Naći opće rješenje normalnog sustava diferencijalnih jednadžbi. Kako operacijskom metodom riješiti sustav diferencijalnih jednadžbi? Opća metoda za rješavanje sode s konstantnim koeficijentima

Odlučili smo ovaj dio posvetiti rješavanju sustava diferencijalnih jednadžbi najjednostavnijeg oblika d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , u kojem je a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 su neki realni brojevi. Najučinkovitija za rješavanje takvih sustava jednadžbi je metoda integracije. Razmotrimo i primjer rješenja na temu.

Rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi bit će par funkcija x (t) i y (t) koji je u stanju pretvoriti obje jednadžbe sustava u identitet.

Razmotrimo metodu integracije sustava diferencijalnih jednadžbi d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Izražavamo x iz 2. jednadžbe sustava kako bismo isključili nepoznatu funkciju x (t) iz 1. jednadžbe:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Razlikujemo 2. jednadžbu s obzirom na t i riješi njegovu jednadžbu za d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Sada zamijenimo rezultat prethodnih izračuna u 1. jednadžbu sustava:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Tako smo eliminirali nepoznatu funkciju x (t) i dobili linearnu nehomogenu DE 2. reda s konstantnim koeficijentima. Nađimo rješenje ove jednadžbe y (t) i zamijenimo ga u 2. jednadžbu sustava. Nađimo x(t). Pretpostavljamo da je time dovršeno rješenje sustava jednadžbi.

Primjer 1

Pronađite rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Odluka

Počnimo s prvom jednadžbom sustava. Riješimo to s obzirom na x:

x = d y d t - 2 y + 3

Sada provodimo diferencijaciju 2. jednadžbe sustava, nakon čega je rješavamo s obzirom na d x d t:

Rezultat dobiven tijekom izračuna možemo zamijeniti u 1. jednadžbu DE sustava:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Kao rezultat transformacija, dobili smo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu 2. reda s konstantnim koeficijentima d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Ako pronađemo njezino opće rješenje, tada ćemo dobiti funkciju y(t).

Opće rješenje odgovarajućeg LODE y 0 možemo pronaći izračunavanjem korijena karakteristične jednadžbe k 2 - 3 k + 2 = 0:

D \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

Korijeni koje smo dobili su valjani i različiti. S tim u vezi, opće rješenje za LODE imat će oblik y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Sada pronađimo određeno rješenje linearne nehomogene DE y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Desna strana jednadžbe je polinom stupnja nula. To znači da ćemo tražiti određeno rješenje u obliku y ~ = A , gdje je A neodređeni koeficijent.

Neodređeni koeficijent možemo odrediti iz jednakosti d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Dakle, y ~ = 1 i y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Pronašli smo jednu nepoznatu funkciju.

Sada zamjenjujemo pronađenu funkciju u 2. jednadžbu DE sustava i rješavamo novu jednadžbu s obzirom na x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Tako smo izračunali drugu nepoznatu funkciju x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Odgovor: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Mnogi sustavi diferencijalnih jednadžbi, i homogeni i nehomogeni, mogu se svesti na jednu jednadžbu s obzirom na jednu nepoznatu funkciju. Pokažimo metodu na primjerima.

Primjer 3.1. Riješite sustav

Odluka. 1) Razlikovanje s obzirom na t prvu jednadžbu i korištenje druge i treće jednadžbe za zamjenu i , pronašli smo

Rezultirajuća jednadžba je diferencibilna s obzirom na opet

1) Izrađujemo sustav

Iz prve dvije jednadžbe sustava izražavamo varijable i kroz
:

Zamijenimo pronađene izraze za i u treću jednadžbu sustava

Dakle, pronaći funkciju
dobio diferencijalnu jednadžbu trećeg reda s konstantnim koeficijentima

2) Posljednju jednadžbu integriramo standardnom metodom: sastavljamo karakterističnu jednadžbu
, pronaći svoje korijene
i izgraditi opće rješenje u obliku linearne kombinacije eksponencijala, uzimajući u obzir višestrukost jednog od korijena:.

3) Zatim pronaći dvije preostale značajke
i
, diferenciramo dvostruko dobivenu funkciju

Koristeći veze (3.1) između funkcija sustava, vraćamo preostale nepoznanice

Odgovor. ,
,.

Može se pokazati da su sve poznate funkcije osim jedne isključene iz sustava trećeg reda čak i nakon jedne diferencijacije. U ovom slučaju, redoslijed diferencijalne jednadžbe za njeno pronalaženje bit će manji od broja nepoznatih funkcija u izvornom sustavu.

