Parem professionaal peaks olema koefitsientidega hästi kursis, kiiresti ja õigesti hinnata sündmuse tõenäosust koefitsiendiga ja vajadusel oskama teisendada koefitsiendid ühest vormingust teise. Selles juhendis räägime sellest, mis tüüpi koefitsiendid on, samuti analüüsime näidete abil, kuidas saate arvutada tõenäosus teadaoleva koefitsiendi järgi ja vastupidi.

Millised on koefitsientide tüübid?

Kihlveokontorite pakutavaid koefitsiente on kolm peamist tüüpi: kümnendkoefitsient, murdosa koefitsiendid(inglise keeles) ja ameerika koefitsiendid. Kõige levinumad koefitsiendid Euroopas on kümnendkohad. Ameerika koefitsiendid on Põhja-Ameerikas populaarsed. Murdkoefitsiendid on kõige traditsioonilisem tüüp, need kajastavad kohe teavet selle kohta, kui palju peate teatud summa saamiseks panustama.

Kümnendkoefitsient

Kümnendkohad või muidu kutsutakse neid Euroopa koefitsiendid- see on tavaline numbrivorming, mida esindab kümnendmurd täpsusega sajandik ja mõnikord isegi tuhandik. Kümnendkoefitsiendi näide on 1,91. Kasumi arvutamine kümnendkoefitsientide korral on väga lihtne, lihtsalt korrutage oma panuse summa selle koefitsiendiga. Näiteks matšis "Manchester United" - "Arsenal" määratakse "MU" võit koefitsiendiga - 2,05, viik on hinnatud koefitsiendiga - 3,9 ja "Arsenali" võit on võrdne - 2.95. Oletame, et oleme kindlad, et United võidab ja panustab neile 1000 dollarit. Seejärel arvutatakse meie võimalik sissetulek järgmiselt:

2.05 * $1000 = $2050;

Kas see pole tõesti nii raske? Samamoodi arvestatakse võimalikku tulu viigile ja Arsenali võidule panustamisel.

Joonista: 3.9 * $1000 = $3900;
Arsenali võit: 2.95 * $1000 = $2950;

Kuidas arvutada sündmuse tõenäosust kümnendkoefitsientide järgi?

Kujutage nüüd ette, et me peame määrama sündmuse tõenäosuse kihlveokontori määratud kümnendkoefitsiendiga. Seda on ka väga lihtne teha. Selleks jagame ühiku selle koefitsiendiga.

Võtame juba olemasolevad andmed ja arvutame iga sündmuse tõenäosuse:

Manchester Unitedi võit: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Joonista: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Arsenali võit: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Murdkoefitsiendid (inglise keeles)

Nagu nimigi ütleb murdosa koefitsient mida esindab harilik murd. Ingliskeelse paaritu näide on 5/2. Murru lugeja sisaldab arvu, mis on potentsiaalne netovõidu summa, ja nimetaja sisaldab arvu, mis näitab summat, mille peate selle võidu saamiseks panustama. Lihtsamalt öeldes peame 5 dollari võitmiseks panustama 2 dollariga. Koefitsient 3/2 tähendab, et 3 dollari netovõidu saamiseks peame panustama 2 dollarit.

Kuidas arvutada sündmuse tõenäosust murdosakoefitsientide järgi?

Sündmuse tõenäosuse arvutamine murdosakoefitsientide abil pole samuti keeruline, peate lihtsalt jagama nimetaja lugeja ja nimetaja summaga.

Murru 5/2 jaoks arvutame tõenäosuse: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Murru 3/2 jaoks arvutame tõenäosuse:

Ameerika koefitsiendid

Ameerika koefitsiendid Euroopas ebapopulaarne, Põhja-Ameerikas aga väga ebapopulaarne. Võib-olla on seda tüüpi koefitsiendid kõige keerulisemad, kuid see on ainult esmapilgul. Tegelikult pole seda tüüpi koefitsientides midagi keerulist. Vaatame nüüd kõike järjekorras.

Ameerika koefitsientide peamine omadus on see, et need võivad olla mõlemad positiivne, ja negatiivne. Ameerika koefitsientide näide on (+150), (-120). Ameerika koefitsient (+150) tähendab, et 150 dollari teenimiseks peame panustama 100 dollarit. Teisisõnu, positiivne Ameerika kordaja peegeldab potentsiaalset puhaskasumit 100-dollarise panuse korral. Negatiivne Ameerika koefitsient peegeldab panuse suurust, mis tuleb teha 100 dollari suuruse netovõidu saamiseks. Näiteks koefitsient (-120) ütleb meile, et panustades $120, võidame $100.

Kuidas arvutada Ameerika koefitsientide abil sündmuse tõenäosust?

Sündmuse tõenäosus Ameerika koefitsientide järgi arvutatakse järgmiste valemite abil:

(-(M)) / (((M)) + 100), kus M on negatiivne Ameerika koefitsient;
100/(P+100), kus P on positiivne Ameerika koefitsient;

Näiteks on meil koefitsient (-120), siis arvutatakse tõenäosus järgmiselt:

(-(M)) / (((M)) + 100); asendame "M" asemel väärtuse (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Seega on Ameerika koefitsiendiga (-120) sündmuse tõenäosus 54,5%.

