Napiši jednadžbu njihanja opružnog njihala. Slobodni titraji opružnog njihala

(1.7.1)

Ako se kuglica pomakne iz ravnotežnog položaja za udaljenost x, tada će istezanje opruge postati jednako Δl 0 + x. Tada će rezultirajuća sila imati vrijednost:

Uzimajući u obzir uvjet ravnoteže (1.7.1), dobivamo:

Znak minus označava da su pomak i sila u suprotnim smjerovima.

Elastična sila f ima sljedeća svojstva:

1. Proporcionalan je pomaku lopte iz njezina ravnotežnog položaja;
2. Uvijek je usmjeren prema ravnotežnom položaju.

Kako biste sustav obavijestili o pomaku x, morate učiniti suprotno elastična sila posao:

Ovaj radovi u tijeku stvoriti rezervu potencijalna energija sustavi:

Pod djelovanjem elastične sile loptica će se kretati prema ravnotežnom položaju sve većom brzinom. Zbog toga će se potencijalna energija sustava smanjiti, ali će se povećati kinetička energija (zanemarujemo masu opruge). Dostigavši ​​ravnotežni položaj, lopta će se nastaviti kretati po inerciji. Ovo je usporeno kretanje i prestat će kada se kinetička energija potpuno pretvori u potencijalnu. Tada će se isti proces dogoditi kada lopta uđe obrnuti smjer. Ako u sustavu nema trenja, kuglica će neograničeno dugo oscilirati.

Jednadžba drugog Newtonovog zakona u ovom slučaju je:

Transformirajmo jednadžbu ovako:

Uvođenjem oznake dobivamo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda:

Lako je provjeriti izravnom zamjenom da zajednička odluka jednadžba (1.7.8) ima oblik:

gdje je a amplituda, a φ početna faza oscilacije - konstante. Prema tome, fluktuacija opružno njihalo je harmoničan (slika 1.7.2).

Riža. 1.7.2. Harmonijsko titranje

Zbog periodičnosti kosinusa, različita stanja oscilatornog sustava ponavljaju se nakon određenog vremena (perioda titranja) T, tijekom kojeg se faza titranja povećava za 2π. Razdoblje možete izračunati pomoću jednakosti:

iz čega slijedi:

Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija:

Jedinica frekvencije je frekvencija takvog titranja, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove 1 Hz.

Iz (1.7.11) slijedi da je:

Prema tome, ω 0 je broj oscilacija dovršenih u 2π sekundi. Veličinu ω 0 nazivamo kružnom ili cikličkom frekvencijom. Koristeći (1.7.12) i (1.7.13), pišemo:

Diferencirajući () s obzirom na vrijeme, dobivamo izraz za brzinu lopte:

Iz (1.7.15) proizlazi da se brzina također mijenja prema harmonijskom zakonu i unaprijedi fazni pomak za ½π. Diferenciranjem (1.7.15) dobivamo ubrzanje:

1.7.2. Matematičko njihalo

Matematičko njihalo naziva idealizirani sustav koji se sastoji od neproteznog bestežinska nit, na kojem je obješeno tijelo čija je cjelokupna masa koncentrirana u jednoj točki.

Odstupanje njihala od položaja ravnoteže karakterizira kut φ koji tvore nit s okomicom (slika 1.7.3).

Riža. 1.7.3. Matematičko njihalo

Kada klatno odstupi od položaja ravnoteže, okretni moment, koji nastoji vratiti njihalo u ravnotežni položaj:

Napišimo jednadžbu dinamike za njihalo rotacijsko kretanje, uzimajući u obzir da je njegov moment tromosti jednak ml 2:

Ova se jednadžba može svesti na oblik:

Ograničavajući se na slučaj malih oscilacija sinφ ≈ φ i uvodeći oznaku:

jednadžba (1.7.19) može se prikazati na sljedeći način:

koja se oblikom podudara s jednadžbom titranja opružnog njihala. Stoga će njegovo rješenje biti harmonijska oscilacija:

Iz (1.7.20) slijedi da je ciklička frekvencija oscilacija matematičko njihalo ovisi o njegovoj duljini i ubrzanju slobodan pad. Koristeći formulu za period oscilacije () i (1.7.20), dobivamo dobro poznati odnos:

1.7.3. Fizičko njihalo

Fizičko njihalo se naziva čvrsta, sposoban oscilirati okolo fiksna točka, ne poklapajući se sa središtem inercije. U ravnotežnom položaju središte tromosti njihala C nalazi se ispod točke ovjesa O na istoj vertikali (sl. 1.7.4).

Riža. 1.7.4. Fizičko njihalo

Kada njihalo odstupi od ravnotežnog položaja za kut φ, nastaje rotacijski moment koji nastoji vratiti njihalo u ravnotežni položaj:

gdje je m masa njihala, l je udaljenost između točke ovjesa i središta tromosti njihala.

Napišimo jednadžbu za dinamiku rotacijskog gibanja njihala, uzimajući u obzir da je njegov moment tromosti jednak I:

Za male vibracije sinφ ≈ φ. Zatim, uvodeći oznaku:

koja se i po obliku podudara s jednadžbom titranja opružnog njihala. Iz jednadžbi (1.7.27) i (1.7.26) slijedi da za mala odstupanja fizičko klatno iz ravnotežnog položaja vrši harmonijsko titranje čija frekvencija ovisi o masi njihala, momentu tromosti i udaljenosti osi rotacije od središta tromosti. Koristeći (1.7.26), možete izračunati period oscilacije:

Uspoređujući formule (1.7.28) i () dobivamo da je matematičko njihalo duljine:

imat će isti period titranja kao i razmatrano fizičko njihalo. Količina (1.7.29) se zove smanjena duljina fizičko klatno. Prema tome, reducirana duljina fizičkog njihala je duljina matematičkog njihala čiji je period titranja jednak periodu titranja danog fizičkog njihala.

Točka na ravnoj liniji koja povezuje točku ovjesa sa središtem tromosti, koja leži na udaljenosti zadane duljine od osi rotacije, naziva se središte ljuljačke fizičko klatno. Prema Steinerovom teoremu, moment tromosti fizičkog njihala jednak je:

gdje je I 0 moment tromosti u odnosu na središte tromosti. Zamjenom (1.7.30) u (1.7.29) dobivamo:

Prema tome, smanjena duljina uvijek je veća od udaljenosti između točke ovjesa i središta tromosti njihala, tako da točka ovjesa i središte njihanja leže duž različite strane iz centra inercije.

