Täisdiferentsiaalides. Võrrandid summaarsetes diferentsiaalides

Ülikooli üliõpilased otsivad sageli teavet "Kuidas leida lahendus võrrandile täisdiferentsiaalid?". Sellest õppetükist saate täielikud juhised pluss valmislahendused. Esiteks lühike tutvustus - Mis on summaarsete diferentsiaalide võrrand? Kuidas leida lahendust summaarsele diferentsiaalvõrrandile?
Järgmine on valmisnäidete analüüs, mille järel ei pruugi teil sellel teemal küsimusi jääda.

Võrrand summaarsetes diferentsiaalides

Definitsioon 1. Nimetatakse võrrandit kujul M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 võrrand summaarsetes diferentsiaalides, kui võrdusmärgi ees olev sõltuvus on kahe muutuja u(x,y) mõne funktsiooni summaarne diferentsiaal, siis on olemas õiglane valem
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Seega tähendab algne sisu võrrand, et funktsiooni kogudiferentsiaal on võrdne nulliga
du(x,y)=0 .
Saadud diferentsiaali integreerimine üldine integraal kaugjuhtimispult kujul
u(x,y)=C. (2)
Arvutustes seatakse konstant reeglina võrdseks nulliga.
Enne arvutusi tekib alati küsimus "Kuidas kontrollida, kas antud diferentsiaalvõrrand on täielik diferentsiaalvõrrand?"
Sellele küsimusele vastab järgmine tingimus.

Totaalseks diferentsiaaliks vajalik ja piisav tingimus

Totaalse diferentsiaali vajalik ja piisav tingimus on osatuletiste võrdsus
(3)
Diferentsiaalvõrrandi lahendamisel kontrollitakse eelkõige, kas võrrand on summaarsetes diferentsiaalides või on võimalik mõni muu.
Sisu poolest tähendab see tingimus, et funktsiooni segatuletised on omavahel võrdsed.
Valemites, võttes arvesse sõltuvusi
(4)
vajalik ja piisav seisukord täieliku erinevuse olemasolu saame selle vormile kirjutada

Antud kriteeriumi kasutatakse võrrandi vastavuse kontrollimiseks summaarsele diferentsiaalile, kuigi seda teemat uurides ei küsi õpetajad teist tüüpi võrrandeid.

Algoritm võrrandite lahendamiseks summaarsetes diferentsiaalides

Funktsiooni kogudiferentsiaali osatuletite tähistusest (4) järeldub, et u(x,y) leiame integreerimise teel

Need valemid pakuvad arvutustes valikuvõimalust, seetõttu vali integreerimiseks see osatuletis, mille integraali on praktikas lihtsam leida.
Edasi teiseks oluline punkt - määramatu integraal esindab antiderivaati see tähendab "+ C", mis tuleks määratleda.
Seega, kui integreerida osatuletise M(x,y) “x” suhtes, siis tuletis sõltub y-st ja vastupidi - kui integreerida N(x,y) y suhtes, siis tuletis sõltub "x".
Järgmiseks võtke konstandi määramiseks u(x,y) tuletis teise muutuja suhtes kui see, millega integreeriti, ja võrdsustage see teise osatuletisega.
Valemites näeb see välja selline

Reeglina on mõningaid termineid lihtsustatud ja saame konstandi tuletise võrrandi. Esimese võrrandi puhul saame

Lõpuks on üldintegraalil pärast konstandi määramist vorm

Sümmeetrilisel kujul saame vastuse teisele võrrandile.
Salvestus tundub ainult keeruline, kuid tegelikkuses tundub kõik palju lihtsam ja selgem. Analüüsige järgmisi diferentsiaalprobleeme.

Valmid vastused võrranditele kogudiferentsiaalides

Näide 1.

Lahendus: võrrandi vasak pool on täielik diferentsiaal teatud funktsiooni, kuna tingimus on täidetud

Siit kirjutada kahe muutuja funktsiooni osatuletis alates "x"

ja integratsiooni kaudu leiame selle vormi

Konstandi edasiseks määratlemiseks leida funktsiooni osatuletise suhtes"y" ja võrdsustage see võrrandis oleva väärtusega

Sarnased terminid tühistame paremal ja vasakul küljel, mille järel leiame integreerimise teel konstandi

Nüüd on meil kõik kogused kirja panna üldine lahendus diferentsiaalvõrrand nagu

Kuidas saab kindel olla summaarsete diferentsiaalide võrrandite lahendamise skeem See pole keeruline ja igaüks saab seda õppida. Diferentsiaalide tegurid on olulised, kuna need tuleb lahenduse leidmiseks integreerida ja eristada.

