Polinom, njegov stupanj i značenje. V

1. Opće odredbe

1.1. U cilju održavanja poslovnog ugleda i osiguranja usklađenosti sa saveznim zakonodavstvom, Federalna državna ustanova Državni istraživački institut za tehnologiju "Informika" (u daljnjem tekstu: Društvo) smatra najvažniji zadatak osiguranje zakonitosti obrade i sigurnosti osobnih podataka subjekata u poslovnim procesima Društva.

1.2. Kako bi riješili ovaj problem, Društvo je uvelo, djeluje i podvrgava se periodičnom pregledu (monitoringu) sustava zaštite osobnih podataka.

1.3. Obrada osobnih podataka u Društvu temelji se na slijedeći načela:

Zakonitost svrhe i načina obrade osobnih podataka i integritet;

Usklađenost svrhe obrade osobnih podataka s ciljevima koji su unaprijed određeni i navedeni prilikom prikupljanja osobnih podataka, kao i s ovlastima Društva;

Podudarnost opsega i prirode obrađenih osobnih podataka, načina obrade osobnih podataka sa svrhom obrade osobnih podataka;

Vjerodostojnost osobnih podataka, njihovu relevantnost i dostatnost za svrhe obrade, nedopustivost prekomjerne obrade osobnih podataka u odnosu na svrhe prikupljanja osobnih podataka;

Legitimnost organizacijskih i tehničkih mjera za osiguranje sigurnosti osobnih podataka;

Kontinuirano usavršavanje razine znanja zaposlenika Društva u području osiguranja sigurnosti osobnih podataka tijekom njihove obrade;

Težnja za stalnim unapređenjem sustava zaštite osobnih podataka.

2. Svrhe obrade osobnih podataka

2.1. U skladu s načelima obrade osobnih podataka, Društvo je odredilo sastav i svrhe obrade.

Svrhe obrade osobnih podataka:

Zaključak, podrška, promjena, prekid ugovori o radu, koji su temelj za zasnivanje ili prestanak radnog odnosa između Društva i njegovih radnika;

Pružanje portala i usluga osobni račun za učenike, roditelje i nastavnike;

Pohranjivanje rezultata učenja;

Ispunjavanje obveza predviđenih saveznim zakonodavstvom i drugim regulatornim pravnim aktima;

3. Pravila obrade osobnih podataka

3.1. Društvo obrađuje samo one osobne podatke koji su navedeni u odobrenom Popisu osobnih podataka koji se obrađuju u Saveznoj državnoj autonomnoj ustanovi Državni istraživački institut za tehnologiju "Informika"

3.2. Društvo ne dopušta obradu sljedećih kategorija osobnih podataka:

rasa;

politički pogledi;

Filozofska uvjerenja;

O zdravstvenom stanju;

Stanje intimnog života;

Nacionalnost;

Vjerska uvjerenja.

3.3. Društvo ne obrađuje biometrijske osobne podatke (informacije koje karakteriziraju fiziološka i biološka svojstva osobe, na temelju kojih se može utvrditi njezin identitet).

3.4. Društvo ne vrši prekogranični prijenos osobnih podataka (prijenos osobnih podataka na područje strane države tijelu strane države, stranom pojedincu odnosno strano pravno lice).

3.5. Društvo zabranjuje donošenje odluka u vezi s subjektima osobnih podataka isključivo na temelju automatizirane obrade njihovih osobnih podataka.

3.6. Društvo ne obrađuje podatke o kaznenoj evidenciji ispitanika.

3.7. Tvrtka ne objavljuje osobne podatke subjekta u javno dostupnim izvorima bez njegovog prethodnog pristanka.

4. Implementirani zahtjevi za osiguranje sigurnosti osobnih podataka

4.1. Kako bi se osigurala sigurnost osobnih podataka tijekom njihove obrade, Društvo provodi sljedeće zahtjeve: regulatorni dokumenti Ruska Federacija u području obrade i osiguranja sigurnosti osobnih podataka:

savezni zakon od 27. srpnja 2006. br. 152-FZ “O osobnim podacima”;

Uredba Vlade Ruska Federacija od 1. studenog 2012. N 1119 „O odobrenju zahtjeva za zaštitu osobnih podataka tijekom njihove obrade u informacijski sustavi osobni podaci";

Uredba Vlade Ruske Federacije od 15. rujna 2008. br. 687 „O odobrenju Pravilnika o posebnostima obrade osobnih podataka bez upotrebe alata za automatizaciju”;

Nalog FSTEC-a Rusije od 18. veljače 2013. N 21 „O odobrenju sastava i sadržaja organizacijskih i tehničkih mjera za osiguranje sigurnosti osobnih podataka tijekom njihove obrade u informacijskim sustavima osobnih podataka”;

Osnovni model prijetnji sigurnosti osobnih podataka tijekom njihove obrade u informacijskim sustavima osobnih podataka (odobren od strane zamjenika direktora FSTEC-a Rusije 15. veljače 2008.);

Metodologija za utvrđivanje trenutnih prijetnji sigurnosti osobnih podataka tijekom njihove obrade u informacijskim sustavima osobnih podataka (odobren od strane zamjenika direktora FSTEC-a Rusije 14. veljače 2008.).

