Võrrandil on lõpmatu arv lahendeid, kui. Kolm juhtumit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel

1. Lineaarvõrrandisüsteemid parameetriga

Parameetriga lineaarvõrrandisüsteeme lahendatakse samade põhimeetoditega nagu tavalisi võrrandisüsteeme: asendusmeetod, võrrandite liitmise meetod ja graafiline meetod. Lineaarsüsteemide graafilise tõlgendamise tundmine võimaldab hõlpsalt vastata küsimusele juurte arvu ja olemasolu kohta.

Näide 1.

Leidke kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil pole lahendusi.

(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.

Lahendus.

Vaatame selle ülesande lahendamiseks mitmeid viise.

1 viis. Kasutame omadust: süsteemil pole lahendusi, kui x ees olevate koefitsientide suhe on võrdne y ees olevate koefitsientide suhtega, kuid mitte võrdne vabade liikmete suhtega (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Siis on meil:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 või süsteem

(ja 2–3 = 1,
(a ≠ 2.

Esimesest võrrandist a 2 = 4, seega, võttes arvesse tingimust, et a ≠ 2, saame vastuse.

Vastus: a = -2.

2. meetod. Lahendame asendusmeetodil.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2–3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Pärast ühise teguri y väljavõtmist esimeses võrrandis sulgudest, saame:

((a 2–4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Süsteemil pole lahendeid, kui esimesel võrrandil pole lahendeid, see tähendab

(ja 2–4 ​​= 0,
(a – 2 ≠ 0.

Ilmselgelt a = ±2, kuid teist tingimust arvesse võttes tuleb vastuseks vaid miinusvastus.

Vastus: a = -2.

Näide 2.

Leidke kõik parameetri a väärtused, mille võrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendusi.

(8x + ay = 2,
(kirves + 2a = 1.

Lahendus.

Omaduse järgi, kui x ja y kordajate suhe on sama ja võrdub süsteemi vabade liikmete suhtega, siis on sellel lõpmatu arv lahendeid (st a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Seetõttu 8/a = a/2 = 2/1. Lahendades kõik saadud võrrandid, leiame, et selle näite vastus on a = 4.

Vastus: a = 4.

2. Ratsionaalvõrrandisüsteemid parameetriga

Näide 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Lahendus.

Korrutame süsteemi esimese võrrandi 2-ga:

(6|x| + 2a = 4,
(|x| + 2y = a.

Lahutades esimesest teise võrrandi, saame 5|x| = 4 – a. Sellel võrrandil on a = 4 jaoks ainulaadne lahendus. Muudel juhtudel on sellel võrrandil kaks lahendit (a< 4) или ни одного (при а > 4).

Vastus: a = 4.

Näide 4.

Leidke kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Lahendus.

Lahendame selle süsteemi graafilise meetodi abil. Seega on süsteemi teise võrrandi graafik parabool, mis on tõstetud piki Oy telge ühe ühikulõigu võrra ülespoole. Esimene võrrand määrab sirgega y = -x paralleelsete sirgete hulga (pilt 1). Jooniselt on selgelt näha, et süsteemil on lahendus, kui sirge y = -x + a puutub parabooliga punktis koordinaatidega (-0,5, 1,25). Asendades need koordinaadid sirgjoone võrrandisse x ja y asemel, leiame parameetri a väärtuse:

1,25 = 0,5 + a;

Vastus: a = 0,75.

Näide 5.

Asendusmeetodi abil saate teada, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Lahendus.

Esimesest võrrandist väljendame y ja asendame selle teisega:

(y = ax – a – 1,
(kirves + (a + 2) (kirves – a – 1) = 2.

Tahandame teise võrrandi kujule kx = b, millel on kordumatu lahendus k ≠ 0 jaoks.

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Esitame ruutkolminoomi a 2 + 3a + 2 sulgude korrutisena

(a + 2) (a + 1) ja vasakul võtame sulgudest välja x:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Ilmselgelt ei tohiks 2 + 3a olla võrdne nulliga, seega

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, mis tähendab a ≠ 0 ja ≠ -3.

Vastus: a ≠ 0; ≠ -3.

