Статистика. Основні поняття та визначення (2019)

Таким графіком представляють, наприклад, зміна з часом коефіцієнта технічної готовності автомобілів парку, кількості автомобілів у ремонті і т. д. По осі ординат на такому графіку відкладають значення відповідної величини, а по осі абсцис - час. Нанесені графік графік з'єднують прямими відрізками.

Приклад такого графіка, що використовується для вираження зміни показника, наприклад, простою автомобілів з технічних несправностей, наведено на рис. 1.1.

Ефективність отриманої інформації зросте, якщо під час аналізу дані розшарувати за такими чинниками, як моделі автомобілів, види несправностей тощо.

Мал. 1.1. Графік, виражений ламаною лінією: 1 – реальна ділянка графіка; 2 - відрізок, що відображає тенденцію

З малюнка можна зрозуміти характер зміни кількості автомобілів, що простоюють. Їли провести аналіз даних за методом найменших квадратів, то по відрізку, що відбиває тенденцію зміни показника, можна передбачити його значення на майбутній період напрацювання автомобілів.

Стовпчастий графік

За допомогою стовпчастого графіка представляють кількісну залежність, що виражається висотою стовпчика таких факторів, як кількість автомобілів, що простоюють різних причинвідмов, кількість автомобілів, що простоюють, за моделями і т.д.

Різновидами стовпчастого графіка можуть бути діаграма Парето та гістограма.

Мал. 1.2. Стовпчастий графік

При побудові стовпчастого графіка на осі ординат відкладають значення показника, а на осі абсцис – чинники. Кожному фактору відповідає стовпчик.

З графіка ясна значимість кожного чинника.

Наочніше представлення даних, коли стовпчики, що виражають кількість, розташовані на графіку в порядку зростання або зменшення їх частоти. Якщо при цьому збудувати кумулятивну суму, отримаємо діаграму Парето.

Круговий графік

Круговим графіком виражають співвідношення складових якогось цілого параметра та всього параметра загалом. Такими параметрами можуть бути співвідношення витрат на підтримку транспортних засобіву працездатному стоянні – витрати на паливо, амортизаційні відрахування, витрати на шини, виробництво технічне обслуговування, ремонт, накладні витрати та ін.

На круговому графіку видно відразу всі складові та їх співвідношення. Приклад кругового графіка показано на рис. 1.3 де представлено співвідношення складових собівартості виробництва.

Мал. 1.3. Круговий графік. Співвідношення складових витрат за виробництво поточного ремонту автомобілів автотранспортного підприємства: 1 – загальні витрати виробництва; 2, 3 – основні статті витрат; 4–7 – складові витрат основної статті 2 (прямі витрати); 9–12 – складові витрат за основною статтею 3 (непрямі витрати); 8 – інші

Як видно з графіка, кожна складова загальних витрат може бути представлена ​​співвідношенням витрат більш детальні статті витрат. Наприклад, витрати на поточний ремонт автомобілів складаються з витрат на запасні частини, матеріали, амортизацію обладнання, витрати на електроенергію, тепло та освітлення, заробітну платута премії ремонтникам та керівному персоналу, прибирання приміщення тощо.

Ціле приймається за 100% і виявляється повним колом. Складові виражаються як секторів кола і розташовуються по колу у бік руху годинникової стрілки. При цьому починають із елемента, що має найбільшу значимість. Останнім ставиться елемент "інші".

З графіка видно співвідношення складових собівартості виробництва. Розшарування за складовими та порівнювання витрат за окремими періодами, дає можливість отримати інформацію, яку можна використовувати для зниження собівартості виробництва.

Стрічковий графік

Стрічковий графік використовують для наочного уявлення співвідношення складових якогось параметра і відстеження зміни цих складових з часом. Наприклад: для графічного уявленняспіввідношення складових витрат за поточний ремонт устаткування, уявлення причин дефектів устаткування й зміни їх у місяцях тощо.

При побудові стрічкового графіка прямокутник графіка ділять на зони пропорційно до складових, наприклад витрат за виробництво. По довжині стрічки розмічують ділянки відповідно до співвідношення складових кожного фактору.

Стрічковий графік систематизують так, щоб стрічки розташовувалися в послідовному часовому порядку. Це дає можливість оцінити зміну складових з часом.

Мал. 1.4. Стрічковий графік:

1–4 – співвідношення складових загального підсумку(Витрат); 5 – інші

На графіку видно, частка витрат 3, 4 з часом збільшується. Частка витрат 1 спочатку збільшується, та був зменшується. Частка виробів 2, 5 зменшується. Цю інформацію можна використовуватиме своєчасного вжиття заходів із підвищення ефективності виробництва.

Z-подібний графік

Z-подібний графік використовують з оцінки загальної тенденції зміни аналізованих показників у часі.

Графік будується так:

1 – відкладаються значення параметра за відрізками часу та з'єднуються відрізками прямої – виходить графік ламаної лінії;

2 – обчислюється кумулятивна сума за кожен місяць та будується відповідний графік;

3 - обчислюються підсумкові значення, що змінюються від одного відрізка часу до іншого (змінний результат). Потім будується відповідний графік ламаної лінії. Принцип побудови Z-подібного графіка контролю зміни сумарного показника представлений на рис. 1.5.

Загальний графік, Що включає три побудованих вказаним чином графіка, має вигляд букви Z, чому він отримав свою назву. За змінним результатом можна визначити тенденцію зміни за тривалий період.

Мал. 1.5. Контролює тенденцію зміни показників процесу:

1 – зміна показника процесу; 2 – кумулятивна сума показників; 3 – змінний результат суми показників за відрізки спостережень L у порівнянні з попереднім аналогічним періодом

На графіку добре видно зміну суми показників процесу та зміну кумулятивної суми показників. За поведінкою мінливої ​​підсумкової суми показників зрозуміла загальна тенденція зміни їхньої суми за відрізок.