4.2. Tvrtka procjenjuje štetu koja bi mogla biti prouzročena subjektima osobnih podataka i identificira prijetnje sigurnosti osobnih podataka. U skladu s identificiranim trenutnim prijetnjama, Društvo primjenjuje potrebne i dostatne organizacijske i tehničke mjere, uključujući korištenje alata za informacijsku sigurnost, otkrivanje neovlaštenog pristupa, vraćanje osobnih podataka, uspostavljanje pravila za pristup osobnim podacima, kao i praćenje i procjena učinkovitosti primijenjenih mjera.

4.3. Društvo ima imenovane osobe odgovorne za organizaciju obrade i osiguranje sigurnosti osobnih podataka.

4.4. Uprava Društva svjesna je potrebe i zainteresirana je za osiguranje odgovarajuće razine sigurnosti osobnih podataka koji se obrađuju u okviru osnovne djelatnosti Društva, kako u smislu zahtjeva regulatornih dokumenata Ruske Federacije tako i opravdano sa stajališta procjene poslovnih rizika.

Ciljevi: generalizacija i učvršćivanje pređenog gradiva: ponoviti pojam polinoma, pravilo množenja polinoma polinomom i to pravilo učvrstiti tijekom probnog rada, učvrstiti vještine rješavanja jednadžbi i zadataka pomoću jednadžbi.

Oprema: plakat “Tko od malih nogu radi i misli svojom glavom, kasnije postaje pouzdaniji, jači, pametniji” (V. Shukshin). Grafoskop, magnetna ploča, križaljka, ispitne kartice.

Plan učenja.

1. Organizacijski trenutak.
2. Provjera domaće zadaće.
3. Usmene vježbe(rješavanje križaljke).
4. Rješavanje vježbi na temu.
5. Test na temu: "Polinomi i operacije na njima" (4 opcije).
6. Sažetak lekcije.
7. Domaća zadaća.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak

Učenici u razredu podijeljeni su u grupe od 4-5 osoba, odabire se najstariji u grupi.

II. Provjera domaće zadaće.

Učenici kod kuće pripremaju zadaću na kartici. Svaki učenik provjerava svoj rad na grafoskopu. Učitelj nudi procjenu domaća zadaća samom učeniku te će na izvješću dati ocjenu uz naznaku kriterija ocjenjivanja: „5“ ─ zadatak je točno i samostalno riješio; “4” ─ zadatak je izvršen točno i u potpunosti, ali uz pomoć roditelja ili učenika iz razreda; “3” ─ u svim ostalim slučajevima, ako je zadatak izvršen. Ako zadatak nije dovršen, možete staviti crticu.

III. Usmene vježbe.

1) Za ponavljanje teorijskih pitanja učenicima se nudi križaljka. Križaljku usmeno rješava skupina, a odgovore daju učenici iz različitih skupina. Dajemo ocjene: “5” ─ 7 istinite riječi, “4” ─ 5,6 točnih riječi, “3” ─ 4 točne riječi.

Pitanja za križaljku: (vidi Prilog 1)

Svojstvo množenja koje se koristi pri množenju monoma polinomom;
metoda rastavljanja polinoma na faktore;
jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijable;
izraz koji predstavlja zbroj monoma;
pojmovi koji imaju isti slovni dio;
vrijednost varijable pri kojoj se jednadžba pretvara u pravu jednakost;
numerički faktor monoma.

2) Slijedite ove korake:

3. Ako se duljina pravokutnika smanji za 4 cm, a njegova širina poveća za 7 cm, dobit ćete kvadrat čija će površina biti 100 cm2. više površine pravokutnik. Odredite stranicu kvadrata. (Stranica kvadrata je 24 cm).

Učenici rješavaju zadatke u skupinama, raspravljajući i pomažući jedni drugima. Kada skupine izvrše zadatak, provjeravaju se prema rješenjima napisanim na ploči. Nakon provjere daju se ocjene: za ovaj posao Učenici dobivaju dva ocjenjivanja: samoocjenjivanje i grupno ocjenjivanje. Kriterij ocjenjivanja: “5” ─ sve je točno riješio i pomogao drugovima, “4” ─ napravio greške pri rješavanju, ali ih je ispravio uz pomoć drugova, “3” ─ zanimalo se za rješenje i sve je riješio uz pomoć kolege.

