Приклади розв'язання нерівностей графічним способом. Графічне розв'язання нерівностей, системи сукупностей нерівностей із двома змінними

див. також Розв'язання задачі лінійного програмування графічно, Канонічна форма задач лінійного програмування

Система обмежень такого завдання складається з нерівностей від двох змінних:
і цільова функція має вигляд F = C 1 x + C 2 y, яку потрібно максимізувати.

Відповімо на запитання: які пари чисел ( x; y) є рішеннями системи нерівностей, т. е. задовольняють кожному з нерівностей одночасно? Інакше кажучи, що означає вирішити систему графічно?
Попередньо необхідно зрозуміти, що є рішенням однієї лінійної нерівності з двома невідомими.
Вирішити лінійну нерівність із двома невідомими – це означає визначити всі пари значень невідомих, у яких нерівність виконується.
Наприклад, нерівності 3 x – 5y≥ 42 задовольняють пари ( x , y): (100, 2); (3, –10) тощо. буд. Завдання полягає у знаходженні всіх таких пар.
Розглянемо дві нерівності: ax + by≤ c, ax + by≥ c. Пряма ax + by = cділить площину на дві напівплощини так, що координати точок однієї з них задовольняють нерівності ax + by >c, а інший нерівності ax + +by <c.
Справді, візьмемо крапку з координатою x = x 0; тоді точка, що лежить на прямій і має абсцису x 0 , має ординату

Нехай для певності a< 0, b>0, c>0. Усі крапки з абсцисою x 0 , що лежать вище P(наприклад, точка М), мають y M>y 0 , а всі крапки, що лежать нижче крапки P, з абсцисою x 0 , мають y N<y 0 . Оскільки x 0 -довільна точка, то завжди з одного боку від прямої будуть знаходитися точки, для яких ax+ by > c, що утворюють напівплощину, а з іншого боку – точки, для яких ax + by< c.

Малюнок 1

Знак нерівності у напівплощині залежить від чисел a, b , c.
Звідси випливає наступний спосібграфічного вирішення систем лінійних нерівностейвід двох змінних. Для вирішення системи необхідно:

Для кожної нерівності виписати рівняння, що відповідає даній нерівності.
Побудувати прямі графіки функцій, що задаються рівняннями.
Для кожної прямої визначити напівплощину, що задається нерівністю. Для цього взяти довільну точку, що не лежить на прямій, підставити її координати в нерівність. якщо нерівність правильна, то напівплощина, що містить обрану точку, і є рішенням вихідної нерівності. Якщо нерівність неправильна, то напівплощина з іншого боку прямий є безліччю рішень даної нерівності.
Щоб вирішити систему нерівностей, необхідно знайти область перетину всіх напівплощин, які є розв'язком кожної нерівності системи.

Ця область може бути порожньою, тоді система нерівностей немає рішень, несовместна. Інакше кажуть, що система є спільною.
Рішень може бути кінцеве числоі нескінченна безліч. Область може бути замкнутий багатокутник або бути необмеженою.

Розглянемо три відповідні приклади.

Приклад 1. Вирішити графічну систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

розглянемо рівняння x+y–1=0 та –2x–2y+5=0 , що відповідають нерівностям;
побудуємо прямі, що задаються цими рівняннями.

Малюнок 2

Визначимо напівплощини, що задаються нерівностями. Візьмемо довільну точку, хай (0; 0). Розглянемо x+ y– 1 0, підставимо точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. отже, у тій напівплощині, де лежить точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, тобто. напівплощина, що лежить нижче за пряму, є рішенням першої нерівності. Підставивши цю точку (0; 0), по-друге, отримаємо: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, тобто. у напівплощині, де лежить точка (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, а нас запитували, де –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, отже, в іншій напівплощині – у тій, що вище за пряму.
Знайдемо перетин цих двох напівплощин. Прямі паралельні, тому площини ніде не перетинаються, отже система даних нерівностей розв'язків немає, несовместна.

Приклад 2. Знайти графічно розв'язання системи нерівностей:

Малюнок 3
1. Випишемо рівняння, що відповідають нерівностям, і збудуємо прямі.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Вибравши точку (0; 0), визначимо знаки нерівностей у напівплощинах:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, тобто. x + 2y– 2 ≤ 0 у напівплощині нижче прямої;
0 – 0 – 1 ≤ 0, тобто. y –x– 1 ≤ 0 у напівплощині нижче прямої;
0 + 2 = 2 ≥ 0, тобто. y+ 2 ≥ 0 у напівплощині вище прямої.
3. Перетином цих трьох напівплощин буде область, що є трикутником. Неважко знайти вершини області, як точки перетину відповідних прямих

Таким чином, А(–3; –2), У(0; 1), З(6; –2).