Радіаційна діаграма

Діаграма служить для наочного подання даних відразу з кількох чинників. Наприклад, при атестації робочого місця виконавців робіт з агрегатів автомобіля, для аналізу управління підприємством, для оцінки кадрів, для оцінки якості технічного обслуговування та ремонту транспортних засобів тощо.

Приклад радіаційної діаграми для аналізу управління виробництвом технічного обслуговування та ремонту автомобілів автотранспортного підприємства показано на рис. 1.6.

Графік будується так: з центру кола до кола проводяться за кількістю факторів прямі лінії (радіуси), які нагадують промені, що розходяться при радіоактивному розпаді(Звідси і назва графіка). На ці радіуси завдають поділу градуювання та відкладають значення даних. Точки, якими позначені відкладені значення, з'єднують відрізками прямої. Числові значення, що стосуються кожного з факторів, порівнюють із плановими показниками, стандартними значеннями або значеннями, досягнутими іншими підприємствами.

Мал. 1.6. Радіаційна діаграма атестації виробничої ділянки:

1 – виробничо-технічна база; 2 – матеріально-технічне забезпечення; 3 – кадрове забезпечення; 4 – фінансове забезпечення; 5 – організаційне забезпечення; 6 – інформаційне забезпечення; 7 – мікроклімат; 8 – санітарно-побутові умови

Аналізуючи графік, можна оцінити стан ресурсного забезпечення інженерно-технічної служби на даному підприємстві. Стандартні значення показників управління позначені кілами. При порівнянні зі стандартними лініями видно, що особливої ​​увагивимагає проблема 6, пов'язана з інформаційним забезпеченням. Є труднощі з фінансовим забезпеченням(Фактор 4).

1.1.2.7. Карта планових та фактичних показників

Карта являє собою таблицю, у якої по вертикалі у два рядки проставляються планові та фактично досягнуті показники, а по горизонталі – дата отримання даних.

Таблиця наочно показує стан виконання плану. Така карта застосовується, наприклад, у разі контролю реалізації плану технічного обслуговування автомобілів або зміни коефіцієнта технічної готовності автомобілів парку і т. д. Приклад карти порівняння планових і фактичних показників для контролю виробничого завдання є табл. 1.1.

Таблиця дозволяє легко порівняти планові та фактичні показники та винести рішення про ступінь відставання від плану. З таблиці видно, що відповідно до плану виконують роботи лише у третій автоколонні. Необхідно з'ясувати причини відставання виконання планів у першій та другій автоколоннах та вжити заходів для виключення відставання.

Таблиця 1.1

Автоколона	Вид технічного обслуговування	Дата
08.09.08	09.09.08	10.09.08	11.09.08	12.09.08	13.09.08
Пнд.	Вт.	Порівн.	Чтв.	Птн.	Сбб.
	ТО-1	План
факт
ТО-2	План
факт
…	…	…	…	…	…	…	…	…
N	ТО-1	План
факт
ТО-2	План
факт

Гістограма

Показники якості завжди мають певний розкид. Розкид підпорядковується певним закономірностям. Аналіз показників причин несправностей, схильних до розкиду, проводять з використанням гістограм.

Гістограма – інструмент, що дозволяє наочно оцінити розподіл статистичних даних, згрупованих за частотою влучення у певний, заздалегідь заданий інтервал. Вона є стовпчастим графіком, побудованим за отриманими за певний період даних, які розбиваються на кілька інтервалів; число даних, які у кожен із інтервалів (частота), виражається висотою стовпчика (рис. 1.7).

Гістограма дає багато інформації у порівнянні отриманого розподілу з контрольними нормативами.

Гістограма будується у такому порядку.

Систематизують дані, зібрані, наприклад, за 10 днів або місяць. Число даних має бути не менше 30-50, оптимальне число - близько 100. Якщо їх виявляється більше 300, витрати часу на їх обробку виявляються занадто великими.

Наступний крок – визначення інтервалів між найбільшим та найменшим значеннями. Ширину кожної ділянки можна визначити за допомогою формули:

.

Число ділянок має приблизно відповідати кореню квадратному з даних. У числі даних 30-50 кількість ділянок дорівнює 5-7, при числі даних 50-100 - 6-10); у числі даних 100–200 – 8–15.

Останнім кроком є ​​побудова графіка гістограми. По осі абсцис відкладають значення параметрів якості, по осі ординат – частоту. Для кожної ділянки будують прямокутник (стовпчик) з основою, що дорівнює ширині інтервалу ділянки; висота його відповідає частоті влучення даних у цей інтервал (рис. 1.7).

Аналіз гістограми дозволяє зробити висновок про стан процесу НаразіОднак, якщо незрозумілі умови контролю процесу або тимчасові зміни, необхідно в комбінації з гістограмою використовувати також інші інструменти. Отримана в результаті аналізу гістограми інформація може бути використана для побудови та дослідження причинно-наслідкової діаграми, що підвищить обґрунтованість заходів, намічених для покращення процесу.

Оскільки гістограма висловлює умови процесу за період, протягом якого були отримані дані, важливу інформаціюможе дати форма розподілу гістограми порівняно з контрольними нормативами.

Розрізняють модифікації форми гістограми: з двосторонньою симетрією, гістограма витягнута вправо, гістограма витягнута вліво, двогорба діаграма, гістограми у формі обриву, гістограма з окремим острівцем, гістограма з плоскою вершиною та ін. За формою гістограм судять про порушення правил.

Гістограма з двосторонньою симетрією ( нормальний розподіл). Гістограма з таким розподілом зустрічається найчастіше. Вона свідчить про стабільність процесу (рис. 1.7).

Мал. 1.7. Гістограма із двосторонньою симетрією (нормальний розподіл)

При порівнянні гістограми з нормою або запланованими значеннями можуть мати різні випадки.

1. Середнє значення розподілу перебуває посередині між контрольними нормативами, розкид виходить межі норми.

2. Гістограма повністю входить в інтервал, обмежений контрольними нормативами, але розкид значень великий, краї гістограми знаходяться майже на межах норми (ширина норми в 5–6 разів більша за стандартне відхилення). У цьому є можливість появи шлюбу, тому необхідні заходи зменшення розкиду.