Näiteks on meil koefitsient (+150), siis arvutatakse tõenäosus järgmiselt:

100/(P+100); asendame "P" asemel väärtuse (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Seega on Ameerika koefitsiendiga (+150) sündmuse tõenäosus 40%.

Kuidas, teades tõenäosuse protsenti, tõlkida see kümnendkoefitsiendiks?

Teadaoleva tõenäosuse protsendi kümnendkoefitsiendi arvutamiseks peate 100 jagama sündmuse tõenäosusega protsentides. Näiteks kui sündmuse tõenäosus on 55%, siis on selle tõenäosuse kümnendkoefitsient 1,81.

100 / 55% = 1,81

Kuidas, teades tõenäosuse protsenti, tõlkida see murdosakoefitsiendiks?

Tuntud tõenäosuse protsendi põhjal murdosakoefitsiendi arvutamiseks peate lahutama ühe 100 jagamisest sündmuse tõenäosusega protsentides. Näiteks meil on tõenäosusprotsent 40%, siis on selle tõenäosuse osakoefitsient võrdne 3/2-ga.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Murdkoefitsient on 1,5/1 või 3/2.

Kuidas, teades tõenäosuse protsenti, tõlkida see Ameerika koefitsiendiks?

Kui sündmuse tõenäosus on suurem kui 50%, tehakse arvutus valemi järgi:

- ((V) / (100 - V)) * 100, kus V on tõenäosus;

Näiteks meil on sündmuse tõenäosus 80%, siis on selle tõenäosuse Ameerika koefitsient võrdne (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Kui sündmuse tõenäosus on väiksem kui 50%, tehakse arvutus valemi järgi:

((100 – V) / V) * 100, kus V on tõenäosus;

Näiteks kui meil on sündmuse tõenäosusprotsent 20%, siis on selle tõenäosuse Ameerika koefitsient võrdne (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Kuidas koefitsienti teise vormingusse teisendada?

Mõnikord on vaja koefitsiente ühest vormingust teise teisendada. Näiteks on meil murdosa koefitsient 3/2 ja me peame teisendama selle kümnendkohaks. Murdarvu kümnendkoefitsiendiks teisendamiseks määrame esmalt murdosakoefitsiendiga sündmuse tõenäosuse ja seejärel teisendame selle tõenäosuse kümnendkoefitsiendiks.

Murdkoefitsiendiga 3/2 sündmuse toimumise tõenäosus on 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Nüüd teisendame sündmuse tõenäosuse kümnendkoefitsiendiks, selleks jagame 100 sündmuse tõenäosusega protsentides:

100 / 40% = 2.5;

Seega on murdosa koefitsient 3/2 võrdne kümnendkoefitsiendiga 2,5. Sarnasel viisil teisendatakse näiteks Ameerika koefitsiendid murdosadeks, kümnendkohad Ameerika koefitsientidele jne. Kõige raskem osa selle kõige juures on lihtsalt arvutused.

Majanduses, nagu ka muudes inimtegevuse valdkondades või looduses, peame pidevalt tegelema sündmustega, mida ei ole võimalik täpselt ennustada. Seega sõltub kaupade müügimaht nõudlusest, mis võib oluliselt erineda, ja mitmetest muudest teguritest, mida on peaaegu võimatu arvesse võtta. Seetõttu tuleb tootmist ja müüki korraldades ennustada sellise tegevuse tulemust kas enda varasema kogemuse või teiste inimeste sarnase kogemuse või intuitsiooni põhjal, mis samuti suuresti põhineb eksperimentaalsetel andmetel.

Selleks, et vaadeldavat sündmust kuidagi hinnata, on vaja arvestada või spetsiaalselt korraldada selle sündmuse jäädvustamise tingimused.

Nimetatakse teatud tingimuste või toimingute rakendamine kõnealuse sündmuse tuvastamiseks kogemusi või katse.

Üritus on nn juhuslik kui eksperimendi tulemusena võib see tekkida või mitte.

Üritus on nn autentne, kui see ilmneb tingimata selle kogemuse tulemusena ja võimatu kui see selles kogemuses ilmneda ei saa.

Näiteks lumesadu Moskvas 30. novembril on juhuslik sündmus. Igapäevast päikesetõusu võib pidada kindlaks sündmuseks. Lumesadu ekvaatoril võib pidada võimatuks sündmuseks.

Tõenäosusteooria üks peamisi probleeme on sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivse mõõdu määramise probleem.

Sündmuste algebra

Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui neid ei saa ühes kogemuses koos vaadelda. Seega on kahe ja kolme auto korraga müük ühes kaupluses kaks kokkusobimatut sündmust.

summa sündmused on sündmus, mis seisneb vähemalt ühe neist sündmustest

Sündmuste summa näiteks on kahest tootest vähemalt ühe olemasolu poes.

tööd sündmusi nimetatakse sündmuseks, mis seisneb kõigi nende sündmuste samaaegses toimumises

Sündmus, mis seisneb kahe kauba samaaegses poes ilmumises, on sündmuste produkt: - ühe toote ilmumine, - teise toote ilmumine.

Sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma, kui vähemalt üks neist esineb tingimata kogemuses.

