Teorema. Ako funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b], Gdje a< b , i za sve x ∈ nejednakost vrijedi

Pomoću nejednakosti iz teorema može se ocijeniti određeni integral, tj. naznačiti granice između kojih je sadržano njegovo značenje. Ove nejednakosti izražavaju ocjenu određenog integrala.

Teorem [srednji teorem]. Ako funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b] i za svakoga x ∈ nejednakosti su zadovoljene m ≤ f(x) ≤ M, To

Gdje m ≤ μ ≤ M.

Komentar. U slučaju da funkcija f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b], jednakost iz teorema ima oblik

Gdje c ∈. Broj μ=f(c), definiran ovom formulom, naziva se Prosječna vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b]. Ova jednakost ima sljedeće geometrijsko značenje : kvadrat zakrivljeni trapez, omeđen neprekidnom linijom y=f(x) (f(x) ≤ 0), jednaka je površini pravokutnika s istom bazom i visinom jednakom ordinati neke točke na ovoj liniji.

Postojanje antiderivacije za kontinuiranu funkciju

Prvo uvodimo koncept integrala s promjenjivom gornjom granicom.

Neka funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b]. Onda koji god broj bio x od [ a, b], funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b]. Dakle, na intervalu [ a, b] definirana funkcija

koji se naziva integral s promjenjivom gornjom granicom.

Teorema. Ako je integrand kontinuiran na intervalu [ a, b], tada derivacija određenog integrala s promjenjivom gornjom granicom postoji i jednaka je vrijednosti integranda za tu granicu, tj.

Posljedica. Određeni integral s promjenjivom gornjom granicom jedna je od antiderivacija za kontinuirani integrand. Drugim riječima, za svaku funkciju kontinuiranu na intervalu postoji antiderivacija.

Napomena 1. Imajte na umu da ako funkcija f(x) integrabilan na intervalu [ a, b], tada je integral s promjenjivom gornjom granicom funkcija od Gornja granica. Doista, iz St.2 i teorema srednje vrijednosti imamo

Napomena 2. Integral s promjenjivom gornjom granicom integracije koristi se u definiranju mnogih novih funkcija, npr. . Ove funkcije nisu osnovne; kao što je već navedeno, antiderivacije naznačenih integranata nisu izražene kroz elementarne funkcije.

Osnovna pravila integracije

Newton-Leibnizova formula

Budući da bilo koje dvije antiderivacijske funkcije f(x) razlikuju za konstantu, tada se prema prethodnom teoremu može tvrditi da svaka antiderivacija Φ(x) kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcije f(x) izgleda kao

Gdje C- neka konstanta.

Uz pretpostavku u ovoj formuli x=a I x=b, koristeći St.1 određene integrale, nalazimo

Ove jednakosti impliciraju odnos

koji se zove Newton-Leibnizova formula.

Tako smo dokazali sljedeću teoremu:

Teorema. Određeni integral od kontinuirana funkcija jednaka je razlici između vrijednosti bilo koje od njegovih antiderivacija za gornju i donju granicu integracije.

Newton-Leibnizova formula može se prepisati kao

Promjena varijable u određenom integralu

Teorema. Ako

• funkcija f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b];
• segment [ a, b] je skup vrijednosti funkcije φ(t), definiran na segmentu α ≤ t ≤ β i ima kontinuiranu derivaciju na sebi;
• φ(α)=a, φ(β)=b

onda je formula ispravna

Formula za integraciju po dijelovima

Teorema. Ako funkcije u=u(x), v=v(x) imaju kontinuirane derivacije na intervalu [ a, b], tada je formula valjana

Vrijednost aplikacije teoremi o srednjoj vrijednosti leži u mogućnosti dobivanja kvalitativne procjene vrijednosti određenog integrala bez njegovog izračunavanja. Idemo formulirati : ako je funkcija kontinuirana na intervalu, tada unutar tog intervala postoji točka takva da .