Näide 6.

Määrake graafilise lahendusmeetodi abil, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Lahendus.

Tingimusest lähtuvalt konstrueerime ringi, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius on 3 ühikulist lõiku, mis on määratud süsteemi esimese võrrandiga

x 2 + y 2 = 9. Süsteemi teine ​​võrrand (y = |x| + a) on katkendlik joon. Kasutades joonis 2 Vaatleme kõiki võimalikke juhtumeid selle asukoha kohta ringi suhtes. On lihtne näha, et a = 3.

Vastus: a = 3.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas võrrandisüsteeme lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

millal on võrrandisüsteemil mitu lahendit? ja sain parima vastuse

CBETAET[guru] vastus
1) kui süsteemis on rohkem tundmatuid kui võrrandeid
2) kui süsteemi üht võrrandit saab taandada teiseks, kasutades tehteid +, -*, /, ilma 0-ga jagamata ja korrutamata.
3) kui süsteemis on 2 või enam identset võrrandit (see on punkti 2 erijuhtum).
4) kui süsteemis on pärast mõningaid teisendusi ebakindlus.
näiteks x + y = x + y, st 0=0.
Edu!
p.s. ära unusta tänamast öelda... see on nii tore asi =))
RS-232
Guru
(4061)
Siin aitab ainult lineaarvõrrandisüsteemi maatriksi auaste.

Vastus alates Anonüümne[asjatundja]
Kas saate olla täpsem?

Vastus alates Vladimir[algaja]
Kui SL-koefitsientide maatriksi aste on väiksem kui tundmatute arv.

Vastus alates Külaline minevikust[guru]
Kui räägime kahe tundmatuga võrrandisüsteemist, siis vaata joonist.

Vastus alates RS-232[guru]
Kui lineaarvõrrandisüsteemi maatriksi aste on väiksem kui muutujate arv.

Vastus alates Kasutaja kustutatud[guru]

Vastus alates Artem Kurguzov[algaja]
Konsistentne lineaarvõrrandisüsteem on määramatu, st sellel on palju lahendeid, kui järjekindla süsteemi järk on väiksem kui tundmatute arv.
Süsteemi ühilduvuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et selle süsteemi maatriksi auaste oleks võrdne selle laiendatud maatriksi auastmega. (Kroneckeri-Capelli teoreem)

Vastus alates 2 vastust[guru]

Tere! Siin on valik teemasid vastusega teie küsimusele: millal on võrrandisüsteemil palju lahendusi?

Tehke kindlaks, kas lineaarvõrrandisüsteem on järjepidev Kroneckeri-Capelli teoreemid võib sageli olla kiirem kui Gaussi meetod, kus tundmatuid tuleb kõrvaldada järjestikku. See teoreem põhineb maatriksi astme kasutamisel.

Kroneckeri-Capelli teoreem süsteemi ühilduvuse kohta. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui selle süsteemi maatriksi aste on võrdne selle laiendatud maatriksi astmega, see tähendab, et.

Nende maatriksite auastmed on seotud ebavõrdsusega ja maatriksi auastmega IN võib olla ainult ühe ühiku võrra suurem kui maatriksi auaste A.

Kroneckeri-Capelli teoreemi järeldus lahenduste arvu kohta. Laske süsteemi jaoks m lineaarvõrrandid n tundmatud vastavad ühilduvustingimusele, see tähendab, et süsteemi koefitsientide maatriksi aste on võrdne selle laiendatud maatriksi auastmega. Siis on järgnev tõsi.

Kui lineaarvõrrandisüsteemi maatriksi aste on võrdne võrrandite arvuga, see tähendab, et süsteem on järjekindel mis tahes vabaliikmete jaoks. Sel juhul on laiendatud maatriksi auaste samuti võrdne m, kuna maatriksi auaste ei saa olla suurem kui selle ridade arv.