Розглянемо ще один приклад, в якому область рішення системи, що вийшла, не обмежена.

Графічний метод полягає у побудові безлічі допустимих рішеньЗЛП, та перебування в даній множиніточки, що відповідає max/min цільової функції.

У зв'язку з обмеженими можливостяминаочного графічного уявлення даний методзастосовується тільки для систем лінійних нерівностей з двома невідомими та систем, які можуть бути приведені до цього виду.

Для того, щоб наочно продемонструвати графічний метод, вирішимо наступне завдання:

1. На першому етапі треба побудувати сферу допустимих рішень. Для даного прикладуНайзручніше вибрати X2 за абсцису, а X1 за ординату і записати нерівності в наступному вигляді:

Так як і графіки та область допустимих рішенні знаходяться у першій чверті. Для того щоб знайти граничні точки розв'язуємо рівняння (1) = (2), (1) = (3) та (2) = (3).

Як видно з ілюстрації, багатогранник ABCDE утворює область допустимих рішень.

Якщо область допустимих рішень не замкнута, то або max(f)=+ ?, або min(f)= -?.

2. Тепер можна перейти до безпосереднього знаходження максимуму функції f.

По черзі підставляючи координати вершин багатогранника у функцію f і порівнювати значення, знаходимо, що f(C)=f (4; 1)=19 - максимум функції.

Такий підхід цілком вигідний за малої кількості вершин. Але дана процедура може затягтися, якщо вершин досить багато.

У такому разі зручніше розглянути лінію рівня виду f=a. За монотонного збільшення числа a від -? до +? прямі f=a зміщуються за вектором нормалі. Якщо за такому переміщенні лінії рівня існує деяка точка X - перша загальна точка області допустимих рішень (багатогранник ABCDE) і рівня, то f(X) - мінімум f на безлічі ABCDE. Якщо X - остання точка перетину лінії рівня і множини ABCDE, то f(X) - максимум на безлічі допустимих рішень. Якщо при а>-? Пряма f=a перетинає безліч допустимих рішень, то min(f)= -?. Якщо це відбувається за а>+?, то max(f)=+ ?.

Цілі:

1. Повторити знання про квадратичну функцію.

2. Ознайомитись з методом розв'язання квадратної нерівності на основі властивостей квадратичної функції.

Обладнання:мультимедіа, презентація “Розв'язання квадратних нерівностей”, картки для самостійної роботи, таблиця "Алгоритм розв'язання квадратної нерівності", аркуші контролю з копіювальним папером.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент(1 хв).

ІІ. Актуалізація опорних знань(10 хв).

1. Побудова графіка квадратичної функції у=х 2 -6х+8<Рисунок 1. Приложение >

визначення напряму гілок параболи;
визначення координат вершини параболи;
визначення осі симетрії;
визначення точок перетину з осями координат;
знаходження додаткових точок.

2. Визначити за кресленням знак коефіцієнта a і кількість коренів рівняння ах 2+вх+с=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. За графіком функції у=х 2 -4х+3 визначити:

Чому рівні нулі функції;
Знайти проміжки, на яких функція приймає позитивні значення;
Знайти проміжки, на яких функція приймає від'ємні значення;
За яких значень х функція зростає, а за яких зменшується?<Рисунок 3>

4. Вивчення нових знань (12 хв.)

Завдання 1: Розв'язати нерівність: х 2+4х-5 > 0.

Нерівності задовольняють значення х, при яких значення функції у = х 2 +4х-5 дорівнюють нулю або позитивні, тобто ті значення х, при яких точки параболи лежать на осі ох або вище цієї осі.

Побудуємо графік функції у = х 2 +4х-5.

З віссю ох: Х2+4х-5=0. По теоремі Вієта: х 1 = 1, х 2 = -5. Крапки (1; 0), (-5; 0).

З віссю оу: у (0) = -5. Крапка (0;-5).

Додаткові точки: у(-1)=-8, у(2)=7.<Рисунок 4>

Підсумок: Значення функції позитивні і дорівнюють нулю (невід'ємні) при

Чи потрібно щоразу для вирішення нерівності докладно будувати графік квадратичної функції?
Чи потрібно знаходити координати вершини параболи?
А що важливе? (а, х 1, х 2)

Висновок: Для вирішення квадратної нерівності достатньо визначити нулі функції, напрямок гілок параболи та побудувати ескіз графіка.

Завдання 2: Розв'язати нерівність: х 2 -6х+8 < 0.

Рішення: Визначимо коріння рівняння х2-6х+8=0.

