Elementaarfunktsioonide rakendused, kui. Elementaarne funktsioon

1) Funktsiooni domeen ja funktsioonide vahemik.

Funktsiooni domeen on kõigi kehtivate kehtivate argumentide väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud. Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y, mille funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Funktsioon null on argumendi väärtus, mille juures funktsiooni väärtus võrdub nulliga.

3) Funktsiooni konstantse märgi intervallid.

Funktsiooni konstantse märgi intervallid on argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritu) funktsioon.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piirituks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist numbrit pole, on funktsioon piiramatu.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et mis tahes funktsiooni definitsioonipiirkonna x korral kehtib järgmine: f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

19. Põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud. Funktsioonide rakendamine majanduses.

Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused ja graafikud

1. Lineaarne funktsioon.

Lineaarne funktsioon nimetatakse funktsiooniks kujul , kus x on muutuja, a ja b on reaalarvud.

Number A mida nimetatakse sirge kaldeks, on see võrdne selle sirge kaldenurga puutujaga x-telje positiivse suuna suhtes. Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. See on määratletud kahe punktiga.

Lineaarse funktsiooni omadused

1. Definitsioonipiirkond – kõigi reaalarvude hulk: D(y)=R

2. Väärtuste hulk on kõigi reaalarvude hulk: E(y)=R

3. Funktsioon võtab nullväärtuse, kui või.

4. Funktsioon suureneb (väheneb) kogu määratluspiirkonna ulatuses.

5. Lineaarfunktsioon on pidev kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, diferentseeruv ja .

2. Ruutfunktsioon.

Vormi funktsiooni, kus x on muutuja, koefitsiendid a, b, c on reaalarvud, nimetatakse ruutkeskne

Põhilised elementaarfunktsioonid, nendele omased omadused ja vastavad graafikud on matemaatikateadmiste üks põhialuseid, mis on oma tähtsuselt sarnane korrutustabeliga. Elementaarfunktsioonid on kõigi teoreetiliste küsimuste uurimise aluseks, toeks.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Allolev artikkel pakub põhimaterjali põhiliste elementaarfunktsioonide teemal. Tutvustame termineid, anname neile definitsioone; Uurime üksikasjalikult igat tüüpi elementaarfunktsioone ja analüüsime nende omadusi.

Eristatakse järgmist tüüpi põhilisi elementaarfunktsioone:

Definitsioon 1

konstantne funktsioon (konstant);
n-s juur;
toitefunktsioon;
eksponentsiaalne funktsioon;
logaritmiline funktsioon;
trigonomeetrilised funktsioonid;
vennalikud trigonomeetrilised funktsioonid.

Konstantne funktsioon defineeritakse valemiga: y = C (C on teatud reaalarv) ja sellel on ka nimi: konstant. See funktsioon määrab sõltumatu muutuja x mis tahes reaalväärtuse vastavuse muutuja y samale väärtusele - C väärtusele.

Konstandi graafik on sirgjoon, mis on paralleelne abstsissteljega ja läbib punkti, mille koordinaadid (0, C). Selguse huvides esitame konstantsete funktsioonide y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 graafikud (joonisel on märgitud vastavalt musta, punase ja sinise värviga).

2. definitsioon

See elementaarfunktsioon on defineeritud valemiga y = x n (n on ühest suurem naturaalarv).

Vaatleme funktsiooni kahte varianti.

n-s juur, n – paarisarv

Selguse huvides näitame joonist, mis näitab selliste funktsioonide graafikuid: y = x, y = x 4 ja y = x8. Need funktsioonid on värvikoodiga: vastavalt must, punane ja sinine.

Paarisastmega funktsiooni graafikud on eksponendi teiste väärtuste puhul sarnased.