Primjer 3.2. Integrirajte sustav

(3.2)

Odluka. 1) Razlikovanje s obzirom na prva jednadžba, nalazimo

Isključujući varijable i iz jednadžbi

imat ćemo jednadžbu drugog reda s obzirom na

(3.3)

2) Iz prve jednadžbe sustava (3.2) imamo

(3.4)

Zamjenom u treću jednadžbu sustava (3.2) pronađene izraze (3.3) i (3.4) za i , dobivamo diferencijalnu jednadžbu prvog reda za određivanje funkcije

Integrirajući ovu nehomogenu jednadžbu s konstantnim koeficijentima prvog reda, nalazimo
Pomoću (3.4) nalazimo funkciju

Odgovor.
,,
.

Zadatak 3.1. Riješite homogene sustave svođenjem na jednu diferencijalnu jednadžbu.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Rješavanje sustava linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima pronalaženjem temeljnog sustava rješenja

Opće rješenje sustava linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi može se pronaći kao linearna kombinacija temeljnih rješenja sustava. U slučaju sustava s konstantnim koeficijentima, metode linearne algebre mogu se koristiti za pronalaženje temeljnih rješenja.

Primjer 3.3. Riješite sustav

(3.5)

Odluka. 1) Prepišite sustav u matričnom obliku

. (3.6)

2) Temeljno rješenje sustava tražit ćemo u obliku vektora
. Zamjenske funkcije
u (3.6) i reducirajući za , dobivamo

, (3.7)

to je broj mora biti svojstvena vrijednost matrice
, i vektor odgovarajući vlastiti vektor.

3) Iz kolegija linearne algebre poznato je da sustav (3.7) ima netrivijalno rješenje ako mu je determinanta jednaka nuli

tj. Odavde nalazimo vlastite vrijednosti
.

4) Pronađite odgovarajuće svojstvene vektore. Zamjena u (3.7) prve vrijednosti
, dobivamo sustav za pronalaženje prvog svojstvenog vektora

Odavde dobivamo vezu između nepoznanica
. Dovoljno nam je izabrati jedno netrivijalno rješenje. Uz pretpostavku
, onda
, odnosno vektor je svojstvena vrijednost za svojstvenu vrijednost
, i vektor funkcije
temeljno rješenje zadanog sustava diferencijalnih jednadžbi (3.5). Slično, prilikom zamjene drugog korijena
u (3.7) imamo matričnu jednadžbu za drugi vlastiti vektor
. Gdje dobivamo vezu između njegovih komponenti
. Dakle, imamo drugo temeljno rješenje

5) Opće rješenje sustava (3.5) konstruirano je kao linearna kombinacija dva dobivena temeljna rješenja

ili u koordinatnom obliku

Odgovor.

.

Zadatak 3.2. Rješavanje sustava pronalaženjem temeljnog sustava rješenja.

Matrična notacija za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi (SODE) s konstantnim koeficijentima

Linearni homogeni SODE s konstantnim koeficijentima $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

gdje je $y_(1) \lijevo(x\desno),\; y_(2) \lijevo(x\desno),\; \ltočke ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- željene funkcije nezavisne varijable $x$, koeficijenti $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- zadane realne brojeve predstavljamo u matričnom zapisu:

matrica željenih funkcija $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \lijevo(x\desno)) \end(niz)\desno)$;
derivativna matrica odlučivanja $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
SODE matrica koeficijenta $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(niz)\desno)$.

Sada, na temelju pravila množenja matrice, ovaj SODE se može napisati kao matrična jednadžba $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Opća metoda rješavanja SODE-a s konstantnim koeficijentima

Neka postoji matrica nekih brojeva $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(niz)\desno)$.

SODE rješenje nalazi se u sljedećem obliku: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. U matričnom obliku: $Y=\left(\begin(niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(niz )\desno)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(niz)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(niz)\desno)$.

Odavde dobijamo:

Sada se matrična jednadžba ovog SODE-a može dati oblik:

Rezultirajuća jednadžba se može predstaviti na sljedeći način:

Posljednja jednakost pokazuje da se vektor $\alpha $ transformira uz pomoć matrice $A$ u vektor $k\cdot \alpha $ paralelan s njim. To znači da je vektor $\alpha $ svojstveni vektor matrice $A$ koji odgovara svojstvenoj vrijednosti $k$.

Broj $k$ može se odrediti iz jednadžbe $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots) & (\ldots) & (\ldots) & (\ldots) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots) & (a_(nn) -k) \end(niz)\desno|=0$.

Ova se jednadžba naziva karakteristična.

Neka su svi korijeni $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ karakteristične jednadžbe različiti. Za svaku vrijednost $k_(i)$ iz $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots) & (a_(nn) -k) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(niz)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ matrica vrijednosti može se definirati $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\lijevo(i\desno)) ) \end(niz)\desno)$.