Kroneckeri-Capelli teoreemi tõestamise käigus saadi süsteemi (selle ühilduvuse korral) lahendite eksplitsiitsed valemid. Kui on juba teada, et süsteem on järjepidev, siis selle lahenduste leidmiseks on vaja:

1) leida süsteemimaatriksist A auaste, mis erineb nullist väiksemat järku, mis võrdub süsteemimaatriksi auastmega, st auastmega r;

2) jäta kõrvale need võrrandid, mis vastavad maatriksi ridadele A, ei kuulu alaea hulka;

3) kandke paremale poole koefitsientidega terminid ja seejärel, andes paremal pool olevatele tundmatutele suvalised väärtused, määrake ülejäänud Crameri valemite abil r süsteemist tundmatu r võrrandid nullist erineva determinandiga.

Näide 1.

Lahendus. Arvutame selle süsteemi maatriksi auastme ja laiendatud maatriksi auastme. Mõlemal juhul on see võrdne 3-ga. Seetõttu on lineaarvõrrandisüsteem järjepidev. Kuna süsteemimaatriksi aste on väiksem kui tundmatute arv, on süsteemil lõpmatult palju lahendusi: ühe tundmatu võib võtta meelevaldselt. Alaealine

erineb nullist, seega jätame viimase võrrandi kõrvale ja anname tundmatule suvalise väärtuse.

Ülejäänud tundmatud määratakse süsteemi järgi

Lahendades viimase süsteemi Crameri valemite abil või muul viisil, leiame

.

Lisades siia, saame selle lineaarvõrrandisüsteemi kõik lahendid.

Näide 2. Järgides Kroneckeri-Capelli teoreemi, määrake, kas võrrandisüsteem on järjepidev

Kui süsteem on järjepidev, siis lahendage see.

Lineaaralgebra võrrandite (SLAE) süsteemide lahendamine on kahtlemata kõige olulisem teema lineaaralgebra kursusel. Suur hulk matemaatika kõigist harudest pärit ülesandeid taandub lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisele. Need tegurid selgitavad selle artikli põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, kaaludes tüüpiliste näidete ja probleemide üksikasjalikke lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks ja kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise meetod). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel liigume edasi lineaarsete algebraliste üldkujuliste võrrandite süsteemide lahendamise juurde, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või süsteemi põhimaatriks on singulaarne. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide (kui need on ühilduvad) lahendust kasutades maatriksi alusmolli mõistet. Vaatleme ka Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Kindlasti peatume ka lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja fundamentaallahenduste süsteemi mõiste ja näitame, kuidas SLAE üldlahend kirjutatakse, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks käsitleme võrrandisüsteeme, mida saab taandada lineaarseteks, aga ka erinevaid probleeme, mille lahendamisel SLAE-d tekivad.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabad liikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE salvestamise vormi nimetatakse koordineerida.

IN maatriksvorm selle võrrandisüsteemi kirjutamisel on vorm,
Kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate veerumaatriks, - vabade terminite veerumaatriks.

Kui maatriksile A lisada (n+1) veeruks vabade terminite maatriks-veerg, saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse laiendatud maatriksit tähega T ja vabade terminite veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Tundmatute muutujate antud väärtuste maatriksvõrrandist saab samuti identiteet.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda mitteliigeste.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis – ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendamine.

Kui süsteemi võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis nimetatakse selliseid SLAE-sid. elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Selliseid SLAEsid hakkasime õppima keskkoolis. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Oletame, et peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv võrdub tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja - maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Selle tähise korral arvutatakse tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodi valemeid as . Nii leitakse Crameri meetodi abil lahendus lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutame selle determinandi (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostame ja arvutame välja vajalikud determinandid (determinandi saame, kui asendame maatriksi A esimese veeru vabade liikmete veeruga, determinandi, asendades teise veeru vabade liikmete veeruga ja maatriksi A kolmanda veeru asendades vabade liikmete veeruga) :

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui võrrandite arv süsteemis on suurem kui kolm.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul, kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna Maatriks A on inverteeritav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada võrdsuse mõlemad pooled vasakpoolsega, saame valemi tundmatute muutujate maatriks-veeru leidmiseks. Nii saime maatriksmeetodil lahenduse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodi abil. Kasutades pöördmaatriksit, võib selle süsteemi lahenduse leida järgmiselt .