3. määratlus

N-nda juurfunktsiooni omadused, n on paarisarv

määratluspiirkond – kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk [ 0 , + ∞) ;
kui x = 0, funktsioon y = x n väärtus on võrdne nulliga;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see pole paaris ega paaritu);
vahemik: [ 0 , + ∞) ;
see paaritute juureksponentidega funktsioon y = x n kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
funktsioonil on kumerus ülespoole suunatud kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni graafik paaris n korral läbib punkte (0; 0) ja (1; 1).

n-s juur, n – paaritu arv

Selline funktsioon on defineeritud kogu reaalarvude hulga kohta. Selguse huvides vaadake funktsioonide graafikuid y = x 3, y = x 5 ja x 9 . Joonisel on need tähistatud värvidega: must, punane ja sinine on vastavalt kõverate värvid.

Funktsiooni y = x n juureksponenti teised paaritud väärtused annavad sarnast tüüpi graafiku.

4. määratlus

N-nda juurfunktsiooni omadused, n on paaritu arv

määratluspiirkond – kõigi reaalarvude hulk;
see funktsioon on paaritu;
väärtuste vahemik – kõigi reaalarvude hulk;
funktsioon y = x n paaritute juureksponentide korral suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
funktsioonil on intervallil nõgusus (- ∞ ; 0 ] ja kumerus intervallil [ 0 , + ∞);
käändepunktil on koordinaadid (0; 0);
asümptoote pole;
Funktsiooni graafik paaritu n korral läbib punkte (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ja (1 ; 1).

Toitefunktsioon

Definitsioon 5

Võimsusfunktsioon defineeritakse valemiga y = x a.

Graafikute välimus ja funktsiooni omadused sõltuvad eksponendi väärtusest.

kui astmefunktsioonil on täisarv astendaja a, siis astmefunktsiooni graafiku tüüp ja omadused sõltuvad sellest, kas astendaja on paaris või paaritu, samuti sellest, milline on astendaja märk. Vaatleme allpool kõiki neid erijuhtumeid üksikasjalikumalt;
eksponent võib olla murdosa või irratsionaalne – olenevalt sellest varieeruvad ka graafikute tüüp ja funktsiooni omadused. Erijuhtumeid analüüsime mitme tingimuse seadmisega: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
võimsusfunktsioonil võib olla nullastendaja, samuti analüüsime seda juhtumit allpool üksikasjalikumalt.

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paaritu positiivne arv, näiteks a = 1, 3, 5...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y = x (graafiline värv must), y = x 3 (graafiku sinine värv), y = x 5 (graafiku punane värv), y = x 7 (graafiline värv roheline). Kui a = 1, saame lineaarfunktsiooni y = x.

Definitsioon 6

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu positiivne

funktsioon kasvab x ∈ korral (- ∞ ; + ∞) ;
funktsioonil on kumerus x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja nõgusus x ∈ [ 0 ; + ∞) korral (v.a lineaarfunktsioon);
käändepunktil on koordinaadid (0 ; 0) (v.a lineaarfunktsioon);
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paarisarv, näiteks a = 2, 4, 6...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y = x 2 (graafiline värv must), y = x 4 (graafiku sinine värv), y = x 8 (graafiku punane värv). Kui a = 2, saame ruutfunktsiooni, mille graafik on ruutparabool.

Definitsioon 7

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on isegi positiivne:

määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
väheneb x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ jaoks (- ∞ ; + ∞) ;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on võimsusfunktsiooni graafikute näited y = x a, kui a on paaritu negatiivne arv: y = x - 9 (graafiline värv must); y = x - 5 (graafiku sinine värv); y = x - 3 (graafiku punane värv); y = x - 1 (graafiline värv roheline). Kui a = - 1, saame pöördproportsionaalsuse, mille graafik on hüperbool.

Definitsioon 8

Astmefunktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu negatiivne:

Kui x = 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kui a = - 1, - 3, - 5, …. Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

vahemik: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x);
funktsioon on kahanev x ∈ - ∞ korral; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funktsioonil on kumerus x ∈ (- ∞ ; 0) ja nõgusus x ∈ (0 ; + ∞) korral;
pöördepunktid puuduvad;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 1, - 3, - 5, . . . .

funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on näited astmefunktsiooni y = x a graafikutest, kui a on paarisarv: y = x - 8 (graafiline värv must); y = x - 4 (graafiku sinine värv); y = x - 2 (graafiku punane värv).