Jedna od vrijednosti u ovoj matrici bira se proizvoljno.

Konačno, rješenje ovog sustava u matričnom obliku zapisuje se na sljedeći način:

$\left(\begin(niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots) \\ (y_(n) ) \end(niz)\desno)=\ lijevo(\begin(niz)(cccc) (\alpha _(1)^(\lijevo(1\desno)) ) & (\alpha _(1)^(\lijevo(2\desno)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\lijevo(n\desno)) ) \\ (\alpha _(2)^(\lijevo(1\desno)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots) & (\ldots) & (\ldots) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\lijevo(1\desno)) ) & (\alpha _(2)^(\lijevo(2\desno)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(niz)\desno)$,

gdje su $C_(i) $ proizvoljne konstante.

Zadatak

Riješite sustav $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(niz)\desno.$.

Napišite matricu sustava: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

U matričnom obliku, ovaj SODE je napisan na sljedeći način: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (niz)\desno)=\left(\begin(niz)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(niz)\desno)\cdot \left( \begin( niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(niz)\desno)$.

Dobivamo karakterističnu jednadžbu:

$\left|\begin(niz)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(niz)\right|=0$ tj. $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.

Korijeni karakteristične jednadžbe: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Sastavljamo sustav za izračun $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ desno))) \end(niz)\desno)$ za $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(niz)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(niz)\desno)\cdot \ lijevo(\begin(niz)(c) (\alpha _(1)^(\lijevo(1\desno)) ) \\ (\alpha _(2)^(\lijevo(1\desno)) ) \end (niz)\desno)=0,\]

tj. $\left(5-1\desno)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\lijevo(1\desno)) +\lijevo(5-1\desno)\cdot \alpha _(2)^(\lijevo(1\desno) ) =0$.

Stavljajući $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, dobivamo $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Sastavljamo sustav za izračunavanje $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ desno))) \end(niz)\desno)$ za $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(niz)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(niz)\desno)\cdot \ lijevo(\begin(niz)(c) (\alpha _(1)^(\lijevo(2\desno)) ) \\ (\alpha _(2)^(\lijevo(2\desno)) ) \end (niz)\desno)=0, \]

tj. $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\lijevo(2\desno)) +\lijevo(5-9\desno)\cdot \alpha _(2)^(\lijevo(2\desno) ) =0$.

Stavljajući $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, dobivamo $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Dobivamo SODE rješenje u matričnom obliku:

\[\left(\begin(niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(niz)\desno)=\left(\begin(niz)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(niz)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(niz)\desno).\]

U uobičajenom obliku, SODE rješenje je: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (niz)\desno.$.

Jednadžbe.

Uvod.

U mnogim problemima matematike, fizike i tehnologije potrebno je definirati nekoliko funkcija međusobno povezanih s nekoliko diferencijalnih jednadžbi.

Za to je potrebno imati, općenito govoreći, isti broj jednadžbi. Ako je svaka od ovih jednadžbi diferencijalna, odnosno ima oblik relacije koja povezuje nepoznate funkcije i njihove derivacije, onda kažu o sustavu diferencijalnih jednadžbi.

1. Normalni sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Cauchyjev problem.

Definicija. Sustav diferencijalnih jednadžbi je skup jednadžbi koji sadrži nekoliko nepoznatih funkcija i njihovih izvoda, a svaka od jednadžbi uključuje barem jednu derivaciju.

Sustav diferencijalnih jednadžbi naziva se linearnim ako nepoznate funkcije i njihovi derivati ulaze u svaku od jednadžbi samo do prvog stupnja.

Linearni sustav se zove normalan, ako je dopušteno s obzirom na sve izvedenice

U normalnom sustavu, desne strane jednadžbe ne sadrže derivacije željenih funkcija.

Odluka sustav diferencijalnih jednadžbi naziva se skup funkcija https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> nazivaju se početni uvjeti za sustav diferencijalnih jednadžbi.

Često su početni uvjeti zapisani u obliku

Opće rješenje (integral ) sustav diferencijalnih jednadžbi naziva se skup « n» funkcije nezavisne varijable x i « n» proizvoljne konstante C1 , C2 , …, Cn:

..……………………..

koji zadovoljavaju sve jednadžbe ovog sustava.

Za dobivanje određenog rješenja sustava koje zadovoljava zadane početne uvjete https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> trebalo bi uzeti zadane vrijednosti .

Cauchyjev problem za normalni sustav diferencijalnih jednadžbi zapisuje se kako slijedi

Teorem postojanja i jedinstvenosti za rješenje Cauchyjevog problema.

