Millal kasutatakse Bernoulli valemit? Binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse arvkarakteristikud

1

1. Bogoljubov A.N. Matemaatika. Mehaanika: biograafiline juhend. - Kiiev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Majanduserialade üliõpilaste poolt õpitavate matemaatikadistsipliinide sektsioonide prioriteetsuse analüüs ja hindamine põllumajandusülikoolid// Stavropoli agrotööstuskompleksi bülletään. - 2013. - nr 1 (9). - Lk 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Taotlemise väljavaated matemaatilised meetodid V majandusuuringud// Agraarteadus, loovus, kasv. - 2013. - S. 255-257.

Matemaatikas on üsna sageli probleeme, milles on suur hulk sama seisundi, testi või katse kordused. Iga testi tulemus loetakse eelmisest täiesti erinevaks tulemuseks. Samuti ei täheldata tulemuste sõltuvust. Katsetulemusena saab eristada mitmeid elementaarsete tagajärgede võimalusi: sündmuse (A) toimumine või sündmuse toimumine, mis täiendab A-d.

Seejärel proovime eeldada, et sündmuse Р(А) toimumise tõenäosus on regulaarne ja võrdub р (0<р<1).

Sellise väljakutse näideteks võivad olla suur hulk ülesandeid, nagu mündi viskamine, mustast kotist mustvalgete pallide väljavõtmine või mustvalgete jäneste sünnitamine.

Sellist katset nimetatakse korduvaks sõltumatuks testi konfiguratsiooniks või Bernoulli skeemiks.

Jacob Bernoulli sündis apteekri perre. Isa püüdis poega arstiteel juhendada, kuid J. Bernoulli hakkas matemaatika vastu huvi tundma iseseisvalt ja hiljem sai sellest tema elukutse. Talle kuuluvad erinevad trofeed tõenäosusteooria ja arvuteooria, seeriate ja diferentsiaalarvutuse teemadel. Olles uurinud tõenäosusteooriat ühest Huygensi teosest "Arvutused hasartmängudes", hakkas Jacob selle vastu huvi tundma. Selles raamatus polnud isegi mõiste "tõenäosus" selget definitsiooni. Just J. Bernoulli tõi matemaatikasse enamiku tänapäevastest tõenäosusteooria kontseptsioonidest. Bernoulli oli ka esimene, kes avaldas oma versiooni suurte arvude seadusest. Jaakobi nime kannavad erinevad teosed, teoreemid ja skeemid: "Bernoulli arvud", "Bernoulli polünoom", "Bernoulli diferentsiaalvõrrand", "Bernoulli jaotus" ja "Bernoulli võrrand".

Tuleme tagasi korduse juurde. Nagu eespool juba mainitud, on erinevate testide tulemusena võimalik kaks tulemust: kas ilmub sündmus A või selle sündmuse vastand. Bernoulli skeem ise tähistab tüüpiliste tasuta katsete n-nda arvu valmistamist ja igas neist katsetest võib ilmneda sündmus A, mida me vajame (selle sündmuse tõenäosus on teada: P (A) \u003d p), sündmusele A vastupidise sündmuse tõenäosust tähistab q \u003d P ( A)=1-p. On vaja kindlaks määrata tõenäosus, et tundmatu arvu testimisel toimub sündmus A täpselt k korda.

Bernoulli skeemi abil probleemide lahendamisel on oluline meeles pidada, et peamine tingimus on püsivus. Ilma selleta kaotab skeem igasuguse mõtte.

Seda skeemi saab kasutada erineva keerukusega probleemide lahendamiseks: lihtsatest (sama münt) kuni keerukateni (huvi). Kuid sagedamini kasutatakse Bernoulli skeemi selliste probleemide lahendamisel, mis on seotud erinevate toodete omaduste kontrolli ja usaldusega mitmesuguste mehhanismide vastu. Ainult probleemi lahendamiseks tuleb enne töö alustamist ette teada kõik tingimused ja väärtused.

Kõik tõenäosusteooria probleemid ei ole taandatud tingimustes püsivusele. Isegi kui võtame näiteks mustad ja valged pallid tumedas kotis: ühe palli tõmbamisel on kotis olevate pallide arvu ja värvide suhe muutunud, mis tähendab, et tõenäosus ise on muutunud.

Kui aga meie tingimused on konstantsed, siis saame meie põhjal täpselt määrata vajaliku tõenäosuse, et sündmus A toimub täpselt k korda n-st võimalikust.