За теоремою Вієта: х 1 =2, х 2 =4.

а>0 - гілки параболи спрямовані вгору.

Збудуємо ескіз графіка.<Рисунок 5>

Зазначимо знаками “+” та “–” інтервали, на яких функція набуває позитивних та негативних значень. Виберемо необхідний інтервал.

Відповідь: Х€.

5. Закріплення нового матеріалу (7 хв).

№660 (3). Учень вирішує на дошці.

Вирішити нерівність-х 2 -3х-2<0.

Х 2 -3х-2 = 0; х 2+3х+2=0;

коріння рівняння: х 1 = -1, х 2 = -2.

а<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

№ 660 (1) - Робота із прихованою дошкою.

Вирішити нерівність х 2 -3х+2 < 0.

Рішення: х 2 -3х +2 = 0.

Знайдемо коріння: ; х 1 =1, х 2 =2.

а>0 - гілки вгору. Будуємо ескіз графіка функції.<Рисунок 7>

Алгоритм:

Знайти коріння рівняння ах 2+вх+с=0.
Відзначити їх на координатної площини.
Визначити напрямок гілок параболи.
Побудувати графіку ескіз.
Позначити знаками “+” та “ - ”, інтервали на яких функція набуває позитивних та негативних значень.
Вибрати потрібний інтервал.

6. Самостійна робота (10 хв.).

(Прийом - копіювальний папір).

Лист-контроль підписується та здається вчителю для перевірки та визначення корекції.

Самоперевірка на дошці.

Додаткове завдання:

№ 670. Знайти значення х, у яких функція набуває значення невеликі нуля: у=х 2 +6х-9.

7. Домашнє завдання (2 хв).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Заповнити таблицю:

D	Нерівність	a	Креслення	Рішення
D>0	ах 2+вх+с > 0	a>0
D>0	ах 2+вх+с > 0	a<0
D>0	ах 2+вх+с < 0	a>0
D>0	ах 2+вх+с < 0	a<0

8. Підсумок уроку (3 хв).

Відтворіть алгоритм розв'язання нерівностей.
Хто впорався з роботою на відмінно?
Що видалося складним?

Один із найзручніших методів розв'язання квадратних нерівностей – це графічний метод. У цій статті ми розберемо, як вирішуються квадратні нерівності графічним способом. Спочатку обговоримо, у чому суть цього способу. А далі наведемо алгоритм та розглянемо приклади розв'язання квадратних нерівностей графічним способом.

Навігація на сторінці.

Суть графічного методу

Взагалі графічний спосіб розв'язання нерівностейз однією змінною застосовується як вирішення квадратних нерівностей, а й нерівностей інших видів. Суть графічного способу розв'язання нерівностейнаступна: розглядають функції y=f(x) і y=g(x) , які відповідають лівої та правої частин нерівності, будують їх графіки в одній прямокутній системі координат і з'ясовують, на яких проміжках графік однієї з них розташовується нижче або вище за інше. Ті проміжки, на яких

графік функції f вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)>g(x);
графік функції f не нижче графіка функції g є рішеннями нерівності f(x)≥g(x);
графік функції f нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)
графік функції f не вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≤g(x) .

Також скажемо, що абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Перенесемо ці результати на наш випадок – для розв'язання квадратної нерівності a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

Вводимо дві функції: перша y = a x 2 + b x x c (при цьому f (x) = a x 2 + b x + c) відповідає лівій частині квадратної нерівності, друга y = 0 (при цьому g (x) = 0) відповідає правій частині нерівності. Графіком квадратичної функції f є парабола, а графіком постійної функції g - пряма, що збігається з віссю абсцис Ox.

Далі згідно з графічним способом розв'язання нерівностей треба проаналізувати, на яких проміжках графік однієї функції розташований вище або нижче за інший, що дозволить записати шукане розв'язання квадратної нерівності. У нашому випадку потрібно проаналізувати положення параболи щодо осі Ox.

Залежно від значень коефіцієнтів a, b і c можливі наступні шість варіантів (для наших потреб досить схематичного зображення, і можна не зображати вісь Oy, оскільки її положення не впливає на розв'язання нерівності):

На цьому кресленні ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані нагору, і яка перетинає вісь Ox у двох точках, абсциси яких є x1 і x2. Цей креслення відповідає варіанту, коли коефіцієнт a - позитивний (він відповідає за спрямованість вгору гілок параболи), і коли позитивно значення дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x x c (при цьому тричлен має два корені, які ми позначили як x 1 і x 2 , причому прийняли, що x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = -2 x 2 = 3 .

Давайте для наочності зобразимо червоним кольором частини параболи, розташовані вище за осі абсцис, а синім кольором – розташовані нижче за осі абсцис.

