Lekcije: Trigonometrija. Trigonometrija postala jednostavna i jasna Učenje trigonometrije

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

1. Uvod.

Približavajući se školi, čujem glasove momaka iz dvorane, krećem dalje - pjevaju, crtaju... emocije i osjećaji su posvuda. Moj ured, sat algebre, učenici desetog razreda. Evo našeg udžbenika, u kojem tečaj trigonometrije čini polovicu volumena, au njemu su dva bookmarkera - to su mjesta gdje sam pronašao riječi koje nisu vezane uz teoriju trigonometrije.

Među rijetkima su učenici koji vole matematiku, osjećaju njenu ljepotu i ne pitaju se zašto je potrebno učiti trigonometriju, gdje se naučeno gradivo primjenjuje? Najviše je onih koji samo rješavaju zadatke kako ne bi dobili lošu ocjenu. I čvrsto vjerujemo da je primijenjena vrijednost matematike stjecanje znanja dovoljnog za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita i upis na sveučilište (upišite i zaboravite).

Glavni cilj prikazane lekcije je pokazati primijenjenu vrijednost trigonometrije u različitim područjima ljudske djelatnosti. Navedeni primjeri pomoći će učenicima da uvide vezu između ovog dijela matematike i drugih predmeta koji se uče u školi. Sadržaj ove lekcije je element stručnog usavršavanja učenika.

Recite nešto novo o naizgled odavno poznatoj činjenici. Pokažite logičnu vezu između onoga što već znamo i onoga što tek treba naučiti. Otvorite malo vrata i pogledajte dalje od školskog programa. Neobični zadaci, povezanost s današnjim događajima - to su tehnike kojima se služim za postizanje svojih ciljeva. Uostalom, školska matematika kao predmet ne pridonosi toliko učenju koliko razvoju pojedinca, njegova mišljenja i kulture.

2. Sažetak lekcije o algebri i principima analize (10. razred).

Vrijeme organiziranja:Šest stolova rasporediti u polukrug (model kutomjera), na stolovima nastavne listiće za učenike (Prilog 1).

Najava teme lekcije: "Trigonometrija je jednostavna i jasna."

U tečaju algebre i elementarne analize počinjemo proučavati trigonometriju; želio bih govoriti o primijenjenom značaju ovog dijela matematike.

Teza lekcije:

Veliku knjigu prirode mogu čitati samo oni koji znaju jezik na kojem je napisana, a taj jezik je matematika.
(G. Galileo).

Na kraju sata ćemo zajedno razmisliti jesmo li uspjeli zaviriti u ovu knjigu i razumjeti jezik na kojem je napisana.

Trigonometrija oštrog kuta.

Trigonometrija je grčka riječ i u prijevodu znači "mjerenje trokuta". Pojava trigonometrije povezana je s mjerenjima na zemlji, građevinarstvom i astronomijom. A vaše prvo upoznavanje s njim dogodilo se kada ste uzeli u ruke kutomjer. Jeste li primijetili kako su postavljeni stolovi? Razmislite o tome u svom umu: ako uzmemo jednu tablicu kao tetivu, koja je onda mjera stupnja luka koji ona obuhvaća?

Prisjetimo se mjere kutova: 1 ° = 1/360 dio kruga ("stupanj" - od latinskog grada - korak). Znate li zašto je kružnica podijeljena na 360 dijelova, zašto nije podijeljena na 10, 100 ili 1000 dijelova, kao što se događa, na primjer, pri mjerenju duljina? Ispričat ću vam jednu od verzija.

Ranije se vjerovalo da je Zemlja središte svemira i da je nepomična, a Sunce dnevno napravi jednu revoluciju oko Zemlje, geocentrični sustav svijeta, "geo" - Zemlja ( Slika br. 1). Babilonski svećenici koji su vršili astronomska promatranja otkrili su da na dan ekvinocija Sunce, od izlaska do zalaska, opisuje polukrug na nebeskom svodu, u koji vidljivi promjer (promjer) Sunca stane točno 180 puta, 1 ° - trag Sunca. ( Slika br. 2).

Dugo je vremena trigonometrija bila čisto geometrijske prirode. U uvodu u trigonometriju nastavljate rješavanjem pravokutnih trokuta. Naučili ste da je sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta omjer suprotne stranice i hipotenuze, kosinus omjer susjedne stranice i hipotenuze, tangens omjer suprotne stranice i susjedne stranice, a kotangens je omjer susjedne stranice prema suprotnoj. I zapamtite da u pravokutnom trokutu koji ima zadani kut, omjer stranica ne ovisi o veličini trokuta. Naučite sinusni i kosinusni teorem za rješavanje proizvoljnih trokuta.

Godine 2010. moskovski metro napunio je 75 godina. Svaki dan silazimo u metro i ne primjećujemo da...

Zadatak br. 1. Kut nagiba svih pokretnih stepenica u moskovskom metrou je 30 stupnjeva. Znajući ovo, broj svjetiljki na pokretnim stepenicama i približnu udaljenost između svjetiljki, možete izračunati približnu dubinu stanice. Na pokretnim stepenicama na stanici Tsvetnoy Boulevard ima 15 lampi, a na stanici Prazhskaya 2 lampe. Izračunajte dubinu ovih stanica ako su razmaci između svjetiljki, od ulaza u pokretne stepenice do prve svjetiljke i od zadnje svjetiljke do izlaza iz pokretnih stepenica, 6 m ( Slika br. 3). Odgovor: 48 m i 9 m

Domaća zadaća. Najdublja stanica moskovskog metroa je Park pobjede. Kolika je njegova dubina? Predlažem da samostalno pronađete podatke koji nedostaju kako biste riješili svoju zadaću.