Definitsioon 9

Astmefunktsiooni omadused, kui eksponent on isegi negatiivne:

määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kui x = 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, … korral. Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

funktsioon on paaris, sest y(-x) = y(x);
funktsioon kasvab x ∈ (- ∞ ; 0) ja väheneb x ∈ 0 korral; + ∞ ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0, sest:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Pöörake algusest peale tähelepanu järgmisele aspektile: juhul, kui a on paaritu nimetajaga positiivne murd, võtavad mõned autorid selle astmefunktsiooni definitsioonipiirkonnaks intervalli - ∞; + ∞ , mis näeb ette, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu EI defineeri paljude algebrat ja analüüsipõhimõtteid käsitlevate õppeväljaannete autorid astmefunktsioone, kus eksponendiks on argumendi negatiivsete väärtuste paaritu nimetajaga murd. Edaspidi järgime täpselt seda seisukohta: võtame hulga [ 0 ; + ∞) . Soovitus õpilastele: eriarvamuste vältimiseks uurige õpetaja seisukohta selles küsimuses.

Niisiis, vaatame võimsusfunktsiooni y = x a , kui eksponendiks on ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et 0< a < 1 .

Illustreerime võimsusfunktsioone graafikutega y = x a, kui a = 11 12 (graafiline värv must); a = 5 7 (graafiku punane värv); a = 1 3 (graafiku sinine värv); a = 2 5 (graafiku roheline värv).

Eksponendi a muud väärtused (kui 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definitsioon 10

Võimsusfunktsiooni omadused 0 juures< a < 1:

vahemik: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funktsioon on kumer x ∈ (0 ; + ∞) korral;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui eksponendiks on mittetäisarvuline ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et a > 1.

Illustreerime graafikutega võimsusfunktsiooni y = x a antud tingimustel, kasutades näitena järgmisi funktsioone: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (graafikute must, punane, sinine, roheline, vastavalt).

Eksponendi a muud väärtused, kui a > 1, annavad sarnase graafiku.

Definitsioon 11

Võimsusfunktsiooni omadused > 1 korral:

määratluspiirkond: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
vahemik: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ (0 ; + ∞) jaoks (kui 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni läbimispunktid: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Pange tähele!Kui a on paaritu nimetajaga negatiivne murd, on mõne autori töödes arvamus, et definitsioonipiirkond on sel juhul intervall - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) hoiatusega, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu EI MÄÄRATA algebrat ja analüüsipõhimõtteid käsitlevate õppematerjalide autorid argumendi negatiivsete väärtuste jaoks astmefunktsioone astendajaga murdosa kujul, millel on paaritu nimetaja. Lisaks järgime täpselt seda seisukohta: me võtame hulga (0 ; + ∞) murdosa negatiivsete eksponentide astmefunktsioonide definitsioonipiirkonnaks. Soovitus õpilastele: lahkarvamuste vältimiseks täpsustage siinkohal oma õpetaja nägemust.

Jätkame teemat ja analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a tingimusel: - 1< a < 0 .

Toome välja järgmiste funktsioonide graafikud: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (must, punane, sinine, roheline värv vastavalt jooned).

Definitsioon 12

Võimsusfunktsiooni omadused – 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kui - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vahemik: y ∈ 0 ; + ∞ ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
pöördepunktid puuduvad;

Alloleval joonisel on kujutatud astmefunktsioonide y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 graafikud (vastavalt must, punane, sinine, kõverate roheline värv).

Definitsioon 13

Võimsusfunktsiooni omadused a jaoks< - 1:

määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kui a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
funktsioon on kahanev x ∈ 0 korral; + ∞ ;
funktsioonil on nõgusus x ∈ 0 korral; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0;
funktsiooni läbimise punkt: (1; 1) .