Наразі з'ясуємо, які проміжки цим частинам відповідають. Визначити їх допоможе наступне креслення (надалі подібні виділення у формі прямокутників будемо проводити подумки):

Так на осі абсцис виявилися підсвічені червоним кольором два проміжки (−∞, x 1) і (x 2 , +∞) , на них парабола вище за осі Ox , вони становлять розв'язання квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 , а синім кольором підсвічений проміжок (x 1 , x 2) , на ньому парабола нижче осі Ox , він є рішенням нерівності a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А тепер коротко: при a>0 і D=b 2 −4·a·c>0 (або D"=D/4>0 при парному коефіцієнті b)

розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) або в іншому записі x x 2;
розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, x 1 ]∪ або в іншому записі x 1 ≤x≤x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a x 2 + b x + c , причому x 1

Тут ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, і яка стосується осі абсцис, тобто має з нею одну загальну точку, позначимо абсцис цієї точки як x0. Представленому випадку відповідає a>0 (гілки направлені вгору) і D=0 ( квадратний тричленмає один корінь x 0). Для прикладу можна взяти квадратичну функцію y=x 2 −4·x+4 , тут a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 і x 0 =2 .

По кресленню чітко видно, що парабола розташована вище за осі Ox всюди, крім точки дотику, тобто, на проміжках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наочності виділимо на кресленні області за аналогією з попереднім пунктом.

Робимо висновки: при a>0 та D=0

розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) або в іншому записі x≠x 0 ;
розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, +∞) або в іншому записі x∈R ;
квадратна нерівність a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
квадратна нерівність a·x 2 +b·x+c≤0 має єдине рішення x=x 0 (його дає точка дотику),

де x 0 - корінь квадратного тричлена a x 2 + b x + c .

У цьому випадку гілки параболи спрямовані вгору, і вона не має загальних точокз віссю абсцис. Тут ми маємо умови a>0 (гілки спрямовані вгору) та D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола розташована вище осі Ox на всьому її протязі (немає інтервалів, на яких вона нижче осі Ox немає точки дотику).

Таким чином, при a>0 та D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 і a x 2 +b x + c≥0 є безліч всіх дійсних чисел, а нерівності a x 2 + b x + c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

І залишаються три варіанти розташування параболи з спрямованими вниз, а не вгору, гілками щодо осі Ox. У принципі їх можна і не розглядати, оскільки множення обох частин нерівності на −1 дозволяє перейти до рівносильної нерівності з позитивним коефіцієнтом при х 2 . Але все ж таки не завадить отримати уявлення і про ці випадки. Міркування тут аналогічні, тому запишемо лише головні результати.

Алгоритм рішення

Підсумком усіх попередніх викладок виступає алгоритм розв'язання квадратних нерівностей графічним способом:

На координатній площині виконується схематичний креслення, на якому зображується вісь Ox (вісь Oy зображати не обов'язково) і ескіз параболи, що відповідає квадратичній функції y = a x 2 + b x + c . Для побудови ескізу параболи достатньо з'ясувати два моменти:

По-перше, за значенням коефіцієнта a з'ясовується, куди спрямовані її гілки (при a>0 – вгору, при a<0 – вниз).
А по-друге, за значенням дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x + c з'ясовується, чи перетинає парабола вісь абсцис у двох точках (при D>0 ), стосується її в одній точці (при D=0 ), або не має спільних точок з віссю Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Коли креслення готове, по ньому на другому кроці алгоритму
- при розв'язанні квадратної нерівності a x 2 + b x x c> 0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис;
- при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c≥0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);
- при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- нарешті, при розв'язанні квадратної нерівності виду a x 2 + b x + c≤0 знаходяться проміжки, на яких парабола нижче осі Ox і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);
вони і становлять шукане розв'язання квадратної нерівності, а якщо таких проміжків немає і немає точок торкання, то вихідна квадратна нерівність не має розв'язків.

Залишається лише вирішити кілька квадратних нерівностей із застосуванням цього алгоритму.

Приклади із рішеннями

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно вирішити квадратну нерівність, скористаємося алгоритмом із попереднього пункту. На першому кроці нам потрібно зобразити ескіз графіка квадратичної функції . Коефіцієнт при x 2 дорівнює 2 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. З'ясуємо ще, чи парабола з віссю абсцис загальні точки, для цього обчислимо дискримінант квадратного тричлена . Маємо . Дискримінант виявився більшим за нуль, отже, тричлен має два дійсні корені: і тобто x 1 =−3 і x 2 =1/3 .