V. Probni rad.

Opcija I

1. Predstavite u standardnom obliku polinom 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.

3. Nađi razliku polinoma 2x 2 – x + 2 i ─ 3x 2 ─2x + 1.

5. Predstavite izraz kao polinom: 2 – (3a – 1)(a + 5).

Opcija II

1. Predstavite u standardnom obliku polinom 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.

3. Nađi razliku polinoma 4y 2 – 2y + 3 i - 2y 2 + 3y +2.

5. Riješite jednadžbu: ─3x 2 + 5x = 0.

1) x =
3) x = 0 i x = ─

2) x = 0 i x =
4) x = 0

6. Prisutno kao proizvod: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.

Opcija III

1. Odredite vrijednost polinoma ─ 6a 2 – 5ab + b 2 – (─3a 2 – 5ab + b 2) s a = ─, b=─3.

2. Pojednostavite izraz: ─8x – (5x – (3x – 7)).

4. Množenje: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. Predstavite kao umnožak: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.

1) (x 2 + 2) (3x + 2)
3) (x 2 + 2) (3x – 2)

2) (x 2 – 2) (3x + 2)
4) (x 2 – 2) (3x – 2)

7. Predstavite izraz kao umnožak: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(a ─ 2b)
3) (x – y)(a + 2b)

2) (y – x)(a ─ 2b)
4) (y – x)(a + 2)

IV opcija

1. Odredite vrijednost polinoma ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) s a= ─, x= ─ 2.

2. Pojednostavite izraz: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).

4. Izvršite množenje: ─4a ∙ (─5a 2 + 2a – 1).

6. Izrazite to kao polinom: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x
4) ─3x 3 + 5x 2 – 14x + 8

7. Predstavite izraz kao umnožak: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (a – b) (2c – d)
3) (b – a) (2c – d)

2) (b – a) (2c + d)
4) (a – b) (2c + d)

posao br.
Opcija br.

VI. Sažetak lekcije

Tijekom nastave svaki učenik dobiva nekoliko ocjena. Učenik sam procjenjuje svoje znanje uspoređujući ga sa znanjem drugih. Grupna evaluacija je učinkovitija jer o evaluaciji raspravljaju svi članovi grupe. Dečki ističu nedostatke i nedostatke u radu članova grupe. Sve ocjene voditelj grupe upisuje u radnu knjižicu.

Učitelj daje konačnu ocjenu, saopštavajući je cijelom razredu.

VII. Domaća zadaća:

1. Slijedite ove korake:

a) (a 2 + 3ab─b 2)(2a – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).

2. Riješite jednadžbu:

a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.

3. Ako se jedna strana kvadrata smanji za 1,2 m, a druga za 1,5 m, tada će površina dobivenog pravokutnika biti 14,4 m2 manje površine dati kvadrat. Odredite stranicu kvadrata.

- polinomi. U ovom ćemo članku opisati sve početne i potrebne informacije o polinomima. To uključuje, prije svega, definiciju polinoma s pripadajućim definicijama članova polinoma, posebice slobodnog člana i sličnih pojmova. Drugo, usredotočimo se na polinome standardni prikaz, dat ćemo odgovarajuću definiciju i dati primjere istih. Na kraju ćemo uvesti definiciju stupnja polinoma, shvatiti kako ga pronaći i govoriti o koeficijentima članova polinoma.

Navigacija po stranici.

Polinom i njegovi pojmovi - definicije i primjeri

U 7. razredu polinomi se proučavaju odmah nakon monoma, to je razumljivo jer definicija polinoma je zadan preko monoma. Dajmo ovu definiciju da objasnimo što je polinom.

Definicija.

Polinom je zbroj monoma; Monom se smatra posebnim slučajem polinoma.

Napisana definicija omogućuje vam davanje koliko god želite primjera polinoma. Bilo koji od monoma 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 itd. je polinom. Također, po definiciji, 1+x, a 2 +b 2 i su polinomi.

Radi lakšeg opisa polinoma, uvodi se definicija polinomskog člana.

Definicija.

Polinomski pojmovi su konstitutivni monomi polinoma.

Na primjer, polinom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 sastoji se od četiri člana: 3 x 4 , −2 x y , 3 i −y 3 . Monomom se smatra polinom koji se sastoji od jednog člana.

Definicija.

Polinomi koji se sastoje od dva i tri člana imaju posebna imena - binomni I tročlan odnosno.

Dakle, x+y je binom, a 2 x 3 q−q x x x+7 b je trinom.