1.7.4. Energija harmoničnih vibracija

Kod harmonijske vibracije dolazi do periodične međusobne transformacije kinetička energija titrajno tijelo E k i potencijalnu energiju E p zbog djelovanja kvazielastične sile. Ove energije čine ukupnu energiju E oscilatornog sustava:

Napišimo posljednji izraz

Ali k = mω 2, pa dobivamo izraz za ukupna energija oscilirajuće tijelo

Dakle, ukupna energija harmonijske vibracije je konstantna i proporcionalna kvadratu amplitude i kvadratu kružne frekvencije vibracije.

1.7.5. Prigušene oscilacije .

Pri proučavanju harmonijskih vibracija, sile trenja i otpora koje postoje u stvarni sustavi. Djelovanje tih sila bitno mijenja prirodu gibanja, njihanje postaje blijedeći.

Ako u sustavu, osim kvazielastične sile, postoje i sile otpora okoline (sile trenja), tada se drugi Newtonov zakon može napisati na sljedeći način:

gdje je r koeficijent trenja koji karakterizira svojstva medija da se odupire gibanju. Zamijenimo (1.7.34b) u (1.7.34a):

Graf ove funkcije prikazan je na sl. 1.7.5 s punom krivuljom 1, a isprekidana linija 2 prikazuje promjenu amplitude:

Uz vrlo malo trenja, period prigušenog titranja je blizu perioda neprigušenog slobodnog titranja (1.7.35.b)

Određuje se brzina smanjenja amplitude oscilacija koeficijent slabljenja: što je β veći, to je jači inhibitorni učinak medija i amplituda se brže smanjuje. U praksi se često karakterizira stupanj prigušenja logaritamski dekrement prigušenja, što ovime znači vrijednost jednaku prirodnom logaritmu omjera dviju uzastopnih amplituda oscilacija razdvojenih vremenskim intervalom jednakim periodu oscilacija:

;

Posljedično, koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja povezani su prilično jednostavnim odnosom:

Kod jakog prigušenja formula (1.7.37) pokazuje da je period titranja imaginarna veličina. Kretanje u ovom slučaju već se zove aperiodičan. Grafikon aperiodskog gibanja prikazan je na sl. 1.7.6. Neprigušene i prigušene oscilacije nazivaju se vlastiti ili besplatno. Nastaju uslijed početnog pomaka ili početna brzina a provode se u odsutnosti vanjski utjecaj zbog inicijalno akumulirane energije.

1.7.6. Prisilne vibracije. Rezonancija .

Prisilno oscilacije su one koje se javljaju u sustavu uz sudjelovanje vanjska sila, varirajući prema periodičnom zakonu.

Pretpostavimo da na materijalnu točku, osim kvazielastične sile i sile trenja, djeluje i vanjska pokretačka sila

,

gdje je F 0 - amplituda; ω - kružna frekvencija oscilacija pogonske sile. Napravimo diferencijalnu jednadžbu (drugi Newtonov zakon):

,

Amplituda prisilnog osciliranja (1.7.39) izravno je proporcionalna amplitudi pogonske sile i ima složena ovisnost o koeficijentu prigušenja medija i kružnim frekvencijama vlastitih i prisilnih vibracija. Ako su za sustav zadani ω 0 i β, tada amplituda prisilne oscilacije Ima maksimalna vrijednost kod nekih određenu frekvenciju prisilna sila tzv rezonantna.

Sam fenomen - postizanje maksimalne amplitude za zadane ω 0 i β - naziva se rezonancija.

Riža. 1.7.7. Rezonancija

U nedostatku otpora, amplituda prisilnih oscilacija pri rezonanciji je beskonačno velika. U ovom slučaju iz ω res =ω 0, tj. rezonancija u sustavu bez prigušenja nastaje kada se frekvencija pogonske sile podudara s frekvencijom vlastitih oscilacija. Grafička ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o kružnoj frekvenciji pogonske sile pri različita značenja koeficijent prigušenja prikazan je na sl. 5.

Mehanička rezonancija može biti i korisna i štetna. Štetni učinci rezonancije uglavnom su posljedica razaranja koje može izazvati. Dakle, u tehnologiji, uzimajući u obzir različite vibracije, potrebno je osigurati moguće pojave rezonantnim uvjetima, inače može doći do razaranja i katastrofa. Tijela obično imaju nekoliko vlastitih frekvencija titranja i, sukladno tome, nekoliko rezonantnih frekvencija.

Ako koeficijent prigušenja unutarnjih organa osobe nije bio velik, tada su rezonantne pojave koje su nastale u tim organima pod utjecajem vanjskih vibracija ili zvučni valovi, može dovesti do tragičnih posljedica: rupture organa, oštećenja ligamenata itd. Međutim, takvi se fenomeni praktički ne opažaju pod umjerenim vanjskim utjecajima, budući da je koeficijent prigušenja bioloških sustava prilično velik. Ipak, rezonantne pojave pod utjecajem vanjskih mehaničke vibracije pojaviti u unutarnji organi. To je očito jedan od razloga negativnog utjecaja infrazvučnih vibracija i vibracija na ljudski organizam.

1.7.7. Samooscilacije

Postoje i oscilatorni sustavi koji sami reguliraju periodično obnavljanje potrošene energije i stoga mogu oscilirati dugo vremena.

Neprigušene oscilacije koje postoje u bilo kojem sustavu u odsutnosti promjenjivog vanjskog utjecaja nazivaju se samooscilacije, i sami sustavi - samooscilatorni.

Amplituda i frekvencija vlastitih oscilacija ovise o svojstvima u samom oscilirajućem sustavu; za razliku od prisilnih oscilacija, one nisu određene vanjskim utjecajima.

U mnogim slučajevima, samooscilirajući sustavi mogu se prikazati s tri glavna elementa (slika 1.7.8): 1) samim oscilatornim sustavom; 2) izvor energije; 3) regulator opskrbe energijom samog oscilatornog sustava. Oscilatorni sustav po kanalu Povratne informacije(Sl. 6) utječe na regulator, informirajući regulator o stanju ovog sustava.

