Prilikom izračunavanja algebarskih polinoma, radi pojednostavljenja izračuna, koristimo formule skraćenog množenja . Ukupno je sedam takvih formula. Sve ih treba znati napamet.

Također treba imati na umu da umjesto a i b u formulama mogu postojati i brojevi i bilo koji drugi algebarski polinomi.

Razlika kvadrata

Razlika kvadrata dvaju brojeva jednaka je umnošku razlike tih brojeva i njihova zbroja.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

kvadrat zbroja

Kvadrat zbroja dva broja jednak je kvadratu prvog broja plus dva puta umnožak prvog broja i drugog broja plus kvadrat drugog broja.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Imajte na umu da je s ovom formulom smanjenog množenja lako pronaći kvadrate velikih brojeva bez korištenja kalkulatora ili dugog množenja. Objasnimo na primjeru:

Pronađite 112 2 .

Rastavimo 112 na zbroj brojeva čije kvadrate dobro pamtimo.2
112 = 100 + 1

Zbroj brojeva upisujemo u zagrade, a preko zagrada stavljamo kvadrat.
112 2 = (100 + 12) 2

Upotrijebimo formulu kvadrata zbroja:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Upamtite da je formula kvadratnog zbroja također važeća za sve algebarske polinome.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Upozorenje!!!

(a + b) 2 nije jednako a 2 + b 2

Kvadrat razlike

Kvadrat razlike između dva broja jednak je kvadratu prvog broja minus dvostruki umnožak prvog i drugog plus kvadrat drugog broja.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Također je vrijedno zapamtiti vrlo korisnu transformaciju:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Gornja formula se dokazuje jednostavnim širenjem zagrada:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

kocka zbroja

Kub zbroja dva broja jednak je kubu prvog broja plus tri puta kvadrat prvog broja pomnožen s drugim plus tri puta umnožak prvog puta pomnožen s kvadratom drugog broja i kub drugog.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Prisjetiti se ove formule "strašnog" izgleda vrlo je jednostavno.

Nauči da je trojka prva.

Dva polinoma u sredini imaju koeficijente 3.

NAzapamtite da je svaki broj na nultu potenciju 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Lako je vidjeti da u formuli postoji smanjenje stupnja a i povećanje stupnja b. Ovo možete provjeriti:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Upozorenje!!!

(a + b) 3 nije jednako a 3 + b 3

kocka razlike

Kub razlike između dva broja jednak je kubu prvog broja minus tri puta kvadrat prvog broja i drugog plus tri puta umnožak prvog broja i kvadrata drugog minus kub drugog .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ova se formula pamti kao prethodna, ali samo uzimajući u obzir izmjenu znakova "+" i "-". Ispred prvog člana trojke stoji "+" (prema pravilima matematike ne pišemo ga). To znači da će sljedećem članu prethoditi "-", zatim opet "+" itd.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Zbroj kubova ( Ne brkati s kockom zbroja!)

Zbroj kubova jednak je umnošku zbroja dvaju brojeva i nepunog kvadrata razlike.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Zbroj kubova je umnožak dviju zagrada.

Prva zagrada je zbroj dvaju brojeva.

Druga zagrada je nepotpuni kvadrat razlike brojeva. Nepotpuni kvadrat razlike naziva se izraz:

A 2 - ab + b 2
Ovaj kvadrat je nepotpun jer se u sredini umjesto dvostrukog umnoška nalazi običan umnožak brojeva.

Kocka razlike (ne treba je brkati s kockom razlike!!!)

Razlika kubova jednaka je umnošku razlike dvaju brojeva s nepotpunim kvadratom zbroja.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Budite oprezni pri pisanju znakova.Treba imati na umu da se sve gore navedene formule također koriste s desna na lijevo.

Jednostavan način za pamćenje skraćenih formula množenja ili... Pascalov trokut.