Koostame maatriksi A elementide algebralistest liitmistest maatriksi abil pöördmaatriksi (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada tundmatute muutujate maatriks, korrutades pöördmaatriksi vabaliikmete maatriks-veerule (vajadusel vaadake artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodi abil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti kolmandast kõrgema järgu ruutmaatriksite puhul.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus koosneb tundmatute muutujate järjestikusest välistamisest: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alustades teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni ainult tundmatu muutuja x n jääb viimasesse võrrandisse. Seda süsteemivõrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasikäigu lõpetamist leitakse x n viimasest võrrandist, kasutades seda eelviimase võrrandi väärtust, arvutatakse x n-1 ja nii edasi, leitakse x 1 esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Eemaldame tundmatu muutuja x 1 kõigist süsteemi võrranditest, alustades teisest. Selleks liidame süsteemi teisele võrrandile esimese, korrutatuna -ga, kolmandale võrrandile liidame esimese, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame esimese, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja .

Oleksime jõudnud samale tulemusele, kui oleksime x 1 väljendanud süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendanud saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena jätkame sarnaselt, kuid ainult osaga saadud süsteemist, mis on joonisel märgitud

Selleks liidame süsteemi kolmandale võrrandile teise, korrutatuna -ga, neljandale võrrandile teise, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame teise, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamisega, samal ajal toimime sarnaselt joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest edenemist, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud x n väärtust, leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1 .

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale poolele esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja:

Nüüd eemaldame x 2 kolmandast võrrandist, lisades selle vasakule ja paremale küljele teise võrrandi vasaku ja parema külje, korrutades:

See lõpetab Gaussi meetodi edasikäigu; alustame tagurpidikäiku.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame allesjäänud tundmatu muutuja ja lõpetame sellega Gaussi meetodi vastupidise variandi.

Vastus:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

Üldiselt ei lange süsteemi p võrrandite arv kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruut ja ainsus.

Kronecker-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Küsimusele, millal SLAE on ühilduv ja millal vastuoluline, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
Selleks, et n tundmatuga võrrandite süsteem p (p võib olla võrdne n) oleks järjekindel, on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste oleks võrdne laiendatud maatriksi astmega, st. , Aste(A)=Aste(T).

Vaatleme näiteks Kroneckeri–Capelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutame alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame sellega piirnevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik kolmanda järgu piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste võrdne kahega.

Omakorda laiendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna moll on kolmandat järku

nullist erinev.

Seega Vahemik (A), seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi kasutades järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuoluline.

Vastus:

Süsteemil pole lahendusi.

Niisiis oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida lahendus SLAE-le, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi alusmolli mõistet ja teoreemi maatriksi järgu kohta.

Maatriksi A kõrgeima järgu molli, mis erineb nullist, kutsutakse põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A korral võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järjestus p võrra n on võrdne r-ga, siis kõik maatriksi rea (ja veeru) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimollori, väljendatakse lineaarselt vastavate rea (ja veeru) elementidena. alus alaealine.

Mida ütleb meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri–Capelli teoreemi järgi tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise alusmolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis seda teevad. ei moodusta valitud alusmolli. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi mittevajalike võrrandite kõrvalejätmist võimalik kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna moll on teist järku nullist erinev. Laiendatud Matrix Rank on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on null

ja eespool käsitletud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri–Capelli teoreemi põhjal saame väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2.

Aluseks võtame molli . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seega jätame selle maatriksi järgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Kui saadud SLAE võrrandite arv r on väiksem kui tundmatute muutujate arv n, siis jätame võrrandite vasakule poolele baasi moodustavad liikmed minoorseks ja kanname ülejäänud liikmed üle parameetri paremale küljele. vastupidise märgiga süsteemi võrrandid.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (r neist), mis jäävad võrrandite vasakule küljele peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (seal on n - r tükki), mis asuvad paremal pool tasuta.

Nüüd usume, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujate kaudu ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Lahendage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem .

Lahendus.

Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme alaealiste piiritlemise meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molliga piirneva teist järku nullist erineva molli otsimist:


Nii leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Võtame aluseks leitud kolmanda järgu nullist erineva molli.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame süsteemivõrrandite vasakusse serva alusmolliga seotud terminid ja kanname ülejäänud vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st aktsepteerime , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Lahendame saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi Crameri meetodi abil:


Seega,.

Ärge unustage oma vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldiste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks määrame kõigepealt kindlaks selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, järeldame, et süsteem ei ühildu.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime alus-molli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud alus-molli moodustamisel.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame süsteemivõrrandite vasakule poolele põhitundmatute muutujatega terminid, kanname ülejäänud liikmed paremale poole ja anname suvalised väärtused. vabad tundmatud muutujad. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit saab kasutada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks ilma nende järjepidevuse kontrollimiseta. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka mittesobivuse kohta ning kui lahendus on olemas, siis see võimaldab seda leida.

Arvutuslikust seisukohast eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata selle üksikasjalikku kirjeldust ja analüüsitud näiteid artiklist Gaussi meetod üldiste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaarsete algebrasüsteemide üldlahenduse kirjutamine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles osas räägime samaaegsetest homogeensetest ja mittehomogeensetest lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidest, millel on lõpmatu arv lahendeid.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne lahenduste süsteem n tundmatu muutujaga p lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite kogum, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi kui X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on veerulised maatriksid mõõtmega n 1) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahend kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvaliste konstantsete koefitsientidega C 1, C 2, ..., C (n-r), st .

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab kõik võimalikud algse SLAE lahendused, teisisõnu, võttes valemi abil suvaliste konstantide C 1, C 2, ..., C (n-r) väärtuste komplekti. saada üks algse homogeense SLAE lahustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused defineerida kui .

Näidakem homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi alusmolli, jätame süsteemist välja kõik teised võrrandid ja kanname kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad liikmed vastasmärkidega süsteemivõrrandite paremale poole. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,...,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodi abil. Selle tulemuseks on X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (2) . Ja nii edasi. Kui omistame vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (n-r) . Sel viisil konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja selle üldlahenduse saab kirjutada kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend kujul , kus on vastava homogeense süsteemi üldlahend ja algse mittehomogeense SLAE konkreetne lahendus, mille saame vabadele tundmatutele väärtused andes. ​0,0,...,0 ja peamiste tundmatute väärtuste arvutamine.

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame alaealiste ääristamise meetodil põhimaatriksi auaste. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leiame teist järku piirneva nullist erineva molli:

Leiti nullist erinev teist järku moll. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste võrdne kahega. Võtame . Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poole:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on võrdne kahega. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 = 1, x 4 = 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Praktikas on aga laialt levinud veel kaks juhtumit:

– süsteem on ebaühtlane (pole lahendusi);
– Süsteem on järjepidev ja sellel on lõpmatult palju lahendusi.

Märge : Mõiste "järjepidevus" tähendab, et süsteemil on vähemalt mingi lahendus. Paljude probleemide korral on vaja kõigepealt kontrollida süsteemi ühilduvust; kuidas seda teha, vaadake artiklit maatriksite järk.

Nende süsteemide jaoks kasutatakse kõigist lahendusmeetoditest kõige universaalsemat - Gaussi meetod. Tegelikult annab vastuse ka “kooli” meetod, kuid kõrgemas matemaatikas on tavaks kasutada Gaussi meetodit tundmatute järjestikuseks kõrvaldamiseks. Kes Gaussi meetodi algoritmiga kursis pole, palun tutvuge kõigepealt õppetunniga Gaussi meetod mannekeenide jaoks.

Elementaarmaatriksiteisendused ise on täpselt samad, on erinevus lahenduse lõpus. Esiteks vaatame paari näidet, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad).

Näide 1

Mis sulle selle süsteemi juures kohe silma jääb? Võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv, siis võime kohe öelda, et süsteem on kas ebaühtlane või sellel on lõpmatult palju lahendusi. Ja jääb üle vaid välja selgitada.

