Метод крамаря розв'язання систем лінійних рівнянь. Визначники третього порядку та системи лінійних рівнянь Алгоритм розв'язання рівнянь методом Крамера

Розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими

Використовуючи визначники 3-го порядку, рішення такої системи можна записати у такому вигляді, як й у системи двох рівнянь, тобто.

(2.4)

якщо 0. Тут

Це є правило Крамера рішення системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

приклад 2.3.Розв'язати систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера:

Рішення . Знаходимо визначник основної матриці системи

Оскільки 0, то для знаходження рішення системи можна застосувати правило Крамера, але попередньо обчислимо ще три визначники:

Перевірка:

Отже, рішення знайдено правильно. 

Правила Крамера, отримані для лінійних систем 2-го та 3-го порядку, наводять на думку, що такі ж правила можна сформулювати і для лінійних систем будь-якого порядку. Справді має місце

Теорема Крамера. Квадратна система лінійних рівнянь з відмінним від нуля визначником основної матриці системи (0) має одне і лише одне рішення і це рішення обчислюється за формулами

(2.5)

де  – визначник основної матриці,  i – визначник матриці, отриманої з основної, заміноюi-го стовпця стовпцем вільних членів.

Зазначимо, що якщо =0, то правило Крамера не застосовується. Це означає, що система або взагалі не має рішень, або має нескінченно багато рішень.

Сформулювавши теорему Крамера, природно виникає питання обчисленні визначників вищих порядків.

2.4. Визначники n-го порядку

Додатковим мінором M ijелемента a ijназивається визначник, що отримується з даного шляхом викреслення i-й рядки та j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням A ijелемента a ijназивається мінор цього елемента, взятого зі знаком (-1) i + j, тобто. A ij = (–1) i + j M ij .

Наприклад, знайдемо мінори та алгебраїчні доповнення елементів a 23 і a 31 визначника

Отримуємо



Використовуючи поняття алгебраїчного доповнення, можна сформулювати теорему про розкладання визначникаn-го порядку за рядком або стовпцем.

Теорема 2.1. Визначник матриціAдорівнює сумі творів всіх елементів деякого рядка (або стовпця) на їх додатки алгебри:

(2.6)

Ця теорема є основою одного з основних методів обчислення визначників, т.зв. способу зниження порядку. В результаті розкладання визначника n-го порядку за будь-яким рядком або стовпцем, виходить n визначників ( n-1)-го порядку. Щоб таких визначників було менше, доцільно вибирати той рядок чи стовпець, у якому найбільше нулів. Насправді формулу розкладання визначника зазвичай записують як:

тобто. алгебраїчні доповнення записують у явному вигляді через мінори.

Приклади 2.4.Обчислити визначники, попередньо розклавши їх за будь-яким рядком або стовпцем. Зазвичай у таких випадках вибирають такий стовпець або рядок, в якому найбільше нулів. Вибраний рядок або стовпець будемо позначати стрілкою.



2.5. Основні властивості визначників

Розкладаючи визначник по якомусь рядку або стовпцю, ми отримаємо n визначників ( n-1)-го порядку. Потім кожен із цих визначників ( n-1)-го порядку також можна розкласти на суму визначників ( n-2)-го порядку. Продовжуючи цей процес, можна дійти визначників 1-го порядку, тобто. до елементів матриці, визначник якої обчислюється. Так, для обчислення визначників 2-го порядку доведеться обчислити суму двох доданків, для визначників 3-го порядку – суму 6 доданків, для визначників 4-го порядку – 24 доданків. Число доданків різко зростатиме в міру збільшення порядку визначника. Це означає, що обчислення визначників дуже високих порядків стає досить трудомістким завданням, непосильним навіть ЕОМ. Однак обчислювати визначники можна й інакше, використовуючи властивості визначників.

Властивість 1 . Визначник не зміниться, якщо у ньому поміняти місцями рядки та стовпці, тобто. при транспонуванні матриці:

Ця властивість свідчить про рівноправність рядків і стовпців визначника. Інакше кажучи, будь-яке твердження про стовпці визначника справедливе і для його рядків і навпаки.

Властивість 2 . Визначник змінює знак при перестановці двох рядків (стовпців).

Слідство . Якщо визначник має два однакові рядки (стовпця), він дорівнює нулю.

Властивість 3 . Загальний множник всіх елементів у будь-якому рядку (стовпці) можна винести за знак визначника.

Наприклад,

Слідство . Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 4 . Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця), додати елементи іншого рядка (стовпця), помноженого на якесь число.

Наприклад,

Властивість 5 . Визначник твору матриць дорівнює добутку визначників матриць:

Практична робота

"Рішення систем лінійних рівнянь третього порядку методом Крамера"

Цілі роботи:

розширити уявлення про методи рішення СЛУ та відпрацювати алгоритм рішення СЛУ методом Крамору;

розвивати логічне мислення студентів, уміння знаходити раціональне розв'язання задачі;

виховувати у студентів акуратність та культуру письмового математичного мовлення при оформленні ними свого рішення.