Näide 2. (6.18) Leia diferentsiaalvõrrandi integraal

Lahendus: Teooria kohaselt peaks võrrandi vasak pool olema kahe muutuja mingi funktsiooni u(x,y) summaarne diferentsiaal ja kontrollime, kas tingimus on täidetud

Siit võtame osatuletise ja integraali kaudu leiame funktsiooni

Arvutame kahe muutuja funktsiooni osalise tuletise suhtes y ja võrdsusta see diferentsiaalvõrrandi parema poolega.

Tuletist väljendatakse sõltuvusega

Arvestades konstanti, saime selle vormis

See on kõik arvutuste jaoks see näide lõpetatud.

Näide 3. (6.20)Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: kui tingimus on täidetud, võrrandi vasak pool on kahe muutuja u(x; y) mõne funktsiooni summaarne diferentsiaal

Siit hakkame lahendama võrrandeid või õigemini ühe osatuletise integreerimist

Järgmisena leiame saadud funktsiooni tuletise muutuja y suhtes ja võrdsustame selle diferentsiaalsõltuvuse parema poolega

See võimaldab leida konstandi y funktsioonina. Kui hakkame näitama parempoolset diferentsiaalsõltuvust, leiame, et konstant sõltub x-st. jaoks see ei muutu antud võrrand paistab nagu

Sellega on näide lõpetatud. Diferentsiaalvõrrandi üldlahend saame kirjutada valemi

Teema kinnistamiseks palume teil iseseisvalt kontrollida, kas need võrrandid on summaarsete diferentsiaalide võrrandid, ja need lahendada:
Siit leiate juurfunktsioone, trigonomeetrilisi funktsioone, eksponente, logaritme, ühesõnaga - kõike, mis teid moodulites ja eksamites oodata võib.
Pärast seda on teil seda tüüpi võrrandit palju lihtsam lahendada.
Järgmises artiklis saate tuttavaks vormi võrranditega
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
mis on summaarsetes diferentsiaalides üsna sarnased võrrandiga, kuid nad ei rahulda osatuletiste võrdsuse tingimust. Need arvutatakse integreeriva teguri otsimisel, korrutades, millega antud võrrand muutub summaarsete diferentsiaalide võrrandiks.

Selles teemas vaatleme funktsiooni rekonstrueerimise meetodit selle kogudiferentsiaalist ja toome näiteid probleemidest koos lahenduse täieliku analüüsiga.

Juhtub, et diferentsiaalvõrrandid (DE) kujul P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 võivad sisaldada mõne funktsiooni vasakpoolseid diferentsiaale. Siis leiame diferentsiaalvõrrandi üldise integraali, kui rekonstrueerime funktsiooni esmalt selle kogudiferentsiaalist.

Näide 1

Vaatleme võrrandit P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Vasakpoolne külg sisaldab teatud funktsiooni diferentsiaali U(x, y) = 0. Selleks peab olema täidetud tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Funktsiooni U (x, y) = 0 summaarne diferentsiaal on kujul d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Võttes arvesse tingimust ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x saame:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Teisendades saadud võrrandisüsteemist esimese võrrandi, saame:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funktsiooni φ (y) leiame eelnevalt saadud süsteemi teisest võrrandist:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Nii leidsime soovitud funktsiooni U (x, y) = 0.

Näide 2

Kaugjuhtimispuldi leidmine (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 ühine otsus.

Lahendus

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Kontrollime, kas tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x on täidetud:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Meie tingimus on täidetud.

Arvutuste põhjal võime järeldada, et algse diferentsiaalvõrrandi vasak pool on mingi funktsiooni U (x, y) = 0 summaarne diferentsiaal. Peame selle funktsiooni leidma.

Kuna (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y on funktsiooni U (x, y) = 0 summaarne diferentsiaal, siis

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integreerime süsteemi esimese võrrandi x suhtes:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Nüüd eristame saadud tulemust y suhtes:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Teisendades süsteemi teist võrrandit, saame: ∂ U ∂ y = - 2 x y . See tähendab et
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kus C on suvaline konstant.

Saame: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Algvõrrandi üldintegraal on x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Vaatame veel ühte meetodit funktsiooni leidmiseks, kasutades teadaolevat kogudiferentsiaali. See hõlmab kõverjoonelise integraali kasutamist fikseeritud punktist (x 0, y 0) muutuvate koordinaatidega punktini (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Sellistel juhtudel ei sõltu integraali väärtus kuidagi lõimumisteest. Integratsiooniteeks võime võtta katkendjoone, mille lülid paiknevad paralleelselt koordinaattelgedega.