3. Середнє значення розподілу знаходиться посередині між контрольними нормативами, розріз показників також знаходиться в межах норми, проте краї гістограми набагато не доходять до контрольних нормативів (ширина розподілу більш ніж в 10 разів перевищує стандартне відхилення). Якщо дещо збільшити розкид, тобто зробити дещо менш суворими стандарти на технологічні операції та норми, можна підвищити продуктивність та знизити вартість вихідних матеріалів та комплектуючих.

4. Розкид невеликий в порівнянні з шириною норми, але через велике зміщення середнього значення у бік нижньої межі норми з'являється шлюб. Необхідні заходи, які б переміщенню середнього значення до середньої точки між контрольними нормативами.

5. Середнє значення перебуває посередині між контрольними нормативами, але з-за великого розкиду краю гістограми виходять поза межі норми, т. е. з'являється шлюб. Необхідні заходи щодо зменшення розкиду.

6. Середнє значення зміщене щодо центру норми, розкид великий, з'являється шлюб. Необхідні заходи щодо переміщення середнього значення до середньої точки між контрольними нормативами та зменшення розкиду.

Таким чином, порівняння виду розподілу гістограми з нормою чи запланованими значеннями дає важливу інформацію для керування процесом.

Аналіз стану процесу за гістограмами доцільно проводити в комбінації із застосуванням карт контролю.

Є діаграми.

Діаграми прийнято поділяти за їх формою на такі види:

• стовпчикові діаграми;
• смугові діаграми;
• кругові діаграми;
• лінійні діаграми;
• фігурні діаграми;

Іншою ознакою підрозділу діаграм є їх зміст. За цією ознакою вони поділяються на діаграми порівняння, структурні, динамічні, графіки зв'язку, графіки контролюта ін.

Діаграми порівняннявідбивають співвідношення різних досліджуваних об'єктів у зв'язку з будь-яким економічним показником. Найзручнішими графіками, на яких здійснюється зіставлення величин економічних показників, є стовпчикові та смугові діаграми. Для зображення таких діаграм застосовується прямокутна системакоординат. На осі абсцис таких графіків міститься основа певних стовпців однакового розміру всім досліджуваних об'єктів. Висота кожного їх стовпців повинна виражати величину того економічного показника, який відображено у певному масштабі на осі ординат. Такі особливості стовпчикових діаграм. Проілюструємо їх такою схемою (див. схему №1).

Смужкові діаграми, На відміну від стовпчикових, зображують по горизонталі: основа смуг розташовується на осі ординат, а економічні показники в певному масштабі - на осі абсцис.

Які ж особливості кругових та квадратних діаграм? Нерідко діаграми порівняння є кола чи квадрати; їх площа є пропорційною величиною певних економічних показників.

Фігурні діаграмимістять співвідношення певних (об'єктів), які представлені в умовному вигляді як певні художні постатіНаприклад, голови великої рогатої худоби, будь-які машини, та ін. Такі діаграми при першому ж погляді на них фіксують на собі увагу, і представляють певну числову інформацію в найбільш зрозумілому вигляді. Структурні діаграми (інакше-секторні) дають можливість уявити склад досліджуваних економічних показників і частку (питому вагу) конкретних елементів у сукупній сумі економічного показника. У аналізованих діаграмах економічні явища видаються як певні геометричні фігури(кола або квадрати), які розбиті на кілька секторів. Площа кола чи квадрата приймається рівною ста відсоткам чи одиниці. Площа ж будь-якого даного сектора характеризується часткою аналізованої частини у складі ста відсотків чи одиниці.

Динамічні діаграмихарактеризують динаміку, тобто зміни кількісної оцінки даного економічного явищапротягом певних періодів часу. З цією метою можуть застосовуватися будь-які з розглянутих видів діаграм (стовпцеві, смугові, кругові, квадратні, фігурні). Водночас найчастіше тут використовуються лінійні діаграми (графіки). На таких діаграмах зміна кількісної оцінки економічного явища зображується певною лінією, що виражає безперервність процесу, що відбувається. На осі абсцис лінійного графіка зображуються певні періодичасу, але в осі ординат — відповідні величини даного економічного явища за періоди часу, що розглядаються, відповідно до прийнятого числового масштабу.

Лінійні графіки (діаграми), що розглядаються, застосовуються також і при вивченні взаємозв'язків між окремими економічними показниками. І тут їх можна як графіки зв'язку. У графіках зв'язку вісь абсцис містить числові значеннябудь-якого фактора, а вісь ординат - числові значення результуючого показника. Подібні графіки характеризують тенденцію та форму зв'язку між економічними показниками. Графіки контролю використовуються в економічному аналізіу процесі розгляду виконання бізнес-планів. Проілюструємо це наступним прикладом.

Графік контролю за виконанням плану з випуску продукції

У цьому графіку суцільна лініяозначає план випуску продукції, переривчаста лінія- Фактичне виконання плану, Δ - Відхилення фактичного виконання від плану.

Таким чином, графічні методивідображення числових даних знаходять велике застосування і . Вони використовуються з метою наочного відображення складу та структури економічних явищ, виявлення взаємозв'язків між узагальнюючими показниками та факторами, що впливають на них, і т.д. мають велике ілюстративне значення, є дохідливими та зрозумілими. На відміну від графіки та діаграми наочно представляють основні тенденції розвитку економічного явища, що вивчається, дають можливість в образній формі показати закономірності розвитку цього явища.

Лінійна діаграма

Лінійні діаграми використовуються для характеристики варіації, динаміки та взаємозв'язку. Лінійні графіки будуються координатної сітці. Геометричними знаками служать точки та відрізки прямої, які їх послідовно з'єднують у ламані.