Klasičan primjer mehaničkog samooscilirajućeg sustava je sat u kojem je njihalo ili vaga oscilatorni sustav, opruga ili podignuti uteg izvor energije, a sidro regulator protoka energije iz izvora u oscilatorni sustav.

Puno biološki sustavi(srce, pluća itd.) samoosciliraju. Tipičan primjer elektromagnetskog autooscilirajućeg sustava su generatori autooscilirajućih oscilacija.

1.7.8. Zbrajanje oscilacija jednog smjera

Razmotrimo zbrajanje dviju harmonijskih oscilacija istog smjera i iste frekvencije:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Harmonijsko titranje može se zadati vektorom čija je duljina jednaka amplitudi titranja, a smjer s određenom osi čini kut jednak početnoj fazi titranja. Ako ovaj vektor rotira sa kutna brzinaω 0, tada će se njegova projekcija na odabranu os mijenjati prema harmonijskom zakonu. Na temelju toga odabrat ćemo određenu X os i oscilacije prikazati pomoću vektora a 1 i a 2 (sl. 1.7.9).

Iz slike 1.7.6 slijedi da

.

Sheme u kojima su oscilacije grafički prikazane kao vektori na ravnini nazivaju se vektorski dijagrami.

To proizlazi iz formule 1.7.40. Što ako je fazna razlika oba titraja nula, amplituda rezultirajućeg titraja jednaka je zbroju amplituda zbrojenih titraja. Ako je fazna razlika zbrojenih oscilacija jednaka, tada je amplituda rezultirajućeg titranja jednaka . Ako frekvencije dodanih oscilacija nisu iste, tada će vektori koji odgovaraju tim oscilacijama rotirati različitim brzinama. U ovom slučaju, rezultirajući vektor pulsira u veličini i rotira promjenjivom brzinom. Posljedično, rezultat zbrajanja nije harmonijska oscilacija, već složeni oscilatorni proces.

1.7.9. Otkucaji

Razmotrimo zbrajanje dviju harmonijskih oscilacija istog smjera, malo različitih frekvencija. Neka je frekvencija jednog od njih jednaka ω, a drugog ω+∆ω, a ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Zbrajanjem ovih izraza i korištenjem formule za zbroj kosinusa dobivamo:

Oscilacije (1.7.41) mogu se smatrati harmonijskim titranjem s frekvencijom ω, čija amplituda varira prema zakonu. Ova funkcija je periodična s frekvencijom dvostruko većom od frekvencije izraza pod znakom modula, tj. s frekvencijom ∆ω. Dakle, frekvencija pulsiranja amplitude, koja se naziva frekvencija otkucaja, jednaka je razlici frekvencija dodanih oscilacija.

1.7.10. Zbrajanje međusobno okomitih oscilacija (Lissajousove figure)

Ako materijalna točka oscilira i duž x-osi i duž y-osi, tada će se kretati duž određene krivuljaste putanje. Neka je frekvencija titranja ista i početna faza prvog titranja jednaka nuli, tada jednadžbe titranja pišemo u obliku:

Jednadžba (1.7.43) je jednadžba elipse čije su osi proizvoljno orijentirane u odnosu na koordinatne osi x i y. Orijentacija elipse i veličina njezinih poluosi ovise o amplitudama a i b i razlici faza α. Razmotrimo neke posebne slučajeve:

(m=0, ±1, ±2, …). U ovom slučaju jednadžba ima oblik

Ovo je jednadžba elipse čije se osi podudaraju s koordinatnim osima, a poluosi su jednake amplitudama (sl. 1.7.12). Ako su amplitude jednake, tada elipsa postaje krug.

sl.1.7.12

Ako se frekvencije međusobno okomitih oscilacija razlikuju za mali iznos ∆ω, mogu se smatrati titrajima iste frekvencije, ali sa sporo promjenjivom faznom razlikom. U tom slučaju mogu se napisati jednadžbe vibracija

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

a izraz ∆ωt+α treba promatrati kao faznu razliku koja se polako mijenja s vremenom prema linearnom zakonu. Rezultirajuće kretanje u ovom slučaju događa se duž polagano promjenjive krivulje, koja će sukcesivno poprimiti oblik koji odgovara svim vrijednostima fazne razlike od -π do +π.

Ako frekvencije međusobno okomitih oscilacija nisu iste, tada trajektorija rezultirajućeg kretanja ima oblik prilično složenih krivulja tzv. Lissajousove figure. Neka se, na primjer, frekvencije dodanih oscilacija odnose kao 1 : 2 i fazne razlike π/2. Tada jednadžbe vibracija imaju oblik

x=a cos ωt, y=b cos.

Za vrijeme dok se točka uspije pomaknuti duž x-osi iz jednog ekstremnog položaja u drugi, duž y-osi, napustivši nultu poziciju, uspije doći u jedan ekstremni položaj, zatim u drugi i vratiti se. Oblik krivulje prikazan je na sl. 1.7.13. Krivulja s istim omjerom frekvencija, ali faznom razlikom jednakom nuli prikazana je na sl. 1.7.14. Omjer frekvencija dodanih oscilacija obrnut je omjeru broja točaka sjecišta Lissajousovih likova s ​​ravnima paralelnim s koordinatnim osima. Posljedično, izgledom Lissajousovih likova može se odrediti omjer frekvencija dodanih oscilacija ili nepoznate frekvencije. Ako je jedna od frekvencija poznata.

Sl.1.7.13

Sl.1.7.14

Što je racionalni razlomak koji izražava omjer frekvencija oscilacija bliži jedinici, to su rezultirajuće Lissajousove brojke složenije.

1.7.11. Širenje valova u elastičnoj sredini

Ako se na bilo kojem mjestu u elastičnom (krutom tekućem ili plinovitom) mediju pobude titraji njegovih čestica, tada će se titraj, zbog međudjelovanja među česticama, širiti u mediju od čestice do čestice određenom brzinom v. naziva se proces širenja titraja u prostoru val.

Čestice medija u kojem se val širi nisu privučene valom u translatorno gibanje, one samo osciliraju oko svojih ravnotežnih položaja.

Ovisno o smjerovima titranja čestica u odnosu na smjer širenja vala, postoje uzdužni i poprečni valovi. U longitudinalnom valu čestice medija osciliraju uzduž širenja vala. U transverzalnom valu čestice medija osciliraju u smjerovima okomitim na smjer širenja valova. Elastični transverzalni valovi mogu nastati samo u mediju koji ima otpor na smicanje. Stoga se u tekućim i plinovitim medijima mogu pojaviti samo uzdužni valovi. U čvrstom mediju mogu se pojaviti i uzdužni i poprečni valovi.