U rukama imam laserski pokazivač, koji je ujedno i daljinomjer. Izmjerimo, na primjer, udaljenost do ploče.

Kineski dizajner Huan Qiaokun pogodio je spojiti dva laserska daljinomjera i kutomjer u jedan uređaj i dobio alat koji vam omogućuje određivanje udaljenosti između dvije točke na ravnini ( Slika br. 4). Što mislite, koji teorem rješava ovaj problem? Zapamtite formulaciju teorema o kosinusu. Slažete li se sa mnom da je vaše znanje već dovoljno da napravite takav izum? Riješite geometrijske probleme i napravite mala otkrića svaki dan!

Sferna trigonometrija.

Uz ravnu geometriju Euklida (planimetrija), mogu postojati i druge geometrije u kojima se svojstva figura ne razmatraju na ravnini, već na drugim površinama, na primjer, na površini lopte ( Slika br. 5). Prvi matematičar koji je postavio temelje za razvoj neeuklidske geometrije bio je N.I. Lobačevski – “Kopernik geometrije”. Od 1827. 19 godina bio je rektor Kazanskog sveučilišta.

Sferna trigonometrija, koja je dio sferne geometrije, razmatra odnose između stranica i kutova trokuta na sferi koju tvore lukovi velikih kružnica na sferi ( Slika br. 6).

Povijesno gledano, sferna trigonometrija i geometrija nastale su iz potreba astronomije, geodezije, navigacije i kartografije. Razmislite koje je od ovih područja posljednjih godina doživjelo tako brz razvoj da se njegovi rezultati već koriste u modernim komunikatorima. ... Suvremena primjena navigacije je satelitski navigacijski sustav koji vam omogućuje određivanje lokacije i brzine objekta na temelju signala s njegovog prijemnika.

Globalni navigacijski sustav (GPS). Za određivanje geografske širine i dužine prijemnika potrebno je primati signale s najmanje tri satelita. Primanje signala s četvrtog satelita omogućuje određivanje visine objekta iznad površine ( Slika br. 7).

Prijemno računalo rješava četiri jednadžbe s četiri nepoznanice dok se ne pronađe rješenje koje povlači sve kružnice kroz jednu točku ( Slika br. 8).

Poznavanje trigonometrije oštrog kuta pokazalo se nedostatnim za rješavanje složenijih praktičnih problema. Pri proučavanju rotacijskih i kružnih gibanja vrijednost kuta i kružnog luka nije ograničena. Pojavila se potreba da se prijeđe na trigonometriju generaliziranog argumenta.

Trigonometrija generaliziranog argumenta.

Krug ( Slika br. 9). Pozitivni kutovi iscrtavaju se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativni kutovi u smjeru kazaljke na satu. Jeste li upoznati s poviješću takvog sporazuma?

Kao što znate, mehanički i sunčani satovi dizajnirani su na način da im se kazaljke okreću "duž sunca", tj. u istom smjeru u kojem vidimo prividno kretanje Sunca oko Zemlje. (Prisjetite se početka lekcije – geocentrični sustav svijeta). Ali s Kopernikovim otkrićem pravog (pozitivnog) gibanja Zemlje oko Sunca, gibanje Sunca oko Zemlje koje vidimo (tj. prividno) je fiktivno (negativno). Heliocentrični sustav svijeta (helio - Sunce) ( Slika br. 10).

Zagrijati se.

Ispružite desnu ruku ispred sebe, paralelno s površinom stola, i izvedite kružnu rotaciju od 720 stupnjeva.
Ispružite lijevu ruku ispred sebe, paralelno s površinom stola, i izvedite kružnu rotaciju (–1080) stupnjeva.
Stavite ruke na ramena i napravite 4 kružna pokreta naprijed-natrag. Koliki je zbroj kutova rotacije?

Godine 2010. održane su Zimske olimpijske igre u Vancouveru, kriterije za ocjenjivanje klizačke vježbe učimo rješavanjem zadatka.

Zadatak br. 2. Ako klizač napravi okret od 10.800 stupnjeva pri izvođenju vježbe "vijača" za 12 sekundi, tada dobiva ocjenu "izvrsno". Odredite koliko će okretaja klizač napraviti za to vrijeme i brzinu njegove rotacije (okretaja u sekundi). Odgovor: 2,5 okretaja/sek.

Domaća zadaća. Pod kojim kutom se okreće klizač, koji je dobio ocjenu "nezadovoljavajuće", ako je u istom vremenu rotacije njegova brzina bila 2 okretaja u sekundi.

Pokazalo se da je najprikladnija mjera za lukove i kutove povezane s rotacijskim kretnjama mjera radijan (radijus), kao veća jedinica mjerenja kuta ili luka ( Slika br. 11). Ova mjera za mjerenje kutova ušla je u znanost kroz izvanredna djela Leonharda Eulera. Švicarac po rođenju, živio je u Rusiji 30 godina i bio je član Peterburške akademije znanosti. Njemu dugujemo "analitičku" interpretaciju cijele trigonometrije, on je izveo formule koje sada proučavate, uveo jedinstvene znakove: grijeh x,cos x, tg x,ctg x.

Ako se do 17. stoljeća razvoj učenja o trigonometrijskim funkcijama gradio na geometrijskoj osnovi, onda se od 17. stoljeća trigonometrijske funkcije počinju primjenjivati za rješavanje problema u mehanici, optici, elektricitetu, za opisivanje oscilatornih procesa i valova. razmnožavanje. Gdje god imamo posla s periodičkim procesima i oscilacijama, trigonometrijske funkcije našle su primjenu. Funkcije koje izražavaju zakone periodičnih procesa imaju posebno svojstvo svojstveno samo njima: ponavljaju svoje vrijednosti kroz isti interval promjene argumenta. Promjene bilo koje funkcije najjasnije se prikazuju na njezinom grafu ( Slika br. 12).

