Ettekanne kombinatoorika teemal. Ettekanne teemal: Kombinatoorika elemendid!!! Graafiteooria rakendamine

1 slaid

Me ei pea teraga vehkima, me ei otsi valju kuulsust. See võidab, kes tunneb mõtlemiskunsti, peent. Inglise luuletaja Wordsworth

2 slaidi

Sissejuhatus Töö eesmärk Töö eesmärgid Mis on “Kombinatoorika”? Päritolulugu Kombinatoorsete ülesannete lahendamise reeglid Summireegel Tootereegel Kordustega kombinatsioonid Ilma kordusteta Tesaurus Kasutatud kirjanduse ja veebiressursside loetelu Kokkuvõte Autori leht

3 slaidi

Koostada teatmik õppeasutustes 10-11 klassi algtasemel õppivatele õpilastele. Valmistage ette esimene osa suurest projektist "Tõenäosusteooria kui kõige levinum nähtus meie elus".

4 slaidi

1.1 Valige kirjandus ja veebiallikad teemal “Kombinatoorika”. 1.2 Tutvuge kõigi võimalike reaalsel elul põhinevate kombinatoorsete probleemide lahendamise meetoditega. 1.3 Jälgige iseseisva matemaatikavaldkonna – kombinatoorika – tuvastamise ajalugu. 2.1 Põhjendada hariduse järjepidevuse põhimõttel kursuse „Kool - Ülikool“ elluviimisel kombinatoorika kursuse õppimist gümnaasiumis kui reaalset vajalikkust. 2.2 Tooge välja võimalikud variandid kombinatoorika kursuse juurutamiseks kooli haridusruumi. 2.3 Valige teatmeteose koostamiseks materjal.

5 slaidi

Inimene peab sageli tegelema probleemidega, mille puhul ta peab loendama kõigi võimalike objektide paigutamise viiside või mõne toimingu sooritamise kõigi võimalike viiside arvu. Erinevad teed või valikud, mida inimene peab valima, annavad kokku väga erinevaid kombinatsioone. Selliseid probleeme tuleb arvestada linnasisese kõige soodsama kommunikatsiooni määramisel, automaatjuhtimissüsteemi korraldamisel ning seetõttu tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas koos kõigi nende arvukate rakendustega. Ja terve matemaatika haru, mida nimetatakse kombinatoorikaks, on hõivatud vastuste otsimisega küsimustele: mitu kombinatsiooni on antud juhul?

6 slaidi

Kombinatoorika on matemaatika haru, milles uuritakse ja lahendatakse probleeme alghulgast elementide valimisel ja nende järjestamisel teatud kombinatsioonis vastavalt etteantud reeglitele.

7 slaidi

Kombinatoorika kui teadus hakkas arenema 13. sajandil. paralleelselt tõenäosusteooria tekkega. Esimesed selleteemalised teaduslikud uurimused kuulusid Itaalia teadlastele G. Cardanole, N. Chartalier'le (1499-1557), G. Galileole (1564-1642) ning prantsuse teadlastele B. Piscamole (1623-1662) ja P. Fermat'le. Esimesena käsitles kombinatoorikat iseseisva matemaatikaharuna saksa teadlane G. Leibniz oma 1666. aastal ilmunud teoses “Kombinatoorika kunstist”. Samuti võttis ta esimest korda kasutusele termini "kombinatoorika".

8 slaidi

Slaid 9

Ülesanne: Laual on 3 musta ja 5 punast pliiatsit. Mitmel viisil saate valida mis tahes värvi pliiatsi? Lahendus: Saad valida mis tahes värvi pliiatsi 5+3=8 viisil. Kombinatoorika summareegel: Kui elementi a saab valida m viisil ja elementi b n viisil ning mis tahes elemendi a valik erineb mis tahes elementide valikust punktis b, siis saab valiku "a või b" teha m + n viisil. Näidisprobleemid

10 slaidi

Ülesanne: Klassis tegeleb spordiga 10 õpilast, ülejäänud 6 õpilast käivad tantsuringis. 1) Mitu paari õpilasi saab valida nii, et üks paarist on sportlane, teine tantsija? 2) Mitu valikut on ühel õpilasel? Lahendus: 1) Võimalus valida 10 sportlast ja iga 10 sportlase kohta on 6 tantsija valikut, mis tähendab, et tantsija ja sportlase paari valimise võimalus on 10·6=60. 2) Võimalus valida üks õpilane 10+6=16.

11 slaidi

Probleem: linnast A linna B viib 3 teed. Ja linnast B linna C on 4 teed. Mitu teed läbi B viib punktist A punkti C? Lahendus: võite mõelda järgmiselt: iga kolme tee jaoks punktist A punkti B on neli võimalust tee valimiseks punktist B punkti C. Erinevate teede koguarv punktist A punkti C võrdub korrutisega 3,4 , st. 12. Tootereegel: saate valida k elementi. Kui esimest elementi saab valida n1 viisil, teist n2 viisil jne, siis on k elementide arv võrdne korrutisega n1 · n2 ·... nк. Näidisprobleemid

12 slaidi

Probleem: Kooli sööklas on 2 esimest, 5 teist ja 4 kolmandat kursust. Kui mitmel viisil saab õpilane valida esimesest, teisest ja kolmandast käigust koosneva lõunasöögi? Lahendus: esimest rooga saab valida kahel viisil. Iga esimese käigu valiku kohta on 5 teist rooga. Kahte esimest rooga saab valida 2·5=10 viisil. Ja lõpuks, iga 10 valiku kohta on neli võimalust valida kolmas käik, st kolmekäigulise toidukorra koostamiseks on 2·5,4 võimalust. Seega saab lõunasööki koostada 40 viisil.