Lahenduse algus on täiesti tavaline - kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Ülemises vasakpoolses astmes peame saama +1 või –1. Esimeses veerus selliseid numbreid pole, nii et ridade ümberpaigutamine ei anna midagi. Üksus peab ise organiseerima ja seda saab teha mitmel viisil. Tegin nii: esimesele reale lisame kolmanda rea, korrutatuna -1-ga.

(2) Nüüd saame esimesse veergu kaks nulli. Teisele reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 5-ga.

(3) Pärast teisenduse lõpetamist on alati soovitatav vaadata, kas saadud stringe on võimalik lihtsustada? Saab. Jagame teise rea 2-ga, saades samal ajal teisel sammul vajaliku –1. Jagage kolmas rida -3-ga.

(4) Lisage teine ​​rida kolmandale reale.

Tõenäoliselt märkasid kõik elementaarsetest teisendustest tulenevat halba joont: . On selge, et see ei saa nii olla. Tõepoolest, kirjutagem saadud maatriks ümber tagasi lineaarvõrrandi süsteemi juurde:

Kui elementaarteisenduste tulemusena saadakse vormi string, kus on nullist erinev arv, siis on süsteem ebajärjekindel (lahendeid pole).

Kuidas ülesande lõppu kirja panna? Joonistame valge kriidiga: "elementaarteisenduste tulemusena saadakse string kujul , kus " ja vastame: süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindel).

Kui vastavalt tingimusele on vaja UURIDA süsteemi ühilduvust, siis on vaja kontseptsiooni kasutades vormistada lahendus soliidsemas stiilis maatriksi auaste ja Kroneckeri-Capelli teoreem.

Pange tähele, et siin ei ole Gaussi algoritmi ümberpööramist - lahendusi pole ja lihtsalt pole midagi leida.

Näide 2

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Tuletan teile veel kord meelde, et teie lahendus võib minu lahendusest erineda, Gaussi algoritmil puudub tugev "jäikus".

Lahenduse teine ​​tehniline omadus: elementaarteisendusi saab peatada Korraga, niipea kui rida nagu , kus . Vaatleme tingimuslikku näidet: oletame, et pärast esimest teisendust saadakse maatriks . Maatriksit pole veel taandatud ešelonvormiks, kuid täiendavaid elementaarteisendusi pole vaja, kuna on tekkinud vormi rida, kus . Kohe tuleks anda vastus, et süsteem ei ühildu.

Kui lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendusi, on see peaaegu kingitus, kuna saadakse lühike lahendus, mõnikord sõna otseses mõttes 2-3 sammuga.

Kuid kõik siin maailmas on tasakaalus ja probleem, mille jaoks süsteemil on lõpmatult palju lahendusi, on lihtsalt pikem.

Näide 3

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem

Seal on 4 võrrandit ja 4 tundmatut, nii et süsteemil võib olla üks lahend, lahendeid ei tohi olla või võib olla lõpmatult palju lahendeid. Olgu kuidas on, Gaussi meetod viib meid igal juhul vastuseni. See on selle mitmekülgsus.

Algus on jälle standardne. Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

See on kõik ja sa kartsid.

(1) Pange tähele, et kõik esimeses veerus olevad numbrid jaguvad 2-ga, seega on 2 ülemises vasakus astmes hea. Teisele reale lisame esimese rea, korrutatuna -4-ga. Kolmandale reale lisame esimese rea, korrutatuna -2-ga. Neljandale reale lisame esimese rea, korrutatuna -1-ga.

Tähelepanu! Paljudele võib tekkida kiusatus neljas reas lahutada esimene rida. Seda saab teha, kuid see pole vajalik, kogemus näitab, et arvutustes suureneb vea tõenäosus mitu korda. Lihtsalt lisage: neljandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -1-ga täpselt!

(2) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on kustutatavad.

Siin peame jälle näitama suurenenud tähelepanu, aga kas jooned on tõesti proportsionaalsed? Ohutuse huvides (eriti teekannu puhul) oleks hea mõte korrutada teine ​​rida –1-ga ja neljas rida jagada 2-ga, mille tulemuseks on kolm identset rida. Ja alles pärast seda eemaldage neist kaks.