Ova je formula sasvim prikladna za grubu procjenu integrala složene ili glomazne funkcije. Jedina točka koja čini formulu približan , je nužnost samostalan izbor točkice Ako krenemo najjednostavnijim putem - sredinom integracijskog intervala (kako se predlaže u brojnim udžbenicima), tada pogreška može biti prilično značajna. Da dobiješ više točan rezultat preporučujemo izvršite izračun sljedećim redoslijedom:

Konstruirati graf funkcije na intervalu ;

Nacrtajte gornju granicu pravokutnika tako da su odsječeni dijelovi grafa funkcije približno jednake površine (to je upravo ono što je prikazano na gornjoj slici - dva zakrivljena trokuta gotovo su identična);

Odredite sa slike;

Koristite teorem srednje vrijednosti.

Kao primjer, izračunajmo jednostavan integral:

Točna vrijednost ;

Za sredinu intervala također dobivamo približnu vrijednost, tj. očito netočan rezultat;

Konstruirajući graf s nacrtanom gornjom stranom pravokutnika u skladu s preporukama, dobivamo , dakle približnu vrijednost . Sasvim zadovoljavajući rezultat, greška je 0,75%.

Trapezoidna formula

Točnost izračuna pomoću teorema srednje vrijednosti značajno ovisi, kao što je pokazano, o vizualna svrha prema rasporedu bodova. Doista, odabirom, u istom primjeru, točaka ili , možete dobiti druge vrijednosti integrala, a pogreška se može povećati. Subjektivni čimbenici, mjerilo grafikona i kvaliteta crteža uvelike utječu na rezultat. Ovaj neprihvatljivo u kritičnim izračunima, tako da se teorem srednje vrijednosti odnosi samo na brze kvaliteta integralne procjene.

U ovom ćemo odjeljku razmotriti jednu od najpopularnijih metoda približne integracije - trapezoidna formula . Glavna ideja konstruiranja ove formule temelji se na činjenici da se krivulja može približno zamijeniti isprekidanom linijom, kao što je prikazano na slici.

Pretpostavimo, za određenost (au skladu sa slikom), da je interval integracije podijeljen na jednak (ovo nije obavezno, ali vrlo zgodno) dijelova. Duljina svakog od tih dijelova izračunava se formulom i naziva se korak . Apscise točaka podjele, ako su zadane, određene su formulom, gdje je . Pomoću poznatih apscisa lako je izračunati ordinate. Tako,

Ovo je trapezoidna formula za slučaj. Imajte na umu da je prvi član u zagradama poluzbroj početne i konačne ordinate, kojemu se dodaju sve međuordinate. Za proizvoljan broj particija intervala integracije opća formula trapez ima oblik: kvadraturne formule: pravokutnici, Simpson, Gaussian, itd. Temelje se na istoj ideji predstavljanja krivocrtnog trapeza elementarnim područjima raznih oblika, dakle, nakon svladavanja trapezoidne formule, razumijevanje sličnih formula neće biti teško. Mnoge formule nisu tako jednostavne kao trapezoidna formula, ali vam omogućuju dobivanje rezultata visoke točnosti s malim brojem particija.

Trapezoidnom formulom (ili sličnim) moguće je izračunati, s točnošću koja se u praksi zahtijeva, i “neizvedive” integrale i integrale složenih ili glomaznih funkcija.

Određeni integral. Primjeri rješenja

Bok opet. Na ovu lekciju Detaljno ćemo analizirati tako divnu stvar kao što je određeni integral. Ovaj put će uvod biti kratak. Svi. Jer je snježna oluja izvan prozora.

Da biste naučili rješavati određene integrale trebate:

1) Biti u mogućnosti pronaći neodređeni integrali.

2) Biti u mogućnosti izračunati određeni integral.

Kao što vidite, da biste svladali određeni integral, morate prilično dobro razumjeti "obične" neodređene integrale. Stoga, ako tek počinjete zaranjati u integralni račun, a čajnik još uopće nije prokuhao, onda je bolje započeti s lekcijom Neodređeni integral. Primjeri rješenja.

U opći pogled određeni integral se piše na sljedeći način:

Što se dodaje u usporedbi s neodređenim integralom? Više granice integracije.

Donja granica integracije
Gornja granica integracije standardno se označava slovom .
Segment se naziva segment integracije.