U školi najčešće moramo raditi sa linearni binom a x+b , gdje su a i b neki brojevi, a x varijabla, kao i c kvadratni trinom a·x 2 +b·x+c, gdje su a, b i c neki brojevi, a x varijabla. Ovdje su primjeri linearnih binoma: x+1 , x 7,2−4 , a ovdje su primjeri kvadratni trinomi: x 2 +3 x−5 i .

Polinomi u svom zapisu mogu imati slične članove. Na primjer, u polinomu 1+5 x−3+y+2 x slični članovi su 1 i −3, kao i 5 x i 2 x. Oni imaju svoje posebno ime - slični članovi polinoma.

Definicija.

Slični članovi polinoma se zovu slični pojmovi u polinomu.

U prethodnom primjeru, 1 i −3, kao i par 5 x i 2 x, slični su članovi polinoma. U polinomima koji imaju slične članove, možete smanjiti slične članove kako biste pojednostavili njihov oblik.

Polinom standardnog oblika

Za polinome, kao i za monome, postoji tzv. standardni oblik. Izrazimo odgovarajuću definiciju.

Na temelju ovu definiciju, možemo dati primjere polinoma standardnog oblika. Dakle, polinomi 3 x 2 −x y+1 i napisano u standardnom obliku. A izrazi 5+3 x 2 −x 2 +2 x z i x+x y 3 x z 2 +3 z nisu polinomi standardnog oblika, budući da prvi od njih sadrži slične članove 3 x 2 i −x 2 , au drugi – monom x·y 3 ·x·z 2 čiji je oblik drugačiji od standardnog.

Imajte na umu da, ako je potrebno, uvijek možete svesti polinom na standardni oblik.

Drugi koncept vezan za polinome standardnog oblika je koncept slobodnog člana polinoma.

Definicija.

Slobodan član polinoma je član polinoma standardnog oblika bez slovnog dijela.

Drugim riječima, ako polinom standardnog oblika sadrži broj, naziva se slobodnim članom. Na primjer, 5 je slobodni član polinoma x 2 z+5, ali polinom 7 a+4 a b+b 3 nema slobodan član.

Stupanj polinoma - kako ga pronaći?

Još jedan važan prateća definicija je odrediti stupanj polinoma. Prvo, definiramo stupanj polinoma standardnog oblika; ova se definicija temelji na stupnjevima monoma koji su u njegovom sastavu.

Definicija.

Stupanj polinoma standardnog oblika je najveća od potencija monoma uključenih u njegovu oznaku.

Navedimo primjere. Stupanj polinoma 5 x 3 −4 jednak je 3, budući da monomi 5 x 3 i −4 koji su u njemu uključeni imaju stupnjeve 3 odnosno 0, najveći od tih brojeva je 3, što je stupanj polinoma po definiciji. I stupanj polinoma 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x jednak najvećem od brojeva 2+3=5, 4+1=5 i 1, odnosno 5.

Sada saznajmo kako pronaći stupanj polinoma bilo kojeg oblika.

Definicija.

Stupanj polinoma proizvoljnog oblika nazvati stupanj odgovarajućeg polinoma standardnog oblika.

Dakle, ako polinom nije napisan u standardnom obliku, a trebate pronaći njegov stupanj, tada trebate svesti izvorni polinom na standardni oblik i pronaći stupanj rezultirajućeg polinoma - on će biti traženi. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Odredite stupanj polinoma 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Riješenje.

Prvo trebate predstaviti polinom u standardnom obliku:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Rezultirajući polinom standardnog oblika uključuje dva monoma −2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Nađimo njihove snage: 2+2+2=6 i 2+2=4. Očito, najveća od ovih potencija je 6, što je po definiciji potencija polinoma standardnog oblika −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, a time i stupanj izvornog polinoma., 3 x i 7 polinoma 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 7. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14. Dio 1. Udžbenik za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra i započeo matematička analiza. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

U ovom odjeljku naučit ćete:

Što je polinom;

Koja se vrsta polinoma naziva standardnim;

Kako se zove stupanj polinoma?

Koja su svojstva akcija s polinomima; formule skraćenog množenja;

Kako rastaviti polinom na faktore;

Kako primijeniti naučeno gradivo u praksi

§8. POLINOM I NJEGOV STANDARDNI PRIKAZ

Zapišimo zbroj monoma x 2, -15xy, 4x 5 u 2, -3, -5x 5 y 2. Dobili smo izraz koji sadrži pet pojmova:

x 2 + (-15xy) + (4x 5 y 2) + (-3) + (-5x 5 y 2).

Takav izraz nazivamo polinom, a svaki član tog zbroja nazivamo članom polinoma.

Izraz koji je zbroj više monoma naziva se polinom.