Лінійні діаграми для характеристики динаміки застосовують у таких випадках:

• якщо кількість рівнів низки динаміки досить велика. Їх застосування наголошує на безперервності процесу розвитку у вигляді безперервної лінії;
• з метою відображення загальної тенденції та характеру розвитку явища;
• при необхідності порівняння кількох динамічних рядів;
• якщо необхідно порівняти не абсолютні рівні явища, а темпи зростання.

При зображенні динаміки з допомогою лінійної діаграми на вісь абсцис наносять показники часу (дні, місяці, квартали, роки), але в осі ординат — значення показника (пасажирські перевезення у Росії).

Перевезення пасажирів транспортом загального користуванняв Росії

На одному лінійному графікуможна побудувати кілька кривих, (рис. 6.6), які дозволять порівняти динаміку різних показників або одного і того ж показника різних регіонах, галузях та ін.

Для побудови цього графіка скористаємося даними про динаміку виробництва овочів та картоплі у Росії.

Виробництво овочів у Росії, млн.т Мал. 6.6. Динаміка виробництва картоплі та овочів у Росії у 2006-2011 рр.

Логарифмічна діаграма

Проте лінійні діаграми із рівномірною шкалою спотворюють відносні зміни економічних показників. Крім того, їх застосування втрачає наочність і навіть стає неможливим при зображенні рядів динаміки з рівнями, що різко змінюються, що характерно для динамічних рядів за тривалий період часу. У таких випадках замість рівномірної шкали використовують напівлогарифмічну сітку, у якій однією осі наноситься лінійний масштаб, але в інший — логарифмический. У цьому випадку логарифмічний масштаб наноситься на вісь ординат, а на осі абсцис мають рівномірну шкалу для відліку часу за прийнятими інтервалами (рік, квартал тощо). Для побудови логарифмічної шкали необхідно: знайти логарифми вихідних чисел, накреслити ординату та розділити її на кілька рівних частин. Потім нанести на ординату відрізки, пропорційні абсолютним приростам цих логарифмів, та записати відповідні логарифми чисел та їх антилогарифми.

Отримані антилогарифми дають вигляд шуканої шкали на ординаті.

Розглянемо приклад використання логарифмічного масштабу для відображення динаміки виробництва контрольно-касових машин у Росії:

Роки	Виробництво, тис.	Логарифми рівнів
2006	32,5	1,5119
2007	81,2	1,9096
2008	202,0	2,3054
2009	368,0	2,5658
2010	203,0	2,3075
2011	220,0	2,3424

Знайшовши мінімальні та максимальні значення логарифмів виробництва контрольно-касових машин, будуємо масштаб з таким розрахунком, щоб усі вони розмістилися на графіку. Потім знаходимо відповідні точки (з урахуванням масштабу) та з'єднуємо їх прямими лініями. Отриманий графік (див. рис. 6.7) з використанням логарифмічного масштабуназивається діаграмою на напівлогарифмічній сітці.

6.7. Динаміка виробництва контрольно-касових машин у Росії 2006-2011 гг.

Радіальна діаграма

Одним із видів лінійних діаграм є радіальні діаграми. Вони будуються в полярної системикоординат з метою відображення процесів, що ритмічно повторюються в часі. Радіальні діаграми можна розділити на два види: замкнуті та спіральні.

У замкнутих радіальних діаграмах як база відліку береться центр кола (рис. 6.8). Викреслюється коло радіусом, прирівняним до середньомісячного показника досліджуваного явища, який ділиться потім на дванадцять рівних секторів. Кожен радіус зображує місяць, причому розташування їх аналогічно циферблату годинника. На кожному радіусі робиться позначка відповідно до масштабу, вибраного виходячи з даних кожного місяця. Якщо дані перевищують середньорічний рівень, то відмітка робиться на продовженні радіусу поза коло. Потім відмітки всіх місяців з'єднуються відрізками.

Розглянемо приклад побудови замкнутої радіальної діаграми за місячними даними відправлення вантажів залізничним транспортомзагального користування у Росії 1997 р.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	1	1
68,9	67,6	776,3	70,7	71,3	74,2	76,3	75,7	79,3	74,9	74,0	74,2

Мал. 6.8. Відправлення вантажів залізничним транспортом загального користування

У спіральних радіальних діаграмахяк база відліку береться коло. При цьому грудень одного року з'єднується із січнем наступного рокущо дозволяє зобразити весь ряд динаміки у вигляді однієї кривої. Особливо наочна така діаграма тоді, коли поряд із сезонним ритмом спостерігається неухильне зростання рівнів низки.

Інші види діаграм

Стовпчикова діаграма

Серед площинних діаграм найбільшого поширенняотримали стовпчикові, смугові чи стрічкові, трикутні, квадратні, кругові, секторні, фігурні.

Стовпчикові діаграмизображуються у вигляді прямокутників (стовпчиків), витягнутих по вертикалі, висота яких відповідає значенню показника (рис. 6.9).

Смужкова діаграма

Принцип побудови смугових діаграмтой самий, як і стовпчикових. Відмінність полягає в тому, що смугові (або стрічкові) графіки є значенням показника не по вертикальній, а по горизонтальній осі.

Обидва види діаграм застосовуються порівняння як самих величин, а й їх частин. Для зображення структури сукупності будують стовпчики (смуги) однакового розміру, приймаючи ціле за 100%, а величину частин цілого – відповідної питомою вагою(Рис. 6.10).

Для зображення показників із протилежним змістом (імпорт та експорт, сальдо позитивне та негативне, вікова піраміда) будують різноспрямовані стовпчикові або смугові діаграми.

Основу квадратних, трикутнихі круговихдіаграм становить зображення значення показника за величиною площі геометричної фігури.

Квадратна діаграма

Для побудови квадратної діаграмивстановлюють розмір сторони квадрата шляхом вилучення кореня квадратного значення показника.

Приміром, для побудови діаграми на рис. 6.11 з обсягу послуг зв'язку за 1997 р. в Росії з надсилання телеграм
(73 млн.), пенсійних виплат (392 млн.), посилок (24 млн.) квадратне коріннясклали відповідно 8,5; 19,8; 4,9.