Već smo se obratili našem tijelu za pomoć pri rješavanju problema koji uključuju rotaciju. Poslušajmo otkucaje svoga srca. Srce je samostalan organ. Mozak kontrolira sve naše mišiće osim srca. Ima svoj kontrolni centar – sinusni čvor. Sa svakom kontrakcijom srca električna struja se širi cijelim tijelom – počevši od sinusnog čvora (veličine zrna prosa). Može se snimiti pomoću elektrokardiografa. Crta elektrokardiogram (sinusoidu) ( Slika br. 13).

Razgovarajmo sada o glazbi. Matematika je glazba, ona je spoj inteligencije i ljepote.
Glazba je matematika u izračunu, algebra u apstrakciji, trigonometrija u ljepoti. Harmonijsko titranje (harmonik) je sinusno titranje. Grafikon pokazuje kako se mijenja tlak zraka na bubnjiću slušatelja: gore-dolje u luku, periodički. Zrak pritišće, čas jače, čas slabije. Sila udarca je vrlo mala, a vibracije se javljaju vrlo brzo: stotine i tisuće udaraca svake sekunde. Takve periodične vibracije opažamo kao zvuk. Dodavanje dva različita harmonika daje vibraciju složenijeg oblika. Zbroj triju harmonika još je složeniji, a prirodni zvukovi i zvukovi glazbenih instrumenata sastavljeni su od velikog broja harmonika. ( Slika br. 14.)

Svaki harmonik karakteriziraju tri parametra: amplituda, frekvencija i faza. Frekvencija osciliranja pokazuje koliko se udara tlaka zraka dogodi u jednoj sekundi. Visoke frekvencije percipiraju se kao "visoki", "tanki" zvukovi. Iznad 10 KHz – škripa, zvižduk. Male frekvencije percipiraju se kao "niski", "basovi" zvukovi, tutnjava. Amplituda je raspon vibracija. Što je opseg veći, to je veći utjecaj na bubnjić, a zvuk koji čujemo glasniji ( Slika br. 15). Faza je pomak oscilacija u vremenu. Faza se može mjeriti u stupnjevima ili radijanima. Ovisno o fazi, nulta točka na grafikonu se pomiče. Da biste postavili harmoniju, dovoljno je odrediti fazu od –180 do +180 stupnjeva, jer se pri velikim vrijednostima oscilacija ponavlja. Dva sinusoidalna signala s istom amplitudom i frekvencijom, ali različitim fazama, dodaju se algebarski ( Slika br. 16).

Sažetak lekcije. Mislite li da smo uspjeli pročitati nekoliko stranica iz Velike knjige prirode? Je li vam nakon upoznavanja s primijenjenim značenjem trigonometrije postala jasnija njezina uloga u raznim sferama ljudskog djelovanja, jeste li razumjeli izneseno gradivo? Zatim se prisjetite i nabrojite područja primjene trigonometrije s kojima ste se danas susreli ili znali prije. Nadam se da je svatko od vas pronašao nešto novo i zanimljivo u današnjoj lekciji. Možda će vam ova novost pokazati put u odabiru buduće profesije, ali bez obzira tko postanete, vaše matematičko obrazovanje će vam pomoći da postanete profesionalna i intelektualno razvijena osoba.

Domaća zadaća. Pročitajte sažetak lekcije (

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

- -
Obično kada nekoga žele preplašiti STRAŠNOM MATEMATIKOM, za primjer navode kojekakve sinuse i kosinuse, kao nešto jako složeno i odvratno. Ali zapravo, ovo je lijepa i zanimljiva dionica koja se može razumjeti i riješiti.
Tema počinje u 9. razredu i nije uvijek sve jasno prvi put, ima mnogo suptilnosti i trikova. Pokušao sam nešto reći na temu.

Uvod u svijet trigonometrije:
Prije nego što bezglavo uletite u formule, trebate razumjeti iz geometrije što su sinus, kosinus itd.
Sinus kuta- omjer suprotne (kutne) strane prema hipotenuzi.
Kosinus- omjer susjednih prema hipotenuzi.
Tangens- suprotna strana na susjednu stranu
Kotangens- susjedan nasuprot.

Sada razmotrite krug jediničnog radijusa na koordinatnoj ravnini i označite neki kut alfa na njemu: (slike se mogu kliknuti, barem neke)
-
-
Tanke crvene linije su okomice iz sjecišta kružnice i pravog kuta na osi ox i oy. Crveni x i y vrijednost su x i y koordinate na osi (sivi x i y samo označavaju da su to koordinatne osi, a ne samo linije).
Treba napomenuti da se kutovi računaju iz pozitivnog smjera osi vola u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Nađimo sinus, kosinus itd. za to.
sin a: suprotna strana je jednaka y, hipotenuza je jednaka 1.
sin a = y / 1 = y
Da bude potpuno jasno odakle mi y i 1, radi jasnoće, posložimo slova i pogledajmo trokute.
- -
AF = AE = 1 - polumjer kružnice.
Stoga je AB = 1 kao radijus. AB - hipotenuza.
BD = CA = y - kao vrijednost za oh.
AD = CB = x - kao vrijednost prema oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Sljedeći je kosinus:
cos a: susjedna strana - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Mi također izlaz tangens i kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Odjednom smo izveli formulu za tangens i kotangens.

