Kompleksni brojevi. Dizanje kompleksnih brojeva na stepen

Prisjetite se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.

Složeni broj je izraz forme a + dvo, gdje a, b su stvarni brojevi, i i- tzv imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat -1, t.j. i 2 = -1. Broj a pozvao pravi dio, i broj b - imaginarni dio kompleksni broj z = a + dvo. Ako je a b= 0, tada umjesto a + 0i napiši jednostavno a. Može se vidjeti da su realni brojevi poseban slučaj kompleksnih brojeva.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima su iste kao i nad realnim: mogu se međusobno zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i oduzimanje se odvijaju prema pravilu ( a + dvo) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a množenje - prema pravilu ( a + dvo) · ( c + di) = (ac – bd) + (oglas + prije Krista)i(ovdje se samo koristi da i 2 = -1). Broj = a – dvo pozvao složeni konjugat do z = a + dvo. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućuje da shvatite kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim kompleksnim brojem (koji nije nula):

(Na primjer, .)

Kompleksni brojevi imaju prikladan i vizualan geometrijski prikaz: broj z = a + dvo može se predstaviti kao vektor s koordinatama ( a; b) na kartezijskoj ravnini (ili, što je gotovo isto, točka - kraj vektora s tim koordinatama). U ovom slučaju, zbroj dvaju kompleksnih brojeva prikazan je kao zbroj odgovarajućih vektora (koji se mogu pronaći po pravilu paralelograma). Prema Pitagorinom teoremu, duljina vektora s koordinatama ( a; b) jednako je . Ova vrijednost se zove modul kompleksni broj z = a + dvo i označava se sa | z|. Kut koji ovaj vektor čini s pozitivnim smjerom osi x (brojeći suprotno od kazaljke na satu) naziva se argument kompleksni broj z a označava se s Arg z. Argument nije jednoznačno definiran, već samo do zbrajanja višekratnika od 2 π radijanima (ili 360°, ako se broji u stupnjevima) - uostalom, jasno je da okretanje kroz takav kut oko ishodišta neće promijeniti vektor. Ali ako je vektor duljine r tvori kut φ s pozitivnim smjerom x-ose, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ ; r grijeh φ ). Stoga ispada trigonometrijski zapis kompleksni broj: z = |z| (cos(Arg z) + i grijeh (Arg z)). Često je zgodno pisati kompleksne brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje izračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izgleda vrlo jednostavno: z jedan · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i grijeh (Arg z 1+arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja množe se njihovi moduli i zbrajaju argumenti). Odavde slijede De Moivreove formule: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i grijeh( n(Arg z))). Uz pomoć ovih formula lako je naučiti kako izdvojiti korijene bilo kojeg stupnja iz kompleksnih brojeva. n-ti korijen od z je tako složen broj w, što w n = z. To je jasno , I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- jedan). To znači da uvijek postoji točno n korijenje n stupnja iz kompleksnog broja (na ravnini se nalaze na vrhovima regularnog n-gon).

§jedan. Kompleksni brojevi

1°. Definicija. Algebarski zapis.

Definicija 1. Kompleksni brojevi nazivaju uređeni parovi realnih brojeva i , ako je za njih definiran koncept jednakosti, operacije zbrajanja i množenja koje zadovoljavaju sljedeće aksiome:

1) Dva broja
i
jednako ako i samo ako
,
, tj.

2) Zbroj kompleksnih brojeva
i

i jednaki
, tj.

3) Umnožak kompleksnih brojeva
i
broj se zove
i jednaki, t.j.

Skup kompleksnih brojeva je označen C.

Formule (2), (3) za brojeve oblika
uzeti oblik

odakle slijedi da su operacije zbrajanja i množenja za brojeve oblika
podudaraju sa zbrajanjem i množenjem za realne brojeve kompleksni broj oblika
identificira se sa stvarnim brojem .

Složeni broj
pozvao imaginarna jedinica i označena , tj.
Tada iz (3)

Iz (2), (3)  što znači

Izraz (4) se zove algebarski zapis kompleksni broj.

U algebarskom obliku, operacije zbrajanja i množenja imaju oblik:

Kompleksni broj je označen
,- pravi dio, je imaginarni dio, je čisto imaginarni broj. Oznaka:
,
.

Definicija 2. Složeni broj
pozvao konjugirati s kompleksnim brojem
.

Svojstva kompleksne konjugacije.

