Kindla integraali rakendamine. Kaare pikkuse arvutamine

Avaleht > Loeng

Loeng 18. Taotlused kindel integraal.

18.1. Tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamine.

On teada, et lõigul olev kindel integraal tähistab kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni f(x) graafikuga. Kui graafik asub Ox-telje all, st. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, siis on sellel alal märk “+”.

Kogupindala leidmiseks kasutage valemit.

Teatud joontega piiratud joonise pindala saab leida teatud integraalide abil, kui nende sirgete võrrandid on teada.

Näide. Leidke figuuri pindala, piiratud joontega y = x, y = x2, x = 2.

Vajaliku ala (joonisel varjutatud) leiate järgmise valemi abil:

18.2. Kumera sektori pindala leidmine.

Kõverjoonelise sektori pindala leidmiseks tutvustame polaarkoordinaatide süsteemi. Selles koordinaatsüsteemis sektorit piirava kõvera võrrand on kujul  = f(), kus  on poolust ühendava raadiusvektori pikkus suvaline punkt kõver ja  on selle raadiusvektori kaldenurk polaartelje suhtes.

Kõverjoonelise sektori pindala leiate valemi abil

18.3. Kõvera kaare pikkuse arvutamine.

y y = f(x)

S i y i

Kaarele vastava katkendjoone pikkuse võib leida kui
.

Siis on kaare pikkus
.

Alates geomeetrilised kaalutlused:

Samal ajal

Siis saab seda näidata

Need.

Kui kõvera võrrand on antud parameetriliselt, siis võttes arvesse parameetriliselt antud tuletise arvutamise reegleid, saame

,

kus x = (t) ja y = (t).

Kui määratud ruumiline kõver, ja x = (t), y = (t) ja z = Z(t), siis

Kui kõver on antud polaarkoordinaadid, See

,  = f().

Näide: Leidke võrrandiga x 2 + y 2 = r 2 antud ringi ümbermõõt.

1 viis. Avaldame võrrandist muutuja y.

Leiame tuletise

Siis S = 2r. Saime tuntud ringi ümbermõõdu valemi.

2. meetod. Kui esindame antud võrrandit in polaarsüsteem koordinaadid, siis saame: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, s.o. funktsioon  = f() = r,
Siis

18.4. Kehade mahtude arvutamine.

Keha mahu arvutamine kuulsad väljakud selle paralleelsed lõigud.

Olgu keha ruumalaga V. Keha Q mis tahes ristlõike pindala on tuntud kui pidev funktsioon Q = Q(x). Jagame keha “kihtideks” lõigu partitsiooni punkte x i läbivate ristlõigetega. Sest funktsioon Q(x) on pidev partitsiooni mis tahes vahepealsel segmendil, siis võtab see suurima ja väikseim väärtus. Tähistame neid vastavalt M i ja m i .

Kui nendele suurimatele ja väiksematele lõikudele konstrueerime silindrid, mille generatriksid on paralleelsed x-teljega, siis on nende silindrite mahud vastavalt M i x i ja m i x i siin x i = x i - x i -1.

Olles teinud sellised konstruktsioonid vaheseina kõigi segmentide jaoks, saame silindrid, mille ruumala on vastavalt võrdne
Ja
.

Kuna partitsioonisamm  kipub olema null, on nendel summadel ühine piirmäär:

Seega saab keha mahu leida järgmise valemi abil:

Selle valemi puuduseks on see, et ruumala leidmiseks on vaja teada funktsiooni Q(x), mis on keeruliste kehade puhul väga problemaatiline.

Näide: Leidke raadiusega R sfääri ruumala.

IN ristlõiked kuul moodustab muutuva raadiusega y ringid. Sõltuvalt praegusest x koordinaadist väljendatakse seda raadiust valemiga
.

Siis on ristlõike pindala funktsioon järgmine: Q(x) =
.

Saame palli mahu:

Näide: Leidke suvalise püramiidi ruumala kõrgusega H ja aluse pindalaga S.

Kui püramiidi lõikuvad kõrgusega risti olevad tasapinnad, saame ristlõikes alusele sarnased kujundid. Nende arvude sarnasuskoefitsient on võrdne suhtega x/H, kus x on kaugus lõiketasandist püramiidi tipuni.