Näide. Sadamas on kaks kaid laevadele. Käsitleda võib kolme sündmust: - laevade puudumine kaide ääres, - ühe laeva viibimine ühe kai ääres, - kahe laeva olemasolu kahe kai ääres. Need kolm sündmust moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Vastupidi nimetatakse kahte ainulaadset võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma.

Kui üks vastandlikest sündmustest on tähistatud tähega , siis vastupidine sündmus on tavaliselt tähistatud .

Sündmuse tõenäosuse klassikalised ja statistilised definitsioonid

Kõiki võrdselt võimalikke katsetulemusi (katseid) nimetatakse elementaarseks tulemuseks. Tavaliselt tähistatakse neid tähtedega . Näiteks visatakse täringut. Põhitulemusi võib olla kuus vastavalt külgedel olevate punktide arvule.

Elementaarsete tulemuste põhjal saate koostada keerukama sündmuse. Seega määratakse paarisarv punktide sündmus kolme tulemusega: 2, 4, 6.

Vaadeldava sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivne mõõde on tõenäosus.

Sündmuse tõenäosuse kohta kasutatakse kõige enam kahte definitsiooni: klassikaline ja statistiline.

Klassikaline tõenäosuse määratlus on seotud soodsa tulemuse mõistega.

Exodus nimetatakse soodne see sündmus, kui selle toimumine toob kaasa selle sündmuse toimumise.

Antud näites on vaadeldav sündmus paarisarv punkte langenud serval, sellel on kolm soodsat tulemust. Sel juhul kindral
võimalike tulemuste arv. Nii et siin saate kasutada sündmuse tõenäosuse klassikalist määratlust.

Klassikaline määratlus võrdub soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhtega

kus on sündmuse tõenäosus , on sündmuse soodsate tulemuste arv, on võimalike tulemuste koguarv.

Vaadeldavas näites

Tõenäosuse statistiline definitsioon on seotud sündmuse toimumise suhtelise sageduse mõistega katsetes.

Sündmuse suhteline esinemissagedus arvutatakse valemiga

kus on sündmuse esinemise arv katsete (testide) seerias.

Statistiline määratlus. Sündmuse tõenäosus on arv, mille suhtes suhteline sagedus stabiliseerub (kehtestab) katsete arvu piiramatu suurenemisega.

Praktilistes ülesannetes võetakse sündmuse tõenäosusena suhtelist sagedust piisavalt suure arvu katsete puhul.

Nendest sündmuse tõenäosuse definitsioonidest on näha, et ebavõrdsus kehtib alati

Sündmuse tõenäosuse määramiseks valemi (1.1) alusel kasutatakse sageli kombinatoorika valemeid soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu leidmiseks.

Õige panuse valimiseks on oluline teada, kuidas koefitsientide põhjal hinnata sündmuse tõenäosust. Kui te ei mõista, kuidas panustamiskoefitsiente koefitsientideks teisendada, ei saa te kunagi kindlaks teha, kuidas panustamiskoefitsiendid on võrreldavad sündmuse toimumise tegelike koefitsientidega. Tuleb mõista, et kui kihlveokontorite hinnangul on sündmuse toimumise tõenäosus väiksem kui sama sündmuse tõenäosus teie enda versiooni järgi, on panus sellele sündmusele väärtuslik. Erinevate sündmuste koefitsiente saate võrrelda veebisaidil Odds.ru.

1.1. Koefitsientide tüübid

Kihlveokontorid pakuvad tavaliselt kolme tüüpi koefitsiente – koma, murdosa ja Ameerika. Vaatame iga sorti.

1.2. Kümnendkoefitsient

Kümnendkoefitsient, kui korrutada panuse suurusega, võimaldab teil arvutada kogu summa, mille saate võidu korral. Näiteks kui panustate 1 dollari koefitsiendiga 1,80, saate võidu korral 1,80 dollarit (1 dollar on panuse tagastatud summa, 0,80 dollarit on panuse võit, mis on ka teie puhaskasum).

See tähendab, et kihlveokontorite hinnangul on tulemuse tõenäosus 55%.

1.3. Murdkoefitsiendid

Murdkoefitsiendid on kõige traditsioonilisemad koefitsiendid. Lugeja näitab potentsiaalset netovõidu summat. Nimetaja on panuse summa, mis tuleb sama võidu saamiseks teha. Näiteks koefitsient 7/2 tähendab, et 7 dollari suuruse netovõidu saamiseks peate panustama 2 dollarit.

Sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kümnendkoefitsiendi alusel tuleks teha lihtne arvutus - nimetaja jagatakse lugeja ja nimetaja summaga. Ülaltoodud koefitsiendi 7/2 puhul arvutatakse järgmine:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

See tähendab, et tulemuse tõenäosus on kihlveokontorite sõnul 22%.

1.4. Ameerika koefitsiendid

Seda tüüpi koefitsiendid on Põhja-Ameerikas populaarsed. Esmapilgul tunduvad need üsna keerulised ja arusaamatud, kuid ärge kartke. Ameerika koefitsientide mõistmine võib olla kasulik näiteks Ameerika kasiinodes mängides, et mõista Põhja-Ameerika spordiülekannetes näidatud tsitaate. Mõelgem välja, kuidas hinnata tulemuse tõenäosust Ameerika koefitsientide põhjal.