Kui a = 0 ja x ≠ 0, saame funktsiooni y = x 0 = 1, mis defineerib sirge, millest punkt (0; 1) välja jäetakse (lepiti kokku, et avaldisele 0 0 ei anta mingit tähendust ).

Eksponentfunktsioonil on vorm y = a x, kus a > 0 ja a ≠ 1 ning selle funktsiooni graafik näeb aluse a väärtuse põhjal välja erinev. Vaatleme erijuhtumeid.

Kõigepealt vaatame olukorda kui eksponentsiaalfunktsiooni baasil on väärtus nullist üheni (0< a < 1) . Hea näide on funktsioonide graafikud a = 1 2 (kõvera sinine värv) ja a = 5 6 (kõvera punane värv) jaoks.

Eksponentfunktsiooni graafikud näevad tingimusel 0 sarnast välja ka teiste baasväärtuste puhul< a < 1 .

Definitsioon 14

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
eksponentsiaalfunktsioon, mille baas on väiksem kui üks, väheneb kogu määratluspiirkonna ulatuses;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0 muutujaga x kaldub + ∞;

Vaatleme nüüd juhtumit, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus on suurem kui üks (a > 1).

Illustreerime seda erijuhtumit eksponentsiaalfunktsioonide y = 3 2 x (kõvera sinine värv) ja y = e x (graafiku punane värv) graafikuga.

Teised aluse väärtused, suuremad ühikud, annavad eksponentsiaalfunktsiooni graafikule sarnase välimuse.

Definitsioon 15

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

määratluspiirkond – reaalarvude kogum;
vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
eksponentsiaalfunktsioon, mille baas on suurem kui üks, kasvab kui x ∈ - ∞; + ∞ ;
funktsioonil on x ∈ - ∞ nõgusus; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
horisontaalne asümptoot – sirge y = 0 muutujaga x kaldub - ∞;
funktsiooni läbimise punkt: (0; 1) .

Logaritmiline funktsioon on kujul y = log a (x), kus a > 0, a ≠ 1.

Selline funktsioon on defineeritud ainult argumendi positiivsete väärtuste jaoks: x ∈ 0 korral; + ∞ .

Logaritmilise funktsiooni graafik on aluse a väärtuse alusel teistsuguse välimusega.

Vaatleme esmalt olukorda, kui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Muud aluse väärtused, mitte suuremad ühikud, annavad sarnast tüüpi graafiku.

Definitsioon 16

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused +∞;
väärtuste vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
logaritmiline
funktsioonil on nõgusus x ∈ 0 korral; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;

Vaatame nüüd erijuhtu, kui logaritmilise funktsiooni baas on suurem kui üks: a > 1 . Alloleval joonisel on kujutatud logaritmiliste funktsioonide y = log 3 2 x ja y = ln x graafikud (vastavalt graafikute sinine ja punane värv).

Teised aluse väärtused, mis on suuremad kui üks, annavad sarnast tüüpi graafiku.

Definitsioon 17

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, siis funktsiooni väärtused kipuvad olema - ∞ ;
väärtuste vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ (kogu reaalarvude hulk);
see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
logaritmiline funktsioon kasvab x ∈ 0 korral; + ∞ ;
funktsioon on kumer x ∈ 0 korral; + ∞ ;
pöördepunktid puuduvad;
asümptoote pole;
funktsiooni läbimise punkt: (1; 0) .

Trigonomeetrilised funktsioonid on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Vaatame nende igaühe omadusi ja vastavat graafikat.

Üldiselt iseloomustab kõiki trigonomeetrilisi funktsioone perioodilisuse omadus, s.t. kui funktsioonide väärtusi korratakse argumendi erinevate väärtuste jaoks, mis erinevad üksteisest perioodi f (x + T) = f (x) võrra (T on periood). Seega lisatakse trigonomeetriliste funktsioonide omaduste loendisse üksus “väikseim positiivne periood”. Lisaks näitame argumendi väärtused, mille juures vastav funktsioon muutub nulliks.