Näide 3

Leidke diferentsiaalvõrrandi (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 üldlahend.

Lahendus

Kontrollime, kas tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x on täidetud:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Selgub, et diferentsiaalvõrrandi vasak pool on esindatud mõne funktsiooni U (x, y) = 0 kogudiferentsiaaliga. Selle funktsiooni leidmiseks on vaja arvutada kõverjooneline integraal punktist (1 ; 1) enne (x, y). Võtame lõimimisteeks katkendjoone, mille lõigud läbivad sirgjooneliselt y = 1 punktist (1, 1) punktini (x, 1) ja seejärel punktist (x, 1) punktini (x, y):

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Oleme saanud üldlahenduse diferentsiaalvõrrandile kujul x y - x y 2 + C = 0.

Näide 4

Määrake diferentsiaalvõrrandi y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 üldlahend.

Lahendus

Kontrollime, kas tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x on täidetud.

Kuna ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, siis tingimus ei ole täidetud. See tähendab, et diferentsiaalvõrrandi vasak pool ei ole funktsiooni täielik diferentsiaal. See on eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand ja selle lahendamiseks sobivad muud lahendused.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Definitsioon: vormi võrrand

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

kus vasak pool on kahe muutuja mõne funktsiooni summaarne diferentsiaal, nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks.

Tähistame seda kahe muutuja funktsiooni F(x,y). Siis saab võrrandi (9) ümber kirjutada kujule dF(x,y) = 0 ja sellel võrrandil on üldlahend F(x,y) = C.

Olgu antud võrrand kujul (9). Selleks, et teada saada, kas tegemist on täieliku diferentsiaalvõrrandiga, tuleb kontrollida, kas avaldis on seda

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

kahe muutuja mõne funktsiooni summaarne diferentsiaal. Selleks peate kontrollima võrdsust

Oletame, et antud avaldise (10) korral on võrdsus (11) täidetud mõnes lihtsalt ühendatud domeenis (S) ja seetõttu on avaldis (10) mingi funktsiooni F(x,y) summaarne diferentsiaal (S) ).

Mõelgem järgmine viis selle antiderivaadi leidmine. On vaja leida funktsioon F(x,y) selline, et

kus funktsioon (y) määratletakse allpool. Valemist (12) järeldub siis, et

piirkonna kõigis punktides (S). Nüüd valime funktsiooni (y), et võrdsus kehtiks

Selleks kirjutame ümber meile vajaliku võrrandi (14), asendades F(x,y) asemel selle avaldise valemi (12) järgi:

Diferentseerime y suhtes integraalimärgi all (seda saab teha, kuna P(x,y) ja - pidevad funktsioonid kaks muutujat):

Kuna vastavalt (11), siis asendades integraalimärgi all (16), on meil:

Olles integreerinud üle y, leiame funktsiooni enda (y), mis on konstrueeritud nii, et võrdus (14) on täidetud. Võrdseid (13) ja (14) kasutades näeme seda

piirkonnas (S). (18)

Näide 5. Kontrolli, kas antud diferentsiaalvõrrand on summaarne diferentsiaalvõrrand ja lahenda see.

See on diferentsiaalvõrrand kogudiferentsiaalides. Tegelikult oleme määramisega selles veendunud

ja see on vajalik ja piisav tingimus selleks, et väljend

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

on mingi funktsiooni U(x,y) summaarne diferentsiaal. Pealegi on need funktsioonid, mis on R-s pidevad.

Seetõttu peate selle diferentsiaalvõrrandi integreerimiseks leidma funktsiooni, mille diferentsiaalvõrrandi vasak pool on kogudiferentsiaal. Olgu selliseks funktsiooniks siis U(x,y).

Integreerides vasaku ja parema külje üle x, saame:

q(y) leidmiseks kasutame fakti, et

Asendades leitud väärtuse μ(y) väärtusega (*), saame lõpuks funktsiooni U(x,y):

Algvõrrandi üldintegraalil on vorm

Esimest järku diferentsiaalvõrrandite põhitüübid (jätkub).

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Definitsioon: Esimest järku lineaarvõrrand on vormi võrrand

y" + P(x)y = f(x), (21)

kus P(x) ja f(x) on pidevad funktsioonid.