Na sl. Slika 1.7.12 prikazuje kretanje čestica pri širenju transverzalnog vala u sredstvu. Brojevi 1, 2 itd. označavaju čestice koje zaostaju jedna za drugom za udaljenost jednaku (¼ υT), tj. udaljenost koju val prijeđe tijekom četvrtine perioda oscilacija koje izvode čestice. U trenutku koji je uzet kao nula, val je, šireći se duž osi slijeva nadesno, došao do čestice 1, uslijed čega se čestica počela pomicati prema gore iz ravnotežnog položaja, povlačeći za sobom sljedeće čestice. Nakon četvrtine perioda, čestica 1 dostiže najviši položaj ravnoteže, čestica 2. Nakon još jedne četvrtine perioda, prvi dio će proći ravnotežni položaj, krećući se u smjeru odozgo prema dolje, druga čestica će doći do najvišeg položaja. položaju, a treća čestica će se početi kretati prema gore iz ravnotežnog položaja. U trenutku jednakom T, prva će čestica završiti puni ciklus titranja i bit će u istom stanju gibanja kao i početni trenutak. Val u trenutku T, prošavši put (υT), doći će do čestice 5.

Na sl. Slika 1.7.13 prikazuje kretanje čestica pri širenju longitudinalnog vala u sredstvu. Svi argumenti koji se tiču ​​ponašanja čestica u transverzalnom valu mogu se primijeniti na ovaj slučaj uz zamjenu pomaka prema gore i dolje pomacima udesno i ulijevo.

Sa slike je vidljivo da pri širenju longitudinalnog vala u mediju nastaju naizmjenične kondenzacije i razrjeđenja čestica (mjesta kondenzacije su na slici označena isprekidanim linijama), krećući se u smjeru širenja vala s brzina v.

Riža. 1.7.15

Riža. 1.7.16

Na sl. 1.7.15 i 1.7.16 prikazuju vibracije čestica čiji položaji i ravnoteže leže na osi x. U stvarnosti, ne vibriraju samo čestice smještene duž osi x, već skup čestica sadržanih u određenom volumenu. Šireći se iz izvora oscilacija, valni proces zahvaća sve nove i nove dijelove prostora, geometrijski položaj točaka do kojih oscilacije dosežu u trenutku t naziva se valna fronta(ili valna fronta). Valna fronta je površina koja dijeli dio prostora koji je već uključen u valni proces od područja u kojem oscilacije još nisu nastale.

Geometrijsko mjesto točaka koje osciliraju u istoj fazi naziva se valna površina . Valna ploha može se povući kroz bilo koju točku u prostoru obuhvaćenu valnim procesom. Prema tome, postoji beskonačan broj valnih površina, dok u svakom trenutku postoji samo jedna valna fronta. Valne površine ostaju nepokretne (prolaze kroz ravnotežne položaje čestica koje osciliraju u istoj fazi ). Valna fronta se cijelo vrijeme kreće.

Valne površine mogu biti bilo kojeg oblika. U najjednostavnijim slučajevima imaju oblik ravnine ili kugle. Prema tome, val se u tim slučajevima naziva ravnim ili sfernim. U ravnom valu, valne površine su skup ravnina koje su međusobno paralelne, u sfernom valu - skup koncentričnih sfera.

Riža. 1.7.17

Neka se ravan val širi duž osi x. Tada sve točke sfere čiji položaji i ravnoteže imaju iste koordinate x(ali razlika u vrijednostima koordinata g I z), osciliraju u istoj fazi.

Na sl. 1.7.17 prikazuje krivulju koja daje pomak ξ iz ravnotežnog položaja točaka s različitim x u nekom trenutku u vremenu. Ovaj crtež ne treba shvatiti kao vidljivu sliku vala. Na slici je prikazan graf funkcija ξ (x,t) za neke fiksne točka u vremenu t. Takav se grafikon može konstruirati i za uzdužne i za poprečne valove.

Udaljenost λ preko koje se val kratko širi u vremenu jednakom periodu titranja čestica medija naziva se valna duljina. Očito je da

gdje je υ brzina vala, T je period oscilacije. Valna duljina također se može definirati kao udaljenost između najbližih točaka medija koji oscilira s faznom razlikom jednakom 2π (vidi sl. 1.7.14)

Zamjenom T u odnosu (1.7.45) kroz 1/ν (ν je frekvencija osciliranja), dobivamo

Do ove se formule također može doći iz sljedećih razmatranja. Izvor vala u jednoj sekundi izvrši ν oscilacija, generirajući u mediju svakim titrajem jedan “vrh” i jedno “dolje” vala. Dok izvor završi ν -tu oscilaciju, prvi "greben" će imati vremena prijeći udaljenost υ. Posljedično, ν "vrhova" i "dolina" vala mora stati unutar duljine υ.

1.7.12. Jednadžba ravnog vala

Valna jednadžba je izraz koji daje pomak oscilirajuće čestice kao funkciju njezinih koordinata x, y, z i vrijeme t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(misli se na koordinate ravnotežnog položaja čestice). Ova funkcija mora biti periodična u odnosu na vrijeme t , i relativno prema koordinatama x, y, z. . Periodičnost u vremenu proizlazi iz činjenice da se točke nalaze na međusobnoj udaljenosti λ , osciliraju na isti način.

Pronađimo vrstu funkcije ξ u slučaju ravnog vala, uz pretpostavku da su oscilacije harmonijske prirode. Radi pojednostavljenja, usmjerimo koordinatne osi tako da os x poklapao sa smjerom širenja valova. Tada će valne površine biti okomite na os x a budući da sve točke valne površine jednako titraju, pomak ξ ovisit će samo o x I t:

ξ = ξ (x,t) .