Geomeetriast on teada, et sarnaste kujundite pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendiga ruudus, s.o.

Siit saame ristlõikepindade funktsiooni:

Püramiidi ruumala leidmine:

18.5. Pöörlevate kehade maht.

Mõelge kõverale võrrandiga antud y = f(x). Oletame, et funktsioon f(x) on intervallil pidev. Kui see vastab sellele kumer trapetsümber Ox-telje pööratud alustega a ja b saame nn revolutsiooni keha.

y = f(x)

Sest iga keha lõigus tasapinnal x = const on raadiusega ring
, siis saab pöörleva keha ruumala hõlpsalt leida ülaltoodud valemi abil:

18.6. Pöördekeha pindala.

M i B

Definitsioon: Pöörlemispinna pindala kõver AB ümber etteantud telje on piir, milleni kalduvad kõverale AB kantud katkendjoonte pöörlemispindade pindalad, kui nende katkendjoonte lülide suurim pikkus kipub olema null.

Jagame kaare AB n osaks punktidega M 0, M 1, M 2, ..., M n. Saadud katkendjoone tippude koordinaatidel on koordinaadid x i ja y i . Katkendjoont ümber telje pöörates saame kärbikoonuste külgpindadest koosneva pinna, mille pindala on võrdne P i. Selle ala saab leida järgmise valemi abil:

Siin S i on iga akordi pikkus.

Rakendame Lagrange'i teoreemi (vt. Lagrange'i teoreem) suhtesse
.

Toome välja mõned kindla integraali rakendused.

Lameda kujundi pindala arvutamine

Kõvera trapetsi pindala, mis on piiratud kõveraga (kus
), sirge
,
ja segment
teljed
, arvutatakse valemiga

.

Kumeratega piiratud kujundi pindala
Ja
(Kus
) sirge
Ja
arvutatakse valemiga

.

Kui kõver on antud parameetriliste võrranditega
, siis kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud selle kõveraga sirgjoontega
,
ja segment
teljed
, arvutatakse valemiga

,

Kus Ja määratakse võrranditest
,
, A
juures
.

Kõverajoonelise sektori pindala, mis on piiratud kõveraga, mis on polaarkoordinaatides antud võrrandiga
ja kaks polaarraadiust
,
(
), leitakse valemiga

.

Näide 1.27. Arvutage parabooliga piiratud kujundi pindala
ja otse
(Joonis 1.1).

	Lahendus. Leiame sirge ja parabooli lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi , . Kus , . Siis on meil valemiga (1.6). .

Tasapinna kõvera kaare pikkuse arvutamine

Kui kõver
segmendil
- sile (st tuletis
pidev), siis leitakse selle kõvera vastava kaare pikkus valemiga

.

Kõvera määramisel parameetriliselt
(
- pidevalt diferentseeruvad funktsioonid) parameetri monotoonsele muutusele vastava kõvera kaare pikkus alates enne , arvutatakse valemiga

Näide 1.28. Arvutage kõvera kaare pikkus
,
,
.

Lahendus. Leiame tuletised parameetri suhtes :
,
. Seejärel saame valemist (1.7).

.

2. Mitme muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus

Olgu iga järjestatud numbripaar
mõnest piirkonnast
vastab teatud arvule
. Siis helistas kahe muutuja funktsioon Ja ,
-sõltumatud muutujad või argumendid ,
-määratlusvaldkond funktsioonid ja komplekt kõik funktsiooni väärtused - selle väärtuste vahemik ja tähistada
.

Geomeetriliselt esindab funktsiooni määratluspiirkond tavaliselt mingit osa tasapinnast
, mis on piiratud joontega, mis võivad sellesse piirkonda kuuluda või mitte.

Näide 2.1. Leidke määratluspiirkond
funktsioonid
.

