Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori kvadratne matrice. §7

Vektor X ≠ 0 se zove svojstveni vektor linearni operator s matricom A, ako postoji broj takav da je AX =X.

U ovom slučaju poziva se broj  svojstvena vrijednost operator (matrica A) koji odgovara vektoru x.

Drugim riječima, svojstveni vektor je vektor koji se pod djelovanjem linearnog operatora pretvara u kolinearni vektor, tj. samo pomnožite s nekim brojem. Za razliku od njega, ne svojstveni vektori teže se transformiraju.

Zapišimo definiciju svojstvenog vektora u obliku sustava jednadžbi:

Premjestimo sve pojmove na lijevu stranu:

Potonji sustav može se napisati u matričnom obliku na sljedeći način:

(A - E)X = O

Rezultirajući sustav uvijek ima nulto rješenje X = O. Takvi sustavi u kojima su svi slobodni članovi jednaki nuli nazivaju se homogena. Ako je matrica takvog sustava kvadratna i njena determinanta nije jednaka nuli, onda ćemo korištenjem Cramerovih formula uvijek dobiti jedinstveno rješenje - nulu. Može se dokazati da sustav ima rješenja različita od nule ako i samo ako je determinanta ove matrice jednaka nuli, tj.

|A - E| = = 0

Ova jednadžba s nepoznatom zove se karakteristična jednadžba(karakteristični polinom) matrica A (linearni operator).

Može se dokazati da karakteristični polinom linearnog operatora ne ovisi o izboru baze.

Na primjer, pronađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora definiranog matricom A = .

Da bismo to učinili, sastavimo karakteristična jednadžba|A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; svojstvene vrijednosti 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Da bismo pronašli svojstvene vektore, rješavamo dva sustava jednadžbi

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Za prvu od njih, proširena matrica poprima oblik

odakle je x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X (1) = (-(2/3)s; s).

Za drugu od njih, proširena matrica poprima oblik

odakle x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tj. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Dakle, svojstveni vektori ovog linearnog operatora su svi vektori oblika (-(2/3)s; s) sa svojstvenom vrijednošću (-5) i svi vektori oblika ((2/3)s 1 ; s 1) sa svojstvena vrijednost 7 .

Može se dokazati da je matrica operatora A u bazi koju čine njegovi vlastiti vektori dijagonalna i da ima oblik:

gdje su  i svojstvene vrijednosti ove matrice.

Vrijedi i obrnuto: ako je matrica A u nekoj bazi dijagonalna, tada će svi vektori te baze biti svojstveni vektori te matrice.

Također se može dokazati da ako linearni operator ima n parno različitih svojstvenih vrijednosti, tada su odgovarajući svojstveni vektori linearno neovisni, a matrica tog operatora u odgovarajućoj bazi ima dijagonalni oblik.

S matricom A, ako postoji broj l takav da je AX = lX.

U tom slučaju poziva se broj l svojstvena vrijednost operator (matrica A) koji odgovara vektoru X.

Drugim riječima, svojstveni vektor je vektor koji se pod djelovanjem linearnog operatora transformira u kolinearni vektor, tj. samo pomnožite s nekim brojem. Nasuprot tome, nepravilne vektore je složenije transformirati.

Zapišimo definiciju svojstvenog vektora u obliku sustava jednadžbi:

Premjestimo sve pojmove na lijevu stranu:

Potonji sustav može se napisati u matričnom obliku na sljedeći način:

(A - lE)X = O

Rezultirajući sustav uvijek ima nulto rješenje X = O. Takvi sustavi u kojima su svi slobodni članovi jednaki nuli nazivaju se homogena. Ako je matrica takvog sustava kvadratna i njena determinanta nije jednaka nuli, tada ćemo korištenjem Cramerovih formula uvijek dobiti jedinstveno rješenje - nulu. Može se dokazati da sustav ima rješenja različita od nule ako i samo ako je determinanta ove matrice jednaka nuli, tj.

|A - lE| = = 0

Ova jednadžba s nepoznatom l zove se karakteristična jednadžba (karakteristični polinom) matrica A (linearni operator).