Elementaarsete teisenduste tulemusena taandatakse süsteemi laiendatud maatriks astmelisele kujule:

Ülesannet vihikusse kirjutades on soovitav selguse huvides teha samad märkmed pliiatsiga.

Kirjutame ümber vastava võrrandisüsteemi:

Süsteemi “tavalisest” ühest lahendusest pole siin haisugi. Pole ka halba rida. See tähendab, et see on kolmas järelejäänud juhtum – süsteemil on lõpmatult palju lahendusi. Mõnikord on vastavalt tingimusele vaja uurida süsteemi ühilduvust (st tõestada, et lahendus on üldse olemas), selle kohta saate lugeda artikli viimasest lõigust Kuidas leida maatriksi auastet? Nüüd aga vaatame põhitõdesid üle:

Süsteemi lõpmatu hulk lahendusi on lühidalt kirjas nn süsteemi üldine lahendus .

Süsteemi üldlahenduse leiame Gaussi meetodi pöördväärtusega.

Kõigepealt peame määratlema, millised muutujad meil on põhilised ja millised muutujad tasuta. Te ei pea end vaevama lineaaralgebra terminitega, vaid pidage meeles, et selliseid on olemas põhimuutujad Ja vabad muutujad.

Põhimuutujad "istuvad" alati rangelt maatriksi astmetel.
Selles näites on põhimuutujad ja

Vabad muutujad on kõik allesjäänud muutujad, mis ei saanud sammu. Meie puhul on neid kaks: – vabad muutujad.

Nüüd vajate Kõik põhimuutujad väljendada ainult läbi vabad muutujad.

Gaussi algoritmi tagurpidi toimib traditsiooniliselt alt üles.
Süsteemi teisest võrrandist väljendame põhimuutujat:

Nüüd vaadake esimest võrrandit: . Esmalt asendame sellega leitud avaldise:

Jääb üle põhimuutuja väljendada vabade muutujatena:

Lõpuks saime selle, mida vajasime - Kõik väljendatakse põhimuutujaid ( ja ). ainult läbi vabad muutujad:

Tegelikult on üldine lahendus valmis:

Kuidas üldlahendust õigesti kirjutada?
Vabad muutujad kirjutatakse üldlahendusse “iseenesest” ja rangelt oma kohale. Sel juhul tuleks vabad muutujad kirjutada teisele ja neljandale positsioonile:
.

Saadud avaldised põhimuutujatele ja ilmselt tuleb kirjutada esimesse ja kolmandasse positsiooni:

Vabade muutujate andmine suvalised väärtused, võite leida lõpmatult palju privaatsed lahendused. Kõige populaarsemad väärtused on nullid, kuna konkreetset lahendust on kõige lihtsam saada. Asendame üldise lahendusega:

- privaatne lahendus.

Veel üks magus paar on need, asendame need üldlahendusega:

– veel üks privaatne lahendus.

On lihtne näha, et võrrandisüsteemil on lõpmatult palju lahendusi(kuna saame anda vabad muutujad ükskõik milline väärtused)

Iga konkreetne lahendus peab rahuldama igale süsteemi võrrand. See on lahenduse õigsuse “kiire” kontrollimise aluseks. Võtke näiteks konkreetne lahendus ja asendage see algsüsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva:

Kõik peab kokku tulema. Ja mis tahes konkreetse lahenduse puhul, mille saate, peaks samuti kõik kokku leppima.

Kuid rangelt võttes on konkreetse lahenduse kontrollimine mõnikord petlik, s.t. mõni konkreetne lahendus võib rahuldada süsteemi iga võrrandit, kuid üldlahend ise leitakse tegelikult valesti.

Seetõttu on üldlahenduse kontrollimine põhjalikum ja usaldusväärsem. Kuidas kontrollida saadud üldlahendust ?

See pole keeruline, kuid üsna tüütu. Peame võtma väljendeid põhilised muutujad, antud juhul ja , ning asendage need süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva.

Süsteemi esimese võrrandi vasakul küljel:

Süsteemi teisest võrrandist vasakule:


Saadakse algse võrrandi parem pool.

