короткий зміст інших презентацій

"Геометрія "Площа трапеції"" - Подумай. Площа трапеції. AH =. 1. AD = 4 см. Підстава. Знайдіть площу трапеції ABCD. Знайдіть площу прямокутної трапеції. Геометрія. Повторити підтвердження теореми. Розбивають багатокутник на трикутники. Завдання із рішенням.

"Визначення осьової симетрії" - Побудуйте точки А" та В". Осьова симетрія. Фігура. Пропущені координати. Побудова відрізка. Відрізок. Вісь симетрії. Симетрія у поезії. Побудова трикутника. Крапки, що лежать на одному перпендикулярі. Побудова точки. Симетрія. Трикутники. Побудуйте трикутники. Зобразіть точку. Побудуйте крапки. Фігури, що мають одну віссю симетрії. Пряма. Фігури, що мають дві осі симетрії. Симетрія у природі.

«Чотирикутники, їх ознаки та властивості» - Тести. Кути ромба. Прямокутник, у якого усі сторони рівні. Види чотирикутників. Ознайомити із видами чотирикутників. Чотирьохкутник, вершини якого знаходяться в серединах сторін. Чотирикутники. Чотирикутники, їх ознаки та властивості. Трапеція. Паралелограм. Властивості паралелограма. Діагоналі. З яких двох рівних трикутників можна скласти квадрат. Прямокутник. Квадрат. Види трапецій.

«Теорема про вписаний кут» - Вивчення нового матеріалу. Кола перетинаються. Відповідь. Актуалізація знань учнів. Перевір себе. Радіус кола. Правильну відповідь. Радіус кола дорівнює 4 см. Закріплення вивченого матеріалу. Гострий кут. Знайти кут між хордами. Трикутник. Теорема про вписаний вугілля. Поняття вписаного кута. Знайти кут між ними. Як називається кут із вершиною в центрі кола. Рішення. Актуалізація знань.

«Побудова дотичної до кола» - Окружність. Взаємне розташування прямої та кола. Окружність і пряма. Діаметр. Загальні точки. Хорд. Рішення. Коло та пряма мають одну загальну точку. Стосовно кола. Повторення. Теорема про відрізки дотичних.

«Геометрія «Подібні трикутники»» - Два трикутники називаються подібними. Значення синуса, косинуса та тангенсу для кутів 30 °, 45 °, 60 °. Знайти площу рівнобедреного прямокутного трикутника. Теорема про відношення площ таких трикутників. Подібні трикутники. Друга ознака подібності трикутників. Продовження бічних сторін. Значення синуса, косинуса та тангенсу. Пропорційні відрізки. Дві сторони трикутника з'єднали відрізком, непаралельним третій.

Цей розділ присвячений розробці векторного апарату геометрії. За допомогою векторів можна доводити теореми та вирішувати геометричні завдання. Приклади такого застосування векторів наведено у цьому розділі. Але вивчення векторів корисне ще й тому, що вони широко використовуються у фізиці для опису різних фізичних величин, таких, як швидкість, прискорення, сила.

Багато фізичних величин, наприклад сила, переміщення матеріальної точки, швидкість, характеризуються як своїм числовим значенням, а й напрямом у просторі. Такі фізичні величини називаються векторними величинами(або коротко векторами).

Розглянемо приклад. Нехай на тіло діє сила 8 Н. На малюнку силу зображують відрізком зі стрілкою (рис. 240). Стрілка вказує напрямок сили, а довжина відрізка відповідає у вибраному масштабі числовому значенню сили. Так, на малюнку 240 сила 1 Н зображена відрізком довжиною 0,6 см, тому сила 8 Н зображена відрізком довжиною 4,8 см.

Мал. 240

Відволікаючись від конкретних властивостей фізичних векторних величин ми приходимо до геометричного поняття вектора.

Розглянемо довільний відрізок. Його кінці називаються також граничними точками відрізка.

На відрізку можна вказати два напрямки: від однієї граничної точки до іншої та навпаки.

