Тип уроку:

Вигляд уроку:Лекція, урок розв'язання задач.

Тривалість: 2 години.

Цілі:1)Вивчити графічний метод.

2) Показати застосування програми Maple під час вирішення систем нерівностей графічним методом.

3) Розвинути сприйняття та мислення з цієї теми.

План заняття:

Хід заняття.

1 етап: Графічний метод полягає у побудові безлічі допустимих рішень ЗЛП, і знаходженні в даній множині точки, що відповідає max/min цільової функції.

У зв'язку з обмеженими можливостями наочного графічного подання даний метод застосовується лише для систем лінійних нерівностей з двома невідомими та систем, які можуть бути приведені до цього виду.

Для того, щоб наочно продемонструвати графічний метод, вирішимо наступне завдання:

1. На першому етапі треба побудувати сферу допустимих рішень. Для даного прикладу найзручніше вибрати X2 за абсцису, а X1 за ординату і записати нерівності в наступному вигляді:

Так як і графіки та область допустимих рішенні знаходяться у першій чверті. Для того щоб знайти граничні точки розв'язуємо рівняння (1) = (2), (1) = (3) та (2) = (3).

Як видно з ілюстрації, багатогранник ABCDE утворює область допустимих рішень.

Якщо область допустимих рішень не замкнута, то або max(f)=+ ?, або min(f)= -?.

2. Тепер можна перейти до безпосереднього знаходження максимуму функції f.

По черзі підставляючи координати вершин багатогранника у функцію f і порівнювати значення, знаходимо, що f(C)=f(4;1)=19 - максимум функції.

Такий підхід цілком вигідний за малої кількості вершин. Але дана процедура може затягтися, якщо вершин досить багато.

У такому разі зручніше розглянути лінію рівня виду f=a. За монотонного збільшення числа a від -? до +? прямі f=a зміщуються по вектору нормалі Вектор нормалі має координати (С1;С2), де C1 і C2 коефіцієнти при невідомих цільовій функції f=C1?X1+C2?X2+C0.. Якщо при такому переміщенні лінії рівня існує деяка точка X - перша загальна точка області допустимих рішень (багатогранник ABCDE) і лінії рівня, то f(X) - мінімум f на множині ABCDE. Якщо X- остання точка перетину лінії рівня та множини ABCDE то f(X)- максимум на множині допустимих рішень. Якщо при а>-? Пряма f=a перетинає безліч допустимих рішень, то min(f)= -?. Якщо це відбувається за а>+?, то max(f)=+ ?.

У прикладі пряма f=a пересіює область ABCDE у точці З(4;1). Оскільки це остання точка перетину, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Вирішити графічно систему нерівностей. Знайти кутові рішення.

x1>=0, x2>=0

> with(plots);

> with(plottools);

> S1:=solve((f1x = X6, f2x = X6), );

Відповідь: Усі точки Si де i=1..10 для яких x та y позитивна.

Область, обмежена даними точками: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

3 етап. Кожному учневі дається одне із 20 варіантів, у якому учневі пропонується самостійно вирішити нерівність графічним шляхом, інші приклади як домашнього завдання.

Заняття №4 Графічне вирішення задачі лінійного програмування

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

Вигляд уроку:Лекція + урок розв'язання задач.

Тривалість: 2 години.

Цілі: 1) Вивчити графічне рішення задачі лінійного програмування.

2) Навчити користуватися програмою Maple під час вирішення завдання лінійного програмування.

2) Розвинути сприйняття, мислення.

План заняття: 1 етап: вивчення нового матеріалу.

2 етап: Відпрацювання нового матеріалу у математичному пакеті Maple.

3 етап: перевірка вивченого матеріалу та домашнє завдання.

Хід заняття.

Графічний метод досить простий і наочний вирішення завдань лінійного програмування з двома змінними. Він заснований на геометричномуподанні допустимих рішень та ЦФ завдання.

Кожна з нерівностей задачі лінійного програмування (1.2) визначає на координатній площині деяку напівплощину (рис.2.1), а система нерівностей загалом - перетин відповідних площин. Безліч точок перетину даних напівплощин називається областю допустимих рішень(ОДР). ОДР завжди є опуклуфігуру, тобто. що має наступну властивість: якщо дві точки А і В належать цій фігурі, то і весь відрізок АВ належить їй. ОДР графічно може бути представлена ​​опуклим багатокутником, необмеженою опуклою багатокутною областю, відрізком, променем, однією точкою. У разі несумісності системи обмежень задачі (1.2) ОДР є пустою множиною.

Все вищесказане стосується і випадку, коли система обмежень (1.2) включає рівності, оскільки будь-яка рівність

можна у вигляді системи двох нерівностей (див. рис.2.1)

ЦФ при фіксованому значенні визначає на площині пряму лінію. Змінюючи значення L, ми отримаємо сімейство паралельних прямих, званих лініями рівня.

Це з тим, що зміна значення L спричинить зміна лише довжини відрізка, отсекаемого лінією рівня осі (початкова ордината), а кутовий коефіцієнт прямий залишиться постійним (рис.2.1). Тому для вирішення достатньо побудувати одну з ліній рівня, довільно вибравши значення L.

Вектор з координатами з коефіцієнтів ЦФ при перпендикулярний до кожної з ліній рівня (див. рис.2.1). Напрямок вектора збігається з напрямком зростанняЦФ, що є важливим моментом для вирішення задач. Напрям спаданняЦФ протилежно напрямку вектора.

Суть графічного методу ось у чому. У напрямку (проти напрямку) вектора в ОДР проводиться пошук оптимальної точки. Оптимальною вважається точка, якою проходить лінія рівня, що відповідає найбільшому (найменшому) значенню функції. Оптимальне рішення завжди знаходиться на межі ОДР, наприклад, в останній вершині багатокутника ОДР, якою пройде цільова пряма, або на всій його стороні.