Jacob Bernoulli koostas selle fakti teoreemiks, mis sai hiljem tuntuks tema nime all. "Bernoulli teoreem" on tõenäosusteooria üks peamisi teoreeme. See avaldati esmakordselt J. Bernoulli teoses "Eelduste kunst". Mis see teoreem on? “Kui igas katses sündmuse A toimumise tõenäosus p on konstantne, siis tõenäosus Pk,n, et sündmus toimub k korda n üksteisest sõltumatus katses, on võrdne: , kus q=1-p .”

Valemi efektiivsuse tõestuses saab anda ülesandeid.

Ülesanne nr 1:

n klaaspurgist kuus säilituskuus on k katki. Võttis juhuslikult m purki. Leidke tõenäosus, et nende purkide hulgast l ei purune. n = 250, k = 10, m = 8, l = 4.

Lahendus: meil on Bernoulli skeem väärtustega:

p=10/250=0,04 (tõenäosus, et pangad lagunevad);

n = 8 (katsete arv);

k=8-4=4 (katkiste purkide arv).

Kasutame Bernoulli valemit

Sain:

Vastus: 0,0141

Ülesanne nr 2:

Defektse toote valmistamise tõenäosus tootmises on 0,2. Leidke tõenäosus, et 10 selles tootmisüksuses toodetud tootest peab täpselt k olema heas seisukorras. Käivitage lahendus k = 0, 1, 10 jaoks.

Oleme huvitatud sündmusest A - hooldatavate osade tootmine, mis toimub kord tunnis tõenäosusega p=1-0,2=0,8. Peame leidma tõenäosuse, et antud sündmus toimub k korda. Sündmus A on vastand sündmusele "mitte A", st. defektse toote valmistamine.

Seega on meil: n=10; p = 0,8; q = 0,2.

Selle tulemusena leiame tõenäosuse, et 10-st valmistatud tootest on kõik tooted vigased (k=0), et üks toode on heas seisukorras (k=1), et vigaseid pole üldse (k=10) :

Kokkuvõtteks tahaksin märkida, et tänapäeval püüavad paljud teadlased tõestada, et "Bernoulli valem" ei vasta loodusseadustele ja et probleeme saab lahendada ilma seda kasutamata. Muidugi on see võimalik, enamiku tõenäosusteooria ülesandeid saab sooritada ka ilma Bernoulli valemita, peaasi, et suurtes arvudes segadusse ei läheks.

Bibliograafiline link

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNULLI VALEM TÕENÄOSUSTEOORIAS // International Student Scientific Bulletin. - 2015. - nr 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (juurdepääsu kuupäev: 12.03.2019). Juhime teie tähelepanu kirjastuse "Looduslooakadeemia" väljaantavatele ajakirjadele

Lühike teooria

Tõenäosusteooria käsitleb katseid, mida saab korrata (vähemalt teoreetiliselt) piiramatu arv kordi. Mõnda katset korratakse üks kord ja iga korduse tulemused ei sõltu eelnevate korduste tulemustest. Selliseid korduste seeriaid nimetatakse sõltumatuteks katseteks. Selliste testide erijuhtum on sõltumatud Bernoulli kohtuprotsessid, mida iseloomustavad kaks tingimust:

1) iga testi tulemus on üks kahest võimalikust tulemusest, mida nimetatakse vastavalt "edu" või "ebaõnnestumine".

2) iga järgneva testi "edusaamise" tõenäosus ei sõltu eelnevate testide tulemustest ja jääb konstantseks.

Bernoulli teoreem

Kui tehakse rida sõltumatuid Bernoulli katseid, millest igaühes saavutatakse "edu" tõenäosusega , siis tõenäosus, et "edu" toimub katsetes täpselt üks kord, väljendatakse valemiga:

kus on ebaõnnestumise tõenäosus.

- elementide kombinatsioonide arv (vt kombinatoorika põhivalemeid)

Seda valemit nimetatakse Bernoulli valem.

Bernoulli valem võimaldab vabaneda suurest arvust arvutustest – tõenäosuste liitmisest ja korrutamisest – piisavalt suure hulga testidega.

Bernoulli testi skeemi nimetatakse ka binoomskeemiks ja vastavaid tõenäosusi binoomseks, mida seostatakse binoomkoefitsientide kasutamisega.

Bernoulli skeemi kohane jaotus võimaldab eelkõige leida sündmuse kõige tõenäolisema esinemise arvu.