Kõigepealt peate mõistma, et Ameerika koefitsiendid on positiivsed ja negatiivsed. Ameerika negatiivsed koefitsiendid on alati formaadis, näiteks "-150". See tähendab, et 100 dollari puhaskasumi saamiseks (võitmiseks) peate panustama 150 dollariga.

Positiivne Ameerika koefitsient arvutatakse vastupidiselt. Näiteks on meil koefitsient "+120". See tähendab, et 120 dollari puhaskasumi (võidu) saamiseks peate panustama 100 dollarit.

Negatiivsetel Ameerika koefitsientidel põhinev tõenäosusarvutus tehakse järgmise valemi abil:

(-(negatiivne USA koefitsient)) / ((-(negatiivne USA koefitsient)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

See tähendab, et sündmuse tõenäosus, mille puhul on antud negatiivne Ameerika koefitsient “-150”, on 60%.

Nüüd kaaluge sarnaseid arvutusi positiivse Ameerika koefitsiendi jaoks. Sel juhul arvutatakse tõenäosus järgmise valemi abil:

100 / (positiivne USA koefitsient + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

See tähendab, et sündmuse tõenäosus, mille puhul on antud positiivne Ameerika koefitsient “+120”, on 45%.

1.5. Kuidas teisendada koefitsiente ühest vormingust teise?

Võimalus koefitsiente ühest vormingust teise tõlkida võib teile hiljem kasulik olla. Kummalisel kombel on ikka veel kihlvedude vahendajaid, kus koefitsiente ei konverteerita ja neid näidatakse ainult ühes vormingus, mis on meie jaoks harjumatu. Vaatame näiteid selle kohta, kuidas seda teha. Kuid kõigepealt peame õppima, kuidas arvutada meile antud koefitsiendi põhjal tulemuse tõenäosus.

1.6. Kuidas arvutada tõenäosuse põhjal kümnendkoefitsienti?

Siin on kõik väga lihtne. 100 on vaja jagada sündmuse tõenäosusega protsentides. See tähendab, et kui sündmuse hinnanguline tõenäosus on 60%, peate:

Kui sündmuse toimumise tõenäosus on hinnanguliselt 60%, oleks kümnendkoefitsient 1,66.

1.7. Kuidas arvutada tõenäosuse põhjal murdosa koefitsienti?

Sel juhul on vaja 100 jagada sündmuse tõenäosusega ja saadud tulemusest lahutada üks. Näiteks sündmuse tõenäosus on 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

See tähendab, et saame murdosa koefitsiendi 1,5/1 või loendamise hõlbustamiseks - 3/2.

1.8. Kuidas arvutada tõenäolise tulemuse põhjal Ameerika koefitsienti?

Siin sõltub palju sündmuse tõenäosusest – kas see on üle 50% või vähem. Kui sündmuse tõenäosus on suurem kui 50%, tehakse arvutus järgmise valemi järgi:

- ((tõenäosus) / (100 - tõenäosus)) * 100

Näiteks kui sündmuse tõenäosus on 80%, siis:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

Sündmuse hinnangulise tõenäosusega 80%, saime negatiivse Ameerika koefitsiendi "-400".

Kui sündmuse tõenäosus on väiksem kui 50 protsenti, on valem järgmine:

((100 - tõenäosus) / tõenäosus) * 100

Näiteks kui sündmuse tõenäosus on 40%, siis:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

Hinnangulise sündmuse tõenäosusega 40%, saime positiivse Ameerika koefitsiendi "+150".

Need arvutused aitavad teil paremini mõista panuste ja koefitsientide mõistet ning õppida hindama konkreetse panuse tegelikku väärtust.

Vastupidise sündmuse tõenäosus

Mõelge mõnele juhuslikule sündmusele A, ja lase oma tõenäosus p(A) teatud. Siis vastupidise sündmuse tõenäosus määratakse valemiga

. (1.8)

Tõestus. Tuletage meelde, et vastavalt aksioomile 3 kokkusobimatute sündmuste jaoks

p(A+B) = p(A) + p(B).

Sobimatuse tõttu A ja

Tagajärg., see tähendab, et võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Valemit (1.8) kasutatakse näiteks möödalaskmise tõenäosuse määramiseks, kui on teada tabamise tõenäosus (või vastupidi, tabamise tõenäosus, kui möödalaskmise tõenäosus on teada; näiteks kui tabamise tõenäosus on teada relva puhul on 0,9, selle möödalaskmise tõenäosus on (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Kahe sündmuse summa tõenäosus

Siin oleks asjakohane seda meenutada kokkusobimatute sündmuste jaoks see valem näeb välja selline:

Näide. Tehas toodab 85% esimese ja 10% teise klassi toodetest. Ülejäänud esemed loetakse defektseks. Kui suur on tõenäosus, et toote juhuslikult võttes saame defekti?

Otsus. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) = 0,05.

Kahe juhusliku sündmuse summa tõenäosus on võrdne

Tõestus. Kujutage ette sündmust A + B kokkusobimatute sündmuste summana

Arvestades kokkusobimatust A ja , saame vastavalt aksioomile 3

Samamoodi leiame

Asendades viimase eelmise valemiga, saame soovitud (1.10) (joonis 2).

Näide. Ajaloo eksami sooritas 20 õpilasest 5, inglise keeles 4 ja mõlemas aines 3 õpilast. Kui suur on nende õpilaste osakaal rühmas, kellel pole nendes ainetes kaheseid?