Je li teško zapamtiti formule skraćenog množenja? Slučaju je lako pomoći. Samo se trebate sjetiti kako je prikazana tako jednostavna stvar kao što je Pascalov trokut. Tada ćete se uvijek i svugdje sjećati ovih formula, ili bolje rečeno, ne sjećati se, već vratiti.

Što je Pascalov trokut? Taj se trokut sastoji od koeficijenata koji ulaze u rastavljanje bilo koje potencije binoma oblika u polinom.

Razdvojimo to, na primjer:

U ovom zapisu lako je zapamtiti da je na početku kocka prvog, a na kraju - kocka drugog broja. Ali što je u sredini teško je zapamtiti. Pa čak i činjenicu da se u svakom sljedećem članu stupanj jednog faktora cijelo vrijeme smanjuje, a drugog povećava - to je lako primijetiti i zapamtiti, teže je zapamtiti koeficijente i predznake (plus ili minus?).

Dakle, prvo izgledi. Ne morate ih pamtiti! Na marginama bilježnice brzo nacrtamo Pascalov trokut i evo ih – koeficijenata, već su pred nama. Počinjemo crtati s tri jedinice, jedna gore, dvije dolje, desno i lijevo - da, već se dobiva trokut:

Prvi red, s jedinicom, je nula. Zatim dolazi prvi, drugi, treći i tako dalje. Da biste dobili drugi redak, trebate ponovno dodati jedinice uz rubove, au sredini upisati broj dobiven zbrajanjem dva broja iznad njega:

Treći redak pišemo: opet uz rubove jedinice, i opet, da bismo dobili sljedeći broj u novom retku, dodamo brojeve iznad njega u prethodnom:

Kao što ste možda pogodili, u svakom retku dobivamo koeficijente rastavljanja binoma na polinom:

Pa, još je lakše zapamtiti znakove: prvi je isti kao u proširenom binomu (izlažemo zbroj, što znači plus, razliku, što znači minus), a zatim se znakovi izmjenjuju!

Ovo je tako korisna stvar - Pascalov trokut. Uživati!

Formule ili pravila reduciranog množenja koriste se u aritmetici, točnije u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz postojećih pravila u algebri za množenje više polinoma.

Korištenje ovih formula daje prilično brzo rješenje za razne matematičke probleme, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarskih transformacija omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, nakon čega možete dobiti izraz na lijevoj strani jednakosti, koja je na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz na lijeva strana iza znaka jednakosti).

Zgodno je znati formule koje se koriste za skraćeno množenje napamet jer se one često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Glavne formule uključene u ovaj popis i njihovi nazivi navedeni su u nastavku.

kvadrat zbroja

Da biste izračunali kvadrat zbroja, trebate pronaći zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnoška prvog i drugog člana i kvadrata drugog člana. U obliku izraza ovo se pravilo piše na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kvadrat razlike

Da biste izračunali kvadrat razlike, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja s drugim (uzetim sa suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Razlika kvadrata

Formula za razliku dvaju brojeva na kvadrat jednaka je umnošku zbroja tih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

kocka zbroja

Da biste izračunali kub zbroja dva člana, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kuba prvog člana, trostrukog umnoška kvadrata prvog člana i drugog, trostrukog umnoška prvog člana i drugog kvadrat, a kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Zbroj kocki

Prema formuli, jednak je umnošku zbroja ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koja nastaje zbrajanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.

Ako su vrijednosti strana male, tada je lako izvršiti izračune.

Ako su duljine stranica izražene nezgrapnim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primijeniti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti izračune.

kocka razlike

Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbroj treće potencije prvog člana, utrostručite negativni umnožak kvadrata prvog člana s drugim, utrostručite umnožak prvog člana s kvadratom drugog člana , i negativni kub drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Razlika kocki

Formula za razliku kubova razlikuje se od zbroja kubova samo za jedan predznak. Dakle, razlika kubova je formula jednaka umnošku razlike tih brojeva i njihovog nepotpunog kvadrata zbroja. U obliku matematičkog izraza, razlika kocki izgleda ovako: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen lika koji će ostati nakon što se od volumena plave kocke oduzme žuta volumetrijska figura koja je ujedno i kocka. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.