Sl.1.7.18

Neka vibracije točaka leže u ravnini x = 0 (Sl. 1.7.18), imaju oblik

Nađimo tip titranja točaka u ravnini koji odgovara proizvoljnoj vrijednosti x . Kako bi putovao put iz aviona x=0 da bi dosegao ovu ravninu, val treba vremena ( υ - brzina širenja vala). Posljedično, vibracije čestica koje leže u ravnini x , kasnit će u vremenu za τ od vibracija čestica u ravnini x = 0 , tj. će izgledati

Tako, jednadžba ravnog vala(uzdužni i poprečni), koji se protežu u smjeru osi x , kako slijedi:

Ovaj izraz definira odnos između vremena t i to mjesto x , u kojoj faza ima fiksnu vrijednost. Rezultirajuća vrijednost dx/dt daje brzinu kojom se određena fazna vrijednost kreće. Diferencirajući izraz (1.7.48), dobivamo

Jednadžba vala koji se širi u opadajućem smjeru x :

Prilikom izvođenja formule (1.7.53) pretpostavili smo da amplituda oscilacija ne ovisi o x . Za ravni val to se opaža u slučaju kada energija vala nije apsorbirana od strane medija. Pri širenju u mediju koji apsorbira energiju, intenzitet vala postupno opada s udaljenošću od izvora oscilacija - opaža se slabljenje vala. Iskustvo pokazuje da se u homogenom mediju takvo slabljenje događa prema eksponencijalnom zakonu:

Odnosno jednadžba ravnog vala, uzimajući u obzir slabljenje, ima sljedeći oblik:

(1.7.54)

(a 0 - amplituda u točkama ravnine x = 0).

Periodične oscilacije nazivaju se harmonik , ako se fluktuirajuća količina mijenja tijekom vremena prema zakonu kosinusa ili sinusa:

Ovdje
- ciklička frekvencija osciliranja, A– maksimalno odstupanje fluktuirajuće veličine od ravnotežnog položaja ( amplituda vibracija ), φ( t) = ω t+ φ 0 – faza oscilacije , φ 0 – početna faza .

Grafikon harmonijskih vibracija prikazan je na slici 1.

Slika 1– Harmonijski graf

Kod harmonijskih oscilacija ukupna energija sustava se ne mijenja tijekom vremena. Može se pokazati da je ukupna energija mehaničkog oscilatornog sustava tijekom harmonijskih oscilacija jednaka:

.

Harmonično vibrirajuća količina s(t) pridržava se diferencijalne jednadžbe:

, (1)

koji se zove diferencijalna jednadžba harmonijskih vibracija.

Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na nerastezljivu bestežinsku nit koja se oscilatorno giba u jednoj okomitoj ravnini pod utjecajem gravitacije.

Razdoblje koda

Fizičko njihalo.

Fizičko njihalo je kruto tijelo učvršćeno na nepomičnoj vodoravnoj osi (ovjesnoj osi) koje ne prolazi kroz težište, a koje oscilira oko te osi pod utjecajem sile teže. Za razliku od matematičkog njihala, masa takvog tijela ne može se smatrati točkastom.

Pri malim kutovima otklona α (sl. 7.4), fizičko njihalo također čini harmonijske vibracije. Pretpostavit ćemo da je težina fizičkog njihala primijenjena na njegovo težište u točki C. Sila koja vraća njihalo u ravnotežni položaj, u ovom slučaju, bit će komponenta gravitacije - sila F.

Za izvođenje zakona gibanja matematičkog i fizikalnog njihala koristimo se osnovnom jednadžbom dinamike rotacijskog gibanja

Moment sile: ne može se eksplicitno odrediti. Uzimajući u obzir sve veličine uključene u izvornu diferencijalnu jednadžbu oscilacija fizičkog njihala ima oblik:

Rješenje ove jednadžbe

Odredimo duljinu l matematičkog njihala pri kojoj je period njegovih titraja jednak periodu titraja fizičkog njihala, tj. ili

. Iz ove relacije određujemo

Ova formula određuje smanjenu duljinu fizičkog njihala, tj. duljina takvog matematičkog njihala, čiji je period titranja jednak periodu titranja danog fizičkog njihala.

Opružno njihalo

Ovo je masa pričvršćena na oprugu čiju masu možemo zanemariti.

Dok opruga nije deformirana, na tijelo ne djeluje elastična sila. U opružnom njihalu dolazi do oscilacija pod djelovanjem elastične sile.

Pitanje 36 Energija harmoničnih vibracija

Kod harmonijskih oscilacija ukupna energija sustava se ne mijenja tijekom vremena. Može se pokazati da je ukupna energija mehaničkog oscilatornog sustava tijekom harmonijskih oscilacija jednaka.

Harmonijske vibracije

Najjednostavnije vibracije su harmonijske vibracije, tj. takve oscilacije u kojima se fluktuirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Mehaničke vibracije koje nastaju pod utjecajem sile (povratne sile) proporcionalne pomaku i usmjerene suprotno od njega nazivaju se harmonijske vibracije - diferencijalna jednadžba, - rješenje

x - pomak fluktuirajuće veličine iz pozitivne ravnoteže

66. Glavne karakteristike Građanskog zakonika

A – amplituda - najveći pomak od ravnotežnog položaja

0 ) – faza titranja – određuje pomak u određenom trenutku

0 – početna faza – određena položajem sustava u početni trenutak vrijeme

ω – vlastita frekvencija oscilacija, određena parametrima sustava

Uloga početnih uvjeta – A, početna faza

67. Metode grafičkog prikazivanja oscilatornih procesa:

Ravni grafikon

Vektorski dijagram

68.Vektorski dijagram– metoda grafičkog određivanja oscilatornog gibanja u obliku vektora.

Uzmimo os koju označavamo slovom x. Iz točke O na osi nacrtamo vektor duljine a koji s osi tvori kut α. Ako ovaj vektor dovedemo u rotaciju kutnom brzinom ω 0, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž osi x u rasponu od –a do +a, a koordinata te projekcije će se mijenjati tijekom vremena prema zakon x = a cos (ω 0 t + α ).

Prema tome, projekcija vektora na os izvodit će harmonijsko titranje s amplitudom jednakom duljini vektora, s kružnom frekvencijom jednakom kutnoj brzini rotacije vektora i s početnom fazom jednakom kutu koju čini vektor s osi u početnom trenutku vremena.

Da. harmonijsko titranje može se zadati pomoću vektora, duljina kota je jednaka amplitudi titranja, a smjer vektora čini kut s x-osi jednak početnoj fazi oscilacija.

69.Opružno njihalo- teret obješen na oprugu.

