Što je integracija po dijelovima? Da bismo svladali ovu vrstu integracije, prvo se prisjetimo izvedenice proizvoda:

$((\lijevo(f\cdot g \desno))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Pitanje je: dobro, kakve veze integrali imaju s tim? Sada integrirajmo obje strane ove jednadžbe. Pa napišimo:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Ali što je primitivno od moždanog udara? To je samo sama funkcija, koja je unutar poteza. Pa napišimo:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

NA dana jednadžba Predlažem izraz izraza. Imamo:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

To je ono što je formula za integraciju po dijelovima. Dakle, u biti mijenjamo izvod i funkciju. Ako smo u početku imali integral poteza, pomnožen s nečim, tada dobivamo integral nečega novog, pomnožen s udarcem. To je sve pravilo. Na prvi pogled zadana formula može izgledati komplicirano i besmisleno, ali zapravo može uvelike pojednostaviti izračune. Da vidimo.

Primjeri izračunavanja integrala

Zadatak 1. Izračunaj:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Prepišimo izraz dodavanjem 1 ispred logaritma:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Na to imamo pravo jer se neće mijenjati ni broj ni funkcija. Sada usporedimo ovaj izraz s onim što smo zapisali u formuli. Uloga $(f)"$ je 1, pa pišemo:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Sve te funkcije nalaze se u tablicama. Sada kada smo napisali sve elemente koji su uključeni u naš izraz, prepisat ćemo ovaj integral koristeći formulu integracije po dijelovima:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\lijevo(\ln x-1 \desno)+C \\\ kraj (poravnaj)\]

To je to, integral je pronađen.

Zadatak 2. Izračunaj:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Ako uzmemo $x$ kao derivaciju iz koje sada trebamo pronaći antiderivaciju, tada ćemo dobiti $((x)^(2))$, a konačni izraz će sadržavati $((x)^(2)) ( (\tekst(e))^(-x))$.

Očito zadatak nije pojednostavljen, pa ćemo faktore zamijeniti pod predznakom integrala:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\tekst(d)x)$

Sada uvedimo oznaku:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

Razlikujte $((\text(e))^(-x))$:

$((\lijevo(((\tekst(e))^(-x)) \desno))^(\prime ))=((\tekst(e))^(-x))\cdot ((\ lijevo(-x \desno))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Drugim riječima, prvo se dodaje "minus", a zatim se integriraju obje strane:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Sada se pozabavimo funkcijom $g$:

$g=x\desna strelica (g)"=1$

Smatramo integralom:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\lijevo(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekst(e))^(-x))+\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-x( (\tekst(e))^(-x))-((\tekst(e))^(-x))+C=-((\tekst(e))^(-x))\lijevo(x +1 \desno)+C \\\end(align)$

Dakle, izvršili smo drugu integraciju po dijelovima.

Zadatak 3. Izračunaj:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

U ovom slučaju, što treba uzeti za $(f)"$ , a što za $g$? Ako $x$ djeluje kao derivat, tada $\frac(((x)^(2)))(2 ) $, a prvi faktor neće nigdje nestati - bit će $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$. Stoga ćemo opet zamijeniti faktore:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\desna strelica f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\desna strelica (g)"=1 \\\ kraj (poravnaj)$

Prepisujemo naš izvorni izraz i proširujemo ga prema formuli integracije po dijelovima:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Sve, treći zadatak je riješen.

Konačno, pogledajmo ponovno formula za integraciju po dijelovima. Kako biramo koji će faktor biti derivacija, a koji stvarna funkcija? Ovdje postoji samo jedan kriterij: element koji ćemo razlikovati mora dati ili "lijep" izraz, koji će se zatim smanjiti ili potpuno nestati tijekom razlikovanja. Ova lekcija je gotova.

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralni račun. Na kolokviju, ispitu studentu se gotovo uvijek nudi rješavanje integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integral (vidi članak) ili integral za promjenu varijable (vidi članak) ili integral samo na način integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, pri ruci bi trebalo biti: Tablica integrala i Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve tiskati. Nastojat ću izložiti sav materijal na dosljedan, jednostavan i pristupačan način, nema posebnih poteškoća u objedinjavanju po dijelovima.

Koji problem rješava integracija po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan zadatak, omogućuje vam integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima - i privatne. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovaj: je formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi cijelu lekciju (već je lakše).

I odmah popis u studiju. Integrali se uzimaju po dijelovima sljedeće vrste:

1) , , - logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.

2) ,je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. Ovo također uključuje integrale poput eksponencijalna funkcija, pomnoženo s polinomom, ali u praksi je 97 posto, ispod integrala se šepuri lijepo slovo "e". ... članak ispadne nešto lirski, o da ... stiglo je proljeće.