Prije nego što dođemo do praktični primjeri, mali faq o određenom integralu.

Što znači riješiti određeni integral? Rješavanje određenog integrala znači pronalaženje broja.

Kako riješiti određeni integral? Koristeći Newton-Leibnizovu formulu poznatu iz škole:

Bolje je prepisati formulu na poseban komad papira; ona bi vam trebala biti pred očima tijekom cijele lekcije.

Koraci za rješavanje određenog integrala su sljedeći:

1) Prvo nalazimo antiderivativna funkcija(neodređeni integral). Uočimo da konstanta u određenom integralu nije dodano. Oznaka je čisto tehnička, a vertikalna palica nema nikakvo matematičko značenje, to je zapravo samo oznaka. Zašto je potrebno samo snimanje? Priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.

2) Vrijednost gornje granice zamijenite antiderivacijskom funkcijom: .

3) Zamijenite vrijednost donje granice u antiderivacijsku funkciju: .

4) Izračunavamo (bez greške!) razliku, odnosno nalazimo broj.

Postoji li uvijek određeni integral? Ne, ne uvijek.

Na primjer, integral ne postoji, jer segment integracije nije uključen u domenu definiranja integranda (vrijednosti pod korijen ne može biti negativan). Evo manje očitog primjera: . Takav integral također ne postoji, jer ne postoji tangenta u točkama segmenta. Usput, tko to još nije pročitao? metodološki materijal Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija– sada je vrijeme da to učinite. Bit će sjajno pomoći tijekom tečaja više matematike.

Za to da bi određeni integral uopće postojao, dovoljno je da je integrand kontinuiran na intervalu integracije.

Iz navedenog proizlazi da je prvi važna preporuka: Prije nego počnete rješavati BILO KOJI definitivni integral, morate biti sigurni da integrand funkcionira kontinuirana je na intervalu integracije. Dok sam bio student, više puta sam imao incident kada sam se dugo mučio s pronalaženjem teške antiizvedenice, a kada sam je konačno pronašao, razbijao sam glavu oko drugog pitanja: „Kakva je to glupost ispala ?" U pojednostavljenoj verziji, situacija izgleda otprilike ovako:

???! Ne možete zamijeniti negativne brojeve ispod korijena! Što je ovo dovraga?! Početna nepažnja.

Ako riješiti (in ispitni rad, na kolokvijumu, ispitu) Ponuđen vam je nepostojeći integral kao , zatim trebate dati odgovor da integral ne postoji i obrazložiti zašto.

Može li određeni integral biti jednak negativnom broju? Može biti. I negativan broj. I nula. Možda čak ispadne i beskonačnost, ali već će biti nepravilan integral, kojima se daje zasebno predavanje.

Može li donja granica integracije biti veća od gornje granice integracije? Možda se ova situacija stvarno događa u praksi.

– integral se lako može izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule.

Ono bez čega ne možete viša matematika? Naravno, bez svakakvih svojstava. Stoga razmotrimo neka svojstva određenog integrala.

U određenom integralu možete preurediti gornju i donju granicu, mijenjajući predznak:

Na primjer, u određenom integralu, prije integracije, preporučljivo je promijeniti granice integracije na "uobičajeni" redoslijed:

– u ovom obliku mnogo je prikladnije integrirati.

– ovo vrijedi ne samo za dvije, već i za bilo koji broj funkcija.

U određenom integralu može se provesti zamjena integracijske varijable, no u usporedbi s neodređenim integralom, ovaj ima svoje specifičnosti o kojima ćemo kasnije.

Za određeni integral vrijedi sljedeće: formula za integraciju po dijelovima:

Primjer 1

Riješenje:

(1) Konstantu izuzimamo iz predznaka integrala.

(2) Integrirajte preko tablice pomoću najpopularnije formule . Preporučljivo je izdvojiti pojavnu konstantu iz zagrade i premjestiti je iz zagrade. To nije nužno učiniti, ali je preporučljivo - čemu dodatni izračuni?

. Prvo zamijenimo gornju granicu, a zatim donju granicu. Provodimo daljnje izračune i dobivamo konačan odgovor.