Može se dokazati da karakteristični polinom linearnog operatora ne ovisi o izboru baze.

Na primjer, pronađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora, zadan matricom A = .

Da bismo to učinili, napravimo karakterističnu jednadžbu |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; svojstvene vrijednosti l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Da bismo pronašli svojstvene vektore, rješavamo dva sustava jednadžbi

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Za prvu od njih, proširena matrica poprima oblik

odakle je x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X (1) = (-(2/3)s; s).

Za drugu od njih, proširena matrica poprima oblik

odakle x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tj. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Dakle, svojstveni vektori ovog linearnog operatora su svi vektori oblika (-(2/3)s; s) sa svojstvenom vrijednošću (-5) i svi vektori oblika ((2/3)s 1 ; s 1) sa svojstvena vrijednost 7 .

Može se dokazati da je matrica operatora A u bazi koju čine njegovi vlastiti vektori dijagonalna i da ima oblik:

gdje su l i svojstvene vrijednosti ove matrice.

Vrijedi i obrnuto: ako je matrica A u nekoj bazi dijagonalna, tada će svi vektori te baze biti svojstveni vektori te matrice.

Ilustrirajmo to prethodnim primjerom. Uzmimo proizvoljne vrijednosti različite od nule c i c 1, ali takve da su vektori X (1) i X (2) linearno neovisni, tj. činilo bi osnovu. Na primjer, neka je c = c 1 = 3, tada je X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Uvjerimo se linearna neovisnost ovi vektori:

12 ≠ 0. U ovoj novoj bazi matrica A će imati oblik A * = .

Da bismo to provjerili, upotrijebimo formulu A * = C -1 AC. Prvo, pronađimo C -1.

C -1 = ;

Kvadratni oblici

Kvadratni oblik f(x 1, x 2, x n) od n varijabli naziva se zbrojem, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli ili umnožak dviju različitih varijabli, uzetih s određenim koeficijentom: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Matrica A sastavljena od ovih koeficijenata naziva se matricakvadratni oblik. Uvijek je simetričan matrica (tj. matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, a ij = a ji).

U matričnom zapisu kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Doista

Na primjer, upišimo matrični oblik kvadratni oblik.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima kvadriranih varijabli, a ostali elementi jednaki su polovicama odgovarajućih koeficijenata kvadratne forme. Zato

Neka je stupac matrice varijabli X dobiven nedegeneriranom linearnom transformacijom stupca matrice Y, tj. X = CY, gdje je C - nesingularna matrica n-ti red. Tada je kvadratni oblik f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Dakle, s nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika poprima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2), dobiven iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled), ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz nije dat ovdje). Svaki kvadratni oblik može se reducirati u kanonski oblik pomoću nedegeneriranog linearna transformacija.

Na primjer, svedimo kvadratni oblik na kanonski oblik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da bismo to učinili, prvo odabiremo savršen kvadrat s varijablom x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada odabiremo cijeli kvadrat s varijablom x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika određen višeznačno (isti kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik različiti putevi). Međutim, primljeno različiti putevi kanonski oblici imaju niz opća svojstva. Konkretno, broj članova s pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o načinu svođenja oblika na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratne forme.

Provjerimo ovo dovođenjem istog kvadratnog oblika u kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje postoji negativan koeficijent -3 na y 1 i dva pozitivna koeficijenta 3 i 2 na y 2 i y 3 (i koristeći drugu metodu dobili smo negativan koeficijent (-5) na y 2 i dva pozitivna: 2 na y 1 i 1/20 na y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak broju koeficijenti različiti od nule kanonski oblik i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) naziva se pozitivno (negativan) određeni, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ona pozitivna, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbroj kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija nešto je teže utvrditi definitivan predznak kvadratne forme, pa se za to koristimo jednim od sljedećih teorema (formulirati ćemo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema(Sylvesterov kriterij). Kvadratna forma je pozitivno određena ako i samo ako su svi vodeći minori matrice te forme pozitivni.