Za normalni sustav diferencijalnih jednadžbi (1), Cauchyjev teorem o postojanju i jedinstvenosti rješenja formulira se na sljedeći način:

Teorema. Neka su desni dijelovi jednadžbi sustava (1), tj. funkcije , (i=1,2,…, n) kontinuirani su u svim varijablama u nekoj domeni D i ima u sebi kontinuirane djelomične izvedenice https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24"> koje pripadaju regiji D, postoji samo jedno sustavno rješenje (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Rješenje normalnog sustava metodom eliminacije.

Za rješavanje normalnog sustava diferencijalnih jednadžbi koristi se metoda eliminacije nepoznanica ili Cauchyjeva metoda.

Neka je zadan normalan sustav

Razlikovati s obzirom na x prva jednadžba sustava

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> njihove izraze iz sustava jednadžbi (1), imat ćemo

Diferenciramo rezultirajuću jednadžbu i postupajući slično prethodnoj, nalazimo

Dakle, dobili smo sustav

(2)

Od prve n-1 jednadžbe koje definiramo y2 , y3 , … , yn , izražavajući ih kroz

(3)

Zamjenom ovih izraza u posljednju od jednadžbi (2) dobivamo jednadžbe n-ti kako bi se utvrdilo y1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Razlikovanje posljednjeg izraza n-1 vrijeme, pronađite izvedenice

kao funkcija . Zamjenom ovih funkcija u jednadžbe (4) definiramo y2 , y3 , … , yn .

Dakle, dobili smo opće rješenje sustava (1)

(6)

Za pronalaženje određenog rješenja sustava (1) koje zadovoljava početne uvjete za

potrebno je iz jednadžbe (6) pronaći odgovarajuće vrijednosti proizvoljnih konstanti S1, S2, …, Sn .

Primjer.

Pronađite opće rješenje sustava jednadžbi:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

za nove nepoznate značajke.

Zaključak.

Sustavi diferencijalnih jednadžbi susrećemo se u proučavanju procesa za koje jedna funkcija nije dovoljna za opisivanje. Na primjer, pronalaženje vektorskih linija polja zahtijeva rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi. Rješavanje problema dinamike krivuljastog gibanja dovodi do sustava od tri diferencijalne jednadžbe, u kojima su nepoznate funkcije projekcije pokretne točke na koordinatne osi, a nezavisna varijabla je vrijeme. Kasnije ćete naučiti da će rješavanje elektrotehničkih problema za dva električna kruga u elektromagnetskoj sprezi zahtijevati rješavanje sustava dviju diferencijalnih jednadžbi. Broj takvih primjera lako se može povećati.

