäevade sagedus aasta igale kuule.
Leidke viietäheliste sõnade sagedus mis tahes ajalehetekstist.

Vastused

0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.

Küsimused

Mis on sündmuse sagedus?
Mis on teatud sündmuse sagedus?
Mis on võimatu sündmuse sagedus?
Mis on juhusliku sündmuse sagedusvahemik?
Mis sagedus on kahe mitteühendatud sündmuse summa?
Mis on tõenäosuse statistiline määratlus?
Millised on statistilise tõenäosuse omadused?

Sildid . Vaata .

Sündmuste omavaheliseks kvantitatiivseks võrdlemiseks nende võimalikkuse astme järgi on ilmselgelt vaja iga sündmusega seostada teatud arv, mis on suurem, seda võimalikum on sündmus. Nimetame seda numbrit sündmuse tõenäosuseks. Seega sündmuse tõenäosus on selle sündmuse objektiivse võimalikkuse määra numbriline mõõt.

Esimeseks tõenäosuse definitsiooniks tuleks pidada klassikalist tõenäosuse definitsiooni, mis tekkis hasartmängude analüüsist ja mida rakendati esialgu intuitiivselt.

Klassikaline tõenäosuse määramise meetod põhineb võrdselt tõenäoliste ja kokkusobimatute sündmuste kontseptsioonil, mis on antud kogemuse tulemused ja moodustavad kokkusobimatute sündmuste tervikliku rühma.

Lihtsaim näide võrdselt võimalikest ja kokkusobimatutest sündmustest, mis moodustavad tervikliku rühma, on ühe või teise palli ilmumine urnist, mis sisaldab mitut sama suuruse, kaalu ja muude käegakatsutavate omadustega palli, mis erinevad ainult värvi poolest ja mis on enne väljavõtmist põhjalikult segatud. .

Seetõttu väidetakse, et kohtuprotsess, mille tulemused moodustavad kokkusobimatute ja võrdselt tõenäoliste sündmuste täieliku rühma, taandub urnide skeemile või juhtumite skeemile või sobib klassikalisesse skeemi.

Samavõrra võimalikke ja kokkusobimatuid sündmusi, mis moodustavad terve rühma, nimetatakse lihtsalt juhtumiteks või juhusteks. Lisaks võivad igas katses koos juhtumitega ette tulla keerukamaid sündmusi.

Näide: Täringu viskamisel koos juhtumitega A i - i-punktid, mis langevad ülaosale, sündmused nagu B - paarisarv punkte kukub välja, C - kolme punkti kukkumine ...

Seoses iga eksperimendi läbiviimisel esineda võiva sündmusega on juhtumid jagatud soodne, mille puhul see sündmus toimub, ja ebasoodne, mille puhul sündmust ei toimu. Eelmises näites eelistavad sündmust B juhtumid A 2 , A 4 , A 6 ; sündmus C - juhtumid A 3 , A 6 .

klassikaline tõenäosus mõne sündmuse toimumine on selle sündmuse ilmnemist soodustavate juhtumite arvu suhe juhtumite koguarvusse, mis on võrdselt võimalikud, kokkusobimatud, mis moodustavad antud kogemuses tervikliku rühma:

kus P(A)- sündmuse A toimumise tõenäosus; m- sündmuse A jaoks soodsate juhtumite arv; n on juhtumite koguarv.

Näited:

1) (vt ülaltoodud näidet) P(B)= , P(C) =.

2) Urnis on 9 punast ja 6 sinist palli. Leidke tõenäosus, et üks või kaks juhuslikult tõmmatud palli on punased.