Je li polinom razlika između monoma? Dakle, budući da se radnja oduzimanja uvijek može zamijeniti radnjom zbrajanja:

7x - 2 = 7x + (-2).

Zadatak 1. Izraz možete pretvoriti u polinom:

1)3: (5x 3 - u 2);

2) 3(5x 3 + y 2)?

Rješenja. 1. Izraz 3: (5x 3 - u 2) nije cijeli broj, jer sadrži podjele na izraz s varijablama. Stoga se ne može pretvoriti u polinom.

2. Izraz 3(5x 3 + in 2) može se pretvoriti u zbroj monoma. Otvaranjem zagrada dobivamo izraz 15x 3 + 3y 2, koji je polinom.

Polinomi s dva i tri člana imaju vlastita imena- binom, odnosno trinom. Na primjer, 7x + xy je binom, a 7x + xy + 2 je trinom. Smatra se da je svaki monom ujedno i polinom.

Razmotrimo polinom x 2 - 15xy + 4x 5 u 2 - 3 - 5x 5 y 2. Njegov treći i peti član 4x 5 y 2 i -5x 5 y 2 imaju isti slovni dio x 5 y 2. Ovo su slični pojmovi u polinomima. mogu se reducirati kao slični članovi u izrazu:

4x 5 u 2 - 5x 5 y 2 = -x 5 y 2.

Nakon konstruiranja sličnih članova, ovaj polinom ne sadrži pet, već četiri člana, odnosno poprimit će jednostavniji oblik:

x 2 - 15xy + 4x 5 y 2 - 3 - 5x 5 y 2 = x 2 - 15xy - x 5 u 2 - 3.

U dobivenom polinomu svaki član je monom standardnog oblika i ne sadrži slične članove. Vjeruje se da je takav polinom napisan u standardnom obliku.

Bilješka:

podići polinom na standardni oblik:

1) prikazati svaki član polinoma u standardnom obliku;

2) reducirati slične članove polinoma.

Nađimo stupanj svakog člana polinoma x 2 - 15xy - x 5 u 2 - 3. Članovi x 2 i -15xy imaju stupanj 2, član -x 5 y 2 ima stupanj 7. Član -3 je slobodni član polinoma. Stupanj slobodnog člana polinoma je nula. Najviši stupanj ima član -x 5 y 2. Stoga se naziva vodeći član ovog polinoma. Stupanj polinoma određen je stupnjem njegovog vodećeg člana.

Zapamtiti!

Ako je polinom predstavljen u standardnom obliku, tada se stupanj tog polinoma naziva stupanj njegovog vodećeg člana.

Zadatak 2. Nađi stupanj polinoma:

1) x 2 - 15xy - x 5 y 2 - 3;

2) x 3 y 2 - x 2 u 3.

Rješenja. 1. Glavni član polinoma x 2 - 15 xy - x 5 u 2 - 3 je član -x 5 y 2. Njegov stupanj je 7. Dakle, stupanj polinoma je 7.

2. Polinom x 3 y 2 - x 2 y 3 ima dva člana istog stupnja 5. Prema tome, ovaj polinom je polinom petog stupnja.

Bilješka:

odrediti stupanj polinoma, pronaći stupanj svakog člana i otkriti koji je najveći.

Nakon pronalaska stupnjeva članova polinoma, može se poredati po stupnjevima članova. Da biste to učinili, članovi polinoma mogu se postaviti, na primjer, u silazni red njihovih stupnjeva, počevši od najvišeg člana polinoma i završavajući s njegovim slobodnim članom, ako je:

x 2 - 15xy - x 5 u 2 - 3 = -x 5 y 2 + x 2 - 15xy - 3.

Saznaj više

1. Među polinomima postoje posebne vrste polinoma koji se široko koriste u matematici.

Simetrični polinom - polinom u n varijabli (n - prirodni broj), koji se ne mijenja s bilo kakvom permutacijom varijabli. Na primjer: -43xy + x 5 y 2 + x 2 y 5, x 2 - 9 + b 2.

Doista, ako u tim polinomima x zamijenimo s y, a y s x, dobit ćemo isti polinom.

2. U matematici se koristi koncept algebarskog zbroja, koji kombinira dva pojma - "zbroj" i "razlika". To je zato što se razlika može prikazati kao zbroj: a - b = a + (-b).

Algebarski zbir brojeva je brojčani izraz, koji sadrži samo zbroj (razliku) brojeva. Na primjer, 2 + 5 - 6 + 7 - 8 - algebarski zbroj brojevi 2, 5, -6, 7, -8.

Polinom se može definirati kao algebarski zbroj monoma. Na primjer, x 2 - 2x + x 3 - 4 je algebarski zbroj monoma x 2, -2x, x 3 i -4.