Kui katsete arv n suurepärane, siis naudi:

Probleemilahenduse näide

Ülesanne

Teatud taime seemnete idanevus on 70%. Kui suur on tõenäosus, et 10 külvatud seemnest: 8, vähemalt 8; vähemalt 8?

Probleemi lahendus

Kasutame Bernoulli valemit:

Meie puhul

Laske sündmusel - 10 seemnest tärkab 8:

Laske sündmusel tõusta vähemalt 8 (see tähendab 8, 9 või 10)

Laske sündmusel tõusta vähemalt 8 (see tähendab 8,9 või 10)

Vastus

Keskmine kontrolltööde lahendamise maksumus on 700 - 1200 rubla (kuid mitte vähem kui 300 rubla kogu tellimuse kohta). Hinda mõjutab tugevalt otsuse kiireloomulisus (päevadest mitme tunnini). Eksami / testi veebiabi maksumus - alates 1000 rubla. piletilahenduse eest.

Rakenduse saab jätta otse vestlusse, olles eelnevalt ülesannete seisukorrast välja visanud ja teavitades selle lahendamise tähtaegadest. Reaktsiooniaeg on mitu minutit.

Korduvaid sõltumatuid katseid nimetatakse Bernoulli katseteks, kui igal katsel on ainult kaks võimalikku tulemust ja tulemuste tõenäosus jääb kõigi katsete puhul samaks.

Tavaliselt nimetatakse neid kahte tulemust "edu" (S) või "ebaõnnestumine" (F) ja tähistatakse vastavaid tõenäosusi. lk Ja q. Selge see lk 0, q³ 0 ja lk+q=1.

Kosmos elementaarsed sündmused Iga katse koosneb kahest sündmusest Y ja H.

Elementaarsete sündmuste ruum n Bernoulli kohtuprotsessid Ω sisaldab 2 n elementaarsündmused, mis on jadad (ahelad). n sümbolid Y ja H. Iga elementaarsündmus on jada üks võimalikest tulemustest n Bernoulli kohtuprotsessid. Kuna testid on sõltumatud, siis vastavalt korrutusteoreemile tõenäosused korrutatakse, see tähendab, et mis tahes konkreetse jada tõenäosus on korrutis, mis saadakse sümbolite U ja H asendamisel lk Ja q vastavalt, see tähendab näiteks: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Pange tähele, et Bernoulli testi tulemust tähistatakse sageli 1 ja 0-ga ning seejärel jada elementaarsündmusega n Bernoulli testid – seal on ahel, mis koosneb nullidest ja ühtedest. Näiteks:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernoulli katsed on tõenäosusteoorias kõige olulisem skeem. See skeem on oma nime saanud Šveitsi matemaatiku J. Bernoulli (1654-1705) järgi, kes seda mudelit oma töödes põhjalikult uuris.

Peamine probleem, mis meid siin huvitab, on: kui suur on sündmuse toimumise tõenäosus n Bernoulli kohtuprotsessid toimusid m edu?

Kui need tingimused on täidetud, siis tõenäosus, et sõltumatute testide käigus toimub sündmus jälgitakse täpselt m korda (olenemata sellest, millistes katsetes) määrab Bernoulli valem:

(21.1)

Kus - esinemise tõenäosus igas testis ja
on tõenäosus, et antud kogemuses toimub sündmus Ei juhtunud.

Kui arvestada P n (m) funktsioonina m, siis defineerib see tõenäosusjaotuse, mida nimetatakse binoomseks. Uurime seda suhet P n (m) alates m, 0£ m£ n.

Sündmused B m ( m = 0, 1, ..., n), mis koosneb erinevast sündmuse esinemissagedusest A V n testid, ei ühildu ja moodustavad tervikliku rühma. Seega
.

Mõelge suhtele:

=
=
=
.

Sellest järeldub P n (m+1)>P n (m), Kui (n- m)p> (m+1)q, st. funktsiooni P n (m) suureneb, kui m< np- q. Samamoodi P n (m+1)< P n (m), Kui (n- m)p< (m+1)q, st. P n (m) väheneb, kui m> np- q.

Seega on number olemas m 0 , mille juures P n (m) saavutab oma kõrgeima väärtuse. Otsime üles m 0 .