Izvedimo diferencijal opružnog njihala

70. Matematičko njihalo naziva idealiziranim sustavom koji se sastoji od bestežinske i nerastezljive niti na kojoj je obješena masa koncentrirana u jednoj točki. Odstupanje njihala od ravnotežnog položaja karakterizirat će kut koji nit čini s okomicom. Kada njihalo odstupi od položaja ravnoteže, javlja se moment M = -mgl sin. Ima takav smjer da teži vratiti njihalo u položaj ravnoteže.

71. Fizičko njihalo – svako kruto tijelo koje ima os rotacije koja se ne poklapa sa središtem mase.

Izlaz diferencijalne razine oscilacija:

72.Smanjena duljina fizičkog njihala– duljina takvog matematičkog njihala, čiji se period oscilacija podudara s periodom danog fizičkog njihala.

Vlastita frekvencija za njihalo s oprugom

Vlastita frekvencija matematičkog njihala

73. Periodične ili gotovo periodične promjene naboja, struje i napona nazivaju se elektromagnetskim oscilacijama.

Najjednostavniji sustav u kojem se mogu pojaviti slobodne elektromagnetske oscilacije sastoji se od kondenzatora i zavojnice spojene na njegove ploče. Takav sustav naziva se oscilatorni krug.

Frekvencija oscilacija je broj oscilacija u jedinici vremena. υ = 1/T

Trajanje jednog potpunog titraja naziva se periodom titranja. T = 1/v

gdje je L induktivitet, C je električni kapacitet

74. Zbrajanje kolinearnih oscilacija iste frekvencije:

Pomak x tijela koje oscilira bit će zbroj pomaka x1 i x2 koji će se napisati na sljedeći način: x 1 =a 1 cos (ω 0 t+α 1) x 2 =a 2 cos (ω 0 t+ α 2)

Predstavimo obje vibracije vektorima a1 i a2. Konstruirajmo dobiveni vektor a prema pravilima zbrajanja vektora. Projekcija ovog vektora na x-osu jednaka je zbroju projekcija vektora sumanda: x1=x1+x2. Zatim, vektor a predstavlja rezultirajuću oscilaciju. Ovaj vektor rotira istom kutnom brzinom ω 0 kao vektori a1 i a2, pa će rezultirajuće gibanje biti harmonično titranje s frekvencijom ω 0, amplitudom a i početnom fazom α.

75. Neka malo tijelo titra na međusobno okomitim oprugama jednake krutosti. Kojom će se putanjom to tijelo kretati? To su jednadžbe putanje u parametarskom obliku.

Da bi se dobio eksplicitni odnos između x i y koordinata, potrebno je isključiti parametar t iz jednadžbi. Iz prve jednadžbe:

Od drugog:

Nakon zamjene:

Oslobodimo se korijena: - ovo je jednadžba elipse.

76. U stvarnim uvjetima uvijek su prisutne (varljive?) raspršene sile koje dovode do smanjenja energije u krugu. Razmotrimo poseban slučaj mehaničkih vibracija u prisutnosti sile viskoznog trenja.

Diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije

77. Osnovni parametri prigušenih oscilacija.

ω0 - vlastita frekvencija oscilatornog sustava, bez prigušenja, β - koeficijent prigušenja - karakterizira brzinu prigušenja

Vrijeme opuštanja, tijekom kojeg se amplituda smanjuje za faktor e.

Faktor kvalitete je pokazatelj brzine kojom energija napušta oscilatorni sustav

Q=2π, gdje je E-energija pohranjena u krugu energija po razdoblju. Q=πNe, gdje je Ne broj oscilacija tijekom vremena relaksacije.

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija za njihalo s oprugom.

79. Diferencijalna jednadžba za prigušene oscilacije električnog kruga

Njegovo rješenje je funkcija

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+ ), gdje je frekvencija titranja ω= Za oscilatorni krug

80. Amplituda i frekvencija prigušenih oscilacija, - amplituda prigušenih oscilacija

ω0 je vlastita frekvencija oscilatornog sustava, bez prigušenja prigušenih oscilacija manja od vlastite frekvencije.

Amplituda eksponencijalno opada, gdje

Ovdje - je frekvencija prigušenih oscilacija.

τ je prijelazni način, nakon kojeg se uspostavljaju oscilacije na frekvenciji pogonske sile.

83. Prisilne vibracije – nastaju u oscilatornim sustavima pod djelovanjem vanjske periodične sile, mijenjajući se prema harmonijskom zakonu:

f 0 – amplituda prisilne sile

Frekvencija prisilne sile

Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile.

Rezonancija je pojava naglog povećanja amplitude pri frekvenciji prisilnih oscilacija bliskoj vlastitoj.

Rezonantna frekvencija

84. Amplituda – frekvencijske karakteristike. U krugu s visokim faktorom kvalitete, amplituda rezonancije je velika, ali širina pojasa je mala, au krugu s oštrim faktorom kvalitete, amplituda je mala, ali je širina pojasa velika u krugovima gdje je koeficijent prigušenja blizu kritično.

Cilj rada. Upoznati se s glavnim karakteristikama neprigušenih i prigušenih slobodnih mehaničkih vibracija.

Zadatak. Odrediti period vlastitih oscilacija opružnog njihala; provjeriti linearnost ovisnosti kvadrata perioda o masi; odrediti krutost opruge; odrediti period prigušenih oscilacija i logaritamski dekrement prigušenja opružnog njihala.

Uređaji i pribor. Stativ s vagom, opruga, set utega raznih težina, posuda s vodom, štoperica.

1. Slobodni titraji opružnog njihala. Opće informacije

Oscilacije su procesi u kojima se periodički mijenja jedna ili više fizikalnih veličina koje opisuju te procese. Oscilacije se mogu opisati raznim periodičkim funkcijama vremena. Najjednostavnije oscilacije su harmonijske oscilacije - takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina (primjerice, pomak tereta na opruzi) mijenja tijekom vremena prema kosinusnom ili sinusnom zakonu. Oscilacije koje nastaju nakon djelovanja vanjske kratkotrajne sile na sustav nazivaju se slobodnima.