Pa pogledajmo konkretno kako se to rješava.
Na primjer, a = 45 stupnjeva.
Dobivamo pravokutni trokut s jednim kutom od 45 stupnjeva. Nekima je odmah jasno da je ovo jednakostranični trokut, ali ja ću ga ipak opisati.
Nađimo treći kut trokuta (prvi je 90, drugi je 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ako su dva kuta jednaka, onda su im i stranice jednake, tako je zvučalo.
Dakle, ispada da ako zbrojimo dva takva trokuta jedan na drugom, dobit ćemo kvadrat s dijagonalom jednakom polumjeru = 1. Po Pitagorinom poučku znamo da je dijagonala kvadrata sa stranicom a jednaka a korijen iz dva.
Sad mislimo. Ako je 1 (hipotenuza ili dijagonala) jednaka stranici kvadrata pomnoženoj s korijenom iz dva, tada bi stranica kvadrata trebala biti jednaka 1/sqrt(2), a ako pomnožimo brojnik i nazivnik ovog razlomka prema korijenu iz dva, dobivamo sqrt(2)/2. A kako je trokut jednakokračan, tada je AD = AC => x = y
Pronalaženje naših trigonometrijskih funkcija:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Morate raditi s preostalim vrijednostima kuta na isti način. Samo trokuti neće biti jednakokračni, ali stranice se jednako lako mogu pronaći pomoću Pitagorinog teorema.
Na taj način dobivamo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz različitih kutova:
-
-
Štoviše, ova tablica je varalica i vrlo je zgodna.
Kako to sami sastaviti bez ikakvih muka: Nacrtaj ovakvu tablicu i u kvadratiće upiši brojeve 1 2 3.
-
-
Sada iz ovih 1 2 3 izvadite korijen i podijelite sa 2. Ispada ovako:
-
-
Sada precrtavamo sinus i pišemo kosinus. Njegove vrijednosti su zrcalni sinus:
-
-
Tangens je jednako lako izvesti - trebate podijeliti vrijednost sinusne crte s vrijednošću kosinusne crte:
-
-
Vrijednost kotangensa je obrnuta vrijednost tangensa. Kao rezultat, dobivamo nešto poput ovoga:
- -

Bilješka ta tangenta ne postoji u P/2, na primjer. Razmisli zašto. (Ne možete dijeliti s nulom.)

Što ovdje trebate zapamtiti: sinus je y vrijednost, kosinus je x vrijednost. Tangens je omjer y prema x, a kotangens je suprotan. pa je za određivanje vrijednosti sinusa/kosinusa dovoljno nacrtati tablicu koju sam gore opisao i krug s koordinatnim osima (prikladno je gledati vrijednosti pod kutovima od 0, 90, 180, 360).
- -

Pa, nadam se da možete razlikovati četvrtine:
- -
Predznak njegovog sinusa, kosinusa itd. ovisi o tome u kojoj se četvrtini kut nalazi. Iako, apsolutno primitivno logičko razmišljanje će vas dovesti do točnog odgovora ako uzmete u obzir da je u drugoj i trećoj četvrtini x negativan, a y negativan u trećoj i četvrtoj. Ništa strašno ni strašno.

Mislim da ne bi bilo na odmet spomenuti redukcijske formule ala duhovi, kako svi čuju, u čemu ima zrnce istine. Ne postoje formule kao takve, jer su nepotrebne. Sam smisao cijele ove radnje: Lako pronalazimo vrijednosti kuta samo za prvu četvrtinu (30 stupnjeva, 45, 60). Trigonometrijske funkcije su periodične, tako da svaki veliki kut možemo povući u prvu četvrtinu. Tada ćemo odmah pronaći njegov smisao. Ali jednostavno povlačenje nije dovoljno - morate se sjetiti znaka. Tome služe formule redukcije.
Dakle, imamo veliki kut, točnije više od 90 stupnjeva: a = 120. I trebamo pronaći njegov sinus i kosinus. Da bismo to učinili, rastaviti ćemo 120 na sljedeće kutove s kojima možemo raditi:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Vidimo da taj kut leži u drugoj četvrtini, tamo je sinus pozitivan, stoga je znak + ispred sinusa sačuvan.
Da bismo se riješili 90 stupnjeva, promijenimo sinus u kosinus. Pa, ovo je pravilo koje morate zapamtiti:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Ili to možete zamisliti na drugi način:
grijeh 120 = grijeh (180 - 60)
Da se riješimo 180 stupnjeva, ne mijenjamo funkciju.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Dobili smo istu vrijednost, dakle sve je točno. Sada kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinus u drugoj četvrtini je negativan, pa stavljamo znak minus. I mijenjamo funkciju u suprotnu, budući da moramo ukloniti 90 stupnjeva.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Ili:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Što trebate znati, moći i učiniti za prijenos kutova u prvu četvrtinu:
- rastaviti kut na probavljive pojmove;
-voditi računa u kojoj se četvrtini kut nalazi i staviti odgovarajući znak je li funkcija u toj četvrtini negativna ili pozitivna;
-riješite se nepotrebnih stvari:
*ako se trebate riješiti 90, 270, 450 i preostalih 90+180n, gdje je n bilo koji cijeli broj, tada je funkcija obrnuta (sinus u kosinus, tangens u kotangens i obrnuto);
*ako se trebate riješiti 180 i preostalih 180+180n, gdje je n bilo koji cijeli broj, tada se funkcija ne mijenja. (Ovdje postoji jedna značajka, ali ju je teško objasniti riječima, ali dobro).
To je sve. Mislim da nije potrebno pamtiti same formule kada se možete sjetiti nekoliko pravila i lako ih koristiti. Usput, ove formule je vrlo lako dokazati:
-
-
A oni također sastavljaju glomazne tablice, onda znamo:
-
-