Щоб вибрати один із цих напрямків, одну граничну точку відрізка назвемо початком відрізка, а іншу - кінцем відрізкаі будемо вважати, що відрізок спрямований від початку до кінця.

Визначення

На малюнках вектор зображується відрізком зі стрілкою, яка показує напрямок вектора. Вектори позначають двома великими латинськими літерами зі стрілкою з них, наприклад . Перша буква означає початок вектора, друга - кінець (рис. 242).

Мал. 242

На малюнку 243, а зображені вектори точки А, С, Е – початку цих векторів, а В, D, F – їх кінці. Вектори часто позначають і однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею: (рис. 243, б).

Мал. 243

Для подальшого доцільно домовитись, що будь-яка точка площини також є вектором. В цьому випадку вектор називається нульовим. Початок нульового вектора збігається з його кінцем. На малюнку такий вектор зображується однією точкою. Якщо, наприклад, точка, що зображує нульовий вектор, позначена літерою М, цей нульовий вектор можна позначити так: (рис. 243, а). Нульовий вектор позначається символом На малюнку 243 вектори ненульові, а вектор нульовий.

Довжиною чи модулем ненульового вектора називається довжина відрізка АВ. Довжина вектора (вектора) позначається так: . Довжина нульового вектора вважається рівною нулю:

Довжини векторів, зображених на малюнках 243, а 243, 6, такі:

(кожна клітина малюнку 243 має бік, рівну одиниці виміру відрізків).

Рівність векторів

Перш ніж визначити визначення рівних векторів, звернімося до прикладу. Розглянемо рух тіла, при якому всі його точки рухаються з тією самою швидкістю і в тому самому напрямку.

Швидкість кожної точки М тіла є векторною величиною, тому її можна зобразити спрямованим відрізком, початок якого збігається з точкою М (рис. 244). Так як всі точки тіла рухаються з однією і тією ж швидкістю, то всі спрямовані відрізки, що зображають швидкості цих точок, мають один і той самий напрямок і їх довжини рівні.

Мал. 244

Цей приклад підказує нам, як визначити рівність векторів.

Попередньо введемо поняття колінеарних векторів.

Ненульові вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих; нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.

На малюнку 245 вектори (вектор нульовий) колінеарні, а вектори і не колінеарні.

Мал. 245

Якщо два ненульові вектори і колінеарні, то вони можуть бути спрямовані або однаково або протилежно. У першому випадку вектори і називаються співспрямованими, а у другому - протилежно спрямованими 1 .

Сонаправленность векторів і позначається так: Якщо вектори і протилежно спрямовані, це позначають так: На малюнку 245 зображені як сонаправленные, і протилежно спрямовані вектори:

Початок нульового вектора збігається з його кінцем, тому нульовий вектор не має певного напрямку. Інакше висловлюючись, будь-який напрям можна вважати напрямом нульового вектора. Умовимося вважати, що нульовий вектор направлений з будь-яким вектором. Отже, малюнку 245 тощо.

Ненульові колінеарні вектори мають властивості, які проілюстровані малюнку 246, а - в.




Мал. 246

Дамо тепер визначення рівних векторів.

Визначення

Таким чином, вектори і рівні, якщо . Рівність векторів і позначається так:

Відкладення вектора від цієї точки

Якщо точка А - початок вектора , то кажуть, що вектор відкладений від точки А(Рис. 247). Доведемо таке твердження:

від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору, і до того ж лише один.




Мал. 247

Справді, якщо - нульовий вектор, то вектором шуканим є вектор . Припустимо, що вектор ненульовий, а точки А та B – його початок і кінець. Проведемо через точку M пряму р, паралельну АВ (рис. 248; якщо M - точка прямої АВ, то як пряма р візьмемо саму пряму АВ). На прямий р відкладемо відрізки MN і MN", рівні відрізку АВ, і виберемо з векторів той, який направлений із вектором (на малюнку 248 вектор ). Цей вектор є шуканим вектором, рівним вектору . З побудови випливає, що такий вектор лише один.