Otsus. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Tingimuslik tõenäosus

Mõnel juhul on vaja määrata juhusliku sündmuse tõenäosus B eeldades, et on toimunud juhuslik sündmus A, mille tõenäosus on nullist erinev. Et sündmus A juhtus, ahendab elementaarsündmuste ruumi hulgaks A sellele sündmusele vastav. Edasine arutluskäik viiakse läbi klassikalise skeemi näitel. Koosnegu W n võrdselt võimalikust elementaarsündmusest (tulemusest) ja sündmusest A soosib m(A) ja sündmus AB - m(AB) tulemusi. Tähistage sündmuse tingimuslikku tõenäosust B tingimusel, et A juhtus, - p(B|A). A-prioor,

= .

Kui a A juhtus, siis üks m(A) tulemused ja sündmus B saab juhtuda ainult siis, kui ilmneb üks soodsatest tulemustest AB; selliseid tulemusi m(AB). Seetõttu on loomulik panna sündmuse tingimuslik tõenäosus B tingimusel, et A juhtus, võrdub suhtega

Kokkuvõtteks anname üldise määratluse: sündmuse B tingimuslik tõenäosus, eeldusel, et sündmus A toimus nullist erineva tõenäosusega , helistas

. (1.11)

Lihtne on kontrollida, kas sel viisil sisestatud definitsioon rahuldab kõiki aksioome ja seetõttu on kõik eelnevalt tõestatud teoreemid tõesed.

Sageli tinglik tõenäosus p(B|A) on probleemi tingimustest kergesti leitav, keerulisematel juhtudel tuleb kasutada definitsiooni (1.11).

Näide. Urnis on N palli, millest n on valged ja N-n on mustad. Sellest võetakse pall välja ja ilma seda tagasi panemata ( näidis ilma tagastamiseta ), hankige teine. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on valged?

Otsus. Selle ülesande lahendamisel rakendame nii klassikalist tõenäosuse definitsiooni kui ka korrutisreeglit: tähistame A-ga sündmust, mis seisneb selles, et kõigepealt võeti välja valge pall (siis võeti kõigepealt välja must pall) ja B kaudu. sündmus, mis seisnes selles, et teine ​​pall võeti välja valge pall; siis

.

On lihtne näha, et tõenäosus, et kolm järjestikku (ilma asendamata) välja võetud palli on valged, on:

jne.

Näide. 30 eksamikaardist koostas õpilane vaid 25. Kui ta keeldub vastamast esimesele võetud piletile (mida ta ei tea), siis lubatakse tal võtta teine. Määrake tõenäosus, et teine ​​pilet on õnnelik.

Otsus. Las sündmus A seisneb selles, et esimene välja loositud pilet osutus õpilasele “halvaks” ja B- teine ​​- ² hea². Sest pärast üritust Aüks “halb” on juba välja võetud, siis on järel vaid 29 piletit, millest 25 on õpilasel teada. Seega on soovitud tõenäosus, eeldades, et mis tahes pileti ilmumine on võrdselt võimalik ja nad ei pöördu tagasi, võrdne .

1. Toote tõenäosus

Seos (1.11), eeldades, et p(A) või p(B) ei ole võrdsed nulliga, saab kirjutada kujul

Seda suhet nimetatakse teoreem kahe sündmuse korrutise tõenäosuse kohta , mida saab üldistada paljudele teguritele, näiteks kolme puhul on sellel vorm

Näide. Eelmise näite tingimustes leidke eksami eduka sooritamise tõenäosus, kui selleks peab õpilane vastama esimesele piletile või esimesele vastamata vastama kindlasti teisele.

Otsus. Lase sündmustel A ja B on see, et vastavalt esimene ja teine ​​pilet on "hea". Siis - esimest korda "halva" pileti ilmumine. Eksam sooritatakse sündmuse toimumisel A või samal ajal ja B. See tähendab, et soovitud sündmus C - eksami edukas sooritamine - väljendatakse järgmiselt: C = A+ .Siit

Siin oleme kokkusobimatuse ära kasutanud A ja sellest ka kokkusobimatus A ja , teoreemid summa ja korrutise tõenäosuse kohta ning tõenäosuse klassikaline määratlus arvutamisel p(A) ja .

Seda ülesannet saab veelgi lihtsamalt lahendada, kui kasutada teoreemi vastupidise sündmuse tõenäosuse kohta:

1. Sündmuste sõltumatus

Juhuslikud sündmused A ja Bhelistamesõltumatu, kui

Sõltumatute sündmuste puhul tuleneb (1.11), et ; ka vastupidine on tõsi.

Sündmuste sõltumatustähendab, et sündmuse A toimumine ei muuda sündmuse B toimumise tõenäosust, see tähendab, et tingimuslik tõenäosus on võrdne tingimusteta .

Näide. Vaatleme eelmist näidet urniga, mis sisaldab N palli, millest n on valged, kuid muudame kogemust: olles palli välja võtnud, paneme selle tagasi ja alles siis võtame järgmise välja ( too koos tagastusega ).

A on sündmus, kus valge pall tõmmati esimesena, sündmus, et must pall tõmmati esimesena, ja B on sündmus, kus valge pall tõmmati teisena; siis

see tähendab, et sel juhul on sündmused A ja B sõltumatud.

