Для повноти ми коротко обговоримо нижче поняття спектра та спектральної густини. Застосування цих важливих понять докладніше описано у . Ми не використовуємо їх для аналізу часових рядів у цій книзі, тому при першому читанні цей розділ можна опустити.

Вибірковий спектр. Під час визначення періодограми (2.2.5) передбачається, що частоти є гармоніками основний частоти . Вводячи спектр, ми послаблюємо це і дозволяємо частоті змінюється безперервно в діапазоні 0-0,5 Гц. Визначення періодограми може бути змінено так:

, , (2.2.7)

де називається вибірковим спектром. Подібно до періодограми, він може бути використаний для виявлення та оцінки амплітуд синусоїдальної компоненти невідомої частоти , прихованої в шумі, і дійсно це навіть зручніше, якщо тільки не відомо, що частота пов'язана гармонійно з довгою ряду, тобто . Більше того, він є відправним пунктом для теорії спектрального аналізу, що використовує важливе співвідношення, наведене у додатку П2.1. Це співвідношення встановлює зв'язок вибіркового аналізу спектра та оцінок автоковаріаційної функції:

. (2.2.8)

Таким чином, вибірковий спектр – це косинус-перетворення Фур'є вибіркової автоковарійної функції.

Спектр. Періодограма і вибірковий спектр - зручні поняття аналізу часових рядів, утворених сумішшю косинусоїд синусоїд з постійними частотами, прихованими в шумі. Однак стаціонарні часові ряди такого типу, як описані в розд. 2.1, характеризуються випадковими змінами частоти, амплітуди та фази. Для таких рядів вибірковий спектр сильно флуктує і не допускає будь-якої розумної інтерпретації.

Припустимо, однак, що вибірковий спектр був обчислений для тимчасового ряду спостережень, що є реалізацією стаціонарного нормального процесу. Як уже говорилося вище, такий процес не має ніяких детермінованих синусоїдальних або косинусоїдальних компонентів, але ми можемо формально провести аналіз Фур'є і отримати значення для будь-якої частоти. Якщо повторні реалізації спостережень породжені стохастичним процесом, ми можемо зібрати популяцію значень і . Тоді ми можемо знайти середнє значення за повторними реалізаціями довжини, а саме

. (2.2.9)

Для великих значень можна показати (див., наприклад, ), що середнє значення автоковаріації у повторних реалізаціях йти до теоретичної автоковаріації, тобто.

Переходячи до межі (2.2.9) для , визначаємо спектру потужності як

, . (2.2.10)

Зазначимо, що оскільки

то для збіжності спектра має зменшуватися зі зростанням настільки швидко, що забезпечувати збіжність ряду (2.2.11). Так як спектр потужності це косинус - перетворення Фур'є автоковаріаційної функції, знання автоковаріаційної функції математично еквівалентне знання спектра потужності і навпаки. Далі ми називатимемо спектр потужності просто спектром.

Інтегруючи (2.2.10) в межах від 0 і 1/2, знайдемо дисперсію процесу

. (2.2.12)

Отже, як і періодограма показує, яким чином дисперсія (2.2.6) ряду, що складається з суміші синусоїд і косінусоїд, розподілена між різними гармонійними компонентами, спектр показує, як дисперсія стохастичного процесу розподілена в безперервному діапазоні частот. Можна інтерпретувати як наближене значення дисперсії процесу частотному діапазоні від до .

Нормований спектр. Іноді зручніше визначати спектр (2.2.10) за допомогою автокореляцій, а не автоковарацій. Результуюча функція

, (2.2.13). Проте можна показати (див. ), що вибірковий спектр стаціонарного часового ряду сильно флуктує навколо теоретичного спектра. Інтуїтивне пояснення цього факту полягає в тому, що вибірковий спектр відповідає використанню надто вузького інтервалу частотної області. Це аналогічно використанню занадто вузького інтервалу групування для гістограми при оцінці звичайного розподілу ймовірностей, використовуючи модифіковану або згладжену оцінку

, (2.2.14)

де - спеціально підібрані ваги, які називають кореляційним вікном, можна збільшити «ширину смуги» оцінки і отримає згладжену оцінку спектра.

На рис. 2.8 показано вибіркова оцінкаспектра даних про партії продукту. Видно, що дисперсія ряду сконцентрована переважно на високих частотах. Це викликано швидкими осциляціями ряду, показаного на рис. 2.1.

Нехай сигнал s(t) заданий у вигляді не періодичної функції, причому він існує лише на інтервалі ( t 1 ,t 2) (приклад – одиночний імпульс). Виберемо довільний відрізок часу T, Що включає інтервал ( t 1 ,t 2) (див. рис.1).

Позначимо періодичний сигнал, отриманий з s(t), у вигляді ( t). Тоді для нього можна записати низку Фур'є

Для того, щоб перейти до функції s(t) слід у виразі ( t) спрямувати період до нескінченності. При цьому кількість гармонійних складових із частотами w=n 2p/Tбуде нескінченно велика, відстань між ними буде прагнути до нуля (до нескінченно малої величини:

амплітуди складових також будуть нескінченно малі. Тому говорити про спектр такого сигналу вже не можна, тому що спектр стає суцільним.

Внутрішній інтеграл є частотною функцією. Його називають спектральною густиною сигналу, або частотною характеристикою сигналу і позначають тобто.

Межі інтегрування можна для спільності поставити нескінченними, оскільки однаково там, де s(t) дорівнює нулю, і інтеграл дорівнює нулю.

Вираз для спектральної густини називають прямим перетворенням Фур'є. Зворотне перетворення Фур'є визначає тимчасову функцію сигналу з його спектральної щільності

ряме (*) і зворотне (**) перетворення Фур'є разом називають парою перетворень Фур'є. Модуль спектральної густини

визначає амплітудно-частотну характеристику (АЧХ) сигналу, а її аргумент називають фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) сигналу. АЧХ сигналу є парною функцією, а ФЧХ – непарною.

Сенс модуля S(w) визначається як амплітуда сигналу (струму або напруги), що припадає на 1 Гц в нескінченно вузькій смузі частот, яка включає в себе розглянуту частоту w. Його розмірність – [сигнал/частота].

Енергетичний спектр сигналу.Якщо функція s(t) має фур'є-щільність потужності сигналу ( спектральна щільність енергії сигналу) визначається виразом:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Спектр потужності W()-речова невід'ємна парна функція, яку зазвичай називають енергетичним спектром. Спектр потужності, як квадрат модуля спектральної щільності сигналу, не містить фазової інформації про його частотні складові, а, отже, відновлення сигналу по спектру потужності неможливе. Це також означає, що сигнали з різними фазовими характеристиками можуть мати однакові спектри потужності. Зокрема, зсув сигналу не відбивається з його спектрі потужності. Останнє дозволяє одержати вираз для енергетичного спектра безпосередньо з виразів (5.2.7). У межі, для однакових сигналів u(t) і v(t) при зсуві t 0, уявна частина спектра Wuv () прагне нульовим значенням, а реальна частина - до значень модуля спектра. При повному тимчасовому поєднанні сигналів маємо:

тобто. енергія сигналу дорівнює інтегралу квадрата модуля його частотного спектра - сумі енергії його частотних складових, і є речовинної величиною.

Для довільного сигналу s(t) рівність

зазвичай називають рівністю Парсеваля (у математиці – теорема Планшереля, у фізиці – формулою Релея). Рівність очевидна, оскільки координатне і частотне уявлення сутнісно лише різні математичні відображення однієї й тієї ж сигналу. Аналогічно енергії взаємодії двох сигналів:

З рівності Парсеваля випливає інваріантність скалярного добутку сигналів та норми щодо перетворення Фур'є:

У ряді суто практичних завдань реєстрації та передачі сигналів енергетичний спектр сигналу має дуже важливе значення. Періодичні сигнали переводяться в спектральну областьу вигляді рядів Фур'є. Запишемо періодичний сигнал із періодом Т у вигляді ряду Фур'є в комплексній формі:

Інтервал 0-Т містить цілу кількість періодів всіх підінтегральних експонент, і дорівнює нулю, за винятком експоненти при k = -m, для якої інтеграл дорівнює Т. Відповідно, середня потужність періодичного сигналу дорівнює сумі квадратів модулів коефіцієнтів його ряду Фур'є:

Енергетичний спектр сигналу – це розподіл енергії базисних сигналів, що становлять негармонічний сигнал, на осі частот. Математично енергетичний спектр сигналу дорівнює квадрату модуля спектральної функції:

Відповідно амплітудно-частотний спектр показує безліч амплітуд складових базисних сигналів на частотній осі, а фазо-частотний – безліч фаз

Модуль спектральної функції часто називають амплітудним спектром, А її аргумент - фазовим спектром.

Крім того, існує і зворотне перетворення Фур'є, що дозволяє відновити вихідний сигнал, знаючи його спектральну функцію:

Наприклад, візьмемо прямогульний імпульс:

Ще один приклад спектрів:

Частота Найквіста, теорема Котельникова .

Частота Найквіста - у цифровій обробці сигналів частота, що дорівнює половині частоти дискретизації. Названа на честь Гаррі Найквіста. З теореми Котельникова випливає, що з дискретизації аналогового сигналу втрат інформації буде лише у тому разі, якщо спектр (спектральна щільність)(найвища частота корисного сигналу) сигналу дорівнює чи нижче частоти Найквіста. В іншому випадку при відновленні аналогового сигналу буде місце накладення спектральних «хвостів» (підміна частот, маскування частот), і форма відновленого сигналу буде спотворена. Якщо спектр сигналу немає складових вище частоти Найквіста, він може бути (теоретично) продискретизирован і потім відновлено без спотворень. Фактично «оцифровка» сигналу (перетворення аналогового сигналу на цифровий) пов'язана з квантуванням відрахунків - кожен відлік записується у вигляді цифрового коду кінцевої розрядності, в результаті чого до відліків додаються помилки квантування (округлення), за певних умов розглядаються як «шум квантування».

Реальні сигнали кінцевої тривалості завжди мають нескінченно широкий спектр, більш менш менш швидко зменшується зі зростанням частоти. Тому дискретизація сигналів завжди призводить до втрат інформації (спотворення форми сигналу при дискретизації-відновленні), як би не була високою частотою дискретизації. При вибраній частоті дискретизації спотворення можна зменшити, якщо забезпечити придушення спектральних складових аналогового сигналу (до дискретизації), що лежать вище за частоту Найквіста, для чого потрібен фільтр дуже високого порядку, щоб уникнути накладання «хвостів». Практична реалізація такого фільтра дуже складна, тому що амплітудно-частотні характеристики фільтрів мають не прямокутну, а гладку форму, і утворюється деяка перехідна смуга частот між смужкою пропускання та смугою придушення. Тому частоту дискретизації вибирають із запасом, наприклад, в аудіо компакт-дисках використовується частота дискретизації 44100 Герц, тоді як найвищою частотою спектрі звукових сигналів вважається частота 20000 Гц. Запас за частотою Найквіста в 44100/2 - 20000 = 2050 Гц дозволяє уникнути заміни частот при використанні фільтру, що реалізується, невисокого порядку.