Vastavalt numbri tähendusele m 0 meil on P n (m 0)³ P n (m 0 -1) ja P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), seega

, (21.2)

. (21.3)

Võrratuste (21.2) ja (21.3) lahendamine suhtes m 0, saame:

lk/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ np+ lk,

q/(n- m 0 ) ³ lk/(m 0 +1) Þ m 0 ³ np- q.

Seega soovitud number m 0 rahuldab ebavõrdsust

np- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Sest lk+q=1, siis on ebavõrdsusega (21.4) defineeritud intervalli pikkus võrdne ühega ja seal on vähemalt üks täisarv m 0, mis rahuldab ebavõrdsuse (21.4):

1) kui np - q on täisarv, siis on kaks väärtust m 0, nimelt: m 0 = np - q Ja m 0 = np - q + 1 = np + lk;

2) kui np - q- murdosa, siis on üks arv m 0, nimelt ainus täisarv, mis on vahele jääv murdarvud saadud ebavõrdsusest (21,4);

3) kui np on täisarv, siis on üks arv m 0 nimelt m 0 = np.

Number m 0 nimetatakse sündmuse toimumise kõige tõenäolisemaks või kõige tõenäolisemaks väärtuseks (arvuks). A sarjas n sõltumatud testid.

Selles õppetükis leiame sõltumatutes katsetes sündmuse toimumise tõenäosuse katsete kordamisel. . Katseid nimetatakse sõltumatuteks, kui iga katse ühe või teise tulemuse tõenäosus ei sõltu sellest, millised tulemused olid teistel katsetel. . Sõltumatuid katseid saab läbi viia nii samadel kui ka erinevates tingimustes. Esimesel juhul on sündmuse toimumise tõenäosus kõigis katsetes sama, teisel juhul on see katseti erinev.

Sõltumatute kordustestide näited :

• üks seadme sõlmedest või kaks või kolm sõlme ebaõnnestub ja iga sõlme rike ei sõltu teisest sõlmest ning ühe sõlme rikke tõenäosus on kõigis testides konstantne;
• toodetud mõnes püsivas tehnoloogilised tingimused osa või kolm, neli, viis osa on mittestandardne ja üks osa võib olla mittestandardne sõltumata mis tahes muust osast ning tõenäosus, et see osa on mittestandardne, on kõigis katsetes konstantne;
• mitmest märklaua lasust tabab märklauda üks, kolm või neli lasku sõltumata teiste laskude tulemusest ja märklaua tabamise tõenäosus on kõigil katsetel konstantne;
• kui münt on sisestatud, töötab masin õigesti üks, kaks või mitu korda, olenemata sellest, milliseid muid münte on sisestatud, ja tõenäosus, et masin töötab õigesti, on kõigil katsetel konstantne.

Neid sündmusi saab kirjeldada ühe skeemi abil. Iga sündmus toimub igas katses sama tõenäosusega, mis ei muutu ka varasemate katsete tulemuste selgumisel. Selliseid teste nimetatakse sõltumatuteks ja skeemi nimetatakse Bernoulli skeem . Eeldatakse, et selliseid teste saab korrata nii mitu korda kui soovitakse.

Kui tõenäosus lk sündmus A on igas katses konstantne, siis tõenäosus, et in n sõltumatu testüritus A tuleb m korda, asub Bernoulli valem :

(Kus q= 1 – lk- tõenäosus, et sündmust ei toimu)

Seadke ülesandeks - leida tõenäosus, et seda tüüpi sündmus siseneb n tulevad sõltumatud kohtuprotsessid müks kord.

Bernoulli valem: näited probleemide lahendamisest

Näide 1 Leidke tõenäosus, et viie juhuslikult valitud osa hulgast on kaks standardset, kui tõenäosus, et iga osa on standardne, on 0,9.

Lahendus. Sündmuse tõenäosus A, mis seisneb selles, et juhuslikult võetud osa on standardne, on lk=0,9 ja tõenäosus, et see on mittestandardne, on q=1–lk=0,1. Probleemi tingimuses märgitud sündmus (tähistame seda tähisega IN) esineb siis, kui näiteks kaks esimest osa on standardsed ja järgmised kolm on mittestandardsed. Aga üritus IN esineb ka siis, kui esimene ja kolmas osa on standardsed ja ülejäänud on mittestandardsed või kui teine ​​ja viies osa on standardsed ja ülejäänud on mittestandardsed. Sündmuse toimumiseks on ka teisi võimalusi. IN. Igaüht neist iseloomustab asjaolu, et viiest võetud osast kaks, mis hõivavad mis tahes koha viiest, osutuvad standardseks. Seega koguarv sündmuse toimumise erinevad võimalused IN võrdub kahe standardosa viies kohas paigutamise võimaluste arvuga, s.o. võrdub viie elemendi kombinatsioonide arvuga kahega ja .