Lahendus. See funktsioon on määratletud tasapinna nendes punktides , milles , või . Tasapinna punktid, mille jaoks , moodustavad piirkonna piiri . Võrrand defineerib parabooli (joonis 2.1; kuna parabool ei kuulu piirkonda , siis on see kujutatud punktiirjoonega). Lisaks on lihtne otse kontrollida, kas punktid mille eest , mis asub parabooli kohal. Piirkond on avatud ja seda saab määrata ebavõrdsuste süsteemi abil:

Kui muutuja anna veidi juurdekasvu
, A jäta konstantseks, siis funktsioon
saavad juurdekasvu
, kutsus funktsiooni privaatne juurdekasv muutuja järgi :

Samamoodi, kui muutuja saab juurdekasvu
, A jääb konstantseks, siis funktsioon
saavad juurdekasvu
, kutsus funktsiooni privaatne juurdekasv muutuja järgi :

Kui on piirangud:

,

,

neid kutsutakse funktsiooni osatuletised
muutujate järgi Ja vastavalt.

Märkus 2.1. Suvalise arvu sõltumatute muutujate funktsioonide osatuletised määratakse sarnaselt.

Märkus 2.2. Kuna osatuletis mis tahes muutuja suhtes on selle muutuja tuletis, eeldusel, et teised muutujad on konstantsed, on kõik ühe muutuja funktsioonide eristamise reeglid rakendatavad mis tahes arvu muutujate funktsioonide osatuletite leidmisel.

Näide 2.2.
.

Lahendus. Leiame:

,

.

Näide 2.3. Leia funktsioonide osatuletised
.

Lahendus. Leiame:

,

,

.

Funktsiooni täispikk
nimetatakse erinevuseks

Põhiosa täisfunktsiooni juurdekasvust
, sõltuvad lineaarselt sõltumatute muutujate juurdekasvust
Ja
,nimetatakse funktsiooni kogudiferentsiaaliks ja on määratud
. Kui funktsioonil on pidevad osatuletised, siis kogudiferentsiaal eksisteerib ja on võrdne

,

Kus
,
- sõltumatute muutujate suvalised juurdekasvud, mida nimetatakse nende diferentsiaalideks.

Samamoodi kolme muutuja funktsiooni jaoks
summaarne erinevus on antud

.

Laske funktsioonil
on punktis
esimest järku osatuletised kõigi muutujate suhtes. Siis kutsutakse vektorit gradient funktsioonid
punktis
ja on määratud
või
.

Märkus 2.3. Sümbol
nimetatakse Hamiltoni operaatoriks ja seda hääldatakse "nambla".

Näide 2.4. Leia funktsiooni gradient punktis
.

Lahendus. Leiame osatuletised:

,
,

ja arvutage nende väärtused punktis
:

,
,
.

Seega
.

Tuletis funktsioonid
punktis
vektori suunas
nimetatakse suhte piiriks
juures
:

, Kus
.

Kui funktsioon
on diferentseeruv, siis arvutatakse tuletis antud suunas valemiga:

,

Kus ,- nurgad, mis on vektor vormid telgedega
Ja
vastavalt.

Kolme muutuja funktsiooni puhul
suunatuletis on defineeritud sarnaselt. Vastav valem on

,

Kus
- vektori suunakoosinused .

Näide 2.5. Leia funktsiooni tuletis
punktis
vektori suunas
, Kus
.

Lahendus. Leiame vektori
ja selle suunakoosinused:

,
,
,
.

Arvutame punktis osatuletiste väärtused
:

,
,
;
,
,
.

Asendades (2.1), saame

.

Teist järku osatuletised nimetatakse osatuletisteks, mis on võetud esimest järku osatuletistest:

,

,

,

Osatuletised
,
kutsutakse segatud . Segatuletiste väärtused on võrdsed nendes punktides, kus need tuletised on pidevad.

Näide 2.6. Leia funktsiooni teist järku osatuletised
.

Lahendus. Arvutame esmalt esimest järku osatuletised:

,
.

Neid uuesti eristades saame:

,
,

,
.

Võrreldes viimaseid väljendeid, näeme seda
.

Näide 2.7. Tõesta, et funktsioon
rahuldab Laplace'i võrrandit

.

Lahendus. Leiame:

,
.

,
.

.

Punkt
helistas kohalik maksimumpunkt (miinimum ) funktsioonid
, kui kõigi punktide puhul
, erinev
ja kuulumine selle piisavalt väikesesse naabruskonda, ebavõrdsus

(
).

Funktsiooni maksimumi või miinimumi nimetatakse funktsiooniks äärmus . Nimetatakse punkti, kus saavutatakse funktsiooni ekstreemum funktsiooni äärmuspunkt .