Основний теоретичний матеріал.

Метод Крамер. Застосування систем лінійних рівнянь.

Задано систему N лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) з невідомими, коефіцієнтами при яких є елементи матриці , а вільними членами - числа

Перший індекс біля коефіцієнтів вказує на якому рівнянні знаходиться коефіцієнт, а другий - при якому з невідомим він знаходиться.

Якщо визначник матриці не дорівнює нулю

то система лінійних рівнянь алгебри має єдине рішення. Рішенням системи лінійних рівнянь алгебри називається така впорядкована сукупність чисел, яка при перетворює кожне з рівнянь системи в правильну рівність. Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю, то систему рівнянь називають однорідною. У випадку, коли деякі з них відмінні від нуля – неоднорідний Якщо система лінійних рівнянь алгебри має хоч одне рішення, то вона називається спільною, в іншому випадку - несумісною. Якщо рішення системи єдине, система лінійних рівнянь називається певної. У разі коли рішення спільної системи не єдине, систему рівнянь називають невизначеною. Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними (або рівносильними), якщо всі рішення однієї системи є рішеннями другої та навпаки. Еквівалентні (або рівносильні) системи одержуємо за допомогою еквівалентних перетворень.

Еквівалентні перетворення СЛАУ

1) перестановка місцями рівнянь;

2) множення (чи розподіл) рівнянь на відмінне від нуля число;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне, відмінне від нуля число.

Рішення СЛАУ можна знайти різними способами, наприклад за формулами Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера. Якщо визначник системи лінійних рівнянь алгебри з невідомими відмінний від нуля то ця система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами Крамера: - визначники, утворені із заміною -го стовпця, стовпцем із вільних членів.

Якщо , а хоча один із відмінний від нуля, то СЛАУ рішень немає. Якщо ж , то СЛАУ має багато рішень.

Дано систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. Вирішити систему методом Крамера

Рішення.

Знайдемо визначник матриці коефіцієнтів при невідомих

Оскільки , то задана система рівнянь спільна і має єдине рішення. Обчислимо визначники:

За формулами Крамера знаходимо невідомі

Отже єдине рішення системи.

Дана система чотирьох лінійних рівнянь алгебри. Вирішити систему методом Крамера.

Знайдемо визначник матриці коефіцієнтів за невідомих. Для цього розкладемо його по першому рядку.

Знайдемо складові визначника:

Підставимо знайдені значення в визначник

Детермінант, отже система рівнянь спільна і має єдине рішення. Обчислимо визначники за формулами Крамера:

Критерії оцінювання:

Робота оцінюється на «3», якщо: самостійно повністю і правильно вирішена одна із систем.

Робота оцінюється на «4», якщо: самостійно повністю і правильно вирішені будь-які дві системи.

Робота оцінюється на «5», якщо: самостійно повністю і правильно вирішено три системи.

Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.

Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.

Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).

Визначники

виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:

;

Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Згідно теоремі Крамерамаємо:

Отже, рішення системи (2):

онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь

Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:

Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення

(Система спільна та визначена)

Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень

(Система спільна та невизначена)

** ,

тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.

Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має

(Система несумісна)

Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система рівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера

Нехай дана система

На підставі теореми Крамера

………….
,

де
-

визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:

приклад 2.

Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.

приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, рішення системи – (2; -1; 1).

На початок сторінки

Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом

Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.

Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих

Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.

У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостей будь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви якийсь новий матеріал або пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.

Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.

Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Знаходимо визначники при невідомих

У § 3.3 були показані обмеження, що виникають при стеженні за сигналами частоти, що змінюється за допомогою системи другого порядку. Розглянемо тепер можливість пом'якшення деяких із цих обмежень шляхом введення в систему другого інтегратора. Виявляється, що процес захоплення для системи третього порядку менш стійкий, ніж для системи другого порядку, але за допомогою другого інтегратора можна розширити діапазон стеження за системою, яка в початковий момент була вже захоплена. Передатна функція фільтра тепер має вигляд

і з (3.1) випливає:

Після підстановки цей вираз наводиться до вигляду

Нормуючи та вводячи позначення отримаємо

Звичайний метод фазової площини не застосовується до диференціальних рівнянь третього порядку внаслідок того, що в цьому випадку є три початкові умови, що відповідають трьом змінним: фазі, частоті та швидкості зміни частоти (у механічних системах - зміщення, швидкості та прискорення). У принципі траєкторії, що визначаються рівнянням третього порядку, можна було б уявити у тривимірному просторі. Будь-яка спроба спроектувати ці траєкторії для J безлічі початкових умов на площину призвела б до такої заплутаної діаграми, що з неї було б неможливо зробити будь-які загальні висновки.