При пошуку оптимального розв'язання задач лінійного програмування можливі такі: існує єдине рішення задачі; існує безліч рішень (альтернативний оптиум); ЦФ не обмежена; область допустимих рішень – єдина точка; Завдання немає рішень.

Малюнок 2.1 Геометрична інтерпретація обмежень та ЦФ завдання.

Методика вирішення завдань ЛП графічним методом

I. В обмеженнях задачі (1.2) замінити знаки нерівностей знаками точних рівностей та побудувати відповідні прямі.

ІІ. Знайти та заштрихувати напівплощини, дозволені кожним з обмежень-нерівностей задачі (1.2). Для цього потрібно підставити в конкретну нерівність координати будь-якої точки [наприклад, (0; 0)] і перевірити істинність отриманої нерівності.

Якщонерівність істинна,

тотреба заштрихувати напівплощину, що містить дану точку;

інакше(Нерівність хибне) треба заштрихувати напівплощину, що не містить дану точку.

Оскільки і повинні бути невід'ємними, то їх допустимі значення завжди будуть перебувати вище осі та правіше за осі, тобто. у першому квадранті.

Обмеження-рівності дозволяють лише ті точки, які лежать на відповідній прямій. Тому необхідно виділити на графіку такі прямі.

ІІІ. Визначити ОДР як частину площини, що належить одночасно всім дозволеним областям, та виділити її. За відсутності ОДР завдання немає рішень.

IV. Якщо ОДР - не порожня безліч, потрібно побудувати цільову пряму, тобто. будь-яку з ліній рівня (де L - довільне число, наприклад, кратне і, тобто. зручне щодо розрахунків). Спосіб побудови аналогічний до побудови прямих обмежень.

V. Побудувати вектор, який починається у точці (0; 0) і закінчується у точці. Якщо цільова пряма та вектор побудовані правильно, то вони будуть перпендикулярні.

VI. При пошуку максимуму ЦФ необхідно пересувати цільову пряму в напрямкувектора, при пошуку мінімуму ЦФ - проти напрямкувектор. Остання під час руху вершина ОДР буде точкою максимуму чи мінімуму ЦФ. Якщо такої точки (точок) не існує, то можна зробити висновок необмеженості ЦФ на безлічі планівзверху (при пошуку максимуму) або знизу (при пошуку мінімум).

VII. Визначити координати точки max (min) ЦФ та обчислити значення ЦФ. Для обчислення координат оптимальної точки необхідно вирішити систему рівнянь прямих на перетині яких знаходиться.

Розв'язати задачу лінійного програмування

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>=0, x2>=0

> plots((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, optionsfeasible=(color=red),

optionsopen=(color=blue, thickness=2),

optionsclosed=(color=green, thickness=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

> with(simplex):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=basis(dp);

Ш display(C,);

> L:=cterm(C);

Ш X: = dual (f, C, p);

Ш f_max:=subs(R,f);

Ш R1:=minimize(f,C,NONNEGATIVE);

f_min: = subs (R1, f);

ВІДПОВІДЬ: x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; При x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Урок № 5.Рішення матричних ігор, використовуючи методи лінійного програмування та симплекс метод

Тип уроку:контроль + урок вивчення нового матеріалу. Вигляд уроку: Лекція.

Тривалість: 2 години.

Цілі:1)Перевірити та закріпити знання з минулого матеріалу на минулих уроках.

2) Вивчити новий спосіб розв'язання матричних ігор.

3) розвинути пам'ять, математичне мислення та увагу.

1 етап: перевірити домашнє завдання як самостійної роботи.

2 етап:дати короткий опис методу зигзагу

3 етап:закріпити новий матеріал та дати домашнє завдання.

Хід заняття.

Методи лінійного програмування - чисельні методи вирішення оптимізаційних завдань, що зводяться до формальних моделей лінійного програмування.

Як відомо, будь-яка задача лінійного програмування може бути приведена до канонічної моделі мінімізації лінійної цільової функції з лінійними обмеженнями типу рівностей. Оскільки число змінних у задачі лінійного програмування більше кількості обмежень (n > m), можна отримати рішення, прирівнявши нулю (n - m) змінних, званих вільними. Ті, що залишилися m змінних, званих базисними, Можна легко визначити із системи обмежень-рівностей звичайними методами лінійної алгебри. Якщо рішення існує, воно називається базисним. Якщо базисне рішення допустиме, воно називається базисним допустимим. Геометрично, базисні допустимі рішення відповідають вершинам (крайнім точкам) опуклого багатогранника, який обмежує безліч допустимих рішень. Якщо завдання лінійного програмування має оптимальні рішення, то, принаймні, одне з них є базисним.

Наведені міркування означають, що з пошуку оптимального рішення задачі лінійного програмування досить обмежитися перебором базисних допустимих рішень. Число базисних рішень дорівнює числу поєднань з n змінних m:

З = m n! / n m! * (n - m)!

і може бути досить велике для їхнього перерахування прямим перебором за реальний час. Те, що не всі базисні рішення є допустимими, істота проблеми не змінює, оскільки, щоб оцінити допустимість базисного рішення, її необхідно отримати.

Проблема раціонального перебору базисних рішень задачі лінійного програмування було вирішено Дж. Данцигом. Запропонований ним симплекс-метод дотепер є найпоширенішим загальним методом лінійного програмування. Симплекс-метод реалізує спрямований перебір допустимих базисних рішень по відповідним їм крайнім точкам опуклого багатогранника допустимих рішень як ітеративного процесу, де кожному етапі значення цільової функції суворо зменшуються. Перехід між крайніми точками здійснюється по ребрах опуклого багатогранника допустимих рішень відповідно до простих лінійно-алгебраїчних перетворень системи обмежень. Оскільки число крайніх точок звичайно, а цільова функція лінійна, то перебираючи крайні точки в напрямку зменшення цільової функції, симплекс-метод за кінцеве число кроків сходить до глобального мінімуму.

