Kako se određuje kut između ravnih linija u prostoru? Kut između dviju ravnih linija

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, teško je, kao da sam sebi čita rečenicu =) Ipak, opuštanje će pomoći kasnije, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajući pribor. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Uzajamni položaj dviju ravnih linija

To je slučaj kada publika zborski pjeva. Dvije ravne linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : Zapamtite matematički znak raskrižja, pojavit će se vrlo često. Oznaka znači da se pravac siječe s pravcem u točki .

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji broj "lambda" takav da su jednakosti zadovoljene

Razmotrimo ravne linije i izradimo tri jednadžbe iz odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s –1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjiti za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj, kada su linije paralelne:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su njihovi koeficijenti varijabli proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, sasvim je očito da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, to jest, NE POSTOJI takva vrijednost "lambda" da su jednakosti zadovoljene

Dakle, za ravne linije stvorit ćemo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi , a iz druge jednadžbe: , što znači sustav je nekonzistentan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima možete koristiti shemu rješenja o kojoj smo upravo govorili. Usput, vrlo podsjeća na algoritam za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo gledali u razredu Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Osnova vektora. Ali postoji civiliziranije pakiranje:

Primjer 1

Odredi relativni položaj linija:

Riješenje na temelju proučavanja vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, što znači da vektori nisu kolinearni i da se pravci sijeku.

Za svaki slučaj postavit ću kamen sa znakovima na raskršću:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili se podudaraju. Ovdje ne treba računati determinantu.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni i .

Utvrdimo je li jednakost istinita:

Tako,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (općenito je zadovoljava bilo koji broj).

Dakle, linije se podudaraju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste čak već naučili) riješiti problem o kojem se govori usmeno doslovno u nekoliko sekundi. U tom smislu, ne vidim smisla nuditi ništa za neovisno rješenje; bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako konstruirati pravac paralelan zadanom?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka, Slavuj Razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom. Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Označimo nepoznatu crtu slovom . Što stanje govori o njoj? Pravac prolazi točkom. A ako su linije paralelne, onda je očito da je vektor smjera ravne linije "tse" također prikladan za konstruiranje ravne linije "de".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Odgovor:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitičko ispitivanje sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

U većini slučajeva, analitička ispitivanja mogu se jednostavno izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo odrediti paralelnost pravaca bez ikakvog crteža.

Primjeri za neovisna rješenja danas će biti kreativni. Jer i dalje ćete se morati natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne toliko racionalan način da se to riješi. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je vrlo poznat iz školskog programa:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Izvoli geometrijsko značenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice- to su dvije (najčešće) linije koje se sijeku u ravnini.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafička metoda je jednostavno crtanje zadanih linija i pronalaženje sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava. U biti, gledali smo grafičko rješenje sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke ravne linije nije lako konstruirati, a sama točka sjecišta može se nalaziti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je točku sjecišta svrsishodnije tražiti analitičkom metodom. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, uzmite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate sjecišta moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer koji sami trebate riješiti. Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Zapišite jednadžbu pravca.
2) Napravite jednadžbu ravne linije.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj akcijskog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme i ja ću se više puta usredotočiti na to.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Čak ni par cipela nije bio izlizan prije nego što smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između ravnih linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu s ovom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako konstruirati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom. Napišite jednadžbu okomitu na pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Po uvjetu je poznato da . Bilo bi lijepo pronaći smjerni vektor pravca. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Sastavimo jednadžbu ravne crte koristeći točku i vektor smjera:

Odgovor:

Proširimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Iz jednadžbi izvadimo vektore smjera i uz pomoć skalarni produkt vektora dolazimo do zaključka da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Test je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer koji sami trebate riješiti. Problem ima nekoliko radnji, pa je zgodno formulirati rješenje točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalniji put će biti kretanje po okomici. To jest, udaljenost od točke do linije je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom “rho”, na primjer: – udaljenost od točke “em” do pravca “de”.