Ako su vrijednosti strana male, tada su izračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno koristiti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), što će uvelike pojednostaviti izračune.

Skraćene izrazne formule vrlo se često koriste u praksi, pa ih je poželjno sve naučiti napamet. Do ovog trenutka vjerno ćemo služiti, što preporučamo isprintati i imati stalno pred očima:

Prve četiri formule iz sastavljene tablice skraćenih formula množenja omogućuju vam kvadriranje i kubiranje zbroja ili razlike dvaju izraza. Peti je za kratko množenje razlike i zbroja dvaju izraza. A šesta i sedma formula koriste se za množenje zbroja dvaju izraza a i b njihovim nepotpunim kvadratom razlike (tako se naziva izraz oblika a 2 −a b + b 2) i razlike dvaju izraza a i b nepotpunim kvadratom njihovog zbroja (a 2 + a b+b 2 ).

Vrijedno je posebno napomenuti da je svaka jednakost u tablici identitet. Ovo objašnjava zašto se formule skraćenog množenja nazivaju i identiteti skraćenog množenja.

Pri rješavanju primjera, posebno u kojima se odvija faktorizacija polinoma, FSU se često koristi u obliku s preuređenim lijevim i desnim dijelom:

Posljednja tri identiteta u tablici imaju svoja imena. Poziva se formula a 2 −b 2 =(a−b) (a+b). formula razlike kvadrata, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - formula zbroja kubova, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - formula kubne razlike. Imajte na umu da odgovarajuće formule nismo imenovali preuređenim dijelovima iz prethodne FSU tablice.

Dodatne formule

Ne boli dodati još nekoliko identiteta u tablicu skraćenih formula množenja.

Opsezi skraćenih formula množenja (FSU) i primjeri

Glavna svrha formula za skraćeno množenje (FSU) objašnjena je njihovim nazivom, odnosno sastoji se u kratkom množenju izraza. Međutim, opseg FSO je mnogo širi i nije ograničen na kratko umnožavanje. Nabrojimo glavne smjerove.

Nedvojbeno je da je središnja primjena formule reduciranog množenja pronađena u izvođenju identičnih transformacija izraza. Najčešće se ove formule koriste u procesu pojednostavljenja izraza.

Primjer.

Pojednostavite izraz 9·y−(1+3·y) 2 .

Riješenje.

U ovom izrazu, kvadriranje se može izvesti skraćeno, imamo 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Ostaje samo otvoriti zagrade i dati slične uvjete: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

U prethodnoj lekciji bavili smo se rastavljanjem na faktore. Savladali smo dvije metode: izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada i grupiranje. U ovom vodiču sljedeća moćna metoda: formule skraćenog množenja. Ukratko - FSU.

Formule skraćenog množenja (kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova) neophodne su u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednadžbi, množenje polinoma, smanjivanje razlomaka, rješavanje integrala itd. itd. Ukratko, postoji svaki razlog da se s njima pozabavimo. Shvatite odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih primijeniti.

Razumijemo li?)

Odakle potječu formule za skraćeno množenje?

Jednadžbe 6 i 7 nisu napisane na sasvim uobičajen način. Kao suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. U takvom zapisu jasnije je odakle dolazi FSO.

Uzimaju se iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez znanstvenih trikova. Samo množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule množenja. skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i smanjivanja sličnih. Smanjeno.) Rezultat se odmah daje.

FSU treba znati napamet. Bez prve tri ne možete sanjati o trojci, bez ostatka - o četvorci s pet.)

Zašto su nam potrebne formule skraćenog množenja?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi - gotov odgovor na stroju dramatično smanjuje broj pogrešaka. Ali to nije glavni razlog. A evo i drugog...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.