Мал. 248

Зауваження

Рівні вектори, відкладені від різних точок, часто позначають однією й тією ж літерою. Так позначені, наприклад, рівні вектори швидкості різних точок на малюнку 244. Іноді про такі вектори говорять, що це той самий вектор, але відкладений від різних точок.

Практичні завдання

738. Позначте точки А, В і С, які не лежать на одній прямій. Накресліть усі ненульові вектори, початок та кінець яких збігаються з якимись двома з цих точок. Випишіть усі отримані вектори та вкажіть початок і кінець кожного вектора.

739. Вибравши відповідний масштаб, накресліть вектори, що зображують політ літака спочатку на 300 км на південь від міста А до В, а потім на 500 км на схід від міста до С. Потім накресліть вектор який зображує переміщення з початкової точки в кінцеву.

740. Накресліть вектори так, щоб:

741. Накресліть два неколлінеарні вектори і . Зобразіть кілька векторів: а) співспрямованих із вектором ; б) співспрямованих з вектором; в) протилежно спрямованих вектору; г) протилежно спрямованих вектору.

742. Накресліть два вектори: а) мають рівні довжини та неколінеарні; б) мають рівні довжини та співспрямовані; в) мають рівні довжини та протилежно спрямовані. У якому разі отримані вектори дорівнюють?

ВідповідьУ разі б).

Вектори можуть бути представлені графічно спрямованими відрізками. Довжина вибирається за певною шкалою, щоб позначити величину вектора , А напрямок відрізка представляє напрямок вектора . Наприклад, якщо ми приймемо, що 1 см становить 5 км/год, тоді північно-східний вітер зі швидкістю 15 км/год буде представлений спрямованим відрізком завдовжки 3 см, як показано на малюнку.

Вектор на площині це спрямований відрізок. Два вектори рівні якщо вони мають однакову величинуі напрямок.

Розглянемо вектор, намальований з точки A до точки B. Точка називається початковою точкоювектора, а точка B називається кінцевою точкою. Символічним позначенням цього вектора є (читається як “вектора AB”). Вектор також позначається жирними літерами, такими як U, V і W. Чотири вектори на малюнку зліва мають однакову довжину і напрямок. Тому вони представляють рівнівітери; тобто,

У контексті векторів ми застосовуємо = щоб позначити їхню рівність.

Довжина, або величинавиражається як ||. Для того, щоб визначити, чи рівні вектори, ми знаходимо їх величини та напрямки.

Приклад 1Вектори u, , w показані малюнку внизу. Доведіть, що u = w.

РішенняСпочатку ми знаходимо довжину кожного вектора з використанням формули відстані:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10 ,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10.
Звідси
|u| = | = | w |.
Вектори u, , і w, як видно з малюнка, начебто мають один і той же напрямок, але ми перевіримо їхній нахил. Якщо прямі, на яких вони знаходяться, мають однакові нахили, то вектори мають один і той же напрямок. Розраховуємо нахили:
Так як u, , і w мають рівні величини і те саме напрям,
u = = w.

Майте на увазі, що рівність векторів вимагає лише однакової величини та однакового напрямку, а не розташування в одному місці. На верхньому малюнку - приклад рівності векторів.

Припустимо, що людина робить 4 кроки на схід, а потім 3 кроки на північ. Тоді людина буде за 5 кроків від початкової точки в напрямку, показаному зліва. Вектор 4 одиниці довжиною і з напрямок праворуч представляє 4 кроки на схід і вектор 3 одиниці довжиною напрямок вгору представляє 3 кроки на північ. Сума двох цих векторів є вектор 5-ти кроків величини та у показаному напрямку. Сума також називається результуючим двох векторів.

Загалом, два ненульові вектори u і v можуть бути складені геометрично розташуванням початкової точки вектора v кінцеву точку вектора u, і потім знаходженням ветора, який має ту саму початкову точку, що і вектор u і ту саму кінцеву точку що вектор v, як показано малюнку внизу.