Udaljenost od točke do linije izražen formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovor:

Napravimo crtež:

Pronađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrimo još jedan zadatak na temelju istog crteža:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na ravnu crtu . Predlažem da sami izvedete korake, ali ja ću prikazati algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate središta segmenta pronašli smo .

Bilo bi dobro provjeriti je li i udaljenost 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, omogućujući vam izračunavanje običnih razlomaka. Savjetovao sam vas mnogo puta i opet ću vas preporučiti.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dviju paralelnih pravaca

Ovo je još jedan primjer za koji sami odlučujete. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se to riješi. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami pogoditi, mislim da je vaša genijalnost dobro razvijena.

Kut između dviju ravnih linija

Svaki ugao je zastoj:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran kutak "malina".

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut "pomiče" je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da se možemo snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da formule pomoću kojih ćemo pronaći kutove vrlo lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativni kut, strijelicom (u smjeru kazaljke na satu) obavezno označite njegovu orijentaciju.

Kako pronaći kut između dviju ravnih linija? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje I Metoda jedan

Razmotrimo dvije ravne linije definirane jednadžbama u općem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentiran Kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod usmjerujući vektori ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva o neokomitosti ravnih linija u formulaciji.

Na temelju gore navedenog, prikladno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni produkt vektora smjera pravaca:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Pronađite kut između ravnih linija pomoću formule:

Korištenjem inverzne funkcije lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U vašem odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što je kut ispao negativne orijentacije, jer je u tvrdnji problema prvi broj ravna crta i upravo je s njom počelo “odvrtanje” kuta.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Definicija. Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će šiljasti kut između ovih linija biti definiran kao

Dva pravca su paralelna ako je k 1 = k 2. Dva pravca su okomita ako je k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Pravci Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je također C 1 = λC, tada se pravci podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku

Okomito na zadanu liniju

Definicija. Ravnica koja prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomita na ravnu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do pravca Ax + Bu + C = 0 određuje kao

.

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnicu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.

Riješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Riješenje. Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dviju ravnih linija. Uvjet paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija. Određivanje točke presjeka dviju linija

1. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku A(x 1 , g 1) u zadanom smjeru, određenom nagibom k,

g - g 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednadžba definira niz linija koje prolaze kroz točku A(x 1 , g 1), koji se naziva centar grede.

2. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke: A(x 1 , g 1) i B(x 2 , g 2), napisano ovako:

Kutni koeficijent pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke određen je formulom

3. Kut između ravnih linija A I B je kut za koji se mora zakrenuti prva pravac A oko točke sjecišta ovih linija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi s drugom linijom B. Ako su dva pravca dana jednadžbama s nagibom

g = k 1 x + B 1 ,

g = k 2 x + B 2 , (4)

tada je kut između njih određen formulom

Treba primijetiti da se u brojniku razlomka nagib prve crte oduzima od nagiba druge crte.

Ako su jednadžbe pravca dane u općem obliku

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 g + C 2 = 0, (6)

kut između njih određuje se formulom

4. Uvjeti za paralelnost dviju linija:

a) Ako su pravci zadani jednadžbama (4) s kutnim koeficijentom, tada je nužan i dovoljan uvjet njihove paralelnosti jednakost njihovih kutnih koeficijenata:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su pravci zadani jednadžbama u općem obliku (6), nužan i dovoljan uvjet za njihovu paralelnost je da su koeficijenti za odgovarajuće trenutne koordinate u njihovim jednadžbama proporcionalni, tj.

5. Uvjeti za okomitost dviju linija:

a) U slučaju kada su pravci zadani jednadžbama (4) s kutnim koeficijentom, nužan i dovoljan uvjet za njihovu okomitost je da su im kutni koeficijenti inverzne veličine i suprotnog predznaka, tj.