Siinusfunktsioon: y = sin(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse siinuslaineks.

Definitsioon 18

Siinuse funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: kogu reaalarvude hulk x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funktsioon kaob, kui x = π · k, kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
funktsioon kasvab x ∈ - π 2 + 2 π · k korral; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ja kahanevalt x ∈ π 2 + 2 π · k korral; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
siinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides π 2 + 2 π · k; 1 ja kohalikud miinimumid punktides - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
siinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ja kumer, kui x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
asümptoote pole.

Koosinusfunktsioon: y = cos(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse koosinuslaineks.

Definitsioon 19

Koosinusfunktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
väikseim positiivne periood: T = 2 π;
väärtuste vahemik: y ∈ - 1 ; 1 ;
see funktsioon on paaris, kuna y (- x) = y (x);
funktsioon kasvab x ∈ - π + 2 π · k korral; 2 π · k, k ∈ Z ja kahanevalt x ∈ 2 π · k korral; π + 2 π k, k ∈ Z;
koosinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides 2 π · k ; 1, k ∈ Z ja lokaalsed miinimumid punktides π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
koosinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ja kumer kui x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
asümptoote pole.

Tangensi funktsioon: y = t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse puutuja.

Definitsioon 20

Tangensi funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
Puutujafunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ piiril . Seega sirgjooned x = π 2 + π · k k ∈ Z on vertikaalsed asümptoodid;
funktsioon kaob, kui x = π · k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
väärtuste vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
funktsioon kasvab kui - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
puutujafunktsioon on nõgus x ∈ [π · k korral; π 2 + π · k) , k ∈ Z ja kumer x ∈ jaoks (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
käändepunktidel on koordinaadid π · k ; 0, k ∈ Z;

Kotangentne funktsioon: y = c t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse kotangentoidiks. .

Definitsioon 21

Kootangensfunktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);

Kootangensfunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ piiril, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Seega sirged x = π · k k ∈ Z on vertikaalsed asümptoodid;

väikseim positiivne periood: T = π;
funktsioon kaob, kui x = π 2 + π · k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
väärtuste vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
funktsioon on kahanev x ∈ π · k korral; π + π k, k ∈ Z;
kotangensfunktsioon on x ∈ korral nõgus (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ja kumer x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z korral;
käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Puuduvad kaldus või horisontaalsed asümptootid.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on arcsinus, arkosiinus, arktangent ja arkotangens. Sageli nimetatakse eesliite "kaar" olemasolu tõttu nimes trigonomeetrilisi pöördfunktsioone kaarefunktsioonideks. .

Kaarsiinuse funktsioon: y = a r c sin (x)

Definitsioon 22

Arsiinuse funktsiooni omadused:

see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
arcsinusfunktsioonil on x ∈ 0 korral nõgusus; 1 ja kumerus x ∈ - 1 korral; 0 ;
käändepunktidel on koordinaadid (0; 0), mis on ühtlasi funktsiooni null;
asümptoote pole.

Kaarkoosinuse funktsioon: y = a r c cos (x)

Definitsioon 23

Kaarkoosinusfunktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - 1 ; 1 ;
vahemik: y ∈ 0 ; π;
see funktsioon on üldkujuline (ei paaris ega paaritu);
funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
kaarekoosinusfunktsioonil on x ∈ - 1 nõgusus; 0 ja kumerus x ∈ 0 korral; 1 ;
käändepunktide koordinaadid on 0; π2;
asümptoote pole.