Glavni (ugao) sporedni Matrica k-tog reda A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redaka i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativne definitivne kvadratne oblike predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitajmo kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 za predznak određenosti.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Stoga je kvadratna forma pozitivno određena.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno određen.

Ispitujemo drugi kvadratni oblik za predznak određenosti, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednadžba će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je negativno određen (predznaci glavnih minora se izmjenjuju, počevši od minusa).

I kao još jedan primjer, ispitujemo predznakom određen kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednadžba će imati oblik = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Jedan od tih brojeva je negativan, a drugi pozitivan. Predznaci svojstvenih vrijednosti su različiti. Prema tome, kvadratni oblik ne može biti ni negativno ni pozitivno određen, tj. ovaj kvadratni oblik nije predznačno određen (može poprimiti vrijednosti bilo kojeg predznaka).

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Na slici vidimo transformaciju pomaka koja se događa Giocondi. Plavi vektor mijenja smjer, ali crveni ne. Dakle, crvena je svojstveni vektor takve transformacije, ali plava nije. Budući da crveni vektor nije ni rastegnut ni komprimiran, njegova je svojstvena vrijednost jedan. Svi vektori su kolinearni, a crveni su također i svojstveni vektori. svojstveni vektor) kvadratna matrica(S svojstvena vrijednost(Engleski) svojstvena vrijednost)) – Ovo je vektor različit od nule za koji vrijedi relacija

Gdje? je određeni skalar, odnosno pravi ili složeni broj.
Odnosno, svojstveni vektori matrice A su vektori različiti od nule koji su, pod djelovanjem linearne transformacije, određeni matricom A ne mijenjaju smjer, ali mogu promijeniti duljinu za faktor?.
Matrica ima dimenzije ne veće od N svojstveni vektori i njima odgovarajuće svojstvene vrijednosti.
Relacija (*) također ima smisla za linearni operator u vektorskom prostoru V. Ako je taj prostor konačnodimenzionalan, tada se operator može napisati kao matrica s obzirom na određenu bazu V.
Budući da su svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti označeni bez korištenja koordinata, neovisno o izboru baze. Stoga slične matrice imaju iste svojstvene vrijednosti.
Vodeću ulogu u razumijevanju svojstvenih vrijednosti matrica igra Hamilton-Cayleyev teorem. Iz ovoga slijedi da su svojstvene vrijednosti matrice A a samo su oni korijeni karakterističnog polinoma matrice A:

str (?) je polinom stupnja n, dakle, prema temeljnom teoremu algebre, postoji točno n složene svojstvene vrijednosti, uzimajući u obzir njihovu višestrukost.
Dakle, matrica A nema više n svojstvene vrijednosti (ali mnogo svojstvenih vektora za svaki od njih).
Zapišimo karakteristični polinom kroz njegove korijene:

Višestrukost korijena karakterističnog polinoma matrice naziva se algebarska višestrukost svojstvena vrijednost
Skup svih svojstvenih vrijednosti matrice ili linearnog operatora u konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru naziva se spektar matrični ili linearni operator. (Ova je terminologija modificirana za ne-kožu s drugog svijeta vektorski prostori: V opći slučaj, spektar operatora može uključivati?, koji nisu svojstvene vrijednosti.)
Zbog veze između karakterističnog polinoma matrice i njezinih svojstvenih vrijednosti, potonje se također nazivaju karakteristični brojevi matrice.
Za svaku svojstvenu vrijednost dobivamo vlastiti sustav jednadžbi:

Što će imati linearno neovisna rješenja.
Skup svih rješenja sustava čini linearni potprostor dimenzije i naziva se vlastiti prostor(Engleski) svojstveni prostor) matrice sa svojstvenim vrijednostima.
Dimenzija vlastitog prostora naziva se geometrijska višestrukost odgovarajuća svojstvena vrijednost?.
Svi svojstveni prostori su invarijantni podprostori za .
Ako postoje barem dva linearno neovisna svojstvena vektora s istom svojstvenom vrijednošću?, tada se takva svojstvena vrijednost naziva degenerirati. Ova se terminologija prvenstveno koristi kada se geometrijski i algebarski višestruki svojstveni vrijednosti podudaraju, na primjer, za hermitske matrice.