Iga võimaluse tõenäosus on tõenäosuse korrutamise teoreemi kohaselt võrdne viie teguri korrutisega, millest kaks, välimusele vastav standardosad on 0,9 ja ülejäänud kolm, mis vastavad mittestandardsete osade välimusele, on võrdsed 0,1, s.o. see tõenäosus on. Kuna need kümme võimalust on kokkusobimatud sündmused, liitmisteoreemi järgi sündmuse tõenäosus IN, mida me tähistame

Näide 2 Tõenäosus, et masin nõuab tunni jooksul töötaja tähelepanu, on 0,6. Eeldades, et masinate rikked on sõltumatud, leidke tõenäosus, et tunni jooksul nõuab töötaja tähelepanu ükskõik milline neljast tema hooldatavast masinast.

Lahendus. Kasutades Bernoulli valem juures n=4 , m=1 , lk=0,6 ja q=1–lk=0,4, saame

Näide 3 Autobaasi normaalseks tööks peab liinil olema vähemalt kaheksa autot ja neid on kümme. Tõenäosus, et iga auto joonele ei välju, on 0,1. Leidke depoo normaalse töö tõenäosus järgmisel päeval.

Lahendus. Autobase töötab hästi (sündmus F), kui reale siseneb üks või kaheksa (sündmus A) või üheksa (sündmus IN) või kõigi kümne auto sündmus (sündmus C). Tõenäosuse liitmise teoreemi järgi

Leiame iga termini Bernoulli valemi järgi. Siin n=10 , m=8; 10 ja lk\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, alates lk peaks tähendama auto joonele sisenemise tõenäosust; Siis q=0,1. Selle tulemusena saame

Näide 4 Olgu tõenäosus, et klient vajab 41 suuruses meeste kingi, 0,25. Leidke tõenäosus, et kuuest ostjast vähemalt kaks vajavad 41 suuruse kingi.

Korduvate sõltumatute testide määratlus. Bernoulli valemid tõenäosuse ja kõige tõenäolisema arvu arvutamiseks. Bernoulli valemi asümptootilised valemid (lokaalne ja integraal, Laplace'i teoreemid). Integraaliteoreemi kasutamine. Poissoni valem ebatõenäoliste juhuslike sündmuste jaoks.

Korduvad sõltumatud testid

Praktikas tuleb tegeleda selliste ülesannetega, mida saab esitada korduvalt korduvate testidena, millest igaühe tulemusena võib sündmus A ilmneda, aga mitte. Samal ajal on tulemus mitte iga "individuaalse testi, vaid kokku sündmuse A esinemised teatud arvu katsete tulemusena. Selliste ülesannete puhul peab olema võimalik määrata sündmuse A suvalise arvu m tõenäosus n katse tulemusena. Mõelge juhtumile, kui katsed on sõltumatud ja sündmuse A esinemise tõenäosus igas katses on konstantne. Selliseid teste nimetatakse korduvad sõltumatud.

Sõltumatu testimise näide oleks ühest mitmest partiist võetud toodete sobivuse testimine. Kui nendel partiidel on ühesugune defektide protsent, siis tõenäosus, et valitud toode on igal juhul defektne, on konstantne arv.

Bernoulli valem

Kasutame mõistet raske sündmus, mis tähendab mitme elementaarse sündmuse kombinatsiooni, mis seisneb sündmuse A ilmumises või mitteilmumises i-ndas testis. Tehakse n sõltumatut katset, milles iga sündmuse puhul A võib esineda tõenäosusega p või mitte esineda tõenäosusega q=1-p . Vaatleme sündmust B_m, mis seisneb selles, et sündmus A toimub nendes n katses täpselt m korda ja seetõttu ei toimu täpselt (n-m) korda. Tähistage A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) sündmuse A esinemine , a \overline(A)_i - sündmuse A mittetoimumine i-ndas katses. Katsetingimuste püsivuse tõttu on meil

Sündmus A võib ilmuda m korda erinevates järjestustes või kombinatsioonides, vaheldumisi vastupidine sündmus\overline(A) . Number võimalikud kombinatsioonid seda tüüpi on võrdne n elemendi kombinatsioonide arvuga m võrra, st C_n^m . Seetõttu saab sündmust B_m esitada keerukate sündmuste summana, mis ei ühildu üksteisega ja terminite arv on võrdne C_n^m :

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

kus sündmus A toimub igas tootes m korda ja \overline(A) - (n-m) korda.