Võrrandi nimetus on seletatav sellega, et tuletis y" on lineaarne funktsioon y-st, st kui me kirjutame võrrandi (21) ümber kujul y" = - P(x) + f(x), siis parem osa sisaldab y-d ainult esimese astmeni.

Kui f(x) = 0, siis võrrand

yґ+ P(x) y = 0 (22)

nimetatakse lineaarseks homogeenseks võrrandiks. Ilmselgelt on homogeenne lineaarvõrrand eraldatavate muutujatega võrrand:

y" +P(x)y = 0; ,

Kui f(x) ? 0, siis võrrand

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

nimetatakse lineaarseks mittehomogeenseks võrrandiks.

IN üldine juhtum võrrandis (21) olevaid muutujaid ei saa eraldada.

Võrrand (21) lahendatakse järgmiselt: otsime lahendust kahe funktsiooni U(x) ja V(x) korrutise kujul:

Leiame tuletise:

y" = UV"V + UV" (25)

ja asendage need avaldised võrrandiga (1):

UV"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Rühmitame terminid vasakule küljele:

UV"V + U = f(x). (26)

Kehtestame ühele teguritest (24) tingimuse, nimelt eeldame, et funktsioon V(x) on selline, mis muudab avaldise nurksulud punktis (26), s.o. et see on diferentsiaalvõrrandi lahendus

V" + P(x)V = 0. (27)

See on eraldatavate muutujatega võrrand, millest leiame V(x):

Nüüd leiame funktsiooni U(x) nii, et juba leitud funktsiooniga V(x) on korrutis U V võrrandi (26) lahend. Selleks on vaja, et U(x) oleks võrrandi lahend

See on eraldatav võrrand, nii et

Asendades leitud funktsioonid (28) ja (30) valemiga (4), saame võrrandi (21) üldlahenduse:

Seega vaadeldav meetod (Bernoulli meetod) vähendab lahendust lineaarvõrrand(21) kahe eraldatavate muutujatega võrrandi lahendusele.

Näide 6. Leidke võrrandi üldintegraal.

See võrrand ei ole lineaarne y ja y" suhtes, kuid see osutub lineaarseks, kui pidada x soovitud funktsiooniks ja y argumendiks. Tõepoolest, minnes edasi, saame

Saadud võrrandi lahendamiseks kasutame asendusmeetodit (Bernoulli). Otsime võrrandi lahendit kujul x(y)=U(y)V(y), siis. Saame võrrandi:

Valime funktsiooni V(y) nii, et. Siis

Vormi diferentsiaalvõrrandite vasakpoolsed küljed on mõnikord teatud funktsioonide täielikud diferentsiaalid. Kui taastate funktsiooni selle kogudiferentsiaalist, leiate diferentsiaalvõrrandi üldise integraali. Selles artiklis kirjeldame meetodit funktsiooni taastamiseks selle kogudiferentsiaalist, teoreetiline materjal Toome näiteid ja ülesandeid Täpsem kirjeldus lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi vasak pool on mingi funktsiooni U(x, y) = 0 summaarne diferentsiaal, kui tingimus on täidetud.

Kuna funktsiooni U(x, y) = 0 summaarne diferentsiaal on , siis kui tingimus on täidetud, võime seda öelda . Seega .

Meie süsteemi esimesest võrrandist . Funktsiooni saab leida süsteemi teise võrrandi abil:

Nii leitakse soovitud funktsioon U(x, y) = 0.

Vaatame näidet.

Näide.

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend .

Lahendus.

Selles näites. Tingimus on täidetud, sest

seetõttu on algse diferentsiaalvõrrandi vasak pool mingi funktsiooni U(x, y) = 0 kogudiferentsiaal. Meie ülesanne taandub selle funktsiooni leidmisele.

Sest on funktsiooni U(x, y) = 0 summaarne diferentsiaal, siis . Integreerime süsteemi esimese võrrandi x suhtes ja diferentseerime saadud tulemuse y suhtes . Teisest küljest on meil süsteemi teisest võrrandist . Seega

kus C on suvaline konstant.

Seega ja algvõrrandi üldine integraal on .

On veel üks meetod funktsiooni leidmiseks selle kogudiferentsiaali järgi. See koosneb võtmisest kõverjooneline integraal fikseeritud punktist (x 0 , y 0) muutuvate koordinaatidega punkti (x, y): . Sel juhul ei sõltu integraali väärtus integratsiooni teest. Integratsiooniteeks on mugav võtta katkendjoont, mille lülid on paralleelsed koordinaattelgedega.