Кругова діаграма

Кругові діаграмибудуються як площі кіл, радіуси яких рівні кореню квадратному з значень показника.

Секторна діаграма

Для зображення структури (складу) сукупності використовуються секторні діаграми. Кругова секторна діаграма будується шляхом поділу кола на сектори пропорційно питомої вагичастин загалом. Розмір кожного сектора визначається величиною кута розрахунку (1% відповідає 36 0).

приклад.Частка продовольчих товарівобсягом роздрібного товарообігу Росії становила 1992 р. 55%, а 1997 р. — 49%, частка непродовольчих товарів становила відповідно 45% і 51%.

Побудуємо два кола однакового радіусу, а для зображення секторів визначимо центральні кути: для продовольчих товарів 3,6 0 * 55 = 198 0, 3,6 * 49 = 176,4 0; для непродовольчих товарів 3,6 0 * 45 = 162 0; 3,6 0 * 51 = 183,6 0. Розділимо кола на відповідні сектори (рис. 6.12).

Трикутна діаграма

Різновидом діаграм, що представляють структуру (крім стовпчикових та смугових), є діаграма трикутна. Вона застосовується для одночасного зображення трьох величин, що зображують елементи чи складові цілого. Трикутна діаграма є рівносторонній трикутниккожна сторона якого є рівномірною масштабною шкалою від 0 до 100. Усередині будується координатна сітка, що відповідає лініям, що проводяться паралельно сторонам трикутника. Перпендикуляри з будь-якої точки координатної сітки представляють частки трьох компонентів, що відповідає сумі 100% (рис. 6.13). Крапка на графіці відповідає 20% (по А), 30% (по В) та 50% (по С).

Мал. 6.13. Трикутна діаграма

Фігурна діаграма

Діаграми фігурніє зображення у вигляді малюнків, силуетів, фігур.

Людмила Прокопівна Калугіна (або просто “Мимра”) чудовому фільмі«Службовий роман» повчала Новосельцева: «Статистика - це наука, вона терпить приблизності». Щоб не потрапити під гарячу рукусуворій начальниці Калугіної (а заразом і запросто вирішувати завдання з ЄДІ та ДПА з елементами статистики), постараємося розібратися з деякими поняттями статистики, які можуть стати у нагоді не тільки в тернистому шляху підкорення іспиту з ЄДІ, але й просто у повсякденному житті.

То що таке Статистика і навіщо вона потрібна? Слово «статистика» походить від латинського слова«status» (статус), що означає «стан і стан справ/речей». Статистика займається вивченням кількісної боку масових суспільних явищ та процесів у числовій формі, виявляючи особливі закономірності. На сьогоднішній день статистика застосовується практично у всіх сферах суспільного життя, починаючи від моди, кулінарії, садівництва та закінчуючи астрономією, економікою, медициною.

Насамперед, при знайомстві зі статистикою необхідно вивчити основні статистичні характеристики, що застосовуються для аналізу даних. Ну ось, із цього й почнемо!

Статистичні характеристики

До основних статистичним характеристикамвибірки даних (яка ще така «вибірка»!? Не лякайся, все під контролем, це незрозуміле слово лише для залякування, насправді, під словом «вибірка» мається на увазі просто дані, які ти збираєшся дослідити) відносяться:

1. обсяг вибірки,
2. розмах вибірки,
3. середнє арифметичне,
4. мода,
5. медіана,
6. частота,
7. відносна частота.

Стоп-стоп-стоп! Скільки нових слів! Давай про все по порядку.

Обсяг та Розмах

Наприклад, у таблиці нижче наведено зростання гравців збірної з футболу:

Ця вибірка представлена ​​елементами. Таким чином, обсяг вибірки дорівнює.

Розмах представленої вибірки становить див.

Середнє арифметичне

Не дуже зрозуміло? Давай дивитися на наш приклад.

Визначте середнє зростання гравців.

Ну що, почнемо? Ми вже зналися, що; .

Можемо відразу сміливо все підставляти до нашої формули:

Таким чином, середнє зростання гравця збірної становить див.

Ну чи ось такий приклад:

Учням 9 класу на тиждень було задано вирішити якнайбільше прикладів із задачника. Кількість прикладів, вирішених учнями за тиждень, наведено нижче:

Знайдіть середню кількість розв'язаних задач.

Отже, у таблиці представлені дані про учнів. Таким чином, . Ну що ж, знайдемо для початку суму ( Загальна кількість) всіх вирішених завдань двадцятьма учнями:

Тепер можемо сміливо приступати до розрахунку середнього арифметичного вирішених завдань, знаючи, що:

Таким чином, у середньому учні 9 класу вирішили за завданнями.

Ось ще один приклад для закріплення.

приклад.

На ринку помідори реалізуються продавцями, причому ціни на кг розподілені так (в руб.): . Яка Середня цінакілограм помідорів на ринку?

Рішення.

Отже, чому в даному прикладіодно? Все вірно: сім продавців пропонують сім цін, значить! . Ну ось, з усіма складовими розібралися, тепер можемо розпочати розрахунок середньої ціни:

Ну, що, розібрався? Тоді порахуй самостійно середнє арифметичнеу наступних вибірках:

Відповіді: .

Мода та медіана

Звернемося знову до нашого прикладу зі збірною з футболу:

Чому в цьому прикладі дорівнює мода? Яке число найчастіше зустрічається у цій вибірці? Все вірно, це число, тому що два гравці мають зростання см; зростання інших гравців не повторюється. Тут все має бути зрозумілим і зрозумілим, та й слово знайоме, правда?

Перейдемо до медіани, ти її маєш знати з курсу геометрії. Але мені не складно нагадати, що у геометрії медіана(У перекладі з латинського-«середня») - відрізок усередині трикутника, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежного боку. Ключове словоСЕРЕДИНА. Якщо ти знав це визначення, то тобі легко буде запам'ятати, що таке медіана у статистиці.

Ну що, повернемось до нашої вибірки футболістів?