Iga valemis (3.1) sisalduva keeruka sündmuse tõenäosus vastavalt tõenäosuse korrutusteoreemile iseseisvad sündmused võrdub p^(m)q^(n-m) . Kuna selliste sündmuste koguarv on võrdne C_n^m , siis kasutades tõenäosuse liitmise teoreemi kokkusobimatud sündmused, saame sündmuse B_m tõenäosuse (tähistame seda P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(või)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Valemit (3.2) nimetatakse Bernoulli valem, ja korduvaid katseid, mis vastavad sündmuse A toimumise tõenäosuste sõltumatuse ja püsivuse tingimusele igaühes neist nimetatakse Bernoulli kohtuprotsessid või Bernoulli skeem.

Näide 1. Tõenäosus ületada tolerantsivälja detailide töötlemisel treipingil on 0,07. Määrake tõenäosus, et vahetuse käigus juhuslikult valitud viiest osast ei vasta üks läbimõõdu mõõtmetest määratud tolerantsile.

Lahendus. Probleemi seisund vastab Bernoulli skeemi nõuetele. Seega, eeldades n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, valemiga (3.2) saame

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\umbes0,\!262.

Näide 2. Vaatlused on näidanud, et mõnes piirkonnas on septembris 12 vihmapäeva. Kui suur on tõenäosus, et sel kuul juhuslikult võetud kaheksast päevast on 3 päeva vihmane?

Lahendus.

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Sündmuse kõige tõenäolisem esinemiste arv

Kõige tõenäolisem välimus sündmus A n sõltumatus katses on selline arv m_0, mille korral sellele arvule vastav tõenäosus on suurem või vähemalt mitte väiksem kui sündmuse A kõigi teiste võimalike arvude esinemise tõenäosus. Kõige tõenäolisema arvu määramiseks ei ole vaja arvutada sündmuse võimaliku esinemise arvu tõenäosusi, piisab katsete arvu n ja sündmuse A toimumise tõenäosuse teadmisest eraldi katses. Tähistagu P_(m_0,n) kõige tõenäolisemale arvule m_0 vastavat tõenäosust. Kasutades valemit (3.2), kirjutame

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Kõige tõenäolisema arvu definitsiooni kohaselt ei tohiks sündmuse A toimumise tõenäosused vastavalt m_0+1 ja m_0-1 korda ületada vähemalt tõenäosust P_(m_0,n) , s.t.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Asendades võrratustega väärtuse P_(m_0,n) ja tõenäosuste P_(m_0+1,n) ja P_(m_0-1,n) avaldised, saame

Lahendades need võrratused m_0 jaoks, saame

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Kombineerides viimased ebavõrdsused, saame kahekordne ebavõrdsus, mida kasutatakse kõige tõenäolisema arvu määramiseks:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Kuna ebavõrdsusega (3.4) defineeritud intervalli pikkus on võrdne ühega, s.o.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

ja sündmus võib n katses esineda vaid täisarv korda, siis tuleb meeles pidada, et:

1) kui np-q on täisarv, siis on kõige tõenäolisemal arvul kaks väärtust, nimelt: m_0=np-q ja m"_0=np-q+1=np+p ;

2) kui np-q on murdarv, siis on üks kõige tõenäolisem arv, nimelt: ainuke täisarv võrratusest (3.4) saadud murdarvude vahel;

3) kui np on täisarv, siis on üks kõige tõenäolisem arv, nimelt: m_0=np .

Kell suured väärtused n Kõige tõenäolisemale arvule vastava tõenäosuse arvutamiseks on ebamugav kasutada valemit (3.3). Kui võrduses (3.3) asendame Stirlingi valemi

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

kehtivad piisavalt suure n korral ja võtame kõige tõenäolisema arvu m_0=np , siis saame valemi kõige tõenäolisemale arvule vastava tõenäosuse ligikaudseks arvutamiseks:

P_(m_0,n)\umbes\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Näide 2. On teada, et \frac(1)(15) osad tehase poolt kauplemisbaasi tarnitud tooted ei vasta kõigile standardi nõuetele. Baasi toimetati partii kaupa 250 tk. Leidke kõige tõenäolisem standardi nõuetele vastavate toodete arv ja arvutage välja tõenäosus, et see partii sisaldab kõige tõenäolisemalt tooteid.