Ovaj uvjet se također može napisati u obrascu

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe pravaca zadane u općem obliku (6), tada je uvjet njihove okomitosti (potreban i dovoljan) da se zadovolji jednakost

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Rješavanjem sustava jednadžbi (6) nalaze se koordinate sjecišta dviju pravaca. Pravci (6) se sijeku ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravaca koji prolaze točkom M, od kojih je jedan usporedan, a drugi okomit na zadani pravac l.

Pomoću ovog online kalkulatora možete pronaći kut između ravnih linija. Dano je detaljno rješenje s obrazloženjima. Za izračun kuta između ravnih linija postavite dimenziju (2 ako se razmatra pravac na ravnini, 3 ako se razmatra pravac u prostoru), unesite elemente jednadžbe u ćelije i kliknite na "Riješi" dugme. Pogledajte teorijski dio u nastavku.

×

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Upute za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

1. Kut između ravnih pravaca u ravnini

Pravci su definirani kanonskim jednadžbama

1.1. Određivanje kuta između ravnih pravaca

Neka linije budu u dvodimenzionalnom prostoru L 1 i L

Dakle, iz formule (1.4) možemo pronaći kut između pravaca L 1 i L 2. Kao što se može vidjeti na slici 1, linije koje se sijeku tvore susjedne kutove φ I φ 1 . Ako je pronađeni kut veći od 90°, tada možete pronaći najmanji kut između ravnih linija L 1 i L 2: φ 1 =180-φ .

Iz formule (1.4) mogu se izvesti uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija.

Primjer 1. Odredite kut između pravaca

Pojednostavimo i riješimo:

1.2. Uvjet za paralelne pravce

Neka φ =0. Zatim cosφ=1. U tom slučaju izraz (1.4) će imati sljedeći oblik:

,

,

Primjer 2: Odredite jesu li pravci paralelni

Jednakost (1.9) je zadovoljena, pa su pravci (1.10) i (1.11) paralelni.

Odgovor. Pravci (1.10) i (1.11) su paralelni.

1.3. Uvjet za okomitost linija

Neka φ =90°. Zatim cosφ=0. U tom slučaju izraz (1.4) će imati sljedeći oblik:

Primjer 3. Odredite jesu li pravci okomiti

Uvjet (1.13) je zadovoljen pa su pravci (1.14) i (1.15) okomiti.

Odgovor. Pravci (1.14) i (1.15) su okomiti.

Pravci su definirani općim jednadžbama

1.4. Određivanje kuta između ravnih pravaca

Neka dvije ravne linije L 1 i L 2 dane su općim jednadžbama

Iz definicije skalarnog produkta dva vektora imamo:

Primjer 4. Odredite kut između pravaca

Zamjena vrijednosti A 1 , B 1 , A 2 , B 2 u (1.23), dobivamo:

Ovaj kut je veći od 90°. Nađimo najmanji kut između ravnih linija. Da biste to učinili, oduzmite ovaj kut od 180:

S druge strane, uvjet paralelnih pravaca L 1 i L 2 je ekvivalentan uvjetu kolinearnosti vektora n 1 i n 2 i može se predstaviti ovako:

Jednakost (1.24) je zadovoljena, pa su pravci (1.26) i (1.27) paralelni.

Odgovor. Pravci (1.26) i (1.27) su paralelni.

1.6. Uvjet za okomitost linija

Uvjet za okomitost linija L 1 i L 2 može se izdvojiti iz formule (1.20) zamjenom cos(φ )=0. Tada je skalarni produkt ( n 1 ,n 2)=0. Gdje

Jednakost (1.28) je zadovoljena, stoga su pravci (1.29) i (1.30) okomiti.

Odgovor. Pravci (1.29) i (1.30) su okomiti.

2. Kut između ravnih linija u prostoru

2.1. Određivanje kuta između ravnih pravaca

Neka u prostoru budu ravne linije L 1 i L 2 dane su kanonskim jednadžbama

gdje | q 1 | i | q 2 | moduli vektora smjera q 1 i q 2 odnosno, φ -kut između vektora q 1 i q 2 .

Iz izraza (2.3) dobivamo:

.