Slaid 13

Slaid 14

15 slaidi

N elemendi paigutus k järgi (k≤n) on hulk, mis koosneb mis tahes k elemendist, mis on võetud antud n elemendi hulgast kindlas järjekorras. Kõigi n elemendi paigutuste arv m-ga tähistatakse: Ülesannete näited n! – arvu n faktoriaal

16 slaidi

Probleem: mitmel viisil saavad 4 poissi kuuest tüdrukust neli tantsima kutsuda? Lahendus: kaks poissi ei saa sama tüdrukut korraga kutsuda. Ja valikuid, milles samad tüdrukud tantsivad erinevate poistega, peetakse erinevateks, seega: võimalikud on 360 võimalust.

Slaid 17

N elemendi permutatsioon on nende elementide iga paigutus kindlas järjekorras. Kõigi n elemendi permutatsioonide arv on tähistatud Pn Pn=n! Näidisprobleemid

18 slaidi

Kvartett Naughty Monkey Eesel, Kits, Jah, lampjalgsus Karu Nad hakkasid mängima kvartetti... Lõpetage, vennad, lõpetage! - ahv karjub, - oodake! Kuidas muusika peaks käima? Lõppude lõpuks, sa ei istu nii... Ja sa vahetasid istet nii ja naa – jällegi ei lähe muusika hästi. Nüüd on neil rohkem arutelusid ja vaidlusi kui kunagi varem, kes ja kuidas istuma peaks... Otsus

20 slaidi

Korduseta kombinatsioon on paigutus, mille puhul elementide järjekord ei oma tähtsust. Seega on valikute arv kombineerituna väiksem kui paigutuste arv. N elemendi kombinatsioonide arvu m-ga tähistatakse järgmiselt: Ülesannete näited

21 slaidi

Probleem: mitu kolme nupu kombinatsiooni on kombinatsioonlukul (kõiki kolme nuppu vajutatakse korraga), kui sellel on ainult 10 numbrit. Lahendus. Kuna nuppe vajutatakse samaaegselt, on nende kolme nupu valimine kombinatsioon. Siit on võimalik:

22 slaidi

Sageli on kombinatoorikaülesannetes komplektid, milles mõnda komponenti korratakse. Näiteks: numbriülesannetes - numbrid. Selliste ülesannete jaoks kasutatakse järgmisi valemeid: kus n on kõigi elementide arv, n1,n2,…,nr on identsete elementide arv. Näited ülesannetest Näited ülesannetest Näited ülesannetest

Slaid 23

Ülesanne: Mitu kolmekohalist arvu saab arvudest 1, 2, 3, 4, 5 teha? Lahendus: Kuna arvude järjekord arvus on oluline, saab numbreid korrata, siis on need paigutused, kus korduvad viis elementi kolmekaupa ja nende arv on võrdne:

24 slaidi

Ülesanne: Kondiitriäris müüdi 4 sorti kooke: ekleere, purukooke, napoleone ja lehtküpsetisi. Kui mitmel viisil saab osta 7 kooki? Lahendus: Ostmine ei sõltu sellest, millises järjekorras ostetud koogid karpi pannakse. Ostud on erinevad, kui need erinevad vähemalt ühte tüüpi ostetud kookide arvu poolest. Seetõttu on erinevate ostude arv võrdne nelja tüüpi kookide kombinatsioonide arvuga, millest igaüks on seitse -

Slaid 27

Usume, et töö saavutas oma eesmärgid. Oleme koostanud teatmeõpiku, mille eesmärk on elavdada koolimatemaatikat, tutvustades huvitavaid probleeme, mis tekitavad õpilastes teoreetilisi küsimusi. Töö on mõeldud 10.-11.klassi õpilastele, algtasemel õppivatele, õppeasutustele matemaatikaalaste teadmiste süvendamiseks.Käesoleva juhendi eripäraks on: III astme õpilastele teostatav teoreetiline osa; elumaterjali ja muinasjutu süžee põhjal ülesannete valik ja koostamine. Loodame, et meie töö pakub õpilastele huvi, aitab arendada nende silmaringi ja mõtlemist ning aitab kaasa paremale ettevalmistusele ühtse riigieksami sooritamiseks.

28 slaidi

Õpilane: Dmitri Zahharov Klass: 10 Juhataja: Toropova Nina Anatoljevna munitsipaalharidusasutus “Üksikute ainete süvaõppega keskkool nr 5”, Krasnojarsk

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib küsimusi selle kohta, kui palju erinevaid kombinatsioone saab teatud tingimustel teha antud objektidest.
Sõna "kombinatoorika" pärineb ladinakeelsest sõnast "combinare", mis vene keelde tõlgituna tähendab "ühendama", "ühendama".
Mõiste "kombinatoorika" võttis kasutusele kuulus Gottfried Wilhelm Leibniz, maailmakuulus saksa teadlane.

Kombinatoorika on matemaatika oluline haru,
mille teadmised on vajalikud erinevate erialade esindajatele. Füüsikud, keemikud, bioloogid, keeleteadlased, koodispetsialistid jne peavad tegelema kombinatoorsete probleemidega.
Kombinatoorsed meetodid on paljude teoreetiliste probleemide lahendamise aluseks
tõenäosused ja
selle rakendused.

Vana-Kreekas

luges poeetilistes meetrites kokku erinevate pikkade ja lühikeste silpide kombinatsioonide arvu, uuris figuurarvude teooriat, uuris osadest tehtavaid kujundeid jne.

Aja jooksul on ilmunud erinevaid mänge
(backgammon, kaardid, kabe, male jne)

Kõigis neis mängudes tuli arvestada erinevate kujundite kombinatsioonidega ning võitis see, kes neid paremini uuris, võidukombinatsioone teadis ja kaotusi vältida oskas.

Gottfried Wilhelm Leibniz (01.07.1646 – 14.11.1716)

Esimesena käsitles kombinatoorikat iseseisva matemaatikaharuna saksa teadlane G. Leibniz oma 1666. aastal ilmunud teoses “Kombinatoorika kunstist”. Samuti võttis ta esimest korda kasutusele termini "kombinatoorika".