Теорема Котельникова

Для того, щоб відновити вихідний безперервний сигнал дискретизованого з малими спотвореннями (похибками), необхідно раціонально вибрати крок дискретизації. Тому при перетворенні аналогового сигналу на дискретний обов'язково виникає питання про величину кроку дискретизації. Інтуїтивно неважко зрозуміти наступну ідею. Якщо аналоговий сигнал має низькочастотний спектр, обмежений деякою верхньою частотою Fe, (тобто функція u(t) має вигляд кривою, що плавно змінюється, без різких змін амплітуди), то навряд чи на деякому невеликому часовому інтервалі дискретизації ця функція може істотно змінюватися по амплітуді. Цілком очевидно, що точність відновлення аналогового сигналу за послідовністю його відліків залежить від величини інтервалу дискретизації Чим він коротший, тим менше відрізнятиметься функція u(t) від плавної кривої, що проходить через точки відліків. Однак із зменшенням інтервалу дискретизації суттєво зростає складність та обсяг обробної апаратури. При досить великому інтервалі дискретизації зростає можливість спотворення чи втрати інформації при відновленні аналогового сигналу. Оптимальна величина інтервалу дискретизації встановлюється теоремою Котельникова (інші назви - теорема відліків, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквіста: вперше теорема була відкрита в математиці О. Коші, а потім описана повторно Д. Карсоном і Р. Хартлі), доведеною ним у 1933 Теорема В. А. Котельникова має важливе теоретичне і практичне значення: дає можливість правильно здійснити дискретизацію аналогового сигналу та визначає оптимальний спосібйого відновлення на приймальному кінці за відліковим значенням.

Згідно з однією з найвідоміших і найпростіших інтерпретацій теореми Котельникова, довільний сигнал u(t), спектр якого обмежений деякою частотою Fe може бути повністю відновлений за послідовністю своїх відлікових значень, наступних з інтервалом часу

Інтервал дискретизації та частоту Fe (1) у радіотехніці часто називають відповідно інтервалом та частотою Найквіста. Аналітично теорема Котельникова представляється поруч

де k – номер відліку; - Значення сигналу в точках відліку - Верхня частота спектра сигналу.

Частотне представлення дискретних сигналів .

Більшість сигналів можна подати у вигляді ряду Фур'є:

Функція не є періодичною, тому вона не може бути розкладена в ряд Фур'є. З іншого боку, функція через необмежену тривалість не інтегрована і тому може бути представлена ​​інтегралом Фур'є. Для уникнення цих труднощів вводиться допоміжна функція, яка збігається з функцією на інтервалі і дорівнює нулю поза цим інтервалом:

(5.15)

Функція інтегрована і для неї існує пряме перетворення Фур'є (інтеграл Фур'є):

(5.16)

Спектральна щільність потужностівипадкового сигналу (або просто спектральною щільністю ) називається функція виду:

(5.17)

Спектральна щільність- це функція, що характеризує розподіл середніх значень квадратів амплітуд гармонік сигналу. Спектральна щільність має такі властивості:

1. Чим швидше змінюється стаціонарний випадковий процес, тим ширший графік .

2. Окремі піки на графіку спектральної густини свідчать про наявність у випадкового сигналу періодичних складових.

3. Спектральна щільність є парною функцією:

(5.18)

Спектральна щільність пов'язана з дисперсією сигналу такою відповідністю:

(5.19)

Експериментально спектральна щільність визначається (обчислюється) за такою схемою:

Мал. 5.6.

Спектральна щільність пов'язана з кореляційною функцією наступним виразом(за теоремою Хінчина-Вінера):

(5.20)

(5.21)

Якщо розкласти множники і за допомогою формули Ейлера і врахувати, що і є парними функціями, а - непарна функція, то вирази (5.20), (5.21) можна перетворити до наступного виду:

(5.22)

(5.23)

Вирази (5.23), (5.24) застосовують у практичних розрахунках. Неважко помітити, що при виразі (5.24) визначає дисперсію стаціонарного випадкового процесу.

(5.24)

Співвідношення, що пов'язують кореляційну функцію і спектральну щільність, володіють усіма властивими перетворенню Фур'є властивостями і визначають такі порівняльні характеристики: чим ширший графік, тим вже графік, і навпаки, чим швидше зменшується функція, тим повільніше зменшується функція. Цей взаємозв'язок ілюструють графіка на рис (5.7), (5.8)

Мал. 5.7.

Мал. 5.8.

Лінії 1 на обох малюнках відповідають випадковому сигналу, що повільно змінюється, в спектрі якого переважають низькочастотні гармоніки. Лінії 2 відповідають швидкозмінному сигналу, в спектрі якого переважають високочастотні гармоніки.

Якщо випадковий сигнал змінюється у часі дуже різко і між його попередніми та наступними значеннями кореляція практично відсутня, то кореляційна функція має вигляд дельта-функції (лінія 3). Графік спектральної щільності у разі представляє горизонтальну пряму в діапазоні. Це свідчить про те, що амплітуди гармонік у всьому діапазоні частот однакові. Такий сигнал називається білим шумом (за аналогією з білим світлом, у якого, як відомо, інтенсивність всіх компонентів однакова).

Поняття "білого шуму" є математичною абстракцією. Фізично сигнали у вигляді білого шуму неможливі, тому що нескінченно широкому спектру відповідає нескінченно велика дисперсія, а отже, нескінченно велика потужність. Проте, часто реальні системи з кінцевим спектром можна наближено розглядати як білий шум. Це спрощення правомірно у тих випадках, коли спектр сигналу значно ширший за смугу пропускання системи, на яку діє сигнал.

Розглянемо так звану енергетичну форму інтеграла Фур'є. У розділі 5 були наведені формули (7.15) та (7.16), що дають перехід від функції часу до зображення Фур'є та назад. Якщо розглядається деяка випадкова функція часу х(с), то для неї ці формули можуть бути записані у вигляді

і проінтегруємо по всьому

замінимо виразом (11.54):

Розмір, що у квадратних дужках (11.57), як неважко бачити, є вихідною функцією часу (11.55). Тому в результаті виходить так звана формула Релея (теорема Парсеваля), яка відповідає енергетичній формі інтеграла Фур'є:

Права частина (11.58) і (11.39) є величиною, пропорційною енергії аналізованого процесу. Так, наприклад, якщо розглядається струм, що протікає по деякому резистори з опором К, то енергія, що виділилася в цьому резистори за час і буде

Формули (11.58) та (11.59) і виражають енергетичну форму інтеграла Фур'є.

Однак ці формули незручні тим, що для більшості процесів енергія за нескінченний інтервал часу прагне також нескінченності. Тому зручніше мати справу не з енергією, а із середньою потужністю процесу, яка буде отримана, якщо енергію поділити на інтервал спостереження. Тоді формулу (11.58) можна подати у вигляді

Вводячи позначення

зветься спектральної щільності. Важливим

За своїм фізичним змістом спектральна щільність є величина, яка пропорційна середній потужності процесу в інтервалі частот від со до со + й?

У деяких випадках спектральну густину розглядають тільки для позитивних частот, подвоюючи її при цьому, що можна зробити, оскільки спектральна густина є парною функцією частоти. Тоді, наприклад, формула (11.62) має бути записана у вигляді

- Спектральна щільність для позитивних частот.

тому що при цьому формули набувають більш симетричного характеру.

Дуже важливою обставиною є те, що спектральна щільність та кореляційна функція випадкових процесів є взаємними перетвореннями Фур'є, тобто вони пов'язані інтегральними залежностями типу (11.54) і (11.55). Ця властивість наводиться без доказів.

Таким чином, можуть бути записані такі формули:

Оскільки спектральна щільність і кореляційна функція є парні речові функції, то іноді формули (11.65) і (11.66) представляють у більш простому вигляді;

)

Це випливає із того, що мають місце рівності:

і уявні частини можуть бути відкинуті після підстановки (11.65) і (11.66), так як зліва стоять речові функції.

полягає в тому, що чим уже графік спектральної щільності (рис, 11.16 а), тобто чим менші частоти представлені в спектральній щільності, тим повільніше змінюється величина х в часі. Навпаки, чим ширший графік спектральної густини (рис. 11.16, б), тобто чим більші частоти представлені в спектральній густині, тим тонша структурафункції х (г) і тим швидше відбуваються зміни.

Як видно з цього розгляду, зв'язок між видом спектральної щільності і видом функції часу виходить зворотним, але порівняно зі зв'язком між кореляційною функцією і самим процесом (рис. 11.14). Звідси випливає, що ширшому графіку спектральної щільності має відповідати вужчий графік кореляційної функції і навпаки.

і 8 (з). Ці функції, на відміну імпульсних функцій, що розглядалися у розділі 4, є парними. Це означає, що функція 8 (т) розташована симетрично щодо початку координат і може бути визначена в такий спосіб;

Аналогічне визначення відноситься до функції 8 (с). Іноді на розгляд вводять нормовану спектральну щільність, що є зображенням Фур'є нормованої кореляційної функції (11.52):

і, отже,

де О – дисперсія.

Взаємні спектральні густини також є мірою зв'язку між двома випадковими величинами. За відсутності зв'язку взаємні спектральні густини дорівнюють нулю.

Розглянемо деякі приклади.

Ця функція зображена на рис. 11.17, а. Відповідне їй зображення Фур'є виходячи з табл. 11.3 буде

Спектр процесу складається з єдиного піку типу імпульсної функції, яка розташована на початку координат (рис. 11,17, б).

Це означає, що вся потужність процесу, що розглядається, зосереджена на кульовій частоті, що і слід очікувати.

Ця функція зображена на рис. 11.18 а, Відповідно до табл. 11.3 спектральна щільність буде

3. Для періодичної функції, що розкладається в ряд Фур'є

крім періодичної частини міститиме неперіодичну складову, то спектр цієї функції міститиме, поряд з окремими лініями типу імпульсної функції, також і безперервну частину (рис. 11.20). Окремі піки на графіку спектральної щільності вказують на присутність у досліджуваній функції прихованих неріодичностей.

не містить періодичної частини, вона матиме безперервний спектр без яскраво виражених піків.

Розглянемо деякі стаціонарні випадкові процеси, які мають значення щодо систем управління. Розглянемо тільки центровані

При цьому середній квадрат випадкової величини дорівнюватиме дисперсії:

облік постійного зміщення у системі управління є елементарним.

(Рис. 11.21, а):

Приклад такого процесу – теплові шуми резистора, які дають рівень спектральної щільності хаотичної напруги на цьому резисторі.

Абсолютна температура.

На підставі (11,68) спектральної густини (11.71) відповідає кореляційна функція

відсутня кореляція між наступними та попередніми значеннями випадкової величини х.

отже, нескінченно велика потужність.

Щоб отримати фізично реальний процес, зручно запровадити поняття білого шуму з обмеженою спектральною щільністю (рис. 11.21, б):

Смуга частот для спектральної густини.

Цьому процесу відповідає кореляційна функція

Середньоквадратичне значення випадкової величини пропорційно до кореня квадратного зі смуги частот:

Часто буває зручніше апроксимувати залежність (11.73) плавною кривою. Для цієї мети можна, наприклад, використовувати вираз

Коефіцієнт, що визначає ширину смуги частот.

Процес наближається до білого шуму, так

як для цих частот

Інтегрування (11.77) по всіх частотах дозволяє визначити дисперсію:

Тому спектральна густина (11.77) може бути записана в іншому вигляді:

Кореляційна функція для цього процесу

Кореляційна функція також зображено на рис. 11.21, ст.

Перехід від одного значення до іншого відбувається миттєво. Інтервали часу підпорядковуються закону розподілу Пуассона (11.4).

Графік такого виду виходить, наприклад, у першому наближенні при стеженні радіолокатором за метою, що рухається. Постійне значення швидкості відповідає руху мети прямою. Зміна знака чи величини швидкості відповідає маневру мети.

Буде середнім значенням інтервалу часу протягом якого кутова швидкість зберігає постійне значення. Стосовно радіолокатора це значення буде середнім часом руху мети по прямій.

Для визначення кореляційної функції необхідно знайти середнє значення твору

При знаходженні цього твору може бути два випадки.

відносяться до одного інтервалу. Тоді середнє значення твору кутових швидкостейдорівнюватиме середньому квадрату кутової швидкості або дисперсії:

відносяться до різних інтервалів. Тоді середнє значення добутку швидкостей дорівнюватиме кулю:

оскільки твори з позитивним та негативним знаками будуть рівноймовірними. Кореляційна функція дорівнюватиме

Імовірність знаходження їх у різних інтервалах.