Звідси зрозуміло, що парабола перетинає вісь Ox двох точках з абсцисами −3 і 1/3 . Ці точки зобразимо на кресленні звичайними точками, оскільки розв'язуємо сувору нерівність. За з'ясованими даними отримуємо наступне креслення (він підходить під перший шаблон з першого пункту статті):

Переходимо до другого кроку алгоритму. Оскільки ми вирішуємо нестрогу квадратну нерівність зі знаком ≤, то нам потрібно визначити проміжки, на яких парабола розташована нижче за осі абсцис і додати до них абсциси точок перетину.

З креслення видно, що парабола нижче осі абсцис на інтервалі (-3, 1/3) і до нього додаємо абсциси точок перетину, тобто числа -3 і 1/3. В результаті приходимо до числового відрізка [−3, 1/3]. Це і є потрібне рішення. Його можна записати у вигляді подвійної нерівності −3≤x≤1/3.

Відповідь:

[−3, 1/3] або −3≤x≤1/3 .

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності −x 2 +16·x−63<0 .

Рішення.

Зазвичай починаємо з креслення. Числовий коефіцієнт при змінній квадраті негативний, −1 , тому, гілки параболи спрямовані вниз. Обчислимо дискримінант, а краще його четверту частину: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Його значення позитивно, обчислимо коріння квадратного тричлена: і , x 1 = 7 та x 2 = 9 . Так парабола перетинає вісь Ox у двох точках з абсцисами 7 і 9 (вихідна нерівність суворе, тому ці точки зображатимемо з порожнім центром). Тепер можна зробити схематичний малюнок:

Тому що ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

За кресленням видно, що рішеннями вихідної квадратної нерівності є два проміжки (−∞, 7) , (9, +∞) .

Відповідь:

(−∞, 7)∪(9, +∞) або в іншому записі x<7 , x>9 .

При розв'язанні квадратних нерівностей, коли дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині дорівнює нулю, потрібно бути уважним із включенням або винятком з відповіді абсцис точки дотику. Це залежить від знаку нерівності: якщо нерівність сувора, то вона не є розв'язком нерівності, а якщо несувора – то є.

приклад.

Чи має квадратну нерівність 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хоча б одне рішення?

Рішення.

Побудуємо графік функції y = 10 x 2 -14 x +4,9. Її гілки спрямовані вгору, так як коефіцієнт при x 2 позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0,7 так як D"=(-7) 2 −10·4,9=0 , звідки або 0,7 у вигляді десяткового дробу. Схематично це виглядає так:

Оскільки ми розв'язуємо квадратну нерівність зі знаком ≤, то її вирішенням будуть проміжки, на яких парабола нижче за осі Ox , а також абсцис точки торкання. З креслення видно, що немає жодного проміжку, де парабола була нижче осі Ox , тому його рішенням буде лише абсцис точки дотику, тобто, 0,7 .

Відповідь:

дана нерівність має єдине рішення 0,7.

приклад.

Розв'яжіть квадратну нерівність –x 2 +8·x−16<0 .

Рішення.

Діємо за алгоритмом розв'язання квадратних нерівностей та починаємо з побудови графіка. Гілки параболи спрямовані вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний -1. Знайдемо дискримінант квадратного тричлена –x 2 +8·x−16 , маємо D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0і далі x 0 = -4 / (-1), x 0 = 4. Отже, парабола стосується осі Ox у точці з абсцисою 4 . Виконаємо креслення:

Дивимося на знак вихідної нерівності, він є<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

У нашому випадку це відкриті промені (−∞, 4), (4, +∞). Окремо зауважимо, що 4 - абсцис точки дотику - не є рішенням, так як у точці дотику парабола не нижче осі Ox.

Відповідь:

(−∞, 4)∪(4, +∞) або в іншому записі x≠4 .

Зверніть особливу увагу на випадки, коли дискримінант квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині квадратної нерівності, менший за нуль. Тут не треба поспішати і говорити, що нерівність рішень не має (ми ж звикли робити такий висновок для квадратних рівнянь із негативним дискримінантом). Справа в тому, що квадратна нерівність при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності 3·x 2 +1>0 .

Рішення.

Як завжди починаємо з креслення. Коефіцієнт a дорівнює 3 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Обчислюємо дискримінант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Оскільки дискримінант негативний, парабола немає з віссю Ox загальних точок. Отриманих відомостей достатньо схематичного графіка:

Ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком >. Його рішенням будуть всі проміжки, на яких парабола знаходиться вище за осі Ox . У нашому випадку парабола вище за осю абсцис на всьому її протязі, тому шуканим рішенням буде безліч усіх дійсних чисел.