Kaartangensi funktsioon: y = a r c t g (x)

Definitsioon 24

Arktangensi funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
väärtuste vahemik: y ∈ - π 2 ; π2;
see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
arktangensfunktsioonil on x ∈ jaoks nõgusus (- ∞ ; 0 ] ja kumerus x ∈ [ 0 ; + ∞ );
käändepunktil on koordinaadid (0; 0), mis on ühtlasi funktsiooni null;
horisontaalsed asümptoodid on sirged y = - π 2 kui x → - ∞ ja y = π 2 kui x → + ∞ (joonisel on asümptoodid rohelised jooned).

Kaartangensi funktsioon: y = a r c c t g (x)

Definitsioon 25

Arkotangensi funktsiooni omadused:

määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
vahemik: y ∈ (0; π) ;
see funktsioon on üldkujul;
funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
kaare kotangensi funktsioonil on nõgusus x ∈ [ 0 ; + ∞) ja kumerus x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
käändepunkti koordinaadid on 0; π2;
horisontaalsed asümptoodid on sirged y = π punktis x → - ∞ (joonisel roheline joon) ja y = 0 punktis x → + ∞.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Põhiliste elementaarfunktsioonide täielik loetelu

Põhiliste elementaarfunktsioonide klass sisaldab järgmist:

Konstantfunktsioon $y=C$, kus $C$ on konstant. Selline funktsioon võtab iga $x$ jaoks sama väärtuse $C$.
Positiivne funktsioon $y=x^(a) $, kus astendaja $a$ on reaalarv.
Eksponentfunktsioon $y=a^(x) $, kus alus on aste $a>0$, $a\ne 1$.
Logaritmiline funktsioon $y=\log _(a) x$, kus logaritmi alus on $a>0$, $a\ne 1$.
Trigonomeetrilised funktsioonid $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek\,x$.
Pöördfunktsioonid trigonomeetrilised funktsioonid $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Toitefunktsioonid

Vaatleme astmefunktsiooni $y=x^(a) $ käitumist nendel lihtsamatel juhtudel, kui selle astendaja määrab täisarvu astenduse ja juure ekstraheerimise.

Juhtum 1

Funktsiooni $y=x^(a) $ eksponendiks on naturaalarv, st $y=x^(n) $, $n\in N$.

Kui $n=2\cdot k$ on paarisarv, siis funktsioon $y=x^(2\cdot k) $ on paaris ja suureneb lõputult nii, nagu oleks argument $\left(x\to +\infty \ right )$ ja selle piiramatu vähenemisega $\left(x\to -\infty \right)$. Funktsiooni sellist käitumist saab kirjeldada avaldistega $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ ja $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, mis tähendab, et funktsioon mõlemal juhul suureneb piiranguteta ($\lim $ on piir). Näide: funktsiooni $y=x^(2) $ graafik.

Kui $n=2\cdot k-1$ on paaritu arv, siis funktsioon $y=x^(2\cdot k-1) $ on paaritu, suureneb lõputult argumendi suurenemisel ja väheneb lõputult argumendina väheneb lõputult. Seda funktsiooni käitumist saab kirjeldada avaldistega $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ ja $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Näide: funktsiooni $y=x^(3) $ graafik.

Juhtum 2

Funktsiooni $y=x^(a) $ eksponendiks on negatiivne täisarv, st $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Kui $n=2\cdot k$ on paarisarv, siis funktsioon $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ on paaris ja läheneb asümptootiliselt (järk-järgult) nullile nagu piiramatu suurenemise argumendi puhul , ja selle piiramatu vähenemisega. Seda funktsiooni käitumist saab kirjeldada ühe avaldisega $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, mis tähendab, et argumendi piiramatu suurenemisega absoluutväärtuses on funktsiooni piirväärtus null. Lisaks, kuna argument kipub nullima nii vasakul $\left(x\to 0-0\right)$ kui ka paremal $\left(x\to 0+0\right)$, suureneb funktsioon ilma piiri. Seetõttu on avaldised $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ ja $\mathop(\lim )\ piirid_ kehtivad (x\kuni 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, mis tähendab, et funktsioon $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ on mõlemal juhul lõpmatu limiit, mis võrdub $+\infty $. Näide: funktsiooni $y=\frac(1)(x^(2) ) $ graafik.