Ймовірність відсутності

Для інтервалу часу

оскільки ці події незалежні.

В результаті для кінцевого проміжку Ат отримуємо

Знак модуля при поставлений внаслідок того, що вираз (11.80) повинен відповідати парної функції. Вираз кореляційної функції збігається з (11.79). Тому спектральна щільність процесу, що розглядається, повинна збігатися з (11.78):

Зауважимо, що на відміну (11.78) формула спектральної щільності (11.81) записана для кутової швидкості процесу (рис. 11.22). Якщо перейти від кутової швидкості до кута, то вийде випадковий нестаціонарний процес з дисперсією, що прагне до нескінченності. Однак у більшості випадків стежить система, на вході якої діє цей процес, має астатизм першого і більш високих порядків. Тому перший коефіцієнт помилки с0 у стежить системи дорівнює нулю і її помилка визначатиметься тільки вхідною швидкістю і похідними вищих порядків, щодо яких стаціонарний процес. Це дає можливість використовувати спектральну щільність (11.81) при розрахунку динамічної помилки системи, що стежить.

3. Нерегулярна хитавиця. Деякі об'єкти, наприклад кораблі, літаки та інші, перебуваючи під дією нерегулярних обурень (нерегулярне хвилювання, атмосферні обурення тощо), рухаються по випадковому закону. Так як самі об'єкти мають певну їм властиву частоту коливань, то вони мають властивість підкреслювати ті частоти збурень, які близькі до їхньої власної частоти коливань. Випадковий рух об'єкта, що виходить при цьому, називають нерегулярною качкою на відміну від регулярної качки, що являє собою періодичний рух.

Типовий графік нерегулярної качки зображено на рис. 11.23. З розгляду цього графіка видно, що, незважаючи на випадковий характер, це

рух досить близький до періодичного.

У практиці кореляційну функцію нерегулярної хитавиці часто апроксимують виразом

Дисперсія.

зазвичай знаходяться шляхом обробки експериментальних даних (натурних випробувань).

Кореляційна функція (11.82) відповідає спектральна щільність (див. табл. 11.3)

Незручністю апроксимації (11.82) є те, що цією формулою можна описати поведінку будь-якої однієї величини нерегулярної хитавиці (кута, кутової швидкості або кутового прискорення), У цьому випадку величина буде відповідати дисперсії кута, швидкості або прискорення.

Якщо, наприклад, записати формулу (11.82) для кута, то цьому процесу відповідатиме нерегулярна камка з дисперсією для кутових швидкостей, що прагне нескінченності, тобто це буде фізично нереальний процес.

Більш зручна формула для апроксимації кута качки

Однак і ця апроксимація відповідає фізично нереальному процесу, так як дисперсія кутового прискорення виходить нескінченності, що прагне.

Для отримання кінцевої дисперсії кутового прискорення потрібно ще більше складні формулиапроксимації, які тут не наводяться.

Типові криві для кореляційної функції та спектральної щільності нерегулярної хитавиці наведені на рис. 11.24.

1. Сигнали та спектри. Теоретичні основи цифрового зв'язку

1. Сигнали та спектри

1.1. Обробка сигналів у цифровому зв'язку

1.1.1. Чому «цифрова»

Чому у військових та комерційних системах зв'язку використовуються «цифри»? Існує безліч причин. Основною перевагою такого підходу є легкість відновлення цифрових сигналів, порівняно з аналоговими. Розглянемо рис. 1.1, на якому представлений ідеальний двійковий цифровий імпульс, що поширюється каналом передачі даних. На форму сигналу впливають два основних механізми: (1) оскільки всі канали та лінії передачі мають неідеальну частотну характеристику, ідеальний імпульс спотворюється; та (2) небажані електричні шуми або інша дія з боку ще більше спотворює форму імпульсу. Чим протяжніший канал, тим суттєвіше ці механізми спотворюють імпульс (рис. 1.1). У той момент, коли переданий імпульс все ще може бути достовірно визначений (перш ніж він погіршиться до неоднозначного стану), імпульс посилюється цифровим підсилювачем, що відновлює його ідеальну ідеальну форму. Імпульс відроджується або відновлюється. За відновлення сигналу відповідають регенеративні ретранслятори, які розташовані в каналі зв'язку на певній відстані один від одного.

Цифрові канали менш схильні до спотворення та інтерференції, ніж аналогові. Оскільки двійкові цифрові канали дають значний сигнал лише за роботі у одному з двох станів - включеному чи вимкненому - обурення має бути досить великим, щоб перевести операційну точку каналу з одного стану до іншого. Наявність всього двох станів полегшує відновлення сигналу і, отже, запобігає накопиченню в процесі шумів або інших збурень. Аналогові сигнали, навпаки, є сигналами з двома станами; вони можуть приймати безліч форм. У аналогових каналах навіть невелике обурення може невпізнано спотворити сигнал. Після спотворення аналогового сигналу обурення не можна забрати шляхом посилення. Оскільки накопичення шуму нерозривно пов'язані з аналоговими сигналами, як наслідок, вони можуть відтворюватися ідеально. При використанні цифрових технологій дуже низька частота виникнення помилок плюс застосування процедур виявлення та корекції помилок уможливлюють високу точністьсигналу. Залишається лише відзначити, що з аналоговими технологіями такі процедури недоступні.

Рис.1.1. Спотворення та відновлення імпульсу

Існують інші важливі переваги цифрового зв'язку. Цифрові канали надійніші і можуть виконуватися за нижчими цінами, ніж аналогові. Крім того, цифрове програмне забезпеченнядозволяє більше гнучку реалізацію, ніж аналогове (наприклад, мікропроцесори, цифрова комутація та великі інтегральні схеми (large-scale integrated circuit - LSI)). Використання цифрових сигналів та ущільнення з тимчасовим поділом (time-division multiplexing – TDM) простіше застосування аналогових сигналів та ущільнення з частотним поділом (frequency-division multiplexing – FDM). При передачі та комутації різні типиЦифрові сигнали (дані, телеграф, телефон, телебачення) можуть розглядатися як ідентичні: адже біт - це і є біт. Крім того, для зручності комутації та обробки цифрові повідомлення можуть групуватися в автономні одиниці, звані пакетами. У цифрові технології природним чином впроваджуються функції, що захищають від інтерференції та придушення сигналу або забезпечують шифрування чи секретність. (Подібні технології розглядаються в розділах 12 і 14.) Крім того, обмін даними в основному здійснюється між двома комп'ютерами або між комп'ютером і цифровими пристроями або терміналом. Подібні цифрові кінцеві пристрої краще (і звичайно!) обслуговуються цифровими каналами зв'язку.

Чим ми платимо за переваги систем цифрового зв'язку? Цифрові системи вимагають інтенсивнішої обробки, ніж аналогові. Крім того, для цифрових систем необхідно виділення значної частини ресурсів для синхронізації на різних рівнях (див. Розділ 10). Аналогові системи, навпаки, легко синхронізувати. Ще одним недоліком систем цифрового зв'язку є те, що погіршення якості має пороговий характер. Якщо відношення сигнал/шум падає нижче за деякий поріг, якість обслуговування може раптово змінитися від дуже хорошого до дуже поганого. У аналогових системах погіршення якості відбувається більш плавно.

1.1.2. Типова блокова діаграма та основні перетворення

Функціональна блокова діаграма наведена на рис. 1.2 ілюструє поширення сигналу та етапи його обробки в типовій системі цифрового зв'язку (DCS). Верхні блоки - форматування, кодування джерела, шифрування, канальне кодування, ущільнення, імпульсна модуляція, смугова модуляція, розширення спектра та множинний доступ - відображають перетворення сигналу на шляху від джерела до передавача. Нижні блоки діаграми - перетворення сигналу по дорозі від приймача до одержувача інформації, і, по суті, вони протилежні верхнім блокам. Блоки модуляції та демодуляції/виявлення разом називаються модемом. Термін «модем» часто поєднує кілька етапів обробки сигналів, показаних на рис. 1.2; у цьому випадку модем можна представляти як «мозок» системи. Передавач і приймач можна як «м'язи» системи. Для бездротових додатків передавач складається зі схеми підвищення частоти в область радіочастот (radio frequency - RF), підсилювача потужності та антени, а приймач - з антени та малошумного підсилювача (low-noise amplifier - LNA). Зворотне зниження частоти проводиться на виході приймача та/або демодулятора.

На рис. 1.2 ілюструється відповідність блоків верхньої (передаючої) і нижньої (що приймає) частин системи. Етапи обробки сигналу, що мають місце в передавачі, є переважно зворотними до етапів приймача. На рис. 1.2 вихідна інформація перетворюється на двійкові цифри (біти); після цього біти групуються цифрові повідомлення або символи повідомлень. Кожен такий символ ( де ) можна як елемент кінцевого алфавіту, що містить Мелементів. Отже, для М=2 символ повідомлення є бінарним (тобто складається з одного біта). Незважаючи на те, що бінарні символи можна класифікувати як М-арні (з М = 2), зазвичай назва « М-арний» використовується для випадків М>2; отже, такі символи складаються з послідовності двох або більшого числабітів. (Порівняйте подібний кінцевий алфавіт систем DCS з тим, що ми маємо в аналогових системах, коли сигнал повідомлення є елементом нескінченної множиниможливих сигналів.) Для систем, що використовують канальне кодування (коди корекції помилок), послідовність символів повідомлень перетворюється на послідовність канальних символів (кодових символів), і кожен канальний символ позначається . Оскільки символи повідомлень або канальні символи можуть складатися з одного біта або групи бітів, послідовність подібних символів називається бітовим потоком (рис. 1.2).

Розглянемо ключові блоки обробки сигналів, зображені на рис. 1.2; необхідними для систем DCS є лише етапи форматування, модуляції, демодуляції/виявлення та синхронізації.

Форматування перетворює вихідну інформацію на біти, забезпечуючи, таким чином, сумісність інформації та функцій обробки сигналів із системою DCS. З цієї точки малюнка і до блоку імпульсної модуляції інформація залишається у формі потоку бітів.

Мал. 1.2. Блокова діаграма типової системи цифрового зв'язку

Модуляція - це процес, з якого символи повідомлень чи канальні символи (якщо використовується канальне кодування) перетворюються на сигнали, сумісні з вимогами, накладеними каналом передачі. Імпульсна модуляція - це ще один необхідний етап, оскільки кожен символ, який потрібно передати, спочатку потрібно перетворити з двійкового уявлення(рівні напруги представляють двійкові нулі та одиниці) у форму вузькосмугового сигналу. Термін «вузькосмуговий» (baseband) визначає сигнал, спектр якого починається від (або близько) постійної складової та закінчується деяким кінцевим значенням (зазвичай, не більше кількох мегагерц). Блок імпульсно-кодової модуляції зазвичай включає фільтрацію, спрямовану мінімізацію смуги передачі. При застосуванні імпульсної модуляції до двійкових символів результуючий двійковий сигнал називається сигналом кодування PCM (pulse-code modulation - імпульсно-кодова модуляція). Існує кілька типів сигналів РСМ (описаних у розділі 2); у додатках телефонного зв'язку ці сигнали часто називають кодами каналу. При застосуванні імпульсної модуляції до небінарних символів результуючий сигнал називається М-арним імпульсно-модульованим. Існує кілька типів подібних сигналів, які також описані у розділі 2, де основна увага приділяється амплітудно-імпульсної модуляції (pulse-amplitude modulation – РАМ). Після імпульсної модуляції кожен символ повідомлення або канальний символ набуває форми смугового сигналу, де. У будь-якій електронній реалізації потік бітів, що передує імпульсної модуляції, представляється рівнями напруги. Чи може виникнути питання, чому існує окремий блок для імпульсної модуляції, коли фактично рівні напруги для двійкових нулів і одиниць вже можна розглядати як ідеальні прямокутні імпульси, тривалість кожного з яких дорівнює часу передачі одного біта? Існує дві важливі відмінності між подібними рівнями напруги та смуговими сигналами, що використовуються для модуляції. По-перше, блок імпульсної модуляцій дозволяє використовувати бінарні та М-арні сигнали. У розділі 2.8.2 описано різні корисні параметри цих типів сигналів. По-друге, фільтрація, вироблена в блоці імпульсної модуляції, формує імпульси, тривалість яких більша за час передачі одного біта. Фільтрування дозволяє використовувати імпульси більшої тривалості; таким чином, імпульси розширюються на сусідні часові інтервали передачі бітів. Цей процес іноді називається формуванням імпульсів; він використовується для підтримки смуги передачі в межах певної бажаної області спектра.