3. Mitropolsky Yuri Alekseevich (1917-2008) - izvanredan matematičar, akademik Nacionalna akademija Znanosti Ukrajine, počasni znanstvenik Ukrajinske SSR, laureat Državne nagrade Ukrajine u području znanosti i tehnologije, Heroj Ukrajine. Rođen na selu. Chernishivka, okrug Shishatsky, regija Poltava.

Od 1951. godine Yu. A. Mitropolsky radi na Institutu za matematiku Nacionalne akademije znanosti Ukrajine, s kojim je povezan sav njegov daljnji rad. znanstvena djelatnost. Znanstveni rad Znanstvenik je uspješno kombinirao s pedagoškim radom - na Fakultetu mehanike i matematike Sveučilišta u Kijevu. Autor je više od 750 znanstveni radovi. Među njegovim učenicima je 25 doktora i 100 kandidata fizikalnih i matematičkih znanosti.

ZAPAMTITE VAŽNO

1. Što je polinom?

2. Koji se članovi polinoma nazivaju sličnim?

3. Kako podići polinom na standardni oblik?

4. Da li se član polinoma naziva vodećim članom?

5. Kako se naziva stupanj polinoma?

6. Kako odrediti stupanj polinoma?

7. Kako poredati polinom po potencijama njegovih članova?

RIJEŠITI PROBLEME

372 . Koji je od ovih izraza polinom:

1) 3a 2 ∙ x 3; 3) x 3 + x 12; 5)5: x 3;

2) 2 - x; 4) 4 3 + (x + 2,5); 6) + 5x?

373 . Imenuj monom čiji je zbroj polinom:

2) 5x 6 + x 6 + x;

3) 6x + 4 + x 3 + 2x 2.

374 . Zapiši binom koji je zbroj monoma:

1) x 2 i x; 2) 2x i 6; 3) 4x i 6x; 4) 2 i 3.

375 . Zapiši trinom koji je zbroj monoma:

1) x 2, x i 5; 2) x, 4x i 2x; 3) x 3, y 3 i z 3.

376 . Slični članovi polinoma su ispravno identificirani:

1) a 2 + 2x 2 + 2a + 2x + x;

2) a 2 + x 2 + a + x + x;

3) a 2 + x 2 + a + x + x?

377 . U kojem su slučaju slični članovi polinoma - x 2 - x + 1 + 2X 2 + 3X + 4 + 2X ispravno reducirani:

1) -2x 2 - 3x + 5;

2) X 2 - X + 5;

3) X 2 - 5X + 5;

4) X 2 + 4X + 5?

378 . Je li vodeći član polinoma x 3 + 5x 2 + 4x + x 5 + 3 izraza:

1) x 3; 2) x 6; 3) 5x 2; 4)3; 5) 4x?

379

1) x 2 + 3x + x 2 + 2;

2) x ∙ x + 5x + 2;

3) 2x 2 - 2x 3;

4) -3x - x 2?

380 . Polinom možete sažeti u monom:

1)3 + 4x + 3x; 2) x 2 + x 2 ; 3) 3x + 5x + 4x?

381

2) -x - x 9 +10x;

3) 6x - 2 - 2y 2;

4) 4 - 3n 3 m + n 2 - 5mn 3 .

382 . Navedite monom koji čini polinom:

1)7ac - 9a - 4; 3) -a - 0,6 s - 2 s 2;

2) 6x 12 - x + v; 4) -a 5 s + b 2 - 5s 5 a - 55.

383

2) -2, 3xy, - x 2 i x 5 u 2;

3) -5x 8, -4x 4 i 8.

384 . Napiši polinom koji je zbroj monoma:

1) 4m 2, mn i -rmp;

2) 0,25 x 2, -2,8 x 5 i -xy 3;

3) -5, od 2 do 3 i od 3 do 2.

385

1) 6n + 8,2 n - 5,9 n - 0,3 n + 7;

2) x 2 + 3x - 4x 2 + 2x;

3) -ac + a 2 - sa + 3a 5 + 2ca;

4) 4,5 xy - 6x 4 - 50" height="42" /> xy - 0,4 x 4 y + xy.

386 . Kombinirajte slične članove polinoma:

1) -5x + 11 x - 4x + 9x;

2)3,8 - 7x 2 + 3,4 - 4x 2 - 3x 2;

3) -5m 2 - 5m + 1 + 2m 2 + 9 + 2m;

4) -a 2 + 4c 2 + 3a 2 - c2a 2 + 4a 3 - 2a 2.