Primjer 2

Izračunajte određeni integral

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

Zakomplicirajmo malo zadatak:

Primjer 3

Izračunajte određeni integral

Riješenje:

(1) Koristimo svojstva linearnosti određenog integrala.

(2) Integriramo prema tablici, dok izbacujemo sve konstante - one neće sudjelovati u zamjeni gornje i donje granice.

(3) Za svaki od tri člana primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu:

SLABA KARIKA u određenom integralu su računske pogreške i uobičajena ZBRKA U ZNAKOVIMA. Budi oprezan! Posebna pažnja Fokusiram se na treći termin: – prvo mjesto u hit paradi pogrešaka zbog nepažnje, vrlo često pišu automatski (osobito kada se zamjena gornje i donje granice izvodi usmeno i nije tako detaljno napisana). Još jednom pažljivo proučite gornji primjer.

Treba napomenuti da razmatrana metoda rješavanja određenog integrala nije jedina. S određenim iskustvom, rješenje se može značajno smanjiti. Na primjer, i sam sam navikao takve integrale rješavati ovako:

Ovdje sam verbalno koristio pravila linearnosti i verbalno integrirao pomoću tablice. Na kraju sam dobio samo jednu zagradu s označenim ograničenjima: (za razliku od tri zagrade u prvoj metodi). I u "cijelu" antiderivacijsku funkciju, prvo sam zamijenio 4, zatim -2, ponovno izvodeći sve radnje u svom umu.

Koji su nedostaci kratkog rješenja? Ovdje nije sve dobro sa stajališta racionalnosti izračuna, ali osobno me nije briga - obični razlomci Računam na kalkulator.
Osim toga, postoji povećan rizik od pogreške u izračunima, pa je bolje da učenik koristi prvu metodu; s "mojom" metodom rješavanja znak će se sigurno negdje izgubiti.

Međutim, nedvojbene prednosti druge metode su brzina rješenja, kompaktnost zapisa i činjenica da je antiderivacija u jednoj zagradi.

Savjet: prije korištenja Newton-Leibnizove formule, korisno je provjeriti: je li sama antiderivacija ispravno pronađena?

Dakle, u vezi s primjerom koji razmatramo: prije zamjene gornje i donje granice u antiderivacijsku funkciju, preporučljivo je provjeriti na nacrtu je li neodređeni integral točno pronađen? Razlikujmo:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je neodređeni integral točno pronađen. Sada možemo primijeniti Newton-Leibnizovu formulu.

Takva provjera neće biti suvišna pri izračunavanju bilo kojeg određenog integrala.

Primjer 4

Izračunajte određeni integral

Ovo je primjer za vas da sami riješite. Pokušajte ga riješiti na kratak i detaljan način.

Promjena varijable u određenom integralu

Za određeni integral vrijede sve vrste supstitucija kao i za neodređeni integral. Stoga, ako niste baš dobri sa zamjenama, trebali biste pažljivo pročitati lekciju Metoda supstitucije u neodređenom integralu.

U ovom odlomku nema ništa strašno ili teško. Novost je u pitanju kako promijeniti granice integracije pri zamjeni.

U primjerima ću pokušati dati vrste zamjena koje još nisu pronađene nigdje na web mjestu.

Primjer 5

Izračunajte određeni integral

Glavno pitanje ovdje se uopće ne radi o određenom integralu, već o tome kako ispravno izvršiti zamjenu. Pogledajmo tablica integrala i shvatiti kako naša integrand funkcija izgleda najviše? Očito je da na dugi logaritam: . Ali postoji jedno odstupanje, u tablici integral ispod korijena, au našem - "x" na četvrtu snagu. Ideja zamjene također proizlazi iz obrazloženja - bilo bi lijepo našu četvrtu snagu nekako pretvoriti u kvadrat. To je stvarno.

Prvo pripremamo naš integral za zamjenu:

Iz gornjih razmatranja sasvim prirodno proizlazi zamjena:
Tako će sve biti u redu u nazivniku: .
Saznajemo u što će se pretvoriti preostali dio integranda, za to nalazimo diferencijal:

U usporedbi sa zamjenom u neodređenom integralu, dodajemo dodatni korak.