Ako se teret ukloni iz ravnotežnog položaja otklonom za iznos x, tada raste elastična sila: F kontrolirati = – kx 2= – k(x 1 + x). Dolaskom u položaj ravnoteže, teret će imati brzinu različitu od nule i proći će položaj ravnoteže inercijom. Kako se kretanje nastavlja, odstupanje od ravnotežnog položaja će se povećavati, što će dovesti do povećanja elastične sile, a proces će se ponavljati u suprotnom smjeru. Dakle, oscilatorno gibanje sustava nastaje zbog dva razloga: 1) želje tijela da se vrati u ravnotežni položaj i 2) inercije, koja ne dopušta tijelu da se trenutno zaustavi u ravnotežnom položaju. U nedostatku sila trenja, oscilacije bi se nastavile neograničeno dugo. Prisutnost sila trenja dovodi do činjenice da se dio energije oscilacija pretvara u unutarnju energiju i oscilacije postupno izumiru. Takve oscilacije nazivamo prigušenim.

Neprigušene slobodne oscilacije

Najprije razmotrimo oscilacije opružnog njihala na koje ne djeluju sile trenja - neprigušene slobodne oscilacije. Prema drugom Newtonovom zakonu, uzimajući u obzir predznake projekcija na X os

Iz uvjeta ravnoteže, pomak uzrokovan gravitacijom: . Zamjenom u jednadžbu (1) dobivamo: Diferencijalnu" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferencijalnu jednadžbu

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Ova se jednadžba zove harmonijska jednadžba. Najveće odstupanje tereta od ravnotežnog položaja A 0 naziva se amplituda oscilacija. Poziva se količina u argumentu kosinusa faza oscilacije. Konstanta φ0 predstavlja vrijednost faze u početnom trenutku ( t= 0) i zove se početna faza oscilacija. Veličina

je li kružno ili ciklično? prirodna frekvencija povezan sa period oscilacije T omjer https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Prigušene oscilacije

Promotrimo slobodne oscilacije opružnog njihala u prisutnosti sile trenja (prigušene oscilacije). U najjednostavnijem, a ujedno i najčešćem slučaju, sila trenja proporcionalna je brzini υ pokreti:

Ftr = – rυ, (6)

Gdje r– konstanta koja se naziva koeficijent otpora. Znak minus pokazuje da su sila trenja i brzina suprotnih smjerova. Jednadžba drugog Newtonovog zakona u projekciji na X os u prisutnosti elastične sile i sile trenja

ma = – kx – rυ. (7)

Ova diferencijalna jednadžba uzimajući u obzir υ = dx/ dt može se zapisati

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – koeficijent prigušenja; – ciklička frekvencija slobodnog neprigušene oscilacije danog oscilatornog sustava, tj. u odsutnosti gubitaka energije (β = 0). Jednadžba (8) naziva se diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija.

Da bi se dobila ovisnost pomaka x s vremena t, potrebno je riješiti diferencijalnu jednadžbu (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

Gdje A 0 i φ0 – početna amplituda i početna faza oscilacija;
– ciklička frekvencija prigušenih oscilacija na ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

Na grafu funkcije (9) Sl. 2, isprekidane linije prikazuju promjenu amplitude (10) prigušenih oscilacija.

Riža. 2. Ovisnost pomaka x opterećenje s vremena na vrijeme t u prisutnosti sile trenja

Za kvantitativne karakteristike stupanj slabljenja oscilacija uvodi vrijednost jednaku omjeru amplituda koje se razlikuju za period, a naziva se dekrement prigušenja:

. (11)

Često se koristi prirodni logaritam ove količine. Ovaj parametar se zove logaritamski dekrement prigušenja:

Amplituda se smanjuje u n puta, onda iz jednadžbe (10) slijedi da

Odavde za logaritamski dekrement dobivamo izraz

Ako tijekom vremena t" amplituda se smanjuje e jednom ( e= 2,71 – baza prirodni logaritam), tada će sustav imati vremena za dovršetak broja oscilacija

Riža. 3. Dijagram instalacije

Instalacija se sastoji od stativa 1 sa mjernom skalom 2 . Na tronožac s oprugom 3 tereti su suspendirani 4 raznih masa. Pri proučavanju prigušenih oscilacija u zadatku 2 koristi se prsten za pojačavanje prigušenja 5 , koji se stavlja u prozirnu posudu 6 sa vodom.

U zadatku 1 (izvodi se bez posude s vodom i prstena), u prvoj aproksimaciji, prigušenje oscilacija može se zanemariti i smatrati harmoničkim. Kao što slijedi iz formule (5) za harmonijske oscilacije, ovisnost T 2 = f (m) – linearna, iz koje se može odrediti koeficijent krutosti opruge k prema formuli

gdje je nagib ravne linije T 2 od m.

Vježba 1. Određivanje ovisnosti perioda vlastitih oscilacija opružnog njihala o masi tereta.

1. Odredi period titranja opružnog njihala pri različita značenja masa tereta m. Da biste to učinili, koristite štopericu za svaku vrijednost m izmjerite vrijeme tri puta t puna n fluktuacije ( n≥10) i prema prosječnoj vremenskoj vrijednosti https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Unesite rezultate u tablicu 1.

2. Na temelju rezultata mjerenja konstruirajte graf kvadrata perioda T2 prema težini m. Iz nagib grafički za određivanje krutosti opruge k prema formuli (16).

stol 1

Rezultati mjerenja za određivanje perioda vlastitih oscilacija

3. Dodatni zadatak. Procijenite slučajni, ukupni i relativni ε t pogreške mjerenja vremena za vrijednost mase m = 400 g.

Zadatak 2. Određivanje logaritamskog dekrementa prigušenja opružnog njihala.

1. Objesite masu na oprugu m= 400 g s prstenom i staviti u posudu s vodom tako da prsten bude potpuno uronjen u vodu. Odredite period prigušenih oscilacija za dana vrijednost m prema metodi navedenoj u stavku 1. zadatka 1. Mjerenja ponovite tri puta i rezultate upišite u lijevu stranu tablice. 2.

2. Uklonite njihalo iz ravnotežnog položaja i bilježeći početnu amplitudu na ravnalu izmjerite vrijeme t" , pri čemu se amplituda oscilacija smanjuje 2 puta. Izvršite mjerenja tri puta. Unesite rezultate desna strana stol 2.

tablica 2

Rezultati mjerenja

za određivanje logaritamskog dekrementa prigušenja

Mjerenje perioda titranja	Mjerenje vremena smanjujući amplitudu za 2 puta

4. Kontrolna pitanja i zadaci

1. Koje se titraje nazivaju harmoničkim? Definirajte njihove glavne karakteristike.

2. Koje se titraje nazivaju prigušenim? Definirajte njihove glavne karakteristike.

3. Objasnite fizičko značenje logaritamski dekrement slabljenja i koeficijent slabljenja.

4. Izvedite vremensku ovisnost brzine i akceleracije tereta na opruzi koja izvodi harmonijske oscilacije. Navedite grafikone i analizirajte.