Osnovne jednadžbe trigonometrije: morate ih znati jako, jako dobro, napamet.
Temeljni trigonometrijski identitet(jednakost):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ako ne vjerujete, bolje da sami provjerite i uvjerite se. Zamijenite vrijednosti različitih kutova.
Ova formula je vrlo, vrlo korisna, uvijek je zapamtite. pomoću njega možete izraziti sinus kroz kosinus i obrnuto, što je ponekad vrlo korisno. No, kao i sa svakom drugom formulom, s njom morate znati postupati. Uvijek imajte na umu da predznak trigonometrijske funkcije ovisi o kvadrantu u kojem se kut nalazi. Zato kod vađenja korijena treba znati četvrtinu.

Tangens i kotangens: Ove smo formule već izveli na samom početku.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Umnožak tangensa i kotangensa:
tg a * ctg a = 1
Jer:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - razlomci se poništavaju.

Kao što vidite, sve formule su igra i kombinacija.
Evo još dvije, dobivene dijeljenjem s kosinus kvadratom i sinus kvadratom prve formule:
-
-
Imajte na umu da se posljednje dvije formule mogu koristiti uz ograničenje vrijednosti kuta a, jer ne možete dijeliti s nulom.

Formule zbrajanja: dokazuju se pomoću vektorske algebre.
- -
Rijetko korišteno, ali točno. U skenu postoje formule, ali mogu biti nečitljive ili je digitalni oblik lakše percipiran:
- -

Formule dvostrukog kuta:
Dobivaju se na temelju formula sabiranja, npr.: kosinus dvostrukog kuta je cos 2a = cos (a + a) - podsjeća li vas na nešto? Upravo su bettu zamijenili alfom.
- -
Dvije sljedeće formule izvedene su iz prve supstitucije sin^2(a) = 1 - cos^2(a) i cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinus dvostrukog kuta je jednostavniji i koristi se mnogo češće:
- -
I posebni perverznjaci mogu izvesti tangens i kotangens dvostrukog kuta, s obzirom da je tan a = sin a / cos a, itd.
-
-

Za gore navedene osobe Formule trostrukog kuta: izvode se zbrajanjem kutova 2a i a, budući da već poznajemo formule za dvostruke kutove.
-
-

Formule polukuta:
- -
Ne znam kako su izvedene, ili točnije, kako to objasniti... Ako napišemo ove formule, zamijenivši glavni trigonometrijski identitet s a/2, tada će odgovor konvergirati.

Formule za zbrajanje i oduzimanje trigonometrijskih funkcija:
-
-
Dobivaju se iz adicijskih formula, ali nikoga nije briga. Ne događaju se često.

Kao što razumijete, još uvijek postoji hrpa formula čije je nabrajanje jednostavno besmisleno, jer neću moći napisati nešto adekvatno o njima, a suhe formule se mogu naći bilo gdje i igraju se s prethodnim postojećim formulama. Sve je užasno logično i precizno. Reći ću ti samo na kraju o metodi pomoćnog kuta:
Pretvaranje izraza a cosx + b sinx u oblik Acos(x+) ili Asin(x+) naziva se metoda uvođenja pomoćnog kuta (ili dodatnog argumenta). Metoda se koristi pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, pri procjeni vrijednosti funkcija, u problemima ekstrema, a važno je napomenuti da se neki problemi ne mogu riješiti bez uvođenja pomoćnog kuta.
Kako god pokušali objasniti ovu metodu, ništa nije ispalo od toga, pa ćete to morati učiniti sami:
-
-
Strašna stvar, ali korisna. Ako riješite probleme, trebalo bi uspjeti.
Odavde, na primjer: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Sljedeći u tečaju su grafovi trigonometrijskih funkcija. Ali to je dovoljno za jednu lekciju. S obzirom da u školi ovo uče šest mjeseci.

Napišite svoja pitanja, riješite probleme, tražite skenove nekih zadataka, smislite, isprobajte.
Uvijek tvoj, Dan Faraday.

Sinus, kosinus, tangens - kada izgovarate ove riječi u prisustvu srednjoškolaca, možete biti sigurni da će dvije trećine njih izgubiti interes za daljnji razgovor. Razlog leži u činjenici da se osnove trigonometrije u školi predaju u potpunoj izolaciji od stvarnosti, pa učenici ne vide smisao u proučavanju formula i teorema.

Zapravo, nakon detaljnijeg ispitivanja, ovo područje znanja pokazuje se vrlo zanimljivim, kao i primijenjenim - trigonometrija se koristi u astronomiji, građevinarstvu, fizici, glazbi i mnogim drugim područjima.

Upoznajmo se s osnovnim pojmovima i navedimo nekoliko razloga za proučavanje ove grane matematičke znanosti.

Priča

Nije poznato u kojem je trenutku čovječanstvo počelo stvarati buduću trigonometriju od nule. Međutim, dokumentirano je da su već u drugom tisućljeću prije Krista Egipćani bili upoznati s osnovama ove znanosti: arheolozi su pronašli papirus sa zadatkom u kojem je trebalo pronaći kut nagiba piramide na dvije poznate strane.

Znanstvenici starog Babilona postigli su ozbiljnije uspjehe. Tijekom stoljeća, proučavajući astronomiju, savladali su niz teorema, uveli posebne metode za mjerenje kutova, koje, usput, koristimo i danas: stupnjeve, minute i sekunde posudila je europska znanost u grčko-rimskoj kulturi, u koju te su jedinice došle od Babilonaca.