1)

2)
.

3) Ako
, onda
.

4)
.

5)
je pravi broj.

Dokaz se provodi izravnim proračunom.

Definicija 3. Broj
pozvao modul kompleksni broj
i označena
.

Očito je da
, i


. Formule su također očite:
i
.

2°. Svojstva operacija zbrajanja i množenja.

1) Komutativnost:
,
.

2) Asocijativnost:,
.

3) Distributivnost: .

Dokaz 1) - 3) provodi se izravnim proračunima na temelju sličnih svojstava za realne brojeve.

4)
,
.

5) , C ! , zadovoljavajući jednadžbu
. Takav

6) ,C, 0, ! :
. Takav nalazi se množenjem jednadžbe sa



.

Primjer. Zamislite kompleksan broj
u algebarskom obliku. Da biste to učinili, pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s konjugatom nazivnika. Imamo:

3°. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik zapisivanja kompleksnog broja.

Neka je na ravnini zadan pravokutni koordinatni sustav. Zatim
C može se točki na ravnini pridružiti koordinate
.(vidi sliku 1). Očito je da je takva korespondencija jedan na jedan. U ovom slučaju realni brojevi leže na osi apscise, a čisto imaginarni brojevi leže na osi ordinata. Stoga se os apscisa naziva realna os, i y-os − imaginarna os. Zove se ravnina na kojoj leže kompleksni brojevi složena ravnina.

Imajte na umu da i
su simetrične u odnosu na podrijetlo, i i su simetrične u odnosu na Ox.

Svaki kompleksni broj (tj. svaka točka na ravnini) može se povezati s vektorom s početkom u točki O i krajem u točki
. Korespondencija između vektora i kompleksnih brojeva je jedan prema jedan. Dakle, vektor koji odgovara kompleksnom broju , označena istim slovom

D vektorska linija
koji odgovara kompleksnom broju
, jednako je
, i
,
.

Koristeći vektorsku interpretaciju, može se vidjeti da je vektor
− zbroj vektora i , a
− zbroj vektora i
.(vidi sliku 2). Stoga su tačne sljedeće nejednakosti:

Zajedno s dužinom vektor uvodimo kut između vektora i os Ox, računajući od pozitivnog smjera osi Ox: ako je brojanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se predznak kuta smatra pozitivnim, ako je u smjeru kazaljke na satu, onda negativnim. Ovaj kutak se zove argument kompleksnog broja i označena
. Injekcija nije definiran jednoznačno, već precizno
…. Za
argument nije definiran.

Formule (6) definiraju tzv trigonometrijski zapis kompleksni broj.

Iz (5) slijedi da ako
i
zatim

Od (5)
čime i Kompleksni broj je jednoznačno definiran. Obratno nije točno: naime, kompleksnim brojem njegov modul je jedinstven, a argument , zbog (7), − s točnošću
. Iz (7) također proizlazi da je argument može se naći kao rješenje jednadžbe

Međutim, nisu sva rješenja ove jednadžbe rješenja (7).

Među svim vrijednostima argumenta kompleksnog broja bira se jedna koja se naziva glavnom vrijednošću argumenta i označava
. Obično se glavna vrijednost argumenta bira ili u intervalu
, ili u intervalu

U trigonometrijskom obliku prikladno je izvoditi operacije množenja i dijeljenja.

Teorem 1. Modul umnoška kompleksnih brojeva i jednak je umnošku modula, a argument jednak zbroju argumenata, t.j.

, a .

Slično

,

Dokaz. Neka bude ,. Tada izravnim množenjem dobivamo:

Slično

.■

Posljedica(De Moivreova formula). Za
Moivreova formula vrijedi

P primjer. Neka nađe geometrijski položaj točke
. Iz teorema 1 slijedi da .

Stoga, da biste ga konstruirali, prvo morate konstruirati točku , što je obrnuto o jediničnom krugu, a zatim pronađite točku simetričnu njoj oko x-osi.

Neka bude
,oni.
Složeni broj
označeno
, tj. R vrijedi Eulerova formula

Kao
, onda
,
. Iz teorema 1
što je s funkcijom
moguće je raditi kao s običnom eksponencijalnom funkcijom, t.j. jednakosti su istinite

,
,
.

Od (8)
eksponencijalni zapis kompleksni broj

, gdje
,

Primjer. .

4°. Korijenje stepen kompleksnog broja.