Практика показала, що для більшості прикладних завдань лінійного програмування симплекс-метод дозволяє знайти оптимальне рішення за відносно невелику кількість кроків у порівнянні із загальним числом крайніх точок допустимого багатогранника. У той же час відомо, що для деяких завдань лінійного програмування зі спеціально підібраною формою допустимої області застосування симплекс-метода призводить до повного перебору крайніх точок. Цей факт певною мірою стимулював пошук нових ефективних методів вирішення задачі лінійного програмування, побудованих на інших, ніж симплекс-метод, ідеях, що дозволяють вирішувати будь-яке завдання лінійного програмування за кінцеве число кроків, істотно менше числа крайніх точок.

Серед поліноміальних методів лінійного програмування, інваріантних до конфігурації області допустимих значень, найбільш поширеним є метод Л.Г. Хачіяна. Однак, хоча цей метод і має поліноміальну оцінку складності залежно від розмірності завдання, проте він виявляється неконкурентним у порівнянні з симплекс-методом. Причина цього в тому, що залежність числа ітерацій симплекс-метода від розмірності задачі виражається поліномом 3-го порядку для більшості практичних завдань, у той час як у методі Хачіяна, ця залежність завжди має порядок не нижче четвертого. Зазначений факт має вирішальне значення для практики, де складні для симплекс-метода прикладні завдання зустрічаються дуже рідко.

Слід зазначити, що з важливих у практичному сенсі прикладних завдань лінійного програмування розроблено спеціальні методи, які враховують конкретний характер обмежень завдання. Зокрема, для однорідної транспортної задачі застосовуються спеціальні алгоритми вибору початкового базису, найбільш відомими з яких є метод північно-західного кута та наближений метод Фогеля, а сама алгоритмічна реалізація симплекс-методу наближена до специфіки задачі. Для вирішення задачі лінійного призначення (завдання вибору) замість симплекс-метода зазвичай застосовується або угорський алгоритм, заснований на інтерпретації задачі в термінах теорії графів як задачі пошуку максимального за вагою досконалого паросполучення у дводольному графі, або метод Мака.

Вирішити матричну гру розміру 3х3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> with(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Ш display(C,);

> feasible(C, NONNEGATIVE, "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

Ш R:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE);

Ш f_max:=subs(R,f);

Ш R1:=minimize(S ,NONNEGATIVE);

> G: = p1 + p2 + p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Знайдемо ціну гри

> V:=1/f_max;

Знайдемо оптимальну стратегію першого гравця > X:=V*R1;

Знайдемо оптимальну стратегію другого гравця

ВІДПОВІДЬ: При X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; При Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Кожному учневі дається один із 20 варіантів, у якому учневі пропонується самостійно вирішити матричну гру 2x2, а інші приклади як домашнє завдання.

Цілі:

1. Повторити знання про квадратичну функцію.

2. Ознайомитись з методом розв'язання квадратної нерівності на основі властивостей квадратичної функції.

Обладнання:мультимедіа, презентація "Розв'язання квадратних нерівностей", картки для самостійної роботи, таблиця "Алгоритм розв'язання квадратної нерівності", аркуші контролю з копіювальним папером.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент (1 хв).

ІІ. Актуалізація опорних знань(10 хвилин).

1. Побудова графіка квадратичної функції у=х 2 -6х+8<Рисунок 1. Приложение >

• визначення напряму гілок параболи;
• визначення координат вершини параболи;
• визначення осі симетрії;
• визначення точок перетину з осями координат;
• знаходження додаткових точок.

2. Визначити за кресленням знак коефіцієнта a і кількість коренів рівняння ах 2+вх+с=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. За графіком функції у=х 2 -4х+3 визначити:

• Чому рівні нулі функції;
• Знайти проміжки, на яких функція набуває позитивних значень;
• Знайти проміжки, у яких функція приймає негативні значення;
• За яких значень х функція зростає, а за яких зменшується?<Рисунок 3>

4. Вивчення нових знань (12 хв.)

Завдання 1: Розв'язати нерівність: х 2+4х-5 > 0.

Нерівності задовольняють значення х, при яких значення функції у = х 2 +4х-5 дорівнюють нулю або позитивні, тобто ті значення х, при яких точки параболи лежать на осі ох або вище цієї осі.

Побудуємо графік функції у = х 2 +4х-5.

З віссю ох: Х2+4х-5=0. По теоремі Вієта: х 1 = 1, х 2 = -5. Крапки (1; 0), (-5; 0).

З віссю оу: у (0) = -5. Крапка (0;-5).

Додаткові точки: у(-1)=-8, у(2)=7.<Рисунок 4>

Підсумок: Значення функції позитивні і дорівнюють нулю (невід'ємні) при

• Чи потрібно щоразу для вирішення нерівності докладно будувати графік квадратичної функції?
• Чи потрібно знаходити координати вершини параболи?
• А що важливе? (а, х 1, х 2)

Висновок: Для вирішення квадратної нерівності достатньо визначити нулі функції, напрямок гілок параболи та побудувати ескіз графіка.

Завдання 2: Розв'язати нерівність: х 2 -6х+8 < 0.

Рішення: Визначимо коріння рівняння х2-6х+8=0.

За теоремою Вієта: х 1 =2, х 2 =4.

а>0 - гілки параболи спрямовані вгору.

Збудуємо ескіз графіка.<Рисунок 5>

Зазначимо знаками “+” та “–” інтервали, на яких функція набуває позитивних та негативних значень. Виберемо необхідний інтервал.

Відповідь: Х€.

5. Закріплення нового матеріалу (7 хв).

№660 (3). Учень вирішує на дошці.

Вирішити нерівність-х 2 -3х-2<0.

Х 2 -3х-2 = 0; х 2+3х+2=0;

коріння рівняння: х 1 = -1, х 2 = -2.

а<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

№ 660 (1) - Робота із прихованою дошкою.

Вирішити нерівність х 2 -3х+2 < 0.

Рішення: х 2 -3х +2 = 0.