Pretpostavlja se da je čuveni Pitagorin teorem, koji se odnosi na osnove trigonometrije, bio poznat Babiloncima prije gotovo četiri tisuće godina.

Ime

Doslovno se izraz "trigonometrija" može prevesti kao "mjerenje trokuta". Glavni predmet proučavanja unutar ovog dijela znanosti stoljećima je bio pravokutni trokut, točnije, odnos između veličina kutova i duljina njegovih stranica (danas proučavanje trigonometrije od nule počinje ovim dijelom) . Česte su situacije u životu kada je praktički nemoguće izmjeriti sve potrebne parametre objekta (ili udaljenost do objekta), a tada postaje potrebno izračunati podatke koji nedostaju.

Na primjer, u prošlosti ljudi nisu mogli mjeriti udaljenost do svemirskih objekata, ali pokušaji izračunavanja tih udaljenosti dogodili su se mnogo prije dolaska naše ere. Trigonometrija je također igrala presudnu ulogu u navigaciji: s određenim znanjem, kapetan je noću uvijek mogao navigirati po zvijezdama i prilagoditi kurs.

Osnovni koncepti

Savladavanje trigonometrije od nule zahtijeva razumijevanje i pamćenje nekoliko osnovnih pojmova.

Sinus određenog kuta je omjer suprotne strane i hipotenuze. Pojasnimo da je suprotni krak strana koja leži nasuprot kutu koji razmatramo. Dakle, ako je kut 30 stupnjeva, sinus tog kuta uvijek će, za bilo koju veličinu trokuta, biti jednak ½. Kosinus kuta je omjer susjedne katete i hipotenuze.

Tangens je omjer suprotne strane i susjedne strane (ili, što je isto, omjer sinusa i kosinusa). Kotangens je jedinica podijeljena tangensom.

Vrijedno je spomenuti poznati broj Pi (3,14...), koji je pola duljine kruga polumjera jedne jedinice.

Popularne greške

Ljudi koji uče trigonometriju od nule čine brojne pogreške - uglavnom zbog nepažnje.

Prvo, kada rješavate geometrijske probleme, morate zapamtiti da je upotreba sinusa i kosinusa moguća samo u pravokutnom trokutu. Događa se da učenik “automatski” uzme najdužu stranicu trokuta za hipotenuzu i dobije netočne rezultate računanja.

Drugo, u početku je lako zbuniti vrijednosti sinusa i kosinusa za odabrani kut: podsjetimo da je sinus od 30 stupnjeva numerički jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Ako zamijenite netočan broj, svi daljnji izračuni bit će netočni.

Treće, dok se problem u potpunosti ne riješi, ne biste trebali zaokruživati vrijednosti, vaditi korijene ili pisati obični razlomak kao decimalu. Učenici često nastoje dobiti "lijep" broj u trigonometrijskom problemu i odmah izvuku korijen od tri, iako se nakon točno jedne radnje taj korijen može smanjiti.

Etimologija riječi "sine"

Povijest riječi "sine" doista je neobična. Činjenica je da doslovni prijevod ove riječi s latinskog znači "šupalj". To je zato što se ispravno razumijevanje riječi izgubilo tijekom prijevoda s jednog jezika na drugi.

Nazivi osnovnih trigonometrijskih funkcija potječu iz Indije, gdje je pojam sinusa označavan riječju “struna” na sanskrtu – činjenica je da je segment, zajedno s lukom kružnice na kojem je počivao, izgledao kao luk. . Tijekom procvata arapske civilizacije posuđena su indijska dostignuća na polju trigonometrije, a termin je prešao u arapski kao transkripcija. Dogodilo se da je ovaj jezik već imao sličnu riječ koja je označavala depresiju, i ako su Arapi razumjeli fonetsku razliku između izvorne i posuđene riječi, onda su Europljani, prevodeći znanstvene rasprave na latinski, pogrešno doslovno preveli arapsku riječ, koja nije imala ništa vezano uz pojam sinusa . Koristimo ga i dan danas.

Tablice vrijednosti

Postoje tablice koje sadrže numeričke vrijednosti za sinuse, kosinuse i tangente svih mogućih kutova. U nastavku donosimo podatke za kutove od 0, 30, 45, 60 i 90 stupnjeva, koji se moraju naučiti kao obvezni dio trigonometrije za "lutke"; srećom, prilično ih je lako zapamtiti.

Ako se dogodi da vam je numerička vrijednost sinusa ili kosinusa nekog kuta "izbila iz glave", postoji način da je sami izvedete.

Geometrijski prikaz

Nacrtajmo krug i kroz njegovo središte povucimo apscisnu i ordinatnu os. Os apscisa je vodoravna, a os ordinata okomita. Obično su potpisani kao "X" odnosno "Y". Sada ćemo povući ravnu crtu iz središta kruga tako da dobijemo kut koji nam je potreban između njega i X osi. Konačno, od točke gdje ravna linija siječe krug, ispuštamo okomicu na os X. Duljina dobivenog segmenta bit će jednaka numeričkoj vrijednosti sinusa našeg kuta.

Ova metoda je vrlo relevantna ako ste zaboravili traženu vrijednost, na primjer, tijekom ispita, a nemate udžbenik trigonometrije pri ruci. Na ovaj način nećete dobiti točan broj, ali ćete sigurno vidjeti razliku između ½ i 1,73/2 (sinus i kosinus kuta od 30 stupnjeva).