Pojednostavimo i riješimo:

.

Nađimo kut φ

Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dviju linija koje se presijecaju. U prvom odlomku objasnit ćemo o čemu se radi i prikazati to ilustracijama. Zatim ćemo pogledati načine na koje možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dati ćemo potrebne formule i točno pokazati s primjerima kako se koriste u praksi.

Da bismo razumjeli što je kut koji nastaje kada se dva pravca sijeku, moramo se sjetiti same definicije kuta, okomice i sjecišne točke.

Definicija 1

Dva pravca nazivamo sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku. Ta se točka naziva sjecištem dviju linija.

Svaka ravna linija je sjecišnom točkom podijeljena na zrake. Obje ravne crte tvore 4 kuta od kojih su dva okomita, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti preostale.

Recimo da znamo da je jedan od kutova jednak α. U tom slučaju, kut koji je okomit u odnosu na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale kutove, moramo izračunati razliku 180 ° - α. Ako je α jednako 90 stupnjeva, tada će svi kutovi biti pravi kutovi. Pravci koji se sijeku pod pravim kutom nazivaju se okomitima (konceptu okomitosti posvećen je poseban članak).

Pogledajte sliku:

Prijeđimo na formuliranje glavne definicije.

Definicija 2

Kut koji čine dvije crte koje se sijeku je mjera manjeg od 4 kuta koji tvore te dvije crte.

Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina kuta u ovom slučaju bit će izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90]. Ako su linije okomite, tada će kut između njih u svakom slučaju biti jednako 90 stupnjeva.

Sposobnost pronalaženja mjere kuta između dviju linija koje se sijeku korisna je za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o komplementarnim kutovima, onda ih možemo povezati s kutom koji nam treba koristeći svojstva jednakih ili sličnih likova. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati kut između pravaca na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem prikladan za naše rješenje. Ako u našem stanju imamo pravokutni trokut, tada ćemo za izračune također trebati znati sinus, kosinus i tangens kuta.

Metoda koordinata također je vrlo zgodna za rješavanje problema ove vrste. Objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravokutni (kartezijanski) koordinatni sustav O x y, u kojem su zadane dvije ravne linije. Označimo ih slovima a i b. Ravne linije mogu se opisati pomoću nekih jednadžbi. Izvorne linije imaju sjecišnu točku M. Kako odrediti traženi kut (označimo ga α) između tih pravaca?

Počnimo s formuliranjem osnovnog principa pronalaženja kuta pod zadanim uvjetima.

Znamo da je koncept ravne linije usko povezan s konceptima kao što su vektor smjera i normalni vektor. Ako imamo jednadžbu određenog pravca, iz nje možemo uzeti koordinate tih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se sijeku odjednom.

Kut između dviju linija koje se sijeku može se pronaći pomoću:

• kut između vektora smjera;
• kut između normalnih vektora;
• kut između vektora normale jednog pravca i vektora smjera drugog.

Sada pogledajmo svaku metodu zasebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravac a s vektorom smjera a → = (a x, a y) i pravac b s vektorom smjera b → (b x, b y). Sada nacrtajmo dva vektora a → i b → iz točke presjeka. Nakon ovoga vidjet ćemo da će se svaki nalaziti na svojoj ravnoj liniji. Zatim imamo četiri opcije za njihov relativni raspored. Pogledajte ilustraciju:

Ako kut između dva vektora nije tup, tada će to biti kut koji nam treba između pravaca a i b koji se sijeku. Ako je tup, tada će željeni kut biti jednak kutu susjednom kutu a →, b → ^. Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na temelju činjenice da su kosinusi jednakih kutova jednaki, možemo prepisati dobivene jednakosti na sljedeći način: cos α = cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ > 90 °.

U drugom slučaju korištene su redukcijske formule. Tako,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus kuta koji čine dvije ravne crte koje se sijeku bit će jednak modulu kosinusa kuta između njegovih vektora smjera.