Для додатків, що включають передачу в діапазоні радіочастот, наступним важливим етапом є смуга модуляція (bandpass modulation); вона необхідна завжди, коли середовище передачі підтримує поширення сигналів, мають форму імпульсів. У разі середовище вимагає смугового сигналу , де . Термін «смужковий» (bandpass) використовується для відображення того, що вузькосмуговий сигнал зрушений несучою хвилею на частоту набагато більшу спектральних складових . У міру поширення сигналу каналом, на нього впливають характеристики каналу, які можна виразити через імпульсну характеристику (див. розділ 1.6.1). Крім того, в різних точкахвздовж маршруту сигналу додаткові випадкові шуми спотворюють прийнятий сигнал, тому прийом повинен виражатися через пошкоджену версію сигналу, що надходить від передавача. Прийнятий сигнал можна виразити так:

де знак «*» є операцією згортки (див. додаток A), а - процес шуму (див. розділ 1.5.5).

У зворотному напрямку вхідний каскад приймача та/або демодулятор забезпечують зниження частоти кожного смугового сигналу. Як підготовку до виявлення демодулятор відновлює як оптимального огинаючого вузькосмугового сигналу . Зазвичай з приймачем і демодулятором пов'язано кілька фільтрів - фільтрування проводиться для видалення небажаних високочастотних складових (у процесі перетворення смугового сигналу на вузькосмуговий) та формування імпульсу. Вирівнювання можна описати як різновид фільтрації, що використовується в демодулятор (або після демодулятора) для видалення всіх ефектів погіршення якості сигналу, причиною яких міг бути канал. Вирівнювання (equalization) необхідно в тому випадку, якщо імпульсна характеристика каналу настільки погана, що сигнал, що приймається, сильно спотворений. Еквалайзер (пристрій вирівнювання) реалізується для компенсації (тобто видалення чи ослаблення) всіх спотворень сигналу, викликаних неідеальною характеристикою . І останнє, етап дискретизації перетворює сформований імпульс на вибірку для відновлення (приблизно) символу каналу або символу повідомлення (якщо не використовується канальне кодування). Деякі автори використовують терміни «демодуляція» та «виявлення» як синоніми. У цій книзі під демодуляцією (demodulation) мається на увазі відновлення сигналу (смугового імпульсу), а під виявленням (detection) - прийняття рішення щодо цифрового значення цього сигналу.

Інші етапи обробки сигналу в модемі є необов'язковими і спрямовані задоволення специфічних системних потреб. Кодування джерела (source coding) - це перетворення аналогового сигналу на цифровий (для аналогових джерел) і видалення надлишкової (непотрібної) інформації. Зазначимо, що типова система DCS може використовувати або кодування джерела (для оцифровування та стиснення вихідної інформації), або простіше перетворення форматування (тільки для оцифровування). Система не може одночасно застосовувати і кодування джерела, і форматування, оскільки перше включає необхідний етап оцифровування інформації. Шифрування, яке використовується для забезпечення таємності зв'язку, запобігає розуміння повідомлення несанкціонованим користувачем та введення в систему хибних повідомлень. Канальне кодування (channel coding) при даній швидкості передачі може знизити ймовірність помилки РЕ чи зменшити ставлення сигнал/шум, необхідне отримання бажаної ймовірності РЕ з допомогою збільшення смуги передачі чи ускладнення декодера. Процедури ущільнення (multiplexing) і множинного доступу (multiple access) поєднують сигнали, які можуть мати різні характеристики або можуть надходити від різних джерел, щоб вони могли спільно використовувати частину ресурсів зв'язку (наприклад, спектр, час). Розширення частоти (frequency spreading) може давати сигнал відносно невразливий для інтерференції (як природної, так і навмисної), і може використовуватися для підвищення конфіденційності сторін. Також воно є цінною технологією, яка використовується для множинного доступу.

Блоки обробки сигналів показані на рис. 1.2 представляють типову схему системи цифрового зв'язку; втім, ці блоки іноді реалізуються дещо іншому порядку. Наприклад, ущільнення може відбуватися до канального кодування або модуляції або - при двоетапному процесі модуляції (піднесе і несе) - воно може виконуватися між двома етапами модуляції. Подібним чином блок розширення частоти може бути в різних місцях верхнього ряду рис. 1.2; точне його місцезнаходження залежить від конкретної технології, що використовується. Синхронізація та її ключовий елемент, що синхронізує сигнал, задіяні у всіх етапах обробки сигналу в системі DCS. Для простоти блок синхронізації на рис. 1.2 показаний безвідносно до чогось, хоча фактично він бере участь у регулюванні операцій практично в кожному блоці, наведеному малюнку.

На рис. 1.3 показані основні функції обробки сигналів (які можна як перетворення сигналу), розбиті наступні дев'ять груп.

Рис.1.3. Основні перетворення цифрового зв'язку

1. Форматування та кодування джерела

2. Вузькосмугова передача сигналів

3. Смужна передача сигналів

4. Вирівнювання

5. Канальне кодування

6. Ущільнення та множинний доступ

7. Розширення спектра

8. Шифрування

9. Синхронізація

На рис. 1.3 блок Вузькосмугова передача сигналів містить перелік бінарних альтернатив під час використання модуляції РСМ чи лінійних кодів. У цьому блоці також вказано небінарну категорію сигналів, звану М-арною імпульсною модуляцією. Ще одне перетворення на рис. 1.3, позначене як Смужна передача сигналів, поділено на два основні блоки, когерентний та некогерентний. Демодуляція зазвичай виконується з допомогою опорних сигналів. При використанні відомих сигналів як міра всіх параметрів сигналу (особливо фази) процес демодуляції називається когерентним; коли інформація про фазу немає, процес називається некогерентним.

Канальне кодування пов'язане з методами, що використовуються для покращення цифрових сигналів, які в результаті стають менш уразливими до таких факторів погіршення якості, як шум, завмирання та придушення сигналу. На рис. 1.3 канальне кодування поділено на два блоки, блок кодування формою сигналу та блок структурованих послідовностей. Кодування формою сигналу включає використання нових сигналів, що привносять покращену якість виявлення в порівнянні з вихідним сигналом. Структуровані послідовності включають застосування додаткових бітів для визначення помилки, викликаної шумом в каналі. Одна з таких технологій, автоматичний запит повторної передачі (automatic repeat request – ARQ), просто розпізнає появу помилки та запитує відправника повторно передати повідомлення; інша технологія, відома як пряма корекція помилок (forward error correction – FEC), дозволяє автоматично виправляти помилки (з певними обмеженнями). При розгляді структурованих послідовностей ми обговоримо три поширені методи - блочне, згорткове та турбокодування.

У цифровому зв'язку синхронізація включає обчислення часу і частоти. Як показано на рис. 1.3 синхронізація виконується на п'яти рівнях. Еталонні частоти когерентних систем потрібно синхронізувати з несучою (і, можливо, піднесучою) за частотою і фазою. Для некогерентних систем синхронізація фази не є обов'язковою. Основний процес синхронізації за часом – це символьна синхронізація (або бітова синхронізація для бінарних символів). Демодулятор та детектор повинні знати, коли починати та закінчувати процес виявлення символу та біта; Помилка синхронізації призводить до зниження ефективності виявлення. Наступний рівень синхронізації за часом, кадрова синхронізація дозволяє перебудовувати повідомлення. І останній рівень, мережева синхронізація дозволяє скоординувати дії з іншими користувачами з метою ефективного використання ресурсів.

1.1.3. Основна термінологія галузі цифрового зв'язку

Нижче наведено деякі основні терміни, які часто використовуються в області цифрового зв'язку.

Джерело інформації(Information source). Пристрій, що передає інформацію через систему DCS. Джерело інформації може бути аналоговим чи дискретним. Вихід аналогового джерела може приймати будь-яке значення безперервного діапазону амплітуд, тоді як вихід дискретного джерела інформації - значення кінцевої множини амплітуд. Аналогові джерела інформації перетворюються на цифрові за допомогою дискретизації або квантування. Методи дискретизації та квантування, звані форматуванням та кодуванням джерела (рис. 1.3).

Текстове повідомлення(Textual message). Послідовність символів (рис. 1.4, а). При цифровій передачі даних повідомлення є послідовністю цифр або символів, що належать кінцевому набору символів або алфавіту.

Знак(character). Елемент алфавіту чи набору символів (рис. 1.4, б). Знаки можуть відображатись у послідовності двійкових цифр. Існує кілька стандартизованих кодів, що використовуються для знакового кодування, у тому числі код ASCII (American Standard Code for Information Interchange – Американський стандартний код для обміну інформацією), код EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code – розширений двійковий код обміну інформацією) (Hollerith code), код Бодо (Baudot code), код Муррея (Murray code) та код (азбука) Морзе (Morse code).

Рис.1.4. Ілюстрація термінів: а) текстові повідомлення; б) символи;

в) потік бітів (7-бітовий код ASCII); г) символи , ;

д) смуговий цифровий сигнал

Двійкова цифра(Binary digit) (біт) (bit). Фундаментальна одиниця інформації всім цифрових систем. Термін "біт" також використовується як одиниця обсягу інформації, що описується в розділі 9.

Потік бітів(Bit stream). Послідовність двійкових цифр (нулів та одиниць). Потік бітів часто називають вузькосмуговим (baseband) сигналом; це має на увазі, що його спектральні складові розміщені від (або близько) постійної складової до деякого кінцевого значення, що зазвичай не перевищує кілька мегагерц. На рис. 1.4, повідомлення «HOW» представлено з використанням семибітового коду ASCII, а потік бітів показаний у формі дворівневих імпульсів. Послідовність імпульсів зображена за допомогою вкрай стилізованих (ідеально прямокутних) сигналів із проміжками між сусідніми імпульсами. У реальній системі імпульси ніколи не виглядатимуть так, оскільки такі проміжки є абсолютно марними. При даній швидкості передачі даних проміжки збільшать ширину смуги, необхідну передачі; або при даній ширині смуги вони збільшать тимчасову затримку, необхідну для отримання повідомлення.

Символ(symbol) (цифрове повідомлення) (digital message). Символ - це група з kбіт, що розглядаються як єдине ціле. Далі ми називатимемо цей блок символом повідомлення (message symbol) () з кінцевого набору символів або алфавіту (рис. 1.4, р.) Розмір алфавіту Мдорівнює , де k- Число бітів у символі. При вузькосмуговій передачі кожен із символів буде представлений одним із набору вузькосмугових імпульсних сигналів . Іноді для передачі послідовності таких імпульсів для вираження швидкості передачі імпульсів (швидкості передачі символів) використовується одиниця бод (baud). Для типової смугової (bandpass) передачі кожен імпульс буде представлятися одним із набору смужних імпульсних сигналів . Таким чином, для бездротових систем символ посилається шляхом передачі цифрового сигналу протягом Тсекунд. Наступний символ надсилається протягом наступного часового інтервалу, Т. Те, що набір символів, що передаються системою DCS, є кінцевим, і є головною відмінністю цих систем від аналогового зв'язку. Приймач DCS повинен лише визначити, який з Мможливих сигналів було передано; тоді як аналоговий приймач повинен точно визначати значення, що належить до безперервного діапазону сигналів.