Leonhard Euler (1707-1783)

käsitletud probleeme arvude jaotamise, sobitamise, tsüklilise paigutuse, maagia ja ladina ruutude konstrueerimisega, pani aluse täiesti uuele uurimisvaldkonnale, millest hiljem kasvas välja suur ja oluline topoloogiateadus, mis uurib ruumi ja kujundite üldisi omadusi.

Kui mõnda objekti A saab valida m viisil ja teist objekti B saab valida n viisil, siis valiku “kas A või B” saab teha (m+n) viisil.

Kui mõnda objekti A saab valida m viisil ja teist objekti B saab valida n viisil, siis valiku “kas A või B” saab teha (m+n) viisil.
Summareegli kasutamisel peate tagama, et ükski objekti A valimise meetoditest ei langeks kokku ühegi objekti B valimise meetodiga.
Kui selliseid vasteid on, siis summareegel enam ei kehti ja saame ainult (m + n - k) valikumeetodid, kus k on vastete arv.

Karbis on 10 palli: 3 valget, 2 musta, 1 sinist ja 4 punast. Mitmel viisil saab karbist värvilise palli välja võtta?

Karbis on 10 palli: 3 valget, 2 musta, 1 sinist ja 4 punast. Mitmel viisil saab karbist värvilise palli välja võtta?
Lahendus:
Värviline pall on kas sinine või punane, seega rakendame summareeglit:

Kui objekti A saab valida m viisil ja kui iga sellise valiku järel saab objekti B valida n viisil, siis paari (A, B) valimist määratud järjekorras saab teha mn viisil.

Kui objekti A saab valida m viisil ja kui iga sellise valiku järel saab objekti B valida n viisil, siis paari (A, B) valimist määratud järjekorras saab teha mn viisil.
Sel juhul ei sõltu teise elemendi valimise viiside arv sellest, kuidas täpselt esimene element on valitud.

Kui palju erinevaid müntide kombinatsioone võib olla?

Kui palju erinevaid müntide kombinatsioone võib olla?
küljed kahe täringu viskamisel?
Lahendus:
Esimesel täringul võib olla: 1,2,3,4,5 ja 6 punkti, s.o. 6 võimalust.
Teisel on 6 võimalust.
Kokku: 6*6=36 valikut.

Summa- ja korrutisreeglid kehtivad mis tahes arvu objektide puhul.

nr 1. Linnast A linna B viib 6 teed ja linnast B linna C 3 teed. Kui mitmel viisil saate reisida linnast A linna C?

nr 1. Linnast A linna B viib 6 teed ja linnast B linna C 3 teed. Kui mitmel viisil saate reisida linnast A linna C?
nr 2. Raamaturiiulil on 3 raamatut algebrast, 7 geomeetriast ja 2 kirjandusest. Mitmel viisil saab ühe matemaatikaraamatu riiulist võtta?
nr 3. Menüüs on 4 esimest rooga, 3 pearooga ja 2 magustoitu. Mitu erinevat lõunasööki saab neist valmistada?

"En faktorial" -n!.

Definitsioon.
Järjestikuse esimese n korrutis
naturaalarvud on tähistatud n-ga! ja helistada
“en faktoriaal”: n!=1 2 3 … (n-1) n.

1 2 3=

1 2 3 4=

1 2 3 4 5=

1 2 3 4 5 6=

1 2 3 4 5 6 7=

n!=(n-1)! n

Mugav valem!!!

Permutatsioonideks nimetatakse n-elementide kombinatsioone, mis erinevad üksteisest ainult elementide esinemise järjekorras.

Permutatsioonideks nimetatakse n-elementide kombinatsioone, mis erinevad üksteisest ainult elementide esinemise järjekorras.
Määras Pn

Ümberkorraldused

Tehke numbritest 1, 5, 9 kolmekohaline arv
number ilma korduvate numbriteta.

2 kombinatsiooni

2 kombinatsiooni

2 kombinatsiooni

Kokku 2 3=6 kombinatsiooni.

K-s sisalduvate n-elementide kombinatsioone, mis erinevad üksteisest koostise ja järjestuse poolest, nimetatakse paigutusteks.

K-s sisalduvate n-elementide kombinatsioone, mis erinevad üksteisest koostise ja järjestuse poolest, nimetatakse paigutusteks.

Paigutused

N-elementide kombinatsioonid poolt To To.

N-elementide kombinatsioonid poolt To, mis erinevad ainult elementide koostise poolest, nimetatakse n-elementide kombinatsioonideks vastavalt To.

Kombinatsioonid

20 õpilase hulgast tuleb valida kaks valveametnikku.

20 õpilase hulgast tuleb valida kaks valveametnikku.
Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus:

Peate valima kaks inimest 20-st.
On selge, et miski ei sõltu valiku järjekorrast, st
Ivanov – Petrov või Petrov – Ivanov on üks
ja sama paar saatjat. Seetõttu on need kombinatsioonid 20 x 2.

1. Mitu sõna saab moodustada sõnafragmendi tähtedest, kui sõnad peavad koosnema: 8 tähest; 7 tähest; 3 tähest?

1. Mitu sõna saab moodustada sõnafragmendi tähtedest, kui sõnad peavad koosnema: 8 tähest; 7 tähest; 3 tähest?
2. Õpilane peab kümne päeva jooksul sooritama 4 eksamit. Kui mitmel viisil saate tema eksameid ajastada?
3. Mitmel viisil saab kaheksa inimese hulgast valida viieliikmelist komisjoni?
4. Mitu erinevat numbrimärki, mis koosnevad 5 numbrist, kui esimene ei ole null? Mis siis, kui number koosneb ühest tähest, millele järgneb neli nullist erinevat numbrit?
5. Töövõtja vajab 4 puuseppa ja tema poole on oma teenuse pakkumisega pöördunud 10. Mitmel viisil saab ta neist neli valida?
6. Mitu moodi saab seitse raamatut riiulile paigutada?
7. Mitu 5-tähelist sõna saab moodustada 10 erineva tähe abil.
8. Mitmel viisil saate seitsme õuna, nelja sidruni ja üheksa apelsini hulgast valida mitu puuvilja? (Sama tüüpi puuvilju peetakse eristamatuteks.)