Ox , а також до них потрібно додати абсцис точок перетину або абсцис точки торкання. Але за кресленням добре видно, що таких проміжків немає (оскільки парабола всюди нижче осі абсцис), як немає і точок перетину, як немає і точки дотику. Отже, вихідна квадратна нерівність немає рішень.

Відповідь:

немає рішень або в іншому записі ∅.

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Тип уроку:

Вигляд уроку:Лекція, урок розв'язання задач.

Тривалість: 2 години.

Цілі:1)Вивчити графічний метод.

2) Показати застосування програми Maple під час вирішення систем нерівностей графічним методом.

3) Розвинути сприйняття та мислення з цієї теми.

План заняття:

Хід заняття.

1 етап: Графічний метод полягає у побудові безлічі допустимих рішень ЗЛП, і знаходженні в даній множині точки, що відповідає max/min цільової функції.

У зв'язку з обмеженими можливостями наочного графічного подання даний метод застосовується лише для систем лінійних нерівностей з двома невідомими та систем, які можуть бути приведені до цього виду.

Для того, щоб наочно продемонструвати графічний метод, вирішимо наступне завдання:

1. На першому етапі треба побудувати сферу допустимих рішень. Для даного прикладу найзручніше вибрати X2 за абсцису, а X1 за ординату і записати нерівності в наступному вигляді:

Як видно з ілюстрації, багатогранник ABCDE утворює область допустимих рішень.

Якщо область допустимих рішень не замкнута, то або max(f)=+ ?, або min(f)= -?.

2. Тепер можна перейти до безпосереднього знаходження максимуму функції f.

У такому разі зручніше розглянути лінію рівня виду f=a. За монотонного збільшення числа a від -? до +? прямі f=a зміщуються по вектору нормалі Вектор нормалі має координати (С1;С2), де C1 і C2 коефіцієнти при невідомих цільовій функції f=C1?X1+C2?X2+C0.. Якщо при такому переміщенні лінії рівня існує деяка точка X - перша загальна точка області допустимих рішень (багатогранник ABCDE) і лінії рівня, то f(X) - мінімум f на множині ABCDE. Якщо X- остання точка перетину лінії рівня та множини ABCDE то f(X)- максимум на множині допустимих рішень. Якщо при а>-? Пряма f=a перетинає безліч допустимих рішень, то min(f)= -?. Якщо це відбувається за а>+?, то max(f)=+ ?.

У прикладі пряма f=a пересіює область ABCDE у точці З(4;1). Оскільки це остання точка перетину, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Вирішити графічно систему нерівностей. Знайти кутові рішення.

x1>=0, x2>=0

> with(plots);

> with(plottools);

> S1:=solve((f1x = X6, f2x = X6), );

Відповідь: Усі точки Si де i=1..10 для яких x та y позитивна.

Область, обмежена даними точками: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

3 етап. Кожному учневі дається одне із 20 варіантів, у якому учневі пропонується самостійно вирішити нерівність графічним шляхом, інші приклади як домашнього завдання.

Заняття №4 Графічне рішеннязавдання лінійного програмування

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

Вигляд уроку:Лекція + урок розв'язання задач.

Тривалість: 2 години.

Цілі: 1) Вивчити графічне рішення задачі лінійного програмування.

2) Навчити користуватися програмою Maple під час вирішення завдання лінійного програмування.

2) Розвинути сприйняття, мислення.

План заняття: 1 етап: вивчення нового матеріалу.

2 етап: Відпрацювання нового матеріалу у математичному пакеті Maple.

3 етап: перевірка вивченого матеріалу та домашнє завдання.

Хід заняття.

Графічний метод досить простий і наочний вирішення завдань лінійного програмування з двома змінними. Він заснований на геометричномуподанні допустимих рішень та ЦФ завдання.

Кожна з нерівностей задачі лінійного програмування (1.2) визначає на координатній площині деяку напівплощину (рис.2.1), а система нерівностей загалом - перетин відповідних площин. Безліч точок перетину даних напівплощин називається областю допустимих рішень(ОДР). ОДР завжди є опуклуфігуру, тобто. що володіє наступною властивістю: якщо дві точки А і В належать цій фігурі, то весь відрізок АВ належить їй. ОДР графічно може бути представлена опуклим багатокутником, необмеженою опуклою багатокутною областю, відрізком, променем, однією точкою У разі несумісності системи обмежень задачі (1.2) ОДР є пустою множиною.

Все вищесказане стосується і випадку, коли система обмежень (1.2) включає рівності, оскільки будь-яка рівність

можна у вигляді системи двох нерівностей (див. рис.2.1)

ЦФ при фіксованому значенні визначає на площині пряму лінію. Змінюючи значення L, ми отримаємо сімейство паралельних прямих, званих лініями рівня.