Ти помітив у визначенні медіани важливий момент, Що нам ще тут не зустрічався? Звісно, ​​«якщо цей ряд упорядкувати»! Наведемо лад у ряду? Для того, щоб у ряді чисел був порядок, можна розташувати значення зростання футболістів як у порядку зменшення, так і в порядку зростання. Мені зручніше вибудувати цей ряд у порядку зростання (від найменшого до найбільшого). Ось що в мене вийшло:

Так, низка впорядкувала, який ще є важливий момент у визначенні медіани? Правильно, парна та непарна кількість членів у вибірці. Зауважив, що для парної та непарної кількості навіть визначення відрізняються? Так, ти маєш рацію, не помітити - складно. А якщо так, то нам треба визначитися, парна у нас кількість гравців у нашій вибірці чи непарна? Все вірно – гравців, значить, кількість непарна! Тепер можемо застосовувати до нашої вибірки менш хитромудре визначення медіани для непарної кількості членів у вибірці. Шукаємо число, яке виявилося посередині у нашому впорядкованому ряду:

Ну от, чисел у нас, отже, по краях залишається по п'ять чисел, а зріст см буде медіаною у нашій вибірці. Не так уже й складно, правда?

А тепер розберемо приклад із нашими відчайдушними хлопцями із 9 класу, які вирішували приклади протягом тижня:

Готовий шукати в цьому ряду моду та медіану?

Для початку, упорядкуємо цей ряд чисел (розташуємо від самого невеликого числадо найбільшого). Вийшов ось такий ряд:

Тепер можна сміливо визначити моду у цій вибірці. Яке число зустрічається найчастіше? Все вірно, ! Таким чином, модау цій вибірці дорівнює.

Моду знайшли, тепер можемо приступати до знаходження медіани. Але насамперед, дай відповідь мені: який обсяг аналізованої вибірки? Порахував? Все вірно, обсяг вибірки дорівнює. А це парне число. Таким чином, застосовуємо визначення медіани для ряду чисел із парною кількістю елементів. Тобто нам треба у нашому впорядкованому ряді знайти середнє арифметичнедвох чисел, записаних посередині. Які два числа розташовуються посередині? Все правильно, і!

Таким чином, медіаною цього ряду буде середнє арифметичнечисел та:

- медіанааналізованої вибірки.

Частота та відносна частота

Тобто частотавизначає те, як часто повторюється та чи інша величина вибірки.

Розберемося на нашому прикладі із футболістами. Перед нами ось такий упорядкований ряд:

Частота- Це число повторень будь-якої величини параметра. У нашому випадку це можна вважати ось так. Скільки гравців має зростання? Все вірно, один гравець. Таким чином, частота зустрічі гравця зі зростанням у нашій вибірці дорівнює. Скільки гравців має зростання? Так, знову ж таки один гравець. Частота зустрічі гравця зі зростанням у нашій вибірці дорівнює. Задаючи такі питання і відповідаючи на них, можна скласти таку табличку:

Ну от усе досить просто. Пам'ятай, що сума частот повинна дорівнювати кількості елементів у вибірці (обсязі вибірки). Тобто у нашому прикладі:

Перейдемо до наступної характеристики - відносна частота.

Звернемося знову до нашого прикладу з футболістами. Частоти для кожного значення ми розрахували, загальну кількість даних у ряді ми також знаємо. Розраховуємо відносну частоту для кожного значення зростання і отримуємо таку табличку:

А тепер сам склади таблиці частот та відносних частот для прикладу з 9-класниками, які вирішують завдання.

Графічне зображення даних

Найчастіше для наочності дані подаються як діаграм/графіків. Зупинимося на розгляді основних із них:

1. стовпчаста діаграма,
2. кругова діаграма,
3. гістограма,
4. полігон

Стовпчаста діаграма

Стовпчасті діаграми використовують тоді, коли хочуть продемонструвати динаміку зміни даних у часі чи розподілу даних, одержаних у результаті статистичного дослідження.

Наприклад, у нас є такі дані про оцінки написаної контрольної роботив одному класі:

Кількість тих, хто отримав таку оцінку - це у нас і є частота. Знаючи це, ми можемо скласти таку ось табличку:

Тепер ми можемо побудувати наочні стовпчасті графіки на основі такого показника, як частота(На горизонтальній осі відображені оцінки на вертикальної осівідкладаємо кількість учнів, які отримали відповідні оцінки):

Або можемо побудувати відповідний стовпчастий графік на основі відносної частоти:

Розглянемо приклад на кшталт завдання В3 з ЄДІ.

приклад.

На діаграмі показано розподіл видобутку нафти у країнах світу (у тоннах) за 2011 рік. Серед країн перше місце з видобутку нафти посідала Саудівська Аравіясьоме місце - Об'єднані Арабські Емірати. Яке місце посідали США?

Відповідь:третє.

Кругова діаграма

Для наочного зображення співвідношення між частинами досліджуваної вибірки зручно використовувати кругові діаграми.

За нашою табличкою з відносними частотами розподілу оцінок у класі ми можемо побудувати кругову діаграму, розбивши коло на сектори, пропорційні відносним частотам.

Кругова діаграмазберігає свою наочність і виразність лише за невеликій кількості частин сукупності. У нашому випадку, таких частин чотири (відповідно до можливих оцінок), тому застосування такого типу діаграми досить ефективно.

Розглянемо приклад за типом завдання 18 з ДІА.

приклад.

На діаграмі показано розподіл витрат сім'ї під час відпочинку на морі. Визначте, на що сім'я витратила найбільше?

Відповідь:проживання.

Полігон

Динаміку зміни статистичних даних у часі часто зображують за допомогою полігону. Для побудови полігону відзначають у координатної площиниточки, абсцисами яких є моменти часу, а ординатами - відповідні їм статистичні дані. З'єднавши послідовно ці точки відрізками, одержують ламану, яку називають полігоном.

Ось, наприклад, нам дано середньомісячні температури повітря в Москві.