AGA- juhuslikult tõmmatud punane pall:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- kaks juhuslikult tõmmatud punast palli:

Järgmised omadused tulenevad tõenäosuse klassikalisest definitsioonist (näidake ennast):

1) võimatu sündmuse tõenäosus on 0;

2) Teatud sündmuse tõenäosus on 1;

3) mis tahes sündmuse tõenäosus jääb 0 ja 1 vahele;

4) sündmusele A vastupidise sündmuse tõenäosus,

Klassikaline tõenäosuse definitsioon eeldab, et katse tulemuste arv on piiratud. Praktikas on aga väga sageli kohtuprotsessid, mille võimalike juhtumite arv on lõpmatu. Lisaks on klassikalise definitsiooni nõrkuseks see, et väga sageli on võimatu esitada testi tulemust elementaarsündmuste kogumi kujul. Veelgi keerulisem on välja tuua, miks pidada testi elementaarseid tulemusi võrdselt tõenäoliseks. Tavaliselt järeldatakse testi elementaarsete tulemuste võrdsus sümmeetria kaalutlustest. Selliseid ülesandeid tuleb praktikas ette aga väga harva. Nendel põhjustel kasutatakse koos tõenäosuse klassikalise definitsiooniga ka teisi tõenäosuse määratlusi.

Statistiline tõenäosus sündmus A on selle sündmuse suhteline esinemissagedus tehtud katsetes:

kus on sündmuse A toimumise tõenäosus;

Sündmuse A esinemise suhteline sagedus;

Katsete arv, mille käigus sündmus A ilmnes;

Katsete koguarv.

Erinevalt klassikalisest tõenäosusest on statistiline tõenäosus eksperimentaalsele, eksperimentaalsele tunnuseks.

Näide: Partii toodete kvaliteedi kontrollimiseks valiti juhuslikult 100 toodet, mille hulgast 3 toodet osutus defektseks. Määrake abielu tõenäosus.

Statistiline tõenäosuse määramise meetod on rakendatav ainult nende sündmuste puhul, millel on järgmised omadused:

Vaadeldavad sündmused peaksid olema ainult nende katsete tulemused, mida saab samadel tingimustel korrata piiramatu arv kordi.

Sündmustel peab olema statistiline stabiilsus (või suhteliste sageduste stabiilsus). See tähendab, et erinevates testisarjades sündmuse suhteline sagedus oluliselt ei muutu.

Sündmuse A tulemuseks olevate katsete arv peab olema piisavalt suur.

Lihtne on kontrollida, et tõenäosuse omadused, mis tulenevad klassikalisest definitsioonist, on säilinud ka tõenäosuse statistilises definitsioonis.

Praktiliseks tegevuseks on vaja osata sündmusi võrrelda nende toimumise võimalikkuse astme järgi. Vaatleme klassikalist juhtumit. Urnis on 10 palli, millest 8 on valged ja 2 mustad. Ilmselgelt on sündmusel "urnist tõmmatakse valge pall" ja sündmusel "urnist tõmmatakse must pall" erineva toimumisastmega. Seetõttu on sündmuste võrdlemiseks vaja teatud kvantitatiivset mõõdikut.

Sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivne mõõt on tõenäosus . Kõige laialdasemalt kasutatakse sündmuse tõenäosuse kahte definitsiooni: klassikaline ja statistiline.

Klassikaline määratlus tõenäosus on seotud soodsa tulemuse mõistega. Peatume sellel üksikasjalikumalt.

Olgu mõne testi tulemused tervikliku sündmuste rühma ja olgu võrdselt tõenäolised, s.t. on kordumatult võimalikud, ebajärjekindlad ja võrdselt võimalikud. Selliseid tulemusi nimetatakse elementaarsed tulemused, või juhtudel. Öeldakse, et test on taandatud juhtumi diagramm või " urni skeem”, sest iga sellise testi tõenäosusliku probleemi saab asendada samaväärse probleemiga erinevat värvi urnide ja pallidega.

Exodus nimetatakse soodne sündmus AGA kui selle juhtumi toimumine toob kaasa sündmuse toimumise AGA.

Klassikalise määratluse järgi sündmuse tõenäosus A võrdub seda sündmust soodustavate tulemuste arvu ja tulemuste koguarvu suhtega, st.

(1.1)

kus P(A)- sündmuse tõenäosus AGA; m- sündmusele soodsate juhtumite arv AGA; n on juhtumite koguarv.

Näide 1.1. Täringu viskamisel on võimalik kuus tulemust – kaotus 1, 2, 3, 4, 5, 6 punkti. Kui suur on tõenäosus saada paarisarv punkte?