Kui $n=2\cdot k-1$ on paaritu arv, siis funktsioon $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ on paaritu ja läheneb asümptootiliselt nullile, justkui mõlemad, kui argument suureneb ja kui see väheneb piiramatult. Seda funktsiooni käitumist saab kirjeldada ühe avaldisega $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Lisaks, kui argument läheneb vasakul nullile, väheneb funktsioon piiranguteta ja kui argument läheneb nullile paremal, suureneb funktsioon piiranguteta, st $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ ja $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Näide: funktsiooni $y=\frac(1)(x) $ graafik.

Juhtum 3

Funktsiooni $y=x^(a) $ eksponent on naturaalarvu pöördväärtus, st $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Kui $n=2\cdot k$ on paarisarv, siis funktsioon $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ on kahe väärtusega ja on defineeritud ainult $x\ge 0 jaoks $. Argumendi piiramatu suurendamise korral suureneb funktsiooni $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ väärtus piiramatult ja funktsiooni $y=-\sqrt[(2\) cdot k)](x) $ väheneb piiramatult, st $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ ja $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Näide: funktsiooni $y=\pm \sqrt(x) $ graafik.

Kui $n=2\cdot k-1$ on paaritu arv, siis funktsioon $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ on paaritu, suureneb piiramatult argumendi piiramatu suurenemisega ja väheneb piiramatult, kui see on piiramatu, siis see väheneb, st $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ ja $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Näide: funktsiooni $y=\sqrt[(3)](x) $ graafik.

Eksponent- ja logaritmfunktsioonid

Eksponentfunktsioonid $y=a^(x) $ ja logaritmilised $y=\log _(a) x$ on vastastikku pöördvõrdelised. Nende graafikud on sümmeetrilised esimese ja kolmanda koordinaatnurga ühise poolitaja suhtes.

Kuna argument $\left(x\to +\infty \right)$ suureneb lõputult, siis eksponentsiaalne funktsioon või $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ suureneb lõputult, kui $a>1$ või asümptootiliselt läheneb nullile $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, kui $a1$ või $\mathop suureneb piiranguteta (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, kui $a

Funktsiooni $y=a^(x) $ iseloomulik väärtus on väärtus $x=0$. Sel juhul ristuvad kõik eksponentsiaalsed funktsioonid, sõltumata väärtusest $a$, tingimata $Oy$ teljega punktis $y=1$. Näited: funktsioonide $y=2^(x) $ ja $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $ graafikud.

Logaritmiline funktsioon $y=\log _(a) x$ on defineeritud ainult $x > 0$ korral.

Kuna argument $\left(x\to +\infty \right)$ suureneb lõputult, siis logaritmiline funktsioon või $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ suureneb määramatult infty $, kui $a>1$ või väheneb piiramatult $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, kui $a1 $ või ilma piiranguta $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ suureneb, kui $a

Funktsiooni $y=\log _(a) x$ iseloomulik väärtus on väärtus $y=0$. Sel juhul lõikuvad kõik logaritmilised funktsioonid, olenemata väärtusest $a$, tingimata $Ox$ teljega punktis $x=1$. Näited: funktsioonide $y=\log _(2) x$ ja $y=\log _(1/2) x$ graafikud.

Mõnel logaritmilisel funktsioonil on spetsiaalne tähistus. Täpsemalt, kui logaritmi baas on $a=10$, siis nimetatakse sellist logaritmi kümnendarvuks ja vastav funktsioon kirjutatakse $y=\lg x$. Ja kui logaritmi aluseks on valitud irratsionaalne arv $e=2,7182818\ldots $, siis nimetatakse sellist logaritmi loomulikuks ja vastav funktsioon kirjutatakse $y=\ln x$. Selle pöördväärtus on funktsioon $y=e^(x) $, mida nimetatakse eksponendiks.