З іншого боку, якщо обмежитися однією сукупністю початкових умов, можна отримати проекцію траєкторії на площину . Особливе значення представляє наступна сукупність початкових умов: Іншими словами, система в початковий момент захоплена, так що помилки по частоті та фазі дорівнюють нулю, коли опорна частота починає лінійно змінюватися.

Легко змінити структуру аналогового обчислювального пристрою, щоб врахувати запровадження другого інтегратора.

Мал. 3.19. Проекції траєкторій у фазовому просторі для петлі третього порядку

(Див. скан)

На рис. 3.19 зображено низку траєкторій, спроектованих на площину. У всіх розглянутих випадках так що. У гіпотетичному тривимірному «фазовому просторі» траєкторії починаються в точці та закінчуються на осі

На рис. 3.19, а показано поведінку системи другого порядку за таких самих початкових умов. Остаточне, або що встановилося, значення фази так само, як було показано в § 3.3. Введення другого інтегратора призводить до зменшення встановленої помилки по фазі до нуля тим швидше, чим більше. 3.19 ж). Нарешті, система стає нестійкою.

Поліпшення, що отримується шляхом збільшення порядку системи, ілюструється на рис. 3.20. Тут як і раніше, але . У § 3.3 було показано, що за такої чи більшої швидкості лінійної зміни частоти система не могла здійснювати стеження. Мал. 3.20, а підтверджує цю обставину. З іншого боку, навіть при найменшому ступені впливу другого інтегратора виходить нульова помилка, що встановилася по фазі. Найбільше миттєве значення фазового неузгодженості зменшується зі збільшенням коефіцієнта але за система знову робиться нестійкою.

Аналогічні особливості помітні на рис. 3.21-3.23, за винятком тієї обставини, що при зростанні відносини для підтримки системи в стані захоплення потрібні всі зростаючі значення коефіцієнта Зрештою при наближенні відношення до 2 або необхідно, щоб було близько 1/2. Але із рис. 3.19, ж - 3.23, видно, що при цьому значенні система нестійка. Діапазон значень коефіцієнта у яких система залишається може захоплення залежно від відношення представлений на рис. 3.24-3.26 при значення відповідно. Заштрихована область допустимих значень коефіцієнта Видно, що при лінійній зміні частоти введення системи третього порядку дозволило розширити діапазон, при якому виходить стеження, приблизно

Мал. 3.20. Проекції траєкторій у фазовому просторі для петлі третього порядку

(Див. скан)

Мал. 3.21. Проекції траєкторій у фазовому просторі для петлі третього порядку

(Див. скан)

Мал. 3.22. Проекції траєкторій у фазовому просторі для петлі третього порядку

(Див. скан)

Мал. 3.23. Проекції траєкторій у фазовому просторі для петлі третього порядку

(Див. скан)

Мал. 3.24. Область стану захоплення системи третього порядку

Мал. 3.25. Область стану захоплення системи третього порядку

Мал. 3.26. Область стану захоплення системи третього порядку

вдвічі більше в порівнянні з системою другого порядку при і навіть ще більше при менших значеннях

Можна теоретично пояснити коливальний характер зміни коефіцієнта b при його значення близько або більше 1/2. Продиференціювавши рівняння (3.41), отримаємо

КОСТРОМСЬКА ФІЛІЯ ВІЙСЬКОВОГО УНІВЕРСИТЕТУ РХБ ЗАХИСТУ

Кафедра "Автоматизації управління військами"

Тільки для викладачів

"Затверджую"

Начальник кафедри №9

полковник ЯКОВЛЄВ А.Б.

«____»______________ 2004 р.

доцент О.І.СМИРНОВА

"ВИЗНАЧНИКИ.

РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ"

ЛЕКЦІЯ №2/1

Обговорено на засіданні кафедри №9

«____»___________ 2004р.

Протокол № ___________

Кострома, 2004.

Вступ

1. Визначники другого та третього порядку.

2. Властивості визначників. Теорема розкладання.

3. Теорема Крамера.

Висновок

Література

1. В.Є. Шнейдер та інших., короткий курс вищої математики, том I, гол. 2, п.1.

2. В.С. Щіпачов, Вища математика, гл.10, п.2.

ВСТУП

На лекції розглядаються визначники другого та третього порядків, їх властивості. Також теорема Крамера, що дозволяє вирішувати системи лінійних рівнянь з допомогою визначників. Визначники використовуються також у темі "Векторна алгебра" при обчисленні векторного твору векторів.

Перше навчальне питання ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО І ТРЕТЬОГО

ПОРЯДКА

Розглянемо таблицю із чотирьох чисел виду

Числа в таблиці позначені літерою із двома індексами. Перший індекс вказує номер рядка, другий номер стовпця.