Сумою є вектор, представлений спрямованим відрізком з точки A вектора u кінцеву точку C вектора v. Таким чином, якщо u = і v = тоді
u + v = + =

Ми також можемо описати додавання векторів як спільне розміщення початкових точок векторів, побудовою паралелограма та знаходженням діагоналі паралелограма. (на малюнку внизу.) Це додавання іноді називається як правило паралелограма додавання векторів. Векторне додавання комутативно. Як показано на малюнку, обидва вектори u + v та v + u представлені одним і тим же спрямованим відрізком.

Якщо дві сили F 1 і F 2 діють на один об'єкт, результуючасила є сумою F 1 + F 2 цих двох окремих сил.

прикладДві сили 15 ньютонів і 25 ньютонів діють на один об'єкт перпендикулярно один одному. Знайдіть їх суму, або результуючу силу та кут, що вона утворює з більшою силою.

РішенняНамалюємо умову завдання, у разі - прямокутник, використовуючи v або для представлення результуючої. Щоб знайти її величину, використовуємо теорему Піфагора:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Тут | v | позначає довжину чи величину v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
Щоб знайти напрямок, відзначимо, що оскільки OAB є прямим кутом,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Використовуючи калькулятор, ми знаходимо θ, кут, який утворює велика сила з результуючою силою:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Результуюча має величину 29,2 і кут 31 з більшою силою.

Пілоти можуть коригувати напрямок їхнього польоту, якщо є бічний вітер. Вітер та швидкість літака можуть бути зображені як вітори.

Приклад 3. Швидкість літака та напрямок.Літак рухається по азимуту 100° зі швидкістю 190 км/год, тоді як швидкість вітру 48 км/год, яке азимут - 220°. Знайдіть абсолютну швидкість літака та напрямок його руху з урахуванням вітру.

РішенняСпершу зробимо малюнок. Вітер представлений і вектор швидкості літака є. Результуючий вектор швидкості є v, сума двох векторів. Кут θ між v і називається кут зносу .


Зверніть увагу, що величина COA = 100 ° - 40 ° = 60 °. Тоді величина CBA також дорівнює 60 ° (протилежні кути паралклограма рівні). Так як сума всіх кутів паралелограма дорівнює 360 ° і COB і OAB мають одну і ту ж величину, кожен має бути 120 °. за правилу косінусів у OAB, ми маємо
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Тоді, | v | дорівнює 218 км/год. Згідно правилу синусів , у тому самому трикутнику,
48 /sinθ = 218 /sin 120°,
або
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Тоді, θ = 11°, до найближчого цілого кута. Абсолютна швидкість дорівнює 218 км/год, і напрямок його руху з урахуванням вітру: 100° - 11°, або 89°.

Якщо нам заданий вектор w, ми можемо знайти два вектори u і v, сума яких є w. Вектори u та v називаються компонентами w і процес їх знаходження називається розкладанням , або подання вектора його векторними компонентами.

Коли ми розкладаємо вектор, ми шукаємо перпендикулярні компоненти. Дуже часто, однак, одна компонента буде паралельна осі x, і інша буде паралельна осі y. Тому вони часто називаються горизонтальними і вертикальними компоненти вектор. На малюнку внизу вектор w = розкладений як сума u = та v = .

Горизонтальна компонента w є u і вертикальна компонента – v.

Приклад 4Вектор має величину 130 і нахил 40° щодо горизонталі. Розкладіть вектор на горизонтальні та вертикальні компоненти.

РішенняСпочатку ми намалюємо малюнок з горизонтальними та вертикальними векторами u та v, чия сума є w.

З ABC, ми бачимо |u| і |v|, використовуючи визначення косинуса та синуса:
cos40° = |u|/130, або |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, чи |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Тоді, горизонтальна компонента w є 100 праворуч і вертикальна компонента w є 84 вгору.