Razmotrimo jednadžbu

Neka bude
, a rješenje jednadžbe (9) traži se u obliku
. Tada (9) poprima oblik
, odakle to nalazimo
,
, tj.

,
,
.

Dakle, jednadžba (9) ima korijen

Pokažimo da među (10) ima točno razni korijeni. Stvarno,

su različiti, jer njihovi argumenti su različiti i razlikuju se manje od
. Unaprijediti,
, jer
. Slično
.

Dakle, jednadžba (9) za
ima točno korijenje
koji se nalazi na vrhovima regularnog -kut upisan u krug polumjera sa središtem u T.O.

Dakle, dokazano je

Teorem 2. vađenje korijena stepen kompleksnog broja
uvijek moguće. Sve korijenske vrijednosti th stupanj od koji se nalazi na vrhu ispravnog -kut upisan u krug sa središtem na nuli i polumjerom
. pri čemu,

Posljedica. Korijenje -ti stupanj od 1 izraženi su formulom

.

Umnožak dva korijena od 1 je korijen, 1 je korijen -. stupanj od jedinstva, korijen
:
.

Počnimo s našim omiljenim kvadratom.

Primjer 9

Kvadriranje kompleksnog broja

Ovdje možete ići na dva načina, prvi način je da prepišete stupanj kao umnožak faktora i pomnožite brojeve prema pravilu množenja za polinome.

Drugi način je korištenje poznate školske formule za skraćeno množenje:

Za složeni broj lako je izvesti vlastitu skraćenu formulu za množenje:

Slična se formula može izvesti za kvadrat razlike, kao i za kocku zbroja i kocku razlike. Ali ove formule su relevantnije za složene probleme analize. Što ako kompleksni broj treba povisiti na, recimo, 5., 10. ili 100. stepen? Jasno je da je u algebarskom obliku gotovo nemoguće napraviti takav trik, stvarno, razmislite kako ćete riješiti primjer poput?

I tu u pomoć dolazi trigonometrijski oblik kompleksnog broja i tzv De Moivreova formula: Ako je kompleksni broj predstavljen u trigonometrijskom obliku, onda kada se podigne na prirodni stepen, vrijedi formula:

Samo na sramotu.

Primjer 10

Zadan kompleksan broj, pronađi.

Što treba učiniti? Najprije morate predstaviti ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Pronicljivi čitatelji primijetit će da smo to već učinili u Primjeru 8:

Zatim, prema De Moivreovoj formuli:

Ne daj Bože, ne treba računati na kalkulator, ali u većini slučajeva kut bi trebao biti pojednostavljen. Kako pojednostaviti? Slikovito rečeno, morate se riješiti dodatnih zavoja. Jedan okret je radijan ili 360 stupnjeva. Saznajte koliko imamo okretaja u raspravi. Radi praktičnosti, činimo razlomak točnim:, nakon čega postaje jasno vidljivo da možete smanjiti jedan okret:. Nadam se da svi razumiju da je ovo isti kut.

Dakle, konačni odgovor bi bio:

Zasebna verzija problema eksponencijalnosti je eksponencijacija čisto imaginarnih brojeva.

Primjer 12

Povećati kompleksne brojeve na stepene

I ovdje je sve jednostavno, glavna stvar je zapamtiti poznatu jednakost.

Ako se imaginarna jedinica podigne na parnu snagu, tada je tehnika rješenja sljedeća:

Ako se imaginarna jedinica povisi na neparni stepen, tada "odbijamo" jedno "i", dobivajući parnu snagu:

Ako postoji minus (ili bilo koji realni koeficijent), onda se prvo mora odvojiti:

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva. Kvadratna jednadžba s kompleksnim korijenima

Razmotrimo primjer:

Ne možete izvaditi korijen? Ako govorimo o realnim brojevima, onda je to stvarno nemoguće. U kompleksnim brojevima možete izdvojiti korijen - možete! Točnije, dva korijen:

Jesu li pronađeni korijeni doista rješenje jednadžbe? Provjerimo:

Što je trebalo provjeriti.

Često se koristi skraćena oznaka, oba korijena su napisana u jednom retku ispod "jedan češalj":.

Ovi korijeni se također nazivaju konjugirani kompleksni korijeni.

Kako izvaditi kvadratne korijene iz negativnih brojeva, mislim da svi razumiju: ,,,, itd. U svim slučajevima ispada dva konjugirani kompleksni korijeni.