Lahendus. Tingimuste järgi n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Ebavõrdsuse (3,4) järgi on meil

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

kus 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Seetõttu on kõige tõenäolisem standardi nõuetele vastavate toodete arv 250 tk. võrdub 234. Asendades andmed valemisse (3.5), arvutame tõenäosuse, et partiis on kõige tõenäolisem üksuste arv:

P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Kohalik Laplace'i teoreem

Bernoulli valemi kasutamine suurte n väärtuste jaoks on väga keeruline. Näiteks kui n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, siis tõenäosuse P_(30,50) leidmiseks on vaja arvutada avaldise väärtus

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Loomulikult tekib küsimus: kas intressi tõenäosust on võimalik arvutada ilma Bernoulli valemit kasutamata? Selgub, et saate. Kohalik teoreem Laplace annab asümptootilise valemi, mis võimaldab ligikaudselt leida sündmuste toimumise tõenäosust täpselt m korda n katses, kui katsete arv on piisavalt suur.

Teoreem 3.1. Kui sündmuse A toimumise tõenäosus p igas katses on konstantne ja erineb nullist ja ühest, siis tõenäosus P_(m,n), et sündmus A ilmneb n katses täpselt m korda, on ligikaudu võrdne (mida täpsemalt, suurem n ) funktsiooni väärtusele

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) aadressil .

On tabeleid, mis sisaldavad funktsiooni väärtusi \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), mis vastab argumendi x positiivsetele väärtustele. Sest negatiivsed väärtused samad tabelid kasutavad argumenti, kuna funktsioon \varphi(x) on paaris, st. \varphi(-x)=\varphi(x).

Seega on ligikaudu tõenäosus, et sündmus A ilmub n katses täpselt m korda,

P_(m,n)\aprox\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Kus x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Näide 3. Leidke tõenäosus, et sündmus A toimub täpselt 80 korda 400 katse jooksul, kui sündmuse A toimumise tõenäosus igas katses on 0,2.

Lahendus. Tingimuste järgi n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Kasutame asümptootilist Laplace'i valemit:

P_(80 400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

Arvutame probleemiandmetega määratud väärtuse x:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Tabeli adj järgi leiame 1 \varphi(0)=0,\!3989. Soovitud tõenäosus

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Bernoulli valem annab ligikaudu sama tulemuse (arvutused jäetakse nende kohmakuse tõttu tegemata):

P_(80 100)=0,\!0498.

Laplace'i integraalteoreem

Oletame, et viiakse läbi n sõltumatut katset, millest igaühes sündmuse A toimumise tõenäosus on konstantne ja võrdne p . On vaja arvutada tõenäosus P_((m_1,m_2),n), et sündmus A ilmub n katses vähemalt m_1 ja maksimaalselt m_2 korda (lühidalt ütleme "alates m_1 kuni m_2 korda"). Seda saab teha Laplace'i integraaliteoreemi abil.

Teoreem 3.2. Kui sündmuse A toimumise tõenäosus p igas katses on konstantne ja erineb nullist ja ühest, siis ligikaudu tõenäosus P_((m_1,m_2),n), et sündmus A ilmub katsetes m_1 kuni m_2 korda,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Kus.

Laplace'i integraaliteoreemi rakendamist nõudvate ülesannete lahendamisel kasutatakse spetsiaalseid tabeleid, kuna määramatu integraal \int(e^(-x^2/2)\,dx) läbi ei väljendata elementaarsed funktsioonid. Integreeritud laud \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz antud rakenduses. 2, kus on antud funktsiooni \Phi(x) väärtused positiivsed väärtused x , x jaoks<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 võib võtta \Phi(x)=0,\!5 .

Seega on ligikaudu tõenäosus, et sündmus A ilmub n sõltumatus katses vahemikus m_1 kuni m_2 korda,

P_((m_1,m_2),n)\umbes\Phi(x"")-\Phi(x"), Kus x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Näide 4. Tõenäosus, et detail on valmistatud rikkudes standardeid, p=0,\!2 . Leidke tõenäosus, et 400 juhuslikult valitud mittestandardse osa hulgas on 70 kuni 100 detaili.

Lahendus. Tingimuste järgi p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Kasutame Laplace'i integraalteoreemi:

P_((70,100),400)\umbes\Phi(x"")-\Phi(x").