3) , , su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) , - inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi”, pomnoženi nekim polinomom.

Također, neke frakcije se uzimaju u dijelovima, također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Integrali logaritama

Primjer 1

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da učitelj u proljeće ima beriberi i mnogo će grditi. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu za integraciju po dijelovima:

Formula se primjenjuje s lijeva na desno

Gledamo lijevu stranu:. Očito je da u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti) nešto treba označiti s , a nešto s .

U integralima razmatranog tipa uvijek označavamo logaritam.

Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način, pišemo u stupcu:

To jest, jer smo označili logaritam, a za - preostali dio integrand.

Sljedeći korak: pronađite diferencijal:

Diferencijal je gotovo isti kao izvod, već smo razgovarali o tome kako ga pronaći u prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Da bi se našla funkcija potrebno je integrirati desna strana niža jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule: .
Usput, evo primjera konačnog rješenja s malim napomenama:

Jedini trenutak u proizvodu sam odmah preuredio i, budući da je uobičajeno pisati množitelj prije logaritma.

Kao što vidite, primjena formule integracije po dijelovima u biti je svela naše rješenje na dva jednostavna integrala.

Imajte na umu da u nekim slučajevima odmah nakon primjena formule, pojednostavljenje se nužno provodi pod preostalim integralom - u primjeru koji razmatramo smanjili smo integrand za "x".

Napravimo provjeru. Da biste to učinili, morate uzeti derivat odgovora:

Dobiven je izvorni integrand, što znači da je integral točno riješen.

Tijekom provjere koristili smo pravilo razlikovanja proizvoda: . I to nije slučajnost.

Formula za integraciju po dijelovima i formula To su dva međusobno obrnuta pravila.

Primjer 2

Nađi neodređeni integral.

Integrand je umnožak logaritma i polinoma.
Mi odlučujemo.

Još jednom ću detaljno opisati postupak primjene pravila, ubuduće će primjeri biti kraći, a ako imate poteškoća u rješavanju sami, morate se vratiti na prva dva primjera lekcije .

Kao što je već spomenuto, za je potrebno označiti logaritam (činjenica da je u stupnju nije važna). Označavamo preostali dio integrand.

Pišemo u stupcu:

Prvo nalazimo diferencijal:

Ovdje koristimo pravilo diferencijacije složena funkcija . Nije slučajno da već na prvoj lekciji teme Neodređeni integral. Primjeri rješenja Fokusirao sam se na to da se za svladavanje integrala treba "dobiti u ruke" izvodnica. Derivati ​​će se morati suočiti više puta.

Sada nalazimo funkciju, za ovo integriramo desna strana niža jednakost:

Za integraciju smo primijenili najjednostavniju tabelarnu formulu

Sada ste spremni za primjenu formule . Otvaramo ga sa "zvjezdicom" i "dizajniramo" rješenje u skladu s desna strana :

Ispod integrala opet imamo polinom na logaritmu! Stoga se rješavanje ponovno prekida i drugi put se primjenjuje pravilo integracije po dijelovima. Ne zaboravite da se za u sličnim situacijama uvijek označava logaritam.

Bilo bi lijepo kad bi sadašnji trenutak mogli ste usmeno pronaći najjednostavnije integrale i derivacije.

(1) Nemojte se zbuniti u znakovima! Ovdje se vrlo često gubi minus, također imajte na umu da vrijedi minus svima zagrada , a ove zagrade moraju biti ispravno otvorene.

(2) Proširite zagrade. Pojednostavit ćemo zadnji integral.

(3) Uzimamo posljednji integral.

(4) “Češljanje” odgovora.

Potreba da se pravilo integracije po dijelovima primijeni dvaput (ili čak triput) nije neuobičajena.

A sada par primjera za neovisna odluka:

Primjer 3

Nađi neodređeni integral.

Ovaj primjer je riješen promjenom metode varijable (ili podvođenjem pod predznak diferencijala)! A zašto ne - možete pokušati uzeti u dijelovima, dobit ćete smiješnu stvar.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral.

Ali ovaj integral je integriran po dijelovima (obećani razlomak).

Ovo su primjeri za samostalno rješavanje, rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Čini se da su u primjerima 3,4 integrandi slični, ali su metode rješenja različite! Upravo je to glavna poteškoća u svladavanju integrala - ako odaberete krivu metodu za rješavanje integrala, možete ga petljati satima, kao s pravom zagonetkom. Dakle, što više rješavate raznih integrala, to će vam test i ispit biti bolji, lakši. Osim toga, u drugoj godini će biti diferencijalne jednadžbe, a bez iskustva u rješavanju integrala i derivacija tu se nema što raditi.