Osnovni pojmovi i definicije Najjednostavniji problem dinamike točaka dovodi do sustava diferencijalnih jednadžbi: dane su sile koje djeluju na materijalnu točku; pronaći zakon gibanja, tj. pronaći funkcije x = x(t), y = y(t), z = z(t), koje izražavaju ovisnost koordinata točke kretanja o vremenu. Sustav koji se dobije u ovom slučaju općenito ima oblik Ovdje su x, y, z koordinate pokretne točke, t je vrijeme, f, g, h su poznate funkcije njihovih argumenata. Sustav oblika (1) naziva se kanonskim. Okrećući se općem slučaju sustava od m diferencijalnih jednadžbi s m nepoznatih funkcija argumenta t, sustav oblika riješen s obzirom na više derivacije nazivamo kanonskim. Sustav jednadžbi prvog reda riješen s obzirom na derivacije željenih funkcija naziva se normalnim. Ako se uzme kao nove pomoćne funkcije, onda se opći kanonski sustav (2) može zamijeniti ekvivalentnim normalnim sustavom koji se sastoji od jednadžbi. Stoga je dovoljno razmotriti samo normalne sustave. Na primjer, jedna je jednadžba poseban slučaj kanonskog sustava. Postavljanjem ^ = y, na temelju izvorne jednadžbe ćemo imati Kao rezultat, dobivamo normalan sustav jednadžbi SUSTAVI DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBA Metode integracije Metode eliminacije Metoda integrabilnih kombinacija Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi Fundamentalna matrica Metoda varijacije konstanti Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima Matrična metoda ekvivalentna izvornoj jednadžbi. Definicija 1. Rješenje normalnog sustava (3) na intervalu (a, b) promjene argumenta t je bilo koji sustav od n funkcija "diferencijabilnih na intervalu koji pretvara jednadžbe sustava (3) u identitete s u odnosu na t na intervalu (a, b). Cauchyjev problem za sustav (3) formulira se na sljedeći način: pronaći rješenje (4) sustava koje zadovoljava početne uvjete za t = na dimenzijsku domenu D promjena u varijable t, X\, x 2, ..., xn. Ako postoji susjedstvo ft fino u kojem su funkcije ft kontinuirane u skupu argumenata i imaju ograničene parcijalne derivacije s obzirom na varijable X1, x2, . .., xn, tada postoji interval do - L0 promjene t na kojem postoji jedinstveno rješenje normalnog sustava (3) koje zadovoljava početne uvjete Definicija 2. Sustav od n funkcija proizvoljnih konstanti ovisno o tun se naziva opće rješenje normale sustav (3) u nekom području P postojanja i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema, ako 1) za bilo koje dopuštene vrijednosti, sustav funkcija (6) pretvara jednadžbe (3) u identitete, 2) u domeni P funkcije (6) rješavaju bilo koji Cauchyjev problem. Rješenja dobivena iz općih za specifične vrijednosti konstanti nazivaju se partikularna rješenja. Radi jasnoće, okrenimo se normalnom sustavu dviju jednadžbi.Sustav vrijednosti t> X\, x2 razmatrat ćemo kao pravokutne kartezijanske koordinate točke u trodimenzionalnom prostoru upućene na Otx\x2 koordinatni sustav. Rješenje sustava (7), koje uzima vrijednosti na t - to, određuje u prostoru određeni pravac koji prolazi kroz točku) - Ova linija se naziva integralna krivulja normalnog sustava (7). Ko-shi problem za sustav (7) dobiva sljedeću geometrijsku formulaciju: u prostoru varijabli t > X\, x2 pronađite integralnu krivulju koja prolazi kroz zadanu točku Mo(to,x1,x2) (slika 1.) . Teorem 1 utvrđuje postojanje i jedinstvenost takve krivulje. Normalnom sustavu (7) i njegovom rješenju možemo dati i sljedeću interpretaciju: nezavisnu varijablu t smatrat ćemo parametrom, a rješenje sustava kao parametarske jednadžbe krivulje u ravnini x\Ox2. Ova ravnina varijabli X\X2 naziva se fazna ravnina. U faznoj ravni, rješenje (0 sustava (7), koje pri t = t0 poprima početne vrijednosti x°(, x2, predstavljeno je krivuljom AB koja prolazi kroz točku). Ova krivulja se naziva putanjom sustava (fazna putanja) Putanja sustava (7) je projekcija 2. Metode za integraciju sustava diferencijalnih jednadžbi 2.1 Metoda eliminacije Jedna od metoda integracije je metoda eliminacije. rješava se s obzirom na najveću derivaciju, Uvođenje novih funkcija jednadžbe sljedećim normalnim sustavom od n jednadžbi: zamijenimo ovu jednadžbu n-tog reda ekvivalentnom normalnom sustavu (1) Ovo je osnova eliminacijske metode za integraciju sustava diferencijalnih jednadžbi . Radi se ovako. Neka imamo normalan sustav diferencijalnih jednadžbi Razlikujemo prvu od jednadžbi (2) s obzirom na t. Na desnoj strani proizvoda imamo Zamjenu ili, ukratko, jednadžba (3) je opet diferencibilna s obzirom na t. Uzimajući u obzir sustav (2), dobivamo ili Nastavljajući ovaj proces, nalazimo Pretpostavimo da je determinanta (Jacobian sustava funkcija