Jaotis sisaldab viitematerjali peamiste elementaarfunktsioonide ja nende omaduste kohta. Antakse elementaarfunktsioonide klassifikatsioon. Allpool on lingid alajaotistele, mis käsitlevad konkreetsete funktsioonide omadusi – graafikud, valemid, tuletised, antiderivaadid (integraalid), seeria laiendused, avaldised komplekssete muutujate kaudu.

Sisu

Põhifunktsioonide viiteleheküljed

Elementaarfunktsioonide klassifikatsioon

Algebraline funktsioon on funktsioon, mis rahuldab võrrandit:
,
kus on polünoom sõltuvas muutujas y ja sõltumatus muutujas x. Selle võib kirjutada järgmiselt:
,
kus on polünoomid.

Algebralised funktsioonid jagunevad polünoomideks (terviklikud ratsionaalfunktsioonid), ratsionaalfunktsioonideks ja irratsionaalfunktsioonideks.

Kogu ratsionaalne funktsioon, mida nimetatakse ka polünoom või polünoom, saadakse muutujast x ja lõplikust arvudest, kasutades liitmise (lahutamise) ja korrutamise aritmeetilisi tehteid. Pärast sulgude avamist taandatakse polünoom kanooniliseks vormiks:
.

Murdratsionaalfunktsioon või lihtsalt ratsionaalne funktsioon, saadakse muutujast x ja lõplikust arvudest, kasutades liitmise (lahutamise), korrutamise ja jagamise aritmeetilisi tehteid. Ratsionaalfunktsiooni saab taandada vormile
,
kus ja on polünoomid.

Irratsionaalne funktsioon on algebraline funktsioon, mis ei ole ratsionaalne. Reeglina mõistetakse irratsionaalse funktsiooni all juuri ja nende ratsionaalsete funktsioonidega kompositsioone. N-astme juur on defineeritud kui võrrandi lahendus
.
See on tähistatud järgmiselt:
.

Transtsendentaalsed funktsioonid nimetatakse mittealgebralisteks funktsioonideks. Need on eksponentsiaalsed, trigonomeetrilised, hüperboolsed ja nende pöördfunktsioonid.

Põhiliste elementaarfunktsioonide ülevaade

Kõiki elementaarfunktsioone saab esitada lõpliku arvu liitmis-, lahutamis-, korrutamis- ja jagamisoperatsioonidena, mis tehakse vormi avaldisega:
z t .
Pöördfunktsioone saab väljendada ka logaritmides. Põhilised elementaarsed funktsioonid on loetletud allpool.

Toitefunktsioon:
y(x) = x p ,
kus p on eksponent. See sõltub astme x alusest.
Võimsusfunktsiooni pöördväärtus on ka võimsusfunktsioon:
.
Astendaja p täisarvulise mittenegatiivse väärtuse korral on see polünoom. Täisarvu p - ratsionaalne funktsioon. Ratsionaalse tähendusega – irratsionaalne funktsioon.

Transtsendentaalsed funktsioonid

Eksponentfunktsioon:
y(x) = a x ,
kus a on astme alus. See sõltub eksponendist x.
Pöördfunktsioon on a aluse logaritm:
x = logi a y.

Eksponent, e astmele x:
y(x) = e x,
See on eksponentsiaalne funktsioon, mille tuletis on võrdne funktsiooni endaga:
.
Eksponenti aluseks on arv e:
≈ 2,718281828459045... .
Pöördfunktsioon on naturaallogaritm - arvu e aluse logaritm:
x = ln y ≡ log e y.

Trigonomeetrilised funktsioonid:
Siinus: ;
Koosinus: ;
Tangent: ;
Kotangent: ;
Siin on i imaginaarne ühik, i 2 = -1.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid:
Arksiin: x = arcsin y, ;
Kaarkoosinus: x = arccos y, ;
Arktangent: x = arctan y, ;
Kaartangens: x = arcctg y, .