Seega on tagasiga proovivõtmisel palli teisel joonisel toimuvad sündmused sõltumatud esimese joonise sündmustest, kuid ilma asendamiseta proovivõtmisel see nii ei ole. Suure N ja n korral on need tõenäosused aga üksteisele väga lähedased. Seda kasutatakse seetõttu, et mõnikord tehakse proovide võtmist ilma asendamiseta (näiteks kvaliteedikontrollis, kui objekti testimine viib selle hävimiseni) ja arvutused tehakse asendamisega proovide võtmise valemite abil, mis on lihtsamad.

Praktikas kasutatakse tõenäosuste arvutamisel sageli reeglit, mille järgi sündmuste füüsilisest sõltumatusest järgneb nende sõltumatus tõenäosuslikus mõttes .

Näide. Tõenäosus, et 60-aastane inimene ei sure järgmise aasta jooksul, on 0,91. Kindlustusselts kindlustab kahe 60-aastase inimese elu aastaks.

Tõenäosus, et ükski neist ei sure: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Tõenäosus, et mõlemad surevad:

(1 – 0,91 × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Surma tõenäosus vähemalt üks:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Surma tõenäosus üks:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

Sündmuste süsteem A 1 , A 2 ,..., A n me nimetame agregaadis sõltumatuks, kui korrutise tõenäosus on võrdne selle süsteemi mis tahes tegurite kombinatsiooni tõenäosuste korrutisega. Sel juhul eelkõige

Näide. Seifi kood koosneb seitsmest kümnendkohast. Kui suur on tõenäosus, et varas saab esimese korraga õigesti aru?

Kõigis 7 positsioonis saate valida mis tahes 10 numbrit 0,1,2,...,9, kokku 10 7 numbrit alates 0000000 ja lõpetades numbriga 9999999.

Näide. Seifi kood koosneb vene tähest (neid on 33) ja kolmest numbrist. Kui suur on tõenäosus, et varas saab esimese korraga õigesti aru?

P = (1/33) × (1/10) 3.

Näide.Üldisemas vormis kindlustusprobleem: tõenäosus, et ... aasta vanune inimene järgmisel aastal ei sure, võrdub p. Kindlustusselts kindlustab n selles vanuses inimese elu aastaks.

Tõenäosus, et mitte keegi neist ei sure: pn (ei pea kellelegi kindlustusmakset maksma).

Surma tõenäosus vähemalt üks: 1 - p n (maksed tulevad).

Tõenäosus, et nad kõik die: (1 – p) n (suurimad väljamaksed).

Surma tõenäosus üks: n × (1 – p) × p n-1 (kui inimesed on nummerdatud, siis saab hukkunu nummerdada 1, 2,…,n – need on n erinevat sündmust, millest igaühe tõenäosus on (1 – p) × pn-1).

1. Kogutõenäosuse valem

Lase sündmustel H 1 , H 2 , ... , H n tingimustele vastama

Kui .

Sellist kollektsiooni nimetatakse kogu ürituste grupp.

Oletame, et teame tõenäosusi lk(Tere), lk(A/H i). Sel juhul kohaldatav kogu tõenäosuse valem

. (1.14)

Tõestus. Kasutame mida Tere(neid nimetatakse tavaliselt hüpoteesid ) on paaride kaupa ebajärjekindlad (seega vastuolulised ja Tere× A) ja nende summa on kindel sündmus

See skeem leiab aset alati, kui saame rääkida kogu sündmuste ruumi jagunemisest mitmeks üldiselt öeldes heterogeenseks piirkonnaks. Majandusteaduses on see riigi või piirkonna jagamine erineva suuruse ja tingimustega piirkondadeks, kui on teada iga piirkonna osakaal. p(tere) ja mõne parameetri tõenäosus (osakaal) igas piirkonnas (näiteks töötute protsent - see on igas piirkonnas erinev) - p (A/Tere). Ladu võib sisaldada kolme erineva tehase tooteid, mis tarnivad erinevas koguses erineva defektiprotsendiga tooteid jne.

Näide. Sigade valamine tuleb kahest poest kolmandasse: 70% esimesest ja 30% teisest. Samal ajal on esimese töökoja toodetel 10% ja teise 20% defektidest. Leidke tõenäosus, et ühel juhuslikult võetud plaadil on defekt.

Otsus: p(H1) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2) = 0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (keskmiselt 13% kolmanda poe toorikutest on defektsed).

Matemaatiline mudel võib olla näiteks järgmine: on mitu erineva koostisega urni; esimeses urnis on n 1 palli, millest m 1 on valged jne. Kogutõenäosuse valemit kasutatakse tõenäosuse leidmiseks, valides juhuslikult urni, et saada sellest valge pall.

Üldjuhul lahendatakse probleeme samamoodi.

Näide. Pöördume tagasi näite juurde N palli sisaldava urniga, millest n on valged. Me saame sellest välja (ilma tagastamata) kaks palli. Kui suur on tõenäosus, et teine ​​pall on valge?