Näide 4

Lahendage süsteem Gaussi meetodil. Leidke üldine lahendus ja kaks konkreetset lahendust. Kontrollige üldist lahendust.

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin, muide, on võrrandite arv jällegi väiksem kui tundmatute arv, mis tähendab, et kohe on selge, et süsteem on kas ebaühtlane või sellel on lõpmatu arv lahendusi. Mis on otsustamisprotsessis endas oluline? Tähelepanu ja veelkord tähelepanu. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Ja veel paar näidet materjali tugevdamiseks

Näide 5

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem. Kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi, leidke kaks konkreetset lahendust ja kontrollige üldist lahendust

Lahendus: Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Lisage esimene rida teisele reale. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 2-ga. Neljandale reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga.
(2) Kolmandale reale liidame teise rea, korrutatuna -5-ga. Neljandale reale lisame teise rea, korrutatuna -7-ga.
(3) Kolmas ja neljas rida on samad, ühe neist kustutame.

See on selline ilu:

Põhimuutujad istuvad astmetel, seega - põhimuutujad.
On ainult üks vaba muutuja, mis ei saanud sammu:

Tagurpidi:
Väljendame põhimuutujaid vaba muutuja kaudu:
Kolmandast võrrandist:

Vaatleme teist võrrandit ja asendame sellega leitud avaldise:

Vaatleme esimest võrrandit ja asendame leitud avaldised sellesse:

Jah, tavalisi murde arvutav kalkulaator on endiselt mugav.

Seega on üldine lahendus:

Veel kord, kuidas see välja kukkus? Vaba muutuja on üksi oma õiguspärasel neljandal kohal. Saadud põhimuutujate avaldised võtsid samuti oma järgukohad.

Kontrollime kohe üldist lahendust. Töö on mustanahalistele, aga ma olen seda juba teinud, nii et võtke kinni =)

Asendame süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva kolm kangelast , :

Saadakse võrrandite vastavad parempoolsed küljed, seega leitakse õige üldlahend.

Nüüd leitud üldlahendusest saame kaks konkreetset lahendust. Ainus vaba muutuja on siin kokk. Pole vaja ajusid rabada.

Las siis olla - privaatne lahendus.
Las siis olla – veel üks privaatne lahendus.

Vastus: Ühine otsus: , privaatsed lahendused: , .

Ma ei oleks tohtinud mustanahalisi meenutada... ...sest igasugused sadistlikud motiivid tulid pähe ja mulle meenus kuulus photoshop, kus valgetes rüüdes Ku Klux Klansmen jookseb üle väljaku mustanahalise jalgpalluri järel. Istun ja naeratan vaikselt. Teate kui segav...

Suur osa matemaatikast on kahjulik, seega sarnane lõpunäide ise lahendamiseks.

Näide 6

Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus.

Üldlahendust olen juba kontrollinud, vastust võib usaldada. Teie lahendus võib minu lahendusest erineda, peaasi, et üldlahendused ühtiksid.

Tõenäoliselt märkasid paljud lahendustes ebameeldivat momenti: väga sageli tuli Gaussi meetodi vastupidisel kulgemisel nokitseda tavaliste murdude kallal. Praktikas on see tõepoolest nii, juhtumeid, kus murde pole, on palju vähem levinud. Olge vaimselt ja, mis kõige tähtsam, tehniliselt valmis.

Peatun mõnel lahenduse tunnusel, mida lahendatud näidetes ei leitud.

Süsteemi üldlahendus võib mõnikord sisaldada konstanti (või konstante), näiteks: . Siin on üks põhimuutujatest võrdne konstantse arvuga: . Selles pole midagi eksootilist, seda juhtub. Ilmselgelt sisaldab iga konkreetne lahendus sel juhul viit esimesel kohal.

Harva, kuid on süsteeme, milles võrrandite arv on suurem kui muutujate arv. Gaussi meetod töötab kõige raskemates tingimustes, süsteemi laiendatud maatriksi tuleks rahulikult taandada astmelisele kujule, kasutades standardset algoritmi. Selline süsteem võib olla ebajärjekindel, sellel võib olla lõpmatult palju lahendusi ja kummalisel kombel võib sellel olla üks lahendus.