različita od nule za razmatrane vrijednosti Tada je sustav jednadžbi sastavljen od prve jednadžbe sustava ( 2) a jednadžbe će biti rješive s obzirom na nepoznanice izrazit će se kroz Uvođenjem pronađenih izraza u jednadžbu dobivamo jednu jednadžbu n-tog reda.Iz same metode njene konstrukcije slijedi da ako) postoje rješenja sustava (2), tada će funkcija X\(t) biti rješenje jednadžbe (5). Obrnuto, neka je rješenje jednadžbe (5). Diferencirajući ovo rješenje s obzirom na t, izračunavamo i zamjenjujemo pronađene vrijednosti kao poznate funkcije.Prema pretpostavci, ovaj sustav se može riješiti s obzirom na xn kao funkciju t. Može se pokazati da ovako konstruirani sustav funkcija predstavlja rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi (2). Primjer. Potrebno je integrirati sustav Diferenciranjem prve jednadžbe sustava, dobivamo odatle pomoću druge jednadžbe dobivamo - linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima s jednom nepoznatom funkcijom. Njegovo opće rješenje ima oblik Na temelju prve jednadžbe sustava nalazimo funkciju. Pronađene funkcije x(t), y(t), kao što je lako provjeriti, za bilo koje vrijednosti S| i C2 zadovoljavaju zadani sustav. Funkcije se mogu prikazati u obliku iz kojeg je vidljivo da su integralne krivulje sustava (6) zavojne linije s nagibom sa zajedničkom osi x = y = 0, što je također integralna krivulja (slika 3.) . Eliminirajući parametar u formulama (7), dobivamo jednadžbu tako da su fazne putanje danog sustava kružnice sa središtem u ishodištu - projekcije spiralnih linija na ravninu. Kod A = 0, fazna putanja se sastoji od jedne točke, naziva se točka mirovanja sustava. ". Može se pokazati da se funkcije ne mogu izraziti u terminima Tada jednadžbe n-tog reda, ekvivalentne izvornom sustavu, nećemo dobiti. Evo jednostavnog primjera. Sustav jednadžbi ne može se zamijeniti ekvivalentnom jednadžbom drugog reda za x\ ili x2. Ovaj sustav se sastoji od para jednadžbi 1. reda, od kojih je svaka neovisno integrirana, što daje Metodu integrabilnih kombinacija. Integracija normalnih sustava diferencijalnih jednadžbi dXi ponekad se provodi metodom integrabilnih kombinacija. Integrabilna kombinacija je diferencijalna jednadžba koja je posljedica jednadžbi (8), ali je već lako integrabilna. Primjer. Integrirajte sustav SUSTAVI DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBA Metode integracije Metoda eliminacije Metoda integrabilnih kombinacija Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi Fundamentalna matrica Metoda varijacije konstanti Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima Matrična metoda po članu 4 pronalazimo jedan član zbrajanja integrabilna kombinacija: druga integrabilna kombinacija: odakle smo pronašli dvije konačne jednadžbe iz kojih se lako određuje opće rješenje sustava: Jedna integrabilna kombinacija omogućuje dobivanje jedne jednadžbe koja povezuje nezavisnu varijablu t i nepoznate funkcije. Takva konačna jednadžba naziva se prvim integralom sustava (8). Drugim riječima: prvi integral sustava diferencijalnih jednadžbi (8) je diferencijabilna funkcija koja nije identično konstantna, ali zadržava konstantnu vrijednost na bilo kojoj integralnoj krivulji ovog sustava. Ako je pronađeno n prvih integrala sustava (8) i svi su neovisni, tj. Jacobian sustava funkcija je različit od nule: Sustav diferencijalnih jednadžbi naziva se linearnim ako je linearan u odnosu na nepoznate funkcije i uključene njihove derivacije u jednadžbi. Sustav od n linearnih jednadžbi prvog reda, napisan u normalnom obliku, ima oblik ili, u obliku matrice, teorem 2. Ako su sve funkcije kontinuirane na intervalu, tada u dovoljno malom susjedstvu svake točke, xn), gdje su), uvjeti teorema postojanja zadovoljeni i jedinstvenost rješenja Cauchiijevog problema, stoga kroz svaku takvu točku prolazi jedinstvena integralna krivulja sustava (1). Doista, u ovom slučaju, desne strane sustava (1) su kontinuirane u odnosu na skup argumenata t)x\,x2)..., xn, a njihove parcijalne derivacije s obzirom na, su ograničene, budući da su te derivacije jednake koeficijentima kontinuiranim na intervalu.Uvodimo linearni operator Tada se sustav (2) zapisuje u obliku Ako je matrica F nula, na intervalu (a, 6), tada je sustav (2) zove se linearna homogena i ima oblik Izložimo neke teoreme kojima se utvrđuju svojstva rješenja linearnih sustava. Teorem 3. Ako je X(t) rješenje linearnog homogenog sustava gdje je c proizvoljna konstanta, rješenje je istog sustava. Teorem 4. Zbroj dvaju rješenja homogenog linearnog sustava jednadžbi rješenje je istog sustava. Posljedica. Linearna kombinacija, s proizvoljnim konstantnim koeficijentima