Otsus. Kõik n= 6 tulemust moodustavad tervikliku sündmuste rühma ja on võrdselt tõenäolised, s.t. on kordumatult võimalikud, ebajärjekindlad ja võrdselt võimalikud. Sündmust A - "paarisarvu punktide ilmumine" - soosib 3 tulemust (juhtumit) - kaotus 2, 4 või 6 punkti. Sündmuse tõenäosuse klassikalise valemi järgi saame

P(A) = = . ◄

Sündmuse tõenäosuse klassikalise definitsiooni põhjal märgime selle omadused:

1. Iga sündmuse tõenäosus jääb nulli ja ühe vahele, s.o.

0 ≤ R(AGA) ≤ 1.

2. Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Nagu varem mainitud, on tõenäosuse klassikaline määratlus rakendatav ainult nende sündmuste puhul, mis võivad ilmneda katsete tulemusena, millel on võimalike tulemuste sümmeetria, st. taandatav juhtumite skeemile. Siiski on suur hulk sündmusi, mille tõenäosust ei saa klassikalise definitsiooni abil välja arvutada.

Näiteks kui eeldada, et münt on lapik, siis on ilmne, et sündmusi “vapi ilmumine” ja “sabade ilmumine” ei saa pidada võrdselt võimalikuks. Seetõttu ei ole klassikalise skeemi järgi tõenäosuse määramise valem antud juhul rakendatav.

Sündmuste tõenäosuse hindamiseks on aga ka teine lähenemine, mis põhineb sellel, kui sageli antud sündmus tehtud testides aset leiab. Sel juhul kasutatakse tõenäosuse statistilist määratlust.

Statistiline tõenäosussündmus A on selle sündmuse esinemise suhteline sagedus (sagedus) n läbiviidud testis, s.o.

(1.2)

kus R * (A) on sündmuse statistiline tõenäosus AGA; w(A) on sündmuse suhteline sagedus AGA; m on katsete arv, mille käigus sündmus aset leidis AGA; n on katsete koguarv.

Erinevalt matemaatilisest tõenäosusest P(A) klassikalises määratluses käsitletud statistiline tõenäosus R * (A) on omadus kogenud, eksperimentaalne. Teisisõnu sündmuse statistiline tõenäosus AGA helistatakse number, mille suhtes suhteline sagedus on stabiliseerunud (kehtestatud) w(A) samadel tingimustel tehtud katsete arvu piiramatu suurenemisega.

Näiteks kui nad ütlevad laskuri kohta, et ta tabab sihtmärki tõenäosusega 0,95, tähendab see, et sajast lasust, mille ta lasi teatud tingimustel (sama sihtmärk samal kaugusel, sama vintpüss jne). ), on edukaid keskmiselt umbes 95. Loomulikult ei juhtu iga saja puhul 95 õnnestunud lööki, mõnikord on neid vähem, mõnikord rohkem, kuid keskmiselt jääb see tabamusprotsent samades tingimustes korduva laskmise korral muutumatuks. Arv 0,95, mis näitab laskuri oskusi, on tavaliselt väga stabiilne, st. tabamuste protsent enamikul laskmistel on antud laskuri puhul peaaegu sama, vaid harvadel juhtudel erineb see keskmisest väärtusest oluliselt.

Teine klassikalise tõenäosuse definitsiooni puudus ( 1.1 ), mis piirab selle rakendamist, seisneb selles, et see eeldab piiratud arvu võimalikke testitulemusi. Mõnel juhul saab sellest puudusest üle, kasutades tõenäosuse geomeetrilist definitsiooni, s.t. punkti tabamise tõenäosuse leidmine teatud piirkonnas (lõik, tasapinna osa jne).

Laske lame kuju g moodustab osa lamedast figuurist G(joonis 1.1). Figuuri peal G juhuslikult visatakse täpp. See tähendab, et kõik punktid piirkonnas G"võrdne" selle tabamise suhtes juhusliku visatud punktiga. Eeldusel, et sündmuse tõenäosus AGA- visatud punkti tabamine figuurile g- proportsionaalne selle joonise pindalaga ega sõltu selle asukohast võrreldes G, ega vormilt g, leia

Riis. 1.1 Joonis 1.2

Näide 1.2. Kaks õpilast leppisid kokku, et kohtuvad kindlas kohas pärastlõunal kella 10 ja 11 vahel. Esimene saabuja ootab teist 15 minutit, pärast mida ta lahkub. Leidke kohtumise toimumise tõenäosus, kui iga õpilane valib juhuslikult oma saabumise aja kella 10 ja 11 vahel.