Otsus. H 1 - esimene pall on valge; p(H1)=n/N;

H 2 - esimene pall on must; p(H2)=(N-n)/N;

B - teine ​​pall on valge; p(B|H1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Sama mudelit saab rakendada järgmise ülesande lahendamiseks: N piletist õppis õpilane ainult n. Mis on tema jaoks tulusam - tõmmata pilet kõige esimesena või teisena? Selgub, et igal juhul on see tõenäosus n/N loosib hea pileti ja suure tõenäosusega ( N-n)/N- halb.

Näide. Määrake tõenäosus, et punktist A lahkuv reisija jõuab punkti B, kui teehargmikul valib ta juhuslikult mis tahes tee (välja arvatud tagasisõidutee). Teekaart on näidatud joonisel fig. 1.3.

Otsus. Olgu vastavaks hüpoteesiks reisija saabumine punktidesse H 1 , H 2 , H 3 ja H 4. Ilmselgelt moodustavad nad tervikliku sündmuste rühma ja olenevalt probleemi olukorrast

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Kõik suunad A-st on reisijale võrdselt võimalikud). Teeskeemi järgi on B tabamise tingimuslikud tõenäosused, eeldusel, et reisija läbis H i , võrdsed:

Rakendades kogutõenäosuse valemit, saame

1. Bayesi valem

Oletame, et eelmise lõigu tingimused on täidetud ja lisaks on teada, et sündmus A juhtus. Leidke tõenäosus, et hüpotees täitus H k. Tingimusliku tõenäosuse definitsiooni järgi

. (1.15)

Saadud suhet nimetatakse Bayesi valem. Ta annab teada
(enne katset) hüpoteeside a priori tõenäosused p(tere) ja tingimuslikud tõenäosused p(A|Tere) määrake tingimuslik tõenäosus p(H k |A), mida nimetatakse a posteriori (see tähendab, et saadakse tingimusel, et kogemuse tulemusena sündmus A juba juhtunud).

Näide. Haiglasse sattunud patsientidest 30% kuulub esimesse sotsiaalsesse rühma, 20% teise ja 50% kolmandasse. Iga sotsiaalse rühma esindaja tuberkuloosi haigestumise tõenäosus on vastavalt 0,02, 0,03 ja 0,01. Juhuslikult valitud patsiendile tehtud analüüsid näitasid tuberkuloosi esinemist. Leidke tõenäosus, et tegemist on kolmanda rühma esindajaga.

See on nende vaatluste arvu suhe, mille käigus kõnealune sündmus aset leidis, vaatluste koguarvusse. Selline tõlgendus on lubatud piisava hulga vaatluste või katsete korral. Näiteks kui umbes pooled tänaval kohatud inimestest on naised, siis võib öelda, et tõenäosus, et tänaval kohatud inimene on naine, on 1/2. Teisisõnu võib selle esinemise sagedus juhusliku katse sõltumatute korduste seerias olla sündmuse tõenäosuse hinnang.

Tõenäosus matemaatikas

Kaasaegses matemaatilises käsitluses annab klassikalise (st mitte kvant) tõenäosuse Kolmogorovi aksiomaatika. Tõenäosus on mõõt P, mis on võtteplatsil seadistatud X, mida nimetatakse tõenäosusruumiks. Sellel meetmel peavad olema järgmised omadused:

Nendest tingimustest järeldub, et tõenäosus mõõdab P omab ka kinnisvara liitlikkus: kui seab A 1 ja A 2 ei ristu, siis . Selle tõestamiseks peate kõik panema A 3 , A 4 , … võrdne tühja hulgaga ja rakendage loendatava liitivuse omadust.

Tõenäosusmõõtu ei pruugi komplekti kõigi alamhulkade jaoks määratleda X. Piisab selle defineerimisest sigma-algebral, mis koosneb hulga mõnest alamhulgast X. Sellisel juhul määratletakse juhuslikud sündmused kui ruumi mõõdetavad alamhulgad X, see tähendab sigma algebra elementidena.

Tõenäosustunne

Kui leiame, et mõne võimaliku fakti tegeliku ilmnemise põhjused kaaluvad üles vastupidised põhjused, arvestame seda asjaolu tõenäoline, muidu - uskumatu. See positiivsete aluste ülekaal negatiivsete üle ja vastupidi võib esindada määramatut kraadide kogumit, mille tulemusena tõenäosus(ja ebatõenäolisus) seda juhtub rohkem või vähem .

Keerulised üksikud faktid ei võimalda nende tõenäosusastmete täpset arvutamist, kuid isegi siin on oluline kehtestada mõned suured alajaotused. Nii näiteks õigusvaldkonnas, kui tunnistaja ütluste põhjal tehakse kindlaks kohtualune isiklik fakt, jääb see rangelt võttes alati ainult tõenäoliseks ja on vaja teada, kui oluline see tõenäosus on; Rooma õiguses aktsepteeriti siin neljakordset jaotust: katseaeg(kus tõenäosus praktiliselt muutub autentsus), edasi - probatio miinus plena, siis - probatio semiplena major ja lõpuks probatio semiplena minor .

Lisaks juhtumi tõenäosuse küsimusele võib nii õiguse kui ka moraali valdkonnas (teatud eetilise seisukohaga) tõstatada küsimus, kui tõenäoline on, et antud konkreetne fakt kujutab endast üldseaduse rikkumist. See küsimus, mis on Talmudi religioosse jurisprudentsi peamiseks motiiviks, tõi roomakatoliku moraaliteoloogias (eriti alates 16. sajandi lõpust) kaasa väga keerukad süstemaatilised konstruktsioonid ja tohutu kirjanduse, dogmaatilise ja poleemilise (vt Tõenäosus). ).

