Десяткові дроби. Як вирішувати десяткові дроби Що таке «дроб»

З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.

Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.

Приклади десяткових дробів:

Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому їм потрібна власна форма записи? На це є як мінімум три причини:

1. Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
2. Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
3. Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.

Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)

Правила запису десяткових дробів

Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:

Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (точка або кома) називається десятковою точкою.

Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.

На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.

Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:

1. Виписати окремо чисельник;
2. Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
3. Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.

Буває, що на другому кроці чисельник не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.

На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:

Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:

Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.

Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».

Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.

Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.

Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.

Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.

Перехід від звичайних дробів до десяткових

Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:

Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.

Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?

Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.

Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:

Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.

Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:

1. Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
2. Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
3. Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.

Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.

І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.

Завдання. Перевести ці числові дроби в десяткові:

Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:

Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.

Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:

Перехід від десяткових дробів до звичайних

Зворотне перетворення – від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.

Алгоритм перекладу наступний:

1. Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
2. Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
3. Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.

Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі числа (це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.

У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.

Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:

Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб представний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.

Онлайн калькулятор дробів дозволяє проводити найпростіші арифметичні операції з дробами: додавання дробів, віднімання дробів, множення дробів, поділ дробів. Щоб виконати обчислення, заповніть поля, які відповідають чисельникам і знаменникам двох дробів.

Дробами в математиціназивається число, що становить частина одиниці чи кілька її частин.

Звичайний дріб записується у вигляді двох чисел, розділених зазвичай горизонтальною рисою, що означає знак розподілу. Число, що розташовується над межею, називається чисельником. Число, що знаходиться під межею, називається знаменником. Знаменник дробу показує кількість рівних частин, на яку розділене ціле, а чисельник дробу – кількість взятих цих частин цілого.

Дроби бувають правильними та неправильними.

• Правильним називається дріб, у якого чисельник менший за знаменник.
• Неправильний дріб – якщо у дробу чисельник більший за знаменник.

Змішаним називається дріб, записаний у вигляді цілого числа та правильного дробу, і розуміється як сума цього числа та дробової частини. Відповідно, дріб, що не має цілу частину, називається простим дробом. Будь-який змішаний дріб може бути перетворений на неправильний простий дріб.

Для того, щоб перевести змішаний дріб у звичайний, необхідно до чисельника дробу додати добуток цілої частини та знаменника:

Як перевести звичайний дріб у змішану

Для того, щоб перевести звичайний дріб у змішану, необхідно:

1. Поділити чисельник дробу на його знаменник
2. Результат від поділу буде цілою частиною
3. Залишок відділення буде чисельником

Як перевести звичайний дріб у десятковий

А, щоб перевести звичайну дріб у десятковий, треба розділити її чисельник на знаменник.

Для того, щоб перевести десятковий дріб у звичайний, необхідно:

Як перевести дріб у відсотки

Для того, щоб перевести звичайний або змішаний дріб у відсотки, необхідно перевести його в десятковий дріб і помножити на 100.

Як перевести відсотки в дріб

Для того, щоб перевести відсотки в дріб, необхідно отримати з відсотків десятковий дріб (розділивши на 100), потім отриманий десятковий дріб перевести у звичайний.

Складання дробів

Алгоритм дій при складанні двох дробів такий:

1. Виконати додавання дробів шляхом складання їх чисельників.

Віднімання дробів

Алгоритм дій при відніманні двох дробів:

1. Перевести змішані дроби в звичайні (позбутися цілої частини).
2. Привести дроби до спільного знаменника. Для цього потрібно чисельник та знаменник першого дробу помножити на знаменник другого дробу, а чисельник та знаменник другого дробу помножити на знаменник першого дробу.
3. Відняти один дріб з іншого шляхом віднімання чисельника другого дробу з чисельника першого.
4. Знайти найбільший спільний дільник (НДД) чисельника та знаменника та скоротити дріб, поділивши чисельник та знаменник на НОД.
5. Якщо чисельник підсумкового дробу більший за знаменник, то виділити цілу частину.

Розмноження дробів

Алгоритм дій при множенні двох дробів:

1. Перевести змішані дроби в звичайні (позбутися цілої частини).
2. Знайти найбільший спільний дільник (НДД) чисельника та знаменника та скоротити дріб, поділивши чисельник та знаменник на НОД.
3. Якщо чисельник підсумкового дробу більший за знаменник, то виділити цілу частину.

Розподіл дробів

Алгоритм дій при розподілі двох дробів:

1. Перевести змішані дроби в звичайні (позбутися цілої частини).
2. Щоб зробити розподіл дробів, потрібно перетворити другий дріб, помінявши місцями його чисельник і знаменник, та був зробити множення дробів.
3. Помножити чисельник першого дробу на чисельник другого дробу та знаменник першого дробу на знаменник другого.
4. Знайти найбільший спільний дільник (НДД) чисельника та знаменника та скоротити дріб, поділивши чисельник та знаменник на НОД.
5. Якщо чисельник підсумкового дробу більший за знаменник, то виділити цілу частину.

Онлайн калькулятори та конвертери:

Ділити десяткові дроби в стовпчик трохи складніше, ніж цілі числа через плаваючу точку, ще завдання ускладнює необхідність поділу залишку. Тому якщо ви хочете спростити цей процес або перевірити свій результат, можна скористатися онлайн-калькулятором, який не тільки виведе відповідь, але покаже всю процедуру рішення.