Teoreem 2.1 (Ekstreemumiks vajalikud tingimused ). Kui punkt
on funktsiooni äärmuspunkt
, või vähemalt ühte neist tuletistest ei eksisteeri.

Nimetatakse punkte, mille jaoks need tingimused on täidetud paigal või kriitiline . Ekstreemumipunktid on alati paigal, kuid statsionaarne punkt ei pruugi olla äärmuspunkt. Et statsionaarne punkt oleks äärmuspunkt, peavad äärmuse jaoks olema täidetud piisavad tingimused.

Tutvustame esmalt järgmist tähistust :

,
,
,
.

Teoreem 2.2 (Ekstreemumiks piisavad tingimused ). Laske funktsioonil
kaks korda diferentseeruv punkti läheduses
ja periood
on funktsiooni jaoks paigal
. Seejärel:

1.Kui
, siis punkt
on funktsiooni ja äärmus
on maksimaalne punkt
(
)ja miinimumpunkt juures
(
).

2.Kui
, siis punktis

ekstreemsust pole olemas.

3.Kui
, siis ekstreemum võib eksisteerida või mitte.

Näide 2.8. Uurige ekstreemumi funktsiooni
.

Lahendus. Alates aastast sel juhul Esimest järku osatuletised on alati olemas, siis statsionaarsete (kriitiliste) punktide leidmiseks lahendame süsteemi:

,
,

kus
,
,
,
. Seega saime kaks statsionaarset punkti:
,
.

,
,
.

Punkti pärast
saame:, see tähendab, et selles punktis pole ekstreemumit. Punkti pärast
saame: ja
, järelikult

sel hetkel seda funktsiooni jõuab kohaliku miinimumini: .

Kindlat integraali (DI) kasutatakse laialdaselt matemaatika ja füüsika praktilistes rakendustes.

Eelkõige geomeetrias leitakse alad OR-de abil lihtsad kujundid ja komplekspinnad, pöörlemiskehade mahud ja suvalise kujuga kehad, kõverate pikkused tasapinnal ja ruumis.

Füüsikas ja teoreetiline mehaanika ROI-sid kasutatakse materjalikõverate ja pindade staatiliste momentide, masside ja massikeskmete arvutamiseks, muutuva jõu töö arvutamiseks kõveral teekonnal jne.

Lameda figuuri pindala

Laske mõni lame kujund Descartes'i keeles ristkülikukujuline süsteem koordinaadid $xOy$ on ülalt piiratud kõveraga $y=y_(1) \left(x\right)$, altpoolt kõveraga $y=y_(2) \left(x\right)$ ja vasakult ja paremale vertikaalsete sirgjoonte $ x=a$ ja $x=b$ järgi. IN üldine juhtum sellise kujundi pindala väljendatakse RO-ga $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x) \right)\right )\cdot dx $.

Kui mõni tasapinnaline kujund Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis $xOy$ on paremalt piiratud kõveraga $x=x_(1) \left(y\right)$, siis vasakult kõveraga $x=x_(2) \left(y\right) $ ning allpool ja ülal horisontaalsete sirgjoontega $y=c$ ja $y=d$, siis väljendatakse sellise kujundi pindala kasutades ROI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Olgu polaarkoordinaatide süsteemis vaadeldav lame kujund (kõverjooneline sektor) moodustatud pideva funktsiooni $\rho =\rho \left(\phi \right)$ ja kahe nurkade $ all mööduva kiire graafikuga \phi =\alpha $ ja $\phi =\beta $ vastavalt. Sellise kõverjoonelise sektori pindala arvutamise valem on: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

Kõvera kaare pikkus

Kui segmendis $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ kõver on antud võrrandiga $\rho =\rho \left(\phi \right)$ polaarkoordinaatide süsteemis, siis selle kaare pikkus arvutatakse VÕI $L=\int abil \limits _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\ phi $.

Kui segmendi $\left$ kõver on antud võrrandiga $y=y\left(x\right)$, siis arvutatakse selle kaare pikkus ROI $L=\int \limits _(a) abil ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Kui segmendis $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ kõver määratakse parameetriliselt, st $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, siis arvutatakse selle kaare pikkus ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Keha ruumala arvutamine paralleelsete lõikude pindaladest

Olgu vaja leida ruumikeha ruumala, mille punktikoordinaadid vastavad tingimustele $a\le x\le b$ ja mille ristlõikepinnad $S\left(x\right)$ $Ox$ telg on teada.