Primjena

Neki od prvih stručnjaka koji su koristili trigonometriju bili su mornari koji nisu imali nikakvu drugu referentnu točku na otvorenom moru osim neba iznad glave. Danas zapovjednici brodova (zrakoplova i drugih prijevoznih sredstava) ne traže najkraći put pomoću zvijezda, već aktivno pribjegavaju GPS navigaciji, što bi bilo nemoguće bez upotrebe trigonometrije.

U gotovo svakom odjeljku fizike naći ćete izračune pomoću sinusa i kosinusa: bilo da se radi o primjeni sile u mehanici, izračunima staze objekata u kinematici, vibracijama, širenju valova, lomu svjetlosti - jednostavno ne možete bez osnovne trigonometrije u formulama.

Još jedno zanimanje koje je nezamislivo bez trigonometrije je geodet. Koristeći teodolit i libelu ili složeniji uređaj - tahometar, ti ljudi mjere visinsku razliku između različitih točaka na zemljinoj površini.

Ponovljivost

Trigonometrija se ne bavi samo kutovima i stranicama trokuta, iako je tu započela svoje postojanje. U svim područjima gdje je prisutna cikličnost (biologija, medicina, fizika, glazba itd.) naići ćete na graf čije vam je ime vjerojatno poznato - to je sinusni val.

Takav graf je krug razmotan duž vremenske osi i izgleda kao val. Ako ste ikada radili s osciloskopom na satu fizike, znate o čemu govorimo. I glazbeni ekvilajzer i monitor otkucaja srca koriste trigonometrijske formule u svom radu.

Konačno

Razmišljajući o tome kako naučiti trigonometriju, većina učenika srednjih i srednjih škola počinje je smatrati teškom i nepraktičnom znanošću, jer se upoznaju samo s dosadnim informacijama iz udžbenika.

Što se tiče nepraktičnosti, već smo vidjeli da je, u jednom ili drugom stupnju, sposobnost rukovanja sinusima i tangentama potrebna u gotovo svakom području aktivnosti. A što se složenosti tiče... Razmislite: ako su ljudi to znanje koristili prije više od dvije tisuće godina, kada je odrastao čovjek imao manje znanja od današnjeg srednjoškolca, je li vama osobno realno izučavati ovo područje znanosti na bazičnoj razini? Nekoliko sati promišljenog vježbanja rješavanja problema - i postići ćete svoj cilj proučavanjem osnovnog tečaja, takozvane trigonometrije za lutke.

Godine 1905. ruski su čitatelji mogli pročitati u knjizi Williama Jamesa "Psihologija" njegovo razmišljanje o tome "zašto je učenje napamet tako loš način učenja?"

“Znanje stečeno jednostavnim učenjem napamet gotovo se neizbježno potpuno zaboravlja bez traga. Naprotiv, mentalni materijal, stečen pamćenjem postupno, dan za danom, povezan s različitim kontekstima, asocijativno povezan s drugim vanjskim događajima i opetovano podvrgnut raspravi, tvori takav sustav, ulazi u takvu vezu s drugim aspektima našeg intelekt, lako se vraća u pamćenje masom vanjskih prilika, što dugo ostaje trajna stečevina.”

Od tada je prošlo više od 100 godina, a ove riječi ostaju nevjerojatno aktualne. U to se svakodnevno uvjeravate u radu sa školarcima. Ogromne praznine u znanju tolike su da se može tvrditi: školski tečaj matematike u didaktičkom i psihološkom smislu nije sustav, već svojevrsni uređaj koji potiče kratkoročno pamćenje i uopće ne mari za dugoročno pamćenje. .

Poznavati školski tečaj matematike znači savladati gradivo svakog područja matematike i biti u mogućnosti ažurirati bilo koje od njih u bilo kojem trenutku. Da biste to postigli, morate sustavno kontaktirati svakog od njih, što ponekad nije uvijek moguće zbog velikog opterećenja u lekciji.

Postoji još jedan način dugoročnog pamćenja činjenica i formula - to su referentni signali.

Trigonometrija je jedan od velikih dijelova školske matematike, koji se izučava u predmetu geometrija u 8. i 9. razredu i u predmetu algebra u 9. razredu, algebra i elementarna analiza u 10. razredu.

Najveći obim gradiva koje se proučava u trigonometriji pada na 10. razred. Većina ovog trigonometrijskog materijala može se naučiti i zapamtiti trigonometrijski krug(kružnica jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava). Dodatak1.ppt

Ovo su sljedeći koncepti trigonometrije:

definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta;
mjerenje radijanskog kuta;
domena definicije i raspon vrijednosti trigonometrijskih funkcija
vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke vrijednosti numeričkog i kutnog argumenta;
periodičnost trigonometrijskih funkcija;
parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija;
rastuće i padajuće trigonometrijske funkcije;
redukcijske formule;
vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija;
rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi;
rješavanje jednostavnih nejednadžbi;
osnovne formule trigonometrije.

Razmotrimo proučavanje ovih koncepata na trigonometrijskom krugu.

1) Definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Nakon uvođenja pojma trigonometrijske kružnice (kružnica jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu), početnog radijusa (polumjer kružnice u smjeru osi Ox) i kuta zakreta, učenici samostalno dobivaju definicije za sinus, kosinus, tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici, koristeći definicije iz geometrije tečaja, odnosno razmatrajući pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom 1.

Kosinus kuta je apscisa točke na kružnici kada se početni polumjer zakrene za zadani kut.

Sinus kuta je ordinata točke na kružnici kada se početni radijus zakrene za zadani kut.

2) Radijansko mjerenje kutova na trigonometrijskom krugu.