Цифровий сигнал(Digital waveform). Описуваний рівнем напруги або струму сигнал (імпульс - для вузькосмугової передачі або синусоїда - для смугової передачі), що представляє цифровий символ. Характеристики сигналу (для імпульсів - амплітуда, тривалість та розташування або для синусоїди - амплітуда, частота та фаза) дозволяють його ідентифікувати як один із символів кінцевого алфавіту. На рис. 1.4, днаведено приклад цифрового смугового сигналу. Хоча сигнал є синусоїдальним і, отже, має аналоговий вигляд, все ж таки він називається цифровим, оскільки кодує цифрову інформацію. На цьому малюнку цифрове значення вказується через передачу протягом кожного інтервалу часу Тсигналу певної частоти.

Швидкість передачі даних(Data rate). Ця величина в бітах за секунду (біт/с) дається формулою (біт/с), де kбіт визначають символ - символьного алфавіту, а Т- це тривалість до-біт символ.

1.1.4. Цифрові та аналогові критерії продуктивності

Принципова відмінність систем аналогового та цифрового зв'язку пов'язана зі способом оцінки їхньої продуктивності. Сигнали аналогових систем складають континуум, тому приймач повинен працювати з нескінченним числом можливих сигналів. Критерієм продуктивності аналогових систем зв'язку є точність, наприклад, відношення сигнал/шум, відсоток спотворення або очікувана середньоквадратична помилка між переданим і прийнятим сигналами.

На відміну від аналогових, цифрові системи зв'язку передають сигнали, що становлять цифри. Ці цифри формують кінцевий набір або алфавіт, і цей набір відомий приймачеві апріорно. Критерієм якості цифрових систем зв'язку є можливість невірного виявлення цифри або можливість помилки ().

1.2. Класифікація сигналів

1.2.1. Детерміновані та випадкові сигнали

Сигнал можна класифікувати як детермінований (за відсутності невизначеності щодо його значення у будь-який момент часу) або випадковий, інакше. Детерміновані сигнали моделюються математичним виразом. Для випадкового сигналу такий вираз написати неможливо. Втім, при спостереженні випадкового сигналу (також званого випадковим процесом) протягом досить тривалого періоду часу можуть відзначатися деякі закономірності, які можна описати через ймовірності та середнє статистичне. Така модель у формі ймовірнісного опису випадкового процесу особливо корисна для опису характеристик сигналів і шумів в системах зв'язку.

1.2.2. Періодичні та неперіодичні сигнали

Сигнал називається періодичним у часі, якщо існує постійне , таке, що

для (1.2)

де через tпозначено час. Найменше значення , що задовольняє цю умову, називається періодом сигналу . Період визначає тривалість одного повного циклу функції. Сигнал, котрому немає значення , що задовольняє рівняння (1.2), називається неперіодичним.

1.2.3. Аналогові та дискретні сигнали

Аналоговий сигнал є безперервною функцією часу, тобто. однозначно визначається для всіх t. Електричний аналоговий сигнал виникає тоді, коли фізичний сигнал (наприклад, мова) деяким пристроєм перетворюється на електричний. Для порівняння, дискретний сигналє сигналом, що існує в дискретні проміжки часу; він характеризується послідовністю чисел, визначених кожного моменту часу, кТ, де k- ціле число, а Т- Фіксований проміжок часу.

1.2.4. Сигнали, виражені через енергію чи потужність

Електричний сигнал можна уявити як зміну напруги або струму з миттєвою потужністю, що подається на опір R:

У системах зв'язку потужність часто нормується (передбачається, що опір Rодно 1 Ом, хоча у реальному каналі може бути будь-яким). Якщо потрібно визначити дійсне значення потужності, воно виходить шляхом денормування нормованого значення. У нормованому випадку рівняння (1.3,а) та (1.3,6) мають однаковий вигляд. Отже, незалежно від того, представлений сигнал через напругу або струм, нормована форма дозволяє нам висловити миттєву потужність як

де - це або напруга, або струм. Розсіювання енергії протягом проміжку часу реального сигналу з миттєвою потужністю, отриманої за допомогою рівняння (1.4), може бути записано наступним чином.

(1.5)

Середня потужність, що розсіюється сигналом протягом цього інтервалу, дорівнює наступному.

(1.6)

Продуктивність системи зв'язку залежить від енергії прийнятого сигналу; сигнали з вищою енергією виявляються вірогідніше (з меншим числомпомилок) - роботу з виявлення виконує прийнята енергія. З іншого боку, потужність – це швидкість надходження енергії. Цей момент важливий із кількох причин. Потужність визначає напругу, яку необхідно подати на передавач, та напруженість електромагнітних полів, які слід враховувати в радіосистемах (тобто поля у хвилеводах, що з'єднують передавач з антеною, та поля навколо випромінюючих елементів антени).

При аналізі сигналів зв'язку часто бажано працювати з енергією сигналу. Будемо називати енергетичним сигналом тоді і лише тоді, коли він у будь-який момент часу має ненульову кінцеву енергію (), де

(1.7)

У реальної ситуаціїми завжди передаємо сигнали з кінцевою енергією (). Втім, для опису періодичних сигналів, які за визначенням (рівняння (1.2)) існують завжди і, отже, мають нескінченну енергію, і для роботи з випадковими сигналами, також мають необмежену енергію, зручно визначити клас сигналів, що виражаються через потужність. Отже, сигнал зручно уявити з використанням потужності, якщо він є періодичним і будь-якої миті часу має ненульову кінцеву потужність (), де

(1.8)

Певний сигнал можна віднести або до енергетичного або періодичного. Енергетичний сигнал має кінцеву енергію, але нульову середню потужність, тоді як періодичний сигнал має нульову середню потужність, але нескінченну енергію. Сигнал у системі може виражатися через його енергетичні, або періодичні значення. Загальне правило: періодичні та випадкові сигнали виражаються через потужність, а сигнали, що є детермінованими та неперіодичними, – через енергію.

Енергія та потужність сигналу - це два важливі параметри в описі системи зв'язку. Класифікація сигналу або як енергетичного, або як періодичного є зручною моделлю, що полегшує математичне трактування різних сигналів та шумів. У розділі 3.1.5 ці ідеї розвиваються у тих цифрових систем зв'язку.

1.2.5. Поодинока імпульсна функція

Корисною функцією в теорії зв'язку є одиничний імпульс, або дельта-функція Дірака. Імпульсна функція - це абстракція, імпульс з нескінченно великою амплітудою, нульовою шириною та одиничною вагою (площею під імпульсом), сконцентрований у точці, в якій значення його аргументу дорівнює нулю. Одиничний імпульс визначається наступними співвідношеннями.

Не обмежена у точці (1.11)

(1.12)

Одиничний імпульс - це функція у звичному значенні цього терміну. Якщо входить у якусь операцію, його зручно вважати імпульсом кінцевої амплітуди, одиничної площі та ненульової тривалості, після чого потрібно розглянути межу при прагненні тривалості імпульсу до нуля. Графічно можна зобразити як пік, розташований у точці , висота якого дорівнює інтегралу від нього чи його площі. Таким чином, з постійною Апредставляє імпульсну функцію, площа якої (або вага) дорівнює А, а значення скрізь нульове, крім точки .

Рівняння (1.12) відомо як просіюючу (або квантуючу) властивість одиничної імпульсної функції; інтеграл від одиничного імпульсу та довільної функції дає вибірку функції у точці.

1.3. Спектральна щільність

Спектральна щільність (spectral density) характеристик сигналу - це розподіл енергії чи потужності сигналу діапазону частот. Особливої ​​ваги це поняття набуває при розгляді фільтрації в системах зв'язку. Ми повинні мати можливість оцінити сигнал та шум на виході фільтра. При проведенні подібної оцінки використовується спектральна густина енергії (energy spectral density - ESD) або спектральна густина потужності (power spectral density - PSD).

1.3.1. Спектральна густина енергії

Загальна енергія дійсного енергетичного сигналу, визначеного в інтервалі, описується рівнянням (1.7). Використовуючи теорему Парсеваля, ми можемо зв'язати енергію такого сигналу, виражену в часовій області, з енергією, що виражена в частотній області:

, (1.13)

де - Фур'є-образ неперіодичного сигналу. ( Короткі відомостіпро аналіз Фур'є можна знайти в додатку А.) Позначимо через прямокутний амплітудний спектр, визначений як

(1.14)

Розмір є спектральної щільністю енергії (ESD) сигналу . Отже, із рівняння (1.13) можна виразити загальну енергію шляхом інтегрування спектральної густини за частотою.

(1.15)

Дане рівняння показує, що енергія сигналу дорівнює площі під графікою в частотній області. Спектральна щільність енергії визначає енергію сигналу на одиницю ширини лінії і вимірюється Дж/Гц. Позитивні та негативні частотні компоненти дають рівні енергетичні вклади, тому, для реального сигналу, величина є парною функцією частоти. Отже, спектральна щільність енергії симетрична за частотою щодо початку координат, а загальну енергію сигналу можна виразити наступним чином.

(1.16)

1.3.2. Спектральна щільність потужності

Середня потужність дійсного сигналу у періодичному поданні визначається рівнянням (1.8). Якщо - це періодичний сигнал із періодом , він класифікується як сигнал у періодичному поданні. Вираз середньої потужності періодичного сигналу дається формулою (1.6), де середнє за часом береться за період .

(1.17, а)

Теорема Парсеваля для дійсного періодичного сигналу має вигляд

, (1.17, б)

де члени є комплексними коефіцієнтами низки Фур'є періодичного сигналу (див. додаток А).

Щоб використовувати рівняння (1.17,6), необхідно знати значення коефіцієнтів . Спектральна щільність потужності (PSD) періодичного сигналу , яка є дійсною, парною і невід'ємною функцією частоти і дає розподіл потужності сигналу діапазону частот, визначається наступним чином.

(1.18)

Рівняння (1.18) визначає спектральну щільність потужності періодичного сигналу як послідовність завислих дельта-функцій. Отже, PSD періодичного сигналу є дискретною функцією частоти. Використовуючи PSD, визначену рівняння (1.18), можна записати середню нормовану потужність дійсного сигналу.

(1.19)

Рівняння (1.18) описує PSD лише періодичних сигналів. Якщо - неперіодичний сигнал, він може бути виражений через ряд Фур'є; якщо він є неперіодичним сигналом у періодичному поданні (має нескінченну енергію), він може не мати Фур'є-образу. Втім, ми, як і раніше, можемо виразити спектральну щільність потужності таких сигналів у межі. Якщо сформувати усічену версію неперіодичного сигналу в періодичному поданні , взявши для цього тільки його значення з інтервалу (), то матиме кінцеву енергію і Фур'є-образ . Можна показати, що спектральна густина потужності неперіодичного сигналу визначається як межа.

(1.20)

приклад 1.1. Середня нормована потужність

а) Знайдіть середню нормовану потужність сигналу , використовуючи усереднення за часом.

б) Виконайте п. а шляхом підсумовування спектральних коефіцієнтів.

Рішення

а) Використовуючи рівняння (1.17, а), маємо таке.

б) Використовуючи рівняння (1.18) та (1.19), отримуємо наступне.

(Див. додаток А)

1.4. Автокореляція

1.4.1. Автокореляція енергетичного сигналу

Кореляція – це процес узгодження; Автокореляцією називається узгодження сигналу зі своєю запізнюваною версією. Автокореляційна функція дійсного енергетичного сигналу визначається в такий спосіб.

для (1.21)

Автокореляційна функція дає міру схожості сигналу зі своєю копією, зміщеною одиниць часу. Змінна відіграє роль параметра сканування чи пошуку. - це функція часу; це лише функція різниці часів між сигналом і його зміщеною копією.