5. Izvedite vremensku ovisnost kinetičke, potencijalne i ukupne energije za teret koji oscilira na opruzi. Navedite grafikone i analizirajte.

6. Dobiti diferencijalnu jednadžbu slobodnih vibracija i njegovu odluku.

7. Konstruirajte grafove harmonijskih oscilacija s početnim fazama π/2 i π/3.

8. Unutar kojih granica može varirati logaritamski dekrement prigušenja?

9. Navedite diferencijalnu jednadžbu prigušenih oscilacija opružnog njihala i njezino rješenje.

10. Po kojem zakonu se mijenja amplituda prigušenih oscilacija? Jesu li prigušene oscilacije periodične?

11. Koje se gibanje naziva aperiodskim? Pod kojim uvjetima se promatra?

12. Kolika je vlastita frekvencija oscilacija? Kako ona ovisi o masi titrajnog tijela kod njihala s oprugom?

13. Zašto je frekvencija prigušenih oscilacija manja od frekvencije vlastitih oscilacija sustava?

14. Bakrena kuglica ovješena o oprugu izvodi vertikalne oscilacije. Kako će se promijeniti period titranja ako se umjesto bakrene kuglice na oprugu objesi aluminijska kuglica istog polumjera?

15. Pri kojoj vrijednosti logaritamskog dekrementa prigušenja oscilacije brže jenjavaju: pri θ1 = 0,25 ili θ2 = 0,5? Navedite grafove tih prigušenih oscilacija.

Bibliografija

1. Trofimova T. I. Tečaj fizike / . – 11. izd. – M.: Akademija, 2006. – 560 str.

2. Saveljev I. V. Dobro opća fizika: u 3 sveska / . - St. Petersburg. : Lan, 2008. – T. 1. – 432 str.

3. Ahmatov A. S.. Laboratorijska radionica u fizici / .
– M.: Viša. škola, 1980. – 359 str.

Opružno njihalo je oscilatorni sustav koji se sastoji od materijalna točka masa t i opruge. Razmotrimo horizontalno opružno njihalo (slika 13.12, a). Sastoji se od masivnog tijela izbušenog po sredini i postavljenog na horizontalnu šipku po kojoj može kliziti bez trenja (idealan oscilirajući sustav). Šipka je pričvršćena između dva okomita nosača. Za tijelo je na jednom kraju pričvršćena bestežinska opruga. Njegov drugi kraj pričvršćen je za nosač, koji u najjednostavnijem slučaju miruje u odnosu na inercijski referentni okvir u kojem visak oscilira. U početku opruga nije deformirana, a tijelo se nalazi u ravnotežnom položaju C. Ako se rastezanjem ili stiskanjem opruge tijelo izvede iz ravnotežnog položaja, tada će na njega početi djelovati elastična sila iz strana deformirane opruge, uvijek usmjerena prema ravnotežnom položaju. Stisnimo oprugu pomičući tijelo u položaj A i otpustimo \((\upsilon_0=0).\) Pod djelovanjem elastične sile ono će se početi ubrzano gibati. U ovom slučaju, u položaju A tijelo je pod utjecajem maksimalna snaga elastičnost, budući da je ovdje apsolutno istezanje x m opruge najveće. Stoga je u ovom položaju ubrzanje maksimalno. Kako se tijelo giba prema ravnotežnom položaju, smanjuje se apsolutno izduženje opruge, a posljedično, smanjuje se i ubrzanje koje stvara elastična sila. Ali budući da je akceleracija tijekom određenog gibanja suusmjerena s brzinom, brzina njihala raste iu ravnotežnom položaju bit će najveća. Postigavši ​​ravnotežni položaj C, tijelo se neće zaustaviti (iako u tom položaju opruga nije deformirana i elastična sila je nula), ali će se brzinom kretati dalje inercijom, istežući oprugu. Elastična sila koja se javlja sada je usmjerena protiv kretanja tijela i usporava ga. U točki D brzina tijela bit će jednaka nuli, a ubrzanje maksimalno, tijelo će se na trenutak zaustaviti, nakon čega će se pod utjecajem elastične sile početi gibati u obrnuta strana, do ravnotežnog položaja. Prošavši ga ponovno po inerciji, tijelo će, stisnuvši oprugu i usporavajući kretanje, doći do točke A (budući da nema trenja), tj. dovršit će potpuni zamah. Nakon toga, pokret tijela će se ponoviti u opisanom nizu. Dakle, razlozi slobodnih oscilacija opružnog njihala su djelovanje elastične sile koja nastaje deformacijom opruge i tromost tijela.

Prema Hookeovom zakonu \(~F_x=-kx.\) Prema drugom Newtonovom zakonu \(~F_x = ma_x.\) Dakle, \(~ma_x = -kx.\) Stoga

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) ili \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - dinamička jednadžba kretanje opružnog njihala.

Vidimo da je akceleracija izravno proporcionalna miješanju i usmjerena suprotno od njega. Uspoređujući dobivenu jednadžbu s jednadžbom harmonijskih oscilacija \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) vidimo da opružno njihalo izvodi harmonijske oscilacije s cikličkom frekvencijom \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Budući da \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) tada

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) je period titranja opružnog njihala.

Pomoću iste formule možete izračunati period titranja okomitog opružnog njihala (slika 13.12. b). Doista, u ravnotežnom položaju, zbog djelovanja sile teže, opruga je već rastegnuta za određeni iznos x 0, koji je određen relacijom \(~mg=kx_0.\) Kada se njihalo pomakne iz ravnotežnog položaja O na x projekcija elastične sile \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) i prema drugom Newtonovom zakonu \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Zamjenjujući ovdje vrijednost \(~kx_0 =mg,\) dobivamo jednadžbu gibanja njihala \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) koja koincidira s jednadžbom gibanja horizontalnog njihala.

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u Srednja škola: Teorija. Zadaci. Testovi: Udžbenik. dodatak za ustanove općeg obrazovanja. okoliš, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; ur. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 377-378.