387 . Koji je od ovih polinoma napisan u standardnom obliku:

1)x 2 + 3x + 5x 2 + 2; 3) 2x 2 yz - 2x 3 z;

2)y 2 + 5y + 2 + x; 4) (-3xy) 2 - x 2 x 3?

388

1)xx 2 + y 2 + x 5 + (-0,5 x 5);

2) 100 + p 2 + 1,4 g - 1,2 g 2 + 0,6 g - 28;

3) -4 + 32ab 2 a + ab 2 + 5 - 3ab + a 2 b 2.

389 . Napiši polinom u standardnom obliku:

1) -uh 2 + huu + 3h 2 - 8uuh;

2) 0,5 b + 8 + (-s) 3 + 3bc - bs - 5 - 6,5 b + 7s 3.

390 . Točno je da je vodeći član polinoma 81a 3 + 25b 2 + 3a - b 5 izraz:

1) 81a 3; 2) 25b 2 ; 3) 3; 4) b 5 ; 5) -b5; 6) 81?

391 . Odredite stupanj polinoma:

3)1 + x + x 2;

4) -2 + 7x + 5x 2.

392 . Odredite stupanj polinoma:

3) -27 - 27a 7 b 7 + a 8.

393 . Razvrstaj polinom po potencijama:

1)2 + 4a + 6a 8 + 1,8 a 5 + Za 2 - 2a 10 - a 4;

2)xy 2 + 19x 2 + 3xy + 3xy 3;

3)1,6 ab + 2b 2 a 2 - 2b 3 a 3 + 3,7;

4)7x 4 + x 5 - x 3 - 10x 2 - 76.

394 . Zadan je polinom 2xy - 3x - xy 2 - 8x 4 y + 5. Napiši:

2) slobodni član polinoma;

3) stupanj polinoma;

395 . Zadan je polinom -9 + m + 3mn 5 - m 2 - 8mn 6. Zapiši:

1) monom koji čini polinom;

2) slobodni član polinoma;

3) stupanj polinoma;

4) polinom, poredajući članove po stupnjevima.

396 . Kombinirajte slične članove polinoma:

1) 7 x 2 + 7x - 2 - 4ux 2 + 4xy 2 + xy - x 2 y;

2) 10a 2 - 7a - 3b 2 - 3a + (-4a) - 21 a 2 - 4a + 2,1 b 2 - 2 + (-5a 2);

3) 14m - 3n 3 - 2m - Zp 2 - 54m + 4n 3 + (-n) 3 - n 3 + m 2 + 3n 2.

397 . Pojednostavite polinom -0,5 b - 4a 3 b 2 + (2b) 2 a 3 + b + a + (-0,5) 2 b) i pronađite vrijednost dobivenog izraza ako:

1) a = 2, b = -;

2)a = -0,4, b = -1.

398 . Napiši polinom u standardnom obliku:

1)-(yz) 2 + xy 2 + x 10 x - yuh;

2) (a 2) 4 + 0,3 (a 2) 3 + 5 (a 4) 2 + 0,7 (a 2) 3 - a 6;

3) u 121.1 y - 6((-in) 4) 3 - (y 2) 5 (y - 3) 5 - (-11u) 2 + (u 6 u 5) 2 y 3;

4) 5 (x 2) 2 + (x 3 x 5 a 2) - 0,4 x 4 + (-0,125 x 10) + 81;

5) 4u 2 y 6 + 4 + (-2 3) 2 ((-0,5 y) 3) 3 - (2u 2) 4 .

399 . Napiši polinom u standardnom obliku:

1) 10,1(2) 2 + 6,9 xy 2 + y 8 + (-0,125 yy 7);

2) (3k 8) 3 - 0,01 (2k 3 k) 6 - k 3 - 1,2 k 2 + 0,6 kkk;

3) -a 2 b 6 + (-3a) 3 + (-0,4 b 2 a 2)2b 2 - b - 2,4 b + 3a 3;

4) -x(0,3 xy) 2 + 32xy 2 + x 10 xy 2 - 18yyx;

5) 0,4 zxy 2 z + (-3xy) 2 - x 2 x 3 - 1,5 z 2 (- x)(-y) 2 + x 5.

Koliki je stupanj dobivenog polinoma?

400 . Odredite predznak vodećeg člana polinoma:

H(-v) 3 + hh + (-z) 5 (-v) 8 - 0,5 uhu 2 - 0,5 + (-yz) 5 (-y) 3 + (-h) 2.

401 . Pojednostavite izraz 0,24 x 4 in 16 + z 2 x 4 yz 7 + 2xz 2 x 4 y 2 - 0,03(8) 2 (2x - 2) 3 - 0,8(zyx 2) 2 - z 9 in (-x 2) 2 i poredajte dobiveni polinom po potencijama njegovih članova.