Це з тим, що зміна значення L спричинить зміна лише довжини відрізка, отсекаемого лінією рівня осі (початкова ордината), а кутовий коефіцієнтпрямий залишиться постійним (див. рис.2.1). Тому для вирішення достатньо побудувати одну з ліній рівня, довільно вибравши значення L.

Вектор з координатами з коефіцієнтів ЦФ при перпендикулярний до кожної з ліній рівня (див. рис.2.1). Напрямок вектора збігається з напрямком зростанняЦФ, що є важливим моментомдля вирішення завдань. Напрям спаданняЦФ протилежно напрямку вектора.

Суть графічного методу ось у чому. У напрямку (проти напрямку) вектора в ОДР проводиться пошук оптимальної точки. Оптимальною вважається точка, якою проходить лінія рівня, що відповідає найбільшому (найменшому) значенню функції. Оптимальне рішення завжди знаходиться на межі ОДР, наприклад, в останній вершині багатокутника ОДР, через яку пройде цільовапряма, або по всій його стороні.

При пошуку оптимального розв'язання задач лінійного програмування можливі такі: існує єдине рішення задачі; існує безліч рішень (альтернативний оптиум); ЦФ не обмежена; область допустимих рішень – єдина точка; Завдання немає рішень.

Малюнок 2.1 Геометрична інтерпретація обмежень та ЦФ завдання.

Методика вирішення завдань ЛП графічним методом

I. В обмеженнях завдання (1.2) замінити знаки нерівностей знаками точних рівностей та побудувати відповідні прямі.

ІІ. Знайти та заштрихувати напівплощини, дозволені кожним з обмежень-нерівностей задачі (1.2). Для цього потрібно підставити в конкретну нерівність координати будь-якої точки [наприклад, (0; 0)] і перевірити істинність отриманої нерівності.

Якщонерівність істинна,

тотреба заштрихувати напівплощину, що містить цю точку;

інакше(Нерівність хибне) треба заштрихувати напівплощину, що не містить дану точку.

Оскільки і повинні бути невід'ємними, то їх допустимі значення завжди будуть перебувати вище осі та правіше за осі, тобто. у першому квадранті.

Обмеження-рівності дозволяють лише ті точки, які лежать на відповідній прямій. Тому необхідно виділити на графіку такі прямі.

ІІІ. Визначити ОДР як частину площини, що належить одночасно всім дозволеним областям, та виділити її. За відсутності ОДР завдання немає рішень.

IV. Якщо ОДР - не порожня безліч, потрібно побудувати цільову пряму, тобто. будь-яку з ліній рівня (де L - довільне число, наприклад, кратне і, тобто. зручне щодо розрахунків). Спосіб побудови аналогічний до побудови прямих обмежень.

V. Побудувати вектор, який починається у точці (0; 0) і закінчується у точці. Якщо цільова пряма та вектор побудовані правильно, то вони будуть перпендикулярні.

VI. При пошуку максимуму ЦФ необхідно пересувати цільову пряму в напрямкувектора, при пошуку мінімуму ЦФ - проти напрямкувектор. Остання під час руху вершина ОДР буде точкою максимуму чи мінімуму ЦФ. Якщо такої точки (точок) не існує, то можна зробити висновок необмеженості ЦФ на безлічі планівзверху (при пошуку максимуму) або знизу (при пошуку мінімум).

VII. Визначити координати точки max (min) ЦФ та обчислити значення ЦФ. Для обчислення координат оптимальної точки необхідно вирішити систему рівнянь прямих на перетині яких знаходиться.

Розв'язати задачу лінійного програмування

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>=0, x2>=0

> plots((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, optionsfeasible=(color=red),

optionsopen=(color=blue, thickness=2),

optionsclosed=(color=green, thickness=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

> with(simplex):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=basis(dp);

Ш display(C,);

> L:=cterm(C);

Ш X: = dual (f, C, p);

Ш f_max:=subs(R,f);

Ш R1:=minimize(f,C,NONNEGATIVE);

f_min: = subs (R1, f);

ВІДПОВІДЬ: x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; При x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Урок № 5.Рішення матричних ігор, використовуючи методи лінійного програмування та симплекс метод

Тип уроку:контроль + урок вивчення нового матеріалу. Вигляд уроку: Лекція.

Тривалість: 2 години.

Цілі:1)Перевірити та закріпити знання з минулого матеріалу на минулих уроках.

2) Вивчити новий спосіб розв'язання матричних ігор.

3) розвинути пам'ять, математичне мислення та увагу.