Otsus. Tähistagem vastavalt esimese ja teise õpilase teatud kohta saabumise hetked läbi x ja y. Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy Võtame lähtepunktiks 10 tundi ja mõõtühikuks 1 tund. Tingimuse järgi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y≤ 1. Need võrratused on rahuldatud ruudu mis tahes punkti koordinaatidega OKLM mille külg on võrdne 1-ga (joonis 1.2). Sündmus AGA– kahe õpilase kohtumine – toimub siis, kui vahe x ja mitte yületab 1/4 tundi (absoluutväärtuses), st. | y – x| ≤ 0,25.

Selle ebavõrdsuse lahendus on riba x – 0,25 ≤ y ≤ x+ 0,25, mis on ruudu sees G tähistab varjutatud ala g. Valemi (1.3) järgi

Nagu eespool mainitud, eeldab klassikaline tõenäosuse määratlus, et kõik elementaarsed tulemused on võrdselt tõenäolised. Katse tulemuste samaväärsus järeldatakse sümmeetria kaalutlustel. Probleemid, mille puhul saab kasutada sümmeetria kaalutlusi, on praktikas haruldased. Paljudel juhtudel on raske anda alust arvata, et kõik elementaarsed tulemused on võrdselt tõenäolised. Sellega seoses tekkis vajadus võtta kasutusele teine tõenäosuse definitsioon, mida nimetatakse statistiliseks. Tutvustame esmalt suhtelise sageduse mõistet.

Suhteline sündmuste sagedus, või sagedus, on katsete arvu suhe, milles see sündmus aset leidis, ja kõigi tehtud katsete arvu suhe. Märkige sündmuse sagedus AGA läbi W(A), siis

kus n on katsete koguarv; m on katsete arv, milles sündmus aset leidis AGA.

Väikese arvu katsete korral on sündmuste sagedus suures osas juhuslik ja võib katserühmati märkimisväärselt erineda. Näiteks mõne kümne mündiviskega on täiesti võimalik, et vapp ilmub 2 korda (sagedus 0,2), ülejäänud kümne viskega saame 8 vappi (sagedus 0,8). Kuid katsete arvu kasvades kaotab sündmuse sagedus üha enam oma juhuslikku iseloomu; igale individuaalsele kogemusele omased juhuslikud asjaolud tühistavad üksteist massiliselt ja sagedus kipub stabiliseeruma, lähenedes kergete kõikumistega mõnele keskmisele konstantsele väärtusele. Seda konstanti, mis on nähtuse objektiivne arvuline tunnus, peetakse selle sündmuse tõenäosuseks.

Tõenäosuse statistiline määratlus: tõenäosus sündmusi nimetatakse arvuks, mille ümber rühmitatakse antud sündmuse sageduse väärtused suure hulga testide erinevates seeriates.

Korduvalt katseliselt kontrollitud ja inimkonna kogemustega kinnitatud sageduse stabiilsuse omadus on üks iseloomulikumaid juhuslike nähtuste puhul täheldatud seaduspärasusi. Sündmuse sageduse ja selle tõenäosuse vahel on sügav seos, mida saab väljendada järgmiselt: kui me hindame sündmuse võimalikkuse astet, siis seostame selle hinnangu sarnaste sündmuste suurema või väiksema esinemissagedusega praktikas. .

geomeetriline tõenäosus

Klassikaline tõenäosuse definitsioon eeldab, et elementaarsete tulemuste arv on piiratud. Praktikas on katseid, mille puhul selliste tulemuste hulk on lõpmatu. Selle klassikalise tõenäosuse määratluse puuduse ületamiseks, milleks on see, et see ei ole rakendatav lõpmatu arvu tulemustega katsete puhul, tutvustatakse geomeetrilised tõenäosused - tõenäosus, et punkt langeb piirkonda.