Знайдемо коріння: ; х 1 =1, х 2 =2.

а>0 - гілки вгору. Будуємо ескіз графіка функції.<Рисунок 7>

Алгоритм:

1. Знайти коріння рівняння ах 2+вх+с=0.
2. Позначити їх у координатній площині.
3. Визначити напрямок гілок параболи.
4. Побудувати графіку ескіз.
5. Позначити знаками “+” та “ - ”, інтервали на яких функція набуває позитивних та негативних значень.
6. Вибрати потрібний інтервал.

6. Самостійна робота (10 хв.).

(Прийом - копіювальний папір).

Лист-контроль підписується та здається вчителю для перевірки та визначення корекції.

Самоперевірка на дошці.

Додаткове завдання:

№ 670. Знайти значення х, у яких функція набуває значення невеликі нуля: у=х 2 +6х-9.

7. Домашнє завдання (2 хв).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Заповнити таблицю:

D	Нерівність	a	Креслення	Рішення
D>0	ах 2+вх+с > 0	a>0
D>0	ах 2+вх+с > 0	a<0
D>0	ах 2+вх+с < 0	a>0
D>0	ах 2+вх+с < 0	a<0

8. Підсумок уроку (3 хв).

1. Відтворіть алгоритм розв'язання нерівностей.
2. Хто впорався з роботою на відмінно?
3. Що видалося складним?

Графічний метод одна із основних методів розв'язання квадратних нерівностей. У статті наведемо алгоритм застосування графічного методу, а потім розглянемо окремі випадки на прикладах.

Суть графічного методу

Метод застосовується для вирішення будь-яких нерівностей, не тільки квадратних. Суть його ось у чому: праву і ліву частини нерівності розглядають як дві окремі функції y = f (x) і y = g (x) , їх графіки будують у прямокутній системі координат і дивляться, який з графіків розташовується вище за інше, і на яких проміжках. Оцінюються проміжки так:

Визначення 1

• рішеннями нерівності f (x) > g (x) є інтервали, де графік функції f вище графіка функції g;
• рішеннями нерівності f (x) ≥ g (x) є інтервали, де графік функції f не нижче графіка функції g ;
• рішеннями нерівності f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• рішеннями нерівності f (x) ≤ g (x) є інтервали, де графік функції f не вище графіка функції g ;
• абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Розглянемо наведений вище алгоритм з прикладу. Для цього візьмемо квадратну нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 (≤ , >, ≥) та виведемо з нього дві функції. Ліва частина нерівності відповідатиме y = a · x 2 + b · x + c (при цьому f (x) = a · x 2 + b · x + c), а права y = 0 (при цьому g (x) = 0).

Графіком першої функції є парабола, друга пряма лінія, яка збігається з віссю абсцис Ох. Проаналізуємо положення параболи щодо осі Ох. Для цього виконаємо схематичний рисунок.

Гілки параболи спрямовані нагору. Вона перетинає вісь Ох у точках x 1і x 2. Коефіцієнт а даному випадкупозитивний, оскільки саме він відповідає за напрямок гілок параболи. Дискримінант позитивний, що вказує на наявність двох коренів у квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c. Коріння тричлена ми позначили як x 1і x 2, причому прийняли, що x 1< x 2 , так як на осі Ох зобразили крапку з абсцисою x 1ліворуч крапки з абсцисою x 2.

Частини параболи, розташовані вище за осі Ох позначимо червоним, нижче – синім. Це дозволить нам зробити малюнок наочнішим.

Виділимо проміжки, які відповідають цим частинам та відзначимо їх на малюнку полями певного кольору.

Червоним ми відзначили проміжки (− ∞ , x 1) та (x 2 , + ∞) , на них парабола вище за осю О х. Вони є a x 2 + b x x c > 0 . Синім ми відзначили проміжок (x 1 , x 2) , який є рішенням нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Зробимо короткий запис рішення. При a > 0 та D = b 2 − 4 · a · c > 0 (або D " = D 4 > 0 при парному коефіцієнті b) ми отримуємо:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0 є (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) або в іншому записі x< x 1 , x >x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0 є (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) або в іншому записі x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≤ 0 є [ x 1 , x 2 ] або в іншому записі x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c, причому x 1< x 2 .

На цьому малюнку парабола стосується осі O х тільки в одній точці, яка позначена як x 0 a > 0. D = 0, отже, квадратний тричлен має один корінь x 0.

Парабола розташована вище за осі O х повністю, за винятком точки торкання координатної осі. Позначимо кольором проміжки (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Запишемо результати. При a > 0і D = 0:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0є (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) або в іншому записі x ≠ x 0;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0є (− ∞ , + ∞) або в іншому записі x ∈ R ;
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 немає рішень (немає інтервалів, у яких парабола розташована нижче осі O x);
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c ≤ 0має єдине рішення x = x 0(його дає точка дотику),

де x 0- корінь квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Розглянемо третій випадок, коли гілки параболи спрямовані вгору і не торкаються осі O x. Гілки параболи спрямовані вгору, що означає, що a > 0. Квадратний тричлен не має дійсних коренів, оскільки D< 0 .

На графіку немає інтервалів, на яких парабола була б нижчою за осі абсцис. Це ми враховуватимемо при виборі кольору для нашого малюнка.

Виходить, що за a > 0і D< 0 розв'язанням квадратних нерівностей a · x 2 + b · x + c > 0і a · x 2 + b · x + c ≥ 0є безліч усіх дійсних чисел, а нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 і a · x 2 + b · x + c ≤ 0немає рішень.

Нам залишилося розглянути три варіанти, коли гілки параболи спрямовані вниз. На цих трьох варіантах можна не зупинятися докладно, тому що при множенні обох частин нерівності на -1 ми отримуємо рівносильну нерівність з позитивним коефіцієнтом при х2.