Petrov Vladimir, riigieelarvelise õppeasutuse SO MTÜ "Kutsekool nr 22" 12. rühma õpilane, Saratov

Ettekandes käsitletakse näiteid permutatsioonide, paigutuste ja kombinatsioonide leidmise probleemide lahendamisest.

Lae alla:

Eelvaade:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Kombinatoorika elemendid: permutatsioonid, kombinatsioonid ja paigutused Ettekande koostas Riigieelarvelise Õppeasutuse SO MTÜ 12. rühma õpilane Vladimir Petrov.

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis otsib usinalt vastuseid küsimustele: kui palju on antud juhul kombinatsioone, kuidas valida kõigi nende kombinatsioonide hulgast parim. Sõna "kombinatoorika" pärineb ladinakeelsest sõnast "combinare", mis vene keelde tõlgituna tähendab "ühendama", "ühendama". Mõiste "kombinatoorika" võttis kasutusele kuulus Gottfried Wilhelm Leibniz, maailmakuulus saksa teadlane.

Kombinatoorsed ülesanded jagunevad mitmeks rühmaks: Permutatsiooniülesanded Paigutusülesanded Kombinatsiooniülesanded

Ümberpaigutamise probleemid Kui mitmel viisil saab raamaturiiulil paigutada 3 erinevat raamatut? See on permutatsiooni probleem

Kirjutage n! kõlab järgmiselt: “en faktoriaal” Faktoriaal on kõigi naturaalarvude 1 kuni n korrutis. Näiteks 4! = 1*2*3*4 = 24 n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Tehased kasvavad üllatavalt kiiresti:

Ülesanne. Kui mitmel viisil saab finaalsõidu 8 osalejat kaheksal jooksulindil paigutada? P8 = 8! = 1∙2∙ 3∙4∙ 5∙6∙ 7∙8 = 40320

N elemendi permutatsioon on nende elementide iga paigutus kindlas järjekorras. P n = 1 · 2 · 3 · ... · n. Pn=n!

Ülesanne. Kvartett Naughty Monkey Eesel, Kits, Jah, lampjalgsus Karu Nad hakkasid mängima kvartetti... Lõpetage, vennad, lõpetage! - ahv karjub, - oodake! Kuidas muusika peaks käima? Lõppude lõpuks, sa ei istu nii... Ja sa vahetasid istet nii ja naa – jällegi ei lähe muusika hästi. Nüüd on neil rohkem arutelusid ja vaidlusi kui kunagi varem selle üle, kes ja kuidas istuma peaks... Mitu moodi saab neli muusikut istuma panna? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Paigutuse ülesanded

Probleem: meil on 5 raamatut, meil on ainult üks riiul ja see mahutab ainult 3 raamatut. Kui mitmel viisil saab 3 raamatut riiulile paigutada? Valime 5 raamatu hulgast ühe ja paneme selle riiulile esimesele kohale. Saame seda teha 5 viisil. Nüüd on riiulisse jäänud kaks kohta ja meil on 4 raamatut. Teise raamatu saame valida neljal viisil ja asetada ühe 5-st võimalikust esimesest raamatu kõrvale. Selliseid paari võib olla 5·4. On jäänud 3 raamatut ja üks koht. Ühe raamatu kolmest saab valida kolmel viisil ja asetada ühe võimaliku 5·4 paari kõrvale. Saate 5·4·3 erinevat kolmikut. See tähendab, et 3 raamatu viiest paigutamise viiside koguarv on 5·4·3 = 60. See on paigutusprobleem.

N elemendi paigutus k järgi (k≤n) on hulk, mis koosneb k elemendist, mis on võetud antud n elemendi hulgast kindlas järjekorras.

Ülesanne. Teise klassi õpilased õpivad 9 ainet. Mitmel viisil saate koostada ühe päeva ajakava nii, et see sisaldaks 4 erinevat ainet? A 4 9 = = 6, 7, 8, 9 = 3024

Otsustage ise: klassis on 27 õpilast. Sa pead saatma ühe õpilase kriidi tooma, teise kohvikusse valvesse ja kolmanda tahvli juurde helistama. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Kombinatsiooniprobleemid: probleem. Kui mitmel viisil saab raamaturiiulil paigutada 3 köidet, kui valite need 5 saadaoleva väliselt eristamatu raamatu hulgast? Raamatud on väliselt eristamatud. Kuid need erinevad ja oluliselt! Need raamatud on sisult erinevad. Tekib olukord, kus näidiselementide koostis on oluline, kuid nende paigutuse järjekord on ebaoluline. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 vastus: 10 See on kombineeritud probleem

Kombinatsioon n-st elemendist k on mis tahes hulk, mis koosneb k elemendist, mis on valitud antud n elemendi hulgast.

Ülesanne. Klassis on 7 inimest, kes õpivad edukalt matemaatikat. Mitmel viisil saab neist kaks valida matemaatikaolümpiaadil osalemiseks? C 7 2 = = 21

Otsustage ise: 7. klassi õpilastel läheb matemaatikas hästi. Mitmel viisil saab neist kaks välja valida, kes saadetakse matemaatikaolümpiaadile?

Kombinatoorsete ülesannete eripäraks on küsimus, mille saab sõnastada nii, et see algab sõnadega "Mitmel viisil..." või "Mitu võimalust..."