Автокореляційна функція дійсного енергетичного сигналу має такі властивості.

1.

3. автокореляція та ESD є Фур'є-образами один одного, що позначається двосторонньою стрілкою

4. значення в нулі дорівнює енергії сигналу

При задоволенні пп. 1-3 є автокореляційною функцією. Умова 4 - наслідок умови 3, тому його не обов'язково включати до основного набору для перевірки на автокореляційну функцію.

1.4.2. Автокореляція періодичного сигналу

Автокореляція дійсного періодичного сигналу визначається в такий спосіб.

для (1.22)

Якщо сигнал є періодичним з періодом, середнє за часом у рівнянні (1.22) можна брати за одним періодом, а автокореляцію висловлювати в такий спосіб.

для (1.23)

Автокореляція періодичного сигналу, що набуває дійсних значень, має властивості, подібні до властивостей енергетичного сигналу.

1. симетрія щодо нуля

2. для всіх максимальне значення в нулі

3. автокореляція та ESD є Фур'є-образами один одного

4.

1.5. Випадкові сигнали

Основним завданням системи зв'язку є передача інформації каналом зв'язку. Усі корисні сигнали повідомлень виникають випадковим чином, тобто. приймач не знає заздалегідь, який із можливих символів повідомлень буде передано. З іншого боку, внаслідок різних електричних процесів виникають шуми, які супроводжують інформаційні сигнали. Отже, нам потрібний ефективний спосіб опису випадкових сигналів.

1.5.1. Випадкові змінні

Нехай випадкова змінна Х(А)представляє функціональне відношенняміж випадковою подією Ата дійсним числом. Для зручності запису позначимо випадкову змінну через X, а її функціональну залежність від Авважатимемо явною. Випадкова змінна може бути дискретною або безперервною. Розподіл випадкової змінної Xзнаходиться виразом:

, (1.24)

де - ймовірність того, що значення прийнятої; випадковою змінною Xменше дійсного числа хабо одно йому. Функція розподілу має такі характеристики.

2. якщо

Ще однією корисною функцією, пов'язаною з випадковою змінною X, є густина ймовірності, яка записується наступним чином.

(1.25,а)

Як і у випадку функції розподілу, Щільність ймовірності - це функція дійсного числа х. Назва «функція щільності» з'явилося внаслідок того, що ймовірність події дорівнює наступному.

Використовуючи рівняння (1.25,6), можна приблизно записати ймовірність того, що випадкова змінна Xмає значення, що належить дуже малому проміжку між .

Таким чином, у межі при , що прагне нуля, ми можемо записати наступне.

Щільність ймовірності має такі характеристики.

2. .

Таким чином, густина ймовірності завжди невід'ємна і має одиничну площу. У тексті книги ми будемо використовувати запис для позначення щільності ймовірності безперервної випадкової змінної. Для зручності запису ми часто опускатимемо індекс Xі писати просто. Якщо випадкова змінна Xможе приймати тільки дискретні значеннядля позначення щільності ймовірності ми будемо використовувати запис.

1.5.1.1. Середнє по ансамблю

Середнє значення (mean value), або математичне очікування (expected value), випадкової змінної Xвизначається виразом

, (1.26)

де називається оператором математичного очікування (expected value operator). Моментом n-го порядку розподілу ймовірностей випадкової змінної Xназивається така величина.

(1.27)

Для аналізу систем зв'язку важливі перші два моменти змінної X. Так, при n=1 рівняння (1.27) дає момент , розглянутий вище, а при n= 1 – середньоквадратичне значення X.

(1.28)

Можна також визначити центральні моменти, що є моментами різниці Xта . Центральний моментдругого порядку (називається також дисперсією) дорівнює наступному.

Дисперсія Xтакож записується як , а квадратний коріньз цієї величини, називається середньоквадратичним відхиленням X. Дисперсія - це міра «розкидання» випадкової змінної X. Завдання дисперсії випадкової змінної обмежує ширину функції ймовірності. Дисперсія та середньоквадратичне значення пов'язані наступним співвідношенням.

Таким чином, дисперсія дорівнює різниці середньоквадратичного значення та квадрата середнього значення.

1.5.2. Випадкові процеси

Випадковий процес можна розглядати як функцію двох змінних: події Ата часу. На рис. 1.5 наведено приклад випадкового процесу. Показано Nвибіркових функцій часу. Кожну з вибіркових функцій можна як вихід окремого генератора шуму. Для кожної події маємо єдину функцію часу (Тобто вибіркову функцію). Сукупність всіх вибіркових функцій називається ансамблем. У будь-який певний момент часу - це випадкова змінна, значення якої залежить від події. І останнє, для конкретної події та для конкретного моменту часу – це звичайне число. Для зручності запису будемо позначати випадковий процес через X(t), а функціональну залежність від Авважатимемо явною.

Рис.1.5. Випадковий процес шуму

1.5.2.1. Статистичне середнє випадкового процесу

Оскільки значення випадкового процесу у кожний наступний час невідомо, випадковий процес, функції розподілу якого безперервні, можна описати статистично через щільність ймовірності. Взагалі, у різні моменти часу ця функція для випадкового процесу матиме різний вигляд. Найчастіше емпірично визначити розподіл ймовірностей випадкового процесу неможливо. У той самий час потреб систем зв'язку часто досить часткового описи, що включає середнє і функцію автокореляції. Отже, визначимо середнє випадкового процесу X(t)як

, (1.30)

де - Випадкова змінна, отримана при розгляді випадкового процесу в момент часу, a - щільність ймовірності (щільність по ансамблю подій в момент часу).

Визначимо автокореляційну функцію випадкового процесу X(t)як функцію двох змінних та

де і - випадкові змінні, одержувані під час розгляду X(t)у моменти часу та відповідно. Автокореляційна функція – це міра зв'язку двох тимчасових вибірок одного випадкового процесу.

1.5.2.2. Стаціонарність

Випадковий процес X(t)називається стаціонарним у строгому сенсі, якщо на жодну з його статистик не впливає перенесення початку відліку часу. Випадковий процес називається стаціонарним у сенсі, якщо дві його статистики, середнє і автокореляційна функція, не змінюються при перенесенні початку відліку часу. Таким чином, процес є стаціонарним у широкому розумінні, якщо

Стаціонарність у строгому розумінні має на увазі стаціонарність у широкому значенні, але не навпаки. Більшість корисних результатів теорії зв'язку ґрунтується на припущенні, що випадкові інформаційні сигнали та шум є стаціонарними у широкому значенні. З практичної точки зору випадковий процес не обов'язково завжди повинен бути стаціонарним, достатньо стаціонарності в деякому інтервалі часу, що спостерігається, що представляє практичний інтерес.

Для стаціонарних процесів автокореляційна функція у рівнянні (1.33) залежить від часу, лише від різниці . Іншими словами, всі пари значень X(t)у моменти часу, розділені проміжком, мають однакове кореляційне значення. Отже, для стаціонарних систем функцію можна записувати як .

1.5.2.3. Автокореляція випадкових процесів, стаціонарних у сенсі

Як дисперсія пропонує міру випадковості для випадкових змінних, і автокореляційна функція пропонує подібну міру для випадкових процесів. Для процесів, стаціонарних у сенсі, автокореляційна функція залежить лише від різниці часів .

Для стаціонарного у широкому значенні процесу з нульовим середнім, функція показує, наскільки статистично корелюють випадкові величини процесу, розділені секундами. Іншими словами, дає інформацію про частотну характеристику, пов'язану з випадковим процесом. Якщо змінюється повільно зі збільшенням від нуля до деякого значення, це показує, що у середньому вибіркові значення X(t), взяті в моменти часу і практично рівні. Отже, ми маємо право очікувати, що у частотному поданні X(t)переважатимуть низькі частоти. З іншого боку, якщо швидко зменшується в міру збільшення, варто очікувати, що X(t)швидко змінюватиметься за часом і, отже, включатиме переважно високі частоти.

Автокореляційна функція стаціонарного у сенсі процесу, приймає дійсні значення, має такі характеристики.

1. симетрія щодо нуля

2. для всіх максимальне значення в нулі

3. автокореляція та спектральна щільність потужності є Фур'є-образами один одного

4. значення в нулі дорівнює середній потужності сигналу

1.5.3. Усереднення за часом та ергодичність

Для обчислення та шляхом усереднення по ансамблю нам потрібно усереднити їх за всіма вибірковими функціями процесу, і, отже, буде потрібна повна інформація про взаємний розподіл функцій щільності ймовірності в першому та другому наближеннях. Загалом, зазвичай, така інформація недоступна.

Якщо випадковий процес належить до особливого класу, званого класом ергодичних процесів, його середнє за часом і середньому за ансамблем і статистичні властивості процесу можна визначити шляхом усереднення за часом однієї вибіркової функції процесу. Щоб випадковий процес був ергодичним, він має бути стаціонарним у строгому розумінні (назад не обов'язково). Втім, для систем зв'язку, де нам достатньо стаціонарності у широкому розумінні, нас цікавлять лише середня та автокореляційна функція.

Кажуть, що випадковий процес є ергодичним по відношенню до середнього значення, якщо

(1.35)

та ергодичним по відношенню до автокореляційної функції, якщо

(1.36)

Перевірка випадкового процесу на ергодичність зазвичай дуже непроста. Насправді, зазвичай, використовується інтуїтивне припущення про доцільність заміни середніх по ансамблю середніми за часом. При аналізі більшості сигналів у каналах зв'язку (за відсутності імпульсних ефектів) розумним буде припущення, що випадкові сигнали є ергодичними щодо автокореляційної функції. Оскільки для ергодичних процесів середні за часом рівні середнім за ансамблем, фундаментальні електротехнічні параметри, такі як амплітуда постійної складової, середньоквадратичне значення та середня потужність, можуть бути пов'язані з моментами випадкового ергодичного процесу.

1. Розмір дорівнює постійної складової сигналу.

2. Розмір дорівнює нормованої потужності постійної складової.

3. Момент другого порядку X(t), , дорівнює загальної середньої нормованої потужності.

4. Розмір дорівнює середньоквадратичному значенню сигналу, вираженого через струм чи напруга.

5. Дисперсія дорівнює середньої нормованої потужності змінного сигналу.

6. Якщо середнє процесу дорівнює нулю (тобто ), то , а дисперсія дорівнює середньоквадратичному значенню або (інше формулювання) дисперсія представляє загальну потужність у нормованому навантаженні.

7. Середньоквадратичне відхилення є середньоквадратичним значенням змінного сигналу.

8. Якщо , то це середньоквадратичне значення сигналу.

1.5.4. Спектральна щільність потужності та автокореляція випадкового процесу

Випадковий процес X(t)можна віднести до періодичного сигналу, що має таку спектральну щільність потужності, як зазначено в рівнянні (1.20). Функція особливо корисна в системах зв'язку, оскільки вона описує розподіл потужності сигналу діапазону частот. Спектральна щільність потужності дозволяє оцінити потужність сигналу, який передаватиметься через мережу з відомими частотними характеристиками. Основні властивостіфункцій спектральної щільності потужності можна сформулювати в такий спосіб.

1. завжди набуває дійсних значень

2. для X(t), що набувають дійсних значень

3. автокореляція та спектральна щільність потужності є Фур'є-образами один одного

4. зв'язок між середньою нормованою потужністю та спектральною щільністю потужності

На рис. 1.6 наведено візуальне поданняавтокореляційної функції та функції спектральної щільності потужності. Що означає термін "кореляція"? Коли ми цікавимося кореляцією двох явищ, питаємо, наскільки близько вони співвідносяться за поведінкою чи виглядом і наскільки вони збігаються. У математиці автокореляційна функція сигналу (у часовій області) визначає відповідність сигналу себе, зміщеному деякий проміжок часу. Точна копія вважається створеною та локалізованою на мінус нескінченності. Потім ми послідовно переміщуємо копію в позитивному напрямку тимчасової осі і запитуємо, наскільки вони (вихідна версія та копія) відповідають один одному. Потім ми переміщуємо копію ще на один крок у позитивному напрямку і ставимо питання, наскільки вони збігаються тепер і т.д. Кореляція між двома сигналами зображується як функція часу, що позначається; при цьому час можна як параметр сканування.