Oletame, et ruudukujuline piirkond on antud tasapinnal G, st. ala, millel on ala S G. Piirkonnas G sisaldab ala g ala Sg. Piirkonda G juhuslikult visatakse täpp. Eeldame, et visatud punkt võib langeda mingisse ala ossa G tõenäosusega, mis on proportsionaalne selle osa pindalaga ning ei sõltu selle kujust ja asukohast. Las sündmus AGA- "alal visatud punkti tabamine g”, siis määratakse selle sündmuse geomeetriline tõenäosus valemiga:

Üldjuhul võetakse geomeetrilise tõenäosuse mõiste kasutusele järgmiselt. Märkige ala mõõt g(pikkus, pindala, maht) läbi mes g, ja pindala mõõt G- läbi mes G ; lase ka AGA– sündmus “visatud punkt tabab ala g, mis selles piirkonnas sisaldub G". Piirkond tabas võimalust g punkt visatud piirkonda G, määratakse valemiga

Ülesanne. Ruut on ringi sisse kirjutatud. Ringi visatakse juhuslikult täpp. Kui suur on tõenäosus, et punkt kukub ruutu?

Otsus. Olgu ringi raadius R, siis on ringi pindala . Ruudu diagonaal on , siis ruudu külg on ja ruudu pindala on . Soovitud sündmuse tõenäosus on määratletud kui ruudu pindala ja ringi pindala suhe, s.o. .

testi küsimused

1. Mida nimetatakse testiks (eksperimendiks)?

2. Mida nimetatakse sündmuseks?

3. Millist sündmust nimetatakse a) usaldusväärseks? b) juhuslik? c) võimatu?

4. Milliseid sündmusi nimetatakse a) kokkusobimatuteks? b) ühine?

5. Milliseid sündmusi nimetatakse vastandlikeks Kas need on a) kokkusobimatud b) ühendus on juhuslik?

6. Mida nimetatakse juhuslike sündmuste täielikuks rühmaks?

7. Kui kõik sündmused ei saa testi tulemusena juhtuda koos, kas need on paaris kokkusobimatud?

8. Kas sündmused vormivad AGA ja kogu grupp?

9. Millised elementaarsed tulemused soosivad seda sündmust?

10. Millist tõenäosuse definitsiooni nimetatakse klassikaliseks?

11. Millised on mis tahes sündmuse tõenäosuse piirid?

12. Millistel tingimustel rakendatakse klassikalist tõenäosust?

13. Millistel tingimustel rakendatakse geomeetrilist tõenäosust?

14. Millist tõenäosuse definitsiooni nimetatakse geomeetriliseks?

15. Mis on sündmuse sagedus?

16. Millist tõenäosuse definitsiooni nimetatakse statistiliseks?

Kontrollülesanded

1. Sõna "konservatoorium" tähtedest eraldatakse juhuslikult üks täht. Leidke tõenäosus, et see täht on täishäälik. Leidke tõenäosus, et see on täht "o".

2. Tähed “o”, “p”, “s”, “t” on kirjutatud ühesugustele kaartidele. Leidke tõenäosus, et sõna "köis" ilmub juhuslikult järjestatud kaartidele.

3. Võistkonnas on 4 naist ja 3 meest. Brigaadi liikmete vahel loositakse välja 4 piletit teatrisse. Kui suur on tõenäosus, et piletiomanike seas on 2 naist ja 2 meest?

4. Veeretatakse kaks täringut. Leidke tõenäosus, et mõlema täringu punktide summa on suurem kui 6.

5. Viiele identsele kaardile on kirjutatud tähed l, m, o, o, t. Kui suur on tõenäosus, et kaardid ükshaaval juhuslikult eemaldades saame sõna “haamer” nende vabastamise järjekorras ?

6. 10 piletist võidab 2. Kui suur on tõenäosus, et viie juhuslikult võetud pileti hulgast võidab üks?

7. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud kahekohalises arvus on numbrid sellised, et nende korrutis võrdub nulliga?

8. Juhuslikult valitakse arv, mis ei ületa 30. Leia tõenäosus, et see arv on 30 jagaja.

9. Juhuslikult valitakse arv, mis ei ületa 30. Leia tõenäosus, et see arv on 3 kordne.

10. Juhuslikult valitakse arv, mis ei ületa 50. Leia tõenäosus, et see arv on algarv.