Tõenäosuse mõiste lubab kindlat arvavaldist selle rakendamisel ainult selliste faktide puhul, mis on osa teatud homogeensetest seeriatest. Seega (lihtsaimas näites), kui keegi viskab münti sada korda järjest, leiame siit ühe üldise või suure seeria (mündi kõikide kukkumiste summa), mis koosneb kahest privaatsest või väiksemast. kääne arvuliselt võrdne, seeria (langeb " kotkas" ja langeb "sabad"); Tõenäosus, et seekord kukub münt saba, st et see üldrea uus liige kuulub kahe väiksema rea ​​hulka, on võrdne murdosaga, mis väljendab selle väikese ja suurema rea ​​arvulist suhet, nimelt 1/2, st sama tõenäosus kuulub ühele või teisele kahest erasarjast. Vähem lihtsate näidete puhul ei saa järeldust teha otse probleemi enda andmete põhjal, vaid see nõuab eelnevat esilekutsumist. Nii näiteks küsitakse: kui suur on tõenäosus, et antud vastsündinu elab 80-aastaseks? Siin peab olema üldine või suur seeria teadaolevast arvust inimestest, kes on sündinud sarnastes tingimustes ja surevad erinevas vanuses (see arv peab olema piisavalt suur, et välistada juhuslikud kõrvalekalded, ja piisavalt väike, et säilitada seeria homogeensus, sest inimene, sündinud näiteks Peterburis heal järjel kultuurperes, kogu linnamiljoniline elanikkond, millest olulise osa moodustavad inimesed erinevatest rühmadest, kes võivad enneaegselt surra - sõdurid, ajakirjanikud , ohtlike elukutsete töötajad – esindab tõenäosuse tegeliku määratluse jaoks liiga heterogeenset rühma) ; koosnegu see üldine seeria kümnest tuhandest inimelust; see sisaldab väiksemaid ridu, mis näitavad nende inimeste arvu, kes elavad selle või selle vanuseni; üks neist väiksematest ridadest tähistab kuni 80-aastaste inimeste arvu. Kuid selle väiksema seeria (nagu ka kõigi teiste) suurust on võimatu määrata. a priori; seda tehakse puhtalt induktiivsel viisil, statistika kaudu. Oletame, et statistilised uuringud on kindlaks teinud, et 10 000 keskklassi peterburglasest jääb 80-aastaseks ellu vaid 45; seega on see väiksem rida seotud suuremaga 45 kuni 10 000 ja tõenäosus, et antud inimene kuulub sellesse väiksemasse ritta, st elab kuni 80 aasta vanuseks, on väljendatud murdosana 0,0045. Tõenäosuse uurimine matemaatilisest vaatepunktist moodustab erilise distsipliini, tõenäosusteooria.

Vaata ka

Märkmed

Kirjandus

• Alfred Renyi. Tähed tõenäosuse kohta / tõlge. alates Hung. D. Saas ja A. Crumley, toim. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970. aasta
• Gnedenko B.V. Tõenäosuskursus. M., 2007. 42 lk.
• Kuptsov V.I. Determinism ja tõenäosus. M., 1976. 256 lk.

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Sünonüümid:

Antonüümid:

Vaadake, mis on "tõenäosus" teistes sõnaraamatutes:

Üldteaduslik ja filosoofiline. kategooria, mis tähistab massiliste juhuslike sündmuste esinemise võimalikkuse kvantitatiivset astet fikseeritud vaatlustingimustes ja iseloomustab nende suhteliste sageduste stabiilsust. Loogikas on semantiline aste ...... Filosoofiline entsüklopeedia

TÕENÄOSUS, arv vahemikus nullist üheni (kaasa arvatud), mis tähistab selle sündmuse toimumise võimalust. Sündmuse tõenäosus on defineeritud kui sündmuse toimumise võimaluste arvu suhe võimalike ... ... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik

Suure tõenäosusega .. Vene sünonüümide ja tähenduselt sarnaste väljendite sõnastik. all. toim. N. Abramova, M.: Vene sõnaraamatud, 1999. tõenäosus, võimalus, tõenäosus, juhus, objektiivne võimalus, maza, lubatavus, risk. Ant. võimatus...... Sünonüümide sõnastik

tõenäosus- Meede, et sündmus võib toimuda. Märkus. Tõenäosuse matemaatiline määratlus on "juhusliku sündmusega seotud reaalarv vahemikus 0 kuni 1". See arv võib kajastada vaatluste seeria suhtelist sagedust ... ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

Tõenäosus- "matemaatiline, numbriline karakteristik mis tahes sündmuse toimumise tõenäosuse astme kohta teatud konkreetsetes tingimustes, mida saab korrata piiramatu arv kordi." Põhineb sellel klassikal…… Majandus- ja matemaatikasõnaraamat

- (tõenäosus) Sündmuse või teatud tulemuse toimumise võimalus. Seda saab esitada skaalana jaotustega 0 kuni 1. Kui sündmuse tõenäosus on null, on selle toimumine võimatu. Tõenäosusega 1 algab ... Äriterminite sõnastik