Розгляд попереднього розділу статті підготував нас до сприйняття алгоритму розв'язання нерівностей із використанням графічного способу. Для проведення обчислень нам необхідно буде щоразу використовувати креслення, на якому буде зображено координатну пряму O х і параболу, яка відповідає квадратичній функції y = a · x 2 + b · x + c. Ось O у ми в більшості випадків зображати не будемо, тому що для обчислень вона не потрібна і лише перевантажуватиме креслення.

Для побудови параболи нам необхідно знати дві речі:

Визначення 2

• напрям гілок, що визначається значенням коефіцієнта a;
• наявність точок перетину параболи та осі абсцис, які визначаються значенням дискримінанта квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Точки перетину та торкання ми будемо позначати звичайним способом при розв'язанні нестрогих нерівностей та порожніми при розв'язанні суворих.

Наявність готового креслення дозволяє перейти до наступного кроку рішення. Він передбачає визначення проміжків, на яких парабола розташовується вище або нижче за осі O х. Проміжки та точки перетину є рішенням квадратної нерівності. Якщо точок перетину чи торкання немає і немає інтервалів, то вважається, що задана в умовах завдання нерівність не має розв'язків.

Тепер розв'яжемо кілька квадратних нерівностей, використовуючи наведений вище алгоритм.

Приклад 1

Необхідно вирішити нерівність 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 графічним способом.

Рішення

Намалюємо графік квадратичної функції y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2. Коефіцієнт при x 2позитивний, оскільки дорівнює 2 . Це означає, що гілки параболи будуть спрямовані нагору.

Обчислимо дискримінант квадратного тричлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 для того, щоб з'ясувати, чи парабола з віссю абсцис має загальні точки. Отримуємо:

D = 5 1 3 2 - 4 · 2 · (- 2) = 400 9

Як бачимо, D більше за нуль, отже, у нас є дві точки перетину: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 · 2 і x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , тобто, x 1 = − 3і x 2 = 13.

Ми вирішуємо несувору нерівність, отже проставляємо на графіку звичайні точки. Малюємо параболу. Як бачите, малюнок має такий самий вигляд як і в першому розглянутому нами шаблоні.

Наша нерівність має знак ≤. Отже, нам потрібно виділити проміжки на графіку, на яких парабола розташована нижче за осі O x і додати до них точки перетину.

Потрібний інтервал − 3 , 1 3 . Додаємо до нього точки перетину та отримуємо числовий відрізок − 3 , 1 3 . Це і є вирішення нашого завдання. Записати відповідь можна у вигляді подвійної нерівності: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Відповідь:− 3 , 1 3 або − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Приклад 2

− x 2 + 16 · x − 63< 0 графічним методом.

Рішення

Квадрат змінної має негативний числовий коефіцієнт, тому гілки параболи будуть спрямовані вниз. Обчислимо четверту частину дискримінанта D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Такий результат підказує нам, що точок перетину буде дві.

Обчислимо коріння квадратного тричлена: x 1 = - 8 + 1 - 1 і x 2 = - 8 - 1 - 1 , x 1 = 7 x 2 = 9.

Виходить, що парабола перетинає вісь абсцис у точках. 7 і 9 . Зазначимо ці точки на графіку порожніми, оскільки ми працюємо із суворою нерівністю. Після цього намалюємо параболу, яка перетинає вісь O х у зазначених точках.

Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осю O х. Зазначимо ці інтервали синім кольором.

Отримуємо відповідь: розв'язанням нерівності є проміжки (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Відповідь:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) або в іншому записі x< 7 , x > 9 .

У тих випадках, коли дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, необхідно уважно підходити до питання про те, чи варто включати у відповідь абсцис точки торкання. Щоб прийняти правильне рішення, необхідно враховувати знак нерівності. У строгих нерівностях точка торкання осі абсцис не є розв'язком нерівності, у нестрогих є.

Приклад 3

Розв'яжіть квадратну нерівність 10 · x 2 − 14 · x + 4, 9 ≤ 0графічним методом.

Рішення

Гілки параболи в даному випадку будуть спрямовані нагору. Вона стосуватиметься осі O х у точці 0 , 7 , оскільки

Побудуємо графік функції y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9. Її гілки спрямовані вгору, оскільки коефіцієнт при x 2позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0 , 7 , так як D " = (-7) 2 - 10 · 4, 9 = 0звідки x 0 = 7 10 або 0 , 7 .

Поставимо крапку та намалюємо параболу.

Ми вирішуємо сувору нерівність зі знаком ≤. Отже. Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осі абсцис і точку торкання. На малюнку немає інтервалів, які б задовольняли нашим умовам. Є лише точка торкання 0,7. Це і є потрібне рішення.

Відповідь:Нерівність має лише одне рішення 0,7.

Приклад 4

Розв'яжіть квадратну нерівність – x 2 + 8 · x − 16< 0 .

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант дорівнює нулю. Точка перетину x 0 = 4.

Відзначаємо точку торкання осі абсцис і малюємо параболу.

Ми маємо справу зі суворою нерівністю. Отже, нас цікавлять інтервали, на яких парабола розташована нижче за осю O х. Зазначимо їх синім.

Точка з абсцисою 4 не є рішенням, так як парабола не розташована нижче осі O x . Отже, ми отримуємо два інтервали (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Відповідь: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) або в іншому записі x ≠ 4 .

Не завжди при негативному значенні дискримінанта нерівність не матиме рішень. Є випадки, коли рішенням буде безліч всіх дійсних чисел.

Приклад 5

Розв'яжіть квадратну нерівність 3 · x 2 + 1 > 0 графічним способом.

Рішення

Коефіцієнт а позитивний. Дискримінант негативний. Гілки параболи будуть спрямовані нагору. Точка перетину параболи з віссю O х немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо із суворою нерівністю, яка має знак > . Це означає, що нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Це саме той випадок, коли відповіддю є безліч усіх дійсних чисел.

Відповідь:(− ∞ , + ∞) або так x ∈ R .

Приклад 6

Необхідно знайти розв'язання нерівності − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0графічним способом.