Підходящих під цю мету онлайн-сервісів існує велика кількість, проте практично всі вони мало чим відрізняються один від одного. Сьогодні ми підготували для вас два різні варіанти обчислення, а ви, ознайомившись з інструкціями, виберіть той, який буде найбільш підходящим.

Спосіб 1: OnlineMSchool

Сайт OnlineMSchool був розроблений для вивчення математики. Зараз на ньому присутня не лише безліч корисної інформації, уроків та завдань, а й вбудовані калькулятори, один з яких ми сьогодні задіємо. Розподіл у стовпчик десяткових дробів у ньому відбувається так:

1. Відкрийте головну сторінку сайту OnlineMSchool та перейдіть до розділу «Калькулятори».



2. Внизу ви знайдете послуги для теорії чисел. Виберіть там «Поділ у стовпчик»або «Поділ у стовпчик із залишком».



3. В першу чергу зверніть увагу на інструкцію з використання, наведену у відповідній вкладці. Рекомендуємо ознайомитися з нею.



4. Тепер поверніться до «Калькулятор». Тут вам слід ще раз переконатися, що вибрано правильну операцію. Якщо ні, змініть її, скориставшись спливаючою меню.



5. Введіть два числа за допомогою точки для позначення цілої частини дробу, а також позначте галочкою пункт, якщо необхідно ділити залишок.



6. Щоб отримати рішення, клацніть лівою кнопкою миші на знаку рівно.



7. Вам буде надано відповідь, де детально розписано кожен крок отримання кінцевого числа. Ознайомтеся з ним і можете переходити до таких обчислень.

Перед тим, як ділити залишок, уважно вивчіть умову завдання. Часто цього робити не потрібно, інакше відповідь можуть вважати неправильною.

За сім простих кроків ми змогли поділити десяткові дроби в стовпчик за допомогою невеликого інструменту на сайті OnlineMSchool.

Спосіб 2: Rytex

Онлайн-сервіс Rytex також допомагає у вивченні математики, надаючи приклади та теорію. Однак сьогодні нас цікавить присутній у ньому калькулятор, перехід до роботи з яким здійснюється так:

Як бачите, розглянуті нами послуги практично не відрізняються між собою, хіба що тільки зовнішнім виглядом. Тому можна зробити висновок – немає різниці, який веб-ресурс використовувати, всі калькулятори вважають правильно і надають розгорнуту відповідь на ваш приклад.

Розподіл на десятковий дріб зводиться до поділу на натуральне число.

Правило розподілу числа на десятковий дріб

Щоб розділити число на десятковий дріб, треба і в ділимому, і в комі перенести на стільки цифр вправо, скільки їх у дільнику після коми. Після цього виконати поділ на натуральне число.

приклади.

Виконати поділ на десятковий дріб:

Щоб розділити на десятковий дріб, потрібно і в ділимому, і в дільнику перенести ком на стільки цифр вправо, скільки їх після коми в дільнику, тобто на один знак. Отримуємо: 35,1: 1,8 = 351: 18. Тепер виконуємо поділ куточком. У результаті одержуємо: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Щоб виконати розподіл десяткових дробів, і в ділимому, і в дільнику переносимо кому вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Тепер виконуємо натуральне число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Щоб виконати розподіл на десятковий дріб натурального числа, треба і в діленому, і в дільнику перенести на стільки знаків вправо, скільки їх у дільнику після коми. Оскільки в дільнику в цьому випадку кома не пишеться, брак знаків заповнюємо нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Ділимо куточком отримані натуральні числа: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40.

4) 0,1218: 0,058

Щоб розділити один десятковий дріб на інший, переносимо кому вправо і в поділюваному, і в дільнику на стільки знаків, скільки їх у дільнику після коми, тобто на три знаки. Таким чином, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Розподіл на десятковий дріб замінили розподілом на натуральне число. Ділимо куточком. Маємо: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Лінійне рівняння з десятковими дробами вирішується так само, як і безліч інших рівнянь, проте їх вирішення потрібно починати зі скорочення рівняння та позбавлення від десяткових дробів.

Допустимо, дано рівняння наступного виду:

Це рівняння можна вирішити двома різними способами.

Спосіб №1:

Рішення починаємо зі спрощення рівняння за допомогою відкриття дужок, а оскільки перед дужками у нас стоїть число, то множимо це число на кожен член у дужках:

Зараз наше рівняння має лінійний вигляд, завдяки чому ми виробляємо перенесення невідомих в один бік, цілий в інший:

\[ - 7,2x + 5,2x = 1,7 - 14,4 - 4,3\]

Ділимо 2 частини на число перед \

\[ - 2x = - 17\]

Відповідь: \

Спосіб №2:

У цьому способі помножимо ліву та праву частини на 10:

Це лінійне рівняння, яке вирішується за аналогією з 1 способом:

\[ - 72x + 52x = 17 - 144 - 43\]

\[ - 20x = - 170\]

Відповідь: \

Де можна вирішити десяткові рівняння онлайн?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто внести свої дані в вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.