На рис. 1.6, а-гзображено описана вище ситуація у деякі моменти часу. Мал. 1.6, аілюструє окремий сигнал стаціонарного у широкому розумінні випадкового процесу X(t). Сигнал є випадковою двійковою послідовністю з позитивними і негативними (біполярними) імпульсами одиничної амплітуди. Позитивні та негативні імпульси з'являються з рівною ймовірністю. Тривалість кожного імпульсу (двійкової цифри) дорівнює Тсекунд, а середнє, або величина постійної складової випадкової послідовності, дорівнює нулю. На рис. 1.6, бпоказана та сама послідовність, зміщена в часі на секунд. Згідно прийнятим позначенням, ця послідовність позначається. Припустимо, що процес X(t)є ергодичним по відношенню до автокореляційної функції, тому для знаходження ми можемо використовувати усереднення часу замість усереднення по ансамблю. Значення виходить при перемноженні двох послідовностей X(t)і з наступним знаходженням середнього за допомогою рівняння (1.36), яке справедливе для ергодичних процесів лише у межі. Втім, інтегрування за кількістю періодів може дати нам деяку оцінку. Зазначимо, що може бути отримано при зміщенні X(t)як у позитивному, так і негативному напрямку. Подібний випадок ілюструє рис. 1.6, в, На якому використана вихідна вибіркова послідовність (рис. 1.6, а) та її зміщена копія (рис. 1.6, б). Заштриховані області під кривою твори роблять позитивний внесок у твір, а сірі області - негативний. Інтегрування за часом передачі імпульсів дає крапку на кривій. Послідовність може далі зміщуватися на кожне таке зсув буде давати крапку на загальної автокореляційної функції , показаної на рис. 1.6, г. Іншими словами, кожній випадковій послідовності біполярних імпульсів відповідає автокореляційна точка загальної кривої, наведеної на рис. 1.6, г. Максимум функції перебуває у точці (найкраще відповідність має місце при , рівному нулю, оскільки всім ), і функція спадає зі зростанням . На рис. 1.6, гпоказані точки, відповідні та .

Аналітичний вираз для автокореляційної функції, наведеної на рис. 1.6, гмає наступний вигляд .

(1.37)

Зазначимо, що автокореляційна функція дає інформацію про частоті; вона повідомляє нам дещо про смугу сигналу. Водночас автокореляція – це тимчасова функція; у формулі (1.37) відсутні члени, залежні від частоти. То як вона дає нам інформацію про смугу сигналу?

Рис.1.6. Автокореляція та спектральна щільність потужності

Рис.1.6. Автокореляція та спектральна щільність потужності (закінчення)

Припустимо, сигнал переміщається дуже повільно (сигнал має малу ширину смуги). Якщо ми зміщуватимемо копію сигналу вздовж осі , задаючи на кожному етапі зміщення питання, наскільки відповідають один одному копія та оригінал, відповідність досить довго буде досить сильною. Інакше кажучи, трикутна автокореляційна функція (рис. 1.6, гі формула 1.37) буде повільно спадати зі зростанням. Припустимо тепер, що сигнал змінюється досить швидко (тобто маємо велику смугу). У цьому випадку навіть невелика змінапризведе до того, що кореляція буде нульовою та автокореляційна функція матиме дуже вузьку форму. Отже, порівняння автокореляційних функцій формою дає нам деяку інформацію про ширині смуги сигналу. Чи функція спадає поступово? У цьому випадку маємо сигнал із вузькою смугою. Форма функції нагадує вузький пік? Тоді сигнал має широку смугу.

Автокореляційна функція дозволяє виражати спектральну щільність потужності випадкового сигналу. Оскільки спектральна щільність потужності та автокореляційна функція є Фур'є-образами один одного, спектральну щільність потужності, випадкової послідовності біполярних імпульсів можна знайти як Фур'є-перетворення функції, аналітичний вираз якої дано в рівнянні (1.37). І тому можна використовувати табл. А.1. Зауважимо, що

(1.38)

Загальний виглядфункції показано на рис. 1.6, д.

Зазначимо, що площа під кривою спектральної густини потужності являє собою середню потужність сигналу. Одним із зручних заходів ширини смуги є ширина основної спектральної пелюстки (див. розділ 1.7.2). На рис. 1.6, дпоказано, що ширина смуги сигналу пов'язана із зворотною тривалістю символу або шириною імпульсу. Мал. 1.6, е-доформально повторюють рис. 1.6, а-д, крім того, що у наступних малюнках тривалість імпульсу менше. Зазначимо, що для більш коротких імпульсів функція вже (рис. 1.6, і), ніж більш тривалих (рис. 1.6, г). На рис. 1.6, і; іншими словами, у разі меншої тривалості імпульсу зміщення на достатньо для створення нульової відповідності або для повної втрати кореляції між зміщеними послідовностями. Бо на рис. 1.6, етривалість імпульсу Тменше (вище швидкість передачі імпульсу), ніж рис. 1.6, а, зайнятість смуги на рис. 1.6, добільше зайнятості смуги нижчою частоти імпульсів, показаної на рис. 1.6, д.

1.5.5. Шум у системах зв'язку

Термін «шум» означає небажані електричні сигнали, які завжди є в електричних системах. Наявність шуму, накладеного на сигнал, «затіняє» або маскує сигнал; це обмежує здатність приймача приймати точні рішення про значення символів, отже, обмежує швидкість передачі. Природа шумів різна і включає як природні, і штучні джерела. Штучні шуми – це шуми іскрового запалення, комутаційні імпульсні перешкоди та шуми від інших споріднених джерел електромагнітного випромінювання. Природні шуми походять від атмосфери, сонця та інших галактичних джерел.

Хороше технічне проектування може усунути більшість шумів або їх небажані ефекти за допомогою фільтрації, екранування, вибору модуляції та оптимального розташування приймача. Наприклад, чутливі радіоастрономічні вимірювання проводяться, як правило, у віддалених пустельних місцях, далеко від природних джерел шуму. Втім, існує один природний шум, який називається тепловим, який усунути не можна. Тепловий шум викликається тепловим рухом електронів у всіх дисипативних компонентах – резисторах, провідниках тощо. Ті самі електрони, які відповідають за електропровідність, є причиною теплового шуму.

Тепловий шум можна описати як гауси випадковий процес з нульовим середнім. Гаусов процес n(t)- це випадкова функція, значення якої і у довільний момент часу tстатистично характеризується гаусової функцією щільності ймовірностей:

, (1.40)

де – дисперсія n. Нормована гауссова функція щільності процесу з нульовим середнім виходить у припущенні, що . Схематично нормована функція густини ймовірностей показана на рис. 1.7.

Тут – випадковий сигнал, а- сигнал у каналі зв'язку, а n - Випадкова змінна, що виражає Гаусів шум. Тоді функція щільності ймовірності виражається як

, (1.41)

де, як і вище, – дисперсія n.

Рис.1.7. Нормована () гауссова функція щільності ймовірності

Гауссовий розподіл часто використовується як модель шуму в системі, оскільки існує центральна гранична теорема, яка стверджує, що при дуже загальних умовахрозподіл ймовірностей суми jстатистично незалежних випадкових змінних підпорядковується гаусовому розподілу, причому вид окремих функцій розподілу не має значення. Таким чином, навіть якщо окремі механізми шуму матимуть негаусовий розподіл, сукупність багатьох таких механізмів прагнутиме гаусового розподілу.

1.5.5.1. Білий шум

Основний спектральної характеристикою теплового шуму і те, що його спектральна щільність потужності однакова всім частот, які мають інтерес більшості систем зв'язку; іншими словами, джерело теплового шуму на всіх частотах випромінює з рівною потужністю на одиницю ширини смуги від постійної складової до частоти порядку Гц. Отже, проста модель теплового шуму передбачає, що його спектральна щільність потужності рівномірна всім частот, як показано на рис. 1.8, аі записується в наступному вигляді.

(1.42)

Тут коефіцієнт 2 включений для того, щоб показати, що двостороння спектральна щільність потужності. Коли потужність шуму має однакову спектральну щільність, ми називаємо цей шум білим. Прикметник "білий" використовується в тому ж сенсі, що і для білого світла, що містить рівні частки всіх частот видимого діапазону електромагнітного випромінювання.

Рис.1.8. Білий шум: а) спектральна густина потужності;

б) автокореляційна функція

Автокореляційна функція білого шуму дається зворотним перетворенням Фур'є спектральної густини потужності шуму (див. табл. А.1) і записується в такий спосіб.

(1.43)

Таким чином, автокореляція білого шуму - це дельта-функція, зважена множником і що знаходиться в точці, як показано на рис. 1.8, б. Зазначимо, що дорівнює нулю для , тобто. дві різні вибіркибілого шуму не корелюють, незалежно від того, як близько вони знаходяться.

Середня потужність білого шуму нескінченна, оскільки нескінченна ширина смуги білого шуму. Це можна побачити, отримавши з рівнянь (1.19) та (1.42) наступне вираз.

(1.44)

Хоча білий шум є дуже корисною абстракцією, жоден процес шуму насправді не може бути білим; втім, шум, що з'являється у багатьох реальних системах, можна вважати білим. Спостерігати такий шум ми можемо тільки після того, як він пройде через реальну систему, що має кінцеву ширину смуги Отже, поки ширина смуги шуму значно більше ширини смуги, використовуваної системою, вважатимуться, що шум має нескінченну ширину смуги.

Дельта-функція рівняння (1.43) означає, що сигнал шуму n(t)абсолютно не корелює з власною зміщеною версією для будь-кого. Рівняння (1.43) показує, що будь-які дві вибірки процесу білого шуму не корелюють. Оскільки тепловий шум - це процес гаусу і його вибірки не корелюють, вибірки шуму також є незалежними. Таким чином, вплив каналу з адитивним гаусовим білим шумом на процес виявлення полягає в тому, що шум незалежно впливає на кожен переданий символ. Такий канал називається каналом без пам'яті. Термін "адитивний" означає, що шум просто накладається на сигнал або додається до нього - ніяких мультиплікативних механізмів не існує.

Оскільки тепловий шум є у всіх системах зв'язку і для більшості систем є помітним джерелом шуму, характеристики теплового шуму (адитивний, білий і гауссів) часто застосовуються для моделювання шуму в системах зв'язку. Оскільки гауси шум з нульовим середнім повністю характеризується його дисперсією, цю модель особливо просто використовувати при виявленні сигналів та проектуванні оптимальних приймачів. У цій книзі ми вважатимемо (якщо не обумовлено неприємне), що система піддається спотворенню з боку адитивного білого гаусового шуму з нульовим середнім, хоча іноді таке спрощення буде надто сильним.

1.6. Передача сигналу через лінійні системи

Після того як ми розробили набір моделей для сигналу та шуму, розглянемо характеристики систем та їх вплив на сигнали та шуми. Оскільки систему з рівним успіхом можна охарактеризувати як частотної, так і в часовій області, в обох випадках були розроблені методи, що дозволяють аналізувати відгук лінійної системи на довільний вхідний сигнал. Сигнал, поданий на вхід системи (рис. 1.9), можна описати або як тимчасовий сигнал, або через його Фур'є-образ, . Використання тимчасового аналізудає тимчасовий вихід і в процесі буде визначена функція , імпульсна характеристика, або імпульсний відгук мережі. При розгляді введення частотної області ми повинні визначити для системи частотну характеристику, або передатну функцію , яка визначить частотний вихід . Передбачається, що система лінійна та інваріантна щодо часу. Також передбачається, що система не має прихованої енергії на момент подачі сигналу на вхід.