Nakon uvođenja radijanske mjere kuta (1 radijan je središnji kut, koji odgovara duljini luka jednakoj duljini polumjera kruga), učenici zaključuju da je radijanska mjera kuta brojčana vrijednost kut zakretanja na kružnici, jednak duljini odgovarajućeg luka kada se početni radijus zakrene za zadani kut. .

Trigonometrijska kružnica podijeljena je promjerima kružnice na 12 jednakih dijelova. Znajući da je kut u radijanima, možete odrediti mjerenje radijana za kutove koji su višekratnici .

Radijanska mjerenja kutova, višekratnika, dobivaju se na sličan način:

3) Područje definiranja i područje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Hoće li korespondencija između kutova rotacije i vrijednosti koordinata točke na kružnici biti funkcija?

Svaki kut rotacije odgovara jednoj točki na kružnici, što znači da je ta korespondencija funkcija.

Dobivanje funkcija

Na trigonometrijskom krugu možete vidjeti da je domena definiranja funkcija skup svih realnih brojeva, a raspon vrijednosti .

Uvedimo pojmove pravaca tangenti i kotangenata na trigonometrijskoj kružnici.

1) Neka Uvedimo pomoćnu ravnu liniju paralelnu s osi Oy, na kojoj se određuju tangente za bilo koji numerički argument.

2) Na sličan način dobivamo pravac kotangenata. Neka je y=1, tada . To znači da su vrijednosti kotangensa određene na ravnoj liniji paralelnoj s osi Ox.

Na trigonometrijskom krugu možete lako odrediti domenu definicije i raspon vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

za tangentu -

za kotangens -

4) Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskom krugu.

Krak nasuprot kutu jednak je polovici hipotenuze, odnosno drugi krak prema Pitagorinom teoremu:

To znači da definiranjem sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa možete odrediti vrijednosti za kutove koji su višekratnici ili radijani. Vrijednosti sinusa određuju se duž osi Oy, kosinusa duž osi Ox, a vrijednosti tangensa i kotangensa mogu se odrediti pomoću dodatnih osi paralelnih s osi Oy, odnosno Ox.

Tablične vrijednosti sinusa i kosinusa nalaze se na odgovarajućim osima kako slijedi:

Tablične vrijednosti tangensa i kotangensa -

5) Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Na trigonometrijskom krugu možete vidjeti da se vrijednosti sinusa i kosinusa ponavljaju svaki radijan, a tangens i kotangens - svaki radijan.

6) Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija.

Ovo se svojstvo može dobiti usporedbom vrijednosti pozitivnih i suprotnih kutova rotacije trigonometrijskih funkcija. Shvaćamo to

To znači da je kosinus parna funkcija, a sve ostale funkcije su neparne.

7) Rastuće i padajuće trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijska kružnica pokazuje da funkcija sinusa raste i smanjuje se

Slično razmišljajući, dobivamo intervale rastućih i padajućih funkcija kosinusa, tangensa i kotangensa.

8) Formule redukcije.

Za kut uzimamo manju vrijednost kuta na trigonometrijskoj kružnici. Sve formule dobivene su usporedbom vrijednosti trigonometrijskih funkcija na katetama odabranih pravokutnih trokuta.

Algoritam za primjenu redukcijskih formula:

1) Odredite predznak funkcije pri rotaciji za zadani kut.

Prilikom skretanja za ugao funkcija je sačuvana, kada se zakrene za kut - cijeli broj, neparan broj, kofunkcija (

9) Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

Uvedimo inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije pomoću definicije funkcije.

Svaka vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa na trigonometrijskoj kružnici odgovara samo jednoj vrijednosti kuta rotacije. To znači da je za funkciju domena definicije , raspon vrijednosti je - Za funkciju je domena definicije , raspon vrijednosti je . Slično, dobivamo domenu definicije i raspon vrijednosti inverznih funkcija za kosinus i kotangens.

Algoritam za pronalaženje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija:

1) pronalaženje vrijednosti argumenta inverzne trigonometrijske funkcije na odgovarajućoj osi;

2) pronalaženje kuta rotacije početnog radijusa, uzimajući u obzir raspon vrijednosti inverzne trigonometrijske funkcije.

Na primjer:

10) Rješavanje jednostavnih jednadžbi na trigonometrijskom krugu.

Za rješavanje jednadžbe oblika , nalazimo točke na kružnici čije su ordinate jednake i zapisujemo odgovarajuće kutove, uzimajući u obzir period funkcije.

Za jednadžbu pronađemo točke na kružnici čije su apscise jednake i zapišemo odgovarajuće kutove, vodeći računa o periodi funkcije.

Slično za jednadžbe oblika Vrijednosti se određuju na linijama tangensa i kotangenata i bilježe se odgovarajući kutovi rotacije.

Sve pojmove i formule trigonometrije učenici usvajaju sami pod jasnim vodstvom nastavnika pomoću trigonometrijske kružnice. U budućnosti, ovaj "krug" će im služiti kao referentni signal ili vanjski faktor za reprodukciju u memoriji koncepata i formula trigonometrije.

Proučavanje trigonometrije na trigonometrijskom krugu pomaže:

odabir optimalnog komunikacijskog stila za određeni sat, organiziranje obrazovne suradnje;
ciljevi lekcije postaju osobno značajni za svakog učenika;
novo gradivo temelji se na učenikovom osobnom iskustvu djelovanja, razmišljanja i osjećanja;
sat uključuje različite oblike rada i načine stjecanja i usvajanja znanja; postoje elementi međusobnog i samoučenja; samokontrola i međusobna kontrola;
postoji brz odgovor na nesporazum i pogrešku (zajednička diskusija, savjeti podrške, međusobne konzultacije).