Vaatame näidet.

Näide.

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend .

Lahendus.

Kontrollime, kas tingimus on täidetud:

Seega on diferentsiaalvõrrandi vasak pool mingi funktsiooni U(x, y) = 0 summaarne diferentsiaal. Leiame selle funktsiooni, arvutades kõverjoonelise integraali punktist (1; 1) punktini (x, y). Integratsiooniteena võtame katkendjoone: katkendjoone esimene lõik läheb mööda sirget y = 1 punktist (1, 1) punktini (x, 1), tee teine lõik läheb võta sirglõik punktist (x, 1) punktini (x, y).

Definitsioon 8.4. Vormi diferentsiaalvõrrand

Kus
nimetatakse täielikuks diferentsiaalvõrrandiks.

Pange tähele, et sellise võrrandi vasak pool on mõne funktsiooni kogudiferentsiaal
.

Üldiselt võib võrrandit (8.4) esitada järgmiselt

Võrrandi (8.5) asemel võime käsitleda võrrandit

mille lahendiks on võrrandi (8.4) üldintegraal. Seega on võrrandi (8.4) lahendamiseks vaja leida funktsioon
. Kooskõlas võrrandi (8.4) definitsiooniga on meil

(8.6)

Funktsioon
otsime funktsiooni, mis vastab ühele järgmistest tingimustest (8.6):

Kus - suvaline funktsioon, sõltumatu .

Funktsioon
on defineeritud nii, et avaldise (8.6) teine tingimus on täidetud

(8.7)

Avaldise (8.7) põhjal määratakse funktsioon
. Asendades selle väljendiga for
ja saada algse võrrandi üldine integraal.

Ülesanne 8.3. Integreeri võrrand

Siin
.

Seetõttu kuulub see võrrand summaarsete diferentsiaalide diferentsiaalvõrrandite tüüpi. Funktsioon
me otsime seda vormis

Teisel pool,

Mõnel juhul seisund
ei pruugi täituda.

Seejärel taandatakse sellised võrrandid vaadeldavaks tüübiks, korrutades nn integreeriva teguriga, mis üldjuhul on ainult funktsioon või .

Kui mõnel võrrandil on integreeriv tegur, mis sõltub ainult , siis määratakse see valemiga

kus on suhe peaks olema ainult funktsioon .

Samamoodi integreeriv tegur sõltub ainult , määratakse valemiga

kus on suhe
peaks olema ainult funktsioon .

Esimesel juhul muutuja puudumine antud suhetes , ja teises - muutuja , on märk antud võrrandi integreeriva teguri olemasolust.

Ülesanne 8.4. Tahandage see võrrand summaarsete diferentsiaalide võrrandiks.

Mõelge suhtele:

Teema 8.2. Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Definitsioon 8.5. Diferentsiaalvõrrand
nimetatakse lineaarseks, kui see on soovitud funktsiooni suhtes lineaarne , selle tuletis ja ei sisalda soovitud funktsiooni ja selle tuletise korrutist.

Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju on esitatud järgmise seosega:

(8.8)

Kui suhtes (8.8) parem pool
, siis nimetatakse sellist võrrandit lineaarseks homogeenseks. Juhul, kui parem pool
, siis nimetatakse sellist võrrandit lineaarseks ebahomogeenseks.

Näitame, et võrrandit (8.8) saab integreerida kvadratuuridesse.

Esimeses etapis käsitleme lineaarset homogeenset võrrandit.

Selline võrrand on eraldatavate muutujatega võrrand. Tõesti,

;

Viimane seos määrab lineaarse üldlahenduse homogeenne võrrand.

Lineaarsele mittehomogeensele võrrandile üldlahenduse leidmiseks kasutatakse konstandi tuletise muutmise meetodit. Meetodi idee seisneb selles, et lineaarse ebahomogeense võrrandi üldlahend on samal kujul kui vastava homogeense võrrandi lahendus, kuid suvaline konstant asendatud mõne funktsiooniga
määrata kindlaks. Nii et meil on:

(8.9)

Asendades relatsiooniks (8.8) vastavad avaldised
Ja
, saame

Asendades viimase avaldise seosega (8.9), saame lineaarse ebahomogeense võrrandi üldintegraali.

Seega määratakse lineaarse ebahomogeense võrrandi üldlahend kahe kvadratuuriga: lineaarse homogeense võrrandi üldlahendus ja lineaarse ebahomogeense võrrandi erilahend.

Ülesanne 8.5. Integreeri võrrand