ВИЗНАЧЕННЯ 1.Визначником другого порядку називаютьвиразвиду:

(1)

Числа а 11, …, а 22 називають елеметами і визначниками.

Діагональ, утворена елементами а 11 ; а 22 називається головною, а діагональ, утворена елементами а 12 ; а 21 -плічної.

Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різниці творів елементів головної та побічної діагоналей.

Зауважимо, що у відповіді виходить число.

ПРИКЛАДИ.Обчислити:

Розглянемо тепер таблицю з дев'яти чисел, записаних у три рядки та три стовпці:

ВИЗНАЧЕННЯ 2. Визначником третього порядку називається вираз виду:

Елементи а 11; а 22 ; а 33 - утворюють головну діагональ.

Числа а 13; а 22 ; а 31 – утворюють побічну діагональ.

Зобразимо, схематично, як утворюються доданки з плюсом і мінусом:

" + " " – "

З плюсом входять: добуток елементів на головній діагоналі, решта доданків є добутком елементів, розташованих у вершинах трикутників з основами, паралельними головній діагоналі.

Доданки з мінусом утворюються за тією ж схемою щодо побічної діагоналі.

Це правило обчислення визначника третього порядку називають

п р а в і л о м т р е угольняк.

ПРИКЛАДИ.Обчислити за правилом трикутників:

ЗАУВАЖЕННЯ. Визначники називають також детермінантами.

Друге навчальне питання ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧНИКІВ.

ТЕОРЕМА РОЗКЛАДАННЯ

Властивість 1. Розмір визначника не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.

Розкриваючи обидва визначники, переконуємось у справедливості рівності.

Властивість 1 встановлює рівноправність рядків та стовпців визначника. Тому всі подальші властивості визначника формулюватимемо і для рядків, і для стовпців.

Властивість 2. При перестановці двох рядків (чи стовпців) визначник змінює знак протилежний, зберігаючи абсолютну величину.

Властивість 3. Загальний множник елементів рядка(або стовпця)можна виносити за знак визначника.

Властивість 4. Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпця), він дорівнює нулю.

Цю властивість можна довести безпосередньою перевіркою, а можна використовувати властивість 2.

Позначимо визначник за D. При перестановці двох однакових першої і другої рядків не зміниться, а, по другому властивості він повинен поміняти знак, тобто.

D = - D = 2 D = 0 = D = 0.

Властивість 5. Якщо всі елементи якогось рядка(або стовпця)дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Цю властивість можна розглядати як окремий випадок властивості 3 при

Властивість 6. Якщо елементи двох рядків(або стовпців)визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Можна довести безпосередньою перевіркою або з використанням властивостей 3 та 4.

Властивість 7. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на те саме число.

Доводиться безпосередньою перевіркою.

Застосування зазначених властивостей може часом полегшити процес обчислення визначників, особливо третього порядку.

Для подальшого нам знадобиться поняття мінору та алгебраїчного доповнення. Розглянемо ці поняття визначення третього порядку.

ВИЗНАЧЕННЯ 3. Мінором даного елемента визначника третього порядку називається визначник другого порядку, отриманий з даного викресленням рядка та стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Мінор елемент аijпозначається Мij. Так для елемента а 11 мінор

Він виходить, якщо у визначнику третього порядку викреслити перший рядок та перший стовпець.

ВИЗНАЧЕННЯ 4. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називають його мінор, помножений на(-1)k, деk- сума номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент.

Алгебраїчне доповнення елемента аijпозначається Аij.

Таким чином, Аij =

Випишемо додатки алгебри для елементів а 11 і а 12.

. .

Корисно запам'ятати правило: доповнення алгебри елемента визначника дорівнює його мінору зі знаком плюс, якщо сума номерів рядка та стовпця, в яких стоїть елемент, парна,і зі знаком мінусякщо ця сума непарна.

ПРИКЛАД.Знайти мінеральні та алгебраїчні доповнення для елементів першого рядка визначника:

Зрозуміло, що мінори та алгебраїчні доповнення можуть відрізнятися лише знаком.

Розглянемо без доказу важливу теорему – теорему розкладання визначника.

ТЕОРЕМА РОЗКЛАДАННЯ

Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка чи стовпця з їхньої алгебраїчні доповнення.

Використовуючи цю теорему, запишемо розкладання визначника третього порядку першого рядка.

У розгорнутому вигляді:

Останню формулу можна використовувати як основну для обчислення визначника третього порядку.

Теорема розкладання дозволяє звести обчислення визначника третього порядку обчислення трьох визначників другого порядку.

Теорема розкладання дає другий спосіб обчислення визначників третього порядку.

ПРИКЛАДИ.Обчислити визначник, використовуючи теорему розкладання.