Зробимо наведені дані наочнішими - побудуємо полігон.

На горизонтальній осі відбито місяці, на вертикальній - температура. Будуємо відповідні точки та з'єднуємо їх. Ось що вийшло:

Погодься, одразу стало наочніше!

Полігон використовують також для наочного зображення розподілу даних, отриманих в результаті статистичного дослідження.

Ось побудований полігон на основі нашого прикладу з розподілом оцінок:

Розглянемо типове завданняВ3 із ЄДІ.

приклад.

На малюнку жирними точками показана ціна алюмінію на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з серпня року. По горизонталі вказуються числа місяця, вертикалі — ціна тонни алюмінію в доларах США. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку, якого числа ціна алюмінію на момент закриття торгів була найменшою за цей період.

Відповідь: .

Гістограма

Інтервальні ряди даних зображують за допомогою гістограми. Гістограма є ступінчастою фігурою, складеною із зімкнутих прямокутників. Основа кожного прямокутника дорівнює довжині інтервалу, а висота - частоті чи відносній частоті. Таким чином, у гістограмі, на відміну від звичайної стовпчастої діаграми, основи прямокутника вибираються не довільно, а суворо визначені довжиною інтервалу.

Ось, наприклад, ми маємо такі дані про зростання гравців, викликаних до збірної:

Отже, нам дано частота(Кількість гравців з відповідним зростанням). Ми можемо доповнити табличку, розрахувавши відносну частоту:

Ну от тепер можемо будувати гістограми. Спочатку збудуємо на підставі частоти. Ось що вийшло:

А тепер на підставі даних щодо відносної частоти:

приклад.

На виставку з інноваційним технологіямприїхали представники компаній На діаграмі показано розподіл цих компаній за кількістю персоналу. По горизонталі представлено кількість співробітників у компанії, по вертикалі – кількість компаній, що мають це числоспівробітників.

Який відсоток становлять компанії із загальною кількістю співробітників більше за людей?

Відповідь: .

Короткі підсумки

Обсяг вибірки- Кількість елементів у вибірці.

Розмах вибірки- Різниця між максимальним та мінімальними значеннямиелементів вибірки.

Середнє арифметичне рядучисел- це окреме від розподілу суми цих чисел з їхньої кількість (обсяг вибірки).

Мода ряду чисел- Число, що найчастіше зустрічається в даному ряду.

Медіанавпорядкованого ряду чисел з непарною кількістю членів- Число, яке виявиться посередині.

Медіана впорядкованого ряду чисел із парною кількістю членів- Середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині.

Частота- Число повторень певного значенняпараметра у вибірці.

Відносна частота

Для наочності зручно представляти дані у вигляді відповідних діаграм/графіків

• ЕЛЕМЕНТИ СТАТИСТИКИ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ.

Статистична вибірка - Вибране з усього числа об'єктів конкретне числооб'єктів на дослідження.

Об'ємом вибірки - кількість елементів, що потрапили у вибірку.

Розмах вибірки - різниця між максимальним та мінімальним значеннями елементів вибірки.

Або, розмах вибірки

Середнє арифметичнеряду чисел - це частка від поділу суми цих чисел на їх кількість

Модою ряду чисел називається число, що найчастіше зустрічається в цьому ряду.

Медіаною ряду чисел з парним числом членів називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині, якщо цей ряд упорядкувати.

Частота є число повторень, скільки разів за якийсь період відбувалося деяке подія, виявлялося певне якість об'єкта чи спостережуваний параметр досягав цієї величини.

Відносна частота- це відношення частоти до загальному числуданих у ряду.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути напевно кращим за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Протягом цього уроку ми познайомимося зі стовпчастими діаграмами, навчимося ними користуватися. Визначимо, у яких випадках зручніше використовувати кругові діаграми, а яких - стовпчасті. Навчимося застосовувати діаграми в реального життя.

Мал. 1. Кругова діаграма площ океанів від загальної площі океанів

На малюнку 1 бачимо, що Тихий океаняк найбільший, а й займає майже точну половину всього світового океану.

Розглянемо інший приклад.

Чотири найближчі планети до Сонця називаються планетами земної групи.

Випишемо відстань від Сонця до кожної з них.

До Меркурія 58 млн км

До Венери 108 млн км

До Землі 150 млн км

До Марса 228 млн км

Ми знову можемо збудувати кругову діаграму. Вона показуватиме, який внесок відстань кожної планети має у сумі всіх відстаней. Але сума всіх відстаней немає для нас сенсу. Повне коло не відповідає жодній величині (див. мал. 2).

Мал. 2 Кругова діаграма відстаней до Сонця

Оскільки сума всіх величин немає для нас сенсу, то немає сенсу будувати кругову діаграму.

Але ми можемо зобразити всі ці відстані, використовуючи найпростіші геометричні фігури - прямокутники або стовпчики. Кожній величині відповідатиме свій стовпчик. У скільки разів більша величина, у стільки разів вища за стовпчик. Сума величин нас не цікавить.

Щоб було зручно бачити висоту кожного стовпчика, накреслимо декартову систему координат. На вертикальній осі зробимо розмітку у мільйонах кілометрів.

І тепер побудуємо 4 стовпчики заввишки, що відповідає відстані від Сонця до планети (див. рис. 3).

До Меркурія 58 млн км

До Венери 108 млн км

До Землі 150 млн км

До Марса 228 млн км

Мал. 3. Стовпчаста діаграма відстаней до Сонця

Порівняємо дві діаграми (див. рис. 4).

Стовпчаста діаграма тут корисніша.

1.На ній відразу видно найменшу та найбільшу відстань.

2.Ми бачимо, що кожна наступна відстань збільшується приблизно на одну й ту саму величину – 50 млн км.

Мал. 4. Порівняння видів діаграм

Таким чином, якщо ви задумалися, яку краще діаграму вам побудувати – кругову чи стовпчасту, то потрібно відповісти:

Чи потрібна вам сума всіх величин? Чи має вона сенс? Чи бажаєте ви бачити вклад кожної величини в загальне, у суму?