Pronalaženje novih granica integracije.

Sasvim je jednostavno. Pogledajmo našu zamjenu i stare granice integracije, .

Prvo, zamijenimo donju granicu integracije, to jest nulu, u zamjenski izraz:

Zatim zamijenimo gornju granicu integracije u zamjenski izraz, to jest korijen od tri:

Spreman. I samo...

Nastavimo s rješenjem.

(1) Prema zamjeni napišite novi integral s novim granicama integracije.

(2) Ovo je najjednostavniji tablični integral, integriramo preko tablice. Bolje je ostaviti konstantu izvan zagrada (ne morate to učiniti) kako ne bi ometala daljnje izračune. S desne strane povlačimo crtu koja označava nove granice integracije - to je priprema za primjenu Newton-Leibnizove formule.

(3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu .

Nastojimo napisati odgovor u što kompaktnijem obliku; ovdje sam koristio svojstva logaritama.

Još jedna razlika od neodređenog integrala je da, nakon što smo izvršili zamjenu, nema potrebe za obavljanjem obrnutih zamjena.

A sada par primjera za neovisna odluka. Koje zamjene napraviti - pokušajte sami pogoditi.

Primjer 6

Izračunajte određeni integral

Primjer 7

Izračunajte određeni integral

Ovo su primjeri o kojima možete sami odlučiti. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

I na kraju odlomka važne točke, čija se analiza pojavila zahvaljujući posjetiteljima stranice. Prvi se tiče zakonitost zamjene. U nekim slučajevima to nije moguće! Stoga se primjer 6, čini se, može riješiti korištenjem univerzalna trigonometrijska supstitucija, međutim, gornja granica integracije ("pi") nije uključeno u domena ova tangenta i stoga ova zamjena je nezakonita! Tako, funkcija “zamjene” mora biti kontinuirana u svemu točke segmenta integracije.

U drugoj e-poruci koju sam primio sljedeće pitanje: “Je li potrebno mijenjati granice integracije kada funkciju stavimo pod diferencijalni predznak?” Prvo sam htio “odbaciti gluposti” i automatski odgovoriti “naravno da ne”, ali onda sam razmišljao o razlogu takvog pitanja i odjednom otkrio da nema nikakvih informacija nedostaci. Ali ono je, iako očito, vrlo važno:

Ako funkciju podvedemo pod diferencijalni predznak, tada nema potrebe mijenjati granice integracije! Zašto? Jer u ovom slučaju nema stvarnog prijelaza na novu varijablu. Na primjer:

I tu je zbrajanje mnogo zgodnije od akademske zamjene s naknadnim “slikanjem” novih granica integracije. Tako, ako određeni integral nije jako kompliciran, onda uvijek pokušajte funkciju staviti pod predznak diferencijala! Brži je, kompaktniji i uobičajen - kao što ćete vidjeti desetke puta!

Hvala vam puno za tvoja pisma!

Metoda integracije po dijelovima u određenom integralu

Tu je novosti još manje. Svi izračuni članka Integracija po dijelovima u neodređeni integral u potpunosti vrijede za određeni integral.
Postoji samo jedan detalj koji je plus; u formuli za integraciju po dijelovima dodaju se granice integracije:

Newton-Leibnizova formula se ovdje mora primijeniti dva puta: za umnožak i nakon što uzmemo integral.

Za primjer sam ponovno odabrao tip integrala koji još nije pronađen nigdje na web mjestu. Primjer nije najjednostavniji, ali vrlo, vrlo informativan.

Primjer 8

Izračunajte određeni integral

Odlučimo se.

Integrirajmo po dijelovima:

Tko ima poteškoća s integralom, neka pogleda lekciju Integrali trigonometrijskih funkcija, tu je to detaljno analizirano.

(1) Rješenje pišemo prema formuli integracije po dijelovima.

(2) Za umnožak primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu. Za preostali integral koristimo svojstva linearnosti, dijeleći ga na dva integrala. Neka vas znakovi ne zbune!