Permutatsioonid Paigutused N elemendi kombinatsioonid n lahtrit n elementi k lahtrit n elementi k lahtreid Järjestus on oluline Järjestus on oluline Järjestus pole oluline Teeme tabeli:

Lahenda ülesanded ise: 1. Karbis on 10 valget ja 6 musta palli. Mitmel viisil saab ühte mis tahes värvi palli kastist välja võtta? 2. Olga mäletab, et tema sõbra telefoninumber lõpeb kolme numbriga 5, 7, 8, kuid ta unustas, mis järjekorras need numbrid asuvad. Märkige suurim arv võimalusi, mida ta peab läbima, et sõbraga suhelda. 3. Filateelia kaupluses on müügil 8 erinevat sporditeemadele pühendatud postmargikomplekti. Mitmel viisil saab nende hulgast 3 komplekti valida?

Kombinatoorika elemendid 9-11 klassid, MBOU Kochnevskaya keskkooli õpetaja Grjaznova A.K. Peamised küsimused:

Mis on kombinatoorika?

Milliseid probleeme peetakse kombinatoorseteks?

Ümberkorraldused
Paigutused
Kombinatsioonid

Ärme vaidle – arvutame. G. Leibnitz

Kombinatoorika– matemaatika haru, mis tegeleb teatud reeglite järgi tehtavate kombinatsioonide loendamisega.

II. Milliseid probleeme peetakse kombinatoorseteks? Kombinatoorsed ülesanded Lõpliku arvu elementide kombinatsioonide arvu lugemise ülesanded

Kombinatoorika– ladinakeelsest sõnast kombineerima, mis tähendab "ühendama, ühendama".
Kombinatoorika meetodid kasutatakse laialdaselt füüsikas, keemias, bioloogias, majanduses ja teistes teadmiste valdkondades.
Kombinatoorika võib pidada hulgateooria osaks – mis tahes kombinatoorset ülesannet saab taandada lõplike hulkade ja nende vastendamise ülesandeks.

I. Kombinatoorsete ülesannete lahendamise tasandid 1. Esimene tase. Ülesanne leida vähemalt üks lahendus, vähemalt üks antud omadustega objektide paigutus on leida viiele lõigule selline kümne punkti paigutus, milles igal lõigul on neli punkti; - selline kaheksa emanda paigutus malelaual, milles nad üksteist ei löö. Mõnikord on võimalik tõestada, et sellel probleemil pole lahendust (näiteks on võimatu paigutada 10 palli 9 urni nii, et igas urnis ei oleks rohkem kui üks pall – vähemalt ühes urnis on vähemalt kaks palli). 2. Teine tase. 2. Teine tase. Kui kombinatoorsel ülesandel on mitu lahendust, siis tekib küsimus selliste lahenduste arvu lugemisest ja kõigi selle ülesande lahenduste kirjeldamisest.

3. Kolmas tase.

optimaalne

Näiteks:

Reisija soovib lahkuda linnast A, külastada linnu B, C ja D ning seejärel naasta linna A.

Joonisel fig. näitab neid linnu ühendavate marsruutide skeemi. Erinevad reisivõimalused erinevad üksteisest linnade B, C ja D külastamise järjekorras. Reisivõimalusi on kuus. Tabelis on näidatud iga tee valikud ja pikkused:

Kombinatoorse optimeerimise ülesandeid peavad lahendama ülesande kiireima täitmise poole püüdlev töödejuhataja, antud põldudel suurima saagikuse poole püüdlev agronoom jne.

Vaatleme ainult kombinatoorse ülesande lahenduste loendamise ülesandeid.

Vaatleme ainult kombinatoorse ülesande lahenduste loendamise ülesandeid.

loendusteooria

Summa ja toote reeglid

1. Mitu erinevat kokteili saab valmistada neljast joogist, segades neid võrdsetes kogustes kahega?
AB, AC, AD, BC, BD, CD – kokku 6 kokteili

2. Mitu erinevat kahekohalist arvu saab numbritest 0, 1, 2, 3 teha?

2. Mitu erinevat kahekohalist arvu saab numbritest 0, 1, 2, 3 teha?
Esimene number teine number

Toote reegel:

Kui elementi A saab elementide hulgast valida n viisil ja iga sellise valiku jaoks saab elemendi B valida t viisil, siis kahte elementi (paari) A ja B saab valida n viisil.

"Näited kombinatoorsete ülesannete lahendamisest: valikute loendamine, summareegel, korrutamisreegel."

Mitmel viisil saab finaalsõidu 4 osalejat neljale jooksulindile asetada?

R n = 4 3 2 1 = 24 viisi (4 elemendi permutatsioonid)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 rada

II. Permutatsioonid (1) K v a r t e t Ulakas ahv, eesel, kits ja nuiajalgne karu. Nad hakkasid mängima nelikut. ………………………………………………………. Nad löövad vibusid, kaklevad, aga pole mõtet. „Lõpetage, vennad, lõpetage! - karjub ahv. - Oota! Kuidas muusika peaks käima? Lõppude lõpuks sa ei istu nii."

4·3·2·1 = 4! viise

II. Permutatsioonid (2)

Permutatsioon alates P- elemendid on kombinatsioonid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest
Pn - permutatsioonide arv (P on prantsuskeelse sõna permutatsioon - permutatsioon esimene täht)

Рп= n

Majutus (1)

Neli reisikaaslast otsustasid visiitkaardid vahetada. Mitu kaarti kokku kasutati?

Kombinatsioonid, mis on valmistatud k aastast võetud elemendid n elemendid, mis erinevad üksteisest kas koostise või elementide paigutuse järjestuse poolest, nimetatakse paigutused alates n elemendid poolt k(0< k ≤n ).