402 . Pojednostavite izraz x (x 2) 5 - 6((-x) 4) 3 - (x 2) 5 (-x 3) 5 - (-10x) 3 + ((x 3) 5 x 2 x 4) 2 - x 25 i smjesti dobiveni polinom u smislu potencija njegovih članova.

403 . Zapišite zbroj monoma -2,6, 3xy 2, x 8, x 2, 100x 3 y 2, -2x 8, 4x 4 u 2 i x 8. Razvrstaj polinom po potencijama njegovih članova. Koliki je stupanj dobivenog polinoma?

404 . Koliko se različitih binoma i trinoma može sastaviti od monoma 10a 3 c, 6 xy, a 3 i 7?

405 . Zadajte polinom 5x 2 - x + 6y kao zbroj četiriju monoma, od kojih je jedan jednak:

1) 5x; 2) 6x; 3) 10.

406 . Zadajte polinom x 2 + 3x - 10 kao zbroj četiriju monoma, od kojih je jedan jednak:

1) 2x; 2) x; 3) 3.

407 . Koliko se polinoma, koji se u standardnom obliku sastoje od šest članova, može formirati zbrajanjem monoma 10a 3, b, 6xy, -10ac, 10a, -3bc i 5? Zapiši ove polinome.

408 . Zadan je monom: 10a, 6xy, a 3 i 5. Formirajte polinom čiji je vodeći član jednak:

1) 10a; 2) 6xy; 3) 5; 4) a 3.

409 . Zadan je monom: 10x 2 u 4, 6xy, 0,02 x 3, -10 in, 4,5 x 2 y 2, -5,4, a i 3x 4. Formirajte polinom čiji je stupanj jednak:

1) 7; 2) 6; 3)4; 4)3; 5)1; 6) 0.

410 . Nađite zbroj dvaju brojeva od kojih je jedan jednak k% broja 48, a drugi d% broja 100.

411 . Nađite zbroj dvaju brojeva od kojih je jedan jednak 40% broja A, a drugi jednak 20% broja d.

412 . Udaljenost od Kijeva do Harkova je 329 km veća od udaljenosti od Kijeva do Černigova. Napiši izraz kojim ćeš pronaći duljinu rute Černigov - Kijev - Harkov. Saznaj kolika je udaljenost između gradova Kijev i Černigov te izračunaj vrijednost sastavljenog izraza.

413 . Svaka stranica šesterokuta jednaka je a. Jedna mu je stranica povećana 2 puta, druga 3 puta, treća 4 puta itd. Nađite opseg dobivenog šesterokuta.

414 . Stranice a i c pravokutnika smanjene su za 10%, odnosno 20%. Pronađite opseg dobivenog pravokutnika. Odgovor napišite kao polinom.

415 . Pojednostavite izraz:

1) (2b ∙ 3b n ba n) 2 + (-4b) 3 (b 2)n ∙ a 2 n b + a 2 b 3 n;

2) a n+3 a n+2 + b 3 a n+2 + b

3) (-1) n (a n) n + (a n) n + 1;

4)(-2b 2) n (0,125 a 2) n (2c) 2 n + (abc) 2 n.

Odredite stupanj polinoma u koji će se ovaj izraz pretvoriti nakon pojednostavljenja.

416 . Koliko se različitih polinoma standardnog oblika može sastaviti od monoma 10a 3, 6xy, a 3 i -z 9?

417 . Pojednostavite izraz (ba 5) 2 n + ba 6 a 1 0 + a 2 b 8 a 8 n a 4 n - b(a 8) 2 + b 3 n b n c 3 a 8 n c 2 i poredajte dobiveni polinom po potencijama njegove uvjete.

PRIMJENITE TO U PRAKSU

418 . Početna cijena a UAH po 1 kg žitarica smanjena je za 10%, a početna cijena b UAH po 1 kg šećera smanjena je za 5%. Koliko će se nakon popusta ukupna cijena smanjiti za 4 kg šećera i 8 kg žitarica? Na temelju uvjeta zadatka sastavite izraz, pojednostavite ga i izračunajte je li a = 12, b = 10.

419 . Na prvu ćeliju šahovske ploče stavljaju k zrna, na drugu - k puta više nego na prvu, na treću - k puta više nego na drugu itd. Koliko će zrna biti na: 1) šest ćelija; 2) deset ćelija? Odgovor napišite kao polinom.

PREGLED PROBLEMA

420 . Pretvori u decimale:

1) ; 2) 2 ; 3) ; 4) 1.

421 . Maša je došla do određenog broja koji je prvo povećala 2, a zatim još 3 puta. Kao rezultat dobio sam 6. Koji je broj Maša imala na umu?