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант негативний, отже, загальних точок параболи та осі абсцис немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо з несуворою нерівністю зі знаком ≥ , отже, інтерес для нас представляють проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Зважаючи на графік, таких проміжків немає. Це означає, що ця умова завдання нерівність немає рішень.

Відповідь:Нема рішень.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Початковий рівень

Вирішення рівнянь, нерівностей, систем за допомогою графіків функцій. Візуальний гід (2019)

Багато завдань, які ми звикли обчислювати суто алгебраїчно, можна набагато легше і швидше вирішити, у цьому нам допоможе використання графіків функцій. Ти скажеш "як так?" креслити щось, та й що креслити? Повір мені, іноді це зручніше та простіше. Почнемо? Почнемо з рівнянь!

Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення лінійних рівнянь

Як ти вже знаєш, графіком лінійного рівняння є пряма лінія, звідси назва цього виду. Лінійні рівняння досить легко вирішувати шляхом алгебри - всі невідомі переносимо в один бік рівняння, все, що нам відомо - в іншу і вуаля! Ми знайшли корінь. Зараз я покажу тобі, як це зробити графічним способом.

Отже, у тебе є рівняння:

Як його вирішити?
Варіант 1, і найпоширеніший - перенести невідомі в один бік, а відомі в інший, отримуємо:

А тепер будуємо. Що в тебе вийшло?

Як ти вважаєш, що є коренем нашого рівняння? Правильно, координата точки перетину графіків:

Наша відповідь -

Ось і вся премудрість графічного рішення. Як ти з легкістю можеш перевірити, що коренем нашого рівняння є число!

Як я говорила вище, це найпоширеніший варіант, наближений до рішення алгебри, але можна вирішувати і по-іншому. Для розгляду альтернативного рішення повернемося до нашого рівняння:

На цей раз не будемо нічого переносити з боку в бік, а побудуємо графіки безпосередньо, тому що вони зараз є:

Збудував? Дивимося!

Що рішення цього разу? Все вірно. Те саме - координата точки перетину графіків:

І знову наша відповідь - .

Як ти бачиш, з лінійними рівняннями все дуже просто. Настав час розглянути щось складніше... Наприклад, графічне розв'язання квадратних рівнянь.

Графічне розв'язання квадратних рівнянь

Отже, тепер приступимо до розв'язання квадратного рівняння. Допустимо, тобі потрібно знайти коріння цього рівняння:

Звичайно, ти можеш зараз почати рахувати через дискримінант, або за теоремою Вієта, але багато хто на нервах помиляється при перемноженні або в зведенні в квадрат, особливо якщо приклад з великими числами, а калькулятора, як ти знаєш, у тебе на іспиті не буде… Тому, давай спробуємо трохи розслабитися та помалювати, вирішуючи це рівняння.

Графічно знайти рішення даного рівняння можна у різний спосіб. Розглянемо різні варіанти, а вже ти сам обереш, який найбільше тобі сподобається.

Спосіб 1. Безпосередньо

Просто будуємо параболу за цим рівнянням:

Щоб зробити це швидко, дам тобі одну маленьку підказку: зручно розпочати побудову з визначення вершини параболи.Визначити координати вершини параболи допоможуть такі формули:

Ти скажеш «Стоп! Формула дуже схожа на формулу знаходження дискримінанта» так, так воно і є, і це є величезним мінусом «прямої» побудови параболи, щоб знайти її коріння. Тим не менш, давай дорахуємо до кінця, а потім я покажу, як це зробити набагато (набагато!) Простіше!

Порахував? Які координати вершини параболи в тебе вийшли? Давай розбиратися разом:

Така сама відповідь? Молодець! І ось ми знаємо вже координати вершини, а для побудови параболи нам потрібно ще… крапок. Як ти вважаєш, скільки мінімум точок нам необхідно? Правильно, .

Ти знаєш, що парабола симетрична щодо своєї вершини, наприклад:

Відповідно, нам необхідно ще дві точки по лівій або правій гілки параболи, а надалі ми ці точки симетрично відобразимо на протилежний бік:

Повертаємося до нашої параболи. Для нашого випадку крапка. Нам потрібно ще дві точки, відповідно, можна взяти позитивні, а можна взяти негативні? Які точки тобі зручніші? Мені зручніше працювати з позитивними, тому я розрахую за в.

Тепер у нас є три точки, і ми спокійно можемо побудувати нашу параболу, відобразивши дві останні точки щодо її вершини:

Як ти вважаєш, що є рішенням рівняння? Правильно точки, в яких, тобто і. Тому що.

І якщо ми говоримо, що, то значить, що теж має бути рівним, або.

Просто? Це ми закінчили з тобою рішення рівняння складним графічним способом, чи ще буде!

Звичайно, ти можеш перевірити нашу відповідь алгебраїчним шляхом - порахуєш коріння через теорему Вієта чи Дискримінант. Що в тебе вийшло? Теж саме? От бачиш! Тепер подивимося просте графічне рішення, впевнена, воно тобі дуже сподобається!

Спосіб 2. З розбивкою на кілька функцій

Візьмемо все теж наше рівняння: але запишемо його дещо по-іншому, а саме:

Чи можемо ми так записати? Можемо, оскільки перетворення рівносильне. Дивимося далі.

Побудуємо окремо дві функції:

1. - Графіком є ​​проста парабола, яку ти з легкістю побудуєш навіть без визначення вершини за допомогою формул та складання таблиці для визначення інших точок.
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти так само легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Збудував? Порівняємо з тим, що вийшло у мене:

Як ти вважаєш, що в даному випадку є корінням рівняння? Правильно! Координати, які вийшли при перетині двох графіків і, тобто:

Відповідно, рішенням цього рівняння є:

Що скажеш? Погодься, цей спосіб вирішення набагато легший, ніж попередній і навіть легший, ніж шукати коріння через дискримінант! А якщо так, спробуй цим способом вирішити наступне рівняння:

Що в тебе вийшло? Порівняємо наші графіки:

За графіками видно, що відповідями є:

Впорався? Молодець! Тепер подивимося рівняння трохи складніше, а саме, рішення змішаних рівнянь, тобто рівнянь, що містять функції різного виду.