Majutus alates n elemendid poolt k elemendid. Ja esimene täht

Prantsuse sõna kokkulepe: "paigutus",

"asjade korda seadmine"

Majutus (2)

Seal on 4 tühja palli ja 3 tühja lahtrit. Tähistame pallid tähtedega a, b, c, d. Selle komplekti kolm palli saab tühjadesse lahtritesse paigutada erineval viisil.
Valides esimese, teise ja kolmanda palli erinevalt, saame erinevad tellitud kolm palli
Iga tellitud nimetatakse kolmikut, mis võib koosneda neljast elemendist paigutus neljast elemendist, igaüks kolm

Majutus (3)

Mitu paigutust saab teha 4 elemendist ( abcd) kolm?
abc abd acb acd adb adc
bac bad bca bcd bda bdc
cab cad cba cbd cda cdb
dab dac dba dbc dca dcb

Otsustati valikud üle vaadata

Majutus (4)

Saate selle lahendada ilma paigutusi ise välja kirjutamata:
esiteks elementi saab valida neljal viisil, seega võib see olla mis tahes element neljast;
iga esimese jaoks teiseks saab valida kolmel viisil;
iga esimese kahe jaoks on kaks võimalust valida kolmandaks element ülejäänud kahest.

Saame

Lahendatud korrutamisreegli abil

Kombinatsioonid

Kombinatsioon P elemendid poolt k on mis tahes komplekt, millest koosneb k hulgast valitud elemendid P elemendid

Erinevalt paigutustest kombinatsioonides elementide järjekord ei oma tähtsust. Kaks kombinatsiooni erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi poolest

Probleemide lahendamine: 1. Lennukile on märgitud 5 punkti. Mitu lõiku tekib, kui ühendate punktid paarikaupa?

2. Ringile märgitud P punktid. Mitu kolmnurka on nendes punktides tippudega?

Teabeallikad

V.F. Butuzov, Yu.M. Koljagin, G.L. Lukankin, E.G. Poznyak jt. “Matemaatika” õpik 11. klassi õppeasutustele / soovitab Vene Föderatsiooni Haridusministeerium / M., Prosveštšenie, 1996.
E.A. Bunimovitš, V.A. Bulõtšev: “Tõenäosus ja statistika”, juhend üldharidusasutustele klassidele 5–9 / heaks kiidetud Vene Föderatsiooni Haridusministeeriumi poolt // Bustard Moskva 2002
Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk “Algebra: statistika ja tõenäosusteooria elemendid, klass 7–9” Toimetanud S.A. Teljakovski M: Prosveštšenia, 2006
Kolmnurgad http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

Ülejäänud joonised lõi A.K. Grjaznova.

Elemendid
kombinatoorika.
Elektrooniline haridusjuhend
klassi õpilastele 9.-11.
Autor-koostaja:
Katorova O.G.,
matemaatika õpetaja
MBOU "Gümnaasium nr 2"
Sarov

Kombinatoorika

Kombinatoorika on osa
matemaatika, mis uurib
valiku või asukoha küsimused
komplekti elemendid vastavalt
etteantud reeglitega.
"Kombinatoorika" pärineb ladina keelest
sõnad "kombina", mis on tõlgitud vene keelde
tähendab "ühendama", "ühendama".

AJALOOLINE VIIDE
Mõiste "kombinatoorika" oli
kasutusele võetud matemaatikasse
kogu maailmas
kuulus
saksa keel
teadlane G.V. Leibniz, kes aastal
1666 avaldas Diskursused
kombinatoorse kunsti kohta."
G.W. Leibniz
18. sajandil hakati tegelema kombinatoorsete probleemide lahendamisega
ja teised silmapaistvad matemaatikud. Jah, Leonhard Euler
kaalutud probleeme numbrite partitsiooniga, sobitamisega,
tsüklilised korraldused, ehituse kohta maagilised ja
Ladina ruudud.

Kombinatoorika pakkumised
erinevat tüüpi ühendeid
(ümberkorraldused, paigutused,
kombinatsioonid), mis võivad olla
vorm elementidest
mingi lõplik kogum.

Kombinatoorsed seosed

Ümberkorraldused
1.
2.
Permutatsioonid ilma kordusteta
Permutatsioonid kordustega
Paigutused
1.
2.
Paigutused ilma kordusteta
Paigutused kordustega
Kombinatsioonid
1.
2.
Kombinatsioonid ilma kordusteta
Kombinatsioonid kordustega

Permutatsioonid - ühendused,
mis võib koosneda n-st
elemendid, muutes kõik
võimalikud viisid nende tellimiseks.
Valem:

Ajalooline viide

1713. aastal avaldati
J. Bernoulli essee "Kunst
oletused", milles
esitati piisavalt üksikasjalikult
selleks ajaks teada
kombinatoorsed faktid.
"Art
eeldused" ei lõpetatud
autori poolt ja ilmus pärast tema surma.
Essee koosnes 4 osast,
oli pühendunud kombinatoorikale
teine osa, mis sisaldab
valem permutatsioonide arvu kohta n-st
elemendid.

Näide

Kui mitmel viisil saab 8 inimest sisse seista
kassas järjekord?
Probleemi lahendus:
Seal on 8 kohta, mis peavad olema hõivatud 8 inimesega.
8 inimese seast võib esikoha saada igaüks, s.t. viise
esikoht - 8.
Pärast seda, kui üks inimene on esikohal, on jäänud 7
istekohad ja neile mahutavad 7 inimest, st.
viise teise koha saamiseks – 7. Samamoodi kolmanda koha saavutamise,
neljas jne. kohad.
Korrutamise põhimõtet kasutades saame korrutise. See
toode on tähistatud kui 8! (loe 8 faktoriaali) ja
nimetatakse P8 permutatsiooniks.
Vastus: P8 = 8!