(4) Primijenimo Newton-Leibnizovu formulu za dva pronađena antiderivata.

Iskreno, ne sviđa mi se formula. i, ako je moguće, ... ja uopće bez njega! Razmotrimo drugo rješenje; s moje točke gledišta, ono je racionalnije.

Izračunajte određeni integral

U prvoj fazi nalazim neodređeni integral:

Integrirajmo po dijelovima:

Antiderivativna funkcija je pronađena. Stalno unutra u ovom slučaju nema smisla dodavati.

Koja je prednost takvog pohoda? Nema potrebe "nositi okolo" granice integracije; doista, može biti iscrpljujuće desetak puta pisati male simbole granica integracije

U drugoj fazi provjeravam(obično u nacrtu).

Također logično. Ako sam netočno pronašao funkciju antiderivacije, tada ću netočno riješiti definitivni integral. Bolje je odmah saznati, razjasnimo odgovor:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je antiderivativna funkcija točno pronađena.

Treća faza je primjena Newton-Leibnizove formule:

I tu postoji značajna korist! U "mojoj" metodi rješenja postoji mnogo manji rizik od zabune u zamjenama i izračunima - Newton-Leibnizova formula primjenjuje se samo jednom. Ako čajnik riješi sličan integral pomoću formule (na prvi način), onda će sigurno negdje pogriješiti.

Razmatrani algoritam rješenja može se primijeniti za svaki određeni integral.

Dragi studente, isprintaj i spremi:

Što učiniti ako vam je zadan određeni integral koji se čini kompliciranim ili nije odmah jasno kako ga riješiti?

1) Prvo nalazimo neodređeni integral (antiderivacijska funkcija). Ako je u prvoj fazi bilo kiksa, nema smisla dalje ljuljati brod s Newtonom i Leibnizom. Postoji samo jedan način - povećati svoju razinu znanja i vještine u rješavanju neodređeni integrali.

2) Pronađenu antiderivacijsku funkciju provjeravamo diferenciranjem. Ako se pronađe netočno, treći korak bit će gubljenje vremena.

3) Koristimo Newton-Leibnizovu formulu. Sve izračune provodimo IZUZETNO PAŽLJIVO - to je najslabija karika zadatka.

I, za međuobrok, integralno za samostalno rješenje.

Primjer 9

Izračunajte određeni integral

Rješenje i odgovor su tu negdje u blizini.

Sljedeća preporučena lekcija na tu temu je Kako izračunati površinu figure koristeći određeni integral?
Integrirajmo po dijelovima:

Jeste li sigurni da ste ih riješili i dobili ove odgovore? ;-) A ima i pornografija za staricu.

Određenim integralom iz kontinuirane funkcije f(x) na posljednjem segmentu [ a, b] (gdje je ) prirast nekih njegovih antiderivata na ovom segmentu. (Općenito, razumijevanje će biti znatno lakše ako ponovite temu o neodređenom integralu) U ovom slučaju koristi se oznaka

Kao što se može vidjeti na grafikonima ispod (inkrement antiderivacijske funkcije označen je sa ), određeni integral može biti ili pozitivan ili negativan broj (Izračunava se kao razlika između vrijednosti antiderivacije u gornjoj granici i njegove vrijednosti u donjoj granici, tj. F(b) - F(a)).

Brojke a I b nazivaju se donja i gornja granica integracije, a segment [ a, b] – segment integracije.

Dakle, ako F(x) – neka antiderivativna funkcija za f(x), tada je prema definiciji

(38)

Jednakost (38) se zove Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) ukratko se piše ovako:

Stoga ćemo Newton-Leibnizovu formulu napisati ovako:

(39)

Dokažimo da definitivni integral ne ovisi o tome koja se antiderivacija integranda uzima pri njegovom izračunavanju. Neka F(x) i F( x) su proizvoljne antiderivacije integranda. Budući da se radi o antiderivacijama iste funkcije, razlikuju se konstantnim članom: F( x) = F(x) + C. Zato

Time se utvrđuje da je na segmentu [ a, b] inkrementi svih antiderivacija funkcije f(x) podudarati se.