Графічне вирішення змішаних рівнянь

Тепер спробуємо вирішити таке:

Звичайно, можна привести все до спільного знаменника, знайти коріння рівняння, що вийшло, не забувши при цьому врахувати ОДЗ, але ми знову ж таки, спробуємо вирішити графічно, як робили у всіх попередніх випадках.

На цей раз давай побудуємо 2 наступні графіки:

1. - графіком є ​​гіпербола
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Зрозумів? Тепер займися шикуванням.

Ось що вийшло у мене:

Дивлячись на цей малюнок, скажи, що є корінням нашого рівняння?

Правильно, в. Ось і підтвердження:

Спробуй підставити наше коріння у рівняння. Вийшло?

Все вірно! Погодься, графічно вирішувати подібні рівняння одне задоволення!

Спробуй самостійно графічним способом вирішити рівняння:

Даю підказку: перенеси частину рівняння у правий бік, щоб з обох боків виявились найпростіші для побудови функції. Натяк зрозумів? Дій!

Тепер подивимося, що в тебе вийшло:

Відповідно:

1. - кубічна парабола.
2. - Звичайна пряма.

Ну і будуємо:

Як ти вже давно у себе записав, коренем даного рівняння є .

Вирішивши таке велика кількістьприкладів, впевнена, ти усвідомив якомога легко і швидко вирішувати рівняння графічним шляхом. Настав час розібратися, як вирішувати таким способом системи.

Графічне вирішення систем

Графічне рішення систем насправді нічим не відрізняється від графічного рішення рівнянь. Ми також будуватимемо два графіки, і їх точки перетину і будуть корінням даної системи. Один графік – одне рівняння, другий графік – інше рівняння. Все дуже просто!

Почнемо з найпростішого – вирішення систем лінійних рівнянь.

Вирішення систем лінійних рівнянь

Припустимо, у нас є така система:

Для початку перетворимо її таким чином, щоб зліва було все, що пов'язано з, а праворуч - що пов'язано з. Іншими словами, запишемо дані рівняння як функцію у звичному для нас вигляді:

А тепер просто будуємо дві прямі. Що у нашому випадку є рішенням? Правильно! Крапка їхнього перетину! І тут необхідно бути дуже уважним! Подумай чому? Натякну: ми маємо справу із системою: у системі є і, і… Натяк зрозумів?

Все вірно! Вирішуючи систему, ми повинні дивитися обидві координати, а не тільки як при розв'язанні рівнянь! Ще один важливий момент – правильно їх записати і не переплутати, де в нас значення, а де значення! Записав? Тепер давай усе порівняємо по порядку:

І відповіді: і. Зроби перевірку - підставь знайдене коріння в систему і переконайся, чи правильно ми її вирішили графічним способом?

Вирішення систем нелінійних рівнянь

А якщо замість однієї прямої, у нас буде квадратне рівняння? Та нічого страшного! Просто ти замість прямої збудуєш параболу! Не віриш? Спробуй вирішити таку систему:

Який наступний наш крок? Правильно, записати так, щоб нам було зручно будувати графіки:

А тепер так взагалі справа за малим – збудував швиденько і ось тобі рішення! Будуємо:

Графіки вийшли такими самими? Тепер відзнач на малюнку рішення системи та грамотно запиши виявлені відповіді!

Все зробив? Порівняй із моїми записами:

Все вірно? Молодець! Ти вже клацаєш подібні завдання, як горішки! А якщо так, дамо тобі систему складніше:

Що ми робимо? Правильно! Записуємо систему так, щоб було зручно будувати:

Трохи тобі підкажу, тому що система виглядає дуже не простою! Будуючи графіки, будуй їх «більше», а головне, не дивуйся кількості точок перетину.

Тож поїхали! Видихнув? Тепер починай будувати!

Ну як? Красиво? Скільки точок перетину в тебе вийшло? У мене три! Давай порівнювати наші графіки:

Так само? Тепер акуратно запиши всі рішення нашої системи:

А тепер ще раз подивися на систему:

Уявляєш, що ти вирішив це за якихось 15 хвилин? Погодься, математика - це все-таки просто, особливо коли дивлячись на вираз, не боїшся помилитися, а береш і вирішуєш! Ти великий молодець!

Графічне розв'язання нерівностей

Графічне вирішення лінійних нерівностей

Після останнього прикладу тобі все під силу! Зараз видихни - в порівнянні з попередніми розділами цей буде дуже легким!

Почнемо ми, як завжди з графічного рішення лінійної нерівності. Наприклад, ось цього:

Для початку проведемо найпростіші перетворення - розкриємо дужки повних квадратів і наведемо такі складові:

Нерівність несувора, тому - не включається в проміжок, і рішенням будуть всі точки, які знаходяться правіше, тому що більше, більше і так далі:

Відповідь:

От і все! Чи легко? Давай вирішимо просту нерівність із двома змінними:

Намалюємо у системі координат функцію.

Такий графік у тебе вийшов? А тепер уважно дивимося, що там у нас у нерівності? Менше? Значить, зафарбовуємо все, що знаходиться ліворуч від нашої прямої. А якби було більше? Правильно, тоді зафарбовували б усе, що знаходиться правіше за нашу пряму. Все просто.

Всі рішення цієї нерівності «затушовані» помаранчевим кольором. Ось і все, нерівність із двома змінними вирішена. Це означає, що координати будь-якої точки із зафарбованої області - і є рішення.

Графічне розв'язання квадратних нерівностей

Тепер розбиратимемося з тим, як графічно вирішувати квадратні нерівності.

Але перш, ніж перейти безпосередньо до справи, давай повторимо деякий матеріал, що стосується квадратної функції.