Opći oblik formule za kosinus kuta između dva vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus kuta između dviju zadanih ravnih linija:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam kut može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera zadanih pravaca.

Navedimo primjer rješenja problema.

Primjer 1

U pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini zadane su dvije crte a i b koje se sijeku. Mogu se opisati parametarskim jednadžbama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte kut između ovih pravaca.

Riješenje

Imamo parametarsku jednadžbu u našem uvjetu, što znači da za ovaj pravac možemo odmah napisati koordinate njegovog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata za parametar, tj. pravac x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4, 1).

Druga linija je opisana pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3. Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ovaj pravac ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .

Zatim prelazimo izravno na pronalaženje kuta. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite postojeće koordinate dvaju vektora u gornju formulu α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobivamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Odgovor: Ove ravne linije tvore kut od 45 stupnjeva.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem kuta između normalnih vektora. Ako imamo pravac a s normalnim vektorom n a → = (n a x , n a y) i pravac b s normalnim vektorom n b → = (n b x , n b y), tada će kut između njih biti jednak kutu između n a → i n b → ili kut koji će biti susjedan n a →, n b → ^. Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa kuta između linija koje se sijeku i samog ovog kuta pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje n a → i n b → označavaju normalne vektore dvaju zadanih pravaca.

Primjer 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu dvije ravne crte dane su pomoću jednadžbi 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Nađite sinus i kosinus kuta između njih i veličinu samog kuta.

Riješenje

Izvorne linije specificirane su pomoću jednadžbi normalnih linija oblika A x + B y + C = 0. Vektor normale označavamo kao n → = (A, B). Nađimo koordinate prvog vektora normale za jedan pravac i zapišimo ih: n a → = (3, 5) . Za drugi pravac x + 4 y - 17 = 0 normalni vektor će imati koordinate n b → = (1, 4). Dodajmo sada dobivene vrijednosti formuli i izračunajmo ukupni iznos:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus kuta, tada možemo izračunati njegov sinus pomoću osnovne trigonometrijske identičnosti. Kako kut α koji čine ravne linije nije tup, tada je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

U ovom slučaju je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje kuta između ravnih linija ako znamo koordinate vektora pravca jedne prave i normale druge.

Pretpostavimo da pravac a ima vektor smjera a → = (a x , a y) , a pravac b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo ove vektore ostaviti po strani od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihove relativne položaje. Pogledajte na slici:

Ako kut između zadanih vektora nije veći od 90 stupnjeva, ispada da će on komplementirati kut između a i b na pravi kut.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stupnjeva, tada dobivamo sljedeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih kutova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .

Tako,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulirajmo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus kuta između dviju linija koje se sijeku u ravnini, trebate izračunati modul kosinusa kuta između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Zapišimo potrebne formule. Određivanje sinusa kuta:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog kuta:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije crte koje se sijeku dane su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite kut presjeka.

Riješenje

Koordinate vektora vodilice i normale uzimamo iz zadanih jednadžbi. Ispada da je a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Uzimamo formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i izračunavamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Imajte na umu da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

Odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Predstavimo još jedan način pronalaženja željenog kuta pomoću kutnih koeficijenata zadanih ravnih linija.

Imamo pravac a, koji je definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu pomoću jednadžbe y = k 1 x + b 1, i pravac b, definiran kao y = k 2 x + b 2. Ovo su jednadžbe pravaca s nagibima. Za pronalaženje kuta presjeka koristimo formulu:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdje su k 1 i k 2 nagibi zadanih pravaca. Za dobivanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje kuta kroz koordinate normalnih vektora.

Primjer 4

Postoje dvije linije koje se sijeku u ravnini, dane jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Izračunajte vrijednost kuta presjeka.

Riješenje

Kutni koeficijenti naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog odlomka treba napomenuti da se ovdje navedene formule za pronalaženje kuta ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili normalnih vektora zadanih pravaca i moći ih odrediti pomoću različitih vrsta jednadžbi. Ali bolje je zapamtiti ili zapisati formule za izračunavanje kosinusa kuta.