Sellise keha mahu arvutamise valem on $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Revolutsiooni keha maht

Olgu lõigul $\left$ antud mittenegatiivne pidev funktsioon $y=y\left(x\right)$, mis moodustab kõverjoonelise trapetsi (CrT). Kui seda KrT-d pöörata ümber $Ox$ telje, siis moodustub keha, mida nimetatakse pöördekehaks.

Pöördekeha ruumala arvutamine on keha ruumala arvutamise erijuhtum selle paralleelsete lõikude teadaolevatest aladest. Vastav valem on $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx $.

Olgu mõni tasapinnaline kujund Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis $xOy$ ülevalt piiratud kõveraga $y=y_(1) \left(x\right)$, altpoolt kõveraga $y=y_(2) \left (x\right)$ , kus $y_(1) \left(x\right)$ ja $y_(2) \left(x\right)$ ei ole negatiivsed pidevad funktsioonid, ning vasakul ja paremal vertikaalsete sirgjoonte $x=a$ ja $x=b$ järgi. Seejärel väljendatakse selle kujundi ümber $Ox$ telje pöörlemisel tekkinud keha ruumala RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ (2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Olgu mõni tasapinnaline kujund Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis $xOy$ paremalt piiratud kõveraga $x=x_(1) \left(y\right)$, vasakult kõveraga $x=x_(2) \left(y\right)$ , kus $x_(1) \left(y\right)$ ja $x_(2) \left(y\right)$ on mittenegatiivsed pidevad funktsioonid ning all ja ülal on horisontaalsed funktsioonid sirgjooned $y=c$ ja $y= d$ vastavalt. Seejärel väljendatakse selle kujundi ümber $Oy$ telje pöörlemisel tekkinud keha ruumala RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ (2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Pöörleva keha pindala

Olgu segmendil $\left$ antud mittenegatiivne funktsioon $y=y\left(x\right)$ pideva tuletisega $y"\left(x\right)$. See funktsioon moodustab CRT. seda CRT-d pööratakse ümber $Ox telje $, siis moodustab ta ise pöördekeha ja kaar KrT on selle pind. Sellise pöördekeha pindala väljendatakse valemiga $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Oletame, et kõver $x=\phi \left(y\right)$, kus $\phi \left(y\right)$ on segmendis $c\le y\le d määratletud mittenegatiivne funktsioon $, pööratakse ümber telje $Oy$. Sel juhul väljendatakse moodustunud pöördekeha pindala RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

ROI füüsilised rakendused

1. Ajal $t=T$ liikuma hakanud materjali punkti muutuva liikumiskiirusega $v=v\left(t\right)$ läbitud vahemaa arvutamiseks ajahetkel $t=t_(0)$ kasutage ROI $S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Muutuva jõu $F=F\left(x\right)$ töö arvutamiseks materiaalne punkt, liigub kaasa sirge tee piki $Ox$ telge punktist $x=a$ punktini $x=b$ (jõu suund langeb kokku liikumissuunaga) kasutage ROI $A=\int \limits _(a)^ (b)F\left(x \right)\cdot dx $.
3. Staatilised hetked suhtelised koordinaatteljed materjalikõver $y=y\left(x\right)$ intervallil $\left$ on väljendatud valemitega $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ vasak(x\parem)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ ja $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, kus selle kõvera lineaartihedust $\rho $ peetakse konstantseks.
4. Materjali kõvera massikeskpunkt on punkt, kuhu kogu selle mass on tinglikult kontsentreeritud nii, et punkti staatilised momendid koordinaattelgede suhtes on võrdsed kogu kõvera kui terviku vastavate staatiliste momentidega.

Tasapinna kõvera massikeskme koordinaatide arvutamise valemid on kujul $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ ja $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. Materjali staatilised hetked lame figuur kujul KpT koordinaattelgede suhtes väljendatakse valemitega $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\ right)\cdot dx $ ja $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. KrT-kujulise materjali tasapinnalise kujundi massikeskme koordinaadid, mis on moodustatud kõveraga $y=y\left(x\right)$ intervallil $\left$, arvutatakse valemite $x_( C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ ja $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x) \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.