c, rješenja linearnog homogenog sustava diferencijalnih jednadžbi rješenje je istog sustava. Teorem 5. Ako je X(t) rješenje linearnog nehomogenog sustava - rješenje odgovarajućeg homogenog sustava, tada će zbroj biti rješenje nehomogenog sustava. Doista, prema uvjetu, Koristeći svojstvo aditivnosti operatora, dobivamo To znači da je zbroj rješenje nehomogenog sustava jednadžbi Definicija. Vektori gdje se nazivaju linearno ovisni o intervalu ako postoje konstantni brojevi takvi da za , i barem jedan od brojeva a nije jednak nuli. Ako identitet (5) vrijedi samo za tada se kaže da su vektori linearno neovisni o (a, b). Imajte na umu da je jedan vektorski identitet (5) ekvivalentan n identiteta: . Determinanta se zove Wronskyjeva determinanta sustava vektora. Definicija. Neka imamo linearni homogeni sustav gdje je matrica s elementima Sustav od n rješenja linearnog homogenog sustava (6), linearno neovisan o intervalu, naziva se temeljnim. Teorem 6. Wronskyjeva determinanta W(t) sustava rješenja temeljnih na intervalu linearnog homogenog sustava (6) s koeficijentima a-ij(t) kontinuiranim na segmentu a b nije nula u svim točkama intervala (a , 6). Teorem 7 (o strukturi općeg rješenja linearnog homogenog sustava). Opće rješenje u domeni linearnog homogenog sustava s koeficijentima kontinuiranim na intervalu je linearna kombinacija n rješenja sustava (6) linearno neovisnih o intervalu a: proizvoljnih konstantnih brojeva). Primjer. Sustav ima, kao što je lako provjeriti, rješenja Esh rješenja linearno neovisna, budući da je determinanta Wronskyja različita od nule: "Opće rješenje sustava ima oblik ili su proizvoljne konstante). 3.1. Fundamentalna matrica Kvadratna matrica čiji su stupci linearno neovisna rješenja sustava (6), Lako je provjeriti da osnovna matrica zadovoljava matričnu jednadžbu. Ako je X(t) osnovna matrica sustava (6), onda je opće rješenje sustava može se predstaviti kao konstantna matrica stupaca s proizvoljnim elementima. , Matrica se zove Cauchyjeva matrica. Uz nju se rješenje sustava (6) može predstaviti na sljedeći način: Teorem 8 (o strukturi općeg rješenja linearnog nehomogenog sustava diferencijalnih jednadžbi). Opće rješenje u domeni linearnog nehomogenog sustava diferencijalnih jednadžbi s kontinuiranim koeficijentima na intervalu i na desnoj strani fi (t) jednako je zbroju općeg rješenja odgovarajući homogeni sustav i neko posebno rješenje X(t) nehomogenog sustava (2): 3.2. Metoda varijacije konstanti Ako je poznato opće rješenje linearnog homogenog sustava (6), onda se posebno rješenje nehomogenog sustava može pronaći metodom varijacije konstanti (Lagrangeova metoda). Neka postoji opće rješenje homogenog sustava (6), tada su dXk i rješenja linearno neovisni. Tražit ćemo određeno rješenje nehomogenog sustava gdje su nepoznate funkcije t. Diferencirajući, imamo Zamjena, dobivamo Budući da za definiciju dobivamo sustav ili, u proširenom obliku, sustav (10) je linearni algebarski sustav s obzirom na 4(0 > čija je determinanta Wronskyjeva determinanta W(t) temeljnog sustava rješenja Ova determinanta je različita od nule svugdje na intervalu tako da sustav) ima jedinstveno rješenje gdje su MO poznate kontinuirane funkcije. Integrirajući posljednje relacije, nalazimo Zamjenom ovih vrijednosti, nalazimo određeno rješenje sustava (2): Ukupno, takav se sustav integrira svođenjem na jednu jednadžbu višeg reda, a ova će jednadžba također biti linearna s konstantni koeficijenti.Druga učinkovita metoda za integraciju sustava s konstantnim koeficijentima je metoda Laplaceove transformacije.Razmotrit ćemo i Eulerovu metodu za integraciju linearnih homogenih sustava diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima. Sastoji se u sljedećem: Eulerov metodski sustav (3) linearni homogeni x algebarske jednadžbe s n nepoznanica an ima netrivijalno rješenje, potrebno je i dovoljno da joj determinanta bude jednaka nuli: Jednadžba (4) naziva se karakteristična. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se polinom u A stupnja n. Iz ove se jednadžbe određuju one vrijednosti A za koje sustav (3) ima netrivijalna rješenja a\. Ako su svi korijeni karakteristične jednadžbe (4 ) su različiti, onda, zamjenjujući ih redom u sustav (3), nalazimo njima odgovarajuća netrivijalna rješenja ovog sustava i, stoga, nalazimo n rješenja izvornog sustava diferencijalnih jednadžbi (1) u oblik gdje drugi indeks označava broj rješenja, a prvi broj nepoznate funkcije. Ovako konstruiranih n parcijalnih rješenja linearnog homogenog sustava (1) čine, kako se može provjeriti, temeljni sustav rješenja ovog sustava. Posljedično, opće rješenje homogenog sustava diferencijalnih jednadžbi (1) ima oblik - proizvoljne konstante. Slučaj kada karakteristična jednadžba ima više korijena neće se razmatrati. M Tražimo rješenje u obliku Karakteristične jednadžbe Sustav (3) za određivanje 01.02 izgleda ovako: Zamjenom dobivamo iz Dakle, uz pretpostavku da nađemo dakle Opće rješenje ovog sustava: SUSTAVI DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBA Metode integracije Metoda eliminacije Integrabilne kombinacije metoda Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi Fundamentalna matrica Konstante metode varijacije Sustavi linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima Matrična metoda Opišemo i matričnu metodu za integraciju homogenog sustava (1). Zapisujemo sustav (1) kao matricu s konstantnim realnim elementima a,j. Prisjetimo se nekih pojmova iz linearne algebre. Vektor g F O naziva se vlastiti vektor matrice A, ako se broj A naziva svojstvenom vrijednošću matrice A, koja odgovara svojstvenom vektoru g, i korijen je karakteristične jednadžbe gdje je I matrica identiteta. Pretpostavit ćemo da su sve svojstvene vrijednosti An matrice A različite. U ovom slučaju, vlastiti vektori su linearno neovisni i postoji n x n-matrica T koja matricu A reducira na dijagonalni oblik, tj. takav da su stupci matrice T koordinate vlastitih vektora. Također uvodimo sljedeće pojmova. Neka je B(t) n x n-matrica, čiji su elementi 6,;(0 funkcije argumenta t, definirane na skupu. Matrica B(f) naziva se kontinuirana na Π ako su svi njeni elementi 6, j(f) su neprekidne na Q. Matrica B(*) naziva se diferencijabilna na Π ako su svi elementi ove matrice diferencijabilni na Q. U ovom slučaju, derivacija ^p-matrice B(*) je matrica čija je elementi su derivacije -odgovarajućih elemenata matrice B(*).Vektor stupac Uzimajući u obzir pravila matrične algebre, izravnom provjerom provjeravamo valjanost formule ima oblik gdje su vlastiti vektori-stupci matricu proizvoljnih konstantnih brojeva.Uvedimo novi nepoznati vektor stupca formulom gdje je T matrica koja matricu A reducira na dijagonalni oblik. da T 1 AT \u003d A, dolazimo do sustava Dobili smo sustav od n neovisnih jednadžbi, koje se lako mogu integrirati: (12) Ovdje su proizvoljni konstantni brojevi. Uvodeći jedinične n-dimenzionalne vektore stupaca, rješenje se može predstaviti kao Budući da su stupci matrice T svojstveni vektori matrice, svojstveni vektor matrice A. Stoga, zamjenom (13) u (11), dobivamo formulu ( 10): Dakle, ako matrica A sustav diferencijalnih jednadžbi (7) ima različite vlastite vrijednosti, da bismo dobili opće rješenje ovog sustava: 1) nalazimo vlastite vrijednosti „ matrice kao korijene algebarske jednadžbe 2) nalazimo sve vlastite vektore 3) opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi (7) ispisujemo formulom (10 ). Primjer 2. Riješite sustav Matrična metoda 4 Matrica A sustava ima oblik 1) Sastavite karakterističnu jednadžbu Korijeni karakteristične jednadžbe. 2) Pronalazimo vlastite vektore Za A = 4 dobivamo sustav odakle je = 0|2, tako da Slično za A = 1 nalazimo I 3) Koristeći formulu (10) dobivamo opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi Korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti stvarni i složeni. Budući da su prema pretpostavci koeficijenti ay sustava (7) realni, karakteristična jednadžba će imati realne koeficijente. Stoga će, uz kompleksni korijen A, imati i korijen \*, kompleksno konjugiran s A. Lako je pokazati da ako je g svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti A, tada je i A* vlastita vrijednost, što odgovara na svojstveni vektor g*, kompleks konjugiran s g. Za kompleks A rješenje sustava (7) taioKe bit će složeno. Realni i imaginarni dio ovog rješenja su rješenja sustava (7). Svojstvena vrijednost A* odgovarat će paru realnih rješenja. isti par kao i za svojstvenu vrijednost A. Dakle, par A, A* kompleksnih konjugiranih vlastitih vrijednosti odgovara paru realnih rješenja sustava (7) diferencijalnih jednadžbi. Dopustiti biti stvarne svojstvene vrijednosti, kompleksne svojstvene vrijednosti. Tada svako realno rješenje sustava (7) ima oblik gdje su c, proizvoljne konstante. Primjer 3. Riješite sustav -4 Matrica sustava 1) Karakteristična jednadžba sustava Njegovi korijeni Vlastiti vektori matrice 3) Rješenje sustava gdje su proizvoljne kompleksne konstante. Nađimo stvarna rješenja sustava. Koristeći Eulerovu formulu, dobivamo Dakle, svako realno rješenje sustava ima oblik proizvoljnih realnih brojeva. Vježbe Integrirajte sustave metodom eliminacije: Integrirajte sustave metodom neizvedivih kombinacija: Integrirajte sustave matričnom metodom: odgovori