Kako izračunati kut između linija koje se sijeku u prostoru

Izračun takvog kuta može se svesti na izračunavanje koordinata vektora smjera i određivanje veličine kuta koji tvore ti vektori. Za takve primjere koristi se isto razmišljanje koje smo dali prije.

Pretpostavimo da imamo pravokutni koordinatni sustav smješten u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b s presječnom točkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednadžbe tih pravaca. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kuta između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam kut, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo liniju definiranu u trodimenzionalnom prostoru pomoću jednadžbe x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Poznato je da se siječe s osi O z. Izračunaj presječni kut i kosinus tog kuta.

Riješenje

Označimo kut koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora smjera za prvi pravac – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikacionu os, možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati željenoj formuli:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat toga, otkrili smo da će kut koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

Odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

A. Neka su zadane dvije ravne crte, kao što je navedeno u poglavlju 1, tvore različite pozitivne i negativne kutove, koji mogu biti šiljasti ili tupi. Poznavajući jedan od ovih kutova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.

Usput, za sve ove kutove brojčana vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku

Jednadžbe pravaca. Brojevi su projekcije vektora smjera prve i druge prave. Stoga se problem svodi na određivanje kuta između dobivenih vektora

Radi jednostavnosti, možemo se složiti da je kut između dviju ravnih linija oštar pozitivan kut (kao npr. na sl. 53).

Tada će tangens ovog kuta uvijek biti pozitivan. Dakle, ako postoji znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. sačuvati samo apsolutnu vrijednost.

Primjer. Odredite kut između ravnih linija

Prema formuli (1) imamo

S. Ako je naznačeno koja je od stranica kuta njegov početak, a koja kraj, tada, računajući uvijek smjer kuta suprotno od kazaljke na satu, možemo iz formule (1) izvući nešto više. Kao što se lako može vidjeti sa Sl. 53, znak dobiven na desnoj strani formule (1) pokazat će kakav kut - oštar ili tup - druga ravna crta tvori s prvom.

(Doista, iz slike 53 vidimo da je kut između prvog i drugog vektora smjera ili jednak željenom kutu između ravnih linija ili se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Ako su pravci paralelni, onda su i njihovi vektori smjera paralelni Primjenom uvjeta paralelnosti dvaju vektora dobivamo!

To je nužan i dovoljan uvjet za paralelnost dvaju pravaca.

Primjer. Direktno

su paralelni jer

e. Ako su pravci okomiti onda su i njihovi vektori smjera okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dvaju vektora dobivamo uvjet okomitosti dviju ravnih linija, tj.

Primjer. Direktno

su okomiti zbog činjenice da

U vezi s uvjetima paralelnosti i okomitosti, riješit ćemo sljedeća dva problema.

f. Kroz točku nacrtaj pravac paralelan sa zadanim pravcem

Rješenje se izvodi ovako. Kako je traženi pravac paralelan s ovim, tada za njegov vektor smjera možemo uzeti isti onaj kao i zadani pravac, tj. vektor s projekcijama A i B. I tada će jednadžba traženog pravca biti zapisana u obrazac (§ 1)

Primjer. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (1; 3) paralelno s pravcem

bit će sljedeće!

g. Nacrtaj pravac kroz točku okomito na zadani pravac

Ovdje više nije prikladno uzeti vektor s projekcijama A i kao vodeći vektor, već je potrebno uzeti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora stoga moraju biti odabrane prema uvjetu okomitosti oba vektora, tj. prema uvjetu

Ovaj uvjet se može ispuniti na bezbroj načina, jer je ovdje jedna jednadžba s dvije nepoznanice, ali najlakše je uzeti ili Tada će jednadžba željenog pravca biti zapisana u obliku

Primjer. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (-7; 2) u okomitom pravcu

bit će sljedeće (prema drugoj formuli)!

h. U slučaju kada su pravci zadani jednadžbama oblika

prepisujući ove jednadžbe drugačije, imamo