kontrolli ennast

1) Kui mitmel viisil saate paigutada
riiulil on kõrvuti neli erinevat
raamatud?
LAHENDUS

kontrolli ennast

2) Mitmel viisil saab panna
Saadaval 10 erinevat kaarti 10-st
ümbrikud (üks postkaart ümbriku kohta)?
LAHENDUS

kontrolli ennast

3) Mitmel viisil saab istutada
kaheksa last söögitoas kaheksal toolil
lasteaed?
LAHENDUS

kontrolli ennast

4) Mitu erinevat sõna suudad välja mõelda?
tähtede ümberpaigutamine sõnas
"kolmnurk" (kaasa arvatud sõna ise)?
LAHENDUS

kontrolli ennast

5) Mitu viisi saate installida
tööpäev üks inimene seitsme hulgast
rühma õpilased 7 päevaks (iga
peab üks kord valves olema)?
LAHENDUS

kontrolli ennast

Permutatsioonid koos
kordused
Iga kordustega paigutus, sisse
milles element a1 kordub k1 korda, element
a2 kordub k2 korda jne. element
kordus kn korda, kus k1, k2, ..., kn on andmed
numbrit nimetatakse permutatsiooniks koos
tellimuse kordused
m = k1 + k2 + … + kn, milles andmed
elemendid a1, a2, …, an korduvad
vastavalt k1, k2, .., kn korda.

kontrolli ennast

Permutatsioonid koos
kordused
Teoreem. Erinevate permutatsioonide arv koos
elementide kordused (a1, ..., an), in
mille elemendid a1, …, an korduvad
vastavalt k1, ..., kn korda, võrdub
(k1+k2+…+kn)!
m!
P
k1! k2! ...kn!
k1! k2! ...kn!

kontrolli ennast

Näide
Ümberpaigutatud tähtedega sõnad ja fraasid
nimetatakse anagrammideks. Kui palju anagramme saate
tehtud sõnast "makaak"?
Lahendus.
Sõnas “MACACA” on kokku 6 tähte (m=6).
Teeme kindlaks, mitu korda iga tähte sõnas kasutatakse:
"M" – 1 kord (k1=1)
“A” – 3 korda (k2=3)
“K” – 2 korda (k3=2)
m!
P=
k1! k2! … kn!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

kontrolli ennast

1) Kui palju erinevaid sõnu saate,
sõna "matemaatika" tähtede ümberpaigutamine?
LAHENDUS

kontrolli ennast

2) Mitmel viisil saate korraldada
esimene horisontaalse malelaua komplekt
valged tükid (kuningas, kuninganna, kaks vankrit, kaks
elevant ja kaks rüütlit)?
LAHENDUS

kontrolli ennast
3) Emal on 2 õuna, 3 pirni ja 4 apelsini.
Iga päev üheksa päeva järjest ta
annab pojale ühe allesjäänud viljadest.
Kui mitmel viisil saab seda teha?
LAHENDUS

Ajalooline viide
Kombinatoorsed motiivid võivad olla
märkama ka sümboolikas hiina „Raamat
muutub" (V sajand eKr).
12. sajandil. India matemaatik Bhaskara
tema peateos "Lilavati" üksikasjalikult
uuris probleeme permutatsioonidega ja
kombinatsioonid, sealhulgas permutatsioonid
kordused.

Näide

Paigutused
Asetades n elementi k järjekorras
(k n) on mis tahes hulk
mis koosneb mis tahes k elemendist
teatud järjekord n elementi.
Vaadeldakse kahte n elemendi paigutust
erinevad, kui nad ise erinevad
elemendid või nende paigutuse järjekord.
A n (n 1) (n 2) ... (n (k 1))
k
n

kontrolli ennast

Näide
Mitmel viisil 40 õpilasest klassis
Vara saab tuvastada järgmiselt:
juhataja, füüsik ja seinalehe toimetaja?
Lahendus:
On vaja valida tellitud kolm elementi
40 sisaldava komplekti alamhulgad
elemendid, st. leida paigutuste arv ilma
40 elemendi kordused 3-st.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40

kontrolli ennast

1. Valige seitsme erineva raamatu hulgast
neli. Kui mitmel viisil on see võimalik?
teha?
LAHENDUS

kontrolli ennast

2. Osalevad jalgpalli meistrivõistlustel
kümme meeskonda. Kui palju on olemas
erinevaid võimalusi kasutada
võistkonna kolm esikohta?
LAHENDUS

kontrolli ennast

3. klassis õpitakse 7 ainet. kolmapäeval 4
õppetunnid ja igaüks neist on erinev. Kui palju
kuidas saate ajakava luua
kolmapäeval?
LAHENDUS

kontrolli ennast

Paigutused koos
kordused
Kordustega paigutused –
n elementi sisaldavad ühendid,
valitud m erineva elemendi hulgast
liik (n m) ja erineb sellest
teine kas koosseisu või tellimuse järgi
elemendid.
Eeldatakse nende arvu
piiramatu arv elemente
iga tüüp on võrdne

kontrolli ennast

Kasutusnäide
Raamatukokku, kus on palju
kümme ühesugust õpikut
aineid, tuli 5 koolilast,
kellest igaüks soovib võtta õpiku.
Raamatukoguhoidja kirjutab ajakirjas
nimede järjekord (ilma numbrita) võetud
õpikud ilma neid andnud õpilaste nimedeta
on võtnud. Mitu erinevat nimekirja on ajakirjas?
kas see võiks ilmuda?

Ajalooline viide

Probleemi lahendus
Kuna õpikud igale
teema on sama, ja raamatukoguhoidja
salvestab ainult nime (ilma
numbrid), siis on loendis paigutus koos
kordus, elementide arv
originaalkomplekt on 10 ja
kohtade arv - 5.
Siis on erinevate loendite arv võrdne
= 100000.
Vastus: 100 000

Paigutused

Kontrolli ennast!
1. Telefoninumber koosneb 7 numbrist.
Milline on suurim kõnede arv
luuser-Petya saab pühenduda
enne õige numbri äraarvamist.
LAHENDUS
LAHENDUS