Рис.1.9. Лінійна система та її ключові параметри

1.6.1. Імпульсна характеристика

Лінійна, інваріантна щодо часу система чи мережа, показана на рис. 1.9 описується (у часовій області) імпульсною характеристикою , що представляє собою реакцію системи при подачі на її вхід одиничного імпульсу .

Розглянемо термін «імпульсний відгук», який вкрай підходить для цієї події. Опис параметрів системи через її імпульсний відгук має пряму фізичну інтерпретацію. На вхід системи ми подаємо одиничний імпульс (нереальний сигнал, що має нескінченну амплітуду, нульову ширину та одиничну площу), як показано на рис. 1.10, а. Подачу такого імпульсу до системи можна як «миттєвий удар». Як відреагує («відгукнеться») система на таке застосування сили (імпульс)? Виходить сигнал - це імпульсний відгук системи. (Можливий вигляд цього відгуку показано на рис. 1.10, б.)

Відгук мережі на довільний сигнал є згорткою з записується наступним чином.

(1.46)

Рис.1.10. Ілюстрація поняття "імпульсний відгук": а) вхідний сигнал є одиничною імпульсною функцією; б) вихідний сигнал – імпульсним відгуком системи

Тут знак «*» означає операцію згортки (див. розділ А.5). Система передбачається причинною, що означає відсутність сигналу на виході до часу , коли сигнал подається на вхід. Отже, нижня межа інтегрування може бути взята рівною нулю, і вихід можна висловити дещо інакше.

(1.47, а)

або у вигляді

(1.47,б)

Вирази в рівняннях (1.46) та (1.47) називаються інтегралами згортки. Згортка (convolution) - це фундаментальний математичний апарат, що грає важливу рольу розумінні всіх систем зв'язку. Якщо читач не знайомий з цією операцією, йому варто звернутися до розділу А.5, де наводиться висновок рівнянь (1.46) та (1.47).

1.6.2. Частотна передавальна функція

Частотний вихідний сигнал отримуємо при застосуванні перетворення Фур'є до обох частин рівняння (1.46). Оскільки згортка у часовій області перетворюється на множення на частотній (і навпаки), з рівняння (1.46) отримуємо наступне.

(Зрозуміло, звичайно, що для всіх.) Тут , Фур'є-образ імпульсного відгуку, званий частотною функцією передачі, частотною характеристикою, або частотним відгуком мережі. Взагалі, функція є комплексною і може бути записана як

, (1.50)

де – модуль відгуку. Фаза відгуку визначається в такий спосіб.

(1.51)

(і позначають дійсну та уявну частини аргументу.)

Частотна передатна функція лінійної, інваріантної щодо часу мережі може легко вимірюватися в лабораторних умов- у мережі з генератором гармонійних коливань на вході та осцилографом на виході. Якщо вхідний сигнал виразити як

,

то вихід можна записати в такий спосіб.

Вхідна частота зміщується на цікаве для нас значення; таким чином, вимірювання на вході та виході дозволяють визначити вид .

1.6.2.1. Випадкові процеси та лінійні системи

Якщо випадковий процес формує вхід лінійної, інваріантної щодо часу системи, то на виході цієї системи отримаємо випадковий процес. Інакше кажучи, кожна вибіркова функція вхідного процесу дає вибіркову функцію вихідного процесу. Вхідна спектральна густина потужності і вихідна спектральна густина потужності пов'язані наступним співвідношенням.

(1.53)

Рівняння (1.53) надає простий спосіб знаходження спектральної щільності потужності на виході лінійної інваріантної щодо часу системи при подачі на вхід випадкового процесу.

У розділах 3 та 4 ми розглянемо виявлення сигналів у гауссовому шумі. Основна властивість гаусових процесів буде застосована до лінійної системи. Буде показано, що гауссов процес подається на інваріантний щодо часу лінійний фільтр, то випадковий процес , що надходить вихід, також є гаусовым .

1.6.3. Передача без спотворень

Що потрібно для того, щоб мережа поводилася як ідеальний канал передачі? Сигнал на виході ідеального каналу зв'язку може запізнюватися щодо сигналу на вході; крім того, ці сигнали можуть мати різні амплітуди (проста зміна масштабу), але щодо решти - сигнал не може бути спотворений, тобто. він повинен мати таку ж форму, як і сигнал на вході. Отже, для ідеальної неспотвореної передачі вихідний сигнал ми можемо описати як

, (1.54)

де і – константи. Застосувавши до обох частин перетворення Фур'є (див. розділ А.3.1), маємо таке.

(1.55)

Підставляючи вираз (1.55) рівняння (1.49), бачимо, що необхідна передатна функція системи передачі без спотворень має такий вид.

(1.56)

Отже, для отримання ідеальної передачі без спотворень загальний відгук системи повинен мати постійний модуль, а зсув фаз має бути лінійним за частотою. Недостатньо, щоб система підсилювала або послаблювала всі частотні компоненти. Всі гармоніки сигналу повинні надходити на вихід з однаковим запізненням, щоб їх можна було підсумувати. Оскільки запізнення пов'язане зі зсувом фаз та циклічною частотою співвідношенням

, (1.57, а)

Вочевидь, що, щоб запізнення всіх компонентів було однаковим, зсув фаз має бути пропорційний частоті. Для вимірювання спотворення сигналу, викликаного запізненням, часто використовується характеристика, що називається груповою затримкою; вона визначається в такий спосіб.

(1.57,б)

Таким чином, для передачі без спотворень маємо дві еквівалентні вимоги: фаза повинна бути лінійною за частотою або групова затримка повинна дорівнювати константі. Насправді сигнал спотворюватиметься при проході через деякі частини системи. Для усунення цього спотворення систему можуть вводитися схеми корекції фази чи амплітуди (вирівнювання). Взагалі, спотворення - це загальна характеристика введення-виведення системи, що визначає її продуктивність.

1.6.3.1. Ідеальний фільтр

Побудувати ідеальну мережу, що описується рівнянням (1.56), неможливо. Проблема у тому, що у рівнянні (1.56) передбачається нескінченна ширина смуги, причому ширина смуги системи визначається інтервалом позитивних частот, у яких модуль має задану величину. (Взагалі, існує кілька заходів ширини смуги; найпоширеніші перераховані в розділі 1.7.) Як наближення до ідеальної мережі з нескінченною шириною смуги виберемо усічену мережу, без спотворення пропускає всі гармоніки з частотами між і де - нижня частота зрізу, а - верхня, як показано на рис. 1.11. Усі подібні мережі називаються ідеальними фільтрами. Передбачається, що поза діапазоном, який називається смугою пропускання (passband), амплітуда відгуку ідеального фільтра дорівнює нулю. Ефективна ширина смуги пропускання визначається шириною смуги фільтра та становить Гц.

Якщо і , фільтр називається пропускаючим (рис. 1.11, а). Якщо має кінцеве значення, він називається фільтром нижніх частот (рис. 1.11, б). Якщо має ненульове значення і він називається фільтром верхніх частот (рис. 1.11, в).

Рис.1.11. Передатна функція ідеальних фільтрів: а) ідеальний фільтр, що пропускає; б) ідеальний фільтр нижніх частот; в) ідеальний фільтр нижніх частот

Використовуючи рівняння (1.59) і вважаючи ідеального фільтра нижніх частот з шириною смуги Гц, показаної на рис. 1.11, б, можна записати передатну функцію в такий спосіб.

(1.58)

Імпульсний відгук ідеального фільтра нижніх частот показаний на рис. 1.12 виражається наступною формулою.

Рис.1.12. Імпульсний відгук ідеального фільтра нижніх частот

де функцію визначено у рівнянні (1.39). Імпульсний відгук, показаний на рис. 1.12 є непричинним; це означає, що в момент подачі сигналу на вхід () на виході фільтра є ненульовий відгук. Таким чином, має бути очевидним, що ідеальний фільтр, що описується рівнянням (1.58), не реалізується насправді.

приклад 1.2. Проходження білого шуму через ідеальний фільтр

Білий шум із спектральною щільністю потужності , показаний на рис 1.8, а, Подається на вхід ідеального фільтра нижніх частот, показаного на рис. 1.11, б. Визначте спектральну щільність потужності та автокореляційну функцію вихідного сигналу.

Рішення

Автокореляційна функція – це результат застосування зворотного перетворення Фур'є до спектральної густини потужності. Визначається автокореляційна функція наступним виразом (див. табл. А.1).

Порівнюючи отриманий результат з формулою (1.62), бачимо, що має той же вигляд, що імпульсний відгук ідеального фільтра нижніх частот, показаний на рис. 1.12. У цьому прикладі ідеальний фільтр нижніх частот перетворює автокореляційну функцію білого шуму (визначену через дельта-функцію) на функцію . Після фільтрації в системі не буде білого шуму. Вихідний шумовий сигнал буде мати нульову кореляцію з власними зміщеними копіями тільки при зміщенні на де - будь-яке ціле число, відмінне від нуля.

1.6.3.2. Реалізовані фільтри

Найпростіший фільтр, що реалізується, нижніх частот складається з опору (R) і ємності (С), як показано на рис. 1.13, а; цей фільтр називається RC-фільтром, і його передатна функція може бути виражена наступним чином.

, (1.63)

де. Амплітудна характеристика та фазова характеристика зображені на рис. 1.13, б, в. Ширина смуги фільтра нижніх частот визначається точці половинної потужності; ця точка є частотою, на якій потужність вихідного сигналу дорівнює половині максимального значення, або частоту, на якій амплітуда вихідної напруги дорівнює максимального значення.

У загальному випадку точка половинної потужності виражається в децибелах (дБ) як точка -3 дБ, або точка, що знаходиться на 3 дБ нижче за максимальне значення. За визначенням величина децибелах визначається ставленням потужностей, і .

(1.64, а)

Тут і – напруги, a та – опору. У системах зв'язку для аналізу зазвичай використовується нормована потужність; у цьому випадку опору і вважаються рівними 1 Ом, тоді

Рис.1.13. RC-фільтр та його передатна функція: а) RC-фільтр; б) амплітудна характеристика RC-фільтра; в) фазова характеристика RC-фільтра

(1.64, б)

Амплітудний відгук можна висловити в децибелах як

, (1.64, в)

де і - напруги на вході та виході, а опори на вході та виході передбачаються рівними.

З рівняння (1.63) легко перевірити, що точка половинної потужності RC-фільтра нижніх частот відповідає рад/с або Гц. Таким чином, ширина смуги у герцах дорівнює . Форм-фактор фільтра – це міра того, наскільки добре реальний фільтр апроксимує ідеальний. Зазвичай він визначається як відношення ширини смуг фільтрів за рівнем -60 дБ та -6 дБ. Досить малий форм-фактор (близько 2) можна отримати в фільтрі, що пропускає, з дуже різким зрізом. Для порівняння форм-фактор простого RC-фільтра нижніх частот становить близько 600.

Існує кілька корисних апроксимацій характеристики ідеального фільтра нижніх частот. Одну з них дає фільтр Баттерворта, що апроксимує ідеальний фільтр нижніх частот функцією

, (1.65)

де – верхня частота зрізу (-3 дБ), а – порядок фільтра. Чим вищий порядок, тим вища складність та вартість реалізації фільтра. На рис. 1.14 показані графіки амплітуди для кількох значень. Зазначимо, що в міру зростання та амплітудні характеристики наближаються до характеристик ідеального фільтра. Фільтри Баттерворта популярні через те, що вони є найкращою апроксимацією ідеального випадку в сенсі максимальної пологості смуги пропускання фільтра.