Якщо так, то вам потрібна кругова, якщо ні – то стовпчаста.

Сума площ океанів має сенс – це площа Світового океану. І ми будували кругову діаграму.

Сума відстаней від Сонця до різних планетне мала для нас сенсу. І для нас корисніше виявилася стовпчаста.

Побудувати діаграму зміни середньої температуриза кожний місяць протягом року.

Температура наведена у таблиці 1.

Вересень

Табл. 1

Якщо скласти всі температури, то отримана кількість не матиме для нас великого сенсу. (Сенс буде, якщо ми її розділимо на 12 – отримаємо середньорічну температуру, але це не тема нашого уроку.)

Отже, будуватимемо стовпчасту діаграму.

Мінімальне значення у нас – -18, максимальне – 21.

Тепер зобразимо 12 стовпчиків кожного місяця.

Стовпчики, що відповідають негативній температурі, малюємо вниз (див. рис. 5).

Мал. 5. Стовпчаста діаграма зміни середньої температури за кожний місяць протягом року

Що вказує ця діаграма?

Легко побачити найхолодніший місяць і найтепліший. Видно конкретне значення температури кожного місяця. Видно, що найтепліші літні місяці відрізняються один від одного менше, ніж осінні чи весняні.

Отже, щоб побудувати стовпчасту діаграму, потрібно:

1) Накреслити осі координат.

2) Подивитися на мінімальне та максимальне значення та зробити розмітку вертикальної осі.

3) Зобразити стовпчики кожної величини.

Подивимося, які несподіванки можуть бути при побудові.

Побудувати стовпчасту діаграму відстаней від Сонця до найближчих 4-х планет та найближчої зірки.

Про планети ми знаємо, а найближча зірка - Проксима Центавра (див. табл. 2).

Табл. 2

Усі відстані знову вказані у мільйонах кілометрів.

Будуємо стовпчасту діаграму (див. мал. 6).

Мал. 6. Стовпчаста діаграма відстані від сонця до планет земної групи та найближчої зірки

Але відстань до зірки така величезна, що на його тлі відстані до чотирьох планет стають невиразними.

Діаграма втратила будь-який сенс.

Висновок такий: не можна будувати діаграму за даними, що відрізняються один від одного в тисячі або більше разів.

А що робити?

Потрібно розбити дані групи. Для планет побудувати одну діаграму, як ми робили, для зірок – іншу.

Побудувати стовпчасту діаграму для температур плавлення металів (див. табл. 3).

Табл. 3. Температури плавлення металів

Якщо побудувати діаграму, ми майже бачимо різницю між міддю і золотом (див. рис. 7).

Мал. 7. Стовпчаста діаграма температур плавлення металів (градування з 0 градусів)

В усіх трьох металів температура досить висока. Область діаграми нижче за 900 градусів нам нецікава. Але тоді цю область краще не зображати.

Почнемо градуювання з 880 градусів (див. мал. 8).

Мал. 8. Стовпчаста діаграма температур плавлення металів (градуювання з 880 градусів)

Це дозволило нам точніше зобразити стовпчики.

Тепер нам добре видно ці температури, а також яка більша і на скільки. Тобто ми просто відрізали нижні частини стовпчиків та зобразили лише верхівки, але у наближенні.

Тобто якщо всі значення починаються з досить великого, то градуювання можна почати з цього значення, а не з нуля. Тоді діаграма виявиться наочнішою і кориснішою.

Ручне малювання діаграм – досить довге та трудомістке заняття. Сьогодні, щоб швидко зробити гарну діаграму будь-якого типу, використовують електронні таблиці Excel або аналогічні програми, наприклад, Google Docs.

Потрібно внести дані, а програма сама збудує діаграму будь-якого типу.

Побудуємо діаграму, що ілюструє для якого числа людей яка мова є рідною.

Дані взяті з Вікіпедії. Запишемо їх у таблицю Excel(Див. Табл. 4).

Табл. 4

Виділимо таблицю із даними. Подивимося на типи запропонованих діаграм.

Тут є і кругові, і стовпчасті. Побудуємо і те й інше.

Кругова (див. мал. 9):

Мал. 9. Кругова діаграма часток мов

Стовпчаста (див. мал. 10)

Мал. 10. Стовпчаста діаграма, що ілюструє, для якого числа людей яка мова є рідною

Яка нам діаграма потрібна – необхідно буде вирішувати щоразу. Готову діаграму можна скопіювати та вставити в будь-який документ.

Як бачите, сьогодні створювати діаграми не складає ніяких труднощів.

Подивимося, як у реальному житті діаграма допомагає. Ось інформація щодо кількості уроків з основних предметів у шостому класі (див. табл. 5).

Навчальні предмети	Кількість уроків на тиждень	Кількість уроків на рік
Російська мова
Література
Англійська мова
Математика
Історія
Суспільствознавство
Географія
Біологія
Музика

Табл. 5

Не дуже зручно для сприйняття. Нижче зображено діаграму (див. мал. 11).

Мал. 11. Кількість уроків за рік

А ось вона ж, але дані розташовані за спаданням (див. мал. 12).

Мал. 12. Кількість уроків за рік (за спаданням)

Тепер ми чудово бачимо, яких уроків найбільше, яких найменше. Бачимо, що кількість уроків англійської мовивдвічі менше російської, що логічно, адже російська - наша рідна моваі говорити, читати, писати на ньому нам доводиться набагато частіше.

Список літератури

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія. 2006.
3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. - М: Просвітництво, 1989.
4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. - М: ЗШ МІФІ, 2011.
5. Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. - М: ЗШ МІФІ, 2011.
6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. - М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.

http://ppt4web.ru/geometrija/stolbchatye-diagrammy0.html

Домашнє завдання

1. Побудувати стовпчасту діаграму випадання опадів (мм) протягом року у Чистополі.

2. Зобразіть стовпчасту діаграму за такими даними.

3. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012. № 1437.