Logaritmima, možda i više nego dovoljno. Za užinu se mogu sjetiti i da studenti tehnike ženske grudi nazivaju logaritmima =). Usput, korisno je znati napamet grafiku glavnog elementarne funkcije: sinus, kosinus, arktangens, eksponencijal, polinomi trećeg, četvrtog stupnja itd. Ne, naravno, kondom na kugli zemaljskoj
Neću povlačiti, ali sada ćete se sjetiti mnogo toga iz odjeljka Grafovi i funkcije =).

Integrali eksponenta pomnoženi polinomom

Opće pravilo:

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Koristeći poznati algoritam, integriramo po dijelovima:

Ako imate poteškoća s integralom, trebali biste se vratiti na članak Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

Ostaje još samo "pročešljati" odgovor:

Ali ako vaša tehnika izračuna nije baš dobra, ostavite najprofitabilniju opciju kao odgovor. ili čak

Odnosno, primjer se smatra riješenim kada se uzme posljednji integral. To neće biti pogreška, druga je stvar koju učitelj može tražiti da pojednostavi odgovor.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer "uradi sam". Ovaj integral se integrira dva puta po dijelovima. Posebna pažnja trebali biste obratiti pozornost na znakove - lako se zbuniti u njima, također se toga sjećamo - složena funkcija.

O izlagaču se nema što više reći. Mogu samo dodati da je izlagač i prirodni logaritam recipročne funkcije, ovo sam ja na temu zabavnih grafikona viša matematika=) Stani, stani, ne brini, predavač je trijezan.

Integrali trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: uvijek stoji za polinom

Primjer 7

Nađi neodređeni integral.

Integracija po dijelovima:

Hmmm... i nema se što komentirati.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer rješenja "uradi sam".

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

Još jedan primjer s razlomkom. Kao iu prethodna dva primjera, polinom je označen sa.

Integracija po dijelovima:

Ako imate bilo kakvih poteškoća ili nesporazuma s pronalaženjem integrala, preporučujem pohađanje lekcije Integrali trigonometrijskih funkcija.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer "uradi sam".

Savjet: prije korištenja metode integracije po dijelovima, morate primijeniti neke trigonometrijska formula, koji umnožak dviju trigonometrijskih funkcija pretvara u jednu funkciju. Formula se također može koristiti u tijeku primjene metode integracije po dijelovima, kome to više odgovara.

To je, možda, sve u ovom paragrafu. Iz nekog razloga prisjetio sam se stiha iz himne Fizičko-matematičkog odsjeka “I sinusni graf val za valom teče po apscisnoj osi” ....

Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija.
Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: uvijek stoji za inverznu trigonometrijsku funkciju.

Podsjećam vas na to trigonometrijske funkcije uključuju arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Zbog kratkoće, nazvat ću ih "lukovi"

Kalkulator rješava integrale s opisom akcija DETALJNO na ruskom i besplatno!

Rješavanje neodređenih integrala

Ovo je online usluga jedan korak:

Rješenje određenih integrala

Ovo je online usluga jedan korak:

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Unesite donju granicu za integral
• Unesi Gornja granica za integral

Rješavanje dvostrukih integrala

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)

Rješavanje nepravilnih integrala

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Unesite gornje područje integracije (ili + beskonačno)
• Unesite donju regiju integracije (ili - beskonačno)

Skok: Online usluga "Nepravilan integral" →

Rješenje trostrukih integrala

• Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Unesite donje i gornje granice za prvo područje integracije
• Unesite donju i gornju granicu za drugo područje integracije
• Unesite donju i gornju granicu za treće područje integracije

Skok: Online usluga "Trostruki integral" →

Ova usluga vam omogućuje da provjerite svoje kalkulacije za ispravnost

Sposobnosti

• Podrška za sve moguće matematičke funkcije: sinus, kosinus, eksponencijal, tangens, kotangens, kvadratni i kubični korijeni, stupnjevi, eksponencijal i drugi.
• Postoje primjeri za unos kako neodređeni integrali, te za nepravilne i definitivne.
• Ispravlja pogreške u izrazima koje unesete i nudi vlastite opcije za unos.
• Numeričko rješenje za određene i nepravilni integrali(uključujući za dvostruke i trostruke integrale).
• podrška kompleksni brojevi, kao i razne parametre (možete navesti u integrandu ne samo varijablu integracije, već i druge parametre varijable)

Pojam antiderivacije i neodređenog integrala. Teorem o kolekciji antiderivacija. Svojstva neodređenog integrala. Tablica integrala.