Arvutame integreerimise piirid:

madalam

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

ülemine

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Seega

P_((70,100),400)\umbes\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Vastavalt tabelirakendusele. 2 leida

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Soovitud tõenäosus

P_((70 100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Laplace'i integraaliteoreemi rakendamine

Kui arv m (sündmuse A esinemiste arv n sõltumatus katses) muutub m_1-lt m_2-ks, siis murdosa \frac(m-np)(\sqrt(npq)) muutub alates \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" enne \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Seetõttu võib Laplace'i integraalteoreemi kirjutada ka järgmiselt:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Teeme ülesandeks leida tõenäosus, et suhtelise sageduse \frac(m)(n) hälve konstantsest tõenäosusest p in absoluutväärtus ei ületa etteantud arvu \varepsilon>0 . Teisisõnu leiame ebavõrdsuse tõenäosuse \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, mis on sama -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Seda tõenäosust tähistatakse järgmiselt: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Võttes arvesse valemit (3.6), saame selle tõenäosuse jaoks

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\õige).

Näide 5. Tõenäosus, et detail on mittestandardne, p=0,\!1 . Leidke tõenäosus, et juhuslikult valitud 400 detaili hulgas erineb mittestandardsete osade suhteline esinemissagedus absoluutväärtuses tõenäosusest p=0,\!1 mitte rohkem kui 0,03 võrra.

Lahendus. Tingimuste järgi n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Peame leidma tõenäosuse P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Kasutades valemit (3.7) saame

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\aprox2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

Vastavalt tabelirakendusele. 2 leiame \Phi(2)=0,\!4772 , seega 2\Phi(2)=0,\!9544 . Seega on soovitud tõenäosus ligikaudu 0,9544. Saadud tulemuse tähendus on järgmine: kui võtta piisavalt palju proove, igaüks 400 osa, siis ligikaudu 95,44% nendest proovidest on suhtelise sageduse hälve konstantsest tõenäosusest p=0,\!1 absoluutväärtus ei ületa 0,03.

Poissoni valem ebatõenäoliste sündmuste jaoks

Kui sündmuse toimumise tõenäosus p on eraldi katses nullilähedane, siis isegi suured numbrid testid n , kuid korrutise np väikese väärtuse korral ei ole Laplace'i valemiga saadud tõenäosused P_(m, n) piisavalt täpsed ja vaja on veel üht ligikaudset valemit.

Teoreem 3.3. Kui igas katses sündmuse A toimumise tõenäosus p on konstantne, kuid väike, on sõltumatute katsete arv n piisavalt suur, kuid korrutise np=\lambda väärtus jääb väikeseks (mitte rohkem kui kümme), siis on tõenäosus p. et sündmus A toimub nendes katsetes m korda,

P_(m,n)\umbes\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Arvutuste lihtsustamiseks Poissoni valemi abil on koostatud Poissoni funktsiooni väärtuste tabel \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(vt lisa 3).

Näide 6. Olgu mittestandardse detaili valmistamise tõenäosus 0,004. Leidke tõenäosus, et 1000 osa hulgas on 5 mittestandardset.

Lahendus. Siin n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Kõik kolm arvu vastavad teoreemi 3.3 nõuetele, seega kasutame soovitud sündmuse P_(5,1000) tõenäosuse leidmiseks Poissoni valemit. Vastavalt Poissoni funktsiooni väärtuste tabelile (app 3) \lambda=4;m=5 saame P_(51000)\umbes0,\!1563.

Leiame sama sündmuse tõenäosuse Laplace'i valemi abil. Selleks arvutame esmalt x väärtuse, mis vastab m=5 :

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\umbes0 ,\!501.

Seetõttu vastavalt Laplace'i valemile soovitud tõenäosus

P_(5,1000)\aprox\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\aprox\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

ja Bernoulli valemi järgi selle täpne väärtus

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\umbes0,\!1552.

Seega suhteline viga tõenäosuste P_(5,1000) arvutamine ligikaudse Laplace'i valemi abil on

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\umbes0,\!196 või 13,\!6\%

ja vastavalt Poissoni valemile -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\umbes0,\!007, või 0,\!7\%

See tähendab, et mitu korda vähem.
Liikuge järgmise jaotise juurde
Ühemõõtmelised juhuslikud muutujad Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peavad ActiveX-juhtelemendid olema lubatud!