Näide

Kontrolli ennast!
2. Mitmel viisil saate
kirjutage sõna, mis koosneb
neli inglise tähestiku tähte?
LAHENDUS

kontrolli ennast

Kontrolli ennast!
3. Poes, kus on 4 tüüpi palle,
Otsustasime panna 8 palli järjest. Kui palju
kuidas saate seda teha, kui nad
Kas asukoht on oluline?
LAHENDUS

kontrolli ennast

Kontrolli ennast!
4. Mitmel viisil saab õmmelda
kuue nööbiga voodriga klouni kostüüm
üks neljast saadavast värvist
muster?
LAHENDUS

kontrolli ennast

Kombinatsioonid
Kombinatsioonid – igaüht sisaldavad ühendid
m üksust n-st, erinevad üksteisest
sõber vähemalt ühe esemega.
Kombinatsioonid on lõplikud hulgad, sisse
mille järjekord ei oma tähtsust.

kontrolli ennast

Kombinatsioonid
Valem koguse leidmiseks
kombinatsioonid ilma kordusteta:

kontrolli ennast

Ajalooline viide
1666. aastal avaldas Leibniz väljaande Discourses
kombinatoorse kunsti kohta." Oma essees
Leibniz, tutvustab erisümboleid, termineid
alamhulgad ja nendega tehtavad tehted, leiab kõik n elemendi k kombinatsioonid, kuvab omadused
kombinatsioonid:
,
,

kontrolli ennast

Kasutusnäide:
Kui mitmel viisil saate valida kaks
valvekorrapidajad 25 õpilasega klassist?
Lahendus:
m = 2 (vajalik arv töötajaid)
n = 25 (õpilasi klassis kokku)

Paigutused kordustega

Kontrolli ennast!
1) Kui mitmel viisil saate
delegeerida kolm õpilast
9-liikmeline ülikoolidevaheline konverents
teadusselts?
LAHENDUS

Kasutusnäide

Kontrolli ennast!
2) Kümme konverentsil osalejat
surus kätt surudes
igale. Mitu käepigistust oli?
tehtud?
LAHENDUS

Probleemi lahendus

Kontrolli ennast!
3) Koolikooris on 6 tüdrukut ja 4 poissi.
Kui paljude võimaluste vahel saate valida
koolikoori koosseis: 2 tüdrukut ja 1 poiss
osaleda ringkonnakoori esinemisel?
LAHENDUS

Kontrolli ennast!

4) Mitmel viisil saate valida 3
eest sportlased 20-liikmelisest grupist
võistlustel osalemine?
LAHENDUS

Kontrolli ennast!

5) Klassis on 10 õppeainet ja 5 erinevat
õppetunde päevas. Kui mitmel viisil saab
kas õppetunnid jaotatakse samal päeval?
LAHENDUS

Kontrolli ennast!

Kombinatsioonid kordustega
Definitsioon
Kombinatsioonid kordustega alates m kuni
n on ühendid, mis koosnevad n-st
elemendid, mis on valitud m elemendi hulgast
erinevat tüüpi ja erinevat tüüpi
teine vähemalt ühe elemendi võrra.
Kombinatsioonide arv m kuni n
tähistama

Kontrolli ennast!

Kombinatsioonid kordustega
Kui n elementi sisaldavast hulgast valitakse
vaheldumisi m elementi valitud elemendiga
tuleb iga kord tagasi, siis mitmel viisil
tee järjestamata valim - kombinatsioonide arv -ga
kordused – teeb välja

Kontrolli ennast!

Ajalooline viide
India juhtiv matemaatik
Bhaskara Akaria (1114–1185) samuti
õppinud erinevaid kombinatooriumi liike
ühendused. Talle kuulub traktaat
"Sidhanta-Shiromani" ("Õpetamise kroon"),
ümber kirjutatud 13. sajandil. triipude peal
palmi lehed. Selles andis autor
leidmise suulised reeglid
Ja
, märkides ära nende rakendused ja paigutuse
arvukalt näiteid

Kontrolli ennast!

Kasutusnäide
Ülesanne nr 1
Mitu komplekti 7 kooki
saab võimalusel koostada
Kas on 4 tüüpi kooke?
Lahendus:

Kontrolli ennast!

Kasutusnäide
Ülesanne nr 2
Mitu luud on normaalses
doominomäng?
Lahendus: Doomino võib mõelda kui
kombinatsioonid kahe numbri kordusega seitsmest
komplektid (0,1,2,3,4,5,6).
Kõigi selliste arv
kombinatsioonid on võrdsed

Kontrolli ennast!

kontrolli ennast
Ülesanne 1.
Gümnaasiumi kohvikus on müügil 5 sorti
pirukad: õuntega, kapsaga,
kartul, liha ja seened. Kui palju
mitmel viisil, mille kaudu saate ostu sooritada
10 pirukat?
LAHENDUS

Kombinatsioonid

kontrolli ennast
2. ülesanne.
Karbis on kolme värvi pallid -
punane, sinine ja roheline. Kui palju
kuidas saate luua kahe komplekti
pallid?
LAHENDUS

Kombinatsioonid

kontrolli ennast
3. ülesanne.
Mitmel viisil saate valida 4
mündid neljast viiekopikasest ja alates
neli kahekopikalist münti?
LAHENDUS

kontrolli ennast
4. ülesanne.
Mitu doominot tuleb?
kui nendes
haridus kasutab kõiki numbreid?
LAHENDUS

kontrolli ennast
5. ülesanne.
Noore impressionisti palett koosneb 8-st
erinevaid värve. Kunstnik võtab pintsli
juhuslikult mis tahes värvi ja paneb värvi
plekk whatmani paberil. Siis võtab järgmise
pintsel, kastke see mis tahes värvi ja teeb
teine koht kõrval. Kui palju
jaoks on olemas erinevad kombinatsioonid
kuus kohta?
LAHENDUS

Kasutatud Raamatud
Algebra ja matemaatika algus
analüüs. 11. klass / Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva,
N. E. Fedorova, M. I. Šabunin. –
M.: Haridus, 2011.
Vilenkin N.Ya. Kombinatoorika. – M., 1969
Vilenkin N.Ya. Kombinatoorika. - MCMNO,
2010
ru.wikipedia.org›wiki/Kombinatoorika ajalugu