Gdje – Matrica kvadratne veličine n x n,-Drugi stupac je vektor, A – Ovo je dijagonalna matrica s odgovarajućim vrijednostima.

Problem svojstvene vrijednosti je problem pronalaženja svojstvenih vektora i brojeva matrice.
Po definiciji (koristeći karakterističnu jednadžbu), možete pronaći samo svojstvene vrijednosti matrica s dimenzijama manjim od pet. Karakteristična jednadžba ima stupanj jednako matrice. Za više stupnjeve pronalaženje rješenja jednadžbe postaje vrlo problematično, pa se koriste raznim numeričke metode
Razni zadaci zahtijevati primanje različite količine svojstvene vrijednosti. Stoga postoji nekoliko problema pronalaženja svojstvenih vrijednosti, od kojih svaki koristi svoje metode.
Čini se da je parcijalni problem svojstvenih vrijednosti parcijalni problem kompletnog i da se rješava istim metodama kao i kompletan. Međutim, metode primijenjene na pojedine probleme puno su učinkovitije, pa se mogu primijeniti na visokodimenzionalne matrice (npr. nuklearna fizika problemi nastaju u pronalaženju svojstvenih vrijednosti za matrice dimenzija 10 3 – 10 6).
Jacobijeva metoda

Jedan od najstarijih i najvažnijih uobičajeni pristupi do odluke kompletan problem svojstvene vrijednosti je Jacobijeva metoda, prvi put objavljena 1846.
Metoda se primjenjuje na simetričnu matricu A
Ovo je jednostavan iterativni algoritam u kojem se matrica svojstvenih vektora izračunava nizom množenja.

Svojstvene vrijednosti(brojevi) i svojstveni vektori.
Primjeri rješenja

Budi svoj

Iz obje jednadžbe slijedi da je .

Recimo onda: .

Kao rezultat: – drugi svojstveni vektor.

Da ponovimo važne točke rješenja:

– dobiveni sustav svakako ima zajednička odluka(jednadžbe su linearno ovisne);

– odabiremo “y” na način da je cijeli broj, a prva koordinata “x” je cijeli broj, pozitivna i što manja.

– provjeravamo da pojedino rješenje zadovoljava svaku jednadžbu sustava.

Odgovor .

Međutočaka je bilo sasvim dovoljno pa je provjera jednakosti u načelu nepotrebna.

U raznim izvorima informacija, koordinate vlastitih vektora često se ne pišu u stupcima, već u redovima, na primjer: (i, da budem iskren, i sam sam navikao da ih zapisujem u redove). Ova opcija je prihvatljiva, ali u svjetlu teme linearne transformacije tehnički praktičniji za korištenje vektori stupaca.

Možda vam se rješenje učinilo jako dugim, ali to je samo zato što sam prvi primjer komentirao vrlo detaljno.

Primjer 2

Matrice

Idemo trenirati sami! Približan primjer završnog zadatka na kraju lekcije.

Ponekad morate učiniti dodatni zadatak, naime:

napišite dekompoziciju kanonske matrice

Što je?

Ako svojstveni vektori matrice tvore osnova, onda se može predstaviti kao:

Gdje je matrica sastavljena od koordinata vlastitih vektora, – dijagonala matrica s pripadajućim svojstvenim vrijednostima.

Ova dekompozicija matrice se zove kanonski ili dijagonala.