Dakle, izračunati određeni integral potrebno je pronaći bilo koju antiderivaciju integranda, tj. prvo morate pronaći neodređeni integral. Konstantno S isključeni iz naknadnih izračuna. Tada se primjenjuje Newton-Leibnizova formula: vrijednost gornje granice zamjenjuje se u antiderivacijsku funkciju b , dalje - vrijednost donje granice a a razlika se izračunava F(b) - F(a) . Rezultirajući broj bit će određeni integral..

Na a = b po definiciji prihvaćeno

Primjer 1.

Riješenje. Prvo, pronađimo neodređeni integral:

Primjena Newton-Leibnizove formule na antiderivat

(na S= 0), dobivamo

Međutim, pri računanju određenog integrala bolje je ne pronaći antiderivaciju zasebno, već integral odmah napisati u obliku (39).

Primjer 2. Izračunajte određeni integral

Riješenje. Korištenje formule

Svojstva određenog integrala

Teorem 2.Vrijednost određenog integrala ne ovisi o oznaci integracijske varijable, tj.

(40)

Neka F(x) – antiderivat za f(x). Za f(t) antiderivat je ista funkcija F(t), u kojem je nezavisna varijabla samo drugačije označena. Stoga,

Na temelju formule (39) posljednja jednakost znači jednakost integrala

Teorem 3.Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka određenog integrala, tj.

(41)

Teorem 4.Određeni integral algebarskog zbroja konačan broj funkcije jednake algebarski zbroj određeni integrali ovih funkcija, tj.

(42)

Teorem 5.Ako je segment integracije podijeljen na dijelove, tada je određeni integral po cijelom segmentu jednak zbroju određene integrale po svojim dijelovima, tj. Ako

(43)

Teorem 6.Prilikom preuređivanja granica integracije apsolutna vrijednost određeni integral se ne mijenja, već mu se mijenja samo predznak, tj.

(44)

Teorem 7(teorem srednje vrijednosti). Određeni integral jednak umnošku duljina segmenta integracije na vrijednost integranda u nekoj točki unutar njega, tj.

(45)

Teorem 8.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a integrand je nenegativan (pozitivan), tada je i definitivni integral nenegativan (pozitivan), tj. Ako

Teorem 9.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a funkcije i su neprekidne, tada je nejednakost

može se integrirati pojam po pojam, tj.

(46)

Svojstva određenog integrala omogućuju pojednostavljenje izravnog izračunavanja integrala.

Primjer 5. Izračunajte određeni integral

Koristeći teoreme 4 i 3, te pri pronalaženju antiderivacija - tabličnih integrala (7) i (6), dobivamo

Određeni integral s promjenjivom gornjom granicom

Neka f(x) – kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcija, i F(x) je njegov antiderivat. Promotrimo određeni integral

(47)

i kroz t naznačeno integracijska varijabla, kako ga ne bi zamijenili s gornjom granicom. Kada se mijenja x mijenja se i određeni integral (47), tj. to je funkcija gornje granice integracije x, što označavamo sa F(x), tj.

(48)

Dokažimo da funkcija F(x) je antiderivat za f(x) = f(t). Doista, razlikovanje F(x), dobivamo

jer F(x) – antiderivat za f(x), A F(a) je konstantna vrijednost.

Funkcija F(x) - jedan od beskonačan broj antiderivati ​​za f(x), naime onaj koji x = a ide na nulu. Ovu tvrdnju dobivamo ako u jednakost (48) stavimo x = a i upotrijebite teorem 1 prethodnog paragrafa.

Izračunavanje određenih integrala metodom integracije po dijelovima i metodom promjene varijable

gdje je, po definiciji, F(x) – antiderivat za f(x). Ako promijenimo varijablu u integrandu

tada u skladu s formulom (16) možemo pisati

U ovom izrazu

antiderivativna funkcija za

Zapravo, njegova izvedenica, prema pravilo diferencijacije složenih funkcija, je jednako

Neka su α i β vrijednosti varijable t, za koju je funkcija

prema tome uzima vrijednosti a I b, tj.

Ali, prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(b) – F(a) Tamo je