Funkcija F(x) se zove antiderivacija za funkciju f(x), na danom intervalu, ako je funkcija F(x) kontinuirana na tom intervalu, iu svakom unutarnja točka intervalu vrijedi jednakost: F’(x) = f(x)

Teorem 1. Ako funkcija F(x) ima antiderivaciju F(x) na intervalu, tada će sve funkcije oblika F(x)+C također biti antiderivacije za nju na istom intervalu. Obrnuto, svaka antiderivacija F(x) za funkciju y = f(x) može se prikazati kao F(x) = F(x)+C, gdje je F(x) jedan od antiderivacijske funkcije, a C je proizvoljna konstanta.

Dokaz:

Prema definiciji antiderivacije, imamo F'(x) = f(x). S obzirom da je derivacija konstante jednaka nuli, dobivamo

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). To znači da je F(x)+C antiderivacija za y = f(x). Pokažimo sada da ako je funkcija y = f(x) definirana na nekom intervalu i F(x) je jedna od njezinih antiderivacija, tada se F (x) može prikazati kao

Zaista, prema definiciji antiderivacije, imamo

F'(x) = F(x)+C i F'(x) = f(x).

Ali dvije funkcije koje imaju jednake izvodnice na intervalu razlikuju se jedna od druge samo po konstantnom članu. Dakle, F(x) = F(x) + C, što je trebalo dokazati.

Definicija.

Skup svih antiderivacija za funkciju y = f(x) na zadanom intervalu naziva se neodređeni integral te funkcije i označava se ∫f(x)dx = F(x)+C

Funkcija f(x) naziva se integrand, a umnožak f(x)*dx integrand.

Često se kaže: "uzmi neodređeni integral" ili "izračunaj neodređeni integral", što znači sljedeće: pronaći skup svih antiderivacija za integrand,

Svojstva neodređenog integrala

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Tablica integrala

Integracija supstitucijom i dijelovima u neodređenom integralu.

Metoda integracije supstitucije je uvesti novi integracijska varijabla(tj. zamjene). U tom se slučaju zadani integral reducira na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti (u slučaju “uspješne” zamjene). Opće metode supstitucijski izbor ne postoji.

Neka se traži izračunavanje integrala ∫f(x)dx. Napravimo zamjenu x =φ(t), gdje je φ(t) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju. Tada je dx=φ "(t) dt i na temelju svojstva invarijantnosti formule za integraciju neodređenog integrala dobivamo integracijsku formulu supstitucijom ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Ovu formulu nazivamo i varijablama formule zamjene u neodređenom integralu Nakon pronalaženja integrala desne strane ove jednakosti treba prijeći s nove varijable integracije t natrag na varijablu x.

Metoda integracije po dijelovima

Neka su u=u(h) i ν=v(h) funkcije koje imaju kontinuirane derivacije. Tada je d(uv)=u dv+v du.

Integrirajući ovu jednakost, dobivamo ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu ili

∫udv =uv - ∫vdu

Dobivena formula naziva se formula integracije po dijelovima. Omogućuje redukciju izračuna integrala ∫udv na izračun integrala ∫vdu, koji se može pokazati puno jednostavnijim od izvornog.

Ranije smo dana funkcija, vodeći se raznim formulama i pravilima, pronašao svoju izvedenicu. Izvedenica ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangenta na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja postoji i problem inverzni problem- problem vraćanja zakona gibanja iz poznate brzine. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1 Kreće se pravocrtno materijalna točka, brzina njegovog kretanja u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s "(t) = v(t). Dakle, da biste riješili problem, trebate odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Lako je pogoditi da \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Doista
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pokretne točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0 , tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0 . Sada je zakon gibanja jednoznačno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

U matematici se zadaju recipročne operacije različita imena, osmislite posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i izdvajanje korijen(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsinus (arcsin x), itd. Proces pronalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferencijacija, i inverzna operacija, tj. proces pronalaženja funkcije po zadanoj derivaciji, - integracija.

Sam pojam "derivacija" može se opravdati "na svjetovni način": funkcija y \u003d f (x) "proizvodi u svijet" nova značajka y" = f"(x). Funkcija y \u003d f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne nazivaju "roditeljem" ili "proizvođačem", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y " = f" (x) , primarna slika ili antiderivacija.

Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako \(x \in X \) zadovoljava jednakost F"(x) = f(x)

U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x
2) Funkcija y \u003d x 3 je antiderivacija za funkciju y \u003d 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2
3) Funkcija y \u003d sin (x) je antiderivacija za funkciju y \u003d cos (x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin (x)) "= cos (x)

Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.

Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2 Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).

Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracijske varijable (tj. supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Ne postoje opće metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka se traži izračunavanje integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti formule neodređene integralne integracije, dobivamo formulu integracije supstitucije:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza poput \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$