Pogledajmo matricu prvog primjera. Njegovi vlastiti vektori linearno neovisni(nekolinearni) i čine osnovu. Kreirajmo matricu njihovih koordinata:

Na glavna dijagonala matrice odgovarajućim redoslijedom nalaze se svojstvene vrijednosti, a preostali elementi su jednaki nuli:
– Još jednom naglašavam važnost redoslijeda: “dva” odgovara 1. vektoru i stoga se nalazi u 1. stupcu, “tri” – 2. vektoru.

Koristeći uobičajeni algoritam za pronalaženje inverzna matrica ili Gauss-Jordanova metoda pronašli smo . Ne, to nije tipfeler! - prije vas je rijetko, kao pomrčina Sunca događaj kada se inverz poklapa s izvornom matricom.

Ostaje da zapišemo kanonsku dekompoziciju matrice:

Sustav se može riješiti pomoću elementarne transformacije a u sljedećim primjerima ćemo pribjeći ovu metodu. Ali ovdje "školska" metoda radi mnogo brže. Iz 3. jednadžbe izražavamo: – zamijenimo u drugu jednadžbu:

Budući da je prva koordinata nula, dobivamo sustav iz čije svake jednadžbe slijedi da je .

I opet obratite pozornost na obveznu prisutnost linearnog odnosa. Ako se pokaže samo trivijalno rješenje , onda je svojstvena vrijednost netočno pronađena ili je sustav preveden/riješen s pogreškom.

Kompaktne koordinate daju vrijednost

Vlastiti vektor:

I još jednom provjeravamo je li rješenje pronađeno zadovoljava svaku jednadžbu sustava. U sljedećim paragrafima iu sljedećim zadacima, preporučujem da ovu želju uzmete kao obvezno pravilo.

2) Za svojstvenu vrijednost, koristeći isti princip, dobivamo sljedeći sustav:

Iz 2. jednadžbe sustava izražavamo: – zamijenimo u treću jednadžbu:

Kako je “zeta” koordinata jednaka nuli, dobivamo sustav iz svake jednadžbe iz koje ona slijedi linearna ovisnost.

Neka

Provjera je li rješenje zadovoljava svaku jednadžbu sustava.

Dakle, svojstveni vektor je: .

3) I konačno, sustav odgovara svojstvenoj vrijednosti:

Druga jednadžba izgleda najjednostavnija, pa je izrazimo i zamijenimo u 1. i 3. jednadžbi:

Sve je u redu - pojavio se linearni odnos koji zamjenjujemo u izraz:

Kao rezultat toga, "x" i "y" su izraženi kroz "z": . U praksi nije potrebno postići upravo takve odnose, u nekim je slučajevima zgodnije izraziti i kroz ili i kroz . Ili čak "vlak" - na primjer, "X" do "I" i "I" do "Z"

Recimo onda:

Provjeravamo je li rješenje pronađeno zadovoljava svaku jednadžbu sustava i ispisuje treći svojstveni vektor

Odgovor: vlastiti vektori:

Geometrijski, ti vektori definiraju tri različita prostorna pravca ("Tamo i natrag"), prema kojem linearna transformacija transformira vektore različite od nule (svojstvene vektore) u kolinearne vektore.

Ako je uvjet zahtijevao pronalaženje kanonske dekompozicije, onda je to ovdje moguće, jer različite svojstvene vrijednosti odgovaraju različitim linearno neovisnim svojstvenim vektorima. Izrada matrice iz njihovih koordinata, dijagonalna matrica iz relevantan svojstvene vrijednosti i pronaći inverzna matrica .

Ako, prema uvjetu, trebate pisati matrica linearne transformacije u bazi vlastitih vektora, zatim dajemo odgovor u obliku . Razlika postoji, i to značajna! Zato što je ova matrica "de" matrica.

Problem s više jednostavni proračuni Za neovisna odluka:

Primjer 5

Odredite svojstvene vektore linearne transformacije zadane matricom

Kada pronalazite vlastite brojeve, pokušajte ne ići sve do polinoma 3. stupnja. Osim toga, vaša rješenja sustava mogu se razlikovati od mojih rješenja - ovdje nema sigurnosti; a vektori koje pronađete mogu se razlikovati od vektora uzorka sve do proporcionalnosti njihovih odgovarajućih koordinata. Na primjer, i. Estetski je ugodnije prikazati odgovor u obrascu, ali u redu je ako se zaustavite na drugoj mogućnosti. Međutim, ima svega razumne granice, verzija više ne izgleda baš dobro.