1 етап: перевірити домашнє завдання як самостійної роботи.

2 етап:дати короткий опис методу зигзагу

3 етап:закріпити новий матеріал та дати домашнє завдання.

Хід заняття.

Методи лінійного програмування - чисельні методи вирішення оптимізаційних завдань, що зводяться до формальних моделей лінійного програмування.

Як відомо, будь-яка задача лінійного програмування може бути приведена до канонічної моделі мінімізації лінійної цільової функції з лінійними обмеженнями типу рівностей. Оскільки число змінних у задачі лінійного програмування більше кількості обмежень (n > m), можна отримати рішення, прирівнявши нулю (n - m) змінних, званих вільними. Ті, що залишилися m змінних, званих базисними, Можна легко визначити із системи обмежень-рівностей звичайними методами лінійної алгебри. Якщо рішення існує, воно називається базисним. Якщо базисне рішення допустиме, воно називається базисним допустимим. Геометрично, базисні допустимі рішення відповідають вершинам (крайнім точкам) опуклого багатогранникащо обмежує безліч допустимих рішень. Якщо завдання лінійного програмування має оптимальні рішення, то, принаймні, одне з них є базисним.

Наведені міркування означають, що з пошуку оптимального рішення задачі лінійного програмування досить обмежитися перебором базисних допустимих рішень. Число базисних рішень дорівнює числу поєднань з n змінних m:

З = m n! / n m! * (n - m)!

і може бути досить велике для їх перерахування прямим перебором за реальний час. Те, що не всі базисні рішення є допустимими, істота проблеми не змінює, оскільки, щоб оцінити допустимість базисного рішення, її необхідно отримати.

Проблема раціонального перебору базисних рішень задачі лінійного програмування було вирішено Дж. Данцигом. Запропонований ним симплекс-метод дотепер є найпоширенішим загальним методомлінійного програмування. Симплекс-метод реалізує спрямований перебір допустимих базисних рішень за відповідними крайніми точками опуклого багатогранника допустимих рішень у вигляді ітеративного процесу, де на кожному кроці значення цільової функції суворо зменшуються. Перехід між крайніми точками здійснюється по ребрах опуклого багатогранника допустимих рішень відповідно до простих лінійно-алгебраїчних перетворень системи обмежень. Оскільки число крайніх точокЗвичайно, а цільова функція лінійна, то перебираючи крайні точки в напрямку зменшення цільової функції, симплекс-метод за кінцеве число кроків сходить до глобального мінімуму.

Практика показала, що більшість прикладних завданьлінійного програмування симплекс-метод дозволяє знайти оптимальне вирішенняза відносно невелику кількість кроків порівняно з загальним числомкрайніх точок допустимого багатогранника. У той же час відомо, що для деяких завдань лінійного програмування зі спеціально підібраною формою допустимої області застосування симплекс-метода призводить до повного перебору крайніх точок. Цей факт певною мірою стимулював пошук нових ефективних методіврозв'язання задачі лінійного програмування, побудованих на інших, ніж симплекс-метод, ідеях, що дозволяють вирішувати будь-яке завдання лінійного програмування за кінцеве число кроків, істотно менше числакрайніх точок.

Серед поліноміальних методівлінійного програмування, інваріантних до конфігурації області допустимих значень, Найбільш поширеним є метод Л.Г. Хачіяна. Однак, хоча цей метод і має поліноміальну оцінку складності залежно від розмірності завдання, проте він виявляється неконкурентним у порівнянні з симплекс-методом. Причина цього в тому, що залежність числа ітерацій симплекс-метода від розмірності задачі виражається поліномом 3-го порядку для більшості практичних завдань, у той час як у методі Хачіяна, ця залежність завжди має порядок не нижче четвертого. Вказаний факт має вирішальне значеннядля практики, де складні для симплекс-метод прикладні завдання зустрічаються вкрай рідко.

Слід зазначити, що з важливих у практичному сенсі прикладних завдань лінійного програмування розроблено спеціальні методи, що враховують конкретний характер обмежень завдання. Зокрема, для однорідної транспортного завданнязастосовуються спеціальні алгоритми вибору початкового базису, найбільш відомими з яких є метод північно-західного кута та наближений метод Фогеля, а сама алгоритмічна реалізація симплекс-методу наближена до специфіки задачі. Для вирішення задачі лінійного призначення (завдання вибору) замість симплекс-метода зазвичай застосовується або угорський алгоритм, заснований на інтерпретації задачі в термінах теорії графів як задачі пошуку максимального за вагою досконалого паросполучення у дводольному графі, або метод Мака.

Вирішити матричну гру розміру 3х3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> with(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Ш display(C,);