А за що у нас відповідає дискримінант? Правильно, за положення графіка щодо осі (якщо не пам'ятаєш цього, то тоді точно прочитай теорію про квадратичні функції).

У будь-якому випадку, ось тобі невелика табличка-нагадувачка:

Тепер, коли ми освіжили у пам'яті весь матеріал, перейдемо до справи – вирішимо графічно нерівність.

Відразу тобі скажу, що є два варіанти його вирішення.

Варіант 1

Записуємо нашу параболу як функцію:

За формулами визначаємо координати вершини параболи (так само, як і при розв'язанні квадратних рівнянь):

Порахував? Що в тебе вийшло?

Тепер візьмемо ще дві різні точки і порахуємо для них:

Починаємо будувати одну гілку параболи:

Симетрично відбиваємо наші точки на іншу галузь параболи:

А тепер повертаємось до нашої нерівності.

Нам необхідно, щоб було менше нуля, відповідно:

Так як у нашій нерівності стоїть знак строго менший, то кінцеві точки ми виключаємо - «виколюємо».

Відповідь:

Довгий спосіб, правда? Зараз я покажу тобі простіший варіант графічного рішення на прикладі тієї самої нерівності:

Варіант 2

Повертаємося до нашої нерівності та відзначаємо потрібні нам проміжки:

Погодься, це набагато швидше.

Запишемо тепер відповідь:

Розглянемо ще один спосіб рішення, який спрощує і алгебраїчну частину, але головне не заплутатися.

Помножимо ліву та праву частини на:

Спробуй самостійно вирішити наступну квадратну нерівність будь-яким способом, що сподобався тобі: .

Впорався?

Дивись, як графік вийшов у мене:

Відповідь: .

Графічне вирішення змішаних нерівностей

Тепер перейдемо до складніших нерівностей!

Як тобі таке:

Жах, правда? Чесно кажучи, я гадки не маю, як вирішити таке алгебраїчно… Але, воно і не треба. Графічно нічого складного у цьому немає! Очі бояться, а руки роблять!

Перше, з чого ми почнемо, це з побудови двох графіків:

Я не розписуватиму для кожного таблицю - впевнена, ти чудово впораєшся з цим самостійно (ще б пак, стільки прорішати прикладів!).

Розписав? Тепер будуй два графіки.

Порівняємо наші малюнки?

У тебе так само? Чудово! Тепер розставимо точки перетину і кольором визначимо, який графік у нас за ідеєю має бути більшим, тобто. Дивись, що вийшло в результаті:

А тепер просто дивимося, де у нас виділений графік знаходиться вище, ніж графік? Сміливо бери олівець і зафарбовуй цю область! Вона і буде розв'язанням нашої складної нерівності!

На яких проміжках по осі у нас вище, ніж? Правильно, . Це і є відповідь!

Ну ось, тепер тобі під силу і будь-яке рівняння, і будь-яка система, і тим більше будь-яка нерівність!

КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Алгоритм розв'язання рівнянь із використанням графіків функцій:

1. Виразимо через
2. Визначимо тип функції
3. Побудуємо графіки функцій, що вийшли
4. Знайдемо точки перетину графіків
5. Коректно запишемо відповідь (з урахуванням ОДЗ та знаків нерівностей)
6. Перевіримо відповідь (підставимо коріння у рівняння чи систему)

Докладніше про побудову графіків функцій дивись у темі « ».

Під час уроку ви зможете самостійно вивчити тему «Графічне розв'язання рівнянь, нерівностей». Викладач на занятті розбере графічні методи розв'язання рівнянь та нерівностей. Навчить будувати графіки, аналізувати їх та отримувати розв'язки рівнянь та нерівностей. На уроці також буде розібрано конкретні приклади з цієї теми.

Тема: Числові функції

Урок: Графічне розв'язання рівнянь, нерівностей

1. Тема уроку, вступ

Ми розглянули графіки елементарних функцій, у тому числі графіки статечних функцій з різними показниками. Також ми розглянули правила зсуву та перетворень графіків функцій. Всі ці навички необхідно застосувати, коли потрібно графічнеРішеннярівнянь чи графічне Рішеннянерівностей.

2. Вирішення рівнянь та нерівностей графічним способом

Приклад 1. Графічно розв'язати рівняння:

Побудуємо графіки функцій (Рис. 1).

Графіком функції є парабола, що проходить через точки

Графік функції - пряма, збудуємо її за таблицею.

Графіки перетинаються в точці Інших точок перетину немає, тому що функція монотонно зростає, функція монотонно зменшується, а значить, їх точка перетину є єдиною.

Приклад 2. Розв'язати нерівність

a. Щоб виконувати нерівність, графік функції повинен розташовуватись над прямою (Рис. 1). Це виконується при

b. У цьому випадку, навпаки, парабола має бути під прямою. Це виконується при

Приклад 3. Розв'язати нерівність

Побудуємо графіки функцій (Мал. 2).

Знайдемо корінь рівняння При немає рішень. При існує одне рішення.

Щоб нерівність гіпербола повинна розташовуватися над прямою Це виконується при .

Приклад 4. Розв'язати графічно нерівність:

Область визначення:

Побудуємо графіки функцій для (Мал. 3).

a. Графік функції повинен розташовуватись під графіком це виконується при

b. Графік функції розташований над графіком при тому, що в умові маємо нестрогий знак, важливо не втратити ізольований корінь

3. Висновок

Ми розглянули графічний метод розв'язання рівнянь та нерівностей; розглянули конкретні приклади, при вирішенні яких використовували такі властивості функцій, як монотонність та парність.

1. Мордкович А. Г. та ін. Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.

2. Мордкович А. Г. та ін. Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін. - 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.

3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.

4. Алімов Ш. А., Колягін Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.

6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.

1. Розділ College. ru з математики.

2. Інтернет-проект «Завдання».

3. Освітній портал «Вирішую ЄДІ».

1. Мордкович А. Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін. - 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №355, 356, 364.