Približan konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Kako riješiti problem u slučaju više svojstvenih vrijednosti?

Opći algoritam ostaje isti, ali ima svoje karakteristike, te je preporučljivo neke dijelove rješenja zadržati u strožem akademskom stilu:

Primjer 6

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Riješenje

Naravno, napišimo veliki prvi stupac velikim slovima:

I, nakon razgradnje kvadratni trinom po množiteljima:

Kao rezultat, dobivaju se svojstvene vrijednosti, od kojih su dvije višestruke.

Nađimo svoje vektori:

1) Pozabavimo se usamljenim vojnikom prema "pojednostavljenoj" shemi:

Iz posljednje dvije jednadžbe jasno je vidljiva jednakost koju, očito, treba zamijeniti u 1. jednadžbu sustava:

Nećete naći bolju kombinaciju:
Vlastiti vektor:

2-3) Sada uklanjamo nekoliko stražara. U u ovom slučaju moglo bi uspjeti ili dva ili jedan svojstveni vektor. Bez obzira na višestrukost korijena, vrijednost zamjenjujemo u determinantu što nam donosi sljedeće homogeni sustav linearnih jednadžbi:

Vlastiti vektori su upravo vektori
temeljni sustav rješenja

Zapravo, tijekom cijele lekcije nismo radili ništa osim pronalaženja vektora temeljnog sustava. Samo za sada ovaj pojam zapravo nije trebao. Usput, oni pametni studenti koji su promašili temu u maskirnim odijelima homogene jednadžbe, bit će prisiljen da ga sada popuši.

Jedina radnja bila je uklanjanje dodatnih linija. Rezultat je matrica jedan prema tri s formalnim "korakom" u sredini.
– osnovna varijabla, – slobodne varijable. Postoje, dakle, dvije slobodne varijable postoje i dva vektora temeljnog sustava.

Izrazimo osnovnu varijablu preko slobodnih varijabli: . Nulti množitelj ispred "X" omogućuje mu da preuzme apsolutno sve vrijednosti (što je jasno vidljivo iz sustava jednadžbi).

U kontekstu ovog problema, prikladnije je pisati opće rješenje ne u retku, već u stupcu:

Par odgovara vlastitom vektoru:
Par odgovara vlastitom vektoru:

Bilješka : sofisticirani čitatelji mogu odabrati ove vektore usmeno - jednostavno analizom sustava , ali ovdje je potrebno malo znanja: postoje tri varijable, rang matrice sustava- jedan, što znači temeljni sustav odlučivanja sastoji se od 3 – 1 = 2 vektora. Međutim, pronađeni vektori jasno su vidljivi i bez tog znanja, čisto na intuitivnoj razini. U ovom slučaju, treći vektor će biti napisan još "ljepše": . Međutim, upozoravam na to u drugom primjeru jednostavan odabir Možda se ne pokaže da je tako, pa je klauzula namijenjena iskusnim osobama. Osim toga, zašto ne uzeti, recimo, kao treći vektor? Uostalom, njegove koordinate također zadovoljavaju svaku jednadžbu sustava i vektore linearno neovisni. Ova je opcija u načelu prikladna, ali "kriva", jer je "drugi" vektor linearna kombinacija vektora osnovnog sustava.

Odgovor: svojstvene vrijednosti: , svojstveni vektori:

Sličan primjer za neovisno rješenje:

Primjer 7

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Treba primijetiti da i u 6. i u 7. primjeru dobivamo trostruki linearno neovisnih svojstvenih vektora, pa je stoga izvorna matrica reprezentativna u kanonsko proširenje. Ali